Matematik Mantýk Kümeler Sevgili öðrenciler, hayatýnýza yön verecek olan ÖSS de, baþarýlý olmuþ öðrencilerin ortak özelliði, 4 yýl boyunca düzenli ve disiplinli çalýþmýþ olmalarýdýr. ÖSS Türkiye Birincisi Oruç Baba Ýnan aha Lise 1. sýnýftayken Ýstanbul a gitmeyi ve Boðaziçi Üniversitesi nde okumayý hayal etmiþtim; hayallerim gerçek oldu. demiþti; bir gazeteye verdiði demeçte. 2006 ÖSS den itibaren Matematik 1 bölümündeki sorularýn 9. sýnýfýn sonuna kadar olan konulardan olmasý, bu yýl iþleyeceðimiz matematik konularýnýn önemini ortaya koymaktadýr. Okul baþarýnýza katký saðlamanýn yaný sýra, dört yýl sonra gireceðiniz ÖSS de baþarýlý olmanýz için de kapý aralamaya çalýþacaðýz. Bu yýl iþleyeceðimiz konular: Mantýk, Kümeler, Kartezyen Çarpým, Baðýntý, Fonksiyon, Ýþlem, Sayýlar, Sayý Basamaklarý, Taban Aritmetiði, Bölme, Bölünebilme, E.b.o.b.-E.k.o.k., Modüler Aritmetik, Rasyonel Sayýlar, Ondalýk Kesirler, enklem Çözme, Sýralama, Mutlak eðer, Üslü Ýfadeler, Köklü Ýfadeler, Oran Orantý, Sayý Problemleri, Kesir Problemleri, Yaþ Problemleri, Yüzde Problemleri, Faiz Problemleri, Karýþým Problemleri, Ýþçi-Havuz Problemleri, Hareket Problemleri. Bu sayýda Mantýk ve Kümeler konularýný iþleyeceðiz. rnek... 1 Bir ay on gündür. ifadesi bir hüküm bildirdiðinden bir önermedir. rnek... 2 Sýfýr tam sayýdýr. ifadesi bir hüküm bildirdiðinden bir önermedir. 5 + 4 = 9 rnek... 3 ifadesi bir hüküm bildirdiðinden bir önermedir. rnek... 4 Esra kaç yaþýndadýr? ifadesi doðru veya yanlýþ bir hüküm bildirmediðinden önerme deðildir. I. MANTIK A. TANIM Belli koþullar altýnda ifadelerin (önermelerin) doðru veya yanlýþ olduðunu belirleyen bilim dalýna mantýk (lojik) denir. Bu bölümde, modern sembolik mantýk üzerinde duracaðýz. rnek... 5 Kütüphaneye gidelim. ifadesi doðru veya yanlýþ bir hüküm bildirmediðinden önerme deðildir. B. ÖNERME oðru ya da yanlýþ bir hüküm bildiren ama ayný zamanda hem doðru hem de yanlýþ olmayan ifadelere önerme denir. Matematikte önermeler p,, r, s gibi harflerle gösterilir. Bir p önermesinin; doðru olmasý veya 1, yanlýþ olmasý Y veya 0 ile gösterilir. 14
Mantýk Matematik C. OÐRULUK EÐERÝ Bir önermenin doðru veya yanlýþ diye nitelendirilmesine o önermenin doðruluk deðerleri; doðruluk deðerlerinin gösterildiði tabloya da doðruluk deðerleri tablosu veya doðruluk tablosu denir. Bir p önermesinin doðruluk deðerleri aþaðýdaki tablolardan birisiyle gösterilir. p p p oðru 1 Yanlýþ Y 0 Çözüm 3 2 = 3 3 = 9 2 2 = 2 2 = 4 5 4 = 5 5 5 5 = 625 olduðuna göre, 3 2 + 2 2 =? 5 4 9 + 4 =? 