ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE Funda KAYMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR HAZİRAN 206

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE Funda KAYMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Ferdağ KAHRAMAN AKSOYAK KIRŞEHİR HAZİRAN 206

BİLİMSEL ETİK BİLDİRİMİ Yüksek lisans tezi olarak hazırladığım Öklid Uzayında Mannheim Eğrileri Üzerine adlı çalışmanın öneri aşamasından sonuçlanmasına kadar geçen süreçte bilimsel etiğe ve akademik kurallara özenle uyduğumu, tez içindeki tüm bilgileri bilimsel ahlak ve gelenek çerçevesinde elde ettiğimi, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu çalışmamda doğrudan veya dolaylı olarak yaptığım her alıntıya kaynak gösterdiğimi ve yararlandığım eserlerin kaynakçada gösterilenlerden oluştuğunu beyan ederim. Funda KAYMAZ iv

ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE (Yüksek Lisans Tezi) Funda KAYMAZ Ahi Evran Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Haziran 206 ÖZET Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmından oluşmaktadır İkinci bölümde Öklid uzayında eğriler teorisiyle ilgili temel tanım ve kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında Frenet çatısına göre Mannheim eğrilerinin ve Mannheim eğri çiftlerinin tanımları verilip, bu tip eğrilerin eğrilik ve torsiyonları yardımıyla çeşitli karakterizasyonlarına yer verilmiştir. Ayrıca bazı özel eğrilerin Mannheim eğri ve Mannheim eğri çifti olması durumları incelenmiştir. Dördüncü bölümde 4-boyutlu Öklid uzayında Frenet çatısına göre genelleştirilmiş Mannheim eğrilerinin ve Mannheim eğri çiftlerinin tanımları verilip, eğrilik fonksiyonları yardımıyla bu tip eğrilerin çeşitli karakterizasyonlarına yer verilmiştir. Anahtar kelimeler: Öklid uzayı, Mannheim eğrileri, Mannheim eğri çiftleri, Frenet çatısı, eğrilik fonksiyonları. Sayfa Adedi : 57 Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Ferdağ KAHRAMAN AKSOYAK v

NOTES ON MANNHEIM CURVES IN EUCLIDEAN SPACE (Master s Thesis) Funda KAYMAZ Ahi Evran University Institute of Science June 206 ABSTRACT This thesis consists of four chapters. In the first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, basic concepts and definitions about curves in the Euclidean space are introduced. In the third chapter, Mannheim curves and Mannheim partner curves according to Frenet frame in 3-dimensional Euclidean space are defined and the characterizations of such curves are given by means of their curvatures and torsions. Also some special curves which have Mannheim curves and Mannheim partner curves are investigated. In the fourth chapter, Generalized Mannheim curves and Mannheim partner curves according to Frenet frame in 4-dimensional Euclidean space are defined and the characterizations of such curves are given by means of their curvature functions. Key Words: Euclidean space, Mannheim curves, Mannheim partner curves, Frenet frame, curvature functions. Number of Pages: 57 Thesis Advisor: Yrd. Doç. Dr. Ferdağ KAHRAMAN AKSOYAK vi

TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanmasında bilgilerini benimle paylaşan değerli zamanını ayıran her aşamasında benden yardımlarını esirgemeyen yakın ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Ferdağ KAHRAMAN AKSOYAK a minnet ve şükranlarımı sunarım. Bilgi ve tecrübeleriyle bana destek olan sevgili hocalarım Prof. Dr. Levent KULA ve Yrd. Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYA ya teşekkür ederim. Değerli arkadaşım Büşra İŞERİ KOBAL a desteklerinden dolayı teşekkür ederim. Çalışmalarım sırasında birçok fedakârlıklar göstererek beni destekleyen ve çalışma süresince tüm zorlukları benimle göğüsleyen hayatımın her evresinde bana destek olan değerli aileme en derin duygularla teşekkür ederim. vii

İÇİNDEKİLER ÖZET...v ABSTRACT...vi TEŞEKKÜR..vii İÇİNDEKİLER viii SİMGELER VE KISALTMALAR..ix.GİRİŞ.... 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR.. 3 2.. ÖKLİD UZAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR. 3 3. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ VE MANNHEIM EĞRİ ÇİFTLERİ.8 3.. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ.. 8 3... 3-Boyutlu Öklid Uzayında Mannheim Eğrilerine Örnekler..0 3..2. 3-Boyutlu Öklid Uzayında Bazı Özel Eğriler ve Mannheim Eğrileri 3.2. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİ ÇİFTLERİ..4 3.2.. 3-Boyutlu Öklid Uzayında Bazı Özel Eğriler ve Mannheim Eğri Çiftleri.23 4. 4-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA GENELLEŞTİRİLMİŞ MANNHEIM EĞRİLERİ... 27 4.. E 4 TE GENELLEŞTİRİLMİŞ MANNHEIM EĞRİLERİ. 28 4... Genelleştirilmiş Mannheim Eğrilerine Örnek.. 5 KAYNAKÇA.56 ÖZGEÇMİŞ..57 viii

SİMGELER VE KISALTMALAR IR : Reel Sayılar Cümlesi E n : n-boyutlu Öklid uzayı E 3 : 3-boyutlu Öklid uzayı E 4 : 4-boyutlu Öklid uzayı : Öklid uzayında norm, : Öklid uzayında iç çarpım : Öklid uzayında vektörel çarpım : Eğrinin eğriliği τ : Eğrinin burulması ix

. GİRİŞ Diferensiyel geometride, en çok çalışılan konulardan biri de eğriler teorisidir. Eğriler teorisinde özellikle geodezikler, çemberler, genel helisler, slant helisler ve rektifiyan eğriler gibi özel eğriler çalışılmaktadır. Öklid uzayında en çok araştırılan problemlerden biri de regüler bir eğrinin karakterizasyonudur. Bu problemin çözümünde (eğrinin eğriliği) ve τ (eğrinin burulması) nun önemli bir rolü vardır. Eğrilerin eğrilikleri ve torsiyonları arasındaki ilişkilerden faydalanarak bazı özel eğriler belirlenebilir. Örneğin; = τ = 0 ise eğri bir geodeziktir. Eğer sıfırdan farklı bir sabit ve τ = 0 ise eğri bir çemberdir. Eğrilik ve torsiyonun her ikisi de sıfırdan farklı sabit ise eğri bir dairesel helistir. Eğer ve τ eğrilikleri sabit değil fakat τ = sbt ise eğri bir genel helistir. Eğer τ = as + b şeklinde sabitten farklı ve yay parametresine bağlı lineer bir fonksiyon şeklinde yazılabiliyorsa eğri bir rektifiyan eğridir. Ayrıca eğriliği sabit ve torsiyonu değişken olan eğriye Salkowski, eğriliği değişken ve torsiyonu sabit olan eğriye ise anti-salkowski eğri adı verilir. Bu şekilde 3- boyutlu Öklid uzayında eğrilik ve burulma fonksiyonları yardımıyla bazı özel eğrilerin karakterizasyonları mevcuttur. Eğriler teorisinde bir başka yaklaşım da iki eğrinin Frenet vektörleri arasındaki ilişkiyi ele alarak eğrilerin karakterizasyonlarını belirlemektir. Örneğin eğrisinin asli normal doğrultusu eğrisinin asli normal doğrultusu ile çakışır ise eğrisine Bertrand eğri, eğrisine ise eğrisinin Bertrand eğri çifti denir. Eğer iki eğrinin teğetleri birbirine dik ise bu eğrilere involute-evolute eğri çifti adı verilir. Eğer eğrisinin asli normal doğrultusu eğrisinin binormal doğrultusu ile çakışır ise eğrisine Mannheim eğri, eğrisine de eğrisinin Mannheim eğri çifti adı verilir. Bu çalışma, eğri çiftlerinin bir çeşidi olan Mannheim eğrileri ve çiftleriyle ilgilidir. Mannheim eğrileri ilk olarak 878 yılında Mannheim tarafından bulunmuştur []. 966 yılında 3-boyutlu Öklid uzayında Riccati denklemleri yardımıyla Mannheim eğrileri ile ilgili olarak bazı teoremler verildi [2]. Son yıllarda Liu ve Wang tarafından 3-boyutlu Öklid uzayında Mannheim eğri çiftleri ve bu eğri

çiftleriyle ilgili bağıntılar çalışıldı [3]. Daha sonraki yıllarda ise Matsuda ve Yorozu tarafından Mannheim eğrileri 4-boyutlu Öklid uzayına genelleştirildi [4]. Bu çalışmada ilk olarak [] ve [3] nolu çalışmalarda yer alan 3 boyutlu Öklid uzayındaki Mannheim eğrilerinin ve Mannheim eğri çiftlerinin karakterizasyonları verilecek ve bazı özel eğrilerin Mannheim eğrisi ve Mannheim eğri çifti olması durumları incelenecektir. Daha sonra [4] nolu çalışmada yer alan 4-boyutlu Öklid uzayındaki Genelleştirilmiş Mannheim eğrilerinin karakterizasyonlarına yer verilecektir. 2

