TÜRE TNIMI TÜRE LM KURLLRI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRMIN GÖRE DERS NLTIM FÖYÜ Ortalama Değişim Oranı Bu itte dönüşümü apılırsa olur. f(b) B d f() f(b) f(a) Bu durumda iken olur. Buna göre, f() fonksionunun noktasındaki anlık değişim oranı f( ) f elde edilir. f(a) a b a b f() 5 fonksionunun noktasındaki anlık değişim oranını bulunuz. f(b) f(a) f : a, b R fonksionu verilsin. oranına f b a fonksionunun a ve bnoktaları arasındaki alama değişim oranı denir. f() 5 fonksionunun, aralığındaki alama değişim oranını bulunuz. f() in, aralığındaki alama değişim oranı, f() f() dir. f() nlık Değişim Oranı B f() f() - f() Düzeli Sorularla Hedefe Doğru /// Namık Karaanık f() in noktasındaki anlık değişim oranı, f() f bağıntısı ile bulunur. O alde, f() f 5 II. Yol: ( ) ( ) elde edilir. f() in noktasındaki anlık değişim oranını ukarıda elde etiğimiz ikinci bağıntı olan için esaplaalım. f( ) f() ( ) ( ) 5 bulunur. nlık değişim oranı anı zamanda f() fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimine eşittir. f() t f() - f() f() fonksionunun noktasındaki anlık değişim oranı, in a aklaşırken fonksionun alama değişim oranının it değeridir. Bu oran f() f ile esaplanır. m t, f nin noktasındaki teğetinin eğimi olmak üzere, f( ) f( ) mt dır.
Türev Tanımı Türev lma Kuralları Ders nlatım Föü Ortalama Hız S(t) S (konum) B Bir areketlinin kilometre türünden t saatte aldığı ol S(t) 6t t bağıntısı ile verilmiştir. Buna göre areketlinin, saat aralığındaki alama ızını bulunuz. S(t) t t t t (zaman) S() S() t : toplam ol, t: toplam zaman olmak üzere, bir areketlinin alama ızı, Toplam Yol bağıntısı ile bulunur. Toplam Zaman t nı zamanda bu oran, ani alama ız B doğrusunun eğimini verir. Yukarıdaki grafikte verilen areketlinin t, t aralığındaki alama ızı; St S t t t t dir. şağıda doğrusal olarak areket eden bir areketlie ait konum - zaman grafiği verilmiştir. Bu areketlinin t zamanına bağlı konumu S(t) t bağıntısı ile tanımlanmıştır. S konum (km) S(t) t Düzeli Sorularla Hedefe Doğru /// Namık Karaanık km / sa olur. f() f() nlık Değişim Oranı ve Türev Tanımı f() fonksionunun noktasındaki anlık değişim oranına f fonksionunun noktasındaki türevi denir ve f ( ) ile gösterilir. Buna göre, f nin noktasındaki türevi bulmak istenirse in a aklaşırken fonksionun anlık değişim oranı esaplanmalıdır. f f() f B f() olur. f() fonksionunun noktasındaki türevi o noktadaki teğetinin eğimine eşittir. Buna göre, areketlinin. ve. saatler arasındaki alama ızını bulunuz. S() S() t 5 5 5 km / sa olur. t zaman (saat) Bir fonksionun noktasındaki teğetinin eğimi m t olsun. Buna göre, m f t o f() f dır. Bu itte dönüşümü apılırsa olur. Bu durumda iken olur. O alde, f( ) f f elde edilir. f () türev ifadesi, erangi biri ile gösterilebilir. df() d f () eşitliklerinden d d