625 13 625 olduðuna göre, p: 3 2 + 2 2 = 5 4 önermesi yanlýþtýr. Buna göre, p önermesinin doðruluk deðeri 0 dýr. rnek... 6 p ile önermelerinin doðruluk tablosunu oluþturalým: p 1 1 1 0 0 1 0 0 Yukarýdaki tabloya dikkat edilirse, herhangi iki önermenin doðruluk deðerlerinin 2 2 yani 4 farklý satýrdan oluþtuðu görülür.. ÖNERMELERÝN ENKLÝÐÝ oðruluk deðerleri ayný olan iki önermeye eþdeðer önermeler veya denk önermeler adý verilir. p ve gibi iki önermenin doðruluk deðeri ayný ise, p þeklinde yazar, p önermesi önermesine denktir diye okuruz. rnek... 9 p: 5 + 2 = 7 : Bir hafta yedi gündür. n tane önermenin 2 = 2 2 2... 2 tane olasý durumu vardýr. Yani, n tane önermenin doðruluk tablosu 2 n satýrdan oluþur. rnek... 7 p,, r ile gösterilen 3 önermenin doðruluk tablosu, 3 2 = 2 2 2 = 8 n ntane2 önermeleri doðru olduðu için, p ve nun doðruluk deðeri 1 dir; bunun için, p ve önermeleri denktir. Yani; p 1 dir. E. BÝR ÖNERMENÝN EÐÝLÝ (OLUMSUZU) Bir önermenin hükmünün deðiþtirilmesiyle elde edilen yeni önermeye ilk önermenin olumsuzu (deðili) denir. Bir p önermesinin olumsuzu p', ~p ya da p simgelerinden biri ile gösterilir. satýrdan oluþur. rnek... 10 rnek... 8 p: 3 2 + 2 2 = 5 4 önermesinin doðruluk deðerini bulalým: p: 5 2 = 3 önermesinin deðili; p' : 5 2 3 þeklindedir. 15
Matematik Mantýk rnek... 11 : Bir ay on gündür. önermesinin deðili; ' : Bir ay on gün deðildir. þeklindedir. p, ve r önermeleri için aþaðýdaki özelikler saðlanýr. 1. p p p 2. p p 3. (p ) r p ( r) 4. p 1 1 5. p 0 p Bir önerme doðru ise deðili yanlýþtýr. Önermenin kendisi yanlýþ ise deðili doðrudur. Bir önermenin deðilinin deðili kendisine denktir. Yani; (p')' p dir. F. BÝLEÞÝK ÖNERMELER En az iki önermenin veya, ve, ise, ancak ve ancak gibi iþlemlerle (baðlaçlarla) birbirine baðlanmasýndan elde edilen yeni önermelere bileþik önermeler denir. Bileþik olmayan önermelere basit önermeler denir. 2. Ve iþlemi (baðlacý) p ile önermesinin ve baðlacý ile baðlanmasý ile oluþan p ve bileþik önermesi p biçiminde gösterilir. p ile önermesinden oluþan p önermesi, p ile dan (bileþenlerinden) her ikisi de doðru iken doðru; diðer tüm durumlar için yanlýþtýr. Buna göre; 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1. Veya iþlemi (baðlacý) p ile önermesinin veya baðlacý ile baðlanmasý ile oluþan p veya bileþik önermesi p biçiminde gösterilir. p ile önermesinden oluþan p önermesi, p ile dan (bileþenlerinden) en az biri doðru iken doðru; her iki bileþen de yanlýþ iken yanlýþtýr. p ve önermesinin doðruluk tablosu: p p 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Buna göre; 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 p veya önermesinin doðruluk tablosu: p p 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 p, ve r önermeleri için aþaðýdaki özelikler saðlanýr. 1. p p p 2. p p 3. (p ) r p ( r) 4. p 1 p 5. p 0 0 16
