Kök Yer Eğrileri ile Tasarım

Kök Yer Eğrileri ile Taarım Prof.Dr. Galip Canever

Kök Yer Eğriinden Kazanç ın Belirlenmei Kök yer eğrii K nın pozitif değerleri için denkleminin muhtemel köklerini göteren eğridir. KG ( ) Taarımın amacı itediğimiz tatik ve dinamik cevabı elde edebileceğimiz K yı belirleyebilmek. Kök yer eğriindeki değerleri için G nin açıı 8 derecedir, ve büyüklüğüde dan olur. K K G( ) G K 2 [ 6 ] ( 4 ) Örneğini ele alalım. 2

K 2 [ 6 ] ( 4 ) ζ.5 Seçecek olurak K nın değeri nedir? K G( ( keim noktaının koordinatı) -, - 2, - 3 vektörleri G() nin kutuplarından noktaına olan uzaklıklardır. ) 3

Cebrik olarak; G( K ) G ( )( 2 2 3 ) ( ) Baitçe ölçekli çizdiğimizde bu uzunlukları ölçüp çarparak K yı bulabiliriz. K ( 4 )( 2,)( 7,7 ) 65 4 2 3 2. 7.7 Eğer K yı 65 e et ederek önümlü cevabı elde edebiliriz 3 ζ.5 4

Kök yer eğriinin üçüncü kolu reel ekenin negatif olduğu bölge üzerindedir. m < n- ie köklerin toplamı K dan bağımızdır (toplam K ile değişmez) Hatırlayacak olurak; Dolayııyla bilinmeyen 3. kutup köklerin toplamını değiştirmeyecek şekilde ola kaymalı. Kök yer eğriinden -23.4j olarak tahmin ediyoruz. Başlangıç noktaı -44j olduğu için, kök 2 birim ağa doğru kayar. Eşlenik kök aynı miktarda kayar dolayııyla bilinmeyen kök başlangıç noktaı dan 224 birim ola kayar. Doalyııyla 3. kutbun yeri -4 noktaıdır. 5

Kontrolör iki ebeple kullanılır; Geçici hal cevabını düzenlemek Faz İlerietici Kompanzayon PD Kontrol Kararlı hal hataını elimine etmek Faz Gecikmeli Kontrol PI Kontrol Eğer Geçici hal cevabı ve Kararlı hal hataı birlikte düzenlenmek itenire; Faz İlerletici-Gecikmeli Kontrolör PID Kontrolör 6

Dinamik Kompanzayon Kazanç ayarı ile item dinamikleri doğaı nedeniyle itenilen taarım yapılamıyora proe dinamiklerine kompanzayon yapılmaı gerekir. En bait ve etkili iki kompanzayon yöntemi: Lead Compenation (Faz İlerletici Kompanzayon) Lag Compenation (Faz Gecikmeli Kompanzayon) Lead Compenation (Faz İlerletici Kompanzayon): Yükelme zamanını ve aşım miktarını düşürür. Kabaca türev kontrolöre benzer. Lag Compenation (Faz Gecikmeli Kompanzayon): Kararlı hal cevabını haalığını düzenler. Kabaca integral kontrolöre benzer. 7

Kompanzayon tranfer fonkiyonu: D( ) z p z < z > p p Faz İlerletici Kompanzayon Faz Gecikmeli Kompanzayon Kompanzayon genelde plant ile eri konfigürayonda uygulanır. 8

r - Controller K A D() Plant K G G() y Tranfer Foniyonu: KD( ) G( ) ( K K A K G ) 9

Lead Compenation (Faz İlerletici Kompanzayon) Faz ilerletici kompanzayonun kakrarlı hale getirme etkii incelemek için baitleştirilmiş D() z yi göz önüne alalım. Sitemimizin KG( ) tranfer fonkiyonu: K ( ) Kök yer eğrii:

D() 2 için yeni kök yer eğrii (D()G()) Yeniden düzenlenmiş kök yer eğrii keikli çizgi lerden oluşan çemberdir. Dikkat edilecek olura iteme eklenen ıfır(-2) eğriyi ola bir başka deyişle daha kararlı bölgeye kaydırmıştır.

Kompanzayon önceinde eğer bizim cevabımız w n 2 olmaı gerekeydi. Sitemin önüm katayıı çok düşük olacaktı dolayııyla yükek aşım oluşacaktı. Siteme ıfır ekleyerek w n 2 yi önümün.5 den büyük değerlerinde elde etmemiz mümkün. Dolayııyla D()2 ile itemi kompanze etmiş olduk. D() in eçimindeki problem: D() adece ıfır dan oluştuğundan fizikel gerçekleme fark alıcı içerir. Fark alıcıda algılayıcı inyalindeki yükek frekanlı gürültüleri katlar. 2

D() e kutup ekleyerek kompanzayonu inceleyelim: D( ) 2 2 D( ) 2 3

-2 deki köke ulaşmadan (küçük kazanç değerlerinde) önce üç eğri birbirinin aynııdır. 4

D( ) z p z itemin yükelme zamanı ve yerleş zaman gerekinimlerini belirleyen kapalı göngü doğal frekanı (w n ) nin yakınlarına yerleştirilir. p z nin 3 ile 2 katı araında eçilir. Kutbun eçimi gürültünün ortadan kaldırılmaı ve kompanzayonun etkililiği araında bir uzlaşmadır. Eğer kutup ıfıra yakın eçilire eğri kompaze edilmemiş haline benzer ve ıfır işlevini görmemiş olur. Ayrıca eğer kutup çok olda eçilire D() in çıkışındaki gürültü çok büyük olacaktır. Sitemdeki motor veya hareketlendirici bu gürültü kaybı ile aşırı ıınacaktır. 5

Örnek: G( ) İçin kapalı döngü önümü ζ >. 5 ( ) Ve doğal frekanı ωn > 7 2 D( ) deneyelim. K nın yükek değerleri için (K7) Olacak kompanatörü taarlayınız ζ.56 ωn 7.7 rad / 6

Birim baamak cevabı: Aşım miktarı %2 7

Arzu edilen kapalı döngü kök yerini önceden eçerek, faz ilerletici kompanatör ıfır ve kutuplarını belirleyebiliriz. İleri faz kompanatörünün parametrelerinden birini eçip diğerini de bu eçime göre heaplarız. 2 Örneğin, kök yer eğrimizin ζ. 5 Değerlerine karşılık gelen - 3j noktaından geçmeini iterek. ω n Arzu edilen noktada kapalı döngü iteminin açıı -2 derece olduğundan D() kompanatöründen gelecek olan net açı 3 olmalıdır. 8

Eğer ratgele ıfırı -2 noktaına koyacak olurak, net açının 3 olabilmei için kompaatör kutbunun -4 noktaına yerleştirilmei gerekir, ve böylece - 3j noktaı kök yer eğrii üzerinde olur. D() kompanatöründen gelecek olan net açı 3 olmaı için başka kombinayonlar da olabilir. Açı koşulu kompanatörün ıfırı ve kutbu araındaki ilişkiyi belirler. 9

İminden anlaşılacağı üzere faz ilerletici kompanatör, tranfer fonkiyonunun inüoidal faz açıını ilerletir. jw için; φ tan ω ( ) z tan ω ( ) p Eğer z<p ie Φ açıı pozitiftir ki adında anlaşılacağı üzere açıyı ilerletir. Faz ilerletici kompanatör çok farklı şekillerde gerçeklenebilir. Anolog elektronik te OP-AMP lar kullanılır. 2

Tranfer Foniyonu: K R D( ) F D eger RF R R R2 T RC R α R R 2 R K 2 2 D α T T ıfır z-/t ve kutup p-/ T dir α α ıfır ile kutbu 3 ile 2 kat araında ayırır. 2

Lag Compenation (Faz Gecikmeli Kompanzayon) İtenilen dinamik cevap ileri faz kaydırıcı ile elde edildiğinde alçak frekan kazancının(kararlı hal kataı katayıı örneğin K v ) küçük olduğunu keşfedebiliriz. Bu kazancı yükeltmek için ıfır frekana yakın bi diğer integrayon yapılabilir. Bu iyileştirme kutbu yakınlarında gerçekleşti, genelde ileri faz kompanatörü tarafından belirlenen tüm item dinamik cevabı ile karışmamaı açıından bir de ıfır eklenir, buna ıfır-kutup çifti denir. Bizim itediğimiz yakınlarında K v yı yeterince büyük yapacak bir D() ifadei elde etmek ki bu dinamik cevabın belirlendiği yükek frekanlarda etkiiz elaman olacak. (Bir başka deyişle geçici rejim cevabını değiştirmeyecek) 22

z D( ) z>p p z ve p nin değerleri küçük (z. ve p.) ama itenilen kararlı hal kazancına göre D()z/p 3- olur. z>p olduğu için Φ açıı negatiftir ve karşılığı faz gecikmeidir ve bu kompanzayona Faz Gecikmeli Kompanazyon adı verilir. Örnek: G( ) ( ) için Faz İleri Kompanatörümüz ζ.77 2 D( ) 2 olun olabilmei için daha önce bahettiğimiz yöntem ile K yı 3 olarak heaplarız. 23

Bu durumda hız katayıı: K v lim KDG K v 2 lim (3) 2 3 Bu değer karalı hal hatını iyileştirmek için yeterli değil. Hız katayıı K v yi kat artıracak, faz geciktirmeli kompanatörü ekleyelim (z/p) 3. D 2( ).. 24

Şekil a dan göreceğimiz üzere bakın kökler -.35±.35j. Şekil b de büyütülmüş hali görünen küçük çember faz gecikmeli kompanatörden dolayıdır. Dikkat edilecek olura kapalı döngü item kökü faz gecikmeli kompanatörün ıfırı -. ±jye çok yakındır. 25

Bu kök çok yavaş düşen geçici hal durumuna karşılık gelir. Düşme çok yavaş olacağından yerleşme zamanını ciddi derecede etkiler. Bu etki yüzünden ıfır-kutup çiftini bakın köklerin yerini çok kaydırmamak kaydıyla mümkün olduğunca yükek frekana yerleştirmek önemlidir. Bir diğer önemli nokta, fizikel item bozucu etkiden hataya olan tranfer fonkiyonu ıfıra ahip olmayacak ve böylece bozucu geçici rejimler faz gecikmeli kompanatör yüzünden uzun ürebilir. 26

Faz gecikmeli kompanatör çok farklı şekillerde gerçeklenebilir. Anolog elektronik te OP-AMP lar kullanılır. Tranfer Foniyonu: D( ) R R 2 i βt β T T β R C R R 2 R 2 Genelde R i R 2 dolayııyla yükek frekan kazancı dir, fakat R i ayarlanak kazanç itenile değere oturtulur. 27

Gecikme Kontrol itemlerinde gecikme çok ıklıkla görünür. Proein kendi doğaından Algılayıcadan gelen inyalden Kimyaal proelerde malzemenin borulardan geçmei ve uzay araçlarının yükekliklerinin belirlenmeinde ışık hızının ınırlı olmaından dolayı ölçüm bilgiinin dünyaya geç ulaşmaı gibi. Ayrıca dijital kontrol itemlerinde bilgiayarın cycle zamanı ve bilginin ayrık olarak işlenmeinden dolayı olan gecikme. Kontrol itemlerinde gecikme her zaman itemin kararlılığını negatif yönde etkiler. Dolayııyla gecikmenin etkiinin incelenmei önemlidir. 28

Bu analizde kök yer eğriinin naıl kullanılabileceğini inceleyeceğiz. Örnek: Bir eşanjörün ıcaklık kontrol itemini ele alalım. Tranfer fonkiyonu : G( ) ( 5 e )(6 ) e 5 Terimi gecikmeyi ifade eder. Kök yer eğrii denklemi : K ( KG( ) 5 e )(6 ) 6 2 7 Ke 5 29

6 2 7 Ke 5 Polinom olmadığı için kök yer eğriini naıl çizeceğiz? İki yöntem: I Yaklaştırma II Açı koşulunun direk uygulanmaı Birinci metod da keirli olmayan ütel ifadeyi keirli yaklaşımını bulmaya çalışırız. Genelde düşük frekanlar ile ilgilendiğimiz için ve yakınlarındaki yaklaşım yeterli olacaktır. İlk olarak ütel ifadenin keirli yaklaşımı belirlenir ve onuçta gecikmeyi karşılık gelecek için herhangi bir itenen gecikme için T d dönüşümü uygulanır. Bu tür ütel ifadelerin keirli hale dönüşümlerinde Pade yaklaşımı kullanılır ve p payın q da paydanın dereceidir 3

3 ε a b b e a b b e Olarak yaklaştıralım ve hataı küçük olun. Hem keirli hemde ütel ifadeyi McLauren eriine açalım ve mümkün olduğu kadar başlangıç koşullarını denkleştirelim...., 4! 3! 2! 4 3 2 e... ) ( ) ( ) ( 3 2 2 b a b a b a b a b a b b a b b İlk dört terimin katayılarını eşitleyecek olurak: 6 ) ( 2 ) ( 2 b a b a b a b a b a b b

yerine T d yazıp ilk üç katayıyı denklediğimizde Pade yaklaşımına göre (pq) e T d Td 2 Td 2 Yazılır. Eğer pq2 varayılıra 5 parametremiz olacak ve daha iyi bir yaklaşım yapabileceğiz, e Td T d 2 Td 2 ( T d ) 2 ( T ) d 2 2 2 32

Çoğu uygulamalarda en bait yaklaşım p, q kabul edilebilir haaiyettedir. e T d T d 33