Türev Tanımı Türev lma Kuralları Ders nlatım Föü Tanım: f : a, b R bir fonksion, a, b ve f fonksionu noktasında sürekli olsun. Eğer f() f iti bir reel saı ise bu değere, f fonksionun noktasındaki türevi denir ve f ( ) a da df d ile gösterilir. t noktasındaki anlık ızı anı zamanda anlık değişim oranı olup, bu değer fonksionun t noktasındaki türevine eşittir. S(t) S() t t 5 5 S () t t t t t t t (t ) t m / sn t t t t t d df() f () d d d : türev alma operatörü d Türev bir fonksionun tanımlı olduğu erangi bir noktasındaki anlık değişim oranını ölçer. Türev bir doğrunun eğiminde, en küçük ve en büük değer bulmada, grafik orumlamada, ız, büüme ve oğunluk gibi bir çok alanda kullanılır. noktasındaki teğetinin eğimi m S () tür. f() fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. d şağıda verilen türev gösterimlerini inceleiniz. f () f() f() f( ) f() a da f () f(5 ) f(5) f (5) f( ) f() f ( ) f() f( ) f () Düzeli Sorularla Hedefe Doğru /// Namık Karaanık f() fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimi, noktasındaki türevine eşittir. Buna göre, f() f() 9 mt f () 8 ( ) ( ) ( ) bulunur. Sağdan ve Soldan Türev Tanım: R, f : R ve a için, şağıda doğrusal olarak areket eden bir areketlie ait konum - zaman grafiği ve noktasından çizilen teğeti verilmiştir. Bu areketlinin t zamanına bağlı konumu S(t) t t 5 bağıntısı ile tanımlanmıştır. 5 S konum (metre) S(t) t t 5 d a f() f(a) itinin bir reel saı değeri varsa a bu değere, f fonksionun a noktasındaki sağdan türevi denir ve f a a ile gösterilir. f() f(a) itinin bir reel saı değeri varsa a bu değere, f fonksionun a noktasındaki soldan türevi denir ve f a ile gösterilir. t zaman (sanie) Buna göre, areketlinin. saniedeki anlık ızını ve noktasından çizilen teğetinin eğimini bulunuz. Sonuç: f a fa ise f nin a noktasında türevi vardır ve f (a) dir. fa fa oktur. ise f nin a noktasında türevi
Türev Tanımı Türev lma Kuralları Ders nlatım Föü Bir ralıkta Türevlenebilen Fonksionlar 5, f : R R, f(), fonksionu verilior. Buna göre, f nin noktasındaki türevini araştırınız. f : a, b R bir fonksion olsun. (a, b) için f fonksionunun türevi varsa f fonksionu (a, b) aralığında türevlidir denir. R, f : R fonksionu tanım kümesinin er noktasında türevli ise f fonksionu tanım kümesinde türevlidir denir. f() f() 5 7 5( ) f f() f() 7 f 5 Bu tanıma göre, polinom fonksionlar tüm reel saılarda türevlidir. f : R R, f() 5 fonksionunun tanım kümesinde türevli olduğunu göstere. ( ) ( ) Buna göre, f f noktasında türevi oktur. 6, f : R R, f() 9, fonksionu verilior. olduğundan f() fonksionunun Buna göre, f nin noktasındaki türevini araştırınız. Düzeli Sorularla Hedefe Doğru /// Namık Karaanık f( ) f R için, f değerinin reel bir saıa eşit olduğunu göstermeliiz. f( ) f f 5 5 5 5 dir. Yani R için f () elde edilir. f() f() 6 f f() 5 fonksionu R için türevlidir. Yani bu fonksionun tanımlı olduğu küme R dir. 6 f() 5 fonksionu R {} kümesinde türevlidir. f() f() 9 f ( ) 5, f : R R, f(), Buna göre, f f olduğundan f() fonksionunun noktasında türevi vardır ve f () dir. rıca dikkat edilirse f() fonksionu noktasında süreklidir. Türevin süreklilik ile ilişkisini ilerleen derslerimizde göreceğiz. fonksionu parçalı tanımlı fonksiondur. Kritik noktası noktasıdır. Bu noktada fonksionun sağdan ve soldan türevleri farklı olup türevi oktur. Kritik noktası dışında ani ün sağında ve solunda polinom fonksion olarak tanımlandığından türevi alınabilir. O alde f nin türevli olduğu küme R {} tür.