Mantýk Matematik 3. ile iþlemlerinin birbiri üzerine daðýlma özeliði p, ve r önermeleri için aþaðýdaki özelikler saðlanýr. 1. p ( r) = (p ) (p r) 2. ( r) p = ( p) (r p) 3. p ( r) = (p ) (p r) Herhangi bir p önermesi için aþaðýdaki özelikler saðlanýr. 1. p p' 0 (Çeliþki) 2. p 0 0 (Çeliþki) 3. p 1 1 (Totoloji) 4. p p' 1 (Totoloji) 4. ( r) p = ( p) (r p) 6. Ýse iþlemi (baðlacý) 4. e Morgan Kurallarý (Bileþik Önermelerin eðillenmesi) p ile önermesinin ise baðlacý ile baðlanmasý ile oluþan p ise bileþik önermesi p biçiminde gösterilir. p bileþik önermesine koþullu önerme denir. p ile önermesinden oluþan p önermesi; p ve önermeleri için aþaðýdaki özelikler saðlanýr. 1. (p )' = p' ' 2. (p )' = p' ' p doðru, yanlýþ iken yanlýþ, diðer tüm durumlar için doðrudur. Buna göre; 1 1 1 1 0 0 0 1 1 5. Totoloji ve Çeliþki Bir bileþik önerme, kendisini oluþturan basit önermelerin her deðeri için daima doðru (1) oluyorsa bu bileþik önermeye totoloji, daima yanlýþ (0) oluyorsa bu bileþik önermeye çeliþki adý verilir. 0 0 1 p ise (p ) önermesinin doðruluk tablosu : p p 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 rnek... 12 p' (p ) bileþik önermesinin çeliþki olduðunu tablo yaparak gösterelim: p p' p p' ( p ) 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 Yukarýdaki tabloda p' (p ) bileþik önermesinin, p ve nun bütün deðerleri için yanlýþ olduðu görülmektedir. Buna göre, p' (p ) bileþik önermesi çeliþkidir. p bileþik önermesinde, p önermesine hipotez, önermesine hüküm denir. p bileþik önermesinin tersi: p' ' p bileþik önermesinin karþýtý: p p bileþik önermesinin karþýt tersi: ' p' 17
Matematik Mantýk rnek... 13 p ve önermelerinden oluþan p' ile p bileþik önermelerinin tablosunu yapalým: p p' p' p 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 G. AKSÝYOM, TEOREM oðru olduðu ispatlanamayan fakat doðru olduðu kabul edilen önermelere aksiyom denir. p hipotezi doðru olan p koþullu önermesinin doðruluk deðeri 1 ise teorem adýný alýr. Teoremler doðruluðunu bir takým iþlemler yaparak gösterebildiðimiz önermelerdir. Bu ispat yöntemlerinden bazýlarýný burada vereceðiz. p p' 1. Olmayana Ergi Metodu Bu ispat yönteminde verilen teoremin karþýt tersinin ispatý yapýlýr. p önermesinin doðruluk deðeri 1 ise, bu þartlý önermeye gerektirme adý verilir. 2. oðrudan Ýspat Yöntemi p önermesinde p önermesinin doðru olduðu kabul edilip önermesinin de doðru olduðu gösterilmeye çalýþýlýr. 7. Ancak ve Ancak iþlemi (baðlacý) (p ) ( p) þeklindeki bileþik önermelere iki yönlü koþullu önerme denir ve p biçiminde gösterilir. p önermesi p ancak ve ancak diye okunur. (p ) ( p) p p ile önermesinden oluþan p önermesi p ile ayný deðerleri aldýðýnda doðru, farklý deðerler aldýðýnda yanlýþtýr. Buna göre; 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 p ancak ve ancak (p ) önermesinin doðruluk tablosu: p p p ( p ) ( p) p 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 3. eneme Yöntemi ile Ýspat eðiþkeni farklý deðerler alan bir önermede, bu deðerler ayrý ayrý yerlerine yazýlarak önermenin doðruluðu gösterilmeye çalýþýlýr. 