Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki gibidir. = log a < a < için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a < a < için f() = log a fonksionunun grafi i andaki gibidir. = log a ÖRNEK A a daki üstel fonksionlar n grafiklerini çiziniz. a. f : [, ] R, f() = ÖRNEK 5 A a daki fonksionlar n grafiklerini çiziniz. a. f : ;, m R, f() = log b. f : [, ] R, f() = c m a. = b. f : R R, f() = log a. = log f( ) = =, f() = =, a = > oldu- undan f nin grafi i ukar daki gibidir. fc m = log =, f() = log = log = ve a = > oldu undan grafik ukar daki gibidir. b. = b. Taban (, ) aral nda olup f() azaland r. = için = log = c m = dir. Yani grafik eksenini (, ) da keser. Ar ca > olaca ndan grafik a a daki gibi olur. = log = f( ) = c m =, f() = c m, a = < oldu undan f nin grafi i ukar daki gibidir. 5
Fonksionlar ÖRNEK ÖRNEK = f() = f() = f() in grafi i verilmi tir. Buna göre f() = denkleminin kaç gerçel kökü vard r? Yukar da grafi i verilen = f() fonksionu için f() (fof)( ) ifadesinin e itini bulunuz. Grafik (, ), (, ) ve (, ) noktalar ndan geçti inden f() =, f() = ve f( ) = d r. (fof)( ) = ff (( )) = f() = olup Z f() (fof)( ) = = 5 bulunur. = Grafikte görüldü ü gibi = do rusu grafi i noktada kesmektedir. Dola s la f() = denkleminin kökü vard r. Bu kökler, ve tür. ÖRNEK ÖRNEK = f( ) Bir kenar n n uzunlu u br olan karenin alan n, çevresinin bir fonksionu olarak ifade edip bu fonksionun grafi ini çiziniz. Yukar da = f( ) fonksionunun grafi i çizilmi tir. Buna göre f( ) f( 5) f( ) kaçt r? Grafik (, ) noktas ndan geçiorsa = için = olur. Yani f(. ) = f() = olur. Bir kenar br olan karenin çevresi Ç = = Ç olur. Bu karenin alan, A = Ç A = c m A = Ç 6 olur. O halde, bir kenar uzunlu u br olan karenin alan n n, çevresinin bir fonksionu olarak ifadesi: A = f(ç) = Ç 6 d r. Grafik (, ) noktas ndan geçiorsa = için = olur. Yani f(. ) = f() = olur. A (Alan) A= Ç 6 Grafik (, ) noktas ndan geçiorsa = için = olur. Yani f(.( ) ) = f( 5) = olur. f( ) f( 5) = = bulunur. f( ) Ç (Çevre) 6
Fonksionlar BA INTI GRAF KLER ÖRNEK 7 ÖRNEK 6 = ba nt s n n grafi ini çiziniz. = f() = ba nt s için = < için = = olaca ndan grafi i a a daki gibi olur. = f() fonksionunun grafi i ukar daki gibidir. Buna göre = f() in grafi ini çiziniz. = Grafi in > olan (. ve. bölgeler) k sm n anen al p di er k sm n sileriz. Ald m z k s m ile bu k sm n eksenine göre simetri inin birle imi istenen grafiktir. = Pratik Yol: = f() ba nt s n n grafi i çizilirken = f() in grafi i çizilir. Çizilen grafi in > olan bölgesindeki k sm ile bu k sm n eksenine göre simetri inin birle imi = f() in grafi ini olu turur. = ba nt s n n grafi ini pratik oldan çizelim. = = ÖRNEK 8 = ba nt s n n grafi ini çiziniz. = = v = olaca ndan = v = = ile = fonksionlar n n grafiklerinin birle imi = ba nt s n n grafi idir. = ba nt s n n grafi ini pratik oldan çizelim. = = = = 6
