Trigonometrik Fonksiyonlar Z Z P P ω µ P O α α = yatay açı P P ω = düşey açı µ =eğim açısı ω + µ = 100 g Şekil 9 üç Boyutlu koordinat sisteminde açı tiplerinin tasviri. Trigonometrik kavramlara geçmeden önce temel bazı bilgilerin bilinmesi gereklidir. ön: Başlangıç doğrultusuna göre açı sapmasıdır. Açı: açı ikiye ayrılır. atay ve Düşey açı. Birbirini kesen iki yüzey ya da aynı noktadan çıkan iki yarım doğrunun oluşturduğu geometrik biçime açı denir (Şekil 10). Z d1 : düşey düzlem d2 : düşey düzlem y1 : yatay düzlem β : düzlemler arasında kalan açı d1 d2 β Şekil 10 Açı kavramının tasviri. KAMAN MO y1 30
atay açı: Z. atay açı, yeryüzündeki iki noktanın yatay düzleminde ki iz düşümleri ile oluşan iki düşey düzlem arasında kalan kısım bize yatay açıyı verir (Şekil 11). β 1 ve β 2 yatay açı β = β 1 - β 2 β 1 β β 2 Şekil 11 atay düzlem üzerindeki iki noktanın oluşturduğu izdüşümü düzlemleri arasındaki yatay açı tasviri. Dikkat edilmesi gereken yatay açı, yatay düzlemi üzerinde oluşan açıdır. Unutulmaması gereken, yatay düzlemde yatay açı, ekseninden eksenine doğru artar (Şekil 11 β1 ve β2 açıları). Z atay Düzlem Şekil 12 Üç boyutlu koordinat sisteminde - yatay düzlemi tasviri. KAMAN MO 31
Düşey Doğrultu: Çekül doğrultusuna paralel olan doğrultudur. Aynı zamanda yerçekimi doğrultusudur. Bir noktadan, bir adet düşey doğrultu geçer. Şekil 13 da Z ekseni düşey doğrultu yani çekül doğrultusudur. Şekil 13 atay Doğrultu: Düşey doğrultuya dik olan doğrultudur. Bir noktadan sonsuz adet yatay doğrultu geçer. Şekil 9 da ve ekseni birbirine dik birer yatay düzlemdir. ve eksenlerinin oluşturduğu düzleme yatay düzlem denir (Şekil 10). Haritaların oluşturulması için yapılan ölçümlerde kullanılan ölçüm aletlerinde, yatay düzlemini oluşturmak için gerekli düzeçler bulunur. Düşey Açı: Şekil 14 de ω açısı ile gösterilen açı düşey açıdır. eryüzündeki bir noktanın (P noktası), başlangıç noktası (O noktası) ile oluşturduğu doğrultunun, düşey doğrultu (Z ekseni) ile arasında kalan kısmına denir. KAMAN MO 32
Z ZP P ω O α P P P Şekil 14 Üç boyutlu koordinat eksenlerinde düşey açının tasviri. Düşey açı değeri, Z (düşey eksen) ekseninden başlar, düşey açı değeri ölçülecek olan detay noktası (Şekil 14 P noktası) ile 3 boyutlu sistemin başlangıç noktası (Şekil 14 O başlangıç noktası) arasında oluşan doğrultuya kadardır. Eğer nokta Z ekseni üzerinde ise düşey açı değeri 0 g, eğer nokta yatay düzlemi üzerinde ise 100 g dır. KAMAN MO 33
Eğim Açısı: Eğim açısı, bir noktanın (Şekil 15 P noktası) başlangıç noktasıyla (Şekil 15 O başlangıç noktası) arasında oluşan doğrunun yatay düzlem ile yaptığı açıdır. Eğim açısı ile düşey açı toplamı 100g dır. Z Z P P ω µ P O α α = yatay açı P P ω = düşey açı µ =eğim açısı ω + µ = 100 g Şekil 15 Üç boyutlu koordinat sisteminde eğim açısının tasviri. KAMAN MO 34
