BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım. Bu sayılar (mod ye göre birbirleri ile kongrü değildir aksi halde r < s olmak üzere ra sa(mod olsa r s(mod bulunur ki bu mümkün değil Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı tarafından bölünmez. Böylece a a a K ( a sayı takımı belirli bir sırada alındığında (mod ye göre K ( sayı takımına kongrü olur yani a. a.ak ( a..k( (mod a böylece (! (!(mod a F (! Sonuç 4. Eğer bir asal sayı ise herhangi bir a sayısı için İsat: (mod edilir. a olduğundan (mod elde edilir. a a(mod a ise a 0 a(mod. Eğer F a ise Fermat teoreminden elde edilir. Bu kongrüansın her iki tarafı a ile çarılırsa a a(mod elde Fermat Teoreminin Uygulama Alanları. Fermat Teoremi verilen bir modüle göre yaılan hesalamalardaki işlemleri kolaylaştırmada kullanılabilir. Örnek. 40 yı (mod 9 a göre hesalayalım: = 9 asal 9F40 olduğundan Fermat Teoremine göre 40 (mod9 buna göre 40 (40.40.00 (mod9 olarak hesalanır.. Verilen bir n sayısının asal olu olmadığını belirlemede kullanılır. Örnek. a Z olmak üzere a n a(mod n kongrüansı a nın bazı değerleri için sağlanmıyorsa n asal olamaz. Bu yöntemi n = 4 için a = seçerek deneyelim: 4 ( 0. 9 0. ( ( 4 ( 4....9. 9 (mod 4 Buna göre 4 asal değil Gerçekten de 4=.9.. (. (9. (.
a n Fermat Teoreminin karşıtı doğru değil Yani nf a ve (mod n nin asal olmasını gerektirmez. olması n Lemma 4. Eğer ve q a a(mod q ve a q a(mod koşulunu sağlayan asal sayılar ise a q a(mod q q q İsat: Sonuç 4. ye göre ( a a (mod Öte yandan hioteze göre a q q a(mod olduğundan ( a a(mod ve böylece ( a q a elde edilir. Benzer şekilde q ( a q a olduğu gösterilir. ( q = olduğundan q ( a q a yani a q a(mod q Örnek. Lemma 4. ü kullanarak 90 (mod 9 olduğunu gösterelim: 9=..(.( 4.( (mod.(..( (mod den Lemma 4. e göre 9 (mod 9 ( 9 = 90 (mod 9 O halde Fermat teoreminin karşıtı doğru değil Tanım 4.4 n bileşik bir tamsayı olmak üzere eğer ( a n = olan bir a tam sayısı a n için (mod n oluyorsa n sayısına a tabanına göre sahte-asal sayı denir. Eğer n sayısı ( a n = olan her a tam sayısı için bir sahte asal sayı ise bu sayıya mutlak sahte-asal veya Carmichael sayısı denir. Örnek 4. 4 sayısının tabanına göre sahte-asal sayı olduğunu gösterelim: Gerçekten 4=. ve 0 =.( (mod ve =.( (mod 4 olduğundan Lemma 4. e göre (mod 4 (mod 4 tabanına göre en küçük sahte asal sayı 4 tabanına göre en küçük sahte asal sayı ise 9 Örnek. n = =.. olsun. Eğer F a F a F a ise Fermat Teoremine göre a (mod a 0 (mod a (mod Buna göre 0 0 0 0 0 a = ( a (mod a = ( a (mod a = ( a (mod ve böylece a 0 (mod Ohalde sayısı bir mutlak sahte asal sayıdır. Bu sayı aynı zamanda bu şekildeki sayıların en küçüğüdür. Teorem 4 Her a > tam sayısı için sonsuz sayıda sahte-asal sayı vardır. İsat: > F a ( a olan bir asal sayı olsun. 40 4
