T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisans Tezi α, α YAKIN-HALKALARIN REGÜLERLİĞİ ÜZERİNE Esra Pınar AKKAYMAK Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN Yozgat 0
T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisans Tezi α, α YAKIN-HALKALARIN REGÜLERLİĞİ ÜZERİNE Esra Pınar AKKAYMAK Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN Yozgat 0
İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET.... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... KISALTMALAR VE SEMBOLLER..... iii iv v vi. GİRİŞ.... TEMEL BİLGİLER........ Temel Tanım ve Özellikler...... N-gruplar... 6.3. Alt Yapılar..... 8.4. Homomorfizm ve İdealler. 8 3. α, α YAKIN-HALKALAR.... 3 3.. α Yakın-Halkalar.. 6 3.. α Yakın-Halkalar.. 8 4. YAKIN-HALKALARDA Bİ-İDEALLİK VE Bİ-REGÜLERLİK...... 0 5. α, α ALT YAKIN-HALKALAR VE REGÜLERLİK 3 SONUÇ... 40 KAYNAKLAR... 4 ÖZGEÇMİŞ... 4
α, α YAKIN-HALKALARIN REGÜLERLİĞİ ÜZERİNE Esra Pınar AKKAYMAK Bozok Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi 0; Sayfa:4 Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN ÖZET Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci ve ikinci bölümlerde çalışmayla ilgili literatür ve temel bilgiler verildi. Üçüncü bölümde ve yakın-halka kavramlarının birbirleriyle ve regüler yakın-halkalarla ilişkileri incelendi. Dördüncü bölümde yakın-halkalarda bi-ideallik, bi-regülerlik kavramlarının birçok farklı yakın-halka çeşitleriyle ilişkileri irdelendi. Orijinal bir çalışmadan oluşan beşinci bölümde, yakın-halkaların regüler yakın-halkalarla çeşitli ilişkileri elde edildi. Ayrıca, bir yakın-halkanın alt yakın-halkası tanımlanmış ve çeşitli özellikleri ispatlanmıştır. ve alt yakın-halkaların yakın-halka homomorfizmi altında özellikleri araştırılmıştır. Anahtar Kelimeler: Yakın-Halka, Yakın-Halka, Yakın-Halka, Regüler Yakın- Halka. iii
ON REGULARITY OF α, α NEAR-RINGS Esra Pınar AKKAYMAK Bozok University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Master of Science Thesis 0; Page:4 Thesis Supervisor: Assist. Prof. Akın Osman ATAGÜN ABSTRACT This thesis consists of five chapters. The literature and basic informations about the study have been given in the first and second chapters. In the third chapter, the relations of and near-ring concepts with each other and regular near-rings have been examined. In the fourth chapter, the relations of the concepts of bi-idealness, bi-regularness in near-rings with a lot of different near-ring kinds have been investigated.in the fifth chapter, which consists of an original study, various relations of near-rings with regular near-rings have been obtained. Furthermore, subnear-ring of a near-ring has been defined and its various propertics have been proved. The features of and subnear-rings have been researched under near-ring homomorphism. Keywords: Near-Ring, Near-Ring, Near-Ring, Regular Near-Ring. iv
TEŞEKKÜR, yakın-halkaların regülerliği üzerine adlı tez çalışmamda değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN'e bilgileriyle ve desteğiyle beni aydınlattığı için ve bu tezin oluşmasında geçen süreçte bana pozitif bakış açısıyla rehber olduğu için teşekkür ederim. Yaşamımın her anında özveriyle beni destekleyen aileme, bu çalışmalar esnasında maddi manevi desteğini esirgemeyen eşim Mehmet KARATAŞ'a teşekkür ederim. v
KISALTMALAR VE SEMBOLLER LİSTESİ N : Yakın-halka N o : N yakın-halkasının sıfır-simetrik kısmı N c : N yakın-halkasının sabit kısmı : N -grup M : dan ya tüm fonksiyonların yakın-halkası M : da sıfırı koruyan tüm fonksiyonların yakın-halkası o M : da tüm sabit fonksiyonların yakın-halkası c Hom N, M : N den M ye tüm yakın-halka homomorfizmlerinin cümlesi a b : a elemanı tarafından üretilen bi-ideal a n : a elemanı tarafından üretilen invaryant N -alt grup a r : a elemanı tarafından üretilen sağ N -alt grup a l : a elemanı tarafından üretilen sol N -alt grup C N : N yakın-halkasının merkezi N I : Bölüm yakın-halkası vi
. GİRİŞ Halkaların bir genellemesi olan yakın-halkalara ilk adım, 905 yılında Dickson [3] tarafından atılmıştır. O, tek yönlü dağılma özelliğine sahip cisimlerin varlığını ispatlamıştır, bugün bu cisimler yakın-cisim olarak isimlendirilmektedir. ve yakın-halkalar regüler yakın-halkalara alternatif olarak alınabilecek farklı yapılardır. Bu kavramlar ilk olarak Uma ve arkadaşları [] tarafından tanımlanmış ve çeşitli özellikleri ispatlanmıştır. Her regüler yakın-halka bir yakın-halka olmasına rağmen, yakın-halka olması için sağ değişmeli olma şartı vardır. Aynı zamanda, her yakın-halkanın homomorfik görüntüsü yine yakın-halkadır fakat yakın-halka için bu genelde doğru değildir. Halkalar için bi-ideallik kavramı, birbirlerinden bağımsız olarak Lajos-Szasz [4], Le Rouxs [5] ve Szasz [8] tarafından daha sonra yakın-halkalar için bu kavram Tamizh Chelvam ve Ganesan [9,0] tarafından ortaya atılmış ve üzerinde çeşitli çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. N bir yakın-halka ve AB { ab a A, b B } A, B N olsun. Bu durumda, A* B { a (a +b)-a a a, a A, b B } ile tanımlanmıştır. Eğer, N nin bir B alt grubu için, BNB ( BN)* B B sağlanıyorsa B ye N nin bir bi-ideali denir. Fakat bu tanım N nin sıfır-simetrik olması durumunda, BNB B olarak alınmıştır. Bu yüksek lisans tezinde, ilk olarak yakın-halkaların alt yakın-halkaları tanımlanmış ve çeşitli özellikleri ispatlanmıştır. ve alt yakın-halkaların homomorfizm altında özellikleri araştırılmıştır. Daha sonra yakın-halkaların diğer tanımlanmış olan yakın-halkalarla ilişkileri incelenmiştir.