Fonksionlar ÖRNEK 9 ba nt s n n grafi ini çiziniz. olaca ndan istenen grafik = ile = do rular n n aras ndaki bölgedir. (Do rular dahil) Pratik Yol: = f() ba nt s n n grafi i çizilirken = f() in grafi i ile bu grafi in eksenine göre simetri inin birle imi al n r. = f() a b ÖRNEK ba nt s n n grafi ini çiziniz. olaca ndan istenen grafik = ile = parabollerinin aras ndaki bölgedir. (Paraboller dahil) = = = f() a b ÖRNEK = sin ba nt s n n [, ] aral ndaki grafi ini çiziniz. = sin in grafi i a a daki gibidir. ÖRNEK = ba nt s n n grafi ini çiziniz. = = v = olaca ndan grafik a a daki gibi olur. = O halde, = sin in grafi i = bulunur. 7
Fonksionlar ÖRNEK 5 Pratik Yol: = f( ) fonksionunun grafi i çizilirken = f() in grafi i çizilir. = f() Çizilen grafi in > olan bölgesindeki k sm ile bu k sm n eksenine göre simetri inin birle imi al n r. = f() fonksionunun grafi i ukar daki gibidir. Buna ÖRNEK göre, = f(), = f( ), = f(), = f() fonk- d = f() sionlar n n grafiklerini çiziniz. a b c = f() in grafi i ukar daki gibidir. Buna göre = f( ) in grafi ini çiziniz. = f() Grafi in > olan (. ve. bölgeler) k sm n anen al p di er k sm n sileriz. Ald m z k s m ile bu k sm n eksenine göre simetri inin birle imi istenen grafiktir. = f( ) d = f( ) c b b c = f() ÖRNEK A a da = f() ile = f( ) fonksionlar n n grafik- leri çizilmi tir. nceleiniz. = f() = f( ) = f() 8
ÇÖZÜMLER. = = 5. Grafi in üzerinde bulunan (, ), (, ) ve (, ) noktalar n n üçünü de sa laan fonksion, = * fonksionudur., >. ekilde, ekseninin alt ndaki k s m eksenine göre simetri i al narak ukar katlanm t r. 6. f() = f () = olur.. f() = fonksionunun tan ml olmas için olmal d r.. f() = fonksi- onunun grafi i andaki gibidir. ekseninin alt ndaki k s m eksenine göre simetri i al narak ukar katland - = nda = in grafi i elde edilir. 7. < ve > e itsizlikleri taral bölgei sa lar. < < olur. > Ar ca. ve. bölgeleri sa laan bir di er ko ul. oldu undan E seçene i do rudur. 8. Grafi in üzerindeki (, ), (, ) ve (, ) noktalar n n üçünü de sa laan fonksion = fonksionudur.. 9. = ba nt s n n grafi i (, ] [, ] için = olaca ndan en küçük de er oktur. (, ) için = parabolünün en küçük de erini bulal m. b r = = = a. f(r) = fc m= c m = = olur. 8 8 < > = < < = > > = > < = En küçük de er 8 dir. biçiminde olup elde edilen ekil bir karedir.
Fonksionlar. < ise = ve = oldu undan f() = = =. f() = a f a () = a a = a = olur. olaca ndan, = = bulunur.. a > olmak üzere, Grafi in üzerindeki (a, a) noktas n sa laan fonksion = a fonksionudur. 5. Grafikte f () = oldu undan f[f() ] = f () = f () f () = = 7 bulunur.. için f() = = = < için f() = = = =, olaca ndan f() = ) bulunur., <. f() = ve g() = ise (gof)() = ( ) = 6. = ( f() f()) fonksionunda f() için = (f() f()) = f() f() < için = ( f() f()) = olaca ndan, f() için (gof)() = = < için (gof)() = = olaca ndan grafik a a daki gibi olur. = = 7. = fonksionunun tan ml olmas için 7 olmal d r.
