PARAMETRİK İFADELİ FONKSİYONUN TÜREVİ Tanım:4 A IR, f: A IR fonksiyonu y f(x) şekline verilsin. Bu fonksiyonun t IR bir parametre olmak üzere; x g(t) { y h(t) (5) şekline ifae eilmesine parametrik ifaeli fonksiyon enir. Eşitlik (5) e fonksiyonun parametrik enklemleri aı verilir. Buraa g ve h, t parametresinin fonksiyonlarıır. Eğer g ve h fonksiyonları t parametresine göre türevlenebilirse, bu uruma y f(x) fonksiyonu a x e göre türevlenebilirir. Öyle ki; h (t) g (t), g (t) 0 (6) olur. Eşitlik (0) ile verilen ifaeye, Eşitlik (9) ile verilen parametrik ifaeli fonksiyonun birinci mertebeen türevi enir. İkinci mertebeen türev ise; h (t) ( ) ( (h (t) g (t) ) g (t) ) h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] g (t) h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] 3, g (t) 0 (7) olur. Örnek;7 Verilen fonksiyonlar için istenilenleri hesaplayınız? x g(t) t a) { y h(t) t için? ve y? x g(θ) a(θ sinθ) b) { y h(θ) a( cosθ) noktasınaki eğerlerini bulunuz? için? ve? Ayrıca bu türevlerin θ π c) { x g(t) et cost y h(t) e t şekline verilen yf(x) fonksiyonunun y (x + y) (xy y) cost eşitliğini sağlaığını gösteriniz? Çözüm a) x g(t) t g (t) t g (t) t 4t 4t t 4 t 3 t y h(t) t h (t) t h (t) 4(t ) 4(t ) t 4 (t ) 3 h (t) g (t) t t t t t t iken
h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] 3 8( t) 3 (t ) 3 bulunur. 4 (t ) 3 t t ( 4 t 3) [ t ]3 b) x g(θ) a(θ sinθ) g (θ) a( cosθ) g (θ) asinθ y h(θ) a( cosθ) h (θ) asinθ h (θ) acosθ 8 t 3 t 8 t (t ) 3 t t 8( t) 3 8 t 3 (t ) 3 h (θ) g (θ) asinθ a( cosθ) sinθ ( cosθ) I θπ sinπ 0 0 cosπ + h (θ)g (θ) h (θ)g (θ) acosθa( cosθ) asinθasinθ a cosθ a cos θ a sin θ [g (θ)] 3 [a( cosθ)] 3 a 3 ( cosθ) 3 a cosθ a a ( cosθ) y I a 3 ( cosθ) 3 a 3 ( cosθ) 3 a( cosθ) θπ bulunur. a( cosπ) olarak a(+) 4a c) x g(t) e t cost g (t) e t cost e t sint e t (cost sint) g (t) e t (cost sint) + e t ( sint cost) e t sint y h(t) e t cost h (t) e t cost e t sint e t (cost sint) h (t) e t (cost sint) + e t ( sint cost) e t sint y h (t) g (t) et (cost sint) e t (cost sint) ve y y h (t)g (t) h (t)g (t) et sinte t (cost sint) e t (cost sint)( e t sint) [g (t)] 3 [e t (cost sint)] 3 e t sint(cost sint)+e t sint(cost sint) e 3t (cost sint) 3 0 e 3t (cost sint) 3 0 bulunur. Şimi y (x + y) (xy y) eşitliğinin oğruluğunu gösterelim. y (x + y) 0(e t cost + e t cost) 0.(i) (xy y) (e t cost. e t cost) 0 (ii) (i) ve (ii) eşitliklerinin sağ tarafları birbirine eşit oluğunan sol tarafları a eşit olmak zorunaır. Bu sebeple y (x + y) (xy y) eşitliği oğruur. KAPALI FONKSİYONUN TÜREVİ Tanım:5 x ile y eğişkenleri arasınaki bağıntı F(x, y) 0 şekline verilmişse, bu F(x, y) fonksiyonuna kapalı olarak verilmiş bir fonksiyon veya kısaca Kapalı Fonksiyon enir. Kapalı forma verilen bir fonksiyonun x e göre (birinci mertebeen) türevini bulmak için önce F(x, y) 0 eşitliğine her iki tarafın x e göre türevi alınır ve sonra a y F(x,y) (8)