. TEMEL BİLGİLER Bu bölümde, temel bilgi niteliğinde olan ve diğer bölümlerde ortak olarak kullanılan yapılar verilecektir. Yakın-halka teorisi üzerine çalışan hemen hemen tüm matematikçiler için temel kaynak kabul edilen, ilk baskısı 977 ve yenilenmiş baskısı 983 yıllarında yapılan Günter Pilz e ait Near-rings [7] kitabı, bu bölüm için temel kaynak olarak alınmıştır... Temel Tanım ve Özellikler Yakın-halkalar, genelleştirilmiş halkalardır. Halkalardan farklı olarak, bir yakınhalkada ilk işlem değişmeli olmak zorunda değildir ve ikinci işlemin birinci işlem üzerine tek yönlü dağılma özelliği olması yeterlidir. Bu tanım açık olarak aşağıdaki gibi verilebilir. Tanım... [7] Bir N cümlesi, + ve. şeklinde gösterilen iki ikili işlem ile aşağıdaki şartları sağlıyorsa, ( N,,.) üçlüsüne bir yakın-halka denir. a) ( N, ) değişmeli olması gerekmeyen bir grup, b) (N,.) bir yarı grup, c) x, y, z N için ( x y). z x. z y. z Burada c) şıkkında sağdan dağılma özelliği verildiğinden, bu şartları sağlayan ( N,,.) üçlüsüne bir sağ yakın-halka denir. Eğer c) şıkkı yerine, x, y, z N için x.( y z) x. y x. z alınırsa, bu şartları sağlayan ( N,,.) üçlüsüne bir sol yakın-halka denir. Yani, dağılma özelliğinin yönü, yakın-halkanın sağ veya sol olmasını belirler. Bu çalışmada, kullanılan her yakın-halka terimi bir sağ yakın-halkayı ifade edecektir. Bazı yakın-halka örnekleri aşağıdadır. Örnek... (, ) herhangi bir grup olsun. M () { f : f bir fonksiyon} ile tanımlanan bu cümle, fonksiyonlarda toplama ve bileşke işlemleri altında bir yakın-halkadır. Örnek..3. ( N, ) bir grup ve x, y N için çarpma işlemi;
x xy 0, y 0, y 0 ile tanımlanırsa, bu işlemler altında N bir yakın-halkadır. Bu yakın-halka literatürde, bazen, aşikar yakın-halka adıyla karşımıza çıkmaktadır. Örnek..4. Her grup için bir yakın-halka elde edilebilir. Gerçekten, eğer ( N, ) grubu üzerinde ikinci işlem, x, y N için, xy 0 ile tanımlanırsa, ( N,, ) bir yakın-halkadır. Örnekler..5. (, ) herhangi bir grup ve 0 ile bu grubun etkisiz elemanı gösterilsin. Bu durumda, fonksiyonlarda toplama ve bileşke işlemleri altında aşağıdakiler birer yakın-halkadır. a) M 0( ) { f : f (0) 0} b) M c () { f : f sabit} 0 c c) M () { f : ve 0, 0 f ( ) }, 0 Özellikler..6. [7] N bir yakın-halka ise aşağıdaki özellikler vardır. a) x N için, 0x 0 dır. b) x, y N için, ( x) y xy dir. İspat: a) x N için, sağdan dağılma özelliğinden, ve dolayısıyla 0x 0 bulunur. 0x (0 0) x 0x 0x b) x, y N için, yine sağdan dağılma özelliği kullanılarak, elde edilir. ( x) y (0 x) y 0y xy 0 xy xy Not: Bir N yakın-halkasında, her zaman, x, y N için x 0 0 ve x( y) xy sağlanmayabilir. Mesela, Örnek... de tanımlanan M () yakın-halkasında, f, g M( ) için, f 0 0 3
olması f nin orjinden geçmesiyle ve f ( g) ( f g) olması ise f nin bir tek fonksiyon olması ile mümkündür. Tanım..7. [7] N bir yakın-halka olsun. a) N { n N n0 0} cümlesine N yakın-halkasının sıfır-simetrik kısmı, 0 b) N c { n N n0 n} { n N n' N için nn' n} cümlesine N yakınhalkasının sabit kısmı denir. N 0 ve N c de birer yakın-halkadır. Örnek..8. [7] ( M ( )) 0 M0( ) ve ( M ( )) c Mc ( ) dır. Gerçekten, ( M( )) { f M( ) f o 0 0} 0 { f M ( ) f (0) 0} ve M 0( ) dır. ( M( )) { f M( ) f o 0 f } c { f M ( ) f sabit} M c () N N 0 ise N yakın-halkasına sıfır-simetrik ve N Nc ise N yakın-halkasına sabit yakın-halka denir. Örnek..8. den görüleceği gibi, M 0( ) bir sıfır-simetrik ve M c ( ) bir sabit yakın-halkadır. Teorem..9. [] Bir N yakın-halkası için N N 0 Nc dir. İspat: n N için, [ n ( n0)]0 [ n (( n)0)]0 n0 (( n)0)0 n0 ( n)0 0 Dolayısıyla, dır. Aynı zamanda, n ( n0) N n0 N c 0 4
olduğu görülebilir. O halde, olduğundan ispat tamamdır. n [ n ( n0)] ( n0) Tanım..0. [7] ( N,,.) bir yakın-halka olsun. a) Eğer ( N, ) değişmeli ise N ye bir abelyen yakın-halka, (N,.) değişmeli ise, N ye bir komutatif yakın-halka, (N,.) birimli ise N ye birimli bir yakın-halka denir. b) Eğer ( N {0},.) bir grup ise, N ye bir yakın-cisim denir. Tanım... [6] N bir yakın-halka olsun. a N için, an oluyorsa N ye bir alt değişmeli yakın-halka denir. Na (..) C( N) { n N nx xn, x N} cümlesi N yakın-halkasının merkezi olarak adlandırılır. Lemma... [] N bir alt değişmeli yakın-halka ve E={n N n idempotent} olmak üzere 0 E olsun. Bu taktirde; E C( N) dir. İspat: N bir alt değişmeli yakın-halka ve değişmeli olduğundan, dir. Dolayısıyla, n N için, ve olacak şekilde x, m N vardır. Buradan, E 0 olsun. e E için N alt en Ne en xe ne em ene e( ne) e( em) e m em ne ene ( en) e ( xe) e xe xe en olup, elde edilir. en ne 5
Tanım..3. [] N bir yakın-halka olsun. Eğer a N için, a aba (..) olacak şekilde b N varsa N ye bir regüler yakın-halka denir. Tanım..4. N bir yakın-halka olsun. Eğer x, y, z N için, xyz sağlanıyorsa N ye bir sağ değişmeli yakın-halka denir. xzy (.3.) Tanım..5. N bir yakın-halka olsun. Eğer x, y, z N için, xyz sağlanıyorsa N ye bir sol değişmeli yakın-halka denir. yxz (.4.) Tanım..6. Bir N yakın-halkası hem sol değişmeli yakın-halka hem de sağ değişmeli yakın-halka ise N ye bir değişmeli yakın-halka denir... N-Gruplar Halkalarda modül kavramının, yakın-halkalara taşınmasıyla elde edilmiş olan N - grup, yani N üzerinde yakın-modül kavramı aşağıdaki şekilde tanımlanır: Tanım... [7] (, ) bir grup ve N bir yakın-halka olsun. : N ( n, ) n alalım. Eğer x, y N ve için, ( x y) x y (.5.) ve ( xy) x( y ) (.6.) şartları sağlanıyorsa, (, ) ikilisine bir N -grup, yani N üzerinde yakın-modül denir. Kısaca, için, N ile gösterilir. Eğer N, birimi olan birimli bir yakın-halka ise, şartını sağlayan N -grubuna, bir üniter N -grup denir. Örnekler... a) N bir yakın-halka olsun. (.7.) 6
