Grafik Çizimi Bir fonksionun grafigi sonsuz çoklukta nokta içerebileceğinden, bu noktaları koordinat düzleminde işaretlemek mümkün olmaabilir. Arıca eğri üzerindeki bir kaç noktanın belirlenerek grafiğin çizilmesi de sağlıklıolmaz. Çünkü böle bir durumda iki nokta arasında kalan parçanın davranışı hakkında kesin bir bilgi bulunmaz. Bu nedenle fonksionun bazı özelliklerini kullanarak grafiğini düzgün bir şekilde çizebiliriz. Bu özelliklerin başında fonksionun kritik noktalarıile artanlık ve azalanlık kavramlarıgelmektedir. Yine fonksionun konvekslik ve konkavlık durumu ile varsa asimtotlarının belirlenmesi grafiğin daha net çizilmesinde arar sağlar. Grafik çizimine geçmeden fonksionun konvekslik ve konkavlık durumu ile asimtotlarının nasıl belirleneceğini inceleelim. Düzlemde bir kümenin herhangi iki noktasınıbirleştiren doğru parçasıine bu küme içinde kalıorsa bu kümee konveks küme adı verilir. Örneğin üçgenlerin, karelerin ve çemberlerin iç bölgeleri birer konveks kümedir. Ancak düzlemde ıldız şeklinde bir küme konveks değildir. Bu düşünce ile [a, b] üzerinde tanımlı sürekli bir f fonksionu verildiğinde eğer fonksionun grafiğinin üst tarafında kalan bölge konveks ise f fonksionu konvekstir vea ukarıbükümlüdür denir. Eğer fonksionun grafiğinin alt tarafında kalan bölge konveks ise f fonksionu konkavdır vea aşağıbükümlüdür denir. Örneğin = fonksionu konveks, = 1 fonksionu 3 konkavdır. Yine = fonksionu (, 0] aralığında konkav, [0, ) aralığında konvekstir. Buradan da anlaşılacağı üzere, (a, b) aralığında artarken f nin grafiğine teğet olan doğruların eğimleri artarsa fonksion bu aralıkta konvekstir. Eğer teğet olan doğruların eğimleri azalırsa fonksion bu aralıkta konkavdır. Buna göre aşa gıdaki tanımıverebiliriz. Tanım f fonksionu (a, b) aralı gında türevlenebilir olsun. 1. E ger f fonksionu (a, b) aralĭ gında artan ise f nin grafi gi bu aralıkta konvekstir.. Eğer f fonksionu (a, b) aralĭgında azalan ise f nin grafiği bu aralıkta konkavdır. Bir fonksionun artan ve azalan olduğu bölgeleri onun türevinini işareti ardımıla belirlenebilmektedir. Eğer (a, b) aralığında f fonksionu türevlenebilir ve bu aralıktaki her için (f ) () = f () > 0 ise f fonksionu artan, dolaısıla f fonksionu konvekstir. Eğer (a, b) aralığındaki için (f ) () = f () < 0 ise f fonksionu azalan, dolaısıla f fonksionu konkavdır. Buna göre f fonksionunu ikinci türevinin işareti ardımıla konveks ve konkav olduğu aralıklarıbelirleebiliriz.