hesaplanır. Sol tarafın x e göre türevini alırken y y(x) formuna oluğuna ikkat eilmeliir. Genel olarak, F(x, y) 0 için birinci mertebeen türev; y F(x,y) F(x,y) (9) eşitliği ile bulunur. Bu eşitlikte bir eğişkene göre türev alınırken iğer eğişken sabit gibi üşünülür. Örnek:8 Kapalı forma verilen aşağıaki fonksiyonların istenilen türevlerini bulunuz? a) F(x, y) y 5 + x 5 x 3 y 3 3 0? b) x y a b y?, y y? c) x 3 x y + y x + 3y 0 ve y() oluğuna y ()? Çözüm a) I. Yol: F(x, y) 0 eşitliğine her iki tarafın x e göre türevini alarak bulma F(x, y) y 5 + x 5 x 3 y 3 3 0 F(x,y) (0) (y5 + x 5 x 3 y 3 3) 0 5y 4 + 5x4 (3x y 3 + x 3 3y ) 0 (5y4 6x 3 y ) 5x4 + 6x y 3 5x4 6x y 3 olarak bulunur. 5y 4 6x 3 y I. Yol: Eşitlik (9) u kullanma y F(x,y) F(x,y) 5x4 6x y 3 olarak bulunur. 5y 4 6x 3 y b) ) x y a b F(x, y) x y a b x yy 0 yy x a b b a y b x bulunur. a y 0 F(x,y) y y () x (b ) b a y a (x) b y a (y xy y (x a y b ) (0) ) b b x a (y x a y ) y ay bx b ( a y a y b4 a y ) b 3 () b4 a y y b x a (a a y 3 3 olarak bulunur. ) b b y ( a [a b x a ) a y 3 c) F(x, y) x 3 x y + y x + 3y 0 ] b4 a y 3 (x a y b )
F(x,y) (x3 x y + y x + 3y ) (0) 3x 4xy x y + 4yy + 3y 0.(*) y() (yani x iken y ) oluğunan, bu eğerler (*) eşitliğine yerlerine yazılırsa 3 4 y () + 4y () + 3y () 0 5y () 3 y () 3/5 ir. Şimi (*) eşitliğinin her iki tarafının tekrar x e göre türevini alalım: (3x 4xy x y + 4yy + 3y ) (0) 6x 4y 4xy 4xy x y + 4y y + 4yy + 3y 0 Bu eşitlikte x iken y() ve y () 3/5 eğerleri yerlerine yazılırsa: 6 4 5 5 y () + 36 5 + 4y () + 3y () 0 5y () 4 5 36 5 5y () 34 5 y () 34 5 olarak ele eilir. UYGULAMA I I. Aşağıa verilen parametrik ifaeli fonksiyonların istenen türevlerini bulunuz? x g(t) αsint sin(αt). { y h(t) αcost + cos(αt) için? x g(t) ln(cott). { y h(t) tant + cott için y? 3. { x g(t) acos3 t y h(t) asin 3 t için y? II. Aşağıa kapalı forma verilen fonksiyonların istenilen türevlerini bulunuz?. a x + a xy + a y + a 3 x + a 3 y + a 33 0 için y?. lnx + e (y/x) 0 için? 3. xsiny + ysinx 0 için y? 4. arctany y + x 0 için y? 5. (a + bx)e (y/x) x iken x 3 y (x y) oluğunu gösteriniz?
ÇÖZÜMLER x g(t) αsint sin(αt) I.. { y h(t) αcost + cos(αt), h (t) (*) g (t) g (t) αcost αcos(αt) α(cost cos(αt)) h (t) αsint αsin(αt) α(sint + sin(αt)), bu sonuçlar (*) eşitliğine yerlerine yazılırsa; α(sint+sin(αt)) (sint+sin(αt)) sin( α+ )tcos(α α(cost cos(αt)) (cost cos(αt)) bulunur. x g(t) ln(cott) I.. { y h(t) tant + cott, y h (t) g (t) (*) g (t) sin t sint cott sin t cost sintcost h (t) sin t cos t cos t cos t sin t sin tcos t sin tcos t y cos t sin tcos t )t sin( α+ )tsin(α )t cos( α )t sin( α cot (α ) t )t sintcost ( ) cos t cos t cos(t) cot(t) bulunur. sintcost sin(t) sin(t) I.3. { x g(t) acos3 t y h(t) asin 3 t için y y h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] 3 (*) g (t) 3acos t( sint) 3acos tsint g (t) 3a[cost( sint)sint + cos tcost] 3a[cos 3 t costsin t] 3acost(cos t sin t) h (t) 3asin tcost h (t) 3a[sintcostcost + sin ( sint)] 3a[sintcos t sin 3 t] 3asint(cos t sin t), bu sonuçlar (*) eşitliğine yerlerine yazılırsa; y 3asint(cos t sin t)[ 3acos tsint] 3asin tcost[ 3acost(cos t sin t)] [ 3acos tsint] 3 9a cos tsin t(cos t sin t)+9a cos tsin t(cos t sin t) 7a 3 cos 6 tsin 3 t 9a cos tsin t[cos t sin t cos t+sin t] 7a 3 cos 6 tsin 3 t cos t+sin t 3acos 4 tsint 3acos 4 tsint bulunur. II.. F(x, y) a x + a xy + a y + a 3 x + a 3 y + a 33 0 için y? Verilen fonksiyon kapalı forma oluğunan birinci mertebeen türevi; y F(x,y) F(x,y) a x+a y+a 3 a x+a y+a 3 a x+a y+a 3 a x+a y+a 3 olur. II.. F(x, y) lnx + e (y/x) 0 için?
