Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.08.0 ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 0-0 Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren uy gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır lan mıştır.
Genel Müdür Temel Ateş Genel Koordinatör Akın Ateş Eğitim Koordinatörü - Editör Nevzat Asma Eğitim Koordinatör Yardımcısı Halit Bıyık Dizgi, Grafik, Tasarım Esen Dizgi Servisi Görsel Tasarım Erol Faruk Yücel Bu ki ta bın ta ma mı nın ya da bir kıs mı nın elek tro nik, me ka nik, fo to ko pi ya da her han gi bir ka yıt sis te miy le ço ğal tıl ma sı, ya yım lan ma sı ve de po lan ma sı ya sak tır. Bu ki ta bın tüm hak la rı ya za rları na ve Esen Ba sın Ya yın Da ğı tım Li mi tet Şir ke ti ne ait tir. İsteme Adresi ESEN BASIN YAYIN DAĞITIM LTD.ŞTİ. Bayındır. Sokak No.: / Kızılay/ANKARA tel.: (0) 7 7 65 87 faks: (0) 7 5 78 ISBN : 978 99 777 0 0 Baskı Bahçekapı Mah. 60. Sok. Nu.:7 0670 Şaşmaz / ANKARA Tel: (0) 78 8 (pb) www.tunamatbaacilik.com.tr Baskı Tarihi 0 VIII www.esenyayinlari.com.tr
POLİNOMLAR ve ÇARPANLARA AYIRMA ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT POLİNOMLAR Polinomlar. Kazanım: Gerçek kat sayılı ve tek değişkenli polinom kavramını örneklerle açıklar, polinomun derecesini, baş kat sayısını, sabit terimini belirtir.. Kazanım: Sabit polinomu ve sıfır polinomunu, iki polinomun eşitliğini örneklerle açıklar. Polinomlar Kümesinde İşlemler. Kazanım: Gerçek kat sayılı ve tek değişkenli polinomlar kümesinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapar ve toplama ve çarpma işleminin özelliklerini gösterir.. Kazanım: Gerçek kat sayılı bir P() polinomunun Q() polinomuna bölümünden kalanı bulur.
PO Lİ NOM LAR a 0, a, a,..., a n re el sa yı lar, a n 0 ve n N ol mak üze re; P() = a n. n + a n. n +... + a. + a. + a 0 ifa de si ne re el kat sa yı lı, bir bi lin me yen li po li nom (çok te rim li) de nir. Bu po li nom da; a 0, a, a,..., a n kat sa yı la rı dır. a n baş kat sa yı dır. a 0 sa bit te rim dir. P() po li no mu nun de re ce si der[p()] ile gös terilir ve der[p()] = n dir. P() = a 0 sa bit po li nom dur. Sa bit po li no mun de re ce si sı fır dır. P() = 0 sı fır po li no mu dur. Sı fır po li no mu nun de re ce si yok tur. De re ce le ri ay nı ve ay nı de re ce li te rim le ri nin kat sa yı la rı eşit olan iki po li no ma eşit po li nom lar de nir. PO Lİ NOM LA RIN DE RE CE Sİ der[p().q()] = der[p()] + der[q()] P ( ) der= G = der[ P( )] der[ Q( )] Q ( ) der[p()] > der[q()] ise der[p() ± Q()] = der[p()] der[p()] n = n.der[p()] der[p( n )] = n.der[p()] der[ P( )] P ( )! der= G der[ Q( )] Q ( ) PO Lİ NOM LAR DA DÖRT İŞ LEM Böl me de ka la nın bu lun ma sı; Bir P() po li no mu nun (a b) ile bö lü mün den b ka lan K = Pc m dır. a Bir po li nom da ye ri ne 0 ya zı lır sa, o po li no mun sa bit te ri mi bu lu nur. ye ri ne ya zı lır sa, o po lino mun kat sa yı lar top la mı bu lu nur. Ör ne ğin, P( + ) po li no mun da, sa bit te rim = P() ve kat sa yı lar top la mı = P() tür. Bir P() po li no mun da; Sa bit te rim = P(0) Kat sa yı lar top la mı = P() dir. P() po li no mu nun n a ile bö lü mün den ka la nı bul mak için; n ye ri ne a ya zı lır. P() po li no mu nun a ile bö lü mün den ka lan m ve b ile bö lü mün den ka lan n ise ( a).( b) ile bö lü mün den ka lan; K() = c + d dir. P() po li no mu ( a).( b) çar pı mı ile tam bö lü nü yor sa, bu po li nom ( a) ve ( b) çarpan la rı ile ay rı ay rı tam bö lü nür. P() polinomu (a + b) b b P 0 ve P c m= c m = 0 dır. a a (P ı (), P() in tü re vidir.) P() polinomu (a + b) ile tam bölünebiliyorsa, ile tam bölünebiliyorsa, b Pc m = 0, P b b 0 ve P c m= c m = 0 dır. a a a (P ıı (), P() in ikinci türevidir.) P() po li no mu nun çift de re ce li te rim le rin kat sa yıla rı top la mı; P( ) + P( ) dir. Tek de re ce li te rim le rin kat sa yı lar top la mı; P( ) P( ) dir. 0
Polinomlar REHBER SORU P() = + 7 po li no mu nun ile bölü mün den ka lan kaç tır?. P() = 7 + 5 + polinomunun ile bölü mün den ka lan kaç tır? 5. P() = + + a + polinomunun + ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?. P() = + po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan kaç tır? 6. P() = + b + c po li no mu ile tam bö lüne bil di ği ne gö re, c kaçtır?. P() = + polinomunun ile bö lü mün den ka lan kaç tır? 7. P() = a + polinomunun + ile bö lümün den ka lan 9 olduğuna göre, a kaç tır?. P() = a + + polinomunun ile bö lü mün den ka lan ise a kaç tır? 8. P() = + a + b po li no mu nun ile bö lü mün den ka lan ise + ile bö lü münden ka lan kaç tır?
Polinomlar REHBER SORU P() = 8 + 6 + po li no mu nun a. + ile bö lü mün den kalan kaçtır? b. ile bö lü mün den kalan kaçtır?. P() = 5 + po li no mu nun ile bö lü mün den ka lan nedir? 5. P() = + a + b po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan ise a + b kaç tır?. P() = + + + po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan nedir? 6. P() = + po li no mu nun + po lino mu na bö lü mün den ka lan nedir?. P() = 8 + 6 po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan nedir? 7. P() = + a + b po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan + ise a + b kaçtır?. P() = 6 + po li no mu nun 6 ile bö lü mün den ka lan nedir? 8. P() = a + b po li no mu nun ile bö lü mün den ka lan ise a + b kaç tır?
Polinomlar REHBER SORU P() = + + ve Q() = + ise P() in Q() e bö lü mün den el de edi len bö lüm ve ka la nı bu lu nuz.. P() = + + + polinomunun ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz. 5. P() = + + polinomunun + ile bölümünden elde edilecek kalanı bulunuz.. P() = + polinomunun + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 6. P() = 5 + + polinomunun + ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz.. P() = + + polinomunun ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz. 7. P() = + + n po li no mu nun + ile bö lümün den el de edi len ka lan + ise n kaçtır?. P() = + polinomunun ile bölümünden kalanı bulunuz. 8. P() = + + po li no mu nun + a ile bö lü mün den el de edi len kalan 7 ise a kaçtır?
Polinomlar REHBER SORU P() = + ise P( ) polinomunun ile bölümün den kalan kaçtır?. P() = + ise P( + ) polinomunun ile bölümün den kalan kaçtır?. P( + ) = + ise P( ) polinomunun ile bölümün den kalan kaçtır?. P() = + + ise P( ) polinomunun ile bölümün den elde edilen kalan kaçtır? 5. P( ) = + ise P( + ) polinomunun ile bölümün den kalan kaçtır?. P( ) = + 5 ise P() polinomunun + ile bölümün den elde edilen kalan kaçtır? 6. P( + ) = + + n po li no mu ile tam bölü ne bil di ği ne gö re, P( ) po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan kaçtır?
