GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY The Effcency Of Groups And Semgroups * Özer CAN Matematk Ana Blm Dalı Blal VATANSEVER Matematk Ana Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada öncelkle gruplarda, yarıgruplarda, monodlerde etknlk problemnn tarhçesnden bahsedld. Ayrıca Monogenc Monodlern drek çarpımlarının etknlğ le lgl çalışmalar araştırmacıların kolaylıkla erşebleceğ br kaynak derlemes olarak tasnf edld. Anahtar Kelmeler: Grup, yarıgrup ve monod takdmler, etknlkler, monogenc monodlern drek çarpımı ve etknlğ. ABSTRACT In ths study, frstly, hstory of the problem of groups effcency, semgroups effcency and monods effcency are gven. Moreover, related works about effcency of drect products of monogenc monods were organzed as a source collecton that the nvestgators can easly reach. Key Words: Groups, semgroups and monods presentatons, ther effcences, drect products of monogenc monods, ther effcences. Grş Grup ve Yarıgrup takdmler uzun br süredr çalışılan konulardır. Bu çalışmalar lk başlarda grupların defcency sn ncelemek şeklnde başlamıştır. Daha sonraları grupların effcency s ncelenmeye başlandı ve bu konularla lgl öneml sayıda makale yayınlandı. Yarıgruplarla lgl çalışmalar 1990 yılında E. F. Robertson ve Y. Ünlü nün de gelştrdğ ve Todd-Coxeter algortması benzer br blgsayar programı sayesnde daha hızlanmış ve bu yıldan tbaren bu konuda yayınlanan araştırmalarda büyük br artış olmuştur. Son yıllarda H. Ayık ve dğerler grupların etknlğ le yarıgrupların etknlğ arasındak lşky, grupların etknlğ le monodlern etknlğ arasındak lşky ve yarıgrupların etknlğ le monodlern etknlğ arasındak lşky ncelemşlerdr. Bu çalışmada öncelkle gruplarda, yarıgruplarda, monodlerde etknlk problemnn tarhçesnden bahsedld. Ayrıca Monogenc Monodlern drek çarpımlarının etknlğ le lgl çalışmalar araştırmacıların kolaylıkla erşebleceğ br kaynak derlemes olarak tasnf edld. Yüksek Lsans Tez MSc Thess 1
Tanım 1: S boştan farklı br küme olsun. S S den S ye tanımlı br fonksyona kl şlem denr ve bu şlem x, y S çn xy. şeklnde gösterlr. xy. yerne xy yazılablr.., S üzernde kl şlem se ( S,. klsne br grupod denr. Tanım : ( G,. kls br grupod olsun. Eğer a, b, c G çn a bc se G,. klsne br yarıgrup denr. ab c (Brleşme özellğ Tanım 3: S br yarıgrup olsun. mevcut se S ye monod denr. s S çn 1 s s1 s olacak şeklde 1 S Tanım 4: M br monod olsun. m M çn mm m m 1 olacak şeklde m M var se M ye br grup denr. Tanım 5: Eğer br S yarıgrubunun brm elemanı yoksa S ye 1 ( S göstereceğmz br brm eleman ekleneblr. O halde her s S çn s s1 s 1.1 1 olarak tanımlanırsa S 1 brm eleman 1 le br yarıgrup olur. 1 S, 1 S S S 1, yoksa 1 olarak tanımlanır. S e eğer gerekl se S ye br brm eleman eklenerek elde edlen yarı grup denr. Tanım 6: S ve T k yarıgrup olsun. kartezyen çarpımı le 1 ve s, s S ve t, t T olmak üzere S T s, t s, t ss, tt şeklnde tanımlı çarpma şlem le br yarıgruptur. Bu yarıgruba S ve T nn drek çarpımı da denr.
Tanım 7: S br yarıgrup R de S de br bağıntı yan x, y, a S çn se R ye sol uyumlu, se R ye sağ uyumlu denr. Her x, y R ax, ay R x, y R xa, ya R 1 a, b S çn x, y R axb, ayb R R S S olsun. Eğer her se R ye uyumlu denr. Sol uyumlu br denklk bağıntısına sol kongrüans, sağ uyumlu br denklk bağıntısına sağ kongrüans, uyumlu br denklk bağıntısına da kongrüans denr. Tanım 8: S br yarıgrup olsun. S nn tek elemanlı br monogenc yarıgrup denr. S a yazılır. A a doğurayı varsa S ye S a monogenc br yarıgrup olsun. Eğer her j çn a se S sonsuz olup S ye serbest monogenc yarıgrup denr. Serbest monogenc yarıgrup, yarıgrubuna zomorfktr. Tanım 9: Sonlu AR grup takdm, sonlu br G grubunu tanımlıyorsa, ( R A rank( H ( G olduğu [Rotman, 1967] de Sonuç 10.17 den blnmektedr. Eğer sonlu br G grubu R A rank( H ( G olacak şeklde br grup takdmne sahp se G grubuna etkndr denr. AR takdmne de etkn grup takdm denr. Buna ek olarak Steve Prde tarafından M sonlu monodnn sonlu monod takdm çn olduğu gösterld. ( R A rank( H ( M a AR j 3
Tanım 10: P A R sonlu takdm, sonlu br G grubu (mond çn br yarıgrup takdm olsun. Eğer olarak düşünüldüğünde etkndr denr. def ( P rank( H ( G se G grubu (monod yarıgrup Teorem 1: M m r a a m a m, r 1 ve (1 n olmak üzere monogenc monodler olsun. Eğer M M1... Mn se o takdrde def M ( M n( n 1 / dr. Monogenc Monodlern Drek Çarpımlarının Etknlğ Aşağıdak Lemma [Squer, 1987] de tanımlanan Squer resoluton un br sonucudur. Lemma 1: S br monod (yarıgrup olsun ve AR de S nn br takdm olsun. Eğer G, AR gb br grup takdm le tanımlıysa ve G, G nn türetlmş alt grubu se o takdrde H1( S H1( G G G dr. [Guba, Prde, 1998] sayfa 395 de belrtldğ gb S ve T gb k monodnn br drek çarpımının homolojs çn Künneth ( Künneth formülü çn bak. [Hlton and Stammbach, 1997], TheoremVI.15. formülünden; H ( S T H ( S H ( T ( H ( S H ( T (1 1 1 Dkkat edlrse üsttek formülün sonlu monodler çn de doğru olduğu Squer resoluton önermesn kullanarak gösterleblr. Yukarıdak formül brmler olmayan k yarıgrubunun br drek çarpımı çn elde edlemez. (bak. [Ayık, Campbell, O connor, Ruskuc (000a] C r elemanlı devrsel grubu temsl etsn. O zaman açıkça görülür k br, r r perodlu M monod çn H( M C1 ve H ( 1 M Cr dr. Şmd ndex m 1 ve perodu r 1 (1 n olan M monogenc monodlern düşünelm. Daha sonra n üzernde tümevarım kullanarak H( M1... M n y bulalım. r ve s gb herhang k tamsayının en büyük ortak bölen ( rs, le gösterlsn. n çn, (1 den ve Lemma 1 den ; 4
H ( M M Cr Cr C r r ve H1( M1 M Cr Cr 1 1 ( 1, 1 dr. N M1... Mn 1 çn varsayalım k H ( N C... C C... C olsun. ( r1, r ( r1, rn 1 ( r, r3 ( rn, rn 1 1 j ( M M1... Mn olsun. Lemma 1 den C ( r, rj H1( N C 1 H ( M H ( N H ( M (( C C r n r rn 1 C ( ( C C ( r, rj r rn 1 j ( 1 C ( C C olduğu çn, (1 den;, ( r, rj ( r, rn ( r, rj 1 j ( 1 1 j n ve dolayısıyla rank ( H( M rank ( H( M1... Mn n( n 1 / dr. Eğer bazı r ve r j çn ( r, rj 1 se o takdrde rank( H( M n( n 1 / dr. Dahası eğer ( r1, r, r3 1 veya denk olarak (( r1, r,( r1, r3 1 dersek o zaman C( r1, r C( r1, r3 C dr öyle k rank( H ( r1, r ( r1, r3 ( M n( n 1 / dr. Yne n üzernde tümevarımdan eğer ( r1, r,..., rn 1 se o zaman rank( H ( M n( n 1 / ( r, r,..., r d 1 se o takdrde C d her br ( r, r dr. Fakat eğer 1 n j C 1 j n d, H ( M nn br alt rank( H ( M n( n 1 / dr. Bu yüzden Teorem 1 den C nn br alt grubu olduğu çn, grubudur ve faydalanarak aşağıdak sonuçları elde ederz: 5
Teorem : m 1 ndexl ve r 1 perodlu (1 n M ( m, r monogenc monodlernn drek çarpımı etkndr ancak ve ancak perodlarının en büyük ortak bölen 1 değlse yan ( r1, r,..., rn 1 se. Sonuç 1 M ndex m ve perodu r olan br monogenc monod olsun.o zaman herhang br n çn M nn n kopyasının drek çarpımı etkndr. KAYNAKLAR AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O CONNOR, J.J., RUSKUC, N., 000a. Mnmal Presentatons and Effcency of Semgroups. Semgroup Forum, 60,No., 31-4s. AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O CONNOR, J.J., RUSKUC, N., 000b. The Semgroup Effcency of Groups and Monods. Math. Proc. R. Ir. Acad., 100A, No., 171-176s. AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O CONNOR, J.J., RUSKUC, N., 000c. On the effcency of fnte smple semgroups. Turksh Journal of Mathematcs, 4, No., 19-146s. AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O CONNOR, J.J., RUSKUC, N., 000d. On the effcency of wreath products of fnte groups. Groups- Korea `98 (Pusan, de Gruyter, Berln, 39-51s. AYIK, H., MİNİSKER, M. and VATANSEVER, B., 005. Mnmal Presentatons and Embeddng nto Ineffcent Semgroups. Algebra Colloquum, 1, 59-65s. BAİK, Y.G., and PRİDE, S.J., 1997. On the effcency of Coxeter Groups. Bull. London Mat. Soc. 9,No1, 3-36s. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., RUSKUC, N., and THOMAS, R.M. and UNLU, Y., 1995. Certan one relator products of semgroups. Communcatons n Algebra, 3, (14: 507-519s. ROBERTSON, E.F., and UNLU, Y., 199. On semgroup presentatons. Proc. of Ednburgh Soc., 36: 55-68s. 6