4. Aksine Örnek Vererek Ýspat Bu yöntemde önermeyi yanlýþ yapan en az bir deðer bulmaya çalýþýlýr. I. AÇIK ÖNERMELER Verilen bir ifadenin içinde en az bir deðiþken varsa, deðiþkenin durumuna göre ifade doðru ya da yanlýþ oluyorsa, bu ifadeye açýk önerme denir. rnek... 14 P(x): x 3 = 4 açýk önermesinde; x yerine 7 yazýlýrsa verilen önerme doðru 18
Mantýk Matematik Çünkü P(7): 7 3 = 4 tür. Buna göre, P(7) 1 dir. x yerine 7 den farklý bir sayý yazýlýrsa verilen önerme yanlýþ Örneðin, P(5): 5 3 = 4 yanlýþ bir ifadedir. Buna göre, P(5) 0 dýr. H. NÝCELEYÝCÝLER Önüne geldiði elemanýn çokluðunu (niceliðini) belirten bazý, her sözcüklerine niceliyiciler denir. Bazý niceleyicisi, en az bir tane anlamýna gelir. Bu niceleyici ile gösterilir. x, P(x) ifadesi en az bir x için P(x) diye okunur. Her niceleyicisi bütün niceleyicisi ile ayný anlamý taþýr. Bu niceleyici ile gösterilir. x, P(x) ifadesi her x için P(x) diye okunur. x, P(x) önermesinin doðru olduðunu göstermek için, P(x) in doðru olduðunu gösteren bir örnek yeterlidir. x, P(x) önermesinin yanlýþ olduðunu göstermek için, P(x) in yanlýþ olduðunu gösteren bir örnek yeterlidir. x, in olumsuzu (deðili) x, tir. x, in olumsuzu (deðili) x, tir. [ x, P(x)]' x, [P(x)]' [ x, P(x)]' x, [P(x)]' 1. 2. A 3. Ç özümlü p: 4 çift sayýdýr. : 2 + 3 = 4 (p' )' ( p) p ' 1 T est olduðuna göre, p ' önermesi aþaðýdakilerden A) 4 çift sayý deðildir ve 2 + 3 = 4 tür. B) 4 çift sayýdýr ve 2 + 3 = 4 tür. C) 4 çift sayýdýr veya 2 + 3 = 4 tür. ) 4 çift sayýdýr veya 2 + 3 4 tür. E) 4 çift sayýdýr ve 2 + 3 4 tür. bileþik önermesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) 0 B) 1 C) p ) E) p olduðuna göre, p (p' ) önermesi aþaðýdakilerden hangisine daima denktir? A) p' B) C) 0 ) 1 E) p' rnek... 15 x, P(x): x 3 = 4 önermesi x = 7 için, doðru olduðundan, P(x) 1 dir. x, Q(x): x 3 = 4 önermesi x = 5 için, yanlýþ olduðu için, Q(x) 0 dýr. rnek... 16 ( x, x 5 = 4) ( x, x < 4) önermesinin olumsuzunu bulalým: x, x 5 = 4 ün olumsuzu: x, x 5 4 x, x < 4 ün olumsuzu: x, x 4 olduðuna göre [( x, x 5=4) ( x, x<4)]' ( x, x 5 4) ( x, x 4) 4. E 5. C 6. E p ' 0 olduðuna göre, [(p' ) (p )] bileþik önermesi aþaðýdakilerden hangisine daima denktir? A) p B) p' C) ) 0 E) 1 p ' 0 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisinin doðruluk deðeri 1 dir? A) p ' B) p' ' C) p ) p E) p' ' (p ) (p ) bileþik önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p ) ' E) p' 19