2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR Bu bölümde eğriler teorisi ile ilgili temel tanım ve kavramlara yer verilecektir. 2.. ÖKLİD UZAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR Bu alt başlıkta, Öklid uzayında eğriler teorisi ile ilgili bazı temel tanım ve kavramlara yer verilecektir. Tanım 2... A boş olmayan bir cümle ve bir K cismi üzerindeki vektör uzayı V olsun. Aşağıdaki önermeleri doğrulayan bir f: A A V fonksiyonu varsa, A ya V ile birleştirilmiş afin uzay denir. i. P, Q, R A için f(p, Q) + f(q, R) = f(p, R) ii. P A ve α V için f(p, Q) = α olacak şekilde bir tek Q A noktası vardır [5]. Tanım 2..2. A bir reel afin uzay ve V ise A ile birleşen bir vektör uzayı olsun. V de; <, >: VXV IR n (x, y) < x, y > = x i y i { x i = (x, x 2,, x n ) i= y i = (y, y 2,, y n ) şeklinde bir iç çarpım tanımlanırsa, A afin uzayına Öklid uzayı denir. A = IR n (noktalar cümlesi) ve V = IR n (n boyutlu standart reel vektör uzayı) olarak seçilirse, A standart reel Öklid Uzayı adını alır ve E n ile gösterilir [5]. Tanım 2..3. d: E n xe n IR (x, y) d(x, y) = xy = (y i x i ) 2 n i= olarak tanımlanan d fonksiyonuna E n Öklid uzayında uzaklık fonksiyonu ve 3

d(x, y) reel sayısına da x, y E n noktaları arasındaki uzaklık denir [5]. Tanım 2..4. d E n xe n IR (x, y) d(x, y) = xy biçiminde tanımlanan d fonksiyonuna E n de Öklid metriği denir [5]. Tanım 2..5. n-boyutlu Öklid uzayında x E n için x vektörünün normu x = < x, x > biçiminde tanımlanır [5]. Tanım 2..6. I IR bir açık aralık olmak üzere (I, α) koordinat komşuluğu ile tanımlanan α I E n diferensiyellenebilen fonksiyona E n de bir eğri adı verilir. Burada I IR aralığına α eğrisinin parametre aralığı, s I değişkenine α eğrisinin parametresi denir [5]. Tanım 2..7. E n de bir M eğrisi (I, α) ve (J, β) gibi iki koordinat komşuluğu ile verilsin. h = α o β J I diferensiyellenebilir fonksiyonuna M nin bir parametre değişimi (M nin I daki parametresinin J deki parametre ile değişimi) denir [5]. Tanım 2..8. E n de bir M eğrisi (I, α) koordinat komşuluğu ile verilsin. α I E n fonksiyonunun Öklid koordinat fonksiyonları α, α 2,, α n olmak üzere α (s) = ( dα ds,, dα n ds ) dır. (α(s), α (s))εt E n(s) 4

teğet vektörüne M eğrisinin s I parametre değerine karşılık gelen α(s) noktasında (I, α) koordinat komşuluğuna göre hız vektörü denir [5]. Tanım 2..9. E n de bir M eğrisi (I, α) koordinat komşuluğu ile verilsin. α : I IR fonksiyonuna M eğrisinin (I, α) koordinat komşuluğuna göre skaler hız fonksiyonu ve α (s) reel sayısına da α(s) noktasındaki skaler hızı denir [5]. Tanım 2..0.Eğer α (s) = ise M eğrisine (I, α) koordinat komşuluğuna göre birim hızlı eğri, s I parametresine de yay parametresi denir [5]. Tanım 2... Her noktasındaki hız vektörü sıfırdan farklı olan eğriye (yani s I için α (s) 0 ) regüler eğri denir [5]. Tanım 2..2. E n de bir M eğrisi (I, α) koordinat komşuluğu ile verilsin. Bu durumda, Ψ = {α, α,, α (r) } sistemi lineer bağımsız ve α (k) Sp{Ψ}, k > r için; olmak üzere, α (k) Sp{Ψ} den elde edilen {e, e 2,, e r } ortonormal sistemine, M eğrisinin Serret-Frenet r-ayaklı alanı ve s M için {e (s), e 2 (s),, e r (s)} ye ise s M noktasındaki Serret-Frenet r-ayaklısı denir [5]. Tanım 2..3. E n de bir M eğrisi (I, α) koordinat komşuluğu ile verilsin. sεi yay parametresi olmak üzere α(s) noktasındaki Serret-Frenet r-ayaklısı {e (s), e 2 (s),, e r (s)} olsun. Buna göre k i I IR, i < r s k i (s) =< e i (s), e i+ (s) > şeklinde tanımlı k i fonksiyonuna M eğrisinin i-yinci eğrilik fonksiyonu ve sεi için k i (s) sayısına da α(s) noktasında M nin i-yinci eğriliği denir [5]. Teorem 2... E n de bir M eğrisi (I, α) koordinat komşuluğu ile verilsin. sεi yay parametresi olmak üzere, α(s) noktasındaki M nin i-yinci eğriliği ve Frenet r- ayaklısı {e (s), e 2 (s),, e r (s)} olmak üzere 5

i. e (s) = k (s) e 2 (s) ii. e i (s) = k i (s)e i (s) + k i (s)e i+ (s), < i < r iii. e r (s) = k r (s) e r (s) dir. n = 3 özel halinde, 3-boyutlu Öklid uzayında α(s) noktasında bir M eğrisinin Frenet 3-ayaklı alanı, T = α, N = α α, B = T N. Burada -inci eğrilik k (s) = (s) değerine sadece eğrilik, 2-nci eğrilik k 2 (s) = τ(s) değerine de burulma (torsiyon) denir. T, N ve B vektörlerine de, sırasıyla eğrinin teğet vektör alanı, asli normal vektör alanı ve binormal vektör alanı denir. Frenet vektörleri ile türevleri arasındaki ilişki matris formunda aşağıdaki gibi verilebilir [5]. T 0 κ 0 T [ N ] = [ κ 0 τ] [ N] B 0 τ 0 B Tanım 2..4. Bir eğrinin teğet vektörü sabit bir doğrultu ile sabit açı yaparsa bu eğriye helis eğrisi adı verilir. E 3 de bir eğrinin genel helis olması için gerek ve yeter şart eğrinin burulması ve eğriliği oranı ( τ ) nın sıfırdan farklı bir sabite eşit olmasıdır [6]. Tanım 2..5. E 3 de bir eğrinin rektifiyan eğri olması için gerek ve yeter şart eğriliği > 0 ve ( τ ) oranının yay parametresine bağlı sabit olmayan lineer fonksiyona eşit olmasıdır [6]. 6

Tanım 2..6. Bir eğrinin eğriliği sabit ve torsiyonu sabit değilse bu eğriye Salkowski eğri denir [7]. Tanım 2..7. Bir eğrinin eğriliği sabit değilse ve torsiyonu sabitse bu eğriye anti- Salkowski eğri denir [8]. 7

3. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ VE MANNHEIM EĞRİ ÇİFTLERİ Tanım 3.. E 3, standart iç çarpım, ile tanımlı 3-boyutlu Öklidyen uzayı olsun. ve uzaysal eğrilerinin karşılıklı noktalarında, eğrisinin asli normal doğrultusu ile eğrisinin binormal doğrultusu çakışıyorsa eğrisine bir Mannheim eğri, eğrisine ise eğrisinin Mannheim eğri çifti adı verilir. {, } ikilisine de Mannheim çifti adı verilir [3]. x(s), s yay parametresine bağlı bir Mannheim eğri olsun. x(s) eğrisinin Frenet çatısı {T(s), N(s), B(s)} olmak üzere burada T(s) teğet vektör alanı, N(s) normal vektör alanı, B(s) binormal vektör alanıdır. x(s), Mannheim eğrisinin eğrilik fonksiyonu (s), burulma fonsiyonu τ(s) dir [3]. x (s ), s yay parametresine bağlı Mannheim eğrisinin çifti olsun. x (s ), eğrisinin Frenet çatısı {T (s ), N (s ), B (s )} şeklinde verilsin. Burada T (s ) teğet vektör alanı, N (s ) normal vektör alanı, B (s ) binormal vektör alanıdır. x (s ), Mannheim eğri çiftinin eğrilik fonksiyonu (s ), burulma fonsiyonu τ (s ) dir [3]. 3.. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ Bu alt başlıkta ilk olarak 878 yılında Mannheim tarafından bulunan ve bir çok diferensiyel geometri kitabında ispatı olan Mannheim eğrisinin karakterizasyonuna yer verilecek [, 9, 0,, 2] ve bazı özel eğrilerin Mannheim eğrisi olması durumları incelenecektir. Teorem 3... Öklid uzayında bir eğrinin Mannheim eğrisi olması için gerek ve yeter şart λ sıfırdan farklı sabit olmak üzere eğrinin eğriliği ve torsiyonu τ nun = λ( 2 + τ 2 ) (3.) denklemini sağlamasıdır []. 8

İspat. x(s) eğrisi Mannheim eğri, x (s) eğrisi Mannheim eğri çifti olsun. Tanım 3.. den x (s) eğrisi x (s) = x(s) + λ(s)n(s) (3.2) olarak yazılabilir. (3.2) denkleminin türevi alınıp Frenet denklemleri kullanılırsa dx (s) ds = ( λ(s) (s))t(s) + λ (s)n(s) + λ(s)τ(s)b(s) (3.3) elde edilir. (3.3) denkleminin her iki tarafı N(s) vektörü ile iç çarpılırsa < dx (s), N(s) > = λ (s) ds elde edilir. N ile B aynı doğrultuda olduğundan λ (s) = 0 elde edilir. Bu ise λ nın sıfırdan farklı sabit olduğu anlamına gelir. Bu durumda (3.3) denklemi dx (s) ds şeklinde yeniden yazılabilir. Buradan T = dx ds = ( λ (s))t(s) + λτ(s)b(s) ds = (( λ (s))t(s) + λτ(s)b(s)) ds (3.4) ds ds yazılabilir. (3.4) denkleminin s e göre türevi alınıp ve Frenet denklemleri kullanılırsa, dt ds ds ds = ( λ (s)t(s) + ( (s) λ( (s)) 2 λ(τ(s)) 2 ) N(s) + λτ (s)b(s)) ds ds + (( λ (s))t(s) + λτ(s)b(s)) d2 s ds 2 (3.5) 9

(3.5) denkleminin her iki tarafının N(s) vektörü ile iç çarpımı alınırsa, < dt ds ds, N(s) > =< ( 2 λ τ 2 λ)n(s) ds, N(s) > = 0 ds ds = λ( 2 + τ 2 ) elde edilir. 3... 3-Boyutlu Öklid Uzayında Mannheim Eğrilerine Örnekler Mannheim eğrilerinin parametrik bir ifadesi yoktur fakat [4] nolu çalışmada Eisenhart s kitabında yer alan α h(u) sin u du x(u) = α h(u) cos u du, u U IR α h(u) g(u) du [ ] parametrik ifadesiyle verilen eğrinin α pozitif sabit olmak üzere g : U IR düzgün fonksiyonları ve h U IR h(u) = { + (g(u))2 + (g (u)) 2 } 3 + { + (g(u)) 2 } 3 {g (u) + g(u)} 2 { + (g(u)) 2 } 3/2 { + (g(u)) 2 + (g (u)) 2 } 5/2 fonksiyonu için bir Mannheim eğri olduğu gösterilmiştir. Burada u ya göre türev ( ) olarak gösterilmiştir. C eğrisinin her bir x(u) noktasında eğrinin eğrilik fonksiyonu κ ve torsiyonu τ aşağıdaki eşitliği sağlarlar [9]. κ(u) = α {(κ(u)) 2 + (τ (u)) 2 } Örnek 3... Eğer g(u) = c(sabit) ise h(u) = olarak bulunur. Bu da C eğrisinin dairesel helis olduğunu gösterir [4]. 0

