TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi kavramlarıı açıklayalım. 1. Öerme Doğru ya da yalış kesi hükümlere öerme deir. İçide bir değişke bulua öermelere de açık öerme deir. ÖRNEK : 5 bir asal sayıdır ifadesi doğru bir öermedir. 10. 3 = 0 ifadesi yalış bir öermedir. > ifadesi açık bir öermedir.. Doğruluk Kümesi Bir açık öermeyi doğrulaya değerleri oluşturduğu kümeye doğruluk kümesi deir. ÖRNEK : Sayma sayıları kümesi, N+ = {1,,3,...} dir. bir sayma sayısı olmak üzere, P(): < + 10 açık öermesii doruluk kümesii buluuz. ÇÖZÜM : = 1 içi P(1) : 1 <. 1 + 10 (doğru) = içi P() : <. + 10 (doğru) = 3 içi P(3) : 3 <. 3 + 10 (doğru) = 4 içi P(4) : 4 <. 4 + 10 (doğru) = 5 içi P(5) : 5 <. 5 + 10 (yalış) = 6 içi P(6) : 6 <. 6 + 10 (yalış) Görüldüğü gibi; P(1), P(), P(3), P(4) öermeleri doğrudur. Bua göre, doğruluk kümesi D = {1,,3,4} tür. 3. Tümevarım Presibi Tümevarım presibi, doğal sayılarla ilgili açık öermeleri doğruluğuu göstermeye yaraya bir ispat metodudur. olmak üzere P() bir açık öerme ve a N ve Na = {a, a + 1, a +,...} olsu. i. P() öermesi Na kümesii e küçük elemaı ola = a içi doğrudur. (Yai, P(a) dorudur.) ii. k a olmak üzere P() öermesii = k içi doğru olduğu (P(k) doğru olsu.) kabul edildiğide = k + 1 içi doğru olduğu (P(k + 1) doğru) oluyorsa P() öermesi Na kümesii her elemaı içi doğrudur. ÖRNEK : P() : 1 + + 3 +... + =.(+1).(+1) öermesii doğruluğuu ispat ediiz. 6 ÇÖZÜM : i. = 1 içi P(1) : 1 = 1.(1+1).(.1+1) 1 = 1 ise P(1) doğrudur. 6 ii. =k içi P(k) = 1 + + 3 +... + k = 1.(k+1).(k+1) öermesii doğru olduğuu kabul edelim. 6 = k + 1 içi P(k+1) = 1 + + 3 +... + k + (k+1) = (k+1).(k+).(k+3) olduğuu gösterelim. 6 1 + + 3 +... + k + (k+1) = k.(k+1).(k+1) + (k+1) Paydaları eşitleyip, gerekli işlemleri 6 yaparsak soucu (k+1).(k+).(k+3) olduğuu göreceğiz. Demek ki P(k+1) doğrudur. 6

Böylece öerme ispatlamış olur. O halde bütü doğal sayılar içi, 1 + + 3 +... + =.(+1).(+1) dir. 6 B. TOPLAM SEMBOLÜ 1. Taım k bir tam sayı, f : N R ye bir foksiyo olmak şartıyla f(k) = ak olsu. k ya 1,,3,..., değerlerii verilmesiyle elde edile a1, a, a3,..., a terimlerii toplamı, toplam sembolüyle kısaca ( ) kısaca, şeklide gösterilir. ÖRNEK : = 0 + 1 + + 3 + 4 = 1 + + 4 + 8 + 16 = 31. Öemli bazı formüller = 1++3+...+=.(+1) = 1+3+5+...+( 1) = = 1++3+...+ =.(+1).(+) 6 = 13+3+33+...+3 = [.(+1)/] = 1.+.3+3.4+...+(+1) = (+1).(+) 3 = 1 + 1 + 1 +...+ 1 =. 1..3 3.4.(+1) +1 = 1+r+r+r3+...+r 1= 1 r 1 r Bu formülleri doğruluğu tümevarım yötemiyle gösterilebilir.

C. Çarpım Sembolü 1. Taım k bir tamolmak şartıyla f(k) = ak olsu. k ya 1,,3,..., değerlerii verilmesiyle elde edile a1 a a3... a terimlerii çarpımı, çarpım sembolüyle ( ) kısaca, = a1.a.a3...a şeklide gösterilir. ÖRNEK : = 9+.10 = 81.100 = 8100. Öemli Bazı Çarpım Formülleri = 1..3.4... =! = r1.r.r3...r = r1++3+...+ 3. Çarpım Sembolüü Kullaımıyla İlgili Özellikler ÖRNEK ise x =? ÇÖZÜM

MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir3@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız ispat yötemleride biri de Tümevarım metoduru. Bu ispat metodu, birkaç deeme soucu bulduğumuz formülü bütü deemeler içi doğru olup olmadığıı göstermek içi kullaılır. Bu Tümevarım metoduda iki aşama vardır. 1) Doğruluğu ispatlaacak formülü 1 içi doğruluğu gösterilir. (1 D) ) içi doğruluğu kabul edilir. + 1 içi doğruluğu ispatlaır. ( D ( + 1) D) Bu durumda formül bütü N + içi doğru olur. Öreği, 1 + 3 + 5 +... + ( 1) = 1) 1 içi doğru mudur? 1 = 1 I D olduğu görülür. ) D olsu. 1 + 3 + 5 +... + ( 1) = ise ( + 1) terim ( + 1) 1 = + 1 dir.) 1 + 3 + 5 +... + ( 1) + (+1) = + (+1) = (+1) buluur ki bu da + 1 tae ardışık tek sayı toplamıı, (+1) olduğu gösterilmiş olur. Formül doğrudur. Matematikte çok kulladığımız bazı semboller vardır. Bularda toplam içi, çarpım içi sembolleri kullaır. Toplam Sembolü ( ) N olmak üzere a i = a 1 + a + a 3 +... + a i=1 biçimide kullaırız. i idisie 1 de başlayarak e kadar doğal sayıları vererek toplam aldığımıza dikkat ediiz. 7 k=1 Öreği, k =1+ + 3+ 4 +5 +6 + 7, biçimide yazılırlar. 5 k = 3 + 4 + 5 k=3 1) ) 3) 4) 5) 6) 7) c = c i= 1 ca i = c a i i=1 i=1 i=1 (a i +b i ) = a i + b i i=1 k 1 i=1 i=1 a i (b i + c i ) = a i b i + a i c i i=1 i=1 a i + a i = a i a i = i=1 a i = i= r i=r i= k +r 1 i= r + (1 r) i=1 a i (r 1) a i (1 r) i= 1 m f(ij) = j=1 m j= 1 i=1 i=1 f(ij) (Bu gibi problemlerde i içi j sabit, j içi i sabit alıır.) r k 1 8) 0 < r < 1 k=1 = 1 + r + r +... = 1 1 r dir. Σ sembolü içi bazı formüller vardır. Buları ezbere bilmekte yarar vardır. Σ sembolü ile bilimesi gerekli bazı formüller : ( +1) 1) k =1+ + 3+... + = k= 1 ) k =1 + + 3 +...+ ( +1)( +1) = k=1 6 3) k 3 =1 3 + 3 + 3 3 +...+ 3 ( + 1) = k=1 4) k = + 4 +6 + 8+...+ = ( +1) k=1 5) (k 1) = 1+ 3 + 5 + 7 + 9+...+( 1) = k=1 6) r k 1 = r 0 + r 1 + r +...+r 1 = 1 r k=1 1 r 1 7) k=1 k(k +1) = 1 1. + 1.3 +... + 1 ( +1) = + 1 ÖRNEK : (r 1, r 0) 0 + 3 + 8 + 15 +... + 10 toplamı kaçtır? A) 395 B) 495 C) 506 D) 516 E) 56 Toplamı Özelikleri : Çözüm :

www.matematikclub.com 11 (k 1) 0 + 3 + 8 + 15 +... + 10 = k=1 olduğu içi, 11 k 1= 11.1.3 11.1= 506 11= 495 6 k=1 buluur. Yaıt : B ÖRNEK : 11 k=1 7 (k + ) k= 5 toplamı kaçtır? A) 38 B) 39 C) 49 D) 51 E) 63 Çözüm : Σ ı sıırıı 1 de başlatalım. 7 3 13 (k + ) = (k 6 + ) = (k 4) k= 5 k= 1 k=1 13 13 = k 13.14 4 = 4.13 = 39 k=1 k=1 Yaıt : B 1 < y < 3 olmak üzere = 1 1+ y aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) 1 3 y B) 3 3 y D) 3y E) 3 + y 6 y Çözüm : = 1 1+ 9 3 = 1 + y = 1 3 3 3 toplamı C) 3 y = 1 1 3 =1 3 1 + y y 1 3 =1 3 ; α y 3 < 1 = 1 3. 1 1 1 + y 3. 1 1 y = 1 + y 3 y 3 3 = 3 y + y 6 y Yaıt : E = 3 + y 6 y (ÖYS 1995) ÖRNEK : 80 log 3 1+ 1 k k=1 toplamı kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 81 Çözüm : 80 log 3 1+ 1 80 k=1 k = k +1 log3 k= 1 k 4 = log 3 3 + log 5 3 4 + log 6 3 5 +... +log 81 3 80 (Çarpımı logaritması logaritmalar toplamıdır.) = log 3 4 3. 5 4. 6 5 Yaıt : C... 81 80 = log 3 7 = 3 buluur. ÖRNEK : 1.3 +.5 + 3.7 +... + 11.3 toplamı kaçtır? A) 47 B) 570 C) 57 D) 574 E) 576 ÖRNEK : 190 si k k=170 A) 0 B) 1 soucu kaçtır? B) D) 3 E) Çözüm : 11 k(k +1) 1.3 +.5 + 3.7 +... + 11.3 = k=1 dir. O halde, 11 (k 11 +k) + k 11 + k = 11.1.3 k=1 k=1 k=1 6 = 11. 46 + 11.6 = 57 Yaıt : C + 11.1 Çözüm : si(180 α) = siα, si(180+α) = siα dır. 190 si k k=170 = si170 + si171 +... + si180 +... si189 + si190 = si10 + si9 +... + 0... si9 si10 = 0 buluur. Yaıt : A ÖRNEK : ÖRNEK :