Polinomlar REHBER SORU 5 P() = m + ifa de si bir po li nom gös teri yor sa m ye ri ne ya zı la bi le cek tam sa yı de ğer le ri ni bu lunuz. 6. P() = m + + m ifa de si bir po li nom göste rdiğine göre, m nin ala bi le ce ği kaç farklı tam sayı de ğeri var dır?. P() = m + + m + ifa de si bir po li nom gös ter di ği ne gö re m nin ala bi le ce ği de ğer ler top la mı kaçtır?. P() = 8 m + + ifa de si bir po li nom gös ter di ği ne gö re m ye ri ne ya zı la bi le cek tam sa yı de ğer le ri nin top la mı kaç tır? 5. P() = m+ m + 5 ifa de si bir po li nom gös terdi ği ne gö re, m nin ala bi le ce ği kaç fark lı tam sa yı de ğe ri var dır?. P() = 5 m + 8 m + ifa de si bir po linom gös te ri yor sa m nin ala bi le ce ği kaç de ğer var dır? 6. P() = m+ m + 8 m + ifade si bir po li nom gös teriyorsa derecesi en çok kaç tır? 5
Polinomlar REHBER SORU 6 P() ve Q() birer polinom olmak üze re, der[p()] = ve der[q()] = ise aşa ğı da ki po linom la rın de re ce le ri ni bu lunuz. a. P( ) b. Q ( ) c. P().Q() d. P ( ) Q ( ). P() ve Q() birer polinom olmak üzere, der[p()] = ve der[q()] = 6 ise der[p( + ).Q ()] kaçtır?. P() ve Q() birer polinom olmak üzere, der[p P ( ) ().Q()] = 8 ve der= G = ise Q ( ) der[p() + Q()] kaçtır?. P() ve Q() birer polinom olmak üzere, der[p()] = ve der[q()] = ise der[p ( + ).Q ( )] kaçtır? 5. P() ve Q() birer polinom olmak üzere, P ( ) der6p ( ) @ der= G = ve = ise Q ( ) der 6 Q ( )@ der[p()] kaçtır?. P() ve Q() birer polinom olmak üzere, der[p()] = ve der[q()] = ise + Q ( ) der> H kaçtır? P( ) 6. P() ve Q() birer polinom olmak üzere, der[p ( + )] = 6 ve der[q( + )] = 8 ise der[p( ).Q ( )] kaçtır? 6
Polinomlar REHBER SORU 7 P() = + + polinomunun + ile bölümünden kalan nedir?. P() = + polinomunun + ile bölümünden kalan nedir?. P() = + + + polinomunun + ile bölümünden kalan nedir?. P() = + + polinomunun + ile bölümünden kalan nedir? 5. P() = + a b + polinomunun ile tam bö lü ne bil me si için a + b kaç ol ma lı dır?. P() = + + polinomunun ( ) ile bölümünden kalan nedir? 6. P() = + a + b polinomunun + ile bölümünden kalan ise a.b kaçtır? 7
Polinomlar REHBER SORU 8 a. P() = + + a + b polinomu + ile tam bölünebiliyorsa a.b kaçtır? b. P() polinomunun 9 ile bölümünden kalan + 5 ise + ile bölümünden kalan kaçtır?. P() = b + c polinomu ile tam bölünüyorsa (b, c) ikilisi nedir? 5. P() polinomunun ile bölümünden kalan 5 ise + ile bölümünden kalan kaçtır?. P() = a b + polinomu ile tam bölünüyorsa a.b kaçtır? 6. P() polinomunun + ile bölümünden ka lan + ise ile bö lü mün den ka lan kaç tır?. P() = + a b + polinomunun ile tam bö lü ne bil me si için a b kaç ol ma lı dır? 7. P() po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan + + ise + ile bö lü mün den ka lan ne dir?. P() = a b polinomu + ile tam bölünüyorsa a kaçtır? 8. P() polinomunun ile bölümünden kalan + + ise + ile bölümünden kalan ne dir? 8
Polinomlar REHBER SORU 9 P() polinomunun ile bö lü mün den ka lan, + ile bö lü mün den ka lan ise ile bö lümün den ka lan nedir?. P() po li no mu nun ile bö lü mün den ka lan, + ile bö lü mün den ka lan ise + ile bö lü mün den ka lan nedir?. P() polinomunun ile bölümünden kalan, ile bölümünden kalan 9 ise ile bölümünden kalan nedir?. P() polinomunun + ile bölümünden kalan, ile bölümünden kalan 5 ise ile bölümünden kalan nedir? 5. P() po li no mu nun ile bö lü mün den ka lan ve P( + ) po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan ise P() po li no mu nun ile bö lümün den ka lan nedir?. P() polinomunun ile bölümünden kalan, ile bölümünden kalan 9 ise + ile bölümünden kalan nedir? 6. P( ) po li no mu nun ile bö lü mün den ka lan, P( + ) po li no mu nun ile bö lümün den ka lan ise P() in + ile bö lü mün den ka lan nedir? 9
Polinomlar REHBER SORU 0 P() ve Q() po li nom la rı nın ile bö lüm le rinden ka lan lar sı ra sıy la ve ise.p() + Q() po li no mu nun ile bö lü mün den ka lan kaç tır?. P() ve Q() po li nom la rı nın + ile bö lüm lerin den ka lan lar sı ra sıy la ve 5 ise P() + Q() po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan kaçtır?. P( ) ve Q() po li nom la rı nın ile bö lümle rin den ka lan lar sı ra sıy la 5 ve ise P() +.Q( + ) po li no mu nun ile bö lümün den ka lan kaç tır?. P() ve Q() po li nom la rı nın ile bö lüm lerin den ka lan lar sı ra sıy la ve ise P() + Q() po li no mu nun ile bö lü münden ka lan kaç tır? 5. P() ve Q() po li nom la rı nın ile bö lüm lerin den ka lan lar sı ra sıy la ve a dır. P( ) +.Q( ) po li no mu nun ile bölü mün den ka lan ise a kaç tır?. P() ve Q() po li nom la rı nın ile bö lüm lerin den ka lan lar sı ra sıy la ve 5 ise.p() + Q() po li no mu nun ile bö lü münden ka lan kaç tır? 6. P( + ) ve Q( ) po li no mlarının + ile bö lü mlerinden ka lanlar sırasıyla ve tür. Buna göre,.p( ) + Q( 6) polinomunun ile bö lü mün den ka lan kaçtır? 0
Polinomlar REHBER SORU P().Q( ) = + 5 olmak üzere, P() in ile bö lümün den kalan ise, Q() in ile bö lü mün den ka lan kaç tır?. P() + Q() = + + ol mak üze re, P() in ile bölümünden kalan ise Q() in ile bölümünden kalan kaçtır?..p() + Q( + ) = + 5 olmak üzere, P() in ile bölümünden kalan ise Q() in 9 ile bölümünden kalan kaçtır?. P( + ) Q( + ) = + olmak üzere, P() in ile bölümünden kalan 5 ise Q() in ile bölümünden kalan kaçtır? 5. P( + ) Q( ) = + olmak üzere, P() in kat sayılar toplamı ise Q( ) polinomunun sabit terimi kaçtır?. P ( ) Q. ( + ) = olmak üzere, + P() in ile bölümünden kalan ise Q() kaçtır? 6. P().Q( ) + = K( + ) olmak üzere, P() in kat sayılar toplamı, Q() in sabit terimi 5 ise K() kaçtır?
Polinomlar REHBER SORU P() + Q( ) = + + olmak üzere, P() in kat sayılar toplamı ise Q() in sabit teri mi kaç tır?. P() P( + ) = + olmak üzere, P() in sa bit te ri mi ise kat sa yı lar top la mı kaçtır?. P. ( ) + Q( ) = olmak üzere, + Q() in kat sayılar toplamı ise P() kaçtır?. P( ) P( ) = + olmak üzere, P() in kat sayılar toplamı ise sabit terimi kaçtır? 5. Q() + P( ) = + olmak üzere, Q() polino mu nun sa bit te ri mi ise P( ) po li no mu nun kat sayılar toplamı kaçtır?. P( ) Q( ) = + olmak üzere, P() in sabit te ri mi ise Q() in kat sa yı lar top la mı kaç tır? 6. P( + ).Q( + ) = + + olmak üzere, P( + ) polinomunun sabit terimi 5 ise Q( ) polinomunun kat sayılar toplamı kaç tır?