Şimdi de grafik çiziminde kullanılacak bir başka kavran olan asiptot ile ilgili bazıtemel bilgiler verelim. Asimtot kavramının daha bilimsel bir tanımının olmasına rağmen kabaca fonksionun grafiğinin sonsuzda teğet olduğu eğri vea doğru olarak tanımlaabiliriz. Asiptotlar, Yata-Eğik-Eğrisel Asiptotlar ve Düşe Asimtotlar olmak üzere iki guruba arılır. 1-) Yata-Eğik-Eğrisel Asiptotlar: = f() fonksionu ± için g() 0 olmak üzere f() = φ() + g() biçiminde azılabiliorsa φ() fonksionu f fonksionunu grafiğinin bir asimtotu olur. Eğer φ() = a (sabit) biçiminde ise ata asimtot, φ() = a + b biçiminde ise eğik asimtot ve derecesi birden büük bir polinom ise eğrisel asimtot olur. Yata, eğik ve eğrisel asimtotlardan bir tanesi var ise diğerleri var olmaz. Fonksionun grafiği sonsuzda asimtota teğet olduğundan fonksionun grafiği bazıhallerde bu tip asimtotlarısonlu değerlerine karşılık gelen noktalarda kesebilir. Örnek f() = 1 fonksionu f() = 1 biçiminde azılabilir. Burada φ() = ve g() = 1 olarak düşünüldüğünde φ() = nin bir ata asimtot olduğu görülebilir. Dikkat edilirse lim ± f() = dir. Bu fonksionun grafiği aşağıda verilmiştir. 3 1 Uarı5 Eğer = f() fonksionu bir rasonel fonksion ise bir polinom bölmesi işlemi ile ata, eğik vea eğri asimtot bulunabilir. Örnek 6 f() = +3 1 fonksionu f() = +3 1 biçiminde azılabilir. Buradan φ() = + 3 bu fonksionun bir eğik asimtotu olur. Örnek 7 f() = 3 ++1 +1 fonksionu ise f() = + 1 +1 biçiminde azılabileceğinden φ() = + eğrisi f nin bir eğrisel asimtotu olur. 6
30 0 Uarı8 Rasonel fonksionların bu tip asimtotlarınıbulmak kola olmasına rağmen bu durum her hangi bir fonksion için bu kadar kola olmaabilir. Ancak eğer lim ± f() = a oluorsa φ() = a sabiti f nin ata asimtotu olur. Örnek 9 f() = ln ata asimtottur. fonksionu için lim ln = 0 olduğundan φ() = 0 1 0 0 30 0 50 1 Uarı30 a > 0 olmak üzere f() = a + b + c tipindeki fonksionlar için φ() = a + b a fonksionu eğik asimtottur. için φ nin pozitif parçası, için negatif parçası kullanulır. a < 0 için f nin asimtotu oktur. Örnek 31 f() = egrisi için φ 1 () = 1 ve φ () = + 1 eğik asimtotlardır. 3 1 0 1 3 -) Düşe Asiptotlar: a bir reel saıolmak üzere lim f() =, lim a + f() =, lim a f() =, lim a + f() = a eşitliklerinden biri sağlanıorsa = a doğrusuna = f() fonksionunu grafiği için bir düşe asimtottur denir. Fonksionların grafikleri düşe asimtotları kesmez.bir fonksiounu birden fazla düşe asimtotu olabilir 63
Uarı3 f() = P () Q() tipinde rasonel bir fonksion için Q() = 0 denkleminin kökleri düşe asimtot olabilir. Bu denklemin bir kökü P () = 0 denkleminin bir kökü deilse bu bir ata asimtottur. Eğer bu kök anı zamanda P () = 0 denkleminin de bir kökü ise bu noktada f nin limitine bakmak gerekir. Örnek 33 f() = +5 1 3 eğrisinin düşe asimtotlarınıbulalım. 3 = 0 ise 1 =, = 0 ve 3 = olur. Bunlardan 1 =, = 0 düşe asimtotturlar, ancak lim f() = 9 8 olduğundan 3 = düşe asimtot değildir. 0 0 0 0 Uarı3 Rasonel fonksionlar için düşe asimtot bulmak için padanın köklerini bulmak işi kolalaştırmaktadır. Ancak herhangi bir fonksion için limit alınması gereken a saısını tahmin etmek gerekir. Örnek 35 f() = 1 eğrisi için = 0 doğrusundan başka bir doğrunun düşe asimtot olamaacağınıanlamak gerekmektedir. Bu noktada ise lim 0 + f() = olduğundan = 0 bir düşe asimtottur. Dikkat edelimki burada lim 0 f() = 0 dır. Yukarıda belirtilen bilgiler dikkate alınarak bir fonksionun grafiği çizilebilir. Bunun için aşağıda bahsedilen olu izlemekte arar vardır. 1. İlk olarak fonksionun tanım kümesi bulunur.. Asimtotlar bulunur. 3. Eğrinin koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur.. Birinci türevin işareti incelenir. Bölece fonksionun artan ve azalan olduğu aralıklar ile erel ekstremum noktalarıtesbit edilir. 6
5. İkinci türevin işareti incelenir. Bölece fonksionun konveks ve konkav oluğu aralıklar ile büküm noktalarıtesbit edilir. 6. Bu bilgiler bir tablo haline dönüştürülerek grafik çizilir. Örnek 36 f() = 8 0 0 Örnek 37 f() = (+1) 8 6 6 8 6 Örnek 38 f() = + 1 Örnek 39 f() = e +1 0 65
Örnek 0 f() = ln( 1 +1 ) 5 5.8 Ek Sorular Örnek 1 Aşağıda verilen fonksionların grafiğini türev ardımıla çiziniz. 1. f() = 1. f() = 3 + 3. f() = e. f() = e 1 5. f() = 1 ( ) 3 6. f() = ( 1) /3 66