Örnek 3...2. Eğer g(u) = tan u, ( π 2 < u < π 2 ) ise h(u) = (5 + 3cos2 u) cos u ( + cos 2 u) 5/2 olarak bulunur. C eğrisi ise x(u) = [ α (5 + 3cos2 u) cos u sin u ( + cos 2 u) 5/2 du α (5 + 3cos2 u)cos 2 u ( + cos 2 u) 5/2 du α (5 + 3cos2 u) sin u ( + cos 2 u) 5/2 du ] olarak elde edilir [4]. Örnek 3...3. Eğer g(u) = sinh u ise olarak bulunur. C eğrisi ise h(u) = ( + cosh2 u) cosh 2 u α 2 ( + cosh2 u) sin u cosh 2 du u α x(u) = 2 ( + cosh2 u) cos u cosh 2 du u α [ 2 ( + cosh2 u) sinh u cosh 2 du u ] olarak elde edilir [4]. 3..2. 3-Boyutlu Öklid Uzayında Bazı Özel Eğriler ve Mannheim Eğrileri Bu alt başlıkta bazı özel eğrilerin Mannheim eğrisi olması durumları incelenerek eğrilerin eğrilikleri ve torsiyonları karakterize edilecektir. Önerme 3..2.. Eğer x Mannheim eğrisi bir genel helis ise o zaman x bir dairesel helistir ve eğriliği, torsiyonu

= λ( + c 2 ), τ = c λ( + c 2 ) olarak elde edilir. İspat. x eğrisi bir genel helis olsun. Bu durumda x in eğriliği ve torsiyonu τ olmak üzere Tanım 2..4. den eşitliğini sağlar. (3.6) denklemi τ = c (3.6) τ = c (3.7) şeklinde yazılabilir. x eğrisi aynı zamanda bir Mannheim eğrisi de olduğundan (3.) denklemini sağlar. (3.7) denklemi (3.) denkleminde yerine yazılıp düzenlenirse = λ( + c 2 ), c τ = λ( + c 2 ) olarak bulunur. ve τ sabit olduğundan x bir dairesel helis olur. Önerme 3..2.2. Eğer x Mannheim eğrisi bir rektifiyan eğri ise o zaman x in eğriliği ve torsiyonu = τ = λ( + (as + b) 2 ), as + b λ( + (as + b) 2 ) 2

olarak elde edilir. İspat. x eğrisinin bir rektifiyan eğri olduğunu kabul edelim. Bu durumda Tanım 2..5. den eşitliği vardır. (3.8) eşitliği τ = as + b (3.8) τ = (as + b) (3.9) olarak düzenlenip (3.) denkleminde yerine yazılırsa = λ( + (as + b) 2 ) olarak elde edilir. (3.9) dan τ = as + b λ( + (as + b) 2 ) olarak bulunur. Önerme 3..2.3. Mannheim Salkowski eğrisi yoktur. İspat. Kabul edelim ki x eğrisi bir Salkowski eğrisi olsun. Bu durumda Tanım 2..6. gereğince = sbt = c, τ = τ(s) (3.0) dir. (3.0) ve (3.) birlikte ele alınırsa x in torsiyonu sabit olarak bulunur. Bu ise bir çelişkidir. Önerme 3..2.4. Mannheim anti-salkowski eğrisi yoktur. İspat. Kabul edelim ki x eğrisi bir anti-salkowski eğrisi olsun. Bu durumda Tanım 2..7. gereğince 3

= (s), τ = sbt = c (3.) dir. (3.) ve (3.) denklemleri birlikte ele alınırsa x in eğrilik fonksiyonu sabit olarak bulunur. Bu ise bir çelişkidir. Uyarı 3..2.. x eğrisi bir Mannheim eğri ise x in eğrilik fonksiyonlarının ya her ikisi sabittir ya da her ikisi değişkendir. Aksi takdirde Önerme 3..2.3. ve Önerme 3..2.4. de görüldüğü gibi birinin sabit diğerinin değişken olması durumunda Mannheim eğrisi yoktur. 3.2. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİ ÇİFTLERİ Bu alt başlıkta [3] nolu çalışmada Huili Liu ve Fan Wang tarafından verilen Mannheim eğri çiftlerinin karakterizasyonlarına yer verilecektir. Ayrıca bazı özel eğrilerin Mannheim eğri çifti olması durumları incelenecektir. Teorem 3.2.. x(s), s yay parametresine bağlı bir Mannheim eğri olsun. x (s ) eğrisinin eğrisinin Mannheim çifti olması için gerek ve yeter şart sıfırdan farklı herhangi bir λ reel sabiti için eğrisinin eğriliği ve torsiyonu τ fonksiyonlarının τ = dτ ds = λ ( + λ2 τ 2 ) (3.2) denklemini sağlamasıdır [3]. İspat. x(s) bir Mannheim eğrisi olsun. Tanım 3.. den x(s ) eğrisi x(s ) = x (s ) + λ(s )B (s ) (3.3) olarak yazılabilir. (3.3) ün s e göre türevi alınır ve Frenet formülleri kullanılırsa, T ds dѕ = T λτ N + λ B (3.4) 4

elde edilir. (3.4) denkleminin her iki tarafı B vektörü ile iç çarpılırsa, T dѕ dѕ, B =< T λτ N + λ B, B > = λ elde edilir. N ile B aynı doğrultuda olduğu için λ = 0 olarak bulunur. Bu ise λ nın sıfırdan farklı sabit olduğu anlamına gelir. Buradan (3.4) denklemi T dѕ dѕ = T λτ N (3.5) olarak düzenlenebilir. Tanım 3.. den x(s) eğrisinin asli normal doğrultusu N(s) ile x (s ) eğrisinin binormal doğrultusu B (s ) çakıştığından, x(s) eğrisinin Sp{T, B} düzlemi ile x (s ) eğrisinin Sp{T, N } düzlemleri de çakışır. Bu yüzden T = cos θ T + sin θ N (3.6) şeklinde yazılabilir. Burada θ, ve eğrilerinin karşılık gelen noktalarındaki T ve T teğet vektörleri arasındaki açıdır. (3.6) denkleminin s 'e göre türevi alınırsa N dѕ dѕ = ( + θ ) sin θ T + ( + θ ) cos θ N + τ sin θ B (3.7) elde edilir. N ile B aynı doğrultuda olduğu için (3.7) denkleminden N dѕ dѕ, T = ( + θ ) sin θ, N dѕ dѕ, N = ( + θ ) cos θ ve { ( + θ ) sin θ = 0 ( + θ ) cos θ = 0 5

elde edilir. Buradan θ = (3.8) bulunur. (3.6) denklemi (3.5) te yerine yazılırsa, T (cos θ dѕ dѕ ) + N (sin θ dѕ dѕ + λτ ) = 0 elde edilir. T ve N lineer bağımsız olduğu için cos θ dѕ dѕ = 0, sin θ dѕ dѕ + λτ = 0, dѕ = dѕ cos θ = λτ sin θ. Buradan λτ = tan θ (3.9) bulunur. (3.9) eşitliğinin türevi alınıp (3.8) kullanılırsa, elde edilir. τ = λ ( + λ2 τ 2 ) Tersine eğrisinin eğriliği ve torsiyonu τ sıfırdan farklı herhangi bir λ değeri için τ = λ ( + λ2 τ 2 ) 6

denklemini sağlasın. Bu durumda (3.3) denklemi ile verilen eğrisinin bir Mannheim eğri ve eğrisinin de nın Mannheim eğri çifti olduğu gösterilecektir. (3.3) denkleminin ѕ e göre iki kez türevi alınırsa sırasıyla T ds dѕ = T λτ N, (3.20) N ( ds 2 ) + T d2 s dѕ dѕ 2 = λ τ T + ( λτ )N λτ 2 B (3.2) denklemleri elde edilir. (3.20) denkleminin (3.2) denklemi ile vektörel çarpımı yapılırsa, B ( ds 3 ) = λ 2 τ 3 dѕ T + λτ 2 N + ( λτ + λ 2 τ 2 )B (3.22) elde edilir. λτ = λ 2 τ 2 eşitliği (3.22) de kullanılırsa, B ( ds 3 ) = λ 2 τ 3 dѕ T + λτ 2 N (3.23) elde edilir. (3.23) denkleminin (3.20) denklemi ile vektörel çarpımı yapılırsa, N ( ds 4 ) = λτ 2 dѕ ( + λ 2 τ 2 )B elde edilir. Bu ise x(ѕ) eğrisinin asli normal doğrultusu N ile x (ѕ ) eğrisinin binormal doğrultusunun B aynı doğrultuda olduğu anlamına gelir. Böylece x(s) eğrisi bir Mannheim eğri ve x (ѕ ) eğrisi de bir Mannheim eğri çifti olur. Uyarı 3.2.. λτ = u dönüşümü ile (3.2) eşitliği 7

du + u 2 = dѕ (3.24) olarak elde edilir. (3.24) eşitliğinin her iki tarafı integre edilirse, du + u 2 = dѕ, arc tan u = ( dѕ + c o ) elde edilir. Buradan τ = λ tan ( dѕ + c o ) olarak bulunur [3]. Her bir Mannheim eğrisi için, bir tek Mannheim eğri çifti vardır. Önerme 3.2.. x(ѕ), ѕ yay parametresine bağlı bir Mannheim eğri ve x (ѕ ) eğrisi ѕ yay parametresine bağlı bir Mannheim eğri çifti olsun. Eğer x(ѕ) bir genel helis ise o zaman x (ѕ ) bir doğrudur [3]. İspat. T, N, B x(ѕ) eğrisinin teğet, aslinormal ve binormal vektör alanları olsun. Tanım 2..4. ten x(ѕ) eğrisinin teğet vektörü T, sabit birim bir doğrultu ρ ile sabit açı yapar. Yani T, ρ = cos θ (3.25) yazılabilir. (3.25) denkleminin türevi alınırsa, N, ρ = 0 (3.26) elde edilir. Tanım 3.. den, herhangi bir sabit ρ vektörü için (3.26) denklemi 8

