10 SINIF MATEMATİK Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse, bilimi seçin... M. Kemal Atatürk 1. BASKI Ağustos 018 İLETİŞİM Ostim Mah. 107 Sokak No: 3/C D Ostim / Ankara Tel: 031 395 13 36 Fax: 031 394 10 04 www.yaricap.com yaricapyayinlari@gmail.com twitter.com/yaricapp facebook.com/yaricapyayinlari instagram.com/yaricapyayinlari Bu kitabın her hakkı Yarıçap Yayınlarına aittir. 5846 ve 936 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Yarıçap Yayınlarının yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.
SUNU Sevgili Gençler, Matematik ve geometri hem okul derslerinde hem de üniversiteye giriş sınavlarına hazırlıkta en önemli yere sahiptir. Yarıçap Yayınları olarak eğitim - öğretim hayatınızda bu derslerle ilgili sorunlarınızı temelden çözebilmeniz için TAMAMI VİDEO ANLATIMLI olan kitaplarımızı sizlere sunuyoruz. Yarıçap Yayınları matematik ve geometri fasikülleri konuları en temelden kavramanızı ve öğrendiklerinizi pekiştirebilmenizi sağlamak amacıyla birbirini bütünleyen BİLGİ - BİRLİKTE ÇÖZELİM - SIRA SİZDE - ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM - KONU TESTİ olmak üzere 5 bölümden oluşmaktadır. BİLGİ bölümünde kazanımlarla ilgili açıklayıcı ve öğretici bilgiler verilmiştir. BİRLİKTE ÇÖZELİM bölümleri BİLGİ ile ilişkilendirilmiş örneklerin bulunduğu alandır. SIRA SİZDE bölümlerinde konuyu kavramayı ve pekiştirmeyi sağlayacak sorular verilmiştir. ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM bölümünde açık uçlu sorular aracılığıyla öğrendiklerinizin daha sağlam hâle getirilmesi amaçlanmıştır. KONU TESTİ bölümlerinde konuyla ilgili çoktan seçmeli sorular verilmiştir. Başlamak, başarmanın yarısıdır. sloganıyla çıktığımz yolculukta sizlere başarılar dileriz. Oğuz GÜMÜŞ Devrim ÖZATA Seçkin KARAASLAN
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1: Polinomlar...5 Polinom Kavramı...6 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1...8 Sabit Polinom...10 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim...13 Polinomlarda Değer Bulma...14 Sabit Terim Uygulamaları...15 Katsayılar Toplamı...16 Polinomlarda Toplama - Çıkarma...17 Polinomlarda Çarpma...18 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3...19 Polinomlarda Bölme...0 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4... Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma...3 Polinomlarda Derece...5 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 5...6 Konu Testi 1,, 3...8 BÖLÜM : Çarpanlara Ayırma...35 Polinom Çarpanları...36 Ortak Çarpan Parantezine Alma...37 Gruplandırma...39 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1...40 İki Kare Farkı...4 Tamkare Özdeşlikleri...44 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim...47 İki Terimin Toplamının ve Farkının Küpü...49 Küpler Toplamı ve Farkı...50 Üç Terimlinin Çarpanlara Ayrılması...51 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3...53 Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi...55 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4...58 Konu Testi 1,, 3...60 BÖLÜM 3: İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler...67 Çarpanlara Ayırarak Kök Bulma...68 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1...71 Diskriminant Yöntemi...73 Köklerin Varlığı...74 Değişken Değiştirme Yöntemi...76 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim...77 Karmaşık Sayılar...79 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3...8 Kök - Katsayı İlişkileri...84 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4...87 Konu Testi 1,, 3...88 Cevap Anahtarı...94