Matematik Mantýk 1. T estin Ve baðlacý sembolü ile gösterilir. p: 4 çift sayýdýr ': 2 + 3 4 olduðuna göre, Ç özümleri p ': 4 çift sayýdýr veya 2 + 3 4 tür. Cevap 4. p ' 0 ise (p 1 ve ' 0) Buna göre, ise (p' 0 ve 1) [(p' ) (p )] [(0 1) (1 1)] [1 1] 1 Cevap E 2. p' (p')' p dur.... ( ) (p )' p' ' dir.... ( ) Buna göre, (p' )' ( p) (p )' ( p) (p' ') ( p) (aðýlma özeliðini uygulayalým.) (p' ' ) (p' ' p) (eðiþme özeliðini uygulayalým.) (p' ' ) (p' p ') (Birleþme özeliðini uygulayalam.) [p' (' )] [(p' p) '] [p' 0] [0 '] 0 0 0 dýr. Cevap A 3. p ' 1 ise, p 1 ve ' 1 dir. ise, p' 0 ve 0 dýr. Buna göre, p (p' ) 1 (0 0) 1 1 1 Cevap 5. p ' 0 ise (p 0 ve ' 0) ise (p' 1 ve 1) Buna göre, seçenekleri inceleyelim: A seçeneðinde, p ' 0 0 0 B seçeneðinde, p' ' 1 0 0 C seçeneðinde, p 0 1 1 seçeneðinde, p 0 1 0 E seçeneðinde, p' ' 1 0 0 Cevap C 6. (p ) (p ) (p' ) [(p ) ( p)] (p' ) [(p' ) (' p)] [(p' ) (p' )] [(p' ) (' p)] [(p' )] [p' ( ') p] (p' ) [p' 1 p] (p' ) [(p' 1) p] (p' ) [(p') p] (p p' 1) (p' ) [1] (p 1 p) (p' ) p' Cevap E 20
Mantýk Matematik 2. C evaplý T est.. 1 1. Aþaðýdakilerden hangisinin doðruluk deðeri 1 dir? A A) (3 + 5) 6 < 50 B) 5 = (12 + 3): 5 C) 21 asal sayýdýr. ) 2 bir gerçel sayý deðildir. E) En küçük doðal sayý 1 dir. p 0 6. B 7. p 0 olduðuna göre, aþaðýdaki önermelerden hangisinin doðruluk deðeri 0 dýr? A) p' B) p ' C) p ) p E) ' p' (p' ')' önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) p ' B) p ' C) p ) p' E) p' C 3. C 0 olduðuna göre, aþaðýdaki önermelerden hangisinin doðruluk deðeri 0 dýr? A) p' B) p' ' C) p' ) p E) ' p' p: Esra nýn 5 YTL si vardýr. : Esra çikolata aldý. olduðuna göre, p' önermesi aþaðýdakilerden A) Esra nýn 5 YTL si vardýr ve Esra çikolata aldý. 8. p ve basit önermelerinden oluþan F(p, ) bileþik önermesinin doðruluk deðerleri aþaðýdaki tabloda verilmiþtir. E p F(p,) 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Buna göre, F(p, ) bileþik önermesi aþaðýdaki önermelerden hangisine denktir? A) p' B) p ' C) p ' ) p ' E) p' B) Esra nýn 5 YTL si yoktur ve Esra çikolata almadý. C) Esra nýn 5 YTL si yoktur veya Esra çikolata aldý. ) Esra nýn 5 YTL si vardýr veya Esra çikolata aldý. E) Esra nýn 5 YTL si yoktur veya Esra çikolata almadý. 4. Aþaðýdaki önermelerden hangisi çeliþkidir? C A) p p B) p' p C) p p' ) p p E) p' p' 5. Aþaðýdaki önermelerden hangisi totolojidir? A A) p 1 B) 1 p C) p 0 ) p 0 E) p' 9. 10. ( x, 2x 5 = 1) ( x, x 1 > 0) þartlý önermesinin olumsuzu aþaðýdakilerden A) ( x, 2x 5 = 1) ( x, x 1 > 0) B) ( x, 2x 5 1) ( x, x 1 0) C) ( x, 2x 5 1) ( x, x 1 0) ) ( x, 2x 5 1) ( x, x 1 0) E) ( x, 2x 5 = 1) ( x, x 1 > 0) (p' ) p bileþik önermesinin deðili aþaðýdakilerden A) p' B) p ' C) p ' ) p (p' ) E) p (p ') C.T. 1 1-A 2-C 3-C 4-C 5-A 6-B 7-8-E 9-10- 21