B, ρ = 0 (3.27) şeklinde yazılabilir. (3.27) denkleminden ρ sabit vektörünün B vektörüne dik olduğu görülmektedir. Bu yüzden ρ sabit vektörü T ve N vektörlerinin gerdiği düzlemde yatmaktadır. Bu durumda ρ sabit vektörü, ρ = cos ξ T + sin ξ N (3.28) şeklinde yazılabilir. (3.28) denkleminin bir kez türevi alınır ve Frenet vektörleri kullanılırsa 0 = sin ξ ( + ξ )T + cosξ( + ξ )N + (sin ξτ )B (3.29) elde edilir. (3.29) denkleminde T, N, B vektör alanları lineer bağımsız olduğu için cosξ( + ξ ) = 0, (3.30) sin ξ ( + ξ ) = 0, (3.3) sin ξτ = 0 (3.32) elde edilir. (3.30) ve (3.3) denkleminden + ξ = 0, = ξ (3.33) dır. Diğer taraftan (3.32) denkleminden sin ξ = 0 veya τ = 0 elde edilir. Eğer sin ξ = 0 ise ξ = πk =sbt tir. Bu ise (3.33) den = 0 olduğu anlamına gelir ve eğrisi bir doğru olur. Eğer τ = 0 ise (3.2) denkleminden = 0 bulunur ve eğrisi bir doğru olur. Önerme 3.2.2. Herhangi x(ѕ) eğrisi için, eğrinin Mannheim eğri çifti bir helis ise sıfırdan farklı herhangi c ve c 2 sabitleri için x(ѕ) eğrisinin eğriliği ve burulması arasındaki bağıntı aşağıdaki şekilde verilebilir. 9

τ = c 2 2 ec ѕ 2c 2 e c ѕ c = c 2 = olursa τ = eѕ e ѕ = sinh s 2 elde edilir [3]. İspat. T, N, B x(ѕ) eğrisinin tanjant, aslinormal ve binormal vektör alanları olsun. Tanım 2..4. den < T, ρ >= cos (3.34) yazılabilir. (3.34) denkleminin türevi alınırsa, < N, ρ >= 0 (3.35) bulunur. (3.35) denkleminden ρ sabit vektörünün N vektörüne dik olduğu görülmektedir. Bu yüzden ρ sabit vektörü T ve B vektörlerinin gerdiği düzlemde yatmaktadır. Bu ifadeden ρ sabit vektörü, ρ = T cos + B sin (3.36) şeklinde yazılabilir. (3.36) denkleminin her iki tarafı B vektörü ile iç çarpılırsa, < B, ρ >= sin (3.37) elde edilir. Tanım 3.. den < B, ρ >=< N, ρ >= sin (3.38) olur. θ o gibi sabit bir açı için (3.38) denklemi < N, ρ >= cos θ o (3.39) 20

şeklinde yazılabilir. Önerme 3.2.. den biliyoruz ki x(ѕ) bir helis ise x (s ) bir doğrudur. Diğer taraftan x (s ) bir doğru değilse x(ѕ) bir helis değildir. x(ѕ) doğru seçilmediği için helis seçildiği için cos θ o 0 ve τ sbt dir. (3.39) denkleminin ѕ ye göre iki kez türevi alınırsa T, ρ + τ B, ρ = 0, (3.40) T, ρ + τ B, ρ = ( 2 + τ 2 ) cos θ o (3.4) denklemleri elde edilir. (3.) denklemi ve (3.40) denklemleri (3.4) denkleminde yerine yazılırsa, T, ρ = B, ρ = τ λ d(τ/ ) dѕ λ d(τ/ ) dѕ cos θ o, cos θ o (3.42) (3.43) bulunur. (3.42) ve (3.43) denklemlerinin türevi alınırsa, = λ ( τ d2 (τ/ ) dѕ 2 ( d(τ/ ) ) dѕ 2 ), (3.44) τ = d 2 (τ/ ) dѕ 2 λ ( d(τ/ ) ) dѕ 2 (3.45) elde edilir. (3.44) ve (3.45) denklemlerinden τ ve oranlanırsa 2

τ = d 2 (τ/ ) dѕ 2 ( d(τ/ ) 2 ) τ d 2 (3.46) (τ/ ) dѕ dѕ 2 elde edilir. (3.46) denkleminde τ/ = y(ѕ) ifadesi yerine yazılırsa, ( + y 2 ) d2 2 y y (dy dѕ2 dѕ ) = 0 elde edilir. Bu diferensiyel denklem bağımsız değişken içermeyen ikinci mertebeden lineer olmayan bir diferensiyel denklemdir. y = p dönüşümü yapılırsa, dp p = y dy (3.47) + y2 elde edilir. (3.47) denkleminin her iki tarafı integre edilirse, dp p = y + y 2 dy olup ln(p/c) = ln + y 2 (3.48) elde edilir. (3.48) denkleminden dy + y 2 = c ds (3.49) değişkenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir. (3.49) denkleminin her iki tarafı integre edilirse, sinh y = c s + c 2 (3.50) elde edilir. (3.50) denkleminden 22

y(ѕ) = c o y(ѕ) = c 2 2 ec ѕ 2c 2 e c ѕ olarak bulunur. 3.2.. 3-Boyutlu Öklid Uzayında Bazı Özel Eğriler ve Mannheim Eğri Çiftleri Bu alt başlıkta bazı özel eğrilerin Mannheim eğri çifti olması durumları incelenerek eğrilerin eğrilikleri ve torsiyonları karakterize edilecektir. Önerme 3.2... x Mannheim eğri çifti bir genel helis ise eğrilik ve torsiyonları = e s λc e 2s λc λ 2 c 2 + d, τ = ce s λc e 2s λc λ 2 c 2 + d olarak elde edilir. Burada c, d integral sabitleridir. İspat. x eğrisi bir genel helis olsun. Bu durumda x in eğriliği ve torsiyonu τ olmak üzere Tanım 2..4. den τ = c (3.5) eşitliğini sağlar. (3.5) denklemi τ = c (3.52) şeklinde yazılabilir. x eğrisi aynı zamanda bir Mannheim eğrisi çifti de olduğundan (3.2) denklemini sağlar. (3.52) eşitliği (3.2) denkleminde yerine yazılırsa 23

= cλ + λc 3 diferensiyel denklemi elde edilir. Bu diferensiyel denklem bir Bernoulli diferensiyel denklemidir. z = 2 değişken değiştirmesi yapılırsa z + 2z λc = 2λc lineer diferensiyel denklemi elde edilir. Bu diferensiyel denklem çözülürse = e s λc e 2s λc λ 2 c 2 + d bulunur. (3.52) denkleminden τ = ce s λc e 2s λc λ 2 c 2 + d elde edilir. Önerme 3.2..2. x Mannheim eğri çifti bir rektifiyan eğri ise eğrilik ve torsiyonları = λ2 (as + b ) 2 + d (as + b ) ( 2 λa 2), τ = (as + b ) λ2 (as + b ) 2 + d (as + b ) ( 2 λa 2) olarak elde edilir. Burada d integral sabitidir. İspat. x eğrisi bir rektifiyan eğri olsun. Bu durumda x in eğriliği ve torsiyonu τ olmak üzere Tanım 2..5. den 24

τ = as + b (3.53) eşitliğini sağlar. (3.53) denklemi τ = (as + b ) (3.54) şeklinde yazılabilir. x eğrisi aynı zamanda bir Mannheim eğri çifti de olduğundan (3.2) denklemini sağlar. (3.54) eşitliği (3.2) denkleminde yerine yazılırsa = ( λ(as + b ) a (as + b ) ) + λ(as 3 + b ) diferensiyel denklemi elde edilir. Bu diferensiyel denklem bir Bernoulli diferensiyel denklemidir. z = 2 değişken değiştirmesi yapılırsa 2 z + ( λ(as + b ) 2a (as + b ) ) z = 2λ(as + b ) lineer diferensiyel denklemi elde edilir. Bu diferensiyel denklem çözülürse = λ2 (as + b ) 2 + d (as + b ) ( 2 λa 2) bulunur. (3.54) denkleminden τ = (as + b ) λ2 (as + b ) 2 + d (as + b ) ( 2 λa 2) elde edilir. Önerme 3.2..3. x Mannheim eğri çifti bir Salkowski eğri ise burulma fonksiyonu τ = tan (cs + d λ ) λ 25

olarak elde edilir. Burada c, d integral sabitleridir. İspat. x eğrisi bir Salkowski eğrisi olsun. Bu durumda x torsiyonu τ olmak üzere Tanım 2..6. dan in eğriliği ve = c ve τ = τ (s ) (3.55) eşitliğini sağlar. x eğrisi aynı zamanda bir Mannheim eğri çifti de olduğundan (3.2) denklemini sağlar. (3.55) eşitliği (3.2) denklemleri birlikte ele alınırsa τ = c λ + cλτ 2 diferensiyel denklemi elde edilmiş olur. Bu diferensiyel denklemde değişkenlerine ayırma metodu uygulanırsa bulunur. τ = tan (cs + d λ ) λ Önerme 3.2..4. Anti-Salkowski Mannheim eğri çifti yoktur. İspat. Kabul edelim ki x eğrisi bir anti-salkowski eğrisi olsun. Bu durumda Tanım 2..7. gereğince = (s ), τ = c (3.56) dir. (3.56) ve (3.2) birlikte ele alınırsa x in eğrilik fonksiyonu sabit olarak bulunur. Bu ise bir çelişkidir. 26

