10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

2012 10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni

1.ÜNİTE: POLİNOMLAR n doğal sayı ve katsayılar gerçek sayıyı göstermek üzere, P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +... + a 1 x + a 0 ifadesine n. dereceden gerçek katsayılı polinom (çok terimli) denir. a n x n, a n-1 x n-1, a n-2 x n-2,..., a 1 x, a 0 den her birine terim denir. a 0, a 1,..., a n, a n+1,... sayılarına polinomun kat sayıları, a 0 sayısına polinomun sabit terimi denir. Bir terimde x in üssüne o terimin derecesi, kat sayısı sıfırdan farklı olan en büyük dereceli terimin derecesine polinomun derecesi, bu terimin kat sayısına da polinomun baş kat sayısı denir. Bu polinomda: a n : Polinomun başkatsayısıdır. a 0 : Polinomun sabit terimidir. n: Polinomun derecesidir; der[p(x)] = n biçiminde gösterilir. Bir P(x) polinomunda, 1. Sabit terim P(0) 2. Katsayılar toplamı P(1) 3. Çift dereceli katsayılar toplamı 4. Tek dereceli katsayılar toplamı dir. SABİT POLİNOM VE SIFIR POLİNOMU Sabit terimi dışında bütün katsayıları 0 olan polinoma sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 dır. Sabit polinomda değişken bulunmaz. Sabit terimi dahil, bütün katsayıları 0 olan polinoma sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi yoktur. İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ P(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n ve Q(x)=b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +... +b m 1 x m 1 +b m x m polinomları için, P(x) = Q(x) m = n ve a 0 = b 0, a 1 = b 1,..., a n = b m olmalıdır. Bir polinomda, değişkenlerin yerine 0 yazılıp hesaplanarak sabit terimi bulunur. Bir polinomda, değişkenlerin yerine 1 yazılıp hesaplanarak katsayılar toplamı bulunur. POLİNOM KÜMESİNDE İŞLEMLER Polinomlarda toplama işlemi yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır, aynı dereceli terime katsayı olarak yazılır. Polinomlarda çıkarma işlemi yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayılarının farkı alınır, aynı dereceli terime katsayı olarak yazılır. Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının ve farkının derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir. der[p(x) ] = m, der[q(x)] = n olmak üzere, der[ P(x) ± Q(x) ] = m, (m>n ise) POLİNOMLARIN TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE ÖZELLİKLERİ 1. Kapalılık Özelliği P(x) ve Q(x) birer polinom iken P(x)+Q(x)=(a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x...+(a n +b n )x n +... iki polinomun toplamı da polinom olduğu için polinomlar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. 2. Değişme Özelliği P(x)+Q(x)=(a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+...+(a n +b n )x n +... Q(x)+P(x)=(b 0 +a 0 )+(b 1 +a 1 )x+...+(b n +a n )x n +... eşitliklerinden, P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) olduğu görülür. Bu durumda polinomlar kümesinin toplama işlemine göre değişme özelliği vardır. 3. Birleşme Özelliği [P(x)+Q(x)]+R(x)=[(a 0 +b 0 )+c 0 ]+[(a 1 +b 1 )+c] x+...+[(a n +b n )+c n ]x n +... P(x)+[Q(x)+R(x)]=[a 0 +(b 0 +c 0 )]+[a 1 +(b 1 +c 1 ) ]x+...+[ a n +(b n +c n )]x n +... eşitliklerinden [P(x)+Q(x)]+R(x)=P(x)+[Q(x)+R(x)] olduğu görülür. Bu durumda polinomlar kümesinin toplama işlemine göre birleşme özelliği vardır. 4. Birim Eleman P(x)+T(x) = (a 0 +a 1 x +...+a n x n +...) +0=a 0 +a 1 x +...+a n x n +...= P(x) 1