www.matematikclub.com 0 ( + a) = 70 10 1 = 1 A) 1 5 B) 1 6 olduğua göre a kaçtır? C) 1 7 D) 1 8 E) 1 9 k= 0 A) 1 9 D) 10 1 9 k toplamı kaçtır? B) 9 1 10 E) 1 10 C) 10 1 10 Çözüm : 0 0 0 0.1 ( + a) = + a = 40 + a. = 1 =1 =1 O halde, 40 + 10a = 70 a = 30 10 = 1 7 Yaıt : C Çözüm : 10 1 k= 0 k = 1 + 1 + 1 +... + 1 1 ( 1 9 = )10 1 1 Yaıt : D = 10 1 9 ÖRNEK : 4 k=1 s=1 (4s k + 1) ifadesii değeri kaçtır? A) 1 B) 8 C) 10 D) 16 E) 4 Çözüm : 4 k=1 4 4s k + 1 = (4. 3 4k + ) s=1 4 s=1 s=1 k=1 = (14 4k) = 4.14 4. 4.5 = 56 40 = 16 k=1 Yaıt : D ÖRNEK : f ve g N N aşağıdaki biçimde taımlı iki foksiyodur. x x ; g:x x f : x = 1 =1 Buagöre (fog) () i değeri kaçtır? A) 1 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 Çözüm : x f:x = =1 x g:x = =1 x(x +1) f(x) = x + x x(x + 1)(x +1) 6 g(x) = (x + x)(x +1) 6 O halde (fog)() = f(g()) = f Yaıt : D ÖRNEK : = f(5) = 5 + 5 6.5 6 =15 dir. Çarpma Sembolü ( Π ) Çarpma Sembolü içi Π kullaılır. a i = a 1.a.a 3...a i=1 10 k = 1..3...10 = 10! dir. Öreği, k=1 Π i Özelikleri 1. c = c. ca i = c a i i=1 i=1 i=1 a 3. a i.b i = a i. b i 4. c a i i = c i= 1 i=1 i=1 i= 1 i= 1 +r 1 +(1 r) 5. a i = a i (r 1) a i = a i (1 r) i=1 i=r i=r i=1 Π sembolüde bilimesi gerekli bazı eşitlikler : 1. k = 1.. 3... =! k= 1. k = 1.. 3... = (!) k=1 3. k 3 = 1 3. 3. 3 3... 3 = (!) 3 k=1 (Dikkat: (!) 3 3! dir.) 4. r N ve r < ike (k r) = 0 dir. k= 1 ÖRNEK :

www.matematikclub.com 36 = 1 1+ 1 ifadesii değeri kaçtır? A) 36 B) 37 C) 38 D) 37 36 E) 39 35 0 (k 56) k=1 ifadesii değeri kaçtır? A) 0! B) 0! 56 0 C) 56 19 0! D) 0! E) 0 Çözüm : 36 = 1 1+ 1 = 1. 3. 4 3 Yaıt : B... 37 36 = 37 buluur. Çözüm : 0 (k 56) k=1 çarpımıda k = 16 ike 16 456 olduğu içi souç (0) olur. Yaıt : E ÖRNEK : 10 = 1 8 (m 3) m= ifadesii değeri kaçtır? A) 76 B) 363 C) 0 D) 363 E) 76 Çözüm : 10 = 1 8 0 (m 3) = 7 8. (m 3) m= =1 m= 8 (m 3) = 0 m= Yaıt : C ÖRNEK : 110 cos = 80 A) 0 B) 1 C) 0 0 = 0 olduğu içi, m=1 ifadesii değeri kaçtır? D) 3 E) 1 dır. DĐZĐLER f : N + R her f foksiyoua bir dizi deir. N + R ye f(x) bir dizi belirler. { f(1), f(), f(3),... f(),...} dizisi ( f() ) biçimide gösterilir. Geel olarak, f() dizisi a olarak belirtilir. (f()=a ) = 1 içi f(1) = a 1 e 1. terim, = içi f() = a ye. terim f() = a e de. terim ya da geel terim adı verilir. a geel terim ise dizi (a ) = {a 1, a, a 3,..., a,...} dir. Dizii elema sayısıı sosuz olduğuu söyleyebiliriz. Öreği a = +3 foksiyou bir dizi belirler. (a ) = + 3 = 1 4, 5, 3 6,... + 3,... Bir dizi geel terimi ile belirlidir. Geel terimi verilmeye bir dizi bir kaç terimi ile belli olmaz. Öreği, 1,, 3,? üç terim verile bir dizi ise 4. terimii bilemeyiz. 4. terimi her sayı olabilir. Dizi () ise 4. terimi 4 gelir. Dizi a = ( 1) ( ) + biçimide ise 4. terimi a 4 = 4.3. + 4 = 8 buluur. Dikkat : Geel terimi verilmeye bir dizi belirleemez. Çözüm : 110 cos = 80 = cos80. cos81...cos90... cos110 çarpımıda cos90 = 0 olduğu içi bu çarpım 0 dır. Yaıt : A Sabit Dizi : Bütü terimleri sabit ola dizilere sabit dizi deir. N + içi a = c (c R) ise (a ) = (c) dizisi sabittir. (a ) = (3) = {3, 3, 3,... 3,...} her terimi 3 ola bir diziyi belirler. Dizileri Eşitliği : Her terimleri eşit ola iki diziye eşit diziler deir : N + içi a = b ise (a ) = (b ) olarak taımlaır. ÖRNEK : ÖRNEK :