4. 4-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA GENELLEŞTİRİLMİŞ MANNHEIM EĞRİLERİ Bu bölümde Matsuda ve Yorozu tarafından tanımlanan [4] nolu çalışmadaki genelleştirilmiş Mannheim eğrilerinin karakterizasyonlarına yer verilecektir. Tanım 4.. C eğrisi x L IR E 4 regüler, diferensiyellenebilir birim hızlı bir eğri olsun. Eğer C eğrisi üzerindeki k, k 2, k 3 diferensiyellenebilir fonksiyonları ve C eğrisi boyunca tanımlı {e, e 2, e 3, e 4 } çatı alanı aşağıdaki özelliklerini sağlar ise C ye özel Frenet eğrisi adı verilir. i) Her s L için k, k 2, k 3 fonksiyonları ve {e, e 2, e 3, e 4 } çatı alanı Teorem 2... ile verilen Frenet denklemlerini sağlar. ii) {e, e 2, e 3, e 4 } çatısı ortonormal pozitif yönlü çatı alanıdır. iii) k, k 2 fonksiyonları pozitif, k 3 0 dır. iv) {k, k 2, k 3 } fonksiyonları sırasıyla C eğrisinin birinci, ikinci ve üçüncü eğrilik fonksiyonları olarak adlandırılır. {e, e 2, e 3, e 4 } çatı alanı C üzerinde Frenet çatı alanı olarak adlandırılır [4]. Uyarı 4.. x L IR E 4, ѕ yay parametresiyle verilmiş bir eğri için {e, e 2, e 3, e 4 } Frenet çatısı ve {k, k 2, k 3 } eğrilik fonksiyonları aşağıdaki adımlar yardımıyla bulunur. Adım I e (ѕ) = x (ѕ) Adım II k (ѕ) = e (ѕ) > 0 e 2 (ѕ) = k (ѕ) e (ѕ) Adım III k 2 (ѕ) = e 2 (ѕ) + k (ѕ)e (ѕ) > 0 e 3 (ѕ) = k 2 (ѕ) (e 2 (ѕ) + k (ѕ)e (ѕ)) Adım IV k 3 (ѕ) = e 3 (ѕ) + k 2 (ѕ)e 2 (ѕ) 27

e 4 (ѕ) = ε e 3 (ѕ) + k 2 (ѕ)e 2 (ѕ) (e 3 (ѕ) + k 2 (ѕ)e 2 (ѕ)), (ε = ±) Pozitif yönlendirilmiş {e, e 2, e 3, e 4 } ortonormal çatı alanı yardımıyla ε nun işareti belirlenir [4]. 4.. E 4 TE GENELLEŞTİRİLMİŞ MANNHEIM EĞRİLERİ Tanım 4... C ve Ĉ eğrileri E 4 te özel Frenet eğrileri ve Φ: C Ĉ, C nin her bir noktasını Ĉ nin her bir noktasıyla eşleyen birebir ve örten bir fonksiyon olsun. Eğer C eğrisinin her bir noktasındaki birinci normal doğrusu, Ĉ eğrisinin Φ dönüşümü altında karşılık gelen noktasındaki ikinci ve üçüncü normal doğrularının gerdiği düzlemde yatıyorsa, C eğrisine genelleştirilmiş Mannheim eğri, Ĉ eğrisine de C nin genelleştirilmiş Mannheim eğri çifti adı verilir [4]. C eğrisi x L IR E 4 ѕ yay parametresiyle verilmiş bir genelleştirilmiş Mannheim eğrisi olsun. Bu durumda Tanım 4... den x L E 4 dönüşümüyle verilen genelleştirilmiş Mannheim eğri çifti Ĉ, x (ѕ) = x(ѕ) + α(ѕ)e 2 (ѕ), ѕ L şeklinde yazılabilir. Burada α, L üzerinde tanımlı reel değerli, diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. Ĉ eğrisinin yay parametresi ŝ, S f(ѕ) = ŝ = dx (ѕ) dѕ dѕ 0 (4.) olarak bulunur. f(ѕ) = ŝ ile verilen f: L L diferensiyellenebilir fonksiyonu ele alınsın. Bu durumda (4.) eşitliğinden f (ѕ) = { α(ѕ)k (ѕ)} 2 + {α (ѕ)} 2 + {α(ѕ)k 2 (ѕ)} 2 28

elde edilir. Φ C Ĉ, Φ (x(ѕ)) = x (f(ѕ)) olmak üzere ŝ yay parametresiyle verilen Ĉ eğrisi x L E 4 ile gösterilsin. Ĉ eğrisinin kendi yay parametresi cinsinden yazılırken kolaylık olması açısından yine "x " notasyonu kullanılacaktır. Böylece Ĉ eğrisi x (f(ѕ)) = x(ѕ) + α(ѕ)e 2 (ѕ) (4.2) olarak yazılabilir. (4.2) denkleminin ѕ e göre türevi alınırsa, dx (f(ѕ)) dѕ = dx (f(ѕ)) dŝ dŝ dѕ = dx (ŝ) dŝ f (ѕ) = f (ѕ)e (f(ѕ)) eşitliği elde edilir [4]. Teorem 4... E 4 te özel bir Frenet eğrisi olan C eğrisi genelleştirilmiş bir Mannheim eğrisi ise, α pozitif sabit olmak üzere, C eğrisinin birinci eğriliği k ve ikinci eğriliği olan k 2 aşağıdaki eşitliği sağlar [4]. k (ѕ) = α {(k (ѕ)) 2 + (k 2 (ѕ)) 2 }, ѕ L İspat. E 4 te C eğrisi genelleştirilmiş bir Mannheim eğrisi ve Ĉ eğrisi de C eğrisinin genelleştirilmiş Mannheim eğri çifti olsun. Tanım 4...den x (ѕ) = x(ѕ) + α(ѕ)e 2 (ѕ) olarak yazılır. Burada α L IR diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. f: L L diferensiyellenebilir fonksiyonu S f(ѕ) = dx (ѕ) dѕ dѕ = ŝ 0 şeklinde tanımlanır. Tanım 4...den e 2 (ѕ) vektörü ê 3 (f(ѕ)) ve ê 4 (f(ѕ)) vektörlerinin lineer kombinasyonları olarak yazılabilir. 29

g ve h düzgün fonksiyonları için, e 2 (ѕ) = g(ѕ)ê 3 (f(ѕ)) + h(ѕ)ê 4 (f(ѕ)) olarak yazılabilir. x (f(ѕ)) = x(ѕ) + α(ѕ)e 2 (ѕ) eşitliğinin her iki tarafının s e göre türevi alınırsa, f (ѕ)ê (f(ѕ)) = e (ѕ) + α (ѕ)e 2 (ѕ) + α(ѕ)( k (ѕ)e (ѕ) + k 2 (ѕ)e 3 (ѕ)) (4.3) = ( α(ѕ)k (ѕ))e (ѕ) + α (ѕ)e 2 (ѕ) + α(ѕ)k 2 (ѕ)e 3 (ѕ) elde edilir. < ê (f(ѕ)), g(ѕ)ê 3 (f(ѕ)) + h(ѕ)ê 4 (f(ѕ)) >= 0 olduğundan (4.3) eşitliğinin her iki tarafı e 2 (ѕ) vektörü ile iç çarpılırsa, α (ѕ) =< f (ѕ)ê (f(ѕ)), e 2 (ѕ) >= 0 elde edilir. Buradan α (ѕ) = 0 bulunur. Bu ise α(ѕ) in sabit olduğu anlamına gelir. Böylece (4.3) denklemi f (ѕ)ê (f(ѕ)) = ( αk (ѕ))e (ѕ) + αk 2 (ѕ)e 3 (ѕ), ê (f(ѕ)) = αk (ѕ) f e (ѕ) (ѕ) + αk 2(ѕ) f (ѕ) e 3(ѕ) (4.4) şeklinde yazılabilir. f (ѕ) = ( αk (ѕ)) 2 + (αk 2 (ѕ)) 2 dir. (4.4) denkleminin her iki tarafının ѕ e göre türevi alınırsa, 30

f (ѕ)k (f(ѕ))ê 2 (f(ѕ)) = ( αk (ѕ) f ) e (ѕ) (ѕ) + ( ( αk (ѕ))k (ѕ) α(k 2 (ѕ)) 2 f ) e (ѕ) 2 (ѕ) (4.5) + ( αk 2(ѕ) f (ѕ) ) e 3 (ѕ) + ( αk 2(ѕ)k 3 (ѕ) f ) e (ѕ) 4 (ѕ) elde edilir. (4.5) denkleminin her iki tarafı e 2 (ѕ) vektörü ile iç çarpılırsa ( αk (ѕ))k (ѕ) α(k 2 (ѕ)) 2 = 0, ѕ L elde edilir. k (ѕ) = α {(k (ѕ)) 2 + (k 2 (ѕ)) 2 } olarak bulunur. Teorem 4..2. E 4 te özel bir Frenet eğrisi olan C eğrisinin eğrilik fonksiyonları k ve k 2, α pozitif sabiti için k (ѕ) = α {(k (ѕ)) 2 + (k 2 (ѕ)) 2 } (4.6) eşitliğini sağlasın. Eğer Ĉ özel Frenet eğrisi x (ѕ) = x(ѕ) + αe 2 (ѕ) (4.7) eşitliği ile verilirse, o zaman C eğrisi bir genelleştirilmiş Mannheim eğri ve Ĉ eğrisi de C eğrisinin genelleştirilmiş Mannheim eğri çifti olur [4]. İspat. Ĉ eğrisinin yay parametresi ŝ olsun. ŝ, her bir ѕ L için aşağıdaki gibi tanımlanır. 3