a a a + n = = = ( a + a + L + ( a a + a L + Z a a a + ve çaranlardan her biri den büyük bir tam sayıdır. O halde n sayısı bir bileşik sayıdır. ( a ( n = a a = a( a ( a + a Öte yandan çift olduğu için a a Fermat Teoemine göre a ve böylece F a olduğundan ( a a elde edilir. Öte yandan a ve birden tek veya ikisi birden çifttir ohalde a + a Sonuç olarak a nin ikisi ( a ( a ( n ve buradanda ( n O halde n = + u u Z. a ( n n u = a n + (mod yani a = a (mod n olur. Wilson Teoremi Lemma 4. Eğer > olan bir asal sayı ise a (mod koşulunu sağlayan a tam sayıları mod ye göre sadece a = veya a = İsat: a = bu kongrüansın bir çözümüdür. a (mod a (mod kongrüansının başka bir çözümü ise a 0(mod ( a ( a + 0(mod yani ( a ( a + asal olduğundan ya ( a veya ( a + a (mod olduğundan a + yani a (mod Teorem 4. Eğer bir asal sayı ise (! (mod İsat: = için! = (mod = için! = (mod. > ve a sayısı a olan herhangi bir tamsayı olak üzere ax (mod kongrüansını gözönüne alalım. ( a = olduğundan bu kongrüansın mod ye göre tek çözümü vardır. O halde aa (mod olacak şekilde a olan bir a Z vardır. Lemma 4. ya göre a = a a = veya a = dır. Eğer a ve a ise ax (mod kongrüansının çözümü olan a a sayısından farklıdır. Şimdi K sayılarını a a ve aa (mod olan çiftlere ayıralım. Bu şekildeki ( / tane kongrüans taraf tarafa çarılır ve çaranlar uygun bir şekilde düzenlenirse.k ( (mod yani (! (mod Bu kongrüansın her iki tarafı ( ile çarılırsa (! (mod elde edilir. Wilson Tereminin karşıtı da doğrudur. Teorem 4. Eğer ( n! (mod n ise n asal olmak zorundadır.
İsat: ( n! (mod n olsun. Eğer n asal değilse < d < n olan d gibi bir böleni vardır. Bundan başka d n olduğundan d ( n! Öte yandan ( n! (mod n den n ( n! + d ( n! +. Bunun sonucu olarak d Bu ise d > olması ile çelişir. O halde n asal olmak zorundadır. Teorem 4.9 Eğer > olan bir asal sayı ise x (mod kongrüansının çözümlü olması ancak ve yalnız (mod 4 olması ile mümkündür. İsat:. a x (mod kongrüansının bir çözümü olsun. a (mod ( / F a olduğundan Fermat Teoremine göre a ( a ( (mod Eğer = 4 k + k Z olsa (mod bulunur bu ise > olması ile çelişir. O halde (mod 4 olmak zorundadır.. Tersine (mod 4 olsun. ( / = çift buna göre + (! = L L( ( şeklinde yazılabilir. K ( + / ( / (mod olduğu gözönüne alınır ve çaranların sırası yeniden düzenlenirse ( / (! ( (.K ( / (.K ( / (mod Öte yandan Wilson Teoremine göre (! (mod sonuç olarak [(( /!] (mod yani (( /! sayısı x (mod kongrüansının bir çözümüdür. ( / Teorem 4.0 Eğer > olan bir asal sayı ise. K ( ( ( + / İsat: a ( a(mod yazılabilir. Buna göre.4.k ( ( ( / (mod ( ( 4 L (mod..k ( (.K ( (.4.K ( ( ( /. K ( (mod Wilson Teoremine göre (! (mod sonuç olarak ( ( /. ( + / K ( (mod. K ( ( (mod Wilson Teoremi n!+ şeklinde sonsuz sayıda bileşik sayının var olduğunu söyler. n!+ in asal olduğu n değerlerinin sonsuz sayıda olu olmadığı henüz bilinmemekte n 00 için n!+ in asal olduğu n değerleri 4 ve
Ödev Problemler - Eğer ( a = ( b = ise ( a b - Fermat Teoremini kullanarak n 0 tamsayısı için ( + - Her a Z için a a(mod n+ 4- Herhangi bir a tamsayısı için a ile a in birler basamağındaki rakamın aynı olduğunu gösteriniz. 9 00 - + 9 0(mod - Fermat Teoremini kullanarak aşağıdakileri isatlayınız. Eğer bir tek asal sayı ise (i + + + L + ( (mod (ii + + + L + ( 0(mod. - Eğer ve q birbirinden farklı asal sayılar ise q + q (mod q - (i.. sayılarını ab (mod olacak şekilde çiftlere ayırınız. (ii Wilson Teoremini kullanarak nin asal (iii! ile bölündüğünde kaç kalanı bırakır? 9-! (mod 4 0- Eğer bir asal sayı ise herhangi bir a tam sayısı için a + a(! - Eğer ve q birbirinden farklı asal sayılar ise q a q ve a + a (! a a q + a - n olmak üzere n ve n + sayılarının ikisi de asal ise 4 (( n! + + n 0(mod n( n +