Düşey Düzlem ω Düşey açı, 100g dan büyükse, eğim açısı negatif değer alır. atay Düzlem 2 Şekil 15 de eğim açısı ve düşey açının, ölçüm anındaki tasviri vardır. Bu tasvire göre, ölçüm aletinde gerekli düzeçler (küresel ve silindirik düzeçler) düzeçlendikten sonra ölçüm aletinde yatay düzlem ( düzlemi) ve yatay düzleme dik düşen ve O başlangıç noktasında yatay düzlemle kesişen düşey düzlem (Z ekseni) oluşur. Ölçüm işlemi yapılırken ölçüm aletinden çıkacak olan hedef doğrultusu ile düşey eksen arasında kalan düşey açı (Şekil 15 e göre ω açısı) ve hedef doğrultusu ile yatay düzlem arasında kalan açı olan eğim açısı (Şekil 15 e göre µ açısı) oluşur. Eğim açısı ve düşey açı koordinatları belirlenecek olan noktaların yükseklik değerlerinin hesaplanmasında kullanılır. KAMAN MO 35
Şekil 16 Eğim ve düşey açının ölçüm esnasında ki görünümü. Eğim: Doğrunun, yatay düzlemden olan ayrılma derecesidir. Eğim, bir doğrunun izdüşümü ile yaptığı açının tanjant değeridir. Şekil 16 de eğimin tasviri yapılmıştır. Eğim = PP OP = tan (μ) KAMAN MO 36
Z Z P P ω µ O α P P P ω = düşey açı µ =eğim açısı ω + µ = 100 g Şekil 17 μ eğim açısı KAMAN MO 37
Eğimin Gösterimine Örnekler % 40 Eğim 2 % 40 eğimin bir diğer anlamı 100 m. Gidildiğinde, yatay düzlemden 40 m. yükselecek. atay düzlemden yükseleceğini eğim değerinin + (pozitif), olmasından kaynaklanmaktadır. µ 40 m. 1 100 m. Verilen eğime göre, 1 nolu noktadan 2 nolu noktaya gidilirken %40 eğime göre hareket edileceği düşünüldüğünde 100 m. gidildiğinde 1 nolu noktadaki yatay düzlemden itibaren 40 m. yükseklik artacak. Doğru orantı kurulursa 10 m. gidildiğinde +4 m. yatay düzlemden yükselecek. Eğer 1 nolu noktadan 2 nolu noktaya doğru 5 m. gidildiğinde 5. metrede 1 nolu noktadaki yatay düzlemin yüksekliğinden 2 m. daha yüksekte olması lazım. - % 20 Eğim - % 20 eğimin bir diğer anlamı 100 m. gidildiğinde, yatay düzlemden 20 m. alçalacağı. atay düzlemden alçalacağını eğim değerinin - (negatif), olmasından kaynaklanmaktadır. 3 µ 100 m. 20 m. 4 Verilen eğime göre, 3 nolu noktadan 4 nolu noktaya gidilirken - %20 eğime göre hareket edileceği düşünüldüğünde 100 m. gidildiğinde 3 nolu noktadaki yatay düzlemden itibaren 20 m. yükseklik azalacak. Doğru orantı kurulursa 10 m. gidildiğinde -2 m. yatay düzlemden alçalacak. Eğer 3 nolu noktadan 4 nolu noktaya doğru yatayda 5 m. gidildiğinde 5. metrede 3 nolu noktadaki yatay düzlemin yüksekliğinden 1 m. daha alçakta olması lazım. KAMAN MO 38
Eğim değeri açı değeri olarak da verilebilir. O takdirde arazide uygulamasını yapabilmek için başlangıç değeri ile gidilecek mesafeye göre tanjant fonksiyonu kullanılarak olması gereken yükseklik değeri belirlenebilir. 12 Eğim değeri = 8 g 6 µ = 8 g Şekil 18 Açı değeri ile eğimin verilmesi Şekil 18 de eğim değeri açı ile verilmiştir. Örneği ele alırsak 6 numaralı noktadan 12 numaralı noktaya doğru 10 m. gidildiğinde: pozitiftir. tan(8 g ) =? 