S ŝ = dx (ѕ) dѕ dѕ 0 f L L, ѕ f(ѕ) = ŝ düzgün bir fonksiyon olsun. Her bir ѕ L için k ve k 2 eğrilik fonksiyonları (4.6) denkleminin sağladığından f (ѕ) = ( αk (ѕ)) 2 + (αk 2 (ѕ)) 2 = αk (ѕ) (4.8) eşitliği elde edilir. ŝ gösterilirse yay parametresiyle verilen Ĉ eğrisinin temsili x (ŝ) ile x (ŝ) = x (f(ѕ)) = x(ѕ) + αe 2 (ѕ) (4.9) eşitliği kolayca yazılır. (4.9) denkleminin türevi alınırsa dx (ŝ) dѕ = dx (ŝ) dŝ f (ѕ) = f (ѕ)ê (f(ѕ)) f (ѕ)ê (f(ѕ)) = e (ѕ) + α{ k (ѕ)e (ѕ) + k 2 (ѕ)e 3 (ѕ)} = ( αk (ѕ))e (ѕ) + αk 2 (ѕ)e 3 (ѕ) (4.0) elde edilir. (4.8) eşitliği (4.0) denkleminde yerine yazılırsa, ê (f(ѕ)) = αk (ѕ)e (ѕ) + αk 2(ѕ) αk (ѕ) e 3(ѕ) (4.) elde edilir. (4.) eşitliğinin her iki tarafının s e göre türevi alınırsa, 32

f (ѕ) dê (ŝ) dŝ = ( αk (ѕ)) e (ѕ) + αk (ѕ)k (ѕ)e 2 (ѕ) αk 2 (ѕ) + ( αk (ѕ) ) e 3 (ѕ) + αk 2(ѕ) αk (ѕ) ( k 2(ѕ)e 2 (ѕ) + k 3 (ѕ)e 4 (ѕ)) (4.2) elde edilir. Ĉ eğrisi özel Frenet eğrisi olduğu için dê (ŝ) dŝ = k (f(ѕ))ê 2 (f(ѕ)) (4.3) dir. (4.3) denklemi (4.2) denkleminde yerine yazılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa, f (ѕ)k (f(ѕ))ê 2 (f(ѕ)) = ( αk (ѕ)) e (ѕ) + ( αk (ѕ)k (ѕ) α(k 2(ѕ)) 2 αk 2 (ѕ) + ( αk (ѕ) ) αk (ѕ) ) e 2(ѕ) e 3 (ѕ) + ( αk 2(ѕ)k 3 (ѕ) αk (ѕ) ) e 4(ѕ) (4.4) elde edilir. (4.6) eşitliği ile verilen kabulden dolayı (4.4) denklemindeki e 2 (ѕ) Frenet vektörünün katsayısı αk (ѕ)k (ѕ) + αk 2(ѕ) αk (ѕ) ( k 2(ѕ)) = αk (ѕ) (k (ѕ) α(k (ѕ)) 2 α(k 2 (ѕ)) 2 ) = 0 33

elde edilir. Bu durumda (4.4) denkleminden her bir ѕ L için ê 2 (f(ѕ)) vektörü e (ѕ), e 3 (ѕ) ve e 4 (ѕ) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılır. Bu durumda ê 2 (f(ѕ)) = A(ѕ)e (ѕ) + B(ѕ)e 3 (ѕ) + C(ѕ)e 4 (ѕ) eşitliği vardır. Ayrıca (4.) denkleminden her bir ѕ L için ê (f(ѕ)) vektörü e (ѕ), e 3 (ѕ) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazıldığından ê (f(ѕ)) = D(ѕ)e (ѕ) + E(ѕ)e 3 (ѕ) eşitliği vardır. Ĉ eğrisi özel bir Frenet eğrisi olduğu için e 2 (ѕ) vektörü e 2 (ѕ) = F(ѕ)ê (f(ѕ)) + G(ѕ)ê 2 (f(ѕ)) + H(ѕ)ê 3 (f(ѕ)) + K(ѕ)ê 4 (f(ѕ)) şeklinde yazılabilir. Yukarıdaki eşitliklerden < ê (f(ѕ)), e 2 (ѕ) >= 0 = F(ѕ) ve < ê 2 (f(ѕ)), e 2 (ѕ) >= 0 = G(ѕ) elde edilir. Böylece e 2 (ѕ) vektörü ê 3 (f(ѕ)) ve ê 4 (f(ѕ)) vektörlerinin gerdiği düzlemde yatar. Bu ise ispatı tamamlar. Teorem 4..3. C eğrisi E 4 te üçüncü eğrilik fonksiyonu k 3 sıfırdan farklı özel bir Frenet eğrisi olsun. C eğrisinin k ve k 2 eğrilik fonksiyonlarının sabit olması için gerek ve yeter şart C eğrisinin her bir noktasındaki birinci normal doğrusunun Ĉ eğrisinin Φ: C Ĉ dönüşümü altında karşılık gelen noktasındaki üçüncü normal doğrusu olmasıdır [4]. 34

İspat. i) C eğrisi E 4 te Frenet çatı alanı {e, e 2, e 3, e 4 } ve eğrilik fonksiyonları k, k 2, k 3 olan özel bir Frenet eğrisi olsun. C eğrisinin birinci ve ikinci eğrilik fonksiyonları k ve k 2 pozitif sabitler olduğundan k (k ) 2 = α (4.5) + (k 2 ) 2 bir pozitif sayıdır. Bu α pozitif sayısı yardımıyla Ĉ regüler diferensiyellenebilir eğrisi aşağıdaki gibi verilsin. x (ѕ) = x(ѕ) + αe 2 (ѕ) (4.6) Ĉ eğrisinin yay parametresi ŝ olsun. f L L, ѕ f(ѕ) = ŝ fonksiyonu ŝ = f(ѕ) = ( αk ) 2 + (αk 2 ) 2 ѕ = αk ѕ şeklinde tanımlanır. Buradan f (ѕ) = αk (4.7) elde edilir. (4.6) eşitliğinin her iki tarafının s e göre türevi alınıp f (ѕ) ifadesi kullanılırsa f (ѕ)ê (f(ѕ)) = e (ѕ) + αe 2 (ѕ) = ( αk )e (ѕ) + αk 2 e 3 (ѕ), ê (f(ѕ)) = αk e (ѕ) + αk 2 αk e 3 (ѕ) (4.8) elde edilir. (4.8) eşitliğinin her iki tarafının s e göre türevi alınırsa, 35

f (ѕ) dê (ŝ) dŝ = αk e (ѕ) + αk 2 αk e 3 (ѕ) = (k αk α(k 2) 2 = αk 2k 3 αk e 4 (ѕ) αk ) e 2 (ѕ) + αk 2k 3 αk e 4 (ѕ) (4.9) elde edilir. k 3 sıfırdan farklı olduğundan k (f(ѕ)) = dê (ŝ) = sign(k dŝ 3 ) αk 2k 3 > 0 (4.20) αk elde edilir. Burada sign(k 3 ), k 3 fonksiyonunun işaretini temsil etmektedir. Eğer k 3 fonksiyonu pozitifse sign(k 3 ) = +, negatifse sign(k 3 ) = dir. Yani her bir ѕ L için sign(k 3 )k 3 (ѕ) ifadesi pozitiftir. Frenet denklemlerinden ê 2 (ŝ) = dê (ŝ) k (ŝ) dŝ (4.2) eşitliği mevcuttur. (4.9), (4.20) ve (4.2) denklemleri birlikte düşünülürse, ê 2 (f(ѕ)) = sign(k 3 )e 4 (ѕ) (4.22) (4.22) denkleminin her iki tarafının türevi alınırsa, elde edilir ve f (ѕ) dê 2(ŝ) dŝ = sign(k 3 )k 3 (ѕ)e 3 (ѕ) dê 2 (ŝ) dŝ + k (f(ѕ))ê (f(ѕ)) = sign(k 3 ) αk 2k 3 (ѕ) αk e (ѕ) sign(k 3 )k 3 (ѕ) αk e 3 (ѕ) 36

dir. Her bir ѕ L için sign(k 3 )k 3 (ѕ) ifadesi pozitif olduğundan k 2(f(ѕ)) = dê 2(ŝ) dŝ + k (f(ѕ))ê (f(ѕ)) = α2 k 2 2 (k 3 (ѕ)) 2 αk + ( αk )(k 3 (ѕ)) 2 = (k 3 (ѕ)) 2 (4.23) = sign(k 3 )k 3 (ѕ) > 0 ê 3 (f(ѕ)) = = k 2(f(ѕ)) (dê 2(ŝ) + k (f(ѕ))ê dŝ (f(ѕ))) αk 2 αk e (ѕ) αk e 3 (ѕ) (4.24) eşitliği elde edilir. (4.24) denkleminin türevi alınırsa f (ѕ) dê 3(ŝ) dŝ = k 2 αk e 2 (ѕ) αk k 3 (ѕ)e 4 (ѕ) (4.25) elde edilir. (4.25), (4.23) ve (4.22) birlikte düşünülürse, dê 3 (ŝ) dŝ + k 2(f(ѕ))ê 2 (f(ѕ)) = k 2 αk e 2 (ѕ) (4.26) elde edilir. Uyarı 4.. deki Adım IV den ê 4 (f(ѕ)) = ε k 3(f(ѕ)) (ê 3 (f(ѕ)) + k 2(f(ѕ))ê 2 (f(ѕ))) (4.27) eşitliği vardır. (4.26) eşitliği (4.27) denkleminde yerine yazılırsa, ê 4 (f(ѕ)) = εe 2 (ѕ) 37

elde edilir. ε un işareti {ê, ê 2, ê 3, ê 4 } Frenet çatısının determinantı hesaplanarak bulunur. {ê, ê 2, ê 3, ê 4 } Frenet çatısı pozitif yönlü olduğundan det{e (ѕ), e 2 (ѕ), e 3 (ѕ), e 4 (ѕ)} = dir. det[ê (f(ѕ)), ê 2 (f(ѕ)), ê 3 (f(ѕ)), ê 4 (f(ѕ))] = det[ αk e (ѕ), sign(k 3 )e 4 (ѕ), αk e 3 (ѕ), εe 2 (ѕ)] αk 2 αk 2 + det [ e 3 (ѕ), sign(k 3 )e 4 (ѕ), e (ѕ), εe 2 (ѕ)] αk αk = sign(k 3 )ε (( αk ) + α2 2 k 2 ) = sign(k αk 3 )ε det[ê (f(ѕ)), ê 2 (f(ѕ)), ê 3 (f(ѕ)), ê 4 (f(ѕ))] = olduğundan ε = sign(k 3 ) bulunur. Böylece her bir ѕ L için ê 4 (f(ѕ)) = sign(k 3 )e 2 (ѕ) ve k 3(f(ѕ)) = dê 3(ŝ) dŝ k 2, ê 4 (f(ѕ)) = sign(k 3 ), ѕ L αk mevcuttur. Yukarıdaki durumlardan C eğrisinin birinci normali ile Ĉ eğrisinin üçüncü normali çakıştığı görülmektedir. ii) C eğrisi E 4 te Frenet çatısı {e, e 2, e 3, e 4 } ve eğrilik fonksiyonları k, k 2, k 3 olan özel bir Frenet eğrisi olsun. Ĉ eğrisi de Frenet çatısı {ê, ê 2, ê 3, ê 4 } ve eğrilik fonksiyonları k, k 2, k 3 olan özel bir Frenet eğrisi olsun. C eğrisinin her bir noktasındaki birinci normalinin Φ dönüşümü altında Ĉ eğrisinin karşılık gelen noktasındaki üçüncü normali ile çakıştığı kabul edilsin. Ĉ eğrisi 38