POLİNOMLAR 1 BÖLÜM
Polinomlar BİLGİ SIRA SİZDE - 1 Polinom Kavramı - 1 n N ve a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 gerçek sayılar olmak üzere, P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 şeklindeki ifadelere n. dereceden polinom veya çok terimli denir. P(x), Q(x), R(x)... gibi büyük harflerle gösterilir. Yani bir ifadenin polinom olabilmesi için x in kuvvetleri doğal sayı olmalıdır. a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 polinomun katsayılarıdır. a n x n şeklindeki her bir ifadeye polinomun terimleri denir. x polinomun değişkeni ve x in en büyük kuvveti polinomun derecesidir. der [P(x)] şeklinde gösterilir. BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. Aşağıdaki ifadelerden hangileri polinomdur. Polinom olanların derecelerini belirleyiniz. 1. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir polinomdur? a) 3x 4 x 3 + 5x 1 4 3 b) 4x -x - x + 1 c) 5 d) 5x x + 1 e) x 3 + +5 x. Aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz. a) P(x) = 4 b) Q(x) = 5x c) R(x) = x 7x + 1 d) K(x) = 7x x 3 + 4x 1 a) P(x) = x 7 x 3 + 5x 1 Kuvvetlerin hepsi doğal sayı olduğu için polinomdur. Derecesi 7 dir. b) P(x) = x 4 Kuvvetlerin hepsi doğal sayı olduğu için polinomdur. Derecesi 1 dir. 3 c) P(x) = x - x + 1 3. Aşağıdaki polinomların terim sayılarını bulunuz. a) P(x) = x 3 x + 5 b) Q(x) = x + 7x 3 b N olduğu için polinom değildir. d) P(x) = 5 Polinomdur. Derecesi 0 dır. e) P(x) = x 3 x + 4. P(x) = x 3 7x + 5x + 4 polinomunun katsayılar toplamını bulunuz. 1 1 x = x ve b N olduğu için polinom değildir. f) P(x) = x + 7x 1 Kuvvetlerin hepsi doğal sayı olduğu için polinomdur. POLINOMLAR 6
Polinom Kavramı - BİLGİ P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 + a 0 polinomunda, En büyük dereceli terimin katsayısı olan a n, polinomun baş katsayısıdır. x değişkeninin bulunmadığı terim polinomun sabit terimidir. SIRA SİZDE - 1. Aşağıdaki polinomların başkatsayılarını ve sabit terimlerini bulunuz. a) P(x) = x 3 + 4x 7x + 5 b) Q(x) = x + 5x 3 x + 5 c) R(x) = 4x d) K(x) = 6 1. P(x) = 4x 3 + 7x 5x 3 BİRLİKTE ÇÖZELİM polinomunun başkatsayısını ve sabit terimini bulunuz.. P(x) = 6x 3 + 7. x n 1 + 5 ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabileceği doğal sayı değerleri toplamı kaçtır? der[p(x)] = 3 olduğundan x 3 ün katsayısı, başkatsayı olur. Yani P(x) polinomunun başkatsayısı 4 tür. x değişkeni olmayan terim, 3 sabit terimdir. 3. P(x) = x 6 n +. x n 3 + 5 6 n n-. Px () =. x + x + 5 ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabileceği değerleri bulunuz. x değişkenlerinin kuvvetleri doğal sayı olmalıdır. 6! N ise n = 1,, 3, 6 n n N ise n =, 3, 4... n {, 3, 6} bulunur. ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4. P(x) = ax 3 + 4x + 5x + b polinomun başkatsayısı 7 ve sabit terimi 4 olduğuna göre, a b kaçtır? 7 polinomlar
1 ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM 1. Aşağıdaki ifadelerden hangileri polinomdur? a) x 3 4 x 7 b) 3x x 4. P(x) = x n + 4x 3 7 polinomunun derecesi 3 olduğuna göre, başkatsayısı kaçtır? c) x x 7 d) 5 e) 3x 3 + 3x 1 4x 1 5. P(x) = 4x x + 5 polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?. Aşağıdaki polinomların derecelerini, başkatsayılarını ve sabit terimlerini bulunuz. a) P(x) = 4x 7 x + 5 b) Q(x) = x + 7x c) R(x) = 4x 7 d) K(x) = 5 e) B(x) = 3x x 3 + 7 6.. dereceden, başkatsayısı 3 ve sabit terimi 4 olan bir P(x) polinomun katsayıları toplamı 1 dir. Buna göre, P(x) polinomunu bulunuz. 3. P(x) = x n + 4x 3 7 polinomunun derecesi 6 olduğuna göre, n kaçtır? 7. P(x) = x 7x + a + 1 polinomunun sabit terimi 6 olduğuna göre, a kaçtır? polinomlar 8
BİLGİ Sabit Polinom P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 polinomunda a n = a n 1 =... = a = a 1 = 0 ise P(x) = a 0 ifadesine sabit polinom denir.yani sabit polinomda x değişkeni bulunmaz. SIRA SİZDE - 3 1. Aşağıdaki polinomlardan sıfır polinomu ve sabit polinom olanları belirleyiniz. a) P(x) = x b) Q(x) = 5 c) R(x) = d) B(x) = 0 e) K(x) = 3x BİRLİKTE ÇÖZELİM P(x) = (a 1)x + bx + 4 polinomu sabit polinom olduğuna göre, a ve b değerlerini bulunuz. a 1 = 0 ve b = 0 olmalı a = 1 ve b = 0 bulunur.. P(x) = (a 4)x + (b + )x + c 3 polinomu sabit polinom olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? BİLGİ Sıfır Polinomu P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 polinomunda a n = a n 1 =... = a 1 = a 0 = 0 ise P(x) = 0 polinomuna sıfır 3. P(x) = (a + 1)x + (b 3)x + c 4 polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? polinom denir. BİRLİKTE ÇÖZELİM P(x) = ax +(b )x + c 3 sıfır polinomu olduğuna göre, a, b ve c değerlerini bulunuz. 4. P(x) = (a 3)x + c 4 polinomu başkatsayısı 7 olan sabit bir polinomdur. Buna göre, a + c toplamı kaçtır? a = 0, b = 0 ve c 3 = 0 olmalı a = 0, b = ve c = 3 bulunur. polinomlar 10
ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM 1. Aşağıdakilerden hangileri sabit polinomdur? a) P(x) = x b) Q(x) = 4 c) R(x) = d) K(x) = 5x 1 e) Bx () = 3 5. Her x R için, x(x ) + x(x + 1) = ax + bx + c eşitliği sağlandığına göre, a + b + c toplamı kaçtır?. Aşağıdakilerden hangileri sıfır polinomudur? a) P(x) = 4 b) Q(x) = 0 c) R(x) = 0 d) K(x) = 5 0 e) Bx () = 7 6. P(x) = x + 7x + 4 Q(x) = ax + bx + c polinomları eşit olduğuna göre, a + b c ifadesinin eşiti kaçtır? 3. P(x) = (a )x + 4 b polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? 7. Her x reel sayısı için, x 7x + 6 = ax bx + c eşitliği sağlandığına göre, a + b + c toplamı kaçtır? 4. P(x) = (a 3)x + a + polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(x) in eşitini bulunuz. 8. + + x x x x + 1 1 Yukarıda verilen modelleme pullarına göre, + + + + + + şeklinde modellenen P(x) polinomunu bulunuz. 13 polinomlar
BİLGİ SIRA SİZDE - 9 Polinomlarda Toplama - Çıkarma Polinomlarda toplama - çıkarma yapılırken aynı dereceli terimler toplanır veya çıkarılır. 1. P(x) = x + 3 Q(x) = 3x olduğuna göre, P(x) + Q(x) polinomu bulunuz. BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. P(x) = x + 3x + 5 Q(x) = x + x 1 olduğuna göre, a) P(x) + Q(x) polinomunu bulunuz. b) P(x) Q(x) polinomunu bulunuz. a) x + 3x + 5 + x + x 1 P(x) + Q(x) = 3x + 4x + 4 bulunur. b) x + 3x + 5 x x + 1 P(x) Q(x) = x + x + 6 bulunur.. P(x) = x + 3x + 5 Q(x) = x x + 4 olduğuna göre, aşağıdaki polinomları bulunuz.. P(x) = x + 4x Q(x) = x 3 polinomu veriliyor. P(x) 3Q(x) polinomu veriliyor. a) P(x) Q(x) b) P(x) + Q(x) c) 3P(x) Q(x) (x + 4x) 3 (x 3) P(x) 3Q(x) = x + 8x 6x + 9 = x + x + 9 şeklinde bulunur. 3. x x + 3 5x + 5 Yukarıda bir bahçe içinde bulunan ev verilmiştir. Buna göre, bahçenin ev dışındaki alanını gösteren ifadeyi bulunuz. Bahçenin Tamamı Evin Alanı = 3x(5x + 5) x(x + 3) = 15x + 15x x 6x = 13x + 9x 3x 3. P(x) = ax + 3x + Q(x) = x + bx + c polinomları veriliyor. P(x) + Q(x) = 5x + x + 7 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? 17 polinomlar
ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM 3 1. P(x) = x + x Q(x) = x 3x + 5 olduğuna göre, aşağıdaki polinomları bulunuz. a) P(x) + Q(x) 3. P(x) = x + 4x 1 Q(x) = x + 4 polinomları veriliyor. P(x) + Q(x) = ax + bx + c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? b) P(x) Q(x) c) P(x) + Q(x) 4. Her x reel sayısı için, x (x 1) + (x ). (3x + ) = ax + bx + c eşitliği sağlandığına göre, a + b + c toplamı kaçtır?. P(x) = x + 3 Q(x) = 3x 1 olduğuna göre, aşağıdaki polinomları bulunuz. a) P(x). Q(x) 5. P(x) = ax + 3x 1 Q(x) = 3x + bx + c polinomları veriliyor. P(x) + Q(x) = 5x + 7x + 3 olduğuna göre, a b c ifadesinin eşiti kaçtır? b) P (x) + Q(x) c) P(x). Q(x) P(x) 6. P(x) = 4x + 1 Q(x) = x + 5 polinomları veriliyor. P (x) Q(x) = ax + bx + c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? 19 polinomlar
1 KONU TESTİ 1. P(x) = 3x + 4x + 7 polinomu veriliyor. Buna göre, I. P(x) in derecesi 3 tür. II. P(x) in başkatsayısı 3 tür. III. P(x) in sabit terimi 7 dir. 5. P(x) = 4x + x + 7 polinomunun derecesi kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 7 yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) I, II ve III E) II ve III 1 n n- 3 6. Px () =. x + 5. x + 4x -1 ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabileceği kaç farklı değer vardır?. I. P(x) = 3x + x 4 5 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 II. Q(x) = 3x 7x III. R(x) = 4 yukarıdaki ifadelerden hangileri polinomdur? A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 7. P(x) = ax 3 + x + 7 a 3. P(x) = 4x + 7x 3 polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 polinomunun başkatsayısı 4 olduğuna göre, sabit terimi kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. P(x) = 3x n 3 + 4x 5 n + 3 ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 8. P(x) = (a + )x 3 + 4x + 7x + a 1 polinomunun sabit terimi 3 olduğuna göre, başkatsayısı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 polinomlar 8
9. Aşağıdaki polinomlardan hangisi sabit polinom değildir? A) P(x) = 4 B) P(x) = x C) P(x) = x 0 D) P(x) = 0 E) P(x) = 3 13. P(x) = 3x + 7 polinomu veriliyor. Buna göre, P(1) + P() toplamı kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 10. P(x) = (a 1)x + (b + 3)x + 7 sabit polinom olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) B) 1 C) 0 D) 1 E) 14. Her x gerçel sayısı için x + ax 5 = (x + 1)(bx + c) olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 9 B) 8 C) 0 D) 8 E) 9 00 / ÖSS 11. P(x) = (a 3)x + (b + )x + c 4 sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 15. P(x + 1) = x 3x + 1 polinomu veriliyor. Buna göre, P(x ) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19 1. P(x) = 3x + 7x + Q(x) = ax + bx + c polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b c ifadesinin eşiti kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 11 E) 1 16. Gerçel katsayılı P(x), Q(x) ve R(x) polinomları veriliyor. Sabit terimi sıfırdan farklı P(x) polinomu için P(x) = Q(x) R(x + 1) eşitliği sağlanıyor. P nin sabit terimi Q nun sabit teriminin iki katı olduğuna göre, R nin katsayılarının toplamı kaçtır? A) B) 1 3 C) D) 1 E) 3 4 4 011 / LYS 9 polinomlar