10? = 10 tan(8g ) = 1.26 m. ukarı çıkılmaktadır. Çünkü eğim açısı 12? 6 µ = 8 g 10 m. Verilen örnekler güncel haritacılık uygulamalarında kullanılmaktadır. Özellikle karayolları uygulamalarında yapılacak yol için verilen eğime göre, yol olması düşünülen alanın ne kadar malzeme dökülmesi (ne kadar yükseltilmesi) gerektiği veya yolda ne kadar kazı yapılması gerektiğinin (mevcut alanın yüksekliğinin düşürülmesi) belirlenmesinde kullanılmaktadır. Aynı mantıkta bir arazi veya arsa parçasının belirli bir tesviye yüzeyine getirilmesi (Örneğin KAMAN MO 39
bir stadyum olarak belirlenmiş olan alanın her noktasının aynı yüksekliğe getirilmesi) gibi bir çok uygulamada kullanılan bir metottur. Açı kavramı ve açı tipleri incelenmiş bundan sonraki konularda ise açıyı kullanan fonksiyonlar, fonksiyonların koordinat sistemindeki durumları anlatılacaktır. Konuların anlatımında ezberden kaçınmak için görsel şekiller ile anlatıma gidilecektir. Konuları daha iyi anlayabilmek için, konu tekrarlarında şekillerin okuyucu tarafından çizilerek çalışılması yararlı olacaktır. Şekil 19 da geometride tanımlanan 2 boyutlu koordinat sisteminin tasviri yapılmaktadır. Önceki konularda bahsedildiği gibi, yatay düzleminde yatay açı ekseninden başlayıp, eksenine doğru artmaktadır. Açı artış yönüne göre birim daire içindeki açı bölgeleri belirlenmiştir. Şekil 19 da bu bölgeler: 0 g 100 g I. Bölge, 100 g 200 g II. Bölge, 200 g 300 g III. Bölge, 300 g 400 g IV. Bölge olarak tasvir edilmiştir. Şekil 19 Geometride kullanılan - Koordinat Sistemi tasviri KAMAN MO 40
Şekil 20 da yatay ve düşey açı ölçümlerinde kullanılan TEODOLİT tasviri bulunmaktadır. Bu tasvirde teodolit yatayda ve düşeyde düzeçlendiği kabul edilmektedir. Şekil 19 a göre düzeçlenen teodolitde: S ekseni: Düşey ekseni. Z ekseni ile çakışır. K ekseni: atay Eksen. yatay düzleminin geçtiği eksendir. Z ekseni: Doğrultu ekseni. Dürbün ile hedeflenen noktaya olan doğrultudur. S ve K ekseni arasında diklik şartı vardır. S K Teodolit, S ekseni etrafında döndüğünde yatay açı değeri değişir. Teodolitin dürbünü, K ekseni etrafında döndüğünde, düşey açı değeri değişir. Harita yapımı için yapılacak olan yatay ve düşey açı ölçümlerinde, ölçüm aletleri S ekseni etrafında saat yönünde döndüğünde yatay açı değeri artar. Doğrultu ekseni olan Z ekseni ile S ekseni çakışık durumda olduğunda düşey açı değeri 0 g (sıfır) olur ve dürbün K ekseni etrafında döndükçe düşey açı değeri artar. S ile Z ekseni dik olduklarında düşey açı değeri 100 g olur. Şekil 20 Teodolit (açı ölçüm cihazı) tasviri. KAMAN MO 41