Polinomlar REHBER SORU P() = ( + ) ( + ) polinomunun, a. Çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamını bulunuz. b. Tek dereceli terimlerinin kat sayıları toplamını bulunuz.. P() = ( + ) po li no mu nun çift de re ce li te rim le ri nin kat sa yı la rı top la mı kaç tır?. P() + P( ) = ( + ) olmak üzere, P() polinomunun çift de re ce li te rim le ri nin kat sa yı la rı top la mı kaç tır?. P() = ( + +) po li no mu nun tek de re ce li te rim le ri nin kat sa yı la rı top la mı kaçtır? 5. P() P( ) = ( ) ol mak üze re, P() po li no mu nun tek de re ce li te rim le ri nin kat sa yı la rı top la mı kaçtır?. P() = ( + +) ( +) po li no mu nun çift de re ce li te rim le ri nin kat sa yı la rı top la mı kaç tır? 6. P( ) = ( ) olmak üzere, P( + ) po li no mu nun çift de re ce li te rim le ri nin kat sa yı la rı top la mı kaç tır?
Polinomlar REHBER SORU P() + P( + ) = 6 + 5 ise P() po li no mu nu bulu nuz.. P() + P( ) = + 8 ise P() nedir?. P() + P( ) = + ise P( + ) nedir?. P( ) + P( + ) = + 8 ise P() nedir? 5. P() + P() = 5 8 ise P() nedir?. P( + ) + P() = + 9 ise P() kaçtır? 6. P( ) + P( + ) = + + ise P() kaçtır?
Polinomlar REHBER SORU 5 ( )P( ) = + a + ise P(0) kaçtır?. ( )P() = + a ise P() kaçtır?..p( ) = + a + a olmak üzere, P() in + ile bölümünden kalan kaçtır?. ( )P() = + a + ise P() kaçtır? 5. ( + )P( ) = a + olmak üzere, P( + ) po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan kaçtır?. ( + )P() = + a + ise P( ) kaçtır? 6. P( + ) = a+ olmak üzere, + P( + ) polinomunun ile bölümünden kalan kaçtır? 5
I. P() = + 5 po li no mu na gö re, sol sü tun da ki kav ram la rın de ğer le ri ni sağ sü tun da bu lup eş leşti riniz.. Baş kat sayı. Sabit terim. der[p()]. Kat sayılar 5. Terimler a. b.,, 0, 5 c. d.,, 5 e. 5 II. P(a + b) po li no mu na gö re, sol sü tun da ki kav ram la rın de ğer le ri ni sağ sü tun da bu lup eş leş ti riniz.. Sabit terim. Kat sayılar toplamı a. P(a + b) b. P(b) III. Sol sütunda verilen bölünen ve bölen polinomlara göre kalanı bulup sağ sü tun dakilerle eş leş ti riniz. Bölünen Polinom Bölen Polinom Kalan. P() +. P(+). P( +). Pb + l + 6 5. Pb l + a. P() b. P(6) c. P( ) d. P( ) e. P(0) 6
5 6 7 8 9 0 SOLDAN SAĞA. P() = a n. n + a n. n +... + a. + a. + a 0 po li no mun da a n + a n +... + a + a + a 0 top lamı.. P() = 0 polinomu. 6. Polinomlar kümesinde birim (etkisiz) elemanın P() = olduğu işlem. 8. Sabit polinomun derecesi. 9. P() Q() Yanda verilen bölme B() işlemindeki K() polinomunun K() adı. YU KA RI DAN AŞA ĞI YA. Po li no mu oluş tu ran te rim ler içe ri sin de de re ce si en bü yük olan te ri min kat sa yı sı.. Po li nom lar kü me sin de de ğiş me li grup özel li ğinin sağ lan dı ğı işlem. 5. Polinomlarda bölme işlemi yapılırken kullanılan metodlardan biri. 7. Çok terimli. 0. P(, y) şeklindeki polinom.. Polinomun değişkene bağlı olmayan terimi. 7
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz..... polinomun derecesi sıfırdır.. P( + ) polinomunun sabit terimi... dir.. P( ) polinomunun kat sayılar toplamı... dir.. P() polinomunda çift dereceli terimlerin kat sayıları toplamı... dir. 5. Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerin kat sayıları eşit olan en az iki polinoma... denir. 6. Baş kat sayısı olan ve indirgenemeyen polinomlara... polinom denir. 7. Aşağıdaki tabloyu doldurunuz. Polinom der[p()] der[q()] der[p()+q()] der[p().q()] der[p( ).Q ()] P() = + Q() = P() = Q() = 5 + 8
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.. Sıfır polinomunun derecesi de sıfırdır.. P() polinomunun ile bölümünden kalan P() dir.. P( + ) polinomunun ile bölümünden kalan P() tür.. P() polinomunda tek dereceli terimlerin kat sayıları toplamı P( ) P( ) dir. P ( ) a 5. der[p()] = a ve der[q()] = b ise der= G = dir. Q ( ) b 6. der[p()] = a ve der[q()] = b ise der[p( ).Q( + )] = a + b dir. 7. Sabit olmayan ve birden fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir. 8. der[p().q()] = 6 ise P() polinomunun derecesi en çok 6 dır. 9. Her fonksiyon polinom değildir. Fakat her polinom fonksiyondur. 0. P(a + b) polinomunun kat sayıları toplamı P(a + b) dir. 9
TEST. P() = m + + m + polinomunun derecesi en fazla kaç olur? 5. P() = 9 a + po li no mu nun ile bö lü mün den ka lan ise a aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) A) B) C) D) E). = ( ) P( ) + ise P() aşağıdakilerden hangisidir? 6. P() = 9 7 + po li no mu nun 6 + ile bö lü mün den ka lan aşa ğı da ki ler den han gi sidir? A) + B) + C) D) + E) A) 5 + 9 B) 5 + C) 6 + 7 D) + 7 E) 9. P() = 6 + ol du ğu na gö re, P b l kaç tır? 7. P() = a + po li no mu nun ile bö lümün den kalan 8 ise P() kaçtır? A) 7 B) C) D) 7 E) A) B) C) D) E) 5. P( ) = + a + olmak üzere, P() = ise a kaçtır? 8. P() = Q( + ).( + ) eşitliği veriliyor. P() in ile bölümünden kalanı 6 olduğuna göre, Q() in ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) 0 D) E) A) B) C) D) 6 E)
Polinomlar 9. P() = + + a + b polinomu ( ) ile tam bölündüğüne göre a nın değeri nedir? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 0. P() polinomunun sabit terimi tür. P() in + ile bölümünden kalan olduğuna göre P() po li no mu nun + ile bö lü mün den ka lan aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) + C) + D) + E) + 0. ( ) A B = + eşitliğini sağlayan + A + B değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) C) 0 D) E) 5. P() po li no mu nun 6 ile bö lü mün den kalan + 7 olduğuna göre + ile bölümünden kalan nedir? A) B) C) D) 0 E). P() = + a + b polinomu ile tam bölündüğüne göre a + b kaçtır? A) B) C) 5 D) 7 E) 8 5. P() + P( ) + P( ) = 6 + + + eşitliğini sağlayan P() po li no munun sabit terimi kaç tır? A) 0 B) C) D) E). P( + ) + P( ) = olduğuna göre P() kaçtır? 6. P() ve Q() polinomları için P( + ) = Q[Q( + ).( ) ] eşit li ği ve rili yor. P() ve Q() in kat sayıları toplamı sırasıyla ve ise Q( ) kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) 0 A) B) C) D) E). B. C. A. A 5. A 6. E 7. D 8. B 9. D 0. B. D. D. E. A 5. B 6. C