Fonksionlar 8. = fonksionunda için = = < için = = oldu undan grafik a a daki gibi olur.. f() = fonksionunda için f() = = < için f() = = olaca ndan,, f() = ), < bulunur. Bu fonksionun grafi i a a daki gibidir. 9. {(, ), (, ), (, ) } fonksionu bire bir ve örten oldu undan ters fonksionu vard r.. < için < < < olur. =. f() = a b c iken f() = f( ) a b c = a b c a b = a b b = b b = olmal d r. < için < < < olur. = Buldu umuz iki grafi in kesi imi olan a a daki. Verilen karenin iç bölgesini elde etmek için < < ve < < olmal d r. Bu durumda grafik < ba nt s n n grafi idir. = < < < < < < olur. =
Fonksionlar. 7. f() = f () = f() f() = g() (f g)() Z, ] oldu undan (f g)() = [, ] \, < < bulunur. Bu fonksionun grafi i a a daki gibidir. f(f()) = f() = f() = oldu undan f( ) f ( ) = = bulunur. ff (( )) 8. f () = için f( ) = = = f() = = f() = = f( ) f() f() = = bulunur. 5. f : R { } R { }, f() = f () = b a olaca ndan a b b = = b, a = = a f() in tan m kümesi R b ' olur. 9. f () in tan m kümesi f () in de er kümesi olaca ndan f () = f () = = = f() in de er kümesi R {} bulunur. görüntü kümesi R a & olup b = b = 6, a = a = 9 (a, b) = (9, 6) bulunur.. <, f () = 6 6 = 6 9 = 9 ( ) = ( ) = f ( ) 6. = f () = f ( ) Bu durumda olur. f () = = bulunur. = = = f () = bulunur.
Fonksionlar. g() = (fog)() = fg ( ( )) Y = f() = g() = ve f() = oldu undan g( ) ( fog)( ) = = bulunur. f( ) 6. f() = fonksionu için tan ml olaca ndan Dola s la T = [, ] dir. Görüntü kümesinin olur. en büük de eri f() = =. f() do rusunun denklemi = f ( ) = f() = olur. f () = olaca ndan (f og)(6) = f (g(6)) = f (f(6)) = 6 en küçük de eri f() = = oldu undan G = [, ] olur. T G = [, ] [, ] = [, ] bulunur. (gof )( )) = g(f ( )) = g() = (f og)(6) (g of )( ) = 6 = 9 olur.. Verilen grafi e göre f() = f() =, f() = 8 g() = ve g () = (fog of)() = f(g )( f ( ))) W = f(g (8)) = f() = 8 7. f() = fonksionu ile g() = fonksionunun grafiklerinin kesim noktalar n n apsisleri = denkleminin kökleridir. = v = = 6 v = olur. = Ç = Ø = 6 = 6 v = 6 = 9 v = = 9 = 6 bulunur.. 9 = ba nt s için 9 = = 9 < için 9 = = 9 olur. Bu ko ullar sa laan grafik D seçene indedir. 8. f() = ise f() = vea f() = f() = vea f() = f() = f() = vea f() = = 5 vea = 5 5. log ( ) = = = f() = f() = vea f() = ( kök var) ( kök var) f () = O halde toplam 6 tane de eri vard r.
Fonksionlar 9. f() = 5 olur., ise. f : Z Z, f() = *, $ ise f = {..., (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),...} olup f bire birdir. Görüntü kümesi Z \ {, } oldu undan örten de ildir. O halde, aln z I do rudur.. g() = f( ) g( ) = f( ) g( ) = f( ) olur. Grafi e bak ld nda f( ) = oldu u görülür. Bu durumda, g( ) = f( ) = = g() = f( ) g(5) = f(5 ) g(5) = f(). f() < f( ) olmak üzere, f() < f() I. f() < f(5) tir. f( ) < f( 5) II. f( ) < f() f( ) < f() f( ) > f() f( ) = f() olabilir. g(5) = = d r. O halde, g( ) g(5) = = tür. III. f() < f() f() < f() f() f() < f() f() <.f() ise f() f() <.f() tür.. f() = *, rasonelse, rasonel de ilse (fof) d n= ff d = fc m = fc m n p 5 =. = olur.