Eğer teodolitin yatay ve düşey eksende düzeçlendiği kabul edilirse, K ekseninin ile yatay düzlemi kesişir, veya başka bir değişle yatay düzlemi sonsuz bir kağıt gibi K ekseninden geçer. Eğer yatay açı değeri, S ekseni (3 boyutlu koordinat sisteminde Z ekseni) etrafında saat yönünde dönünce artıyorsa, geometride kullanılan koordinat sistemi kullanılamaz. Çünkü geometrideki koordinat sisteminde açı artış yönü saatin tersi yönündedir. Bu sorunu çözmek için ile eksenlerinin yer değiştirilmesi yeterli olacaktır. Tek bilinmesi gereken açı artış yönü eksininden eksenine doğru olduğudur. Şekil 21 Harita yapımında kullanılan - koordinat sisteminin tasviri. Harita yapımında kullanılan - koordinat sistemi, geometride kullanı- 400 g 0 g lan koordinat sisteminden farklıdır. Apsis ile ordinat eksenleri birbirleri ile yer IV b α I a c değiştirmiş şekildedir. Bunun nedeni kullandığımız ölçüm aletlerin yatay açı ölçüm daireleri saat yönünde döndürül- 300 g III II 100 g düğünde açı değerleri artmaktadır. Açı değerleri de ekseninden eksenine doğru artan şekilde yön ile belirtildiğine göre, mesleğimize uygun şekilde eksen- 200 g ler Şekil 21 de görüldüğü gibi olmalıdır ve açıların bölgeleri de ekseninden eksenine doğru artışa yönüne göre be- Trigonometrik ifadeleri yukarıdaki şekli temel alarak incelersek: sin(α) = a c cos(α) = b c tan(α) = b c tan(α) = b c cosec(α) = c a sec(α) = c b tan(α) = 1 cot (α) sin2 (α) + cos 2 (α) = 1 KAMAN MO 42
Alttaki tabloda trigonometrik fonksiyonların grad açı biriminde çeşitli bölgelerdeki işaretleri gösterilmiştir. 200 g 300 g 400 g Trig. Fonk- 0 g 100 g - 200 g - 300 g - 100 g (I. (II. (III. (IV. Bölge) Bölge) Bölge) Bölge) sin + + - - cos + - - + tan + - + - cot + - + - siyon Trigonometrik bir fonksiyonun alacağı değerin pozitif veya negatif değer alacağı değerleri ezberlenmemelidir. apılması gereken trigonometrik fonksiyonların birim daire üzerindeki işlevlerini incelemek yeterli olacaktır. Şekil 21 incelendiğinde eksenini kosinüs, eksenini Sinüs trigonometrik fonksiyonu ile temsil etmektedir. Fonksiyonların 4 bölgede de gösterimi takip eden şekillerde gösterilecektir. KAMAN MO 43
Cosinüs ekseni Sin(α) α Cos(α) Sinüs Ekseni Şekil 22 Eksenlerin Gösterilmesi KAMAN MO 44
Şekil 23 ele alındığında 14 numaralı noktadan ve eksenlerine dikler inildiğinde ve eksenlerinin pozitif ekseni veya negatif ekseni dik kesip kesmediği belirlenirse, o takdirde trigonometrik fonksiyonun sonucunun negatif veya pozitif olacağı bulunabilir. Şekil 23 e göre 14 numaralı noktadan inilen dikler ekseninin ve ekseninin pozitif kısmını kestiği görülmektedir. O takdirde kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının geriye döndürdüğü değer pozitif olacaktır. 0 g α 100 g Sin(α) = 14 1 br = 14 Cos(α) = 14 1 br = 14 14 14 14 14 α 1 br 14 Şekil 23 Birinci Bölgede trigonometrik fonksiyon durumu. KAMAN MO 45
Şekil 24 de ikinci bölgeye denk gelen 16 numaralı noktadan ve eksenlerine dikler inildiğinden ekseni negatif kısmından kesilmektedir, bu yüzden kosinüs trigonometrik fonksiyonunun geriye döndürdüğü değer negatif olacaktır. ekseni ise pozitif kısmında kesilmektedir, sinüs fonksiyonunun geriye döndürdüğü değer pozitif olacaktır. 100 g α 200 Sin(α) = 16 1 br = 16 Cos(α) = 16 1 br = 16 14 α 16 16 1 br 16 16 16 Şekil 24 İkinci Bölgede trigonometrik fonksiyon durumu. KAMAN MO 46