www.matematikclub.com N + da taımlı geel terimi a = 5 (!) ola bir dizide a, a 1 i kaç katıdır? A) 5 ( 1) B) 5 C) +1 5 D) 5 E) + 5 Çözüm : a = 5.! ve a 1 = 5 1. ( 1)! dir. Bua göre, a = 5.! = 5.5 1. ( 1)! = 5. a 1 olduğu içi, a, a 1 i 5 katı olur. Yaıt: B ÖRNEK : a 0 = 1, a = 1 a 1 ve N, 1 olduğua göre, a b kaçtır? A) 1 6! Çözüm : B) 1 5! Taıma göre a 1 = 1 1. a 0 = 1 C) 5! D) 6! E) 6! a = 1. a 1 = 1, a 3 = 1 3. a = 1 3. = 1 3! a 4 = 1 4. a 3 = 1 4. 1 3! = 1 4! O halde, bezer olarak a 6 = 1 6! Yaıt : A ALT DĐZĐ buluur. N + içi k ve k < k + 1 koşuluu sağlaya k N + ( a k ) dizisie a dizisii bir alt dizisi deir. Öreği, a = + k = + 1 içi dizisi içi 4+ a k = +1+ = 4+ +3 dizisi a i bir alt dizisidir. (b ) = { 1, 3, 3 4, 4 5, 5 6... +1...} ( b k ) = { 3 4, 5 6, 7 8,... +1 +,...} ( b k ) dizisii her terimi (b ) dizisii de bir terimi olduğu içi (b k ) dizisi (b ) dizisii bir alt dizisidir. Bir dizide daima sosuz terim vardır. Dizilerde Dört Đşlem (a ), (b ) dizileri içi Toplama : (a ) + (b ) = (a +b ), Çıkarma : (a ) (b ) = (a b ), Çarpma : (a. (b ) = (a. b ), Bölme (b 0) : (a) (b) = (a b ) Bir k sayısı ile çarpma : k R olmak üzere k.(a ) = (k.a ) dir. Öreği, (a ) = ( 1 +1 ) ve (b ) = (+1) dizileri içi yapıla aşağıdaki işlemleri iceleyiiz. 1 1) (a ) + (b ) = +1 + +1 = + + +1 1 ) (a ) (b ) = ( +1) + 1 = 1 3) (a ).(b ) =.( +1) +1 = 1 4) (a ) 1 (b ) = +1 +1 = 1 ( + 1) 5) 5.(a ) = 1 5. +1 = 5 + 1 Mooto Arta Dizi : +1 (a ) diziside N + içi a < a +1 ise bu diziye mooto arta dizi deir. Öreği, (a ) = ( + ) dizi içi, a = + ve a +1 = +1 +3 de + < +1 +3 paydaları eşitlersek ve N + olduğu içi, + 3 < + 3 + 0 < olduğu içi bu dizi mooto arta bir dizidir. N + içi a > a +1 ise (a ) dizisi mooto azaladır. Mooto Azala Dizi : Öreği, a > a +1 +5 a = +5 a +1 = +6 +1 dizisi içi dir. Buları karşılaştırırsak, > +6 +1 + 6 + 5 > + 6 5 > 0 sağlar. O halde, (a ) dizisi mooto azala bir dizidir. Sıırlı Diziler :

www.matematikclub.com Bir (a ) diziside N + içi, a M olacak biçimde bir M R sayısı varsa bu diziye üste sıırlı dizi ve M ye bir üst sıır adı verilir. Üst sıırları e küçüğüe e küçük üst sıır deir ve Eküs biçimide gösterilir. Veya üst sıırları e küçüğü diye ifade edilir. Üsek biçimide gösterilir. Öreği, (a ) = (10 ) diziside a 1 = 9, a = 8, a 3 = 7,... gibi a 9 olduğu içi, a < 10 gibi 9 da büyük her sayı bu dizii bir üst sıırı olur. Yai ; { 9, 10, 11, 0, 30,... } kümesi bir üst sıırlar kümesidir. Eküs : 9 (dizii elemaıdır.) Bir (a ) diziside her a terimi içi a m olacak biçimde belirli sabit bir m sayısı varsa, (a ) dizisi altta sıırlı bir dizidir. Alt sıırlar bir küme oluştururlar. Bu kümei bir e büyük elemaı vardır. Bua alt sıırları e büyüğü deir. ASEB biçimide gösterilir. Ya da e büyük alt sıır deir, EBAS biçimide gösterilir. Öreği; (a ) = ( 1) diziside N + içi (a ) = {1, 3, 5, 7, 9,...} a 1 buluur. 1 de küçük her sayıda bir alt sıırdır. EBASI ise 1 dir. Sıırlı Dizi : Bir (a ) diziside N + içi a k ise böyle dizilere sıırlı dizi deir. 4. Bir aritmetik dizii ilk terim toplamı : S = (a1+a) veya S = [a+( 1)r] formülleri ile buluur. 5. a, b sayıları arasıa terim yazıla aritmetik dizide r = b a +1 dir. ÖRNEK : Bir aritmetik dizii 6. terimi 40 ve 17. terim 84 ise bu dizii 51. terimi kaçtır? A) 0 B) 30 C) 40 D) 44 E) 60 Çözüm : Aritmetik dizii geel terimi a = a + ( 1) r dir. Burada a ve r yi bulmamız gerekir. a 6 = 40 ve a 17 = 84 de 40 = a + 5r 84 = a + 16r sistemide a ve r buluur. r = 4 ve a = 0 dur. O halde, a = a + ( 1). r de a 51 = 0 + (51 1). 4 = 0 buluur. Yaıt : A ARĐTMETĐK DĐZĐLER Taım : a ve k sabit olmak üzere geel terimi a = a + ( 1) r biçimide ola dizilere aritmetik dizi deir. a 1 = a ilk terim, r ye ortak fark deir. Öreği, a = 3 ve r = ola aritmetik dizii geel terimi a = 3 + ( 1). dir. (a ) = { 3, 5, 7, 9, 11,...} buluur. Aritmetik Dizileri Özelikleri : 1. Her terim (varsa) kedide öce ve kedide sora gele terimleri, aritmetik ortasıdır. (Buda dolayı aritmetik dizi adı verilmiştir.). Aritmetik dizide ardışık iki terim farkı sabittir. (Bu ortak fark r dir.) ÖRNEK : Bir aritmetik dizii ilk terim toplamı daima 60. terimi kaçtır? A) 117 B) 118 C) 119 D) 60 E) 11 Çözüm : S S ( 1) = a dir. O halde S 60 S 59 = a 60 olacağı içi a 60 = 60 a 60 = 119 Yaıt : C 59 buluur. (60 59) (60+59) = ise 3. Bir aritmetik dizide solu sayıda ardışık terim alıdığı zama başta ve soda ayı uzaklıkta bulua terimleri toplamı sabittir. ÖRNEK :

www.matematikclub.com Bir aritmetik dizii 8. terimi a olduğua göre,. ve 14. terimlerii toplamı edir? A) 3a B) a C) a D) a Çözüm : E) a 3 Bir aritmetik dizide başta ve soda ayı uzaklıkta bulua terimleri toplamı sabittir. a + a 14 = a 8 + a 8 = a buluur. Yaıt : B ÖRNEK : Yaşları toplamı 48 ola 6 kardeşi yaşları bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. E küçük kardeş 3 yaşıda olduğua göre e büyük kardeş kaç yaşıdadır? A) 9 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17 Çözüm : Aritmetik dizide ilk terim toplamı S = (a1+a) dir. E küçüğü 3, e büyük x ise, 6. terim olduğua göre, 48 = 6(3+x) Yaıt : B GEOMETRĐK DĐZĐ x = 96 6 3 = 13 buluur. a ve r sabit olmak üzere geel terimi; a = a.r 1 biçimide ola dizilere geometrik dizi deir. a 1 = a ilk terim, r ye ortak çarpa deir. Öreği a = 3, r = ise geometrik dizi (a ) = (3. 1 ) = {3, 6, 1, 4, 96, 19,...} Eğer a = 3, r = 1 3 ise geometrik dizi 1 (a ) = (3. 3 1 ) = {3, 1, 1 3, 1 3,...} olur. Geometrik Dizii Özelikleri : 1. Eğer kedide öce ve sora terim varsa her terim kedide öce ve kedide sora gele terimleri geometrik ortasıdır. (Geometrik dizi adı her terimi geometrik orta olduğu verilmiştir.) 4. a ve b sayıları arasıa terim yerleştirerek geometrik dizi yapmak içi ortak çarpa : +1 r = b a dır. 5. Bir geometrik dizide ilk terim toplamı S = a 1. 1 r 1 r dir. Not : r > 1 ise toplam çok büyük sayılar verir. r < 1 ise (S ) dizisi yakısaktır ve limiti S = a1 1 r ÖRNEK : dır. Bir geometrik dizii ilk altı terimii toplamıı ilk üç terim toplamıa oraı dir. Bu dizii r ortak oraı kaçtır? 3 A) 3 D) Çözüm : S 6 = a 1 r6 1 r 1 r6 1 r3 B) C) 1 3 E) 1, S 3 = a 1 r3 1 r = (1 r3) (1+r3) 1 r3 r 3 + 1 = r = 3 1 Yaıt : E ÖRNEK : S6 S3 = = (ÖYS 1993) Bir geometrik dizii ilk terimi 3, ikici terimi 3 olduğua göre, altıcı terimi kaçtır? A) 8 B) 30 C) 3 D) 39 E) 48 Çözüm : a = a 1.r olduğu içi 3 = 3. r, r = buluur. a = 3. r 1 a 6 = 3. 5 a 6 = 3. 4 = 48 buluur. Yaıt : E (ÖYS 1991). Ardışık terimleri oraları sabittir. (Bu ora ortak çarpa olur.) 3. Bir geometrik dizide solu sayıda ve ardışık ola terimlerde başta ve soda ayı uzaklıkta bulua terimler çarpımı sabittir. SERĐLER a bir dizii geel terimi olma koşulu ile