x (ѕ) = x(ѕ) + α(ѕ)e 2 (ѕ), ѕ L (4.28) ile verilsin. Ĉ eğrisinin yay parametresi ŝ s ŝ = f(ѕ) = ( α(ѕ)k (ѕ)) 2 + (α (ѕ)) 2 + (α(ѕ)k 2 (ѕ)) 2 0 dır. Burada f L L, ѕ f(ѕ) = ŝ birebir ve örten dönüşümü Φ(x(ѕ)) = x (f(ѕ)) ile verilsin. (4.28) denkleminin türevi alınırsa f (ѕ)ê (f(ѕ)) = ( α(ѕ)k (ѕ))e (ѕ) + α (ѕ)e 2 (ѕ) + α(ѕ)k 2 (ѕ)e 3 (ѕ) (4.29) elde edilir. (4.29) denkleminin her iki tarafı ê 4 (f(ѕ)) vektörü ile iç çarpılırsa, f (ѕ)ê (f(ѕ)), ê 4 (f(ѕ)) = 0 bulunur. Diğer taraftan ê 4 (f(ѕ)) = ±e 2 (ѕ) olduğundan f (ѕ)ê (f(ѕ)), ê 4 (f(ѕ)) = ( α(ѕ)k (ѕ))e (ѕ) + α (ѕ)e 2 (ѕ) + α(ѕ)k 2 (ѕ)e 3 (ѕ), ±e 2 (ѕ) = ±α (ѕ) elde edilir. α (ѕ) = 0 olur. Bu ise α(ѕ) in sabit olduğunu gösterir. Bundan sonraki kısımlarda α(ѕ) = α olarak alınabilir. f (ѕ) = ( αk (ѕ)) 2 + (αk 2 (ѕ)) 2 > 0 ve (4.29) denklemi ê (f(ѕ)) = ( αk (ѕ) f ) e (ѕ) (ѕ) + ( αk 2(ѕ) f (ѕ) ) e 3(ѕ) (4.30) 39

şeklinde yeniden düzenlenebilir. (4.30) denkleminin türevi alınırsa f (ѕ)k (f(ѕ))ê 2 (f(ѕ)) = ( αk (ѕ) f ) e (ѕ) (ѕ) + ( k (ѕ) α {(k (ѕ)) 2 + (k 2 (ѕ)) 2 } f ) e (ѕ) 2 (ѕ) (4.3) + ( αk 2(ѕ) f (ѕ) ) e 3 (ѕ) + ( αk 2(ѕ)k 3 (ѕ) f ) e (ѕ) 4 (ѕ) elde edilir. (4.3) denkleminin her iki tarafı ê 4 (f(ѕ)) vektörü ile iç çarpılırsa < f (ѕ)k (f(ѕ))ê 2 (f(ѕ)), ê 4 (f(ѕ)) > = 0 elde edilir. ê 4 (f(ѕ)) = ±e 2 (ѕ) olduğundan k (ѕ) = α {(k (ѕ)) 2 + (k 2 (ѕ)) 2 } denklemi bulunur. Burada α pozitif sabittir. Böylece (4.3) denklemi ê 2 (f(ѕ)) = f (ѕ)k(ѕ) ( αk (ѕ) f (ѕ) + ) e (ѕ) f (ѕ)k(ѕ) (αk 2(ѕ) f (ѕ) ) e 3 (ѕ) + f (ѕ)k(ѕ) (αk 2(ѕ)k 3 (ѕ) f ) e (ѕ) 4 (ѕ) (4.32) şeklinde yazılabilir. Burada K(ѕ) = k (f(ѕ)) dir. (4.32) denkleminin türevi alınırsa 40

f (ѕ){ k (f(ѕ))ê (f(ѕ)) + k 2(f(ѕ))ê 3 (f(ѕ))} = { f (ѕ)k(ѕ) ( αk (ѕ) f (ѕ) + { k (ѕ) f (ѕ)k(ѕ) ( αk (ѕ) f (ѕ) ) ) k 2(ѕ) f (ѕ)k(ѕ) (αk 2(ѕ) f (ѕ) ) } e 2 (ѕ) + {( f (ѕ)k(ѕ) (αk 2(ѕ) f (ѕ) ) ) } e (ѕ) (4.33) k 3(ѕ) f (ѕ)k(ѕ) (αk 2(ѕ)k 3 (ѕ) f )} e (ѕ) 3 (ѕ) + {( f (ѕ)k(ѕ) (αk 2(ѕ)k 3 (ѕ) f )) (ѕ) + k 3(ѕ) f (ѕ)k(ѕ) (αk 2(ѕ) f (ѕ) ) } e 4 (ѕ) elde edilir. Frenet denklemlerinden < f (ѕ){ k (f(ѕ))ê (f(ѕ)) + k 2(f(ѕ))ê 3 (f(ѕ))}, ê 4 (f(ѕ)) > = 0 elde edilir ve ê 4 (f(ѕ)) = ±e 2 (ѕ) olduğundan k (ѕ) ( αk (ѕ) f ) k (ѕ) 2 (ѕ) ( αk 2(ѕ) f (ѕ) ) = 0 bulunur. αk (ѕ)k (ѕ)f (ѕ) + k (ѕ)( αk (ѕ))f (ѕ) + αk 2 (ѕ)k 2 (ѕ)f (ѕ) αk 2 (ѕ) 2 f (ѕ) = 0, f (ѕ) = αk (ѕ) 4

ve f αk (ѕ) (ѕ) = 2 αk (ѕ) = αk (ѕ) 2f (ѕ) eşitlikleri kullanılırsa k (ѕ) = 0 bulunur. Bu ifade birinci eğrilik fonksiyonunun pozitif sabit olduğunu gösterir. k = α{(k ) 2 + (k 2 ) 2 } eşitliğinden k 2 fonksiyonunun da pozitif sabit olduğu görülür. Teorem böylece ispatlanmıştır. Teorem 4..4. C eğrisi aşağıdaki gibi tanımlı bir eğri olsun. α f(u) sin u du x(u) = α f(u) cos u du α f(u)g(u) du, u U IR α f(u)h(u) du [ ] α pozitif sabit, g ve h : U IR düzgün fonksiyonlar ve f U IR olmak üzere f fonksiyonu her bir u U için aşağıdaki gibi verilsin. 42

f(u) = ( + (g(u)) 2 + (h(u)) 2 ) 32. { + (g(u)) 2 + (h(u)) 2 + (g (u)) 2 + (h (u)) 2 + (g(u)h (u) g (u)h(u)) 2 5 2 2 }. [{ + (g(u)) + (h(u)) 2 + (g (u)) 2 + (h (u)) 2 + (g(u)h (u) g (u)h(u)) 2 3 } + ( + (g(u)) 2 + (h(u)) 2 ) 3. {(g(u) + g (u)) 2 + (h(u) + h (u)) 2 + ((g(u)h (u) g (u)h(u)) 2 (g (u)h (u) g (u)h (u))) + (g(u)h (u) g (u)h(u)) 2 }] Burada u ya göre türev ( ) olarak gösterilmiştir. C eğrisinin her bir x(u) noktasında eğrinin birinci eğrilik fonksiyonu k ve ikinci eğrilik fonksiyonu k 2 aşağıdaki eşitliği sağlarlar [4]. k (u) = α {(k (u)) 2 + (k 2 (u)) 2 } İspat. C eğrisi aşağıdaki tanımlı bir eğri olsun. Burada α pozitif sabit, g ve h : U IR düzgün fonksiyonlar ve f U IR pozitif değerli düzgün bir fonksiyondur. 43

x(u) = α f(u) sin u du α f(u) cos u du α f(u)g(u) du, u U IR (4.34) α f(u)h(u) du [ ] (4.34) eşitliğinin u ya göre türevi alınırsa α f(u) sin u α f(u) cos u x (u) = α f(u)g(u) [ α f(u)h(u) ], u U (4.35) elde edilir. C eğrisinin yay parametresi s olmak üzere, u ѕ = ѱ(u) = x (u) du (4.36) u o (4.36) denkleminin türevi alınırsa ve (4.35) eşitliği kullanılırsa, x (u) = α f(u) { + (g(u)) 2 + (h(u)) 2 2 } (4.37) elde edilir. ѱ U L IR fonksiyonunun tersi φ olsun. Bu durumdan u = φ(ѕ) φ (ѕ) = dx(u) du, ѕ L yazılır. ds du = x (u), du ds = x (u) = φ (ѕ) 44

olarak bulunur. Burada s e göre türev ( ) şeklinde gösterilmiştir. C eğrisinin her bir x(φ(ѕ)) noktasındaki birim teğet vektörü olan e (ѕ), e (ѕ) = dx(φ(ѕ)) ds = dx du du ds = dx dx φ (ѕ) = du du x (u) = x (u) x (u) şeklindedir. (4.35) ve (4.37) eşitlikleri birlikte ele alnırsa, { + (g(φ(ѕ))) 2 + (h(φ(ѕ))) 2 } 2 sin(φ(ѕ)) e (ѕ) = { + (g(φ(ѕ))) 2 + (h(φ(ѕ))) 2 } 2 cos(φ(ѕ)) { + (g(φ(ѕ))) 2 + (h(φ(ѕ))) 2 } 2 g(φ(ѕ)), ѕ L (4.38) [ { + (g(φ(ѕ))) 2 + (h(φ(ѕ))) 2 2 } h(φ(ѕ)) ] olarak bulunur. Aşağıda kolaylık olması açısından bazı terimlerin kısaltmaları verilmiştir. f = f(φ(ѕ)), g = g(φ(ѕ)), h = h(φ(ѕ)) g = g (φ(ѕ)) = dg(u) du, h = h (φ(ѕ)) = dh(u) du g = g (φ(ѕ)) = d2 g(u) du 2, h = h (φ(ѕ)) = d2 h(u) du 2 φ = φ (ѕ) = dφ(ѕ) ds A = + g 2 + h 2, B = gg + hh, C = g 2 + h 2 D = gg + hh, E = g g + h h, F = g 2 + h 2 Buradan u ya türev alınırsa aşağıdaki eşitlikler elde edilir. 45