: N N ( x, y) N xy altında ( N, ) bir N -gruptur. Bu N -grup, kısaca b) bir grup olsun. Bu durumda, N N ile gösterilir. : M ( ) ( f, ) f ( ) altında, bir M () -gruptur. Gerçekten, f, g M( ) ve için, ( f g) ( f g)( ) f ( ) g( ) f g ve ( fg) ( fg)( ) f ( g( )) f ( g ) sağlanır. N -grup kavramıyla ilgili bazı temel özellikler aşağıdadır. Özellikler..3. N bir yakın-halka ve bir N -grup olsun. Bu durumda, a) için, 0 0, b) ve x N için, ( x) x, c) x N0 için, x 0 0, d) ve n Nc için, n n0 dır. İspat a) için, ve dolayısıyla 0 0 dır. b) ve x N için, 0 (0 0) 0 0 dır. ( x) (0 x) 0 x 0 x x c) x N0 için, dır. x 0 x(00 ) ( x0)0 00 0 d) ve n Nc için, 7
elde edilir. n ( n0) n(00 ) n0.3. Alt Yapılar Tanım.3.. N bir yakın-halka ve ( M, ), ( N, ) nın bir alt grubu olsun. Eğer, m, m M için m m M sağlanıyorsa, M ye N nin bir alt yakın-halkası denir. Örnek.3.. N 0 ve x, y N 0 için, N c, N yakın-halkasının alt yakın-halkalarıdır. Gerçekten, ( x y)0 x0 y0 0 0 0 yani, ( N 0, ) ( N, ) nın bir alt grubudur. x, y N0 için, ( xy )0 x( y0) x0 0 dır. O halde N0N0 N0 olur. Şimdi, x, y Nc için, ( x y)0 x0 y0 x y yani, x y Nc olur. Bu ise, ( N c, ) grubunun ( N, ) nın bir alt grubu olduğunu gösterir. x, y Nc için, ( xy)0 x( y0) xy dır. O halde NcNc Nc elde edilir. Tanım.3.3. N bir yakın-halka ve bir N -grup olsun. nın N (.8.) şartını sağlayan, bir alt grubuna, nın bir N -alt grubu denir ve N ile gösterilir..4. Homomorfizm ve İdealler Tanım.4.. N ve M iki yakın-halka ve x, y N için, h : N M bir dönüşüm olsun. Eğer h( x y) h( x) h( y) (.9.) ve h( xy) h( x) h( y) (.0.) 8
şartları sağlanıyorsa, h dönüşümüne bir yakın-halka homomorfizmi denir. Önerme.4.. [] N ve M iki yakın-halka ve homomorfizmi olsun. Bu durumda, a) h (N) görüntüsü, M nin bir alt yakın-halkasıdır. b) Eğer T, M nin bir alt yakın-halkası ise, bu taktirde h T yakın-halkasıdır. c) h( N 0 ) M 0 dır. d) h( N c ) Mc dir. e) Eğer h bir izomorfizm ise, h de bir izomorfizmdir. h : N M yakın-halka de N nin bir alt İspat a) h (N) nin M nin bir alt grubu olduğu açıktır. Şimdi, a h( x), b h( y) h( N) alalım. O halde, ab h( x) h( y) h( xy) h( N) olur. Bu ise, h (N) nin, M nin bir alt yakın-halkası olduğunu gösterir. b) T M nin bir alt yakın-halkası olsun. h T nin N nin bir alt grubu olduğu açıktır. Eğer, yani, h( x), h( y) T ise, h( xy) h( x) h( y) T xy h T olur. Dolayısıyla h ( T) N nin bir alt yakın-halkasıdır. c) n0 N0 için, h 0 ( n0)0m h( n0) h(0n ) h( n00n ) h(0n ) olur. Bu ise, h ( N 0 ) M 0 olduğu anlamına gelir. d) nc Nc için, h( nc )0M h( nc ) h(0n ) h( nc 0N ) h( nc ) elde edilir. Buradan, nc Nc için, h( n c ) Mc, yani h( N c ) Mc sonucuna ulaşılır. M 9
e) h : N M bir izomorfizm olsun. Bu durumda, h : M N bir grup izomorfizmidir. Şimdi, u, v M alalım. Bu durumda, h( x) u ve h( y) v olacak şekilde tek x, y N elemanları vardır. O halde, h uv h h x h y ( ) ( ( ) ( )) h ( h( xy)) xy h h x h h y ( ( )) ( ( )) olur. Bu ise, ispatı tamamlar. h u h v ( ) ( ) Tanım.4.3. [7] N bir yakın-halka ve I N nin bir normal alt grubu olsun. Bu durumda, eğer, a) I N I b) x, y N ve i I için, x( y i) xy I şartları sağlanıyorsa, I ya N yakın-halkasının bir ideali denir ve I N ile gösterilir. Eğer, sadece a) şartı sağlanıyorsa I, N nin bir sağ ideali, sadece b) şartı sağlanıyorsa I, N nin bir sol ideali adını alır ve sırasıyla gösterilir. I N ve I l N ile r Not: a) N bir yakın-halka ve I N ise, N I bölüm yakın-halkası, bölüm halkasında olduğu gibi, şeklinde tanımlanır. N I { n I n N} b) { 0} ve N, N yakın-halkasının idealleridir. Bunlara N nin aşikar idealleri denir. Benzer şekilde, { 0 } ve, N yakın-halkasının N -grubunun aşikar idealleridir. c) N ve M iki yakın-halka ve h Hom( N, M) ise, çekh { n N h( n) 0M } cümlesine h homomorfizminin çekirdeği denir. 0
Tanım.4.4. [7] Eğer N yakın-halkasının, bir M alt yakın-halkası için, MN M ve NM M şartları sağlanıyorsa, M ye N yakın-halkasının bir invaryant alt yakın-halkasıdır denir. Burada N nin yönüne göre M sağ ya da sol invaryant alt yakın-halka adını alır. Örnek.4.5. [7] N bir yakın-halka olsun. Bu durumda, a) N0 l N dir, fakat N0 N olmak zorunda değildir. b) N c N nin bir invaryant alt yakın-halkasıdır, fakat ne sağ ne de sol ideali olmak zorunda değildir. Bunların doğruluğu aşağıdaki gibi gösterilebilir: a) x, y N ve n N0 için, ( x n x)0 x0 n0 x0 x0 x0 0 yani, N 0 N nin bir normal alt grubudur. Şimdi, x, y N ve n N0 için, [ x ( y n) xy]0 x( y0 n0) xy0 xy0 xy0 0 olur. Bunun anlamı x, y N ve n N0 için, x( y n) xy N 0 olmasıdır. Bu ise N0 l N olduğunu gösterir. Şimdi, N0 N olmak zorunda olmadığını göstermek için, bir örnek yeterlidir. R reel sayılar cümlesi ve N M (R) olsun. M ( R) ile birim dönüşüm gösterilirse, N0 M0 ( R) dir. M(R) dönüşümü, ile tanımlansın. Bu durumda, : R x R R yani, ( )(0) ( ) R R M N 0 ( R) olur. Bu ise, M 0( R ) nin M (R) nin bir ideali olmadığını gösterir. b) x N ve n Nc için, ( xn)0 x( n0) xn 0
yani, NNc Nc dir. Yine, x N ve n Nc için, ( nx)0 n0 n nx olduğundan, NcN Nc olur. O halde N c N nin bir invaryant alt yakın-halkasıdır. N c N nin genelde ne sağ ne de sol idealidir, çünkü ( c, ) N ( N, ) nın genelde bir normal alt grubu değildir. Örneğin, (, ) abelyen olmayan bir grup ve, elemanları olacak şekilde seçilsin. Şimdi, bir f dönüşümü f : x ile tanımlansın. Bu durumda, f M c () dır. M ( ) birim dönüşüm ise, bu durumda, olur, fakat dır. Bu ise, ( f )(0) 0 0 ( f )( ) f Mc ( ) olduğunu gösterir. Buradan, M c ( ), M () nın bir normal alt grubu değildir. O halde, M c ( ) nın M () da normal olması için gerek ve yeter şart nın bir abel grubu olmasıdır. Lemma.4.6. [] N bir sıfır-simetrik yakın-halka olsun. Bu taktirde N nin her I ideali için, N I I dır. Dolayısıyla N I N I dır. İspat: I N nin bir ideali olsun. Dolayısıyla i I ve dır. Burada halde, N I elde edilir. ' ' n( n i) nn I ' n, n N için, ' n 0 alınırsa ve N nin sıfır-simetrik olduğu kullanılırsa ni I I ve I N I dır. Buradan, N I N I N I olur. O
3. α, α YAKIN-HALKALAR Yakın-halkalarda regülerlik kavramı ile ilgili olarak birçok çalışma yapılmış ve halen bu çalışmalara yenileri eklenmektedir. ve yakın-halkalar regüler yakınhalkalara alternatif olarak alınabilecek farklı yapılardır. Bu bölümde ve yakın-halka kavramları tanıtılmış olup, birbirleriyle ve regüler yakın-halkalarla ilişkileri incelenmiştir. Bu kavramlar ilk olarak Uma ve arkadaşları [] tarafından tanımlanmış ve çeşitli özellikleri ispatlanmıştır. Tanım 3.. [] N bir yakın-halka olsun. Eğer a N için, olacak şekilde x N varsa N ye bir yakın-halka denir. Tanım 3.. [] N bir yakın-halka olsun. Eğer olacak şekilde 0 a xax (3..) x 0 a N için, xax (3..) x N varsa N ye bir yakın-halka denir. Örnek 3.3. [] a) N 0, a, b, c işlemlere göre ( N,,.) bir yakın-halkadır. cümlesi üzerinde aşağıdaki tablolar ile verilen + 0 a b c 0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0. 0 a b c 0 0 0 0 0 a a a a a b 0 0 b b c a a c c Burada, 0b0 0, aba a, bcb b, cbc c olup N bir regüler yakın-halkadır. b0b 0, cac a, bbb b, ccc c olduğundan N bir yakın-halkadır. Aynı zamanda, aaa a, cbc c, aca a
olduğundan N bir yakın-halkadır. b) N 0, a, b, c cümlesi üzerinde aşağıdaki tablolar ile verilen işlemlere göre ( N,,.) bir yakın-halkadır. + 0 a b c 0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0. 0 a b c 0 0 0 0 0 a 0 0 a a b 0 a b b c 0 a c c Burada, bab a, bbb b, ccc c, a0a 0 olup N bir yakın-halkadır. a N için, a0 a a, aaa a, aba a, aca a olduğundan N regüler yakın-halka değildir. Aynı zamanda olduğundan N yakın-halka değildir. c) Her N,,. yakın cisminde; aaa a, bab b, cac c 0 an için, ve n N için n n, N 0 n N için n nn n, n N 0 olup yakın cisimler ve yakın-halkalardır. d) N 0, a, b, c cümlesi üzerinde aşağıdaki tablolar ile verilen işlemlere göre ( N,,.) bir yakın-halkadır. 4
+ 0 a b c 0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0. 0 a b c 0 0 0 0 0 a a a a a b 0 0 b 0 c a a c a Burada, aaa a, aba a, aca a olup N bir yakın-halkadır. Buna rağmen c N için, c0 c c, cac c, cbc c, ccc c olduğundan N regüler yakın-halka değildir. Aynı zamanda c N için, olduğundan N yakın-halka değildir. 0c0 c, aca c, bcb c, ccc c e) Bir N Boolean yakın-halkasında a N için aa a olduğundan, aaa aa a olup her Boolean yakın-halkası ve yakın-halkadır. f) ( 6, ) Z grubu aşağıda verilen tablodaki işleme göre Z,,. 6 bir yakın-halkadır.. 0 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 4 0 4 3 0 3 3 0 3 3 4 0 4 0 4 5 0 5 0 5 Burada 3 Z6 için, 030 3, 3 3, 3 3, 333 3, 434 3, 535 3 5
olduğundan Z 6 yakın-halka değildir. 6 3Z 0 için, olduğundan Z 6 yakın-halka değildir. 3, 3, 333 3, 434 4, 535 5 Not: Örnek 3.3. ün b) şıkkından görüldüğü üzere ve yakın-halka kavramları birbirlerinden farklıdırlar. Ayrıca Örnek 3.3. ün b) ve d) şıklarından yakın-halkanın ve olması da regülerliği gerektirmez. 3.. α Yakın-Halkalar Önerme 3... [] N bir yakın-halka olmak üzere a N için, a) b) a x xa a n n x ax, n olacak şekilde x N vardır. İspat: N bir yakın-halka ve a N olsun. Bu taktirde, olacak şekilde x N vardır. a xax a) xa ( xa) a xa( xax) ( xax) ax a( ax) a x olup xa a x elde edilir. b) n için, 3 3 n n xax x( xax) x x ax x ( xax) x x ax... x ax olur. Önerme 3... [] N bir regüler yakın-halka olsun. Eğer, N sağ değişmeli ise N bir yakın-halkadır. İspat: N regüler olduğundan a N için a aba olacak şekilde b N vardır. olsun. N sağ değişmeli olduğundan, olup a N için, x ab xax ( ab) a( ab) ( aba) ab a( ab) aba a olacak şekilde x N elde edilmiş olur. Dolayısıyla N bir yakın-halkadır. xax a 6
Önerme 3..3. [] N bir sıfır-simetrik sağ değişmeli yakın-halka olsun. Bu taktirde ab 0 şartını sağlayan a, b N için ba 0 olur. İspat: a, b N için ab 0 olsun. N bir yakın-halka olduğundan, ve xax yby a b olacak şekilde x, y N vardır. N sıfır-simetrik ve sağ değişmeli olduğundan, olarak bulunur. ba ( yby)( xax) yb( yxa) x yb( yax) x y( bya) x y( bay) x ( yba) yx ( yab) yx ( y0) yx y0yx 0 Önerme 3..4. [] Bir N yakın-halkasının homomorfizma altındaki görüntüsü yine bir yakın-halkadır. İspat: N ve M yakın-halkaları ve h: N M yakın-halka homomorfizması verilmiş olsun. u, v h( N) için u h( a), v h( b) olacak şekilde a, b N vardır. N bir yakın-halka olduğundan olacak şekilde x, y N vardır. a xax, b yby u h( a) h( xax) h( x) h( a) h( x) h( x) uh( x) ve v h( b) h( yby) h( y) h( b) h( y) h( y) vh( y) olacak şekilde h( x), h( y) h( N) vardır. Dolayısıyla hn ( ) bir yakın-halkadır. Önerme 3..5. [] N bir yakın-halka ve I N yakın-halkasının bir ideali olsun. Bu taktirde N I bölüm yakın-halkasıda bir yakın-halkadır. 7
İspat: h: N N I x x I ile tanımlı h fonksiyonu verilsin. x, y N için, h( x y) x y I ( x I) ( y I) h( x) h( y) h( xy) xy I ( x I)( y I) h( x) h( y) olduğundan h bir homomorfizmadır. Aynı zamanda ( x I),( y I) N için, I h( x) x I, h( y) y I olacak şekilde x, y N vardır. Buradan h bir epimorfizmadır. N bir yakınhalka ve hn ( ) N olduğundan Önerme 3..4. den I N I bir yakın-halkadır. 3.. α Yakın-Halkalar Önerme 3... [] Bir yakın-halkasında İspat: N bir yakın-halka olsun. Bu taktirde şekilde 0 xn vardır. Burada, ( ax) ax ax a xax ax ( xa) xa xa xax a xa E={n N n idempotent} 0 dır. 0 a N için xax x olacak olup xa ve ax idempotent elemanlardır. Dolayısıyla ax, xa E olur. Burada x 0 olduğundan, dır. Aksi halde; xa 0 olsa idi, çelişkisi ortaya çıkardı. xa 0 x xax 0x 0 Önerme 3... [] Her regüler yakın-halka bir yakın-halkadır. İspat: N bir regüler yakın-halka olsun. Buradan şekilde b N vardır. x bab olsun. 0 a N için aba a olacak xax bab abab baba bab b( a) bab b( aba) b bab x 8
olur ki bu N nin bir yakın-halka olduğunu ispatlar. Uyarı: Bir yakın-halkanın homomorfik görüntüsü yine bir yakın-halkadır. Eğer N yakın-halka ve f : N M de bir yakın-halka homomorfizmi ise M yakın-halka olmak zorunda değildir. Gerçekten; N Klein-4 grup üzerinde aşağıdaki işlemlerle verilen N,,. ve N,, yakın-halkaları için, * 0 a b c 0 0 0 0 0 a a a a a b b b b b c c c c c. 0 a b c 0 0 0 0 0 a a a a a b 0 0 0 0 c a a a a f (0) 0, f ( a) a, f ( b) 0, f ( c) a olarak tanımlı f : N N dönüşümü bir homomorfizmadır. Burada N,,* bir yakın-halkadır fakat N,,. bir yakın-halka değildir. Önerme 3..3. Bir N yakın-halkasının monomorfizma altındaki görüntüsü yine bir yakın-halkadır. İspat: N ve M yakın-halkaları, h: N M yakın-halka monomorfizması verilmiş olsun. h bir yakın-halka monomorfizması olduğundan y h( N) 0 için, y h( x) olacak şekilde xn 0 vardır. N bir yakın-halka olduğundan, olacak şekilde 0 bn vardır. b bxb, h( b) h( N) 0 h( b) h( bxb) h( b) h( x) h( b) olup hn ( ) bir yakın-halkadır. 9
4. YAKIN-HALKALARDA Bİ-İDEALLİK VE Bİ-REGÜLERLİK Halkalar için bi-ideallik kavramı, birbirlerinden bağımsız olarak Lajos-Szasz [4], Le Rouxs [5] ve Szasz [8] tarafından daha sonra yakın-halkalar için bu kavram Tamizh Chelvam ve Ganesan [9,0] tarafından ortaya atılmış ve üzerinde çeşitli çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. N bir yakın-halka ve AB { ab a A, b B } A, B N olsun. Bu durumda, A* B { a (a +b)-a a a, a A, b B } ile tanımlanmıştır. Eğer, N nin bir B alt grubu için, BNB ( BN)* B B sağlanıyorsa B ye N nin bir bi-ideali denir. N N0 olduğunda xb BNB için, xb x(0 b) x0 ( BN)* B olduğundan, BNB ( BN)* B dir. Dolayısıyla N nin sıfır-simetrik yakın-halka olması durumunda bi-ideal kavramı aşağıdaki şekilde tanımlanabilir. Bu bölümde tüm yakın-halkalar sıfır-simetrik yakın-halka olarak alınacaktır. Tanım 4.. [] N bir yakın-halka olsun. N nin bir B alt grubu için, oluyorsa B ye N nin bir bi-idealidir denir. Eğer m, n BNB B (4..) m n B NB oluyorsa B ye genelleştirilmiş mn, bi-ideal denir. Z olmak üzere, B (4..) Tanım 4.. [] N bir yakın-halka, A N nin bir alt grubu olsun. NA A( AN A) (4.3.) oluyorsa A ya N nin bir sol (sağ) N -alt grubu denir. Tanım 4.3. [6] N bir yakın-halka olmak üzere a N tarafından üretilen N nin biideali (invaryant N -alt grubu ) a b ( a n ) şeklinde gösterilir.
Tanım 4.4. [6] N bir yakın-halka olmak üzere a N tarafından üretilen sağ (sol) N -alt grubu a r (a l ) şeklinde gösterilir. Tanım 4.5. [6] N bir yakın-halka olsun. a N için, b oluyorsa N ye bir bi-regüler yakın-halka denir. a a N a (4.4.) Önerme 4.6. [6] Her regüler yakın-halka bi-regülerdir. Fakat tersi genelde doğru olmak zorunda değildir. İspat: N bir regüler yakın-halka olsun. Dolayısıyla a N için, olacak şekilde x N vardır. Buradan, a b axa b a axa a N a olduğundan N bi-regülerdir. Tersinin doğru olmadığı aşağıdaki örnekte gösterilmiştir. Örnek 4.7. Z grubu aşağıda verilen tablodaki işleme göre 4, regüler yakın-halkadır.. 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 3 0 b Z,,. 4 bir bi- Burada, 33N3 0 olduğundan N yakın-halkası regüler yakın-halka değildir. Önerme 4.8. [6] N bir yakın-halka olsun. Bu taktirde aşağıdakiler denktir. a) N bi-regülerdir. b) A, N nin bir bi-ideali ve B bir invaryant N -alt grup olmak üzere, dir. ABA A B
c) a, b N için, dir. d) a N için, dir. a b a b a b n b n b a a a a a b n b n b İspat a) b) : N bi-regüler yakın-halka olsun. Aynı zamanda, A N nin bir biideali ve B invaryant N -alt grup olsun. A bir bi-ideal olduğundan, dır. Buradan, ANA A ABA A olur. Aynı zamanda B bir invaryant N -alt grup olduğundan, olup, ABA B ABA A B dir. xa B olsun. N bi-regüler yakın-halka olduğundan, b x x N x dir. Buradan x ynz olacak şekilde y z x, n N, b olduğu açıktır. Yine N bi-regüler yakın-halka olduğundan, dir. Bu taktirde, b y y N y ANB xa( NBN ) z ABA b b, b vardır. y z x A B olup, dir. Dolayısıyla AB ABA dır. AB ABA b) c) : A, N nin bir bi-ideali ve B bir invaryant N -alt grup olmak üzere, olsun. Burada, A a b ve B b n ABA A B olarak alınırsa ispat elde edilir.
c) d) : a, b N için, olsun. Burada, a d) a) : a N için, olsun. olduğundan, a b a b a b n b n b b olarak alınırsa ispat elde edilir. olup N bir bi-regüler yakın-halkadır. a a a a a b n b n b b 3 a a a a a a a a N a b n b b b Tanım 4.9. [] N bir yakın-halka olsun. x N için, xn oluyorsa N ye özelliğine sahiptir denir. Tanım 4.0. [] N bir yakın-halka olsun. x N için, oluyorsa N ye bir S -yakın-halka denir. n N (4.5.) x Nx (4.6.) Tanım 4.. [] N bir S -yakın-halka olsun. x N için, oluyorsa N ye bir S -yakın-halka denir. x xn (4.7.) Önerme 4.. [6] N özelliği ile bir S -yakın-halka olsun. Bu taktirde aşağıdakiler denktir. a) N bi-regülerdir. b) N regülerdir. c) N nin her B bi-ideali için BNB B dir. İspat a) b) : N bi-regüler yakın-halka ve x N olsun. Her sağ ve sol N alt-grup bir bi-ideal olduğundan, x x N x x N x b b r l dir. A, x i içeren herhangi bir sağ N -alt grup olsun. Dolayısıyla,
olup, x A ve AN A xn AN A dır. Buradan, N özelliği ile bir S yakın-halka olduğundan xn, x i içeren en küçük sağ N -alt gruptur. Buradan, olup N regülerdir. xn x r dir. Benzer şekilde, Nx x l x x N x x N x xn N Nx xnx b b r l b) c) : N regüler yakın-halka ve B, N nin bi-ideali olsun. N regüler olduğundan, B BNB dir. Aynı zamanda B bi-ideal olduğundan, dir. Dolayısıyla, dir. BNB B BNB B dir. c) a) : N nin her B bi-ideali için BNB B olsun. x N için x b bi-ideal olduğundan, x x x N x b b b dir. Dolayısıyla, N bir bi-regüler yakın-halkadır. Tanım 4.3. [] N bir yakın-halka olsun. a N için, a ba (4.8.) olacak şekilde b N varsa N ye bir kuvvetli regüler yakın-halka denir. Not: Her kuvvetli regüler yakın-halka regüler yakın-halkadır []. Tanım 4.4. [] N bir yakın-halka olsun. x N için, ab 0 iken axb 0 oluyorsa N yakın-halkasına bir IFP yakın-halka denir. Tanım 4.5. [] N bir yakın-halka olsun. a N için, Na Na (4.9.) 4
oluyorsa N ye bir sol bi-potent yakın-halka denir. Tanım 4.6. [] N bir yakın-halka olsun. x N için, oluyorsa N ye bir S k ( S ' k x k Nx ( x ) yakın-halka denir. k x N ) (4.0.) Not: N bir S k yakın-halka ise j k için N bir S j yakın-halkadır []. Tanım 4.7. [] N bir yakın-halka olsun. r, m Z olmak üzere a N için, r a N oluyorsa N ye bir P( r, m ) yakın-halka denir. m Na (4..) Tanım 4.8. [] N bir yakın-halka olsun. x N için, k x N xnx ( Nx oluyorsa N ye bir P k ( P ) yakın-halka denir. ' k Tanım 4.9. [] N bir yakın-halka olsun. x N için, k r m x N x Nx ( Nx ' oluyorsa N ye bir P r, m ( P, k k k xnx ) (4..) x Nx ) (4.3.) k r m r m ) yakın-halka denir. Lemma 4.0. [] N bir yakın-halka ve E idempotentlerin kümesi olsun. Eğer e E için, ise E C( N) dir. İspat: e E için, olsun. Dolayısıyla n N için, olacak şekilde u, v N vardır. Buradan, olup, elde edilir. Dolayısıyla E C( N) dir. en ene Ne en ene Ne ne eue ve en eve ene e( ne) e( eue) eue ne ene ( en) e ( eve) e eve en en ne 5
Önerme 4.. [] N bir S yakın-halka olsun. Bu taktirde, N nin P (,) yakınhalka olması için gerek ve yeter şart N nin alt değişmeli ve N nin her B bi-ideali için B BNB olmasıdır. İspat: N bir P (, ) yakın-halka olsun. e E için, dir. Buradan, en Ne Ne ene e( Ne) e( en) en Dolayısıyla Lemma 4.0. den, E C( N) dir. N bir S yakın-halka olduğundan a N için, aan Na olup, N kuvvetli regüler, dolayısıyla regüler yakın-halkadır. Dolayısıyla, a olacak şekilde b N vardır. Burada ab ve ba idempotent elemanlar olduğundan, ve olup, an ( aba) N an( ba) Na Na N( aba) ( ab) Na an an Na dır. Yani, N alt değişmelidir. N nin her B bi-ideali için, BNB B dir. N kuvvetli regüler olduğundan b B için, olup, dir. Buradan, elde edilir. b Nb Nbb bnb BNB B BNB B BNB Tersine N alt değişmeli ve N nin her B bi-ideali için B bi-ideal olduğundan, Nx ( Nx) N( Nx) aba BNB olsun. Nx ve xn 6
olup, Nx ( Nx) x ( Nx) N( Nx) x Nx Nx N( xn) Nx N( Nx) Nx NN( xn) x NN( Nx) x Nx olduğundan, Nx Nx xn elde edilir. Dolayısıyla N bir P (,) yakın-halkadır. Önerme 4.. [] N, ( ) özelliği ile bir S yakın-halka olsun. Eğer, N değişmeli yakın-halka ve N nin her B bi-ideali için B BNB ise, N bir P (,) yakınhalkadır. İspat: N değişmeli yakın-halka ve N nin her B bi-ideali için B a N için an, N nin bir bi-ideali olduğundan, dir. Yani, dir. Dolayısıyla, an annan anan anna aanna ana a aba BNB olsun. olacak şekilde b N vardır. Buradan, N regülerdir. N değişmeli olduğundan n N için, olup, an ( aba) n ( baa) n ba n bna Na dir. Bunun yanında, an Na olup, dir. Dolayısıyla, na n( aba) a ( nab) a ( anb) a an Na Na dir. Buradan, N bir P (, ) yakın-halkadır. an an 7
Teorem 4.3. [] N bir alt değişmeli S yakın-halka olsun. Bu taktirde aşağıdaki ifadeler denktir; a) N nin genelleştirilmiş ( mn, ) bi-ideali B için, b) N, regüler yakın-halkadır. c) N, kuvvetli regüler yakın-halkadır. d) N, sol bi-potent yakın-halkadır. e) a N için, ana Na Na dir. f) N nin her B bi-ideali için, B BNB dir. B m n B NB dir. İspat a) b) : N nin genelleştirilmiş ( mn, ) bi-ideali B için, Buradan, m n B B NB BNB dir. Dolayısıyla, N nin her B bi-ideali için B N nin bir bi-ideali ve N alt değişmeli olduğundan, dır. Yani, dır. Dolayısıyla N regülerdir. an annan anan anna aanna ana b) c) : N regüler olsun. Dolayısıyla a N için, a aba olacak şekilde b N vardır. N alt değişmeli olduğundan, a aba caa ca B m n B NB olsun. BNB olur. a N için an, olacak şekilde c N vardır. Bu ise N nin kuvvetli regüler olduğunu gösterir. c) d) : N kuvvetli regüler olsun. Dolayısıyla a, n N için, olacak şekilde b N vardır. Buradan, na nba Na elde edilir. Aynı zamanda, olduğundan, Na Na Na Na 8 Na Na
elde edilir. d) e) : N sol bi-potent olsun. N alt değişmeli ve S yakın-halka olduğundan a N için, dır. Dolayısıyla, dir. Na Na ( Na) a ana ana Na Na e) f) : a N için, olsun. N bir S yakın-halka olduğundan, ana Na Na ana ana olup N regülerdir. Dolayısıyla, N nin her B bi-ideali için, dir. f) a) : N nin her B bi-ideali için, B BNB B BNB olsun. a N için an, N nin bir bi-ideali ve N alt değişmeli olduğundan, dır. Yani, an annan anan anna a anna dır. Dolayısıyla N regülerdir. B, N nin genelleştirilmiş bir ( mn, ) bi-ideali olsun. N regüler olduğundan, x B için, m x xyx ( xyx) y( xyx) xy( xyx) yx... ( xy) ( xyx)( yx) olacak şekilde y N vardır. Aynı zamanda, N alt değişmeli, xy, yx idempotentler olduğundan Lemma... den idempotentler merkezil olup, n ve ( xy) m x m y m ( xy) n x n y n dir. Dolayısıyla m, n Z için, 9
x x y ( xyx) y x x Nx B NB m m n n m n m n oduğundan, dir. Buradan, elde edilir. B B m n B NB m n B NB 30
5. α, α ALT YAKIN-HALKALAR VE REGÜLERLİK Tanım 5.. N bir yakın-halka ve S, N nin alt yakın-halkası olsun. Eğer S bir yakın-halka ise S ye N nin bir alt yakın-halkası denir. Tanım 5.. [] N bir yakın-halka ve S, N nin alt yakın-halkası olsun. Eğer S bir yakın-halka ise S ye N nin bir alt yakın-halkası denir. Önerme 5.3. N bir yakın-halka ve S N nin alt yakın-halkası olsun. Eğer N sol değişmeli ve NS İspat: N alt değişmeli ve NS N ise N bir yakın-halkadır. N olsun. n N için, n ma olacak şekilde mn, a S vardır. S bir alt yakın-halka olduğundan, a xax olacak şekilde x S vardır. N sol değişmeli olduğundan, n ma mxax xmax xnx dir. Dolayısıyla, N bir yakın-halkadır. Önerme 5.4. [] Bir yakın-halkanın tüm invaryant alt yakın-halkaları bir alt yakın-halkadır. İspat: N bir yakın-halka, S N nin bir invaryant alt yakın-halkası olsun. 0 a S için N bir yakın-halka olduğundan olacak şekilde 0 x xax xn vardır. S invaryant alt yakın-halka olduğundan, x xax NSN SN S olup x S elde edilir. Dolayısıyla S bir yakın-halkadır. Önerme 5.5. N bir yakın-halka olsun. N nin tüm alt yakın-halkalarının kesişimi yine bir alt yakın-halkadır. İspat: N bir yakın-halka, S i N nin alt yakın-halkalarının bir ailesi olsun. i I
Her alt yakın-halkanın kesişimi yine bir alt yakın-halka olduğundan I Si bir alt ii yakın-halkadır. ai S ve i I için ii i S i ler alt yakın-halka olduğundan a xax olacak şekilde x Si vardır. Dolayısıyla, x I ii S i olup I Si bir ii alt yakın-halkadır. Önerme 5.6. N bir yakın-halka olsun. alt yakın-halkalarının bir ailesi ise, İspat: N bir yakın-halka, S N nin S 0 i i I I Si de N nin bir ii S N nin S 0 i i I I i olacak şekildeki ii alt yakın-halkasıdır. I i olacak şekildeki ii alt yakınhalkalarının bir ailesi olsun. Her alt yakın-halkanın kesişimi yine bir alt yakın-halka olduğundan I Si bir alt yakın-halkadır. a Si 0 ii ii alt yakın-halka olduğundan x xax Dolayısıyla, x I olsun. i I için olacak şekilde 0 I ii S i 0 S i ler xs i vardır. olup I Si bir ii alt yakın-halkadır. Önerme 5.7. NM, iki yakın-halka, S N nin bir alt yakın-halkası ve f : N M yakın-halka homomorfizması olsun. Bu taktirde f( S ), M nin bir alt yakın-halkasıdır. İspat: f bir yakın-halka homomorfizması olduğundan Önerme.4.. den f( S ), M nin bir alt yakın-halkasıdır. Aynı zamanda, y f ( S) için y f ( x) olacak şekilde x S vardır. S bir alt yakın-halka olduğundan, olacak şekilde b S vardır. Buradan, x bxb y f ( x) f ( bxb) f ( b) f ( x) f ( b), f ( b) f ( S) 3
olup, f( S ) M nin bir alt yakın-halkasıdır. Önerme 5.8. NM, iki yakın-halka, S N nin bir alt yakın-halkası ve f : N M yakın-halka monomorfizması olsun. Bu taktirde f( S ), M nin bir alt yakın-halkasıdır. İspat: f bir yakın-halka monomorfizması olduğundan Önerme.4.. den f( S ), M nin bir alt yakın-halkasıdır. Aynı zamanda f monomorfizma olduğundan, y f ( S) 0 için, y f ( x) yakın-halka olduğundan, olacak şekilde 0 bs vardır. olacak şekilde x S 0 b bxb, f ( b) f ( S) 0 f ( b) f ( bxb) f ( b) f ( x) f ( b) olup f( S ), M nin bir alt yakın-halkasıdır. vardır. S bir alt Önerme 5.9. NM, iki yakın-halka, f : N M bir yakın-halka izomorfizması ve K, M nin bir alt yakın-halkası olsun. Bu taktirde f ( K), N nin bir alt yakın-halkasıdır. İspat: f bir yakın-halka izomorfizması olduğundan Önerme.4.. den f ( K) N nin bir alt yakın-halkasıdır. Aynı zamanda, y f ( K) için f ( y) K dır. K bir alt yakın-halka olduğundan, f ( y) bf ( y) b olacak şekilde b K vardır. Aynı zamanda f örten olduğundan f ( a) b olacak şekilde a f ( K) vardır. Buradan, f ( y) f ( a) f ( y) f ( a) f ( aya) olup f bire-bir olduğundan, y aya olacak şekilde, N nin bir alt yakınhalkasıdır. a f ( K) vardır. Dolayısıyla f ( K) Önerme 5.0. NM, iki yakın-halka, f : N M bir yakın-halka izomorfizması ve 33
K, M nin bir alt yakın-halkası olsun. Bu taktirde f ( K), N nin bir alt yakın-halkasıdır. İspat: f bir yakın-halka izomorfizması olduğundan Önerme.4.. den f ( K) N nin bir alt yakın-halkasıdır. Aynı zamanda y f ( K) 0 için f ( y) K 0 olacak şekilde f ( a) 0 f izomorfizma olduğundan, dır. K bir alt yakın-halka olduğundan, b bf ( y) b bk vardır. Aynı zamanda f bire-bir ve örten olduğundan b olacak şekilde a f ( K) 0 vardır. Buradan, f ( a) f ( a) f ( y) f ( a) f ( aya) olup f bire-bir olduğundan, olacak şekilde, N nin bir alt yakınhalkasıdır. a aya a f ( K) 0 vardır. Dolayısıyla f ( K) Önerme 5.. Bir sağ değişmeli yakın-halkanın sıfır-simetrik kısmı, bir alt yakın-halkadır. İspat: N bir sağ değişmeli yakın-halka olsun. Örnek.3.. den N 0, N nin bir alt yakın-halkasıdır. N bir yakın-halka olduğundan a N0 için, a xax olacak şekilde x N vardır. N sağ değişmeli olduğundan, a0 ( xax)0 x( ax0) x( a0 x) x0x x0 0 olup x N0 bulunur. Dolayısıyla N 0, N nin bir alt yakın-halkasıdır. Önerme 5.. Sabit kısmı sıfırdan farklı olan bir sağ değişmeli yakın-halkanın sabit kısmı, bir alt yakın-halkadır. İspat: N sabit kısmı sıfırdan farklı olan bir sağ değişmeli yakın-halka olsun. Örnek.3.. den olduğundan N c, N nin alt yakın-halkasıdır. N bir 0 a N c için, x xax yakın-halka 34
olacak şekilde 0 xn vardır. N sağ değişmeli olduğundan, x0 ( xax)0 x( ax0) x( a0 x) xax x olup x Nc bulunur. Dolayısıyla c N, N nin bir alt yakın-halkasıdır. Teorem 5.3. N bir sol (sağ) değişmeli yakın-halka olsun. Bu taktirde; a) Eğer N P ( P ) yakın-halka ise N regülerdir. ' b) Eğer N P (, ) ( P (,) ) yakın-halka ise N regülerdir. c) Eğer N P(, m ), m ( Pr (,), r ) yakın-halka ise N regülerdir. İspat: N bir yakın-halka olduğundan a N için, olacak şekilde x N vardır. a xax a) N bir sol (sağ) değişmeli P ( P ) yakın-halka olduğundan, ' olup, a xax ax an ana ( a ax aya ( a xax x a Na ana ) a x a aya ) olacak şekilde y N vardır. Dolayısıyla N regülerdir. b) N bir sol (sağ) değişmeli P (,) ( P (,) ) yakın-halka olduğundan, olup, a xax ax an Na ( a xax x a Na a N ) a ax ya yaa aya ( olacak şekilde y N vardır. Dolayısıyla N regülerdir. a x a a y aay aya ) c) N bir sol (sağ) değişmeli P(, m ), m ( Pr (,), r ) yakın-halka olduğundan, olup, a xax ax an Na Na m ( a xax x a Na a r N a N ) dır. Buradan, a Na ( a na naa ana ( a a N ) a a n aan ana ) olacak şekilde n N vardır. Dolayısıyla N regülerdir. 35
Teorem 5.4. N bir regüler yakın-halka olsun. Eğer N değişmeli ise bir P( r, m ), ( r, m Z ) yakın-halkadır. İspat: N bir regüler ve değişmeli yakın-halka olsun. Öncelikle r edildiğinde a N için Na m durumu kabul r r a N eşitliği için tümevarım yöntemi kullanılırsa, r olsun. N regüler olduğundan a aba olacak şekilde b N vardır. Buradan, n N için, an ( aba) n a( ban) abna Na olup, dır. Aynı zamanda, olup, dır. Dolayısıyla, an Na na n( aba) ( nab) a anba an Na Na an an elde edilir. r k için Na k k a N eşitliği sağlansın. k x a N için, k x a n olacak şekilde n N vardır. N değişmeli olduğundan, olup, x a n a an a n a n a a n a Na k k k k k k a N Na k k dir. Aynı zamanda, Buradan, k x Na için, x k na olacak şekilde n N vardır. olup, dir. Dolayısıyla, x n a n a a a n a a an a n a N k k k k k k k k Na a N elde edilir. Sonuç olarak, k k Na a N Na r r a N 36
olur ki r m için N bir P( r, m ) yakın-halkadır. Şimdi m r olarak alınsın. Buradan m r k, k Z vardır. şekilde n N vardır. r x a N olsun. Bu taktirde x r a n olacak x a n a an a na na a na ( an a) na n aa nn a Bu şekilde devam edilirse, olup, r r r r r r r nn a a nn aa nn ( an a) a nn ( n aa) a nn a r r r r r x nn a n a Na k rk ' m m r a N Na m elde edilir. Aynı zamanda, n N vardır. m x Na olsun. Bu taktirde x m na olacak şekilde olup, x na na na a na a n a Na m rk r k k r ' r r elde edilir. Dolayısıyla, Na r m a N Na r m a N olur ki m r için N bir P( r, m ) yakın-halkadır. Şimdi r m olarak alınsın. Buradan r m k, k Z vardır. şekilde n N vardır. m x Na olsun. Bu taktirde x m na olacak x na na a na a a na a n( an a) a n( n aa) m m m m m m a ( nn a ) a na n a a nn a ann a ( an a) nn Bu şekilde devam edilirse, m m m m m a a n nn a nn n a nn n a nn m m m m olup, x a nn a nn a N mk k r k r Na m r a N elde edilir. Diğer yandan r x a N için x r a n olacak şekilde n N vardır. olup, x a n a n a a n a na Na r km k m k m m 37
elde edilir. Dolayısıyla, r a N Na m olur ki r r a N Na m için N bir P( r, m ) yakın-halkadır. m Sonuç 5.5. N bir sol (sağ) değişmeli yakın-halka olsun. Bu taktirde; a) Eğer N sağ (sol) değişmeli P ( P ) yakın-halka ise N bir P( r, m ) yakınhalkadır. ' b) Eğer N sağ (sol) değişmeli P (, ) ( P (,) ) yakın-halka ise N bir P( r, m ) yakın-halkadır. c) Eğer N sağ (sol) değişmeli P(, m ), m ( Pr (,), r ) yakın-halka ise N P( r, m ) yakın-halkadır. Önerme 5.6. N değişmeli bir yakın-halka olsun. Bu taktirde N bir P( r, r ), ( r ) yakın-halkadır. İspat: a N elemanı alınsın. r x a N, ( ) x r a n r için, olacak şekilde n N vardır. N değişmeli olduğundan, olup, x a n a an a na na a na Na r r r r r r r a N Na r dir. r x Na, ( ) r olsun. Bu taktirde, x na olacak şekilde n N vardır. N değişmeli olduğundan, r olup, dir. Buradan, r a N r r r r r r x na na a a na a an a n a N Na r r a N r Na elde edilir. Dolayısıyla, N bir (, ) P r r, ( r ) yakınhalkadır. Önerme 5.7. N sağ değişmeli bir yakın-halka olsun. Bu taktirde N bir S 38
yakın-halkadır. İspat: N bir yakın-halka olduğundan a N için, a xax olacak şekilde x N vardır. N sağ değişmeli olduğundan, a xax x a Na dır. Buradan, a Na olup N bir S yakın-halkadır. 39
SONUÇ Halkaların bir genellemesi olan yakın-halkalarda regülerlik kavramına alternatif olarak verilen ve yakın-halka kavramları çalışılmıştır. N bir regüler yakınhalka olsun. Bu durumda N bir yakın-halkadır fakat yakın-halka olması için sağ değişmeli olma şartı vardır. Orijinal olan beşinci bölümde ilk olarak alt yakın-halka kavramı tanıtıldı. Ayrıca ve alt yakın-halkaların homomorfizm altında çeşitli özellikleri elde edildi. Aynı zamanda bir yakın-halkanın sıfır-simetrik kısmının bir alt yakın-halka, sabit kısmı sıfırdan farklı bir yakın-halkanın sabit kısmının bir alt yakın-halka olduğu gösterildi. Ayrıca bir yakın-halkanın diğer yakın-halka çeşitleri ile ilişkileri hakkında çeşitli sonuçlar elde edildi. 40
KAYNAKLAR. Beidleman, J., Strictly Prime Distributively Generated Near-rings, Math. Z., 00, 97-05, 967.. Clay, J. R., Near-rings Geneses and Applications, Oxford, New York, Tokyo, 99. 3. Dickson, L. E., Definitions of a Group and a Field by Independent Pos tulates, Trans. Amer. Math. Soc., 6, 98-04, 905. 4. Lajos, S., Szasz, F., Bi-ideals in Associative rings, Acta Sci. Math., 3, 85-93, 97. 5. Le Roux, H. J., A Note on Prime and Semiprime Bi-ideals, Kyungpook Math. J., 35, 43-47, 995. 6. Nandakumar, P., Bi-regular Near-rings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 33, 49-496, 009. 7. Pilz, G., Near-rings, nd ed., Amsterdam, New York, Oxford, North-Holland, 983. 8. Szasz, F., On Minimal Bi-ideals of rings, Acta Sci. Math.,3, 333-336, 97. 9. Tamizh Chelvam, T., Ganesan, N., On Bi-ideals of Near-rings, Indian J. Pure and Appl. Math., 8(), 00-005, 987. 0. Tamizh Chelvam, T., Ganesan, N., On minimal Bi-ideals of Near-rings, Journal of Indian Math. Soc., 53, 6-66, 988.. Tamizh Chelvam, T., Jayalakshmi, S., Generalized (m,n) Bi- ideals of a Nearring, Proc. Indian Acad. Sci., (4), 479-483, 00.. Uma, S., Balakrishnan, R., Tamizh Chelvam, T., α, α Near-rings, International Journal of Algebra, 4(), 7-79, 00. 4
ÖZGEÇMİŞ 987 yılında Ankara'da doğan Esra Pınar Akkaymak ilk öğrenimini Çorum Albayrak İlköğretim Okulu'nda, lise öğrenimini Çorum Atatürk Lisesi'nde tamamlamıştır. 005 yılında Ondokuz Mayıs Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü'nü kazanmıştır. Temmuz 009'da buradan mezun olmuştur. Şubat 00'da Bozok Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim dalı Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı'nda yüksek lisans yapmaya başlamıştır.halen tez aşamasında olup çalışmalarına devam etmektedir. İletişim Bilgileri Adres: Kırkkonaklar Mah. 338. Sok. Altın Apt. 5/6 Çankaya / ANKARA Telefon : (54) 4 04 06 E-posta : epakkaymak@gmail.com 4