.yol Verilen fonksiyon kapalı forma oluğunan birinci mertebeen türevi; F(x,y) F(x,y) x + y x e (y x ) x e (y x ) + y x e (y x ) e (y x ) y x + ey x bulunur..yol F(x, y) (lnx + e (y/x) ) (0) x y x (y x ) e (y/x) 0 x y y x e (y x ) + y e (y x x ) 0 e ( x ) x II.3. F(x, y) xsiny + ysinx 0 için y? y y x e (y x ) + x y y x + ey x bulunur. F(x, y) (xsiny + ysinx) (0) siny + x. y cosy + y sinx + ycosx 0 (xcosy + sinx)y (ycosx + siny) y ycosx+siny xcosy+sinx bulunur. II.4. F(x, y) arctany y + x 0 için y? F(x, y) (arctany y + x) (0) y +y y + 0 ( ) +y y y +y y y +y y iken, () (+y) yy y yy (+y ) yy (y y ) y +y y y y 4 y 4 y 3 (+y ) y 5 bulunur. y 3 II.5. (a + bx)e (y/x) x iken x 3 y (x y) eşitliğinin sağlanığını gösterelim. (a + bx)e (y/x) x iken F(x, y) (a + bx)e (y/x) x 0 yazılabilir. Buraan F(x, y) [(a + bx)e(y/x) x] (0) be(y/x) + y x y x (a + bx)e (y/x) 0 be (y/x) + y x y x 0 be (y/x) + y y 0 x x y + y x be(y/x) ve y x y x b y x y e (y x x ) ( y y x x ) ( e(y x ) ) ( + y x be(y/x) x y x ) ( e(y x ) ) ( + y b x x x e(y/x) y x ) ( e(y x ) ) ( b x x e(y/x) ) ( e (y x ) ) ( x be(y x ) ) x 3 y x3 ( x be(y x ) ) x ( be (y x ) ) (i)
(x y) (x ( + y x be(y/x) ) y) (x + y bxe ( y x ) y) x ( be (y x ) ).(ii) (i) ve (ii) eşitliklerinin sağ tarafları birbirine eşit oluğunan sol taraflara eşit olmak zorunaır. Böylece verilen fonksiyonun x 3 y (x y) eşitliğini sağlaığı gösterilmiş olu. DİFERANSİYEL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ Kapalı bir aralıkta sürekli ve türevlenebilir fonksiyonlarla ilgili bazı özellikleri ihtiva een temel teoremler ispatsız olarak verilecektir. Teorem: (Rolle Teoremi) Bir [a, b] aralığına sürekli, (a, b) aralığına iferansiyellenebilir ve aralığın uç noktalarına aynı eğerleri alan (yani f(a) f(b) olan) bir y f(x) fonksiyonu için öyle bir c (a, b) noktası varır ki, bu noktaa f (c) 0 ır. c y Şekil: Şekil: c Teoremin şartlarını sağlayan fonksiyonlar için f (c) 0 şartını sağlayan c (a, b) noktası bir tek olabileceği gibi (Şekil:) biren fazla a olabilir (Şekil:). Teorem: (Ortalama Değer (Lagrange) Teoremi) Bir [a, b] aralığına sürekli ve (a, b) aralığına iferansiyellenebilen y f(x) fonksiyonu için öyle bir c (a, b) noktası varır ki, bu noktaa; f(b) f(a) b a eşitliği sağlanır. f (c) (0)
Şekil:3 C C B Teoremin şartlarını sağlayan f(x) fonksiyonu için c (a, b) noktası, (c, f(c)) noktasına fonksiyon eğrisine çizilen teğetin eğimi olan f (c), eğrinin uçlarını birleştiren [AB] oğrusunun eğimi olan f(b) f(a) b a eğerine eşit olacak şekile varır. Yani c noktasına eğriye teğet olan oğru, [AB] oğrusuna paralelir. (a, b) aralığı içerisine söz konusu c noktası biren fazla olabilir. Teorem:3 (Genelleştirilmiş Ortalama Değer (Cauchy) Teoremi) Bir [a, b] aralığına sürekli ve (a, b) aralığına