www.matematikclub.com a S = = 1 toplamıa seri deir. S = a 1 + a + a 3 +... + a +... S 1 = a 1 ; S = a 1 + a ; s 3 = a 1 + a + a 3 S = a 1 + a + a 3 +... a Toplamlarıa parça toplamlara (kısmi toplamlar, parçasal toplamlar deir.) S 1, S, S 3,... S 4,... bir dizi oluşturur. Bu diziye S serisii parça toplamları dizisi (ya da kısmi toplamlar dizisi) deir. Bir serii limiti parça toplamları dizisii limiti olarak taımlaır. 1 k= 0 3 k ifadesii değeri kaçtır? A) 9 8 B) 3 8 C) 3 5 D) 3 4 E) 4 3 Çözüm : 1 k= 0 3 k = 1 + 1 9 + 1 9 + 1 93 +... geometrik serisi olduğu içi S = 1 1 1 = 9 8 buluur. 9 Yaıt : A ÖRNEK : Aritmetik Seri : a (a ) dizisi bir aritmetik dizi ise = 1 serisie aritmetik seri deir. Serbest bırakıla bir top bırakıldığı yüksekliği 3 4 ü kadar sıçramaktadır. 6m yükseklikte bırakıla bir top degede kalıcaya kadar kaç m yol alır? A) 18 B) 4 C) 36 D) 40 E) 4 Geometrik Seri : a a dizisi bir geometrik dizi ise = 1 seri deir. serisie geometrik Geometrik serilerde; a 1) r > 1 ise = 1 geometrik serisie ıraksak seri, a ) 0 < r < 1 ise = 1 geometrik serisi yakısaktır ve a limiti 1 r dir. ÖRNEK : 1 + 1 3 + 1 3 + 1 3 +... + 1 3 +... serisii limiti kaçtır? A) 1 B) C) 3 Çözüm : D) 3 E) 4 Çözüm : Düşüşler : 6 + 6. 3 4 + 6. (3 4 ) +... geometrik seriside 6 1 3 4 = 4m buluur. Çıkışlar burada 6m eksiktir. Yai 18m dir. O halde aldığı yol : 4 + 18 = 4 m buluur. Yaıt : E ÖRNEK : Şekilde ABCD karesii bir kearı 8 cm dir. Kearlarıı orta oktaları birleştirerek yie bir kare elde ediliyor. Tekrar bu karei de kearlarıı orta oktaları birleştirilerek bir kare elde ediliyor ve bu işleme okta kalıcaya kadar devam ediliyor. Oluşa tüm kareleri alaları toplamı kaç cm dir? A) 96 B) 11 C) 16 D) 18 E) 19 D A C B Bu seri bir a 1 = 1 ve r = 1 3 1 Limiti 1 1 = 3 buluur. 3 Yaıt : C ola bir geometrik seridir. Çözüm : Kareleri alaları 8, 8, 8 4, 8 8... olarak yarıları alıarak toplaacak, yai : 8 + 8 + 8 4 +... ÖRNEK : geometrik serisii toplamı a 1 = 8 ; r = 1 toplamı S = 8 1 1 = 18 cm buluur. olduğu içi

www.matematikclub.com Yaıt : D KONU TESTĐ 1 A) + B) + 3 D) E) 3 + 4 C) 3 (+1) 14 1. k=1 (5k + 1) toplamı kaçtır? A) 58 B) 59 C) 534 D) 539 E) 549 10 9. k=1 A) 10 11 1 k(k + 1) B) 10 13 toplamı kaçtır? C) 10 17 D) 3 E) 5 5. k= (k + 7) toplamı kaçtır? A) 56 B) 61 C) 68 D) 78 E) 80 55 log 4 1+ 1 3. k= 4 k 4. k= 3 toplamı kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 80 5. k= 80 log k (k+ 1) çarpımı kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 100 cosk toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) E) 1 1 10. k=1 3k + 4 toplamı kaçtır? A) 34 B) 36 C) 38 D) 4 E) 46 1 11. k=1 (3k + 4) toplamı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 48 D) 38 E) 4 1. 0 + 3 + 8 + 15 + 4 +... + 168 toplamı kaçtır? A) 807 B) 806 C) 805 D) 804 E) 800 88 13. k= log (tak ) toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) 1 E) 1 3 6. k=1 4 log k toplamı kaçtır? A) 810 B) 80 C) 840 D) 880 E) 160 1 14. k=1 (k! (k+1)!) toplamı kaçtır? A) 1 1! B) 1 13! C) 1 14! D) 1 15! E) 13! 40 7. 1.3 +.5 + 3.7 + 4.9 +... + 40.81 toplamı kaçtır? A) 43460 B) 43466 C) 43480 D) 43860 E) 43960 10 ( ) k k +1 15. k= 1 toplamı kaçtır? A) 10 B) 9 C) 10 D) 10 E) 10 8. k= k = x olduğua göre x i türüde değeri edir? 16. 1. +.3 + 3.4 +... + 0.1 toplamı kaçtır? A) 3080 B) 3081 C) 308 D) 3083 E) 3084