Türev Tanımı Türev lma Kuralları Ders nlatım Föü Türev lma Kuralları Sabit Fonksionun Türevi c R olmak üzere, f() c ise f () dır. f() f () 5 f() f () f() 5 f () f() e 5 f () f() f () ln f() 5 f ()? f () 5 ln5 ln 5 5 f () ln5 f() f () ln f() e f () e Logaritma Fonksionunun Türevi n f() Fonksionunun Türevi n R olmak üzere, n n I. f() ise f () n dir. n n II. f() c ise f () cn dir. f() f () f() f () f() f () f() 5 f () 5 5 5 f() f () ( ) 6 f() f () Düzeli Sorularla Hedefe Doğru /// Namık Karaanık a ve a R olmak üzere, I. f() loga ise f () loga e olur. II. f() ln ise f () lne olur. f() log f () log e ln f() ln f () Ġki Fonksionun Toplamının Ya Da Farkının Türevi R, f : R ve g: R fonksionları noktasında türevlenebilen iki fonksion olmak üzere f g fonksionunun türevi, f() g() f () g () tir. Trigonometrik Fonksionların Türevi I. f() sin ise f () cos olur. II. f() cos ise f () sin olur. f() f () f() 5 f () 8 5 f() sin f () cos f() cos f () sin Üstel Fonksionun Türevi a ve a R olmak üzere, I. f() a ise f () a lna olur. II. f() e ise f () e lne e olur. f() 5 f ( )? f () 6 5 f ( ) 5 7 d 5cos ln 5sin d df() f() log sin f () d d log sin log e cos d cos ln 5
Türev Tanımı Türev lma Kuralları Ders nlatım Föü Ġki Fonksionun Çarpımının Türevi R, f : R ve g: R fonksionları noktasında türevlenebilen iki fonksion olmak üzere f g fonksionunun türevi, f() g() f () g() g () f() tir. Ġki Fonksionun Bölümünün Türevi R, f : R ve g: R fonksionları noktasında türevlenebilen iki fonksion ve g() olmak üzere f g fonksionunun türevi, f() f () g() g () f() g() g() dir. f() 5 fonksionu verilior. Buna göre, f () in değerini bulunuz. f () 5 5 f() 5 fonksionu verilior. Buna göre, f ( ) in değerini bulunuz. f () 9 6 5 5 5 6 f () 5 6 bulunur. f() sin fonksionunun türevini bulunuz. f () sin cos f() ln cos fonksionunun türevini bulunuz. f () ln sin ln sin Düzeli Sorularla Hedefe Doğru /// Namık Karaanık 5 6 5 f () ( ) 5 5 5 f ( ) dir. 6 8 f() tan fonksionunun türevini bulunuz. sin f() tan biçiminde azalım. O alde bölümün cos türevi ugulanırsa, cos cos ( sin) sin f () cos f() ( ) ( ) ( ) ( 9) fonksionunu verilior. Buna göre, f () ün değeri kaçtır? cos sin sec cos cos cos sin cos sin Ya da f () tan cos cos cos f() f() ( ) ( ) ( ) ( 9) f () ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 9) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 9) ( ) ( ) ( 6) 6! bulunur. 6 bulunur. Buna göre, (tan ) sec tan tir. cos f() cot cos f () cos ec cot sin sin (Bölümün türevi ugulanarak elde edilir.)
Türev Tanımı Türev lma Kuralları Ders nlatım Föü Türevin Süreklilik Ġle Ġlişkisi Teorem: f : a, b R bir fonksion ve a, b olsun. f fonksionu noktasında türevli ise bu noktada süreklidir. f() ( ) f() Görüldüğü gibi sağdan ve soldan itler eşit değildir. Buna göre, f() fonksionu noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi oktur. Başka bir ifadele bu teoremin karşıt tersi olan " f fonksionu noktasında sürekli değil ise bu noktada türevi oktur." sonucunu azabiliriz. Yukarıdaki teoremin tersi er zaman doğru değildir. Yani f fonksionu noktasında sürekli olduğu alde bu noktada türevi olmaabilir. O alde f nin türevli olduğu küme Kırılma Noktası: R tir. R, f : R, f() fonksionu a noktasında sürekli olmasına rağmen f nin a apsisli noktasında birden fazla teğeti çizilebiliorsa a noktasına kırılma noktası denir. ( f nin a noktasındaki sağdan ve soldan türevleri birbirine eşit değildir.) şağıda verilen grafiği inceleiniz. f() oktur? fonksionunun angi noktalarda türevi f fonksionu rasonel fonksion olup padaı sıfır apan noktalarda tanımsızdır. Dolaısıla bu noktalarda türevi oktur. Bu durumda, ve noktalarında f nin türevi oktur. O alde f nin türevli olduğu küme R, tir. Düzeli Sorularla Hedefe Doğru /// Namık Karaanık f() a b c d e f() fonksionunun a, b, c, d, e apsisli noktaları kırılma noktalarıdır. Bu noktalarda fonksion sürekli olmasına rağmen sağdan ve soldan türevleri farklı olduğundan türev oktur. Sonuç: Bir fonksion bir noktada tanımsız ise o noktada türevi oktur, f : R R, f(), fonksionu verilior. Buna göre, f nin angi noktalarda türevi oktur? Bir fonksion bir noktada süreksiz ise o noktada türevi oktur. Bir fonksionun kırılma noktalarında türevi oktur. f() erilen fonksion parçalı tanımlı bir fonksion olup kritik noktası dir. Bu fonksion dışındaki tüm reel saılarda sürekli olup türevi vardır. Bu durumda kritik noktasında sürekli olup olmadığını incelee. f() ( ) -5 - - - - Yukarıda grafiği verilen f() fonksionunun kaç farklı noktada türevi oktur? 7
Türev Tanımı Türev lma Kuralları Ders nlatım Föü f() fonksionu apsisli noktasında tanımlı olmadığından bu noktada türevi oktur. f() fonksionu apsisli noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi oktur. f() fonksionunun, ve apsisli noktaları kırılma noktalarıdır. Bu nedenle bu noktalarda da türevi oktur. f() fonksionu verilior. Buna göre, a) f fonksionu 5 noktasındaki sürekli midir? b) f fonksionu 5 noktasındaki türevli midir? I. Yol: Soruu f() in grafiğini çizerek çöze. a, f : R R, f() b 5, fonksionu noktasında türevli olduğuna göre, a b kaçtır? ve 5 f() f() fonksionu noktasında türevli olduğuna göre, bu noktada öncelikle sürekli olmalıdır. O alde, f() f() f() olmalıdır. a b 5 b a () İkinci olarak f() fonksionunun noktasında türevli olabilmesi için bu noktada soldan ve sağdan türevleri eşit olmalıdır. Parçalı tanımlı fonksionda soldan ve sağdan türev aşağıdaki gibi it almadan türev alma kuralları kullanılarak esaplanabilir. f demek için ani için f () türevini alıp erine azmaktır. Buna göre, Düzeli Sorularla Hedefe Doğru /// Namık Karaanık Grafikte görüldüğü gibi ve 5 noktaları fonksionunun kırılma noktaları olup bu noktalarda f sürekli olduğu alde türevli değildir. a) f fonksionu 5 noktasındaki süreklidir. b) f fonksionu 5 noktasında türevli değildir. II. Yol: f() fonksionunu parçalı fonksion olarak azalım. Bu nedenle önce fonksionun işaret tablosunu apalım. - 5 5 için ani için f () a f ( ) a f demek için ani için f () türevini alıp erine azmaktır. Buna göre, için ani için f () b f ( ) b olur. f a f f b a () f b () ve () den a a a bulunur. 5 b a b 5 b dir. 5 9 a b olur. 8, Buna göre, f(), 5, 5 fonksionu elde edilir. a), 5, f(5) 5 olduğundan f fonksionu 5 noktasında süreklidir. b) 5 için ani 5 için f () f (5 ) 7 5 için ani 5 için f () f (5 ) 7 f (5 ) f (5 ) olduğundan f fonksionu 5 noktasında türevli değildir.