iferansiyellenebilen f(x) ve g(x), (g (x) 0, x (a, b)) fonksiyonları için öyle bir c (a, b) noktası varır ki, bu noktaa; f(b) f(a) f (c) g(b) g(a) g (c) () eşitliği sağlanır. Örnek:9 f: [, 6] IR fonksiyonu f(x) x 4x + şekline veriliyor. [, 6] aralığına bu fonksiyona Rolle teoreminin uygulanıp uygulanamaığını gösteriniz? Uygulanabilirse bu teoremi sağlayan c noktasını/noktalarını bulunuz? Çözüm (i) f(x) x 4x + fonksiyonu [, 6] kapalı aralığına her noktaa tanımlı ve sürekliir. Çünkü x 0 (, 6) için lim f(x) f(x 0 ) x 0 4x 0 + (yani fonksiyon x x0 açık aralığın her noktasına sürekli) iken a için lim f(x) f( ) 4 (yani a x + uç noktasına sağan sürekli) ve b 6 için lim f(x) f(6) 4 (yani b 6 x 6 noktasına solan sürekli) olacaktır. (ii) f(x) x 4x + fonksiyonu (, 6) aralığına türevlenebilirir ve bu türev f (x) x 4 ür. Bu türev fonksiyonu x (, 6) için tanımlıır. (iii) f(a) f( ) ( ) 4( ) + 4 ve f(b) f(6) 6 4(6) + 4 olup uç noktalar için f(a) f(b) ir. (i), (ii) ve (iii) şartlarının sağlanması gereğince verilen fonksiyona Rolle teoremi uygulanabilir. Şimi f (c) 0 enklemini sağlayan c noktasını/noktalarını bulalım. f (x) x 4 oluğunan f (c) c 4 0 c (, 6) olup bir tane varır. Örnek:0 f(x) 4x 3 fonksiyonuna x 3 aralığına ortalama eğer (Lagrange) teoreminin uygulanıp uygulanamaığını gösteriniz? Uygulanabilirse bu teoremi sağlayan c noktasını/noktalarını bulunuz?
Çözüm (i) f(x) 4x 3 fonksiyonunun tanım kümesi; 4x 3 0 x 3 4 oluğunan D(f) [ 3, + ) ur. Ayrıca [, 3] D(f) oluğunan fonksiyon [, 3]aralığına a tanımlı 4 ve sürekliir. (ii) Verilen fonksiyon (, 3) aralığına türevlenebilir olup, türevi f (x) 4 4x 3 4x 3 ür. (i) ve (ii) şartlarının sağlanması gereğince verilen fonksiyona ortalama eğer teoremi uygulanabilir. Şimi f(b) f(a) b a f (c) enklemini sağlayan c noktasını/noktalarını bulalım. a ve b 3 için f(b) f(a) b a f(3) f() 3 f (c) 4 c 3 4 3 3 4 3 } 4 c 3 4 c 3 4 c 7 (, 3) olarak bulunur. 4 4 c 3 Örnek: f(x) x + ve g(x) x 3 fonksiyonlarına [, ] kapalı aralığına Cauchy teoreminin uygulanıp uygulanamaığını gösteriniz? Uygulanabilirse bu teoremi sağlayan c noktasını/noktalarını bulunuz? Çözüm (i) Her iki fonksiyon için tanım kümeleri sırasıyla D(f) IR ve D(g) IR olup, [, ] IR oluğunan, bu fonksiyonlar [, ]aralığına sürekliirler. (ii) Her iki fonksiyon a (, ) aralığına türevlenebilirir. Türevleri sırasıyla f (x) x ve g (x) 3x ir. Bu türevleri (, ) aralığına tanımsız yapan hiçbir nokta yoktur. (i) ve (ii) şartlarının sağlanması gereğince verilen fonksiyonlara Cauchy teoremi uygulanabilir. Şimi f(b) f(a) g(b) g(a) f (c) g (c) enklemini sağlayan c noktasını/noktalarını bulalım. a ve b için f(b) f(a) g(b) g(a) f() f() g() g() 6 3 f (c) c g (c) 3c 8 3 7 } c 3c 3 7 c(9c 4) 0 c 0 (, ) veya c 4 (, ) bulunur. 9 9c 4c 0