Şekil 25 de üçüncü bölgeye denk gelen 19 numaralı noktadan ve eksenlerine dikler inildiğinden ekseni negatif kısmından kesilmektedir, bu yüzden kosinüs trigonometrik fonksiyonunun geriye döndürdüğü değer negatif olacaktır. ekseni ise negatif yönde kesilmektedir, sinüs fonksiyonunun geriye döndürdüğü değer negatif olacaktır. 200 g α 300 g Sin(α) = 19 1 br = 19 Cos(α) = 19 1 br = 19 14 19 19 1 br 19 α 19 19 19 16 Şekil 25 Üçüncü Bölgede trigonometrik fonksiyon durumu. KAMAN MO 47
Şekil 26 de dördüncü bölgeye denk gelen 20 numaralı noktadan ve eksenlerine dikler inildiğinden ekseni pozitif kısmından kesilmektedir, bu yüzden kosinüs trigonometrik fonksiyonunun geriye döndürdüğü değer pozitif olacaktır. ekseni ise negatif yönde kesilmektedir, sinüs fonksiyonunun geriye döndürdüğü değer negatif olacaktır. 300 g α 0 g Sin(α) = 20 1 br = 20 Cos(α) = 20 1 br = 20 20 20 20 14 20 1 br 20 α 19 16 Şekil 26 Dördüncü Bölgede trigonometrik fonksiyon durumu. Dördüncü bölgede dikkat edilirse, trigonometrik fonksiyonların alabileceği değer aralığı 300 g α 0 g en büyük değer 400 g değildir. Birim dairede bir tur atıldığında 399 g değerindeki açıdan sonra tekrar başlangıç açısı olan 0 g değerindeki açıya ulaşılır. KAMAN MO 48
Konunun devamında bazı trigonometrik fonksiyonların açı eşitlikleri vardır. π radyan birimindeki açı değerinin karşılığı olarak eşitliklerde kullanılmıştır. O r L: ay boyu β L r: yarıçap değeri r β = L r β radyan cinsinden değeri verecektir. Eğer yay boyu (L) değeri yarıçap değerine (r) eşit olursa açının radyan olarak değeri 1 R (1 radyan) olur. Birim daireyi ele aldığımızda Şekil 27 de ki gibi gözükmektedir. Gösterilen eşitliklerde, π yerine açı olarak 180 veya 200 g ve α değeri olarakda 0 α 180 veya 0 g α 200 g aralığındaki değerleri kullanarak denemeler yapabilir ve eşitlikleri sınayabilirsiniz. D 360 = R 2π = G 400 (2π) 0 r = 1 br. r 3π/2 r π/2 π Şekil 27 Radyan açı biriminin birim dairede gösterimi KAMAN MO 49
sin ( π + α) = cos(α) 2 cos ( π + α) = sin (α) 2 sin(π α) = sin(α) cos(π α) = cos(α) tan ( π + α) = cot(α) 2 tan (π α) = tan(α) cot (π α) = cot(α) cot ( π + α) = tan(α) 2 sin(π + α) = sin(α) sin(3π/2 α) = cos(α) cos(π + α) = cos(α) cos(3π/2 α) = sin(α) tan (π + α) = tan(α) tan (3π/2 α) = cot(α) cot (π + α) = cot(α) cot (3π/2 α) = tan(α) KAMAN MO 50
tan(α + β) = tanα tanβ 1 tanα tanβ sin(α + β) = sinα cosβ +cosα sinβ cot(α + β) = cotα cotβ 1 cotα + cotβ cos (α + β) = cosα cosβ sinα sinβ sin(α β) = sinα cosβ cosα sinβ tan(α β) = tan(α + β) = tanα tanβ 1 + tanα tanβ tanα tanβ 1 tanα tanβ cos (α β) = cosα cosβ +sinα sinβ sin(2α) = 2sin(α)cos(α) cot(α + β) = cotα cotβ 1 cotα + cotβ cos(2α) = cos (α) 2 sin (α) 2 tan(α β) = tanα tanβ 1 + tanα tanβ KAMAN MO 51