1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir. K skalarların cismi,, veya K nın elemanları verilen vektör uzayı,, nin elemanları 2.VEKTÖR UZAYLARI Aşağıda bir vektör uzayı veya lineer uzay kavramı tanımlanmıştır. Tanım: K verilen bir cisim ve V, herhangi, V yi bir V toplamına, ve V,kK için V çarpımına eşleyen toplama ve skalar ile çarpma kuralları ile boş olmayan bir küme olsun. O zaman eğer aşağıdaki aksiyomlar sağlanıyorsa V bir vektör uzayıdır (ve V nin elemanlarına vektör denir.) [A 1 ] Herhangi,, V için [A 2 ] V de 0 ile gösterilen ve sıfır vektörü denen bir vektör vardır ve bunun için her V vektörü için 0 dur. [A 3 ] Herbir V vektörü için, V de ile gösterilen ve 0 olan bir vektör vardır. [A 4 ] Herhangi, V vektörler için, [M 1 ] Herhangi k K skaları ve herhangi, V vektörleri için, [M 2 ] Herhangi, K skalarları ve herhangi V vektörü için, [M 3 ] Herhangi, K skalarları ve herhangi V vektörü için, [M 4 ] K birim skalarları ve herhangi bir V vektörü için. Yukarıdaki aksiyomlar doğal olarak iki kümeye ayrılır. İlk dört aksiyom V nin toplamının yapısı ile ilgilidir ve, V toplama altında bir değişmeli gruptur, diyerek özetlenebilir. Buradan, aşağıdaki haldeki herhangi bir vektörler toplamı parantez gerektirmez ve terimlerin sırasından bağımsızdır. Ayrıca sıfır vektör 0 tektir. nun negatifi tektir, ve sadeleştirme kuralı geçerlidir: yani, herhangi,, V vektörleri için ise dir. Çıkarma işlemi de şöyle tanımlanır: Diğer taraftan, kalan dört aksiyom, cisminin üzerindeki etkisi ile ilgilidir. Bu ek aksiyomları kullanarak, vektör uzaylarının aşağıdaki basit özellikleri ispatlanabilir.
Teorem 1:, cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. (i) Herhangi K skaları ve 0 V için, 0 0 (ii) 0 K herhangi V vektörü için, 0 0 (iii) Eğer 0, ve K ve V ise, o zaman 0 veya u 0 (iv) Herhangi K ve V için, 3. VEKTÖR UZAYI ÖRNEKLERİ Uzayı herhangi bir cisim olsun. gösterimi çoğunlukla nın elemanlarının tüm sınırlanmış lilerinin kümesini belirtir. Burada, üzerinde, vektör toplamı ve skalarla çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanan bir vektör uzayı olarak düşünülür. ve,,,,,,,,, de sıfır vektörü, sıfırlardan oluşan lidir; ve bir vektörün negatifi şöyle tanımlanır:, Vektör Uzayı,,,,,,. 0 0,0,,0,,,,,,, gösterimi veya basitçe,, herhangi bir cismi üzerindeki matrislerinin kümesini göstermek için kullanılır. O zaman, olağan matris toplama ve skalarla çarpma işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayıdır. Polinom Uzayı,, bir cismindeki tüm katsayılı 0,1,2, polinomlarının kümesini göstersin. O zaman, olağan polinom toplamı ve polinomların bir sabit ile çarpımı işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayıdır. Fonksiyon Uzayı X boş olmayan bir küme ve herhangi bir cisim olsun. X den ya tüm X fonksiyonlarının FX kümesini düşününüz. [X boş olmadığından F(X) in de boş olmadığına dikkat ediniz.] İki f, g FX fonksiyonu f gx fx gx, için ile tanımlanır ve k K skaları ile f FX fonksiyonun çarpımı kf FX ise kfx kfx, için
ile tanımlanır. O zaman FX, yukarıdaki operasyonlarla üzerinde bir vektör uzayıdır. Cisimler ve Altcisimler bir cisim olsun ve bir altcismini kapsasın. O zaman, üzerinde aşağıdaki gibi bir vektör uzayı olarak düşünülebilir. deki olağan toplama vektör toplamı olsun, ve ile nin skalarla çarpımı, ile nin cisminin elemanları olarak çarpımı olsun. O zaman, üzerinde bir vektör uzayıdır, yani vektör uzaylarının yukarıdaki sekiz aksiyomu ve tarafından sağlanır. 4. ALTUZAYLAR, bir cismi üzerinde vektör uzayının bir alt kümesi olsun. Eğer nin kendisi de üzerindeki vektör toplamı ve skalarla çarpım işlemlerine göre üzerinde bir vektör uzayı ise, ya de bir altuzay denir. Teorem 2:, vektör uzayının bir alt kümesi olsun. O zaman,, ancak ve ancak eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa nin bir altuzayıdır. (i) 0 W (ii), vektör toplamı altında kapalıdır. Yani: her, için, (iii), skalar ile çarpmaya göre kapalıdır. Yani: her, her K için, çarpım dir. (ii) ve (iii) koşulları tek bir koşul altında birleştirilebilir. Teorem 3:, nin bir alt uzayıdır, ancak ve ancak eğer (i) 0 W (ii) Her, ve, K için, K Örnek 1: (a) herhangi bir vektör uzayı olsun. O zaman, sadece sıfır vektöründen oluşan 0 kümesi, ve ayrıca tüm uzayı, nin bir altuzayıdır. (b), de üçüncü bileşenleri 0 olan vektörlerden oluşan düzlemi olsun; veya, bir başka deyişle,, 0:, R 0 ın üçüncü bileşeni 0 olduğundan 0 0,0,0 olduğuna dikkat ediniz. Dahası, daki herhangi,,0 ve,,0 vektörleri herhangi R skaları için,,,0 ve,, 0. (c), matrislerinin uzayı olsun. O zaman (üst) üçgensel matrislerden oluşan alt kümesi, nin alt uzaylarıdır; çünkü bunlar boş değildir ve matrislerin toplama ve skalarla çarpma işlemlerine göre kapalıdırlar. (d) nin polinomların vektör uzayı olduğunu hatırlayınız. Sabit bir için derecesi olan tüm polinomlardan oluşan nin alt kümesini alalım. O zaman, nin bir alt uzayıdır. Örnek 2: vektör uzayının altuzayları ve olsun. kesişiminin de nin bir diğer altuzayı olduğunu göstereceğiz. Açıkca 0 ve 0 dir. Çünkü ve altuzaylardır; burada 0 dır. Şimdi, varsayalım. O zaman,, ve, dır, çünkü ve altuzaylardır, ve herhangi bir skaları için,, ve,.
Böylece, dır ve buradan kümesi nin bir diğer altuzayıdır. Teorem 4: Bir vektör uzayının herhangi sayıdaki altuzaylarının kesişimi nin bir diğer altuzayıdır. Teorem 5: bilinmeyenli 0 homojen sisteminin çözüm kümesi nin bir altuzayıdır. 5. LİNEER BİRLEŞİMLER, LİNEER GERMELER cismi üzerinde bir vektör uzayı, ve,,, olsun. deki herhangi bir biçimindeki vektöre ler için,,,, nin lineer birleşimi denir. Tüm böyle lineer birleşimlerin,,, ile gösterilen kümesine de,,, nin lineer germesi denir. Genel olarak, nin herhangi bir alt kümesi için, boş iken 0, ve de deki bütün vektörlerin tüm lineer birleşimlerinden oluşur. Teorem 6: V vektör uzayının bir alt kümesi olsun. (i) O zaman, nin yi kapsayan bir altuzayıdır. (ii) Eğer, nin yi kapsayan bir alt uzayı ise, o zaman. Diğer yandan, verilen bir vektör uzayındaki,,, vektörleri için,,,, oluyorsa bu vektörlere geren vektörler veya nin bir geren kümesini oluştururlar denir. Bir başka deyişle, eğer her için, öyle,,, skalarları varsa ve yazılabiliyorsa, yani eğer vektörü,,,, nin bir lineer birleşimi ise,,, vektörleri yi gererler. Örnek 3: (a) vektör uzayını alalım. teki herhangi bir sıfır olmayan vektörünün lineer germesi, nun tüm skalar katlarından oluşur; geometrik olarak,, orjinden geçen ve son noktası olan doğrudur. Ayrıca birbirinin katı olmayan iki, vektörü için,, orjinden ve ile nin uçlarından geçen düzlemdir. u
(b) 1,0,0, 0,1,0 ve 0,0,1 vektörleri uzayını gererler. Özel durum olarak, teki herhangi bir,, vektörü için,, 1,0,0 0,1,0 0,0,1 olur. Yani, vektörü,,, ün bir lineer birleşimidir. (c) 1,,,, polinomları, tüm polinomların vektör uzayı olan yi gererler, yani 1,,,,. Bir başka deyişle, herhangi bir polinom, 1 ve t nin kuvvetlerinin bir lineer birleşimidir. Benzer şekilde, 1,,,, polinomları, derecesi olan tüm polinomların vektör uzayı olan yi gererler. Bir Matrisin Satır Uzayı cismi üzerinde herhangi bir matris olsun: nın satırları, a a a a a a A= a a a R a,a,,a,,r a,a,,a K de vektörler olarak düşünülebilirler ve böylece bunlar A nın satır uzayı diye adlandırılır ve satuz A ile gösterilir, bu vektörler K nin bir alt uzayını gererler. Yani, satuz A spanr,r,,r. Benzer şekilde, nın kolonları K de vektörler olarak düşünülebilirler ve böylece A nın kolon uzayı diye adlandırılır ve koluz A ile gösterilir, bu vektörler K nin bir altuzayını gererler. Bir başka şekilde, satuz A T dir. Şimdi ya aşağıdaki temel satır işlemlerini uyguladığımızı varsayalım: (i), (ii), 0, (iii), 0, ve matrisini bulalım. O zaman nin her satırı açıkça nın bir satırıdır veya nın satırlarının bir lineer birleşimidir. Böylece nin satır uzayı, nın satır uzayınca kapsanır. Diğer taraftan, ye ters temel satır operasyonlarını uygulayarak yı bulabiliriz; buradan, nın satır uzayı da nin satır uzayınca kapsanır. O halde, ve nin satır uzayınca kapsanır. O halde, ve nin satır uzayları aynıdır. Buradan aşağıdaki teoreme ulaşırız: Teorem 7: Satırca denk matrislerin satır uzayları aynıdır.
Teorem 8: Satırca kanonik matrislerin ancak ve ancak sıfır olmayan aynı satırlara sahiplerse, satır uzayları aynıdır. Teorem 9: Her matris kanonik haldeki bir tek matrise satırca denktir. Örnek 4: de vektörlerinin gerdiği W alt uzayı ile u 1,2, 1,3,u 2,4,1, 2 ve u 3,6,3, 7 v 1,2, 4,11 ve v 2,4, 5,14 vektörlerinin gerdiği alt uzaylarının eşit olduğunu; yani W olduğunu gösteriniz. Çözüm: Satırları u,u ve u olan matrisini oluşturunuz, ve yı satırca kanonik hale indirgeyiniz. 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 0 1/3 A2 4 1 2 ~0 0 3 8 ~0 0 1 8/3 3 6 3 7 0 0 6 16 0 0 0 0 Şimdi satırları v ve v olan matrisini oluşturunuz, ve yi satırca kanonik hale indirgeyiniz. 1 2 4 11 2 4 11 2 0 1/3 ~ 1 ~ 1 2 4 5 14 0 0 3 8 0 0 1 8/3 İndirgenmiş matrislerin sıfır olmayan satırları aynı olduğundan, ve nin satır uzayları aynıdır ve böylece W dir. 6. LİNEER BAĞIMLILIK ve LİNEER BAĞIMSIZLIK Aşağıda lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlık kavramı tanımlanmıştır. Bu kavramın lineer cebir teorisinde ve genelde matematikte temel bir rolü vardır. Tanım: cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. v,,v vektörlerine, eğer hepsi sıfır olmayan öyle a,,a skalarları var ve a v a v a v 0 (*) sağlanıyorsa, lineer bağımlı veya basitçe bağımlı denir. Tersi durumda, bu vektörlere K üzerinde lineer bağımsız veya basitçe bağımsız denir. Tüm a lar 0 ise (*) bağıntısının her zaman doğru olduğuna dikkat ediniz. Eğer bu bağıntı sadece bu durumda doğru ise, yani, a v a v a v 0a a a 0 ise o zaman vektörler lineer bağımsızdır. Diğer taraftan, eğer (*) bağıntısı a lardan en az biri 0 değilken doğru ise, o zaman vektörler lineer bağımlıdır. v,v,,v vektör kümesine v,v,,v vektörlerinin lineer bağımlı veya bağımsız olmalarına rağmen lineer bağımlı veya lineer bağımsız denir. Sonsuz bir S vektör kümesinde, lineer bağımlı u,u,,u vektörleri varsa, S kümesi lineer bağımlıdır; diğer durumlarda S lineer bağımsızdır.
Not 1. Eğer 0 (sıfır) vektörü v,,v vektörlerinden biriyse, örneğin v 0 ise, o zaman vektörler lineer bağımlı olmalıdır; çünkü olur ve v in katsayısı 0 değildir. 1v 0v 0v 1.0000 Not 2. Herhangi bir sıfır olmayan v vektörünün kendisi lineer bağımsızdır; çünkü olmasını gerektirir. kv0,v0 k0 Not 3. Eğer v,,v vektörlerinin herhangi ikisi eşitse veya biri diğerinin skalar çarpımı, diyelim ki v kv ise, o zaman vektörler lineer bağımlıdır. Zira bu durumda yazılabilir. v kv 0v 0v 0 Not 4. İki v,v vektörleri lineer bağımlıdır, ancak ve ancak biri diğerinin bir katı ise. Not 5. Eğer v,,v kümesi lineer bağımsız ise, o zaman bu vektörlerin herhangi v,,v sıralanması da lineer bağımsızdır. Not 6. Eğer bir S vektör kümesi lineer bağımsız ise, o zaman S nin herhangi bir alt kümesi de lineer bağımsızdır. Bir başka deyişle, eğer S nin lineer bağımlı bir alt kümesi varsa, o zaman S lineer bağımlıdır. Not 7. reel uzayında, vektörlerin lineer bağımlılığı geometrik olarak şöyle açıklanabilir; (a) Herhangi iki ve vektörü, ancak ve ancak orjinden geçen bir doğru üzerinde iseler (Şekil 5 2(a)) lineer bağımlıdır. (b) Herhangi üç, ve vektörleri, ancak ve ancak (Şekil 5 2(b)) orjinden geçen bir düzlemde yer alıyorlarsa lineer bağımlıdırlar. u v 0 a) ve lineer bağımlı b), ve lineer bağımlı Örnek 5: (a) 1, 1,0, 1,3, 1 ve 5,3,2 vektörleri lineer bağımlıdır, çünkü
31, 1,0 21,3, 1 5,3, 2 0,0,0. Yani 3 2 0 dır. (b) 6,2,3,4, 0,5,3,1 ve 0,0,7, 2 vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu göstereceğiz. Bu amaçla, 0 ve burada,, nin bilinmeyen skalarlar olduğunu varsayalım. O zaman 0,0,0,0 6,2,3,4 0,5,3, 1 0,0,7, 2 6, 2 5, 3 3 7, 4 2 ve böylece, ilgili bileşenlerin eşitliğinden, 6 0 2 5 0 3 3 7 0 420 İlk denklem 0 verir; ikinci denklem 0 ile 0 verir ve üçüncü denklem 0,0 ile 0 verir. Böylece Verir. O halde, ve lineer bağımsızdır. Lineer Birleşimler ve Lineer Bağımlılık 00,0,0 Lineer birleşimler ve lineer bağımlılık kavramları yakından ilgilidir. Özel olarak göstereceğiz ki, birden fazla vektör, diyelim ki, v,,v vektörleri lineer bağımlıdır ancak ve ancak bunlardan biri diğerlerinin bir lineer birleşimi ise. Lemma 1: İki veya daha fazla v,,v vektörünün lineer bağımlı olduğunu varsayalım. O zaman vektörlerden biri, kendisinden öncekilerin bir lineer birleşimidir, yani öyle bir k 1 vardır ki dır. v c v c v c v Örnek 6: Aşağıda eşelon biçimindeki matrisi düşününüz: 0 2 3 4 5 6 7 0 0 4 4 4 4 4 A 0 0 0 0 7 8 9 0 0 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 0 R,R ve R satırlarının ikinci kolonlarında 0 lar olduğuna dikkat ediniz. (R deki köşegende yer alan 1 elemanını aşağısı) ve buradan R,R ve R ün herhangi bir lineer birleşiminin ikinci bileşeni 0 dır. Böylece R, altındaki sıfır olmayan satırların lineer birleşimi olmaz. Benzer şekilde, R ve R satırlarının, üçüncü kolonlarında R deki merkez elemanının altında 0 lar vardır; böylece R, altındaki sıfır olmayan satırların bir lineer birleşimi olmaz. Son olarak, R,R ün bir katı olamaz, çünkü R ün beşinci kolonunda R teki merkezin altında sıfır vardır. Aşağıdan yukarıya doğru sıfır olmayan
R,R,R,R satırlarına bakarsak, hiçbir satır kendinden öncekilerin bir lineer birleşimi değildir. Böylece Lemma 1 den satırlar lineer bağımsızdır. Teorem 10: Eşelon biçimindeki bir matrisin sıfır olmayan satırları lineer bağımsızdır. 7. BAZ ve BOYUT Tanım: Bir S u,u,u vektör kümesi için, eğer aşağıdaki iki koşul sağlanıyorsa bu küme, V nin bir bazıdır: (1) u,u,u lineer bağımsızdır. (2) u,u,u V yi gerer. Tanım: Eğer her V vektörü bir Su,u,u vektör kümesindeki vektörlerin tek bir lineer birleşimi olarak yazılabiliyorsa S kümesi V nin bir bazıdır. Eğer V nin elemanlı bir bazı varsa, V ye sonlu boyutlu veya boyutludur denir ve yazılır. Teorem 11: V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. O zaman V nin her bazının aynı sayıda elemanı vardır. 0 vektör uzayı 0 boyutlu olarak tanımlanmıştır. Bir vektör uzayı sonlu boyutlu değilse, sonsuz boyutludur denir. Örnek 7: (a) cismi üzerinde tüm 23 matrislerin vektör uzayı, ü düşünelim. O zaman aşağıdaki altı matris, için bir baz oluşturur: 1 0 0 0 0 0, 0 1 0 0 0 0, 0 0 1 0 0 0, 0 0 0 1 0 0, 0 0 0 0 1 0, 0 0 0 0 0 1 Daha genel olarak, tipindeki matrisleri,, vektör uzayında, bileşeni 1 diğerleri 0 olan matrisler olsun. O zaman tüm böyle matrisleri,, için bir baz oluşturur, ve bu baza, nin olağan bazı denir. O zaman, olur. Özel durumda, vektörleri için olağan baz oluşturur. 1,0,,0, 0,1,,0,, 0,0,,1 (b) Derecesi olan tüm polinomların vektör uzayınını düşününüz. 1,,,, polinomları için bir baz oluşturur, ve böylece 1 olur. Teorem 12: Sonlu boyutlu bir vektör uzayı V olsun. (i) O zaman V nin her bazının aynı sayıda elemanı vardır. (ii) elemanlı herhangi bir lineer bağımsız,,, kümesi nin bir bazıdır. (iii) nin elemanlı herhangi bir germe kümesi,,, nin bir bazıdır.
Teorem 13: nin vektör uzayını gerdiğini varsayalım. (i) de herhangi maksimum sayıda lineer bağımsız vektörler V nin bir bazını oluşturur. (ii) den, öncekilerin lineer birleşimi olan her bir vektörün çıkarıldığını düşünelim. O zaman kalan vektörler nin bir bazını oluşturur. Teorem 14: sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun ve,,, de lineer bağımsız vektörlerden oluşan bir küme olsun. O zaman, nin bir bazının bir kısmıdır, yani,, nin bazı olacak şekilde genişletilebilir. Örnek 8: (a) de aşağıdaki dört vektörü düşününüz: 1,1,1,1, 0,1,1,1, 0,0,1,1, 0,0,0,1. Dikkat edilmelidir ki, vektörler eşelon halde bir matris oluşturur; buradan vektörler lineer bağımsızdır. Dahası, 4 olduğundan, vektörler ün bir bazını oluşturur. (b) de aşağıdaki 1 polinomu düşününüz: 1, 1, 1,, 1 1 nın derecesi k dir; böylece hiçbir polinom kendinden önceki bir lineer birleşimi olamaz. Burada, polinomlar lineer bağımsızdır. Dahası nin bir bazını oluştururlar, çünkü 1 dir. Boyut ve Altuzaylar Teorem 15: boyutlu bir vektör uzayının bir altuzayı olsun. O zaman olur. Özel durumda, eğer ise, o zaman olur. Örnek 9: (a) reel uzayının bir altuzayı olsun. Şimdi 3 tür; teorem 15 den nın boyutu sadece 0,1,2 veya 3 olabilir. Aşağıdaki durumlar olabilir: (i) 0, bu durumda 0, bir noktadır. (ii) 1, bu durumda orjinden geçen bir doğrudur. (iii) 2, bu durumda orjinden geçen bir düzlemdir. (iv) 3, bu durumda tüm uzayıdır. Bir Matrisin Rankı cismi üzerinde herhangi bir matris olsun. nın satırlarınca gerilen satır uzayının, nin bir altuzayı, ve nın kolonlarınca gerilen kolon uzayının, nin bir altuzayı olduğunu hatırlayınız. nın satır rankı, maksimum lineer bağımsız satır vektörlerinin sayısı veya eşdeğer olarak, nın satır uzayının boyutuna eşittir. Benzer şekilde nın kolon rankı, maksimum lineer bağımsız kolon vektörlerinin sayısı veya eşdeğer olarak, nın kolon uzayının boyutuna eşittir., nin bir altuzayı, ve kol, nin bir altuzayı olmasına rağmen, ye eşit olmayabilir. Bu gerçekle aşağıdaki önemli sonuca ulaşırız.
Teorem 16: Herhangi bir matrisinin satır rankı ve kolon rankı eşittir. Tanım: matrisinin rankı ile gösterilir ve nın satır rankı ve kolon rankının ortak değeridir. Bir matrisinin rankı, satır indirgeme yoluyla, kolayca aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi bulunabilir. Örnek 10: Aşağıdaki matrisin bir bazını ve satır uzayının boyutunu bulalım. 1 2 0 1 2 6 3 3 3 10 6 5, elementer satır operasyonlarıyla eşelon hale indirgenir: 1 2 0 1 1 2 0 1 ~ 0 2 3 1~0 2 3 1 0 4 6 2 0 0 0 0 Satırca denk matrislerin satır uzaylarının aynı olduğunu hatırlayınız. Böylece eşelon matrisin sıfır olmayan satırları, ki bunlar teorem 10 dan lineer bağımsızdır. nın satır uzayı için bir baz oluşturur. Böylece 2 ve 2 olur. 8. LiNEER DENKLEMLER ve VEKTÖR UZAYLARI Bir cismi üzerinde,,,, gibi bilinmeyenli lineer denklem düşünelim. veya eşdeğer olarak matris denklemi, (1) yazılır burada katsayı matrisidir, ve ve, sırasıyla, bilinmeyenlerden ve sabitlerden oluşan kolon vektörleridir. Sistemin eklemeli matrisinin aşağıdaki matris olduğunu hatırlayınız., Not 1: (1) denklemlerine, ilgili vektörlerin, yani, eklemeli matrislerin satırlarının lineer bağımlı veya bağımsız olması durumuna göre bağımlı veya bağımsız denir. Not 2: İki lineer denklem sistemi ancak ve ancak eğer ilgili eklenmiş matrisleri satırca denkse, yani aynı satır uzayları varsa, denktirler. Not 3: Bir denklem sistemini, her zaman lineer bağımsız bir denklem sistemi ile, örneğin eşelon haldeki bir sistem ile değiştirebiliriz. Bağımsız denklem sayısı her zaman eklenmiş matrisin rankına eşit olur.
(1) sisteminin aşağıdaki vektör denklemine denk olduğuna dikkat ediniz. Yukarıdaki yorum bize aşağıdaki temel var olma teoremini verir. Teorem 17: Aşağıdaki üç cümle eşdeğerdir. (a) lineer denklem sisteminin bir çözümü vardır. (b), nın kolonlarının bir lineer birleşimidir. (c) Katsayı matrisi ve eklemeli matrisi, nin rankları aynıdır. Teorem 17: 0 homogen lineer denklem sisteminin çözüm uzayı nun boyutu dir ve burada, bilinmeyen sayısı ve, katsayı matrisi nın rankıdır. Örnek 11: Aşağıdaki sistemin çözüm uzayı nun boyutunu ve bir bazını bulunuz. Önce sistem eşelon hale indirgenir: 2 2 3 0 230 3 6 8 5 0 2 2 3 0 220 2 4 4 0 veya 2 2 3 0 220 Eşelon haldeki sistemde 5 bilinmeyenli 2 (sıfır olmayan) denklem vardır; ve böylece sistemin 5 2=3 serbest değişkeni, ve dir. Buradan 3 olur. nin bir bazını bulmak için; (i) 1, 0, 0 alınarak 2,1,0,0,0 çözümü bulunur, (ii) 0, 1, 0 alınarak 5,0, 2,1,0 bulunur, (iii) 0, 0, 1 alınarak 7,0,2,0,1 bulunur.,, kümesi çözüm uzayı nin bir bazıdır.