TEST. Bir P() po li no mu nun, Q() po li no mu na bö lümün den elde edilen bölüm.( + ), kalan 5 + 6 ise P() in ( + ) ile bö lü mün den el de edi len ka lan ne dir? A) 9 B) 6 C) D) E) 5 5. Bir P() po li no mu nun ( + ) ile bö lü mün den ka lan + 0 ise ( + ) ile bö lü mün den ka lan nedir? A) B) C) 5 D) 8 E). Bir P() polinomu için, P[P()] = 6 + ise P( ) in ala bi le ce ği de ğerlerden biri kaçtır? 6. P(6 ) = + ise P( ) polinomunun (6 ) ile bölümünden kalan nedir? A) 8 B) C) D) 0 E) A) B) C) D) E) 5. P() polinomunun + 7 ile bölümünden kalan 5 ise + ile bö lü mün den kalan nedir? A) 0 B) C) D) E) 7. P( + ) = po li no mu ve ri li yor. P() po li no mu nun çar pan la rın dan bi ri aşa ğı da kiler den han gi si dir? A) + B) + 5 C) D) E). P() = 7 + a + b + polinomu ( ) ile tam bölünebiliyorsa a kaçtır? A) B) C) D) E) 8. P() ve Q() polinomlarının ile bölümünden kalan lar sı ra sıy la ve ise P().Q() po li no mu nun ile bö lü mün den ka lan ne dir? A) + B) C) D) E) 7
Polinomlar 9. P() = polinomunun ile bölümündeki bölüm nedir? A) + B) + C) D) + + E). P() = ( + )( + a ) + po li no mu nun çar pan la rın dan bi ri ( + ) dir. Buna göre P() polinomunun kat sayıları toplamı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 0. P() = (5 ) n + (6 ) m polinomu ( 5)( 6) ile tam bö lü ne bi li yor sa n ve m do ğal sayı la rı için aşa ğı da ki ler den han gi si doğ rudur?. P() ve Q() birer polinom olmak üzere, P( ) =.Q() + P( + ) + ise Q() in ( ) ile bölümünden kalan kaçtır? A) n tek B) n ve m tek C) n çift D) n tek, m çift E) n + m = A) B) C) 0 D) E). P + 7 c m = + a + eşitliği veriliyor. 5 P() polinomu ( ) ile tam bö lü ne bil di ği ne göre a kaçtır? A) 6 B) 5 C) D) E) 5. P() polinomu için P().P( + ) = + 5 + m eşitliği veriliyor. P() in + m ile bölümünden ka lan aşa ğı da kiler den han gi si ola bi lir? A) 6 B) C) D) 8 E). P() = ( + + ) polinomu açıldığında in tek kuvvetlerinin kat sa yı la rı top la mı aşa ğı daki ler den han gi si olur? A) 0 B) C) 80 D) 8 E) 8 6. P() ve Q() birer polinom olmak üzere, der6p ( ) @ der[p().q()] = ve = ise der6q ( ) @ der[p() + Q()] kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) 9 E). A. C. D. B 5. B 6. D 7. D 8. E 9. D 0. C. B. A. A. B 5. B 6. D 8
TEST 6. P() + P( ) = 6 5 + ise P() po li nomu nun kat sayı lar top la mı kaç tır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 5. ( k) P( ) = Q. ( ) + eşitliğini sağlayan P() polinomunun sabit terimi 7 dir. Q( ) = ise k kaçtır? A) B) C) D) E) 5. ( + )P() = + a 6 ko şu lu nu sağ la yan P() po li no mu nun bir çar pa nı aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) + C) D) E) + 6. P() = + a + b + c polinomu ( ) ile tam bölünebiliyorsa a.b.c kaçtır? A) 9 B) 6 C) D) 6 E) 9. P() = 6 + + + po li no mu a ile tam bö lü nü yor sa a kaç tır? A) B) C) D) E) 7. P() bir polinom olmak üzere, P() P( + ) = + ise P() P(0) kaçtır? A) 5 B) 50 C) 9 D) 8 E) 7. P() polinomu nun Q( ) ile bö lü mün den kalan ise, P( + ) po li no mu nun Q( + ) ile bö lü mün den ka lan ne dir? A) B) + C) + D) + 5 E) + 7 8. P() = ( ) n + ( ) m poli no mu ile tam bö lü ne bil di ği ne gö re n için aşa ğı da ki ler den han gi si da ima doğ ru dur? A) Pozitif tam sayı B) Çift doğal sayı C) Doğal sayı D) Çift tam sayı E) Tek tam sayı
Polinomlar 9. P( ) po li no mu nun çar pan la rın dan bi ri + ise P( ) po li no mu nun çar pan la rın dan bi ri aşa ğı da ki ler den han gi sidir? A) B) C) + D) E) +. P ().Q 6 () po li no munun derecesi 8 P ( ) Q ( ) po li no munun derece si ol du ğu na Q ( ) gö re, P().Q() po li no mu nun derecesi kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 0.. dereceden P() po li no munun, ve + ile ayrı ayrı bölümlerinden kalan dir. P() in kat sayılar toplamı ise P() kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E). P() = 8 + + po li no mu nun + + ile bö lü mün den ka lan nedir? A) B) C) + D) E). P( ) po li no munun çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı, tek de re ce li te rim le ri nin kat sa yı la rı top la mı ise P() polinomunun + ile bölümünden kalan nedir? A) + B) + C) + 5 D) + 6 E) + 7 5. P() = + + + 5 olmak üzere, P( ) ifadesinin eşiti nedir? A) B) C) 5 D) 6 E) 7. P( ) = 6 + ise P( ) po li no munun 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6 6. P() po li no munun ile bölümünden bölüm Q() kalan + dir. P() po li no mu nun ile bö lü mün den el de edi lecek bölüm nedir? A) ( + )Q() + B) ( + )Q() C) Q() D) ( + )Q() E) Q() +. E. C. A. E 5. C 6. E 7. A 8. B 9. C 0. C. D. E. D. B 5. D 6. A
ÜN VERS TEYE G R fi SINAV SORULARI. 98 ÖYS P() polinomunda, P( + ) = + 0 + 5 olduğuna göre, P() polinomunun ile bölümünden kalan nedir? A) 0 B) C) 0 D) 5 E) 5. 98 ÖYS P() = 7 + a ol du ğu na gö re, a nın han gi de ğe ri için, P() in çar pan la rın dan bi ri ( ) dir? A) B) C) D) E) 0. 98 ÖYS P() = 6 5 8 polinomunun, ( 9 + v) ile bölümündeki kalan nedir? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. 98 ÖYS P() = ( + + ).Q() + + ba ğın tı sında, Q() bir po li nom dur. P() in ile bö lümün de ki ka lan 5 ol du ğu na gö re, Q() in ile bölümündeki kalan nedir? A) 6 B) 5 C) D) E). 98 ÖSS ( 5 + ).(5 + 7 8 + 6) çarpımı yapıldığında 5 in kat sayısı kaç olur? A) 5 B) C) D) E) 59 7. 985 ÖYS Q() = + çok te rim li si, P() gi bi bir çok te rim li ile bö lü nü yor. Bö lüm ol du ğu na gö re, ka lan ne olur? A) B) C) D) E). 98 ÖYS P ( ) = bağıntısı veriliyor. Q ( ) Q() po li no mu nun, ( ) ile bö lü mün de ki kalan ol du ğu na gö re, P() in de ğe ri kaç tır? A) B) 6 C) 9 D) E) 5 8. 987 ÖYS Bir polinomun ( ) ile bölümünden kalan + 8 olduğuna göre, bu polinomun ile bölümünden kalan nedir? A) 5 B) C) D) 0 E) 8 9