T(x)+P(x)=P(x)+T(x)= P(x) olduğundan T(x) =0 polinomu toplama işleminin birim elemanıdır. 5. Ters Eleman P(x)+[ P(x)]=(a 0 +a 1 x +... +a n x n +... )+( a 0 a 1 x... a n x n...) =(a 0 a 0 ) + ( a 1 a 1 )x +... + (a n a n ) x n = 0 P(x) + [ P(x)] = [ P(x)] + P(x) = 0 olduğundan P(x) polinomu, P(x) polinomunun toplama işlemine göre tersidir. POLİNOMLARDA ÇARPMA İŞLEMİ P(x). Q(x) polinomu, P(x) polinomunun her terimi Q(x) polinomunun her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak elde edilen terimlerin toplamıdır. İki polinomun çarpımının derecesi bu iki polinomun dereceleri toplamına eşittir. der[p(x) ] = m, der[q(x)] = n olmak üzere, der[p(x).q(x)] = m + n POLİNOMLARIN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE ÖZELLİKLERİ 1. Kapalılık Özelliği : P(x) ve Q(x) birer polinom iken, P(x).Q(x) çarpımı da bir polinom olduğundan polinomlar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. 2. Değişme Özelliği Q(x). R(x) = R(x). Q(x) olduğundan polinomlar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır. 3. Birleşme Özelliği [ P(x). Q(x) ]. R(x) = P (x). [ Q(x). R(x) ] olduğundan polinomlar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. 4. Dağılma Özelliği P(x). [ R(x) + H(x) ] = P(x). R(x) + P(x). H(x) P(x). [ R(x) H(x) ] = P(x). R(x) P(x). H(x) olduğundan polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. 5. Etkisiz Eleman P(x). H(x) = P(x) işlemlerinden görüldüğü üzere, 2 H(x) = 1 polinomu, polinomlar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. 6. Yutan Eleman P(x). T(x) = ( x + 3 ). 0 = 0 Q(x). T(x) = ( x2 + x ). 0 = 0 olduğundan T(x) = 0 polinomu, polinomlar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanıdır. POLİNOMLARDA BÖLME İŞLEMİ P(x) polinomunu sıfır polinomdan farklı bir Q(x) polinomuna böldüğümüzde bölüm polinomu B(x), kalan polinomu da K(x) iken, P(x)=A(x).B(x)+K(x) ve der[k(x)]<der[a(x)] dir. P(x) polinomuna bölünen, Q(x) polinomuna bölen, B(x) polinomuna bölüm, K(x) polinomuna kalan denir. Eğer K(x) = 0 ise P(x) polinomu, Q(x) polinomuna tam bölünüyor denir. (Kalansız bölme) Polinomlarda bölme işleminin yapılabilmesi için bölünenin derecesi bölenden küçük olmamalıdır. İki polinomun bölümünün derecesi paydaki polinomun derecesinden paydadaki polinomun derecesinin farkıdır. bu iki polinomun dereceleri toplamına eşittir. BÖLMENİN YAPILIŞI Bölme işlemi yapılırken aşağıdaki sıranın izlenmesi uygundur. 1. Bölünen ile bölen, x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır. 2. Bölünenin soldan ilk terimi (en büyük üslü terim), bölenin soldan ilk terimine bölünür. 3. Elde edilen bölüm, bölenin bütün terimleri ile çarpılarak aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünenin altına yazılır. 4. Bu çarpım bölünenden çıkarılır. 5. Geri kalan, terimler farkın yanına yazılır. 6. Bulunan polinom için yukarıdaki işlemler sıra ile uygulanır. 7. Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük olana kadar işleme devam edilir.

Polinomların Derecesi İle İlgili Özellikler der[p(x) ] = m, der[q(x)] = n olmak üzere, 1. der[ P(x) ± Q(x) ] = m, (m>n ise) 2. der[p(x).q(x)] = m + n 3. [ ]= m n, (m > n) 4. der[p(x a )] = m.a, (a N) 5. der[p(a.x)] = m, (a R) 6. der[p(q(x))] = m.n olur. P(x) POLİNOMUNUN Q(x) POLİNOMUNA BÖLÜMÜNDEN KALANI BULMA 1. P(x) POLİNOMUNUN ax + b İLE BÖLÜMÜNDEN KALANI BULMA P(x) polinomunun ax + b polinomu ile bölümünden kalanı bulmak için, P(x) = (ax + b) B(x) + K eşitliği yazılır. Bu eşitlikte ax + b = 0 ise değeri için, değeri elde edilir. Burada, bölen polinom birinci dereceden bir polinom olduğundan kalan polinomun sabit polinomdur. 2. P(x) POLİNOMUNUN x n a İLE BÖLÜMÜNDEN KALANI BULMA P(x) polinomunun (x n a) ile bölümünden kalanı bulmak için, P(x) = (x n a). B(x) + K (x) eşitliğinde x n a = 0 için x n = a değeri yerine yazılarak K(x) kalan polinomu bulunur. 3. BİR P(x) POLİNOMUNUN (x a), (x b) VE (x a).(x b) İLE AYRI AYRI BÖLÜMÜNDEN KALANLAR ARASINDAKİ İLİŞKİ Bir P(x) polinomunun (x a) ve (x b) ile bölümünden kalanlar sırasıyla P(a) ve P(b) olmak üzere, P(x) polinomunun (x a). (x b) ile bölümünden kalan en fazla birinci dereceden K(x) = mx + n polinomu olur. P(x) = (x a). (x b) B(x) + mx + n eşitliğinde kalan polinomun katsayıları, P(a) = m. a + n, P(b) = m. b + n eşitliklerinden m ve n bulunarak K(x) = mx + n polinomu elde edilir. ÇARPANLARA AYIRMA En az birinci dereceden iki polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinom denir. Başkatsayısı 1 olan ve indirgenemeyen polinomlara da asal polinomlar denir. ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ 1. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA YÖNTEMİ Bir polinom ortak çarpan parantezine alınırken öncelikle her bir terimin ortak çarpanı bulunur. Bu ortak çarpan ile terimlerin diğer çarpanlarının toplamı çarpım olarak yazılır. 2. GRUPLANDIRARAK ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA YÖNTEMİ En az 4 terimi verilen bir polinomu gruplandırarak çarpanlara ayırmak için, bu polinomun terimleri iki veya daha fazla terimden oluşan gruplara ayrılır. Daha sonra her bir grup ortak çarpan parantezine alınır. Buna gruplandırarak ortak çarpan parantezine alma yöntemi denir. 3. x 2 +bx+c ve ax 2 +bx+c BİÇİMİNDEKİ POLİNOMLARIN ÇARPANLARINA AYRILMASI a=1, b=m+n ve c=m.n ise, mx + nx = x(m+n) olduğundan x 2 + bx + c = (x+m).(x+n) biçiminde çarpanlarına ayrılır. a 1 iken a = m. n, c = p. q ve b = m. q + n. p mqx + npx = x(mq+np) olduğundan, ax 2 + bx + c = (mx+p).(nx+q) biçiminde çarpanlarına ayrılır. 3

4. ÖZDEŞLİKLERDEN YARARLANARAK ÇARPANLARA AYIRMA Çarpanlara ayırmada sık kullanılan özdeşliklerden bazıları aşağıdaki gibidir: Tam kare özdeşlikleri, (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, (a+b+c) 2 = a 2 + b 2 +c 2 + 2(ab+ac+bc) dir. İki kare farkı özdeşliği, a 2 b 2 = (a b) (a+b) dir. (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 tür. İki terimin küplerinin toplamı: a 3 + b 3 = (a+b) (a 2 ab+b 2 ), iki terimin küplerinin farkı: a 3 b 3 = (a b) (a 2 +ab+b 2 ) dir. 5. TERİM EKLEYEREK VEYA ÇIKARARAK ÇARPANLARA AYