FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit olmasını açıklar; verilen bir fonksionun artan, azalan vea sabit olduğu aralıkları belirler.. Kazanım : Çift fonksionu ve tek fonksionu açıklar, grafiklerini orumlar. Fonksionların Tanım Kümesi. Kazanım : Verilen bir fonksionun en geniş tanım kümesini belirler. Parçalı Fonksionlar. Kazanım : Parçalı fonksionun grafiğini çizer, ugulamalar apar.
FONKSİYONLAR FONKSİYON 9. sınıf matematik dersinde bağıntı ve fonksion konusunu arıntılı bir şekilde gördünüz. Bu konu ile ilgili bazı özellikleri eniden hatırlaalım. Fonksion: Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A nın her elemanını B nin bir ve alnız bir elemanına eşleen f bağıntısına A dan B e fonksion denir. f : A B vea = f() biçiminde gösterilir. A kümesine fonksionun tanım kümesi, B kümesine fonksionun değer kümesi denir. A kümesindeki elemanların B deki görüntülerinden oluşan f(a) kümesine fonksionun görüntü kümesi denir. ÖRNEK A = {,, } ve B = {a, b, c, d } olmak üzere, A B e tanımlanan aşağıdaki bağıntıların fonksion olup olmadığını tespit edip fonksion olanların görüntü kümelerini bulunuz. a. f = {(, a), (, b), (, b) } b. g = {(, a), (, c) } c. h = {(, a), (, b), (, c), (, d) } Grafiği verilen bir bağıntının fonksion olup olmadığını anlamak için tanım kümesindeki değerleri için eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği alnız bir noktada kesiorsa verilen bağıntı bir fonksiondur. ÖRNEK Aşağıda grafiği verilen bazı bağıntıların fonksion olup olmadığı tespit edilmiştir. İnceleiniz. = f() eksenine paralel çizilen doğrular grafiği alnız bir noktada kestiğinden = f() bir fonksiondur.
Fonksionlar = g() ÖRNEK A = {, }, B = {,,, 5, 6 } f : A B, f() = + ise f(a) görüntü kümesini bulunuz. eksenine paralel olan doğrusu grafiği noktada kestiğinden = g() fonksion değildir. = h() eksenine paralel çizilen doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmediğinden = h() bir fonksiondur. ÖRNEK 4 A = {,,,, } ve B = {,,,,, 4 } olmak üzere, f : A B, f() = fonksionunun f(a) görüntü kümesini bulunuz. = k() eksenine paralel çizilen doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmediğinden = k() bir fonksiondur. = p() ÖRNEK 5 f : A B, f() = fonksionunun görüntü kümesi f(a) = {,, } ise tanım kümesini bulunuz. Grafiği kesen ve eksenine paralel olan bir doğru çizersek grafikle çakışık olur. Yani grafiği noktada keser. O halde, = p() bir fonksion değildir.
Fonksionlar ÖRNEK 6 ÖRNEK 8 f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. 4 = f() Yukarıda = f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre f() in tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. f() = a + b + c Fonksionunun Grafiği BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ f : A B, f() = fonksionu verildiğinde, f = {(, ) : = f(), A, B } kümesine düzlemde karşılık gelen noktaların oluşturduğu şekle f fonksionunun grafiği denir.. sınıf Matematik dersinde parabol çizimlerini arıntıları ile öğrendiniz. Şimdi kısaca hatırlaalım. f() = a + b + c fonksionunun tepe noktası T(r, f(r)) olmak üzere, r = b a dır. a > ise grafiğin kolları ukarı doğrudur. a < ise grafiğin kolları aşağı doğrudur. Grafiğin varsa kesim noktaları bulunurken = için, = için değerleri bulunur. ÖRNEK 9 f() = a + b Fonksionunun Grafiği = a + b doğrusunun grafiğini çizmek için doğrunun geçtiği herhangi iki nokta bulunur. Eksenleri kestiği noktaları bulmak tercih edilir. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 7 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz.
Fonksionlar Parabol grafikleri ile ilgili bazı özel durumlar = a parabolünün tepe noktası T(, ) olup grafiği aşağıdaki gibidir. ÖRNEK Aşağıda = + ve = fonksionlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleiniz. = a (a > ise) = a (a < ise) = a( r) + k parabolünün tepe noktası T(r, k) dır. ÖRNEK Aşağıda bazı parabol grafikleri anı düzlemde çizilmiştir. İnceleiniz. = = = ÖRNEK = ( ) + fonksionunun grafiğini çiziniz. nin kat saısı büüdükçe grafiğin eksenine aklaştığına dikkat ettiniz mi? ÖRNEK = ( + ) fonksionunun grafiğini çiziniz. = a + c parabolünün tepe noktası T(, c) noktası olup grafiği aşağıdaki gibidir. = a + c (a > ise) c
Fonksionlar f : R R +, f() = a Fonksionunun Grafiği f : R + R, f() = log a Fonksionunun Grafiği a > için f() = a üstel fonksionunun grafiği andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafiği andaki gibidir. = log a < a < için f() = a üstel fonksionunun grafiği andaki gibidir. = a < a < için f() = log a fonksionunun grafiği andaki gibidir. = log a ÖRNEK 4 Aşağıdaki üstel fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f : [, ] R +, f() = ÖRNEK 5 Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f : ;, 4m R, f() = log b. f : [, ] R +, f() = c m b. f : R + R, f() = log 4
Fonksionlar Trigonometrik Fonksionların Grafiği ÖRNEK 6 Aşağıdaki trigonometrik fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f : [, π ] R, f() = sin b. f : [, π ] R, f() = sin + ÖRNEK 7 Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f : [, π ] R, f() = cos b. f : [, π ] R, f() = cos c. f : [, π ] R, f() = cos Çizdiğimiz grafiklerde tanım kümesi daha geniş seçilsedi = sin in periodu π olduğundan [, π ] aralığında elde ettiğimiz grafikleri [ 4π, π], [ π, ], [π, 4π ],... aralıklarında tekrarlardık. 5
Fonksionlar ÖRNEK 8 f : [, π ] R, f() = tan fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK = f() = f() fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre f( + ) fonksionunun kuralını bulunuz. ÖRNEK 9 f : [, π ] R, f() = cot fonksionunun grafiğini çiziniz. 6
Fonksionlar ÖRNEK ÖRNEK = f() = f() 4 = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre f() = denkleminin kaç gerçel kökü vardır? Yukarıda grafiği verilen = f() fonksionu için f() + (fof)( ) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK = f( + ) ÖRNEK 4 Bir kenarının uzunluğu br olan karenin alanını, çevresinin bir fonksionu olarak ifade edip bu fonksionun grafiğini çiziniz. Yukarıda = f( + ) fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre f( 4) + f( 5) f( ) kaçtır? 7
Fonksionlar GRAFİK ÇİZİMİ İLE İLGİLİ ÖZEL DURUMLAR = f() ile = f() fonksionlarının grafikleri eksenine göre simetriktir. = f() ile = f( ) fonksionlarının grafikleri eksenine göre simetriktir. a d b = f() c = f() a d b c a d b = f() c = f( ) c d b a ÖRNEK 5 Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleip birbirile karşılaştırınız. = + = = + ile = ( + ) = fonksionlarının grafiklerinin eksenine göre simetrik olduğuna dikkat ettiniz mi? ÖRNEK 7 Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleip birbirile karşılaştırınız. = + = + = + ile = ( ) + = + fonksionlarının grafiklerinin eksenine göre simetrik olduğuna dikkat ettiniz mi? ÖRNEK 6 Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleip birbirile karşılaştırınız. ÖRNEK 8 Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleip birbirile karşılaştırınız. = = = + = + = ile = ( ) = + fonksionlarının grafiklerinin eksenine göre simetrik olduğuna dikkat ettiniz mi? = ile = ( ) ( ) = + fonksionlarının grafiklerinin eksenine göre simetrik olduğuna dikkat ettiniz mi? 8
Fonksionlar = f() + c nin grafiği, = f() fonksionunun grafiğinin ekseni bounca c kadar ötelenmişidir. = f( c) nin grafiği, = f() fonksionunun grafiğinin ekseni bounca c kadar ötelenmişidir. a = f() a+c a c = f() + c a = f() = f( c) a a+c c ÖRNEK 9 Aşağıda =, =, = + ve = + fonksionlarının grafikleri anı düzlemde çizilmiştir. İnceleiniz. ÖRNEK Aşağıda =, = ( ) ve = ( + ) fonksionlarının grafikleri anı düzlemde çizilmiştir. İnceleiniz. ÖRNEK Aşağıda =, = ve = + fonksionlarının grafikleri anı düzlemde çizilmiştir. İnceleiniz. ÖRNEK Aşağıda = ( + ), = ve = ( ) fonksionlarının grafikleri anı düzlemde çizilmiştir. İnceleiniz. 9
Fonksionlar ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çizerek tanım (T) ve görüntü (G) kümelerini belirleiniz. a. = b. = ÖRNEK 4 Aşağıda bazı fonksionların grafikleri ile tanım (T) ve görüntü (G) kümeleri belirtilmiştir. İnceleiniz. a. = f() 4 c. = T : (, ] G : (, 4 ] b. = g() T : (, ) G : (, ) c. T : [, 4 ] G : [, ] = h() 4 ÖRNEK 5 f : [, 5 ] R, f() = 6 fonksionunun görüntü kümesini bulunuz.
Fonksionlar ÖRNEK 6 f : (, ] R, f() = fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. ÖRNEK 8 f : [, ] R, f() = ( 4) + fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. ÖRNEK 7 f : [, ] R, f() = fonksionunun grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 f : [, 5 ] R, f() = ( ) fonksionunun görüntü kümesini bulunuz.
ALIŞTIRMALAR. A = {a, b, c } ve B = {,,, 4, 5 } olmak üzere, A B e tanımlanan aşağıdaki bağıntıların fonksion olup olmadığını araştırınız. a. f = {(a, ), (b, ), (c, ) } 4. = f() b. f = {(a, ), (a, ), (b, ), (c, 5) } c. f = {(a, ), (b, ), (c, ) } d. f 4 = {(a, ), (b, ) } Yukarıdaki grafik = f() fonksionuna aittir. Buna göre (fof)() kaçtır?. Aşağıda grafiği verilen bağıntıların fonksion olup olmadığını tespit ediniz. a. = f() b. = g() 5. = f( ) c. = h() 5 d. = k() Yukarıda = f( ) fonksionunun grafiği f( 7) + f( ) verilmiştir. Buna göre kaçtır? f( ) 6. = f(). A = {,,,, } 4 B = {,,,,,, } f : A B, f() = + ise f(a) görüntü kümesini bulunuz. Yukarıda = f() fonksionunun grafiği verilmiştir. ( )f() eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Fonksionlar 7. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksionların grafiklerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz. 8. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksionların grafiklerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz. a. f() =. a. f() =. b. f() = 4. b. f() =. π π c. f() =. 4 c. f() = ln. d. f() = 4. e. f() = 5. d. f() = log 4. e. f() = sin 5. π π f. f() = 6. g. f() = 7. f. g() = +cos 6.
Fonksionlar 9. = f(). Aşağıdaki fonksionların tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. a. 4 Yukarıda = f() in grafiği verilmiştir. = f() = f( + ) fonksionunun grafiğini çiziniz. b.. = g() = f() Yukarıda = f() in grafiği verilmiştir. = f() fonksionunun grafiğini çiziniz.. Aşağıdaki fonksionların görüntü kümelerini bulunuz. a. f : [, ] R, f() =. Aşağıdaki fonksionların görüntü kümelerini bulunuz. a. f : R R, f() = 4 b. f : [, ) R, f() = 4 b. f : R R, f() = c. f : [, ] R, f() = c. f : R R, f() = d. f : [, ] R, f() = 8 4
Fonksionlar BİRE BİR FONKSİYON f : A B fonksionu için A kümesinin farklı elemanlarının B deki görüntüleri farklı ise f fonksionuna bire bir fonksion denir. Yani, A için f( ) f( ) a da f( ) = f( ) = oluorsa f fonksionu bire bir fonksiondur. ÖRNEK 4 f : R + R, f() = fonksionunun grafiğini çizip bire bir olup olmadığını tespit ediniz. A f B A f B a b c 4 a b c 4 f bire birdir. f bire bir değildir. eksenine paralel doğrular çizildiğinde, doğruların ÖRNEK 4 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çizip bire bir olup olmadığını tespit ediniz. her biri grafiği en çok bir noktada kesiorsa fonksion bire birdir. ÖRNEK 4 = g() eksenine paralel çizdiğimiz doğrular, grafiği en çok bir noktada kestiğinden = g() bire birdir. ÖRNEK 4 f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çizip bire bir olup olmadığını tespit ediniz. ÖRNEK 44 = f() eksenine paralel olan doğrusu grafiği birden çok noktada kestiğinden = f() bire bir değildir. 5
Fonksionlar ÖRNEK 45 f : R R, f() = fonksionu bire bir midir? ÖRNEK 48 f : R R, f() = 4 + fonksionu örten midir? ÖRNEK 49 f : R R, f() = 4 fonksionu örten midir? ÖRNEK 46 f : R R, f() = 5 fonksionu bire bir midir? Grafiği verilen bir fonksionun örten olup olmadığı araştırılırken değer kümesinin her elemanı için ÖRTEN FONKSİYON f : A B fonksionu için f(a) = B ise ani görüntü kümesi değer kümesine eşit ise f fonksionu örten fonksiondur. A a b c ÖRNEK 47 f f : Örten de il f(a) B B 4 A a b c g g : Örten g(a) = B B eksenine paralel doğru çizdiğimizde bu doğru grafiği en az bir noktada kesiorsa fonksion örtendir. ÖRNEK 5 f() = eksenine paralel çizilen doğrular grafiği en az bir noktada kestiğinden = f(), R R e örtendir. f : Z Z, f() = fonksionu örten midir? ÖRNEK 5 f() = eksenine paralel çizilen doğrulardan biri olan doğrusu grafiği kesmediğinden = f() R R e örten değildir. 6
Fonksionlar İÇİNE FONKSİYON Örten olmaan fonksiona içine fonksion denir. Örnek 47 teki f : Z Z, f() = ve Örnek 49 daki f : R R, f() = 4 fonksionları örten olmadıklarından bu fonksionlar içine fonksionlardır. ÖRNEK 5 f : R R, f() = 4 ise f () fonksionunu bulunuz. BİRİM FONKSİYON f : A B fonksionunda f() = ise f fonksionuna birim fonksion denir. Başka bir ifadele tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü kendisine eşittir. f() = a + b f () = b a dir. Birim fonksion Ι() = biçiminde de gösterilir. ÖRNEK 5 A a b A a b Aşağıda bazı fonksionların tersleri bulunmuştur. İnceleiniz. f() = f + () = c c Şema ile ifade edilmiş olan Ι : A A fonksionu birim fonksiondur. f() = + f () = TERS FONKSİYON f fonksionu A dan B e tanımlanmış bire bir ve f() = + f () = örten fonksion olmak üzere, fof = f of = Ι koşulunu sağlaan f fonksionuna f() = a + b c f () = c b a f fonksionunun tersi denir. f ile f fonksionlarının grafikleri = doğrusuna göre simetriktir. ÖRNEK 54 Aşağıda bazı fonksionların tersleri bulunmuştur. İnceleiniz. = f() = f() = f () = + a a = f () f() = + f () = f() = 4 f () = 7
Fonksionlar a + b f() = c + d f d + b () = c a dır. ÖRNEK 58 f : (, ] [, ), f() = ( ) + ise f () fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 55 Aşağıda bazı fonksionların tersleri bulunmuştur. İnceleiniz. f() = + 5 f () = 6 + f() = f () = f() = f() = 4 + + 4 f () = f () = f() = f () = ÖRNEK 56 f : R R, f() = ise f () fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 59 f : [, ) [, ), f() = + ise f () fonksionunu bulunuz. = = ÖRNEK 6 f : R R, f() = + + ise ÖRNEK 57 f : [, ) [, ), f() = ise f () fonksionunu bulunuz. f () fonksionunu bulunuz. 8
Fonksionlar ise f () fonksionunu bulu- ÖRNEK 6 f : R R +, f() = nuz. ÖRNEK 65 f(4 ) = 6 + ise f() fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 6 f : R (, ), f() = + ise f () fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 66 f( ) = + olduğuna göre, f(5) kaçtır? ÖRNEK 6 f : (, ) R, f() = log ( ) ise f () fonksionunu bulunuz. f f(a) = b a = f (b) a b f ÖRNEK 64 f : (4, ) R, f() = ln( 4) + ise f () fonksionunu bulunuz. f ÖRNEK 67 + c m + = + olduğuna göre, f() kaçtır? 9
Fonksionlar ÖRNEK 68 f() = + olduğuna göre, f() + f (7) ifadesinin eşiti kaçtır? ÖRNEK 7 f : R {a} R {b}, f() = + fonksionu bire bir ve örten bir fonksion ise a + b kaçtır? ÖRNEK 69 f() = + olmak üzere, f( ) fonksionunun f() cinsinden değerini bulunuz. ÖRNEK 7 a + f : R {} R { }, f() = + b fonksionu bire bir ve örten bir fonksion ise a + b kaçtır? ÖRNEK 7 + f() = olmak üzere, f( ) in f() cinsinden değerini bulunuz.
ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki fonksionlardan hangileri bire bir fonksiondur? 4. Aşağıdaki fonksionlardan hangileri R R e örtendir? a. f : R R, f() = + 5 b. g : R R, g() = a. f b. g c. h : R + R, h() = + d. k : R + R, k() = 4 c. h d.. Aşağıdaki fonksionlardan hangileri bire bir fonksiondur. k a. f b. g c. h d. k 5. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksionların terslerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz.. f + 4 a. f() = () = b. f() = + 7. f () = +. Aşağıdaki fonksionlardan hangileri örten fonksiondur? a. f : R R, f() = c. f() = d. f() = 4 6. f () = 4. f () = 4 b. g : R R, g() = + e. f() = 4 + 5. f () = 6 4 c. h : Z Z, h() = d. k : R R, k() = f. f() = + 4 6. f () = + 7
Fonksionlar 6. f : R R, f() = + ise f () fonksionunu bulunuz.. fc m = + ise + f() fonksionunu bulunuz. 7. f : (, ] [, ), f() = ise f () fonksionunu bulunuz.. f c m = + ise f() kaçtır? + 8. f : [, ) [ 4, ), f() = 4 ise 4. f() = + ise f() + f () kaçtır? f () fonksionunu bulunuz. 9. f : R R +, f() = ise f () fonksionunu bulunuz. 5. f() = olmak üzere, f( ) fonksionunun f() cinsinden değerini bulunuz.. f : R (, ), f() = e ise f () fonksionunu bulunuz. 6. f() = ise f( + ) fonksionunun f() cinsinden değerini bulunuz.. f : (, ) R, f() = log ( ) ise f () fonksionunu bulunuz. 4 a 7. f : R {} R {}, f() = fonksionu + b bire bir ve örtendir. Buna göre a + b kaçtır?
Fonksionlar ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR f : A B fonksionu için < için f( ) < f( ) ise f fonksionu artan fonksiondur. f( ) f( ) f( ) f( ) a b a b < için f( ) > f( ) ise f fonksionu azalan fonksiondur. f( ) f( ) f( ) f( ) a b a b < için f( ) = f( ) ise f fonksionu sabit fonksiondur. ÖRNEK 7 Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çizerek artan vea azalan olup olmadıklarını tespit ediniz. a. f : R R, f() = b. f : R R, f() = c. f : R R, f() = d. f : R R +, f() = e. f : R R +, f() = c m f. f : R + R, f() = log g. f : R + R, f() = log h. f : R R, f() =
Fonksionlar ÖRNEK 74 a, b, c, k R olmak üzere, f() = a + k, g() = log b ve h() = c fonksionları için f ve g azalan h artan ise a, b, c arasındaki sıralamaı bulunuz. TEK ve ÇİFT FONKSİYONLAR f : A B, = f() fonksionunda SONUÇLAR f : R R, f() = a + b için a > ise f artan a < ise f azalandır. f : R R, f() = a + b + c için parabolün tepe noktası = r olmak üzere, a > iken (, r) aralığında f azalan (r, ) aralığında f artandır. a < iken (, r) aralığında f artan (r, ) aralığında f azalandır. A için f( ) = f() ise f fonksionu tek fonksiondur. A için f( ) = f() ise f fonksionu çift fonksiondur. Tek fonksionların grafikleri orijine göre simetriktir. Çift fonksionların grafikleri eksenine göre simetriktir. ÖRNEK 75 Aşağıdaki fonksionların tek vea çift fonksion olup olmadıklarını tespit ediniz. a. f : R R, f() = + b. g : R R, g() = f : R R +, f() = a için a > ise f artan < a < ise f azalandır. f : R + R, f() = log a için a > ise f artan < a < ise f azalandır. f : R R, f() = c fonksionu sabit fonksiondur. c. h : R R, h() = + d. k : R [, ], k() = sin e. p : R [, ], p() = cos 4
Fonksionlar ÖRNEK 77 f() fonksionu tek fonksiondur. f() + f( ) = 4 + + ise f() kaçtır? ÖRNEK 76 Aşağıda grafikleri ile ifade edilmiş fonksionların tek vea çift fonksion olup olmadıkları belirlenmiştir. İnceleiniz. f : R R, f() = fonksionu eksenine göre simetriktir. Dolaısıla f çift fonksiondur. a a f() = a ÖRNEK 78 f() çift fonksiondur. f() f( ) = 6 olduğuna göre, f( + ) fonksionunu bulunuz. g : R R, g() = fonksionu orijine göre simetriktir. Dolaısıla g tek fonksiondur. a g() = a a a ÖRNEK 79 f() fonksionunun grafiği eksenine göre simetriktir. f() = (a + ) + (a ) + (b ) + b ise f(a.b) kaçtır? π π h() = cos h : [ π, π ] [, ], h() = cos fonksionu eksenine göre simetriktir. Dolaısıla h çift fonksiondur. 5
Fonksionlar ÖRNEK 8 f() fonksionunun grafiği orijine göre simetriktir. f() = (k ) 6 + (n + ) 4 + (k + n) + k ise f() kaçtır? ÖRNEK 8 f() = 4 bulunuz. fonksionunun en geniş tanım kümesini ÖRNEK 8 BİR FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ f() = + kümesini bulunuz. fonksionunun en geniş tanım f() = a n n + a n n +... + a biçimindeki poli- nom fonksionların en geniş tanım kümeleri: R = (, ) f() ve g() birer polinom olmak üzere, f ( ) = g ( ) fonksionunun en geniş tanım kümesi: R {: g() = } dır. n Z + olmak üzere, = n f ( ) kümesi: f() koşulunu sağlaan noktalar ÖRNEK 84 + f() = kümesini bulunuz. fonksionunun en geniş tanım kümesidir. = log f() g() fonksionunun en geniş tanım kümesi: f() >, g() >, f() koşullarını sağlaan noktalar kümesidir. ÖRNEK 8 ÖRNEK 85 Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a. f() = b. f() = c. f() = + d. f() = ( ) 4 + + f() = + + m m ne olmalıdır? fonksionu R için tanımlı ise 6
Fonksionlar ÖRNEK 86 f() = 4 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK 89 f() = + + tanım kümesini bulunuz. fonksionunun en geniş ÖRNEK 87 f() = 4 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 f() = log ( + 4) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 ÖRNEK 88 f() = 6 + + + fonksionunun en geniş tanım kümesinde bulunan tam saıların toplamı kaçtır? f() = log( + (m ) + m + 5) fonksionu R için tanımlı ise m nin değer aralığını bulunuz. 7
ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki fonksionların artan-azalan vea sabit fonksion olup olmadıklarını tespit ediniz.. f() tek fonksiondur. f() f( ) = 5 ise f() kaçtır? a. f : R R, f() = + b. g : R R, g() = 4 c. h : R R, h() = d. k : R R +, k() = 4. f() çift fonksiondur. f() + f( ) = 4 + ise f( ) kaçtır? e. l : R + R, l() = f. m : R + R, m() = ln g. n : R R, n() = 4 5. f() fonksionunun grafiği eksenine göre simetriktir. f() = (m ) 5 + (m ) 4 + (n + ) + n +. Aşağıdaki fonksionların tek vea çift fonksion olup olmadığını tespit ediniz. ise f() kaçtır? a. f : R R, f() = 4 b. g : R R, g() = + 6. f() fonksionunun grafiği orijine göre simetriktir. f() = (a + ) 4 + (b ) + b + ise f() kaçtır? c. h : [, ] R, h() = d. k : R [, ], k() = + cos e. l : R R, l() = 4 + + f. m : R R, m() = 5 + sin 7. f() tek g() çift fonksiondur. f() f( ) + g() g( ) = + ise g( ) kaçtır? 8
Fonksionlar 8. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D anlış olanlar için Y azınız.. Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. İki çift fonksionun çarpımı çift fonksiondur. a. f() = + + İki tek fonksionun çarpımı tek fonksiondur. İki çift fonksionun bölümü çift fonksiondur. Biri tek, diğeri çift olan iki fonksionun çarpımı vea bölümü tek fonksiondur. Çift fonksionların toplamı çift fonksiondur. Tek fonksionların toplamı tek fonksiondur. f vea g fonksionlarından biri çift fonksion ise fog ve gof çift fonksiondur. + b. g() = c. h() = +. Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a. f() = 9 9. Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. b. g() = + 4 c. h() = + + a. f() = + b. g() =. Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a. f() = log ( ) c. h() = 4 b. g() = log ( + ) d. k() = + c. h() = lnc m 4 9
Fonksionlar PARÇALI FONKSİYON Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer fonksion olarak tanımlanan fonksiona parçalı fonksion denir., < f() = * +, fonsionu bir parçalı fonksiondur. Tanım aralığının (, ) ve [, ) alt aralıklarında fonksionun kuralı sırasıla f() = ve f() = + dir. = fonksionun kritik noktasıdır. ÖRNEK 94 +, < f() = *, g() = * + 4,, < olmak üzere aşağıdakilerden her birini bulunuz. g(), f(8), f( ), (fog)(), (gof)( ) ÖRNEK 9 +, >, f() = * g() = *,, < fonksionları için (f + g)() fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 9 f() = * +,, < fonksionuna göre, f() ve f( ) değerlerini bulunuz. ÖRNEK 95, f() = * +, > olmak üzere f(a) = eşitliğini sağlaan a değerini bulunuz. 4
Fonksionlar ÖRNEK 96 +, < f() = *, parçalı fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 97, < f() = *, fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 98 Z +, ] f() = [, ] \ 5, < < fonksionunun grafiğini çiziniz. 4
Fonksionlar ÖRNEK 99 +, f() = * +, < olmak üzere, a. f() fonksionunun grafiğini çiziniz. b. Varsa f () fonksionunu bulunuz. c. f () ve f (4) ifadelerinin eşitini bulunuz. ÖRNEK + f() = * +,, < olmak üzere, a. f() fonksionunun grafiğini çiziniz. b. Varsa f () fonksionunu bulunuz. c. f ( ) ve f () ifadelerinin eşitini bulunuz. 4
Fonksionlar MUTLAK DEĞER FONKSİYONU Z f ( ), ] f() = [, ] f ( ), \ f ( ) > f ( ) = f ( ) < biçiminde tanımlanan = f() fonsionuna mutlak değer fonksionu denir. f() = eşitliğini sağlaan değerleri fonksionun kritik noktalarıdır. ÖRNEK f() = + fonksionunu parçalı biçimde ifade ediniz. ÖRNEK f() = fonksionunu parçalı biçimde azınız. Mutlak Değerin Özellikleri =. =. n = n =, ( ) + + = a = a v = a, (a R + ) ÖRNEK f() = + fonksionunu parçalı biçimde azınız. < a a < < a, (a R + ) = a a v a, (a R + ) a < < b a < < b v b < < a (a, b R + ) ÖRNEK 4 = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4
Fonksionlar ÖRNEK 5 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 + 4 < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 6 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK + + 5 < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 7 + = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK ÖRNEK 8 < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. + > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 44
Fonksionlar ÖRNEK < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 6 ÖRNEK 4 f() = + + + 5 fonksionunun en küçük değerini bulunuz. < < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Kritik noktalardan ortancası f() fonksionunu en küçük apan değerdir. ÖRNEK 7 f() = + + + 4 + + 6 fonksionunun en küçük değerini bulunuz. ÖRNEK 5 f() = + + fonksionunun en küçük değerini bulunuz. 45
Fonksionlar ÖRNEK 8 f() = + 4 fonksionunun görüntü kümesinde kaç tane tam saı vardır? MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ = f() Fonksionunun Grafiği = f() in grafiği çizilirken önce = f() in grafiği çizilir. Bu grafiğin ekseninin negatif bölgesine taşan kısmının eksenine göre simetriği alınır. = f() = f() ÖRNEK 9 f() = 6 + fonksionunun en büük ve en küçük değerlerini bulunuz. ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f : R R, f() = b. f : R R, f() = + ÖRNEK f() = 8 küçük değerini bulunuz. fonksionunun en büük ve en 46
Fonksionlar Aşağıdaki tablonun sol sütununda = f() in sağ sütununda = f() in grafiği çizilmiştir. İnceleiniz. = f() = f() = = = 4 4 = 4 4 = = π π π = sin π π = sin π = ln = ln 47
Fonksionlar = f() + g() Fonksionunun Grafiği = f() + g() fonksionunun grafiği çizilirken f() = için kritik noktalar bulunup fonksion parçalı biçimde azılır ve bu parçalı fonksionun grafiği çizilir. ÖRNEK 4 f : R R, f() = fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. ÖRNEK f : R R, f() = + fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. ÖRNEK 5 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK f : R { } R, f() = fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. 48
Fonksionlar ÖRNEK 6 f : R R, f() = + fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. ÖRNEK 8 f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 9 f : R R, f() = + + fonksionunu parçalı fonksion biçiminde azıp grafiğini çiziniz. ÖRNEK 7 f : R R, f() = + biçimde azıp grafiğini çiziniz. fonksionunu parçalı Pratik Yol: Yukarıdaki grafiği incelediğimizde aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz. f : R R, f() = a + b fonksionunun en küçük değeri : f(a) = f(b) = a b olup, (a, f(a)) ve (b, f(b)) kırılma noktalarıdır. Bu fonksionun grafiği aşağıdaki gibidir. a b a b 49
Fonksionlar ÖRNEK f : R R, f() = 4 + + fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK f : R R, f() = + + fonksionunun grafiğini çiziniz. f() = a b + c d Fonksionunun Grafiği f : R R, f() = a b + c d fonksionunun grafiği çizilirken = a b, = c d olmak üzere, f() in en küçük değeri f( ) vea f( ) dir. (, f( )) ve (, f( )) noktaları grafiğin kırılma noktaları olup grafiği aşağıdaki gibi ÖRNEK f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. olur. ( < ) f( ) f( ) 5
Fonksionlar ÖRNEK 4 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. Pratik Yol: f : R R, f() = a b fonksionunun; en küçük değeri f(a) = a b en büük değeri f(b) = b a dır. (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktaları kırılma noktalarıdır. Bu fonksionun grafiği aşağıdaki gibidir. b a a b a b ÖRNEK 5 f : [, π ] R, f() = sin + sin fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. 5
Fonksionlar BAĞINTI GRAFİKLERİ ÖRNEK 7 ÖRNEK 6 = f() = bağıntısının grafiğini çiziniz. 4 = f() fonksionunun grafiği ukarıdaki gibidir. Buna göre = f() in grafiğini çiziniz. Pratik Yol: = f() bağıntısının grafiği çizilirken = f() in grafiği çizilir. Çizilen grafiğin > olan bölgesindeki kısmı ile bu kısmın eksenine göre simetriğinin birleşimi = f() in grafiğini oluşturur. ÖRNEK 8 = bağıntısının grafiğini pratik oldan çizelim. = bağıntısının grafiğini çiziniz. = = = + bağıntısının grafiğini pratik oldan çizelim. = + = + 5
Fonksionlar ÖRNEK 9 bağıntısının grafiğini çiziniz. Pratik Yol: = f() bağıntısının grafiği çizilirken = f() in grafiği ile bu grafiğin eksenine göre simetriğinin birleşimi alınır. = f() a b ÖRNEK 4 = f() bağıntısının grafiğini çiziniz. a b ÖRNEK 4 = sin bağıntısının [ π, π ] aralığındaki grafiğini çiziniz. ÖRNEK 4 = bağıntısının grafiğini çiziniz. 5
Fonksionlar ÖRNEK 45 Pratik Yol: = f( ) fonksionunun grafiği çizilirken = f() in grafiği çizilir. = f() Çizilen grafiğin > olan bölgesindeki kısmı ile bu kısmın eksenine göre simetriğinin birleşimi alınır. = f() fonksionunun grafiği ukarıdaki gibidir. Buna ÖRNEK 4 göre, = f(), = f( ), = f(), = f() fonk- d = f() sionlarının grafiklerini çiziniz. a b c = f() in grafiği ukarıdaki gibidir. Buna göre = f( ) in grafiğini çiziniz. ÖRNEK 44 Aşağıda = f() ile = f( ) fonksionlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleiniz. = f() = f( ) 54
ALIŞTIRMALAR 4, >. f() = ), + 4. f() = ), <,, g() = ), < fonksionunun grafiğini çiziniz. fonksionları için aşağıdakilerin her birini bulunuz. a. (fog)(), 5. f() = ), > b. (gof)( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. c. (f g)(). f : R R, f() = fonksionunun görüntü kümesi nedir? Z +, ] 6. f() = [, ], \ < > fonksionunun grafiğini çiziniz.,. f() = ), < fonksionunun grafiğini çiziniz. Z +, ] 7. f() = [, < < ] \ 4, fonksionunun grafiğini çiziniz. 55
Fonksionlar 8. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. + 4 =. Aşağıdaki fonksionların en küçük değerlerini bulunuz. a. f() = + 4 b. + 4 = b. f() = + c. = 4 c. f() = + + + 4 d. + = e. = 4. f() = 4 fonksionunun en küçük ve en büük değerlerini bulunuz. f. + = 9. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.. f() = 4 fonksionunun görüntü kümesinde kaç tane tam saı değeri vardır? a. < b. > 4. f() = + + 4+ 4 fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. c. < 4 d. + 4 < 4 4. a > olmak üzere, f() = + 4 a fonksionunun görüntü kümesi [ 6, 6 ] olduğuna göre a kaçtır? 56
Fonksionlar 5. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksionların grafiklerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz. 6. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksionların grafiklerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz. a. =. a. =. b. =. b. = +. c. = log. 4 c. =. 4 4 d. = 4. π π π d. = + 4. e. = cos 5. e. = + 5. 57
Fonksionlar 7. = f(). Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan bağıntıların grafiklerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz. Yukarıdaki = f() in grafiğine göre = f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. a. =. 8. b. +. = f() = f() in grafiği ukarıdaki gibidir. Buna göre = f() in grafiğini çiziniz. c. + =. 9. d. = + 4. = f() in grafiği ukarıdaki gibidir. Buna göre e. 5. = f() in grafiğini çiziniz. 58
TEST. Aşağıdaki fonksionlardan kaç tanesi bire birdir? I. f : R R, f() = II. f : R R, f() = + III. f : R R, f() = IV. f : R + R, f() = 4 V. f : R R, f() = + A) B) C) D) 4 E) 5 5. Aşağıdaki fonksi on lar dan kaç ta ne si çift fonk sion dur? I. f() = + II. f() = sin + cos III. f() = cos IV. f() = 5 V. f() = + cos + A) B) C) D) 4 E) 5. Aşağıdaki fonksionlardan hangisi artandır? A) f : R R, f() = B) f : R R, f() = + C) f : R R, f() = 4 D) f : R + R, f() = ln E) f : R + R, f() = log 6. f : (, ) R, f() = log( ) ise f () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) + C) D) + + E) + +. f : A (, 5 ], f() = fonk si o nu bi re bir ve ör ten ise A kü me si aşa ğı da ki ler den han gi sidir? A) (, 5 ] B) [, ) C) [, ) D) (, ] E) [, 5) 7. f : R + R, f() = (log ) ise f () kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 4. fc m = + ise f() aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) + 5 C) 5 D) 5 E) 5 8. f() = + ise f( + ) in f( ) ci n sin den ifa de si aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 + f( ) B) + f( ) C) f( ) D) f( ) 4 E) f( ) + 6
Fonksionlar 9. f() = kümesi nedir? fonksionunun en geniş tanım A) [, ) B) [, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ] +. f() = ), >, +, g() = ) +, < ise (f + g)() aşağıdakilerden hangisidir? +. f() = 4 + 5 fonksionunun en geniş tanım kümesi nedir? A) R {, 5 } B) R {, 5 } C) R { 5, } D) R { 4, } E) R A) B) C) D) E) Z + 5 ] [ + 5 ] \ 4 + 4,,, < < Z + 4 ], [ + 5, < < ] \ 4 + 4, Z + 5 ], [ + 5, < < ] \ 4 + 4, Z + 5 ], [ + 5, < < ] \ 4 +, Z + 4 ], [ + 5, < < ] \ 4 + 4,. 4 = 6 denkleminin kökler toplamı kaçtır? + 4. f() = *, <, A) B) C) 4 D) 5 E) 6 fonksionu için f () aşa ğı da ki ler den han gi sidir? A) *, <, B) *, <,. 5 < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 7 A) (, ) B) (, 5) C) c, m D) (5, ) E) c, 7 m C) *, < +,, < D) *, +, < E) *,. D. D. C 4. A 5. C 6. B 7. A 8. A 9. C. E. C. E. C 4. B 64
TEST 4. R R e tanımlanmış aşağıdaki fonksionların kaç tanesi tektir? I. f() = tan + II. f() = sin.cos III. f() = + 5. f : R R +, f() = e ise f () aşağıdakilerden hangisidir? A) + ln B) ln C) ln D) + ln E) ln IV. f() = + sin V. f() = + A) B) C) D) 4 E) 5 6. f : R R +, f() =. ise f (6) kaçtır?. f() fonksionu çift fonksiondur. A) B) C) D) 4 E) 5 ( )f() + f( ) = 4 + ise f() kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. f : R R, f() = m 4 f (m) = ise m kaçtır? 7. 4 + f : R {n} R {m}, f() = + 6 fonksionu bire bir ve örten ise m + n kaçtır? A) B) C) D) E) A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 4. fc m = + ise f() aşağıdakilerden hangisidir? + 8. f() = 4 4 tanım aralığı nedir? fonksionunun en geniş A) + D) B) + E) C) + + + A) [ 6, ] {, } B) [ 6, ] { } C) [ 4, ] { } D) [ 5, ] E) [, 5 ] {, } 69
Fonksionlar + 9. f() = fonksionunun en geniş tanım kümesi R ol du ğu na gö re m han gi ara lık m + ta de ğer alır? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). f() = 8 + fonksionunun gö rün tü küme si nedir? A) [ 9, 9 ] B) [, 9 ] C) [ 8, ] D) (, 8 ] E) [9, ) 4. = f(). = denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) Şekilde = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre f ( ) eşit siz li ği nin çö züm kü me si ne dir? A) [, ) B) (, ] C) [, ) {} D) (, ) E) (, ] {}. 6+ 9 = 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 5. A) { } B) {, 4 } C) {4 } D) {, } E) { } 4 = f() Şekilde = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre f( )f( + ) > eşit siz li ği nin çö züm kü me si ne dir? A) (, ) (, ) (5, ). f() = + 4 + + fonksionunun en küçük değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 B) (, ) (, 5) C) (, ) (5, ) D) (, ) (, ) E) (, ) (, ) (5, ). C. B. C 4. B 5. E 6. C 7. C 8. E 9. B. D. C. C. A 4. C 5. A 7
TEST 5. f : R R, f() = + + ise f(7) + f () kaçtır? A) 4 B) C) 6 D) 8 E) + 5. f() = ta nım kü me si ne dir? fonksionunun en ge niş A) R {, } B) R {, 5 } C) R {} D) R {,, 5 } E) R {,, 5 }. f : R R, f() = + + ise f () aşağı da ki ler den han gi si dir? A) + B) D) C) + + E) + + 6. f() = + 8 + + 8 ta nım kümesi nedir? fonksionunun en ge niş A) R B) R (, 4) C) R [, 4 ] D) (, 4) E) [, 4 ]. f : R + R, f() = ln ise f () aşa ğı daki ler den han gi si dir? A) e B) e C) e D) e E) e + 4 7. f() = + 4 de ğe ri kaçtır? fonksionunun en bü ük A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4. f(ln) = + e ise f() aşa ğı da ki ler den han gisi dir? A) e + B) e + e C) e + e + D) e + e + E) + e 8. f() = 8 + fonk si o nu nun gö rün tü kü me sin de kaç tam saı vardır? A) 4 B) 4 C) 4 D) E) 7
Fonksionlar 9. f() =. fonksi o nu nun gra fi ği aşa ğı daki ler den han gi si dir?. = bağıntısının gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) A) B) C) D) C) D) E) E). f() = + fonksi o nu nun gra fi ği aşa ğı da kiler den han gi si dir?. f() = + + fonksi o nu nun gra fi ği aşağı da ki ler den han gi si dir? A) B) A) B) 4 C) D) C) 4 D) 4 E) E) 4. E. C. C 4. C 5. D 6. D 7. D 8. B 9. C. C. D. B 7
TEST 9 +. f(a + b) = olmak üzere f() fonk si o nunun tanım kümesi R {b } ise a kaçtır? + A) B) C) D) E) 5. Şekilde = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre = f() in gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? = f() A) B). f() = log ( m + 9) fonksionunu R için tanımlı ise m hangi aralıkta değer alır? C) D) A) (, 6) B) ( 6, ) C) ( 6, 6) D) (, ) E) (, ) E). eşitsizliğinin çözüm kü me si ne dir? A) [, 4 ] B) [, ] C) [, 5 ] D) [, 5 ] E) [, 4 ] 6. Şekilde = f() in gra fi ği çizilmiştir. Buna göre = f() bağıntısının grafiği aşa ğı da kilerden han gi si dir? = f() A) B) C) D) 4. < eşitsizliğinin çözüm kü me si ne dir? E) A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) { } E) [, ] { } 79
Fonksionlar 7. f() = 4 fonksi o nu nun gra fi ği aşa ğı da kiler den han gi si dir? 9. f() = ln fonksi o nu nun gra fi ği aşa ğı da ki lerden han gi si dir? A) B) A) B) C) D) C) D) 4 4 4 4 E) E) 4 4 8. f() = + + fonksi o nu nun gra fi ği aşağı da ki ler den han gi si dir?. = bağıntısının gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) A) B) C) D) C) D) E) E). D. C. C 4. D 5. A 6. A 7. C 8. E 9. B. A 8
TEST. f() = fonksi o nu nun gra fi ği aşa ğı da kiler den han gi si dir?. f() = + + fonksi o nu nun gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) A) B) 4 4 C) D) C) D) 4 4 E) E) 4. f() = + fonksi o nu nun gra fi ği aşa ğı da kiler den han gi si dir? A) B) 4. + bağıntısının gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) C) D) C) D) E) E) 8
Fonksionlar 5. + < bağıntısının gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) C) B) D) 7. Şekilde = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre = f( + ) in gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) E) C) E) D) 6. f() = + fonksi o nu nun gra fi ği aşa ğı da ki lerden han gi si dir? A) B) 8. Şekilde = f() fonksionunun gra fi ği çizilmiştir. Buna göre = f( ) in = f() grafiği aşa ğı da ki lerden han gi si dir? A) B) C) D) E) C) D) E). A. A. A 4. E 5. B 6. C 7. E 8. D 8
TEST. + > + bağıntısının gra fi ği aşa ğı da ki lerden han gi si dir?. f : [ π, π ] R, f() = cos + cos fonk si onu nun gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) A) B) π π π π π π C) D) C) D) π π π π π π E) E) π π. =. + fonksi o nu nun gra fi ği aşa ğı daki ler den han gi si dir? A) B) 4 4. f() = fonksionunun gra fi ği aşa ğı daki ler den han gi si dir? A) B) C) D) C) D) 4 E) E) 4 85
Fonksionlar 5. Yandaki grafik aşağıdaki fonksionlardan hangisine ait olabilir? 8. Yandaki grafik aşağıdaki fonksionlardan hangisine ait olabilir? A) f() = + A) f() = + + B) f() = + + B) f() = + + C) f() = + + D) f() = + C) f() = + E) f() = + D) f() = + + E) f() = + 9. Yandaki grafik aşa- ğıdaki bağıntılardan hangisine ait 6. Yandaki grafik aşağıdaki fonksionlardan hangisine ait olabilir? A) = + B) = + olabilir? A) B) + C) D) + E) + C) = + D) = + E) = + 7. Yandaki grafik aşağıdaki fonksionlardan hangisine ait olabilir?. Yandaki grafik aşağıdaki bağıntılardan hangisine ait olabilir? A) = + B) = C) = + D) = E) = + A) B) + C) + D) E). C. C. A 4. D 5. C 6. D 7. C 8. D 9. A. B 86
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 97 ÜSS Aşağıdakilerden hangisi f() = + fonksionunun grafiğidir? A) B) 4. 975 ÜSS = in [, ] aralığındaki en küçük değeri nedir? A) B) C) D) E) 4 8 C) D) 5. 975 ÜSS E) Şekilde verilen eğri, aşağıdaki fonksionlardan hangisinin grafiği olabilir?. 97 ÜSS R olduğuna göre f : f() = fonksionunun tanım kümesi nedir? A) { : < < } B) { : < } C) { : } D) { : < } { : > } E) { : > }. 97 ÜSS A) = + B) = Z, < ] C) = [, = ], > \, D) = *, > Z ] ] r E) = [ sinb l ] ] \,,, < = > Yukarıdaki eğri aşağıdaki fonksionlardan hangisinin grafiğidir? A) f : f() = B) f : f() = C) f : f() = D) f : f() = + E) f : f() = + 6. 976 ÜSS A = R {}, B = R {} ve f : A B nin tersi aşağıdakilerden hangisi- f() = dir? A) B) + C) D) E) 87
Fonksionlar 7. 976 ÜSS. 977 ÜSS R, < olmak şartıla, f() = fonksionu için aşağıdakilerden hangisi doğru- dur? A) f() = B) f() = C) f() = + D) f() = E) f() = Şekildeki düzlemsel bölgei aşağıdakilerden hangisi gösterir? A) {(, ) : ve } B) {(, ) : < ve < } C) {(, ) : + } D) {(, ) : } E) {(, ) : + ve }. 978 ÜSS a a a 8. 977 ÜSS Grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisidir? a A) = B) = + a a C) = a D) = a E) = a Şekilde verilen grafiğin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = + B) = C) = D) = E) = +. 979 ÜSS f() = fonksionu, aşağıdaki fonksion çiftlerinden hangisine denktir?, f ( ) = A) * <, f ( ) = 9. 977 ÜSS + = bağıntısının grafiği nedir? B), f ( ) = * <, f ( ) = A) Bir doğru B) Bir ışın C) Başlangıç noktasına göre ikişer ikişer simetrik olan iki çift doğru D) Bir çift doğru E) Bir kare, f ( ) = C) * <, f ( ) =, f ( ) = D) * <, f ( ) =, f ( ) = E) * <, f ( ) = 88
. 979 ÜSS f ve g, R de aşağıdaki şekilde tanımlı iki fonksion olduğuna göre, f : g : (gof)() in analitik düzlemdeki grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 5. 98 ÖYS 5 4 6 7 Fonksionlar A) B) Bir = f() fonksionunun grafiği ukarıda verilmiştir. f [ f () ] = olduğuna göre in değeri nedir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 C) D) 6. 98 ÖYS f() E) Şekildeki eğri f() fonksionunun grafiği olduğuna göre = ( f() + f() ) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) / D) 4. 98 ÖYS f, R den R e f() = biçiminde verilen + a bir fonksiondur. f() = f () olması için a ne olmalıdır? A) B) C) D) E) E) 89
Fonksionlar 7. 98 ÖYS = + 4 fonksionunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 7 C) 4 D) 4 E) 7. 988 ÖYS f() = a + b + c, R iken f() = f( ) olması için aşağıdakilerden hangisi gereklidir? A) c = B) c = C) b = D) b = E) a =. 988 ÖSS 8. 987 ÖYS = + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) A(, ) C(, ) D C A B C) D) Yukarıdaki şekilde ABCD karesinin iç bölgesinin analitik ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) < ve < B) < ve < E) C) < ve < D) = ve = E) = ve <. 989 ÖYS f() = fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) 9. 988 ÖYS {,, } kümesinden {,, } kümesine aşağıdaki fonksionlar tanımlanıor. Bu fonksionlardan hangisinin ters fonksionu vardır? A) {(, ), (, ), (, ) } B) {(, ), (, ), (, ) } C) {(, ), (, ), (, ) } D) {(, ), (, ), (, ) } E) {(, ), (, ), (, ) } C) E) D) 9
Fonksionlar. 99 ÖYS < bağıntısını sağlaan düzlemsel taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir? A) = B) = = = 5. 997 ÖYS f : R {} R {} a 4 f() = b verilior. f() fonksionu bire-bir ve örten olduğuna göre (a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (5, 4) B) (, ) C) (, 6) D) (6, 6) E) (9, 6) C) = D) = = E) = = = 6. 997 ÖSS f() : R {} R {}, = f ( ) + f ( ) olduğuna göre f () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) + + C) + 4. 99 ÖYS Z, <, < ] f() = ) g() = [ +, <, ] \, olduğuna göre (f + g)() in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) + D) 7. 997 ÖSS f() E) + C) D) Yukarıdaki grafiğe göre verilen f() fonksionu [, ] de bire-bir ve örtendir. E) Buna göre, f( ) + f ( ) ff (( )) değeri kaçtır? A) 5 B) C) D) E) 9
Fonksionlar 8. 997 ÖYS f() = olduğuna göre, f( ) + f() + f() toplamı kaçtır?. 999 ÖSS A) 4 B) C) D) E) 4 f() 9. 998 ÖSS + R { } de tanımlanan f() = fonksionunun değer kümesi aşağıdakilerden hangisi- dir? A) R B) R {} C) R {} 4 6 g() Yukarıda f doğrusal fonksionu ile g fonksionunun grafikleri verilmiştir. Buna göre, (f og)(6) + (gof )( ) değeri kaçtır? D) R { } E) R { } A) B) 5 C) D) E) 9. 998 ÖYS <, f() = + 6 olduğuna göre f () aşağıdakilerden hangisidir? A) 9 + 9 B) + 9 C) + D) 6 + E) +. 998 ÖSS. ÖSS g() g() = 8 f() 4 f() 4 Yukarıda f() ve g() fonksionlarının grafiği verilmiştir. Grafikteki bilgilere göre, g( ) + ( fog)( ) değeri kaçtır? f( 4) Yukarıdaki şekilde, f() fonksionu ile g() = fonksionunun grafikleri verilmiştir. Buna göre (fog of)() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) A) 4 B) C) D) 4 E) 8 9
Fonksionlar 4. ÖSS 9 = bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) 7. 7 ÖSS f() = fonksionunun grafiği ile g() = 4 fonksionunun grafiğinin kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? A) 6 B) 4 C) D) 8 E) 6 9 9 C) D) 9 9 E) 8. 9 ÖSS 9 5. 6 ÖSS f : c, m R fonksionu f() = log ( + ) olarak tanımlanıor. Buna göre f () aşağıdakilerden hangisidir? f() 5 4 O 5 Yukarıda grafiği verilen f () fonksionu için [ 5, 5 ] aralığında f() = eşitliğini sağlaan kaç tane değeri vardır? A) f () = B) f () = + C) f () = log( + ) D) f () = E) f () = + A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. 7 ÖSS f () = ile verilen f fonksionunun gerçel saılardaki en geniş tanım kümesi T ve görüntü kümesi G = {f() T } olduğuna göre T G kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, ] B) [, ] C) [, ] D) [, ] E) [, ] 9. LYS f() = + fonksionunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) 5 C) 4 D) E) 5 9
Fonksionlar 4. LYS Aşağıda f fonksionunun grafiği verilmiştir. 4 4 f() g() = f( ) olduğuna göre, g( ) + g(5) toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 4. LYS Z tam saılar kümesi olmak üzere, f : Z Z fonksionu,, ise f() = * +, $ ise biçiminde tanımlanıor. Buna göre, I. f bire birdir. II. f örtendir. III. f nin görüntü kümesi Z \ { } dır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 4. LYS f : R R parçalı fonksionu +, rasonelse f() = *, rasonel de ilse biçiminde tanımlanıor. Buna göre, (fof) d n aşağıdakilerden hangisidir? A) v + B) v + C) 4 D) 5 E) 7 4. LYS Gerçel saılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksionu, her gerçel saısı için f() < f( + ) eşitsizliğini sağlıor. Buna göre, I. f() < f(5) II. f( ) < f() III. f() + f() <.f(4) ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 94