Polinomlar 9. 988 ÖYS P() ve Q() gi bi iki po li no mun, 5 ile bö lümün den kalan sırasıyla ve ise P().Q() çarpımının 5 ile bölümünden kalan ne olur?. 99 ÖYS 8 a + a 8 a + hangisidir? işleminin sonucu, aşağıdakilerden A) B) C) D) 5 E) 6 A) a 6 a 5 + a B) a 6 a 5 a C) a 6 a + a D) a 6 a 5 E) a 6 + a 0. 989 ÖYS P() = a + + b + c nin iki katlı bir kökü = olduğuna göre, a ile b arasındaki bağıntı nedir? A) 6a + b + = 0 B) 6a + b = 0 C) 6a + b = 0 D) a + b + 6 = 0 E) a + b + 0 = 0. 99 ÖYS P() = + 5 + 5 + 7 po li no mu, Q() po lino mu ile bö lün dü ğün de, bö lüm + 5 ol du ğu na gö re, ka lan kaç tır? A) B) C) D) E). 990 ÖYS P() ve Q() polinomlarının, ile bölümlerinden kalanlar sırası ile ve 6 olduğuna göre, t nin hangi değeri için, P() + tq() po li no mu, ile tam ola rak bölü nür? A) B) C) D) E) 5. 99 ÖYS P( ) = ( + ).Q( ) eşit li ği ve rilmiş tir. P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan 0 olduğuna göre, Q() polinomunun ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) C) D) E). 99 ÖYS P( ) + P( + ) = + 0 ol du ğu na gö re, P() po li no mu aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) + C) + D) + E) + 6. 995 ÖSS Q( ) = 5 + a çokterim li si ve ri li yor. Q() çok te rim li si nin sa bit te ri mi 7 ol du ğu na gö re, Q() çok te rim li si nin kat sa yı la rı top la mı kaç tır? A) B) 8 C) D) 9 E) 7 50
Polinomlar 7. 996 ÖSS Q() = 8 + 6 olduğuna göre, Q() polinomunun 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) 6 C) 5 D) 86 E) 96. 998 ÖYS Bir P() polinomunun ( + ) ile bö lü mün den ka lan 9 9 ol du ğu na gö re, + ile bö lü münden ka lan kaç tır? A) 0 B) C) 6 D) 9 E) 8. 996 ÖYS P() = + + + a polinomunun, + ile ka lan sız bö lü ne bil me si için a kaç olma lı dır?. 999 ÖSS Kat sayı la rı nın top la mı olan bir P() po li no munun ( + ) ile bö lü mün den ka lan 0 dur. Bu na gö re, P() po li no mu nun + ile bölü mün den ka lan aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) C) D) E) A) B) C) + D) 0 E) 9. 997 ÖSS Q() = + 5 + p 8 po li no mu nun çar pan ların dan biri ( ) olduğuna göre, p nin değeri kaçtır? A) 5 B) 0 C) 5 D) E) 6. 999 ÖSS P() ve Q() polinomları için, P( + ) = ( ).Q() + + + bağıntısı sağlanmaktadır. Q() in sabit terimi 5 olduğuna göre, P() po li no mu ( ) ile bö lündü ğün de kalan kaçtır? A) 6 B) 5 C) D) 0 E) 0. 997 ÖYS P( ) = olduğuna göre, P( ) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) + C) + D) + E) +. 000 ÖSS P() bir polinom, P( ) +.P( + ) = + + + ve P() = olduğuna göre, P() polinomunun sabit terimi kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 5
Polinomlar 5. 000 ÖSS P() bir polinom ve + a 8 = ( ).P() ol du ğu na gö re, P() nin değeri kaçtır? A) 6 B) C) D) E) 0 9. 00 ÖSS Her gerçel sayısı için, a + b + c + d + e = ( )(p + q + r) + olduğuna göre, a + c + e toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 6. 00 ÖSS 0 5 A B = + olduğuna göre, 5 5 + A B farkı kaçtır? 0. 009 ÖSS ( + ) 0 = a 0 + a + a +... + a 0 0 olduğuna göre, çift indisli kat sayıların toplamı olan a 0 + a + a + a 6 +... + a 0 kaçtır? A) 0 + B) 0 C) 0 A) B) C) D) 5 E) 6 D) 0 + E) 0 + 7. 00 ÖSS Her gerçel sayısı için, + a 5 = ( + ).(b + c) olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?. 00 LYS P() = (m + ) n + m polinomu ile tam bölünebildiğine göre, m n kaçtır? A) 9 B) 8 C) 0 D) 8 E) 9 A) B) C) D) E) 8. 00 ÖSS Her gerçel sayısı için, = a( ) + b( + ) + c( ) olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 6. 00 LYS P() üçüncü dereceden bir po li nom fonk si yo nu ol mak üze re, P( ) = P( ) = P(5) = 0 P(0) = olduğuna göre, P() kaçtır? 7 8 7 9 8 A) B) C) D) E) 5 5
Polinomlar. 0 LYS Gerçel katsayılı P(), Q() ve R() polinomları veriliyor. Sabit terimi sıfırdan farklı P() polinomu için P() = Q().R(+) eşitliği sağla nı yor. P nin sa bit te ri mi Q nun sa bit te ri mi nin iki ka tı ol du ğu na gö re, R nin kat sa yı la rı nın toplamı kaçtır? A) B) C) D) E). 0 LYS a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere, P() = ( + a ).( + b ) polinomunun katsayılarının toplamı 5 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. D. E. E. D 5. C 6. D 7. C 8. B 9. E 0. D. D. C. C. C 5. B 6. C 7. B 8. B 9. B 0. C. C. A. C. A 5. D 6. D 7. B 8. D 9. B 0. D. A. B. E. E 5
POLİNOMLAR ve ÇARPANLARA AYIRMA ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT ÇARPANLARA AYIRMA Çarpanlara Ayırma. Kazanım: Gerçek kat sayılı polinomun asal çarpanı kavramını açıklar, verilen bir polinomun asal çarpanlarını bulur, indirgenemeyen ve asal polinomları örneklerle açıklar.. Kazanım: Verilen bir polinomu ortak çarpan parantezine alma yoluyla çarpanlarına ayırır.. Kazanım: + b +c ve a + b + c biçimindeki polinomları çarpanlarına ayırır.. Kazanım: Tam kare ( (a ± b), (a + b + c) ), iki kare farkı (a b ), iki terimin toplamının ve farkının küpü (a ± b), iki terimin küplerinin toplamı ve farkına (a ± b ) ait özdeşlikleri kullanarak çarpanlara ayırma uygulamaları yapar. 5. Kazanım: Verilen bir polinoma terim ekleyerek veya çıkararak çarpanlara ayırma uygulamaları yapar. 6. Kazanım: n ± y n biçimindeki polinomları çarpanlarına ayırır. 7. Kazanım: Değişken değiştirme yöntemi ile çarpanlara ayırma uygulamaları yapar. 8. Kazanım: İki veya daha çok polinomun OBEB ve OKEK ini bulur. Rasyonel İfadeler ve Denklemler. Kazanım: Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ile ilgili uygulamalar yapar.. Kazanım: Polinom ( P() = 0 ) ve rasyonel denklemlerin yapar. d P ( ) = 0 n çözümü ile ilgili uygulamalar Q ( ). Kazanım: Rasyonel ifadeyi ) k k k,,,... a + b ( a + b) ( a + b) kümesinin elemanlarının toplamı biçiminde yazar.