. Sınıf Matematik Türev Tanımı - Türev lma Kuralları Test -. şağıda bir ağacın ıllara göre büüme grafiği verilmiştir. Bo (metre). f() 5 fonksionuna apsisli noktasından çizilen teğetinin eğimi kaçtır? ) B) C) D) E) 5. f() 5 olduğuna göre, 5 Zaman (ıl) f() f( ) itinin değeri kaçtır? Buna göre, aşağıdakilerden angisi anlıştır? ) B) C) D) E) 8 ) ğacın ilk ıldaki alama büüme ızı m / ıl dır. B) ğacın [, 5] ılları arasındaki alama büüme ızı m / ıl dır. C) ğacın 5. ıldaki anlık büüme ızı sıfırdır. D) ğacın [, 5] ılları arasındaki alama büüme ızı sıfırdır. E) ğacın. ıldaki anlık büüme ızı sıfırdır.. şağıda doğrusal olarak areket eden bir areketlie ait konum - zaman grafiği verilmiştir. Bu areketlinin t zamanına bağlı konumu S(t) t t bağıntısı ile tanımlanmıştır. Namık Karaanık /// Düzeli Sorularla Hedefe Doğru 5. 6. 7. f() m n fonksionu verilior. f( ) f() olduğuna göre, m kaçtır? ) B) C) D) E) f() 5 olduğuna göre, f( ) f( ) itinin değeri kaçtır? ) B) 7 C) 6 D) 7 E) f() 5 olduğuna göre, S (metre) S(t) t t f() f() itinin değeri kaçtır? ) 7 B) 5 C) D) E) 7 t (sanie) 8. 5, f : R R, f(), Buna göre, areketlinin. saniedeki anlık ızı kaç m / sn dir? ) B) C) 5 D) 6 E) 7 fonksionu verilior. Buna göre, f ( ) f ( ) f () kaçtır? ) B) C) D) 5 E) 6
9. f () a ve f( ) 6 verilior. 6 f( ) 5 olduğuna göre, a kaçtır? ) 6 B) C) D) E) m,. f : R R, f() n 5, fonksionu apsisli noktasında türevli olduğuna göre, m n kaçtır? ) 6 B) 5 C) D) E). f() olduğuna göre, df() d ifadesinin eşiti aşağıdakilerden angisidir? 5. f() 5 cos olduğuna göre, f () ın değeri kaçtır? ) ln B) ln5 C) ln8 D) ln5 E) ln ) B) C) D) 7. f() ( ) 8 E) 7 olduğuna göre, f ( ) nin değeri kaçtır? ) B) 6 C) D) E) Namık Karaanık /// Düzeli Sorularla Hedefe Doğru 6. f() - - - - Yukarıda grafiği verilen f() fonksionunun kaç farklı noktada türevi oktur? ) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. f() ( ) ( ) ( ) ( 8) fonksionunu verilior. Buna göre, f ( 5) in değeri kaçtır? ) 6! B)! C) 7 D) E) 7. f( ) f() f() fonksionu verilior. f() olduğuna göre, f () nin değeri kaçtır? ) 7 B) 6 C) 5 D) E). f() 5 olduğuna göre, f ( ) in değeri kaçtır? 8. f : R R, f() a 5 fonksionu R için türevli olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük tam saı değeri kaçtır? ) B) C) 5 D) 6 E) 8 ) B) C) D) E).E.B.D. 5.E 6.D 7.C 8.D 9..D.E.E.B.B 5. 6.C 7.D 8.