www.matematikclub.com 999 17. k=1 log k + 1 k toplamı kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 8 1 3 48 D) 1 3.48 B) 48 1 3.48 E) 48 1 3.8 C) 48 1 3 00 18. k=160 sik toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 5. 1 11 (p 7) k= 3 p= 1 ifadesi kaça eşittir? A) 15 B) 9 C) 8 D) 7 E) 0 40 19. k=1 (k 16) çarpımı kaçtır? A) 1384 B) 1484 C) 1584 D) 1 E) 0 3 6. k= 0 = 0 ( + p 3) ü değeri edir? A) 11 B) 1 C) 13 D) 14 E) 15 0. x N N f(x) = i, g(x) = i= 1 = 1 x ise (fog) () i değeri kaçtır? A) 5 B) 11 C) 15 D) 16 E) 17 7 7. k=1 (k! (k+1)! ) toplamı eye eşittir? A) 8! 1 B) 8! C) 8! + 7! D) 8! 7! E) 7! 1 3 1. i=1 j=1 i (j+1) i değeri kaçtır? A) 9 B) 30 C) 31 D) 3 E) 33 8 8. k= 0 (e k+1 e k ) toplamı kaçtır? A) e 9 e B) e 9 1 C) e 8 1 D) e 7 1 E) e 9 3. k= 0 3 =1 (3 + k 3) toplamı kaçtır? A) 71 B) 7 C) 73 D) 74 E) 75 9. k=1 16 1 k 1 9 k +1 + k=17 A) 8 9 B) 9 30 1 k(k + 1) C) 30 31 toplamı kaçtır? D) 31 3 E) 3 33 0 3. k=1 (3 + k.x) = 165 ise x kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 1 3 E) 1 7 4. k=1 1 k toplamı kaçtır? KONU TESTĐ

www.matematikclub.com 1. lim + 3 3 4 kaça eşittir?. A) 1 +1 + a B) 1 C) 3 D) 3 E) 3 dizisi mooto ise a hagi aralıktadır? 9. lim 3 + 5 3 i eşiti edir? A) e B) e 5 3 C) e 5 5 D) e 3 E) e 1 A) a < 1 3 B) a > 1 D) a < E) a > C) a > 1 3 10. 3.Si 5 dizisii limiti edir? A) 1 3 B) 3 5 C) 5 3 D) 1 6 E) 3 3. +1 + dizisii ASEB ve ÜSEK toplamı kaçtır? A) 7 B) 5 C) 7 D) 1 E) 3 7 11. 0 ( a )= + 5 dizisii kaç terimi bir tamsayıdır? A) 8 B) 6 C) 4 D) 3 E) 4. (a ) dizisi yakısak ve her terimi pozitiftir. 5. 6. 7. 8. N + içi a.a +1 4a +7 = 5 ise a dizisii limiti edir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1 + + 3 +... + 4 3 + 1 A) 1 6 +1 + 3 dışıdadır? B) 1 3 C) 3 4 dizisii limiti edir? D) 1 1 E) 1 18 dizisii kaç terimi i 1 50 komşuluğu A) 97 B) 96 C) 99 D) 300 E) 350 ( a )= 4 k=1 dizisii 4. terimi kaçtır? A) 8 B) 10 C) 1 D) 14 E) 16 Si 3 5 dizisii limiti edir? 1. ( a )= 13. a = + 3 ve b + 3 +1 ( ) = 1 ( (a ) + (b ) ) limiti eye eşittir? + 3 ise A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 + 5 Bu dizii ASEB'i kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5 ; = 0 (mod 3) 1 ; = 1 (mod 3) + 3 14. a = ; = (mod 3) + dizisii 16. terimi kaçtır? A) 16 3 15. (a ) = B) 19 58 C) 16 5 D) 16 E) 3 6 + 5 3 dizisii EKÜSÜ kaçtır? A) 1 B) 11 C) 10 D) 9 E) A) 3 5 B) 3 C) 1 D) 1 E)