Gecikmenin etkii ve dört değişik yaklaşım Dikkat edilecek olura düşük kazançlarda ve eğrinin imajiner ekeni ketiği noktaya kadar yaklaşım eğrileri gerçek eğriye çok yakın. Pade eğrii daha ileri noktlara kadar yeterli haaiyette gerçeği takip etmekte. Ayrıca görüldüğü üzere gecikmenin karaızlık etkii vardır ve itenilen cevap hızını yavaşlatır 34

2. Metod olan açı koşulun direk uygulanmaı ile gecikmeli itemin kök yer eğrii çizilebilir. Tranfer fonkiyonu : λ jω G( ) 8 36 λ G( ) e G( ) l olun. için G( ) G( ) λω Dolayııyla, G( ) 8 λω 36 l Kök yer eğriini çizebilmek için frekanı abitleriz. Ve düzleminde yatay çizgide noktayı bulana kadar devam edilir. Sonra frekan değeri artırılır ve tekrarlanır. Benzer şekilde kopma açıları λω ile düzenlenir. ω kopmanın heaplandığı kökün imajiner kımıdır. 35

Lineer Olmayan Sitemler Gerçek kontrol itemleri lineer değildir ama biz gerçek modellere lineer yaklaşımları kullanırız. Bazı itemlerde lineerizlik dinamik değildir, böyle itemlere büyüklüğü giriş inyaline bağlı bir kazanç yaklaşımında bulunulabilir. Örnek: Dinamik Olmayan Lineerizlikler Doyum(Saturation) Röle Gecikmeli Röle 36

Ölü bölgeli Kazanç Önceden yüklenmiş yay veya CloumbVizkoz Sürtünme Baamaklama Örnenek olarak doyu eğriini düşünecek olurak. Tüm hareketlendiriciler mutlaka bir noktada doyuma ulaşırlar; eğer ulaşmaza çıkışları onuza kadar artar ki bu fizikel olarak mümkün değildir. 37

Doyum elemanı için: input inyalinin a dan küçük olduğu durumlarda lineerizlik N/a kazancı ile lineerdir. Ancak giriş inyalinin a dan büyük olduğu durumlarda çıkışın büyüklüğü N ile ınırlıdır. Çıkış ve giriş araında oran input güyüdükçe azalır. 38

Kontrol item taarımının önemli beklentilerinden birii hareketlendiriciyi boyutlandırmaktır; büyüklüğünü, ağırlığını, güç ihtiyacını fiyatını ve doyum eviyeini belirlemektir. Genelde yükek doyum eviyeli hareketlendiriciler daha ağır, daha büyük ve daha pahalıdırlar. Örnek: 39

Doyum fonkiyonu olmadan itemin kök yer eğrii: K olan noktada ζ.5. 4

Baamak Cevabı : 4

Doyuma giren inyaller.4 den küçük olduğu ürece item lineerdir ve ζ.5 e göre onuç verir. Giriş eviyei arttıkça item cevabının aşım miktarı artmakta ve bunu yenmei daha uzun ürmektedir. Kök yer eğriiinden görüleceği üzere K düşürüldükçe kökler düzleminde orjine doğru kayıyor ve önüm katayıı gittikçe düşüyor. Bunun neticeinde yükelme zamanı, yerleşme zamanı ve aşım artar ve cevap daha oilayonludur. 42

Örnek: 43

Doyum fonkiyonu olmadan itemin kök yer eğrii: Büyük K değerleri için item kararlıdır, küçük değerlerinde kararızdır. 44

Baamak Cevabı : 45

Eğer K2 (ζ.5) ie küçük giriş inyalleri için ζ.5 e göre onuç verir. Giriş inyal eviyei arttıkça daha az iyi önümlü olur. Giriş inyal eviyei daha da arttırılıra cevap karaız olmaya başlar. 46

Örnek: 47

Doyum fonkiyonu olmadan itemin kök yer eğrii: 48

Baamak Cevabı : 49

Bu item tipik bir elektromekanik kontrol problemidir. Dikkat edilecek olura item rezonan mod da 2.2 (ω, ζ.) dir. K.5 kazancı rezonant mod daki itemin köklerini ağ yarı düzleme ürüklemeye yeterlidir. Bu kazanç değeri azaltılıra item kararlı olmaya başlar. Kararızlıktan dolayı doyum ile itemin cevabı yeterince büyük olana kadar gittikçe büyür ve kazanç K.2 değerine düşürülerek büyüme durdurulur. Hata abit bir değere ulaşır ve oilayon yapmaya başlar. Oilayonların frekanı ω rad/an dir ve DC denge değerinde abit olarak kalır. Çözüm her zaman abit büyüklükte periyodik olur, bu nedenle bu tür durumlara limit cycle denir. Limit cycle ı önlemek için kutup yakınlarına kompanzayon ıfırları eklenir, fakat bu ıfırlar daha düşük frekanta olmalıdırlar. 5