A = 2B, B = C + D, C = 2E, φ = α f A /2 Kısaltmalar yerine yazılırsa (4.38) eşitliği e = e (ѕ) = [ A /2 sin(φ(ѕ)) A /2 cos(φ(ѕ)) A /2 g A /2 h ] (4.39) şeklinde yeniden yazılabilir. (4.39) denkleminin türevi alınırsa, 2 A 3 2A sin(φ(ѕ)) + A 2cos(φ(ѕ)) e = φ 2 A 3 2A cos(φ(ѕ)) A 2sin(φ(ѕ)) 2 A 3 2A g + A 2g [ 2 A 3 2A h + A 2h ] (4.40) A 3 2Bsin(φ(ѕ)) + A 2cos(φ(ѕ)) A 3 2Bcos(φ(ѕ)) A 2sin(φ(ѕ)) = φ A 3 2Bg + A 2g [ A 3 2Bh + A 2h ] elde edilir. Frenet formüllerinden k = k (ѕ) = e = φ A (A + AC B 2 ) 2 (4.4) dir. e 2 = (k ) e (4.40) ve (4.4) eşitlikleri kullanılıp ve (A + AC B 2 ) /2 = T olarak alınırsa, 46

e 2 = [ A /2 BTsin(φ(ѕ)) + A /2 Tcos(φ(ѕ)) A /2 BTcos(φ(ѕ)) A /2 Tsin(φ(ѕ)) A /2 BTg + A /2 Tg A /2 BTh + A /2 Th ] (4.42) elde edilir. (4.42) denkleminin türevi alınırsa, e 2 = (φ A 3/2 (A + AC B 2 ) /2 (B 2 AC AD) + φ A /2 (A + AC B 2 ) 3/2 B(B + AE BD) φ A /2 (A + AC B 2 ) /2 )sin(φ(ѕ)) (φ A /2 (A + AC B 2 ) 3/2 (B + AE BD)) cos(φ(ѕ)), (φ A 3/2 (A + AC B 2 ) /2 (B 2 AC AD) + φ A /2 (A + AC B 2 ) 3/2 B(B + AE BD) φ A /2 (A + AC B 2 ) /2 )cos(φ(ѕ)) + (φ A /2 (A + AC B 2 ) 3/2 (B + AE BD)) sin(φ(ѕ)), (φ A 3/2 (A + AC B 2 ) /2 (B 2 AC AD) + φ A /2 (A + AC B 2 ) 3/2 B(B + AE BD)) g (φ A /2 (A + AC B 2 ) 3/2 (B + AE BD)) g + (φ A /2 (A + AC B 2 ) /2 )g, (φ A 3/2 (A + AC B 2 ) /2 (B 2 AC AD) + φ A /2 (A + AC B 2 ) 3/2 B(B + AE BD)h (φ A /2 (A + AC B 2 ) 3/2 (B + AE BD)) h + (φ A /2 (A + AC B 2 ) /2 )h ) elde edilir. (A + AC B 2 ) 3/2 = σ olarak alınırsa, 47

(P Q)sin(φ(ѕ)) Rcos(φ(ѕ)) e 2 + k e = φ A 3/2 σ (P Q)cos(φ(ѕ)) + Rsin(φ(ѕ)) Pg Rg + Qg [ Ph Rh + Qh ] dir. Burada P = (A + AC B 2 ) 2 + (A + AC B 2 )(B 2 AC AD) + AB(B + AE BD) Q = A 2 (A + AC B 2 ) R = A 2 (B + AE BD) dir. P ifadesi aynı zamanda P = A 2 ( + C + BE D CD) dir. e 2 + k e eşitliği e 2 + k e = φ A /2 σ [ (P Q )sin(φ(ѕ)) R cos(φ(ѕ)) (P Q )cos(φ(ѕ)) + R sin(φ(ѕ)) P g R g + Q g P h R h + Q h ] şeklinde yeniden yazılabilir. Burada P = + C + BE D CD Q = A + AC B 2 R = B + AE BD dir. 48

e 2 + k e 2 = (φ ) 2 A(A + AC B 2 ) 3 {P 2 2P Q + Q 2 + R 2 + P 2 (g 2 + h 2 ) + R 2 (g 2 + h 2 ) + Q 2 (g 2 + h 2 ) 2P R (gg + hh ) 2R Q (g g + h h ) + 2P Q (gg + hh )} = (φ ) 2 A(A + AC B 2 ) 3 {A( + C + BE D CD) 2 2( + C + BE D CD)(A + AC B 2 ) + (A + AC B 2 ) 2 + (B + AE BD) 2 + C(B + AE BD) 2 + F(A + AC B 2 ) 2 2B( + C + BE D CD)(B + AE BD) 2E(B + AE BD)(A + AC B 2 ) + 2D( + C + BE D CD)(A + AC B 2 )} = (φ ) 2 A(A + AC B 2 ) 3. {(A + AC B 2 ) 2 ( + F) + 2(A + AC B 2 )(D )( + C + BE D CD) 2(A + AC B 2 )E(B + AE BD) + A( + C + BE D CD) 2 + (B + AE BD) 2 ( + C) 2B( + C + BE D CD)(B + AE BD)} (4.43) (4.43) eşitliğinin son 3 terimi yeniden düzenlenirse, A( + C + BE D CD) 2 + (B + AE BD) 2 ( + C) 2B( + C + BE D CD)(B + AE BD) = (A + AC B 2 )( + C 2D 2CD + D 2 + CD 2 + 2BE 2BDE + AE 2 ) elde edilir. (k 2 ) 2 = e 2 + k e 2 = (φ ) 2 A(A + AC B 2 ) 2. {(A + AC B 2 )( + F) + 2(D )( + C + BE D CD) 2E(B + AE BD) + + C 2D 2CD + D 2 + CD 2 + 2BE 2BDE + AE 2 } (4.44) dir. 49

(k ) 2 = (φ ) 2 A 2 (A + AC B 2 ) (4.45) dir. (4.44) ve (4.45) denklemlerinden (k ) 2 + (k 2 ) 2 = (φ ) 2 A 2 (A + AC B 2 ) 2. {(A + AC B 2 ) 3 + A 3 (A + AC B 2 + AF + ACF B 2 F C + 2D + 2CD 2BE AE 2 D 2 CD 2 + 2BDE)} (4.46) elde edilir. (4.46) denkleminde ifadesi yerine yazılırsa, φ = α f A /2 (k ) 2 + (k 2 ) 2 = α 2 f 2 A 3 (A + AC B 2 ) 2. {(A + AC B 2 ) 3 + A 3 (A + AC B 2 + AF + ACF B 2 F C + 2D + 2CD 2BE AE 2 D 2 CD 2 + 2BDE)} (4.47) elde edilir. k = α f A 3/2 (A + AC B 2 ) /2 olduğundan f = A 3/2 (A + AC B 2 ) 5/2. {(A + AC B 2 ) 3 + A 3 (A + AC B 2 + AF + ACF B 2 F C + 2D + 2CD 2BE AE 2 D 2 CD 2 + 2BDE)} (4.48) şeklinde verilen f fonksiyonu için k = α{(k ) 2 + (k 2 ) 2 } eşitliği sağlanır. A = + g 2 + h 2 50

A + AC B 2 = + g 2 + h 2 + g 2 + h 2 + (gh g h) 2 A + AC B 2 + AF + ACF B 2 F C + 2D + 2CD 2BE AE 2 D 2 CD 2 + 2BDE = (g + g ) 2 + (h + h ) 2 + {(gh g h) (g h g h )} 2 + (gh g h) 2 ifadeleri (4.48) de yerine yazılırsa, f = ( + g 2 + h 2 ) 3 2. { + g 2 + h 2 + g 2 + h 2 + (gh g h) 2 } 5 2. [{ + g 2 + h 2 + g 2 + h 2 + (gh g h) 2 } 3 + ( + g 2 + h 2 ) 3. {(g + g ) 2 + (h + h ) 2 + ((gh g h) (g h g h )) 2 + (gh g h) 2 }] elde edilmiş olur. 4... Genelleştirilmiş Mannheim Eğrilerine Örnek () Teorem 4..4. te g(u) ve h(u) fonksiyonları α pozitif bir sabit olmak üzere g(u) = sin h(u) ve h(u) = cos h(u) olarak alınsın. Buradan f fonksiyonu şeklinde elde edilir. f(u) = + cosh2 u 2cosh 2 u E 4 te C eğrisi x U E 4 5

α 2 + cosh2 u cosh 2 sin u du u α x(u) = 2 + cosh2 u cosh 2 cos u du u α 2 + cosh2 u cosh 2 sinh u du u α [ 2 + cosh2 u cosh 2 u cosh u du ], u U olarak verilsin. C eğrisinin yay parametresi s olsun. u = φ(ѕ) olarak verilsin. Buradan du ds = φ (ѕ) = coshφ(ѕ) α( + cosh 2 φ(ѕ)), s L elde edilir. C eğrisinin yay parametresi x(ѕ) = x(φ(ѕ)), şeklinde yeniden parametrize edilsin. Böylece C eğrisi x(ѕ) = 2 sin g(ѕ) d s coshg(ѕ) 2 cos g(ѕ) ds coshg(ѕ) 2 sinhg(ѕ) coshg(ѕ) ds [ 2 ds ], s L. elde edilir. C eğrisi özel Frenet eğrisi olduğu için eğrilik fonksiyonları aşağıdaki gibi bulunur. k (ѕ) = α( + cosh 2 g(ѕ)), k 2 (ѕ) = coshg(ѕ) α( + cosh 2 g(ѕ)), 52