www.matematikclub.com 16. + 5 + 3 dizisii limiti edir? 3 A) 1 B) e C) e D) e E) e 3 17. ( 4 + 7) dizisii EBASI kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 3 1. Bir aritmetik dizii 5. terimi 1; 1. terimi 4 ise bu aritmetik dizii 4. terimi kaçtır? A) 16 B) 17 C) 19 D) 130 E) 140. Bir işçi ayı 1. güü 10.000 lira alıyor. Her gü bir öceki güde 5000 lira fazla aldığıa göre bu işçii 30 gülük aylığı kaç liradır? A).475.000 B) 4.750.000 C).500.000 D) 1.475.000 E) 14.750.000 18. + 5 3 diziside kaç tae terim 1 i 1 50 komşuluğuu dışıda buluur? A) 16 B) 163 C) 164 D) 165 E) 166 3. ( a 0) ike, (a ) limiti 0 ike 3si a a lim edir? A) 1 B) C) 3 D) 1 5 E) 6 7 + 6 cos 5 si 19. (a ) = 8 +7 si lim (a ) i limiti edir? A) 8 7 B) 6 7 C) 7 8 ike D) 1 E) 0 4. 3 + π ( 3) dizisii limiti aşağıdakilerde hagisidir? A) 1 B) 1 C) D) 1 E) 0 7. 3 +1 6 + 0. (a ) = 8.3 + 6 A) 1 8 B) 36 C) 9 1 dizisi içi lim(a ) =? D) 36 E) 1 5..si 3 dizisii limiti edir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 0 1. (a ) = A) 7 3 cos + 5si 3 B) 3 ike lim(a ) =? C) 5 3 KONU TESTĐ 3 D) 7 E) 0 6. Bir top serbest bırakıldığı zama bırakıldığı yüksekliğii 3 5 i kadar sıçrıyor. 6 m de bırakıla bir top degede kalıcaya kadar kaç m yol almıştır? A) 130 B) 10 C) 104 D) 100 E) 65 7. Şekilde bir kearı 6 ola bir kare verilmiştir. Bu karei kearlarıı orta oktaları köşe alıarak bulua karei de kearlarıı orta oktaları köşe ola kareler çiziliyor. Bu işleme okta kalıcaya kadar devam ediliyor. Bulua kareleri çevrelerii toplamı e kadardır? A) 4 (+ ) B) 1(+ ) D A C B

www.matematikclub.com C) 1(1+ ) D) 4( +1) E) 4( 1) ola bir arit- 3 + 5 14. Đlk terim toplamı daima metik dizii 41. terimi edir? A) 116 B) 14 C) 13 D) 144 E) 156 8. Bir fida m dir.1. yıl souda 3 ü kadar büyüyor ve her yıl bir öceki yıl büyümesii 3 kadar büyüyor. Bu ağaç e çok kaç metre yüksekliğe ulaşabilir? A) 5 B) 6 C) 8 D) 13 1 E) 9 15. a = A) e p e π ike si a a B) e C) 1 e dizisii limiti edir? D) 1 E) 0 9. Đlk terimi 5 ve ortak çarpaı r ola bir geometrik dizii 7. terimi 30 ise bu dizii 4. terimi kaçtır? A) 0 B) 40 C) 80 D) 16 E) 18 1+ 4 10. = 0 8 A) 7 B) 1 limiti edir? C) 3 8 D) E) 0 16. (a ) aritmetik diziside a 1 + a 13 = 0 ve a 6 + a 8 = 11 ise ilk terim kaçtır? A) 1 B) 1 C) 11 D) 11 E) 7 11. a aritmetik dizisii a 6 = 8 ve a 14 = 68 ise 10. terim kaçtır? A) 48 B) 49 C) 50 D) 5 E) 56 17. Bir geometrik dizii a7 a3 = 81 ise bu geometrik dizii ortak çarpaı kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 81 1. ( a )= 1, a dizisii limiti edir? 18. Bir geometrik dizide a 7 = 1, a 10 = 96 ise a 1 terim kaçtır? A) 384 B) 385 C) 396 D) 484 E) 586 A) 1 B) e C) 1 e D) 1 e E) e ( 1) k+1 3 13. k= 0 A) 1 ( ) k serisii limiti edir? 3 3 B) 1 3 3 1 C) 3 3 1 19 1 k 19. K= 0 3 A) 3 D) 30 1 30 319 toplamı eye eşittir? B) 30 1 1 319 E) 1 C) 30 1 319 1 D) 1 3 E) 3 1 0. k= 0 k! 1 (k +1)! =?

www.matematikclub.com A) 1 B) 1 C) 1 3 D) 1 4 E) 0 1. Đlk terim toplamı + 1 ola herhagi birdizii 40. terimi kaçtır? A) 78 B) 79 C) 80 D) 81 E) 8. Bir aritmetik dizide 8. terim ile 14 terim toplamı 3a dır. Bu dizii 11. terimi edir? A) 3a B) 3a C) a D) 3a 4 E) 6a 3. (θ ) dizisii limiti 0 ise. si 3θ θ dizisii limiti edir? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4.. ta 3 dizisii limiti kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 1 E) 1 3 5. Bir geometrik dizii 3. terimi 3 4 ; 7. terimi 3 64 ise bu dizii ilk terimi kaçtır? A) 3 B) 3 C) 3 4 D) 4 3 E) 1