ÇAR PAN LA RA AYIR MA a n ± b n Bİ Çİ MİN DE Kİ İFA DE LER Top lam ve ya fark şek lin de ki ifa de le rin çar pım şek linde ya zıl ma sı na çar pan la ra ayır ma de nir. Çar pan la ra ayır ma için aşa ğı da ki yön tem ler kul la nı lır. n tek do ğal sa yı ise, a n + b n = (a + b).(a n a n.b +... + b n ) Or tak Çar pan Pa ran te zi ne Al ma Ve ri len ifa de le rin her te ri min de or tak bir çar pan var sa, ifa de bu çar pan pa ran te zi ne alı nır. A().B() ± A().C() = A().[ B() ± C() ] Grup lan dı ra rak Çar pan la ra Ayır ma Ve ri len ifa de ler de or tak çar pa nı olan te rim ler bir ara ya ge ti ri le rek grup la nır ve or tak çar pan pa rante zi ne alı nır. ÖZ DEŞ LİK LER DEN YA RAR LA NA RAK n do ğal sa yı ise, a n b n = (a b) (a n + a n.b +... + b n ) a + b + c Bİ Çİ MİN DE Kİ İFA DE LER + b + c = ( + m) ( + n) (m + n = b, m.n = c olu yor sa) a + b + c = (m + d) (n + e) a b c m d m.n = a d.e = c n e m.e + n.d = b oluyorsa. ÇAR PAN LA RA AYIR MA İki Ka re Far kı PAS CAL ÜÇ GE Nİ a b = (a b) (a + b) Tam Ka re (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) 6 ( + y) 0 = ( + y) = + y ( + y) = + y + y ( + y) = + y + y + y ( + y) = + y + 6 y + y + y İki Küp Top la mı ve Far kı a + b = (a + b) (a ab + b ) a b = (a b) (a + ab + b ) RAS YO NEL İFA DE LE RİN SA DE LEŞ Tİ RİL ME Sİ A ( ) B() 0 ol mak üze re, şek lin de ki ifa de le re rasyo nel ifa de ler de B ( ) nir. n Z olmak üzere, (a b) n = (b a) n (a b) n = (b a) n A() ve B() çar pan la rı na ay rı lıp or tak çar pan lar A ( ) sa de leş ti ri le rek şek lin de ki ifa de nin sa de leş tiril miş bi çi mi bu lu B ( ) nur. 56
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU ab ba ab b ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir? a. y y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir? y y 5. : z ne dir? ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi. y y y ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çi mi ne dir? y 6. + + ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi nedir?. m n+ mn m + m ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? 7. + ne dir? ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi. a b ab + ab a ab+ a ne dir? ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi a 8. b a : a b b ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi ne dir? 57
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU y y z + z ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi ne dir?. ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çi- ab ac b + bc b c mi ne dir? 5. + a ac ab bc a b ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir?. b a ( a b) a b+ ne dir? ifade si nin sa de leş ti ril miş bi çi mi 6. y y + y + y ne dir? ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi. a a+ ab b a+ b ne dir? ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çi mi 7. + y y y ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir?. y+ y 6 ne dir? ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çi mi 8. y + y a ay + b by ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir? 58
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU (a b) (b c) (b a) (c b) ifa de si nin çar panla rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir?. (a b) + (b a) + a b ifa de si nin çar pan la rına ay rıl mış bi çi mi nedir? 5. ( a b) ( b a) b a ne dir? ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi. ( y) + (y ) ifadesinin çar pan la rı na ay rılmış bi çi mi nedir? 6. (a b) (b c) (c b) (b a) ifa de si nin çarpan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir?. ( y) ( z) + (z ) (y ) ifa de si nin çar panla rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir? 7. ( a b) ( b a) a b ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir?. (a )(a ) ( a) ( a) ifa de si nin çar panla rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir? 8. ( a ) ( + a) ( a)( a) ne dir? ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çi mi 59
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU a b b a ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi ne dir?. (a + b) (a b) ifa de si nin çar pan la rı na ay rılmış biçimi nedir? 5. + ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? ( ). y + y ifa de si nin sadeleştirilmiş bi çi mi nedir? y( y) 6. ( a b) ( a b) + ( b a) ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir?. a b ( a+ b)( a b) ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir? 7. a b a+ b a+ b ne dir? ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi. y y y+ y ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? 8. ( a ) a+ ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? 60
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 5 + ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi ne dir? +. + ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? 5. a + a b+ ab a ab ne dir? ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi. ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? + a a 6. : a + a+ a + ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir?. a + ab b a b ne dir? ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi ifadesinin sa de leş ti ril- 6+ 5 ( ) 7. : 5 miş bi çi mi ne dir? +. : + ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir? 8. + ( a+ b) + ab + ( a ) a ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir? 6
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 6 + 6 9 ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi ne dir? 9. + ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? 5. a b b + a a b ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? b a. a + a a + a+ ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? 6. ( a b) ab a ne dir? + b ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi. + ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi nedir? 7. 6 ( + ) nedir? ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çi mi a ab+ b a b. : b bc+ c b c bi çi mi ne dir? ifadesinin sa de leş ti ril miş 8. + 5 9 5 + 5 ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çimi ne dir? 6
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 7 a b + b a a b = 6 ise a b 6 a + 9 ne dir? ifadesinin eşi ti. a + b = 6 ve c = olduğuna göre, a c + ab + b ifadesinin değeri kaçtır? 5. a b + a+ a b+ ne dir? ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi. = a olduğuna göre, a ( a ) ifadesinin a türünden değeri ne dir? 6. y + y y+ y ne dir? ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi ifadesinin eşi ti ne- y + y. y = 5 ise y + + dir? + a 7. c m: ca m ifadesinin sadeleştirilmiş a a bi çi mi ne dir?. a b = ol du ğu na gö re, a + a+ ab+ b ifa de si nin a tü rün den de ğe ri a b nedir? 8. ab + ( a b) b + ifadesinin sa de leş ti ril miş biçi mi ne dir? 6
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 8 n ifa de si sa de le şe bi lir bir ke sir ise n nin ( )( + ) ala bi le ce ği de ğer le ri bu lu nuz.. n ( )( + ) ifa de si sa de le şe bi lir bir ke sir ise n. + m ( + )( + ) ifadesi sadeleşebi lir bir ke sir ise nin ala bi le ce ği de ğer ler top la mı kaç tır? sadeleşmiş biçimi nedir? (m Z). n+ n 5+ 6 ifa de si sa de le şe bi lir bir ke sir ise n nin ala bi le ce ği de ğer ler çar pı mı kaç tır? 5. 5 + a+ ifa de si sa de le şe bi lir bir ke sir ise a nın ala bi le ce ği de ğer ler toplamı kaç tır?. m 6 ( )( + ) ifa de si sa de le şe bi lir bir ke sir ise sa de leş miş bi çi mi ne dir? (m Z) 6. a+ ifa de si sa de le şe bi lir bir ke sir ise a 5+ 6 nın ala bi le ce ği de ğer ler toplamı kaç tır? 6
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 9 ( ) 8( ) + ifa de si nin çar pan la rı na ay rıl mış biçimi nedir?. ( ) 5( ) 6 ifa de si nin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir? 5. 6 0. + 9 ifa de si nin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir?. ( + ) ( + ) + ifa de si nin çar pan ları na ay rıl mış bi çi mi ne dir? 6. (a a) (a a) 8 ifa de si nin çar pan la rına ay rıl mış bi çi mi ne dir?. ( ) ( ) + ifa de si nin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir? 7.. + + 8 ifa de si nin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir?. ( ) + ( ) ifa de si nin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir? 8. 6. 0. 0 işleminin sonucu kaçtır? 65
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 0 a + b + a 6b + = 0 ise a + b kaçtır?. + y + = 0 ise + y kaçtır? 5. a b a b ifa de si nin çar pan la rı na ayrıl mış bi çi mi nedir?. a + b a b + 5 = 0 ise a.b kaçtır? 6. a b + b ifa de si nin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi nedir?. a + b 6a + b + 0 = 0 ise a + b kaçtır? 7., y R olmak üzere, + y + + y ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?. a + b a b + 5 = 0 ise a.b kaçtır? 8. + 5y y 6y + 9 = 0 ise ( y) kaçtır? 66
Çarpanlara Ayırma a a REHBER SORU + b b ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir? a b a + b a b. a + b a ab+ b ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir? a + b 5. 6 + + ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?. b a b b + + a a a ifadesinin sa de leş miş bi çi mi ne - 6. ( + y+ y )( y ) ( y )( + y) ifadesinin sa de leş miş biçi mi ne dir? dir?. c : + + m c + m ifa de si nin sa de leşmiş bi çi mi ne dir? + 8 + 7. : ne dir? ifa de si nin sa de leş miş bi çi mi + +. : + ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir? y y + y + y 8. : y y y bi çi mi ne dir? ifa de si nin sa de leş miş 67
Çarpanlara Ayırma a. a REHBER SORU = ise a + kaçtır? a a b. = 0 ise + kaçtır?. a + a = ise a + a kaçtır? 5. + = 0 ise + kaçtır?. a a = ise a + a kaçtır? 6. = 0 ise + kaçtır?. a a = ise a + a kaçtır? 7. = 0 ise + kaçtır?. a = ise a a 6 + kaçtır? a 8. + = 0 ise + kaçtır? 68
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU + y = ve + y = 0 ise.y kaçtır?. + y = ve + y = 6 ise.y kaçtır? 5. + y = ve.y = ise + y kaçtır?. + y = 6 ve.y = ise + y kaçtır? 6. y = ve.y = ise + y kaçtır?. y = ve + y = 0 ise.y kaçtır? 7. + y = y + y = } + y kaçtır?. y = 5 ve.y = ise + y kaçtır? 8. a.b = 9 ve va + vb vc = 0 ise a + b c kaçtır? 69
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU a. + y = 5 ve.y = ise + y kaçtır? b. + y = ve + y = 6 ise + y kaçtır?. + y = ve.y = ise + y kaçtır? 5. + y = ve + y = 5 ise + y kaçtır?. y = 6 ve.y = ise y kaçtır? 6. y = ve + y = 0 ise y kaçtır?. + y = 9 ve y( + y) = 5 ise + y kaçtır? 7. = ve + = ise y y y kaçtır?. = ve.y = ise y y kaçtır? 8. a b b a + = ise a b b + kaçtır? a 70
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 5 a b = b c = ise a b + c kaçtır?. a b = 6 ve c + b = 0 olduğuna göre, a b + ac bc işleminin sonucu kaçtır? y 5. + y = ise ifadesinin eşiti nedir? y 6. b c = 6 ve b a = 5 olduğuna göre,. a b = b c = ise a + c b kaçtır? ab + bc b ac ifadesinin değeri kaçtır?. y = y z = ise + z y kaçtır? 7. + y = 6 ve.y = 7 olduğuna göre, + y y ifadesinin değeri kaçtır? 8. y = 6 olduğuna göre,. y = ve y + z + z + = 0 ise + y + z kaçtır? y + y y 6+ 9 ifadesinin değeri kaçtır? 7
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 6 + + ifadesinin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir?. + + ifadesinin çar pan la rı na ay rıl mış biçi mi ne dir? 5. + y + y 6 + ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?. + y ifadesinin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir? 6. + y + 5y y + = 0 olduğuna göre, + y kaçtır?. a + ifadesinin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi nedir? 7. + y y + 6y 9 ifadesinin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir?. a + b b + ( a b) ifadesinin sadeleştirilmiş bi çi mi ne- 8. 6a + a + ifadesinin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi ne dir? dir? 7
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 7 a + b + c = 7, a + b + c = 5 ise ab + ac + bc kaçtır?. a + b + c = 5, a + b + c = ise ab + ac + bc kaçtır? 5. + y + z = ve y + z + yz = 0 olduğuna göre, + y + z toplamının pozitif değeri kaçtır?. a b + c =, a + b + c = 7 ise ac bc ab kaçtır? 6. a + b + c = 8, a + b + c = ab + ac + bc = ise a + b + c kaçtır?. a b c = 6 ve a + b + c = 0 ise ab + ac bc kaçtır? 7. + y + z = 5 + y + z = 9 + + = y z 0 olduğuna göre,.y.z kaçtır?. a + b c = 9, ac + bc ab = 7 ise a + b + c kaçtır? 8. + y z = = z y yz olduğuna göre, + y + z kaçtır? 7
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 8 a. = ise 50 nedir? b. 5 y 5 ifadesini çarpanlarına ayırınız. c. 5 + y 5 ifadesini çarpanlarına ayırınız.. + = 0 ise 0 + 7 ifadesinin eşiti nedir? 6. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a. y b. y. = ise 007 + 008 ifa de si nin eşi ti nedir? c. 6 d. 5 e. 6 y 6. + + = 0 ise 9 + 0 ifadesinin eşiti nedir? f. 8 7. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a. + y. + = 0 ise + + ifadesinin eşiti nedir? b. + 8a c. 5 + d. a 5 + 5. + = 0 ise 0 + 0 ifadesinin eşi ti nedir? e. 6 + y 6 f. 5 + y 0 7
Çarpanlara Ayırma a a REHBER SORU 9 a a ifadesinin sadeleştirilmiş biçi- + a a a+ mi nedir?. + + ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir? 5. c + : y y m + y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir?. c : m + ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir? 6. a a b biçimi nedir? a b a+ b a b ifadesinin sadeleştirilmiş. a a a + a a biçimi nedir? + ifadesinin sadeleştirilmiş a + a a + a a 7. d : n: a + a 6 a a 5 a 5 a ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi nedir? a + ab+ b a. : a ab+ b a bi çi mi ne dir? b + b ifa de si nin sa de leş ti ril miş 8. a + ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi a+ a a a nedir? 75
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU 0 = denkleminin çö züm kü me si ne dir?. = denk le mi nin çö züm küme si ni bu lu + nuz. 5. + = 0 denkleminin çö züm kü me si ne dir?. = + kü me si ne dir? denk le mi nin çö züm 6. + + = olduğuna göre, kaçtır? 5. = denk le mi nin çö züm kü me si nedir? 7. + y+ y + y = olduğuna göre, in y türünden alabileceği değerleri toplamı ne dir?. + = denkleminin çö züm kü me si nedir? 8. ol du ğu na gö re, a + b kaç- + a+ b + 5 = tır? 76
Çarpanlara Ayırma REHBER SORU A B ( )( ) = + eşit li ği ni sağ la yan A ve B de ğer le ri ni bu lu nuz.. + A B = + ise A + B kaçtır? ( )( + ) +. A B + C = + ( + ) + ise A + B + C kaçtır?. A B = + ise A.B kaçtır? + 5. A B = + ( + ) + ( + ) ise A + B kaçtır?. + A B = + ise A + B kaçtır? + 6. + A B C = + + ( + )( ) + ( ) ise A + B + C kaçtır? 77
I. Sol sü tun da verilen ifadeleri sağ sü tun da verilen çarpanlar ile eş leş ti riniz.. + 5 + 6.. +. y + y 5. y + y + 6. y y 7. y + + y 8. 6 + + a. ( )( ) b. ( + y + )( + y + ) c. ( + )( + ) d. ( + y)( y + ) e. ( )( + ) f. ( + )( + )( + ) g. (y + )( ) h. ( + y + )( y ) II. Sol sü tun da verilen rasyonel ifadelerin sadeleştirilmiş biçimlerini bu lup sağ sü tun dakilerle eş leş ti riniz... 7( 6) 7 y y + y + y + y a. + y b.. y y y c. y. y y y y + y y + y d. 6 5. : + e. 78
5 6 7 8 9 0 SOLDAN SAĞA. Top lam ve ya fark şek lin de ki po li nom la rın çarpım şek lin de ya zıl ma sı. 7. (+y) n ifa de si nin açı lı mın da kat sa yı la rı bulma ya ya ra yan sa yı tab lo su. 8. İçin de ki de ğiş ken le re ve ri len her de ğer için doğ ru olan eşit lik ler. 9. Bir bi lim da lı nı, bir sa na tı, bir tek ni ği ve ya bel li bil gi le ri öğ ret me yi ken di si ne mes lek edin miş kim se. 0. (a+b) ve ya (a b) gi bi ifa de ler.. Bir oku la ve ya bir kur sa de vam edin ki şi. YU KA RI DAN AŞA ĞI YA. Arit me tik, ce bir, geo met ri gi bi sa yı ve öl çü teme li ne da ya na rak ni ce lik le rin özel lik le ri ni in cele yen bi lim le rin or tak adı. A ( ). B() 0 ol mak üze re, şek lin de ki ifa de. B ( ). Çar pan la ra ayır ma me tod la rın dan bi ri. 5. Öğ ret me ve öğ ren me fa ali yet le ri nin bi leş ke si. 6. y = ( y)( + y) öz deş li ği.. He sap la ma nın esas ol du ğu ma te ma ti ğin en önem li kolu.. Ta bi at ma te ma tik di lin de ya zıl mış tır. di yen ün lü İtal yan ma te ma tik çi, gök bi lim ci ve fi lo zof. 79
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.. Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri uygun biçimde doldurunuz. Verilen ifade y y y + y ( y)( + y) a 9 (a) () a a a + (a )(a + ) a 5 9 y y v + y. Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri uygun biçimde doldurunuz. Verilen ifade + y y + y y + y ( + y)( y + y ) a + 8b (a) + (b) a b a + b a a.b + b (a + b)(a ab + b ) a + + y + 9y 8 7y 6 80
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.. P() ve Q() birer polinom olmak üzere, P ( ) = 0 denklemine, rasyonel denklem denir. Q ( ). a.b + a.c = a(b + c) ifadesinde ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılmıştır.. a b = 6 ve a.b = 8 ise a + b = 5 dir.. a + b = ve a + b = 0 ise a.b = tür. 5. a + b = ve a + b = 7 ise a + b = 8 dir. 6. a a 5 = 0 ise a 5 + a = tür. 7. a + b c = 5 ve a + b + c = ise ab ac bc = 6 dır. 8. a + b 6a + b + = 0 ise a + b = tür. 9. (a + ) + 5(a + ) + 6 ifadesinin çarpanlarından biri a + tür. 0. a = ve b = olmak üzere, a b + ab a b = 8 dir. 8
TEST. ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 9 B) C) D) ( ) E) 9 5. + ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) D) B) + E) C). + ifade si nin so nu cu aşa ğı da ki ler den a b b a han gi si dir? 6. ( + a) ( a + ) ifadesinin sadeleşmiş biçimi A) B) a b D) b a a E) b a C) 0 aşağıdakilerden hangisidir? A) a + D) a B) a + E) a C) a. ab + a 9 b ifa de si nin çar pan la rı na ay rıl mış bi çi mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) (a + )(b + ) B) (a )(b + ) C) (a b).9 D) (a 9)(b ) E) (a + b). 7. (a b ) : (ab) ifadesinin eşiti nedir? A) ab B) C) a + b D) a b E) b a. y ay + b ab ifadesinin çarpanları na ay rıl mış şek li aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) ( + a)(y b) B) ( y)(a b) C) ( a)(y + b) D) ( b)(y + a) E) ( b)(y b) 8. ( a ) a + 7 ifadesinin sadeleşmiş bi çi mi a a + aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) a + D) a B) a E) C) a + 8
Çarpanlara Ayırma 9. a + b + a + ab + b ifadesi aşağıdakilerden hangisi ile tam bölünür? A) a + b + B) a + b + C) a b D) a b E) a + b. m tam sayı olmak üzere, (m 9) + m 6 ifa de si nin iki ka re far kı ol du ğu bi lin di ği ne gö re m nin de ğe rinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 0 C) D) E) 0. 5+ 6 : 9 ifadesinin en sade şekli + + aşa ğı da ki ler den han gi sidir? A) B) C) D) E) +. a a + a c + amc m a a + a işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşit olur? A) B) a C) a D) E). 6 + ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) ( )( + ) B) ( + )( ) C) ( )( + ) D) ( + )( + ) E) ( )( ) 5. (a + 5) + (b ) = 0 ise a + b kaçtır? A) 5 B) C) D) E) 8. (a )(b + ) çarpımında her bir çar pa na ekler sek çarpım ne kadar büyür? A) B) 6 C) a + b + D) (a + b + ) E) a + b 6. ve y pozitif tam sayıları için y = 9 ise y kaçtır? A) B) 5 C) 8 D) 9 E). B. C. B. C 5. D 6. C 7. E 8. A 9. B 0. D. C. D. E. A 5. C 6. A 8
TEST. (a + b ) : (a + b) ifadesinin eşiti nedir? A) ab B) ab C) a + b + + 5. : 9 + ifadesinin sa de leşti ril miş bi çi mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? D) (a + b) E) A) + B) D) E) C) +. 6a b + b 9a ifadesinin en sade biçimi 8a a+ 6b b aşağıdakilerden hangisidir? A) a B) b D) E) a + b C) 6. Aşağıdakilerden hangisi 6 9 + 8 ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) B) C) + + D) + E) + +. + ( b a) ab a + ab ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çimi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) a a a D) a B) + a a a E) + a C) a + a 7. a b olmak üzere, a b = 8a b ise a + b aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) 5 D) 6 E) 7. a a + 9 a+ a a ifadesinin sa de leş ti ril miş biçi mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? 8. 6 + ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi A) a B) a + C) a + D) E) a a a a + ne dir? A) + B) + + C) D) E) + 89
Çarpanlara Ayırma 9. z+ y yz ifadesinin sa de leş ti ril miş bi çi mi ( y+ z) + yz aşa ğı da ki ler den han gi si dir? + y + y y A) B) C) y z + y + z D) E) z. 9 6y + y + ( ) = 0 eşit li ğin de y nin de ğe ri kaç tır? A) 6 B) 5 C) D) E) 5 y 0. c m: b l + ifadesinin en sa de şekli aşağı da ki ler den han gi si y y dir?. y 8y = ve + y = ise kaçtır? y A) B) 9 C) 6 D) E) A) y B) y C) + y y D) + y y E) ( y) y 5. + = 7 ise ( + ) ( + ) nedir? ifadesinin eşiti y 5z _ + + = 89 b 5. + y+ z = 85 ` olduğuna göre y + yz + z = 6 b a + y + z nin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 9 B) 0 C) D) E) A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 m +. + p = (m ) eşit li ği nin sağ lan ma sı m + m + için p ne ol ma lı dır? A) B) C) 0 D) E) 6. a = b c ise 5 ca + mcbc + mc + m işleminin so nu cu bc a abc kaç tır? A) 0 B) 8 C) 5 D) 70 E) 0. B. C. A. A 5. D 6. D 7. D 8. A 9. A 0. E. B. B. A. B 5. A 6. E 90
TEST 7. + = ise kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 5. a = ise a + 6a + a + 9 ifa de si nin eşi ti aşa ğı da ki lerden han gi si dir? A) B) C) D) + E) +. ( ) ( ) ifadesinin çar pan la rından bi ri aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) 5 + B) + C) D) 5 + E) 5 6. a + b = ise b a + a a b b hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden A) + B) + C) + + D) E). a b ( a b )( ab) aşa ğı da ki ler den han gi si dir? ifa de si nin sa de leş miş bi çi mi 7. 5 + 8. 50 işleminin sonucu kaçtır? A) a b B) a b D) a E) b C) A) 55 B) 6 C) 6 D) 6 E) 65 8. = y =, 7 ise ( + y ) y ifa de si nin eşi ti,. a vb = ve a.b = v ise a + b kaçtır? ne dir? A) B) C) D) E) 5 A) B) C) D) 5 E) 8 95
Çarpanlara Ayırma y + y 9. c m : y + y y ifadesinin sade leş ti rilmiş bi çi mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) C) y + y D) + y E) y + + +. : + + + + + ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) C) + D) E) + 0. + : f + p biçimi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) + D) B) ifadesinin sadeleştirilmiş E) C) +. a, b pozitif tam sayılar olmak üzere, a b = 8 eşit li ğin de sol da ki ifa de nin kü çük çar pa nı bü yü ğü nün ü ol du ğu na gö re a.b kaç tır? A) B) 8 C) D) 6 E). ( 6 6y) + ( 8 8y) ( 0y 0) ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) C) D) E) 5 5. = olduğuna göre + kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) E) 9 a + b a a b a + a b+ ab. : a ab a ab+ b a b ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? 6. + m ifadesi sade leşebilir bir kesir ise sadeleşmiş bi çi mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) a b B) a + b D) a b E) a b C) a + b A) + B) C) + D) + E) +. E. C. C. E 5. D 6. A 7. E 8. C 9. B 0. C. A. D. A. C 5. A 6. B 96
ÜN VERS TEYE G R fi SINAV SORULARI. 99 ÖSS (a )(b y) + y (y b) y( a) ifa de si nin kı sal tıl mış bi çi mi aşa ğı da ki ler den hangi si dir? A) ab B) y C) y D) a E) by 5. 99 ÖYS y = 7 + = ol du ğu na gö re, y aşa ğı da ki lerden han gi si ne eşit tir? + y y 9 A) B) C) 5 D) 7 E) 8. 99 ÖSS a =, b = ol du ğu na gö re y a y b y + ifa de si aşa ğı da ki ler den han gi sine a b si ne eşit tir? 6. 99 ÖSS + a ba a b a aşa ğı da ki ler den han gi si dir? ifa de si nin sa de leş ti ril miş bi çi mi A) y B) + y C) y D) y E) y A) b a B) a b C) a + b D) a E) a + ifa de si-. 99 ÖSS =, y = ol du ğu na gö re, 5 5 y + 0 y 0 y + 5y y 5 nin de ğe ri kaç tır? 7. 99 ÖSS a, b N ve a b = olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 6 B) C) 6 D) 8 E) 56 A) 8 B) C) 5 D) 6 E) 6. 99 ÖYS, y bi rer ger çel sa yı ve y + = 9 y + y =8 ol du ğu na gö re + y kaç tır? 8. 99 ÖSS a a a + a işleminin sonucu kaçtır? A) v9 B) v C) v D) E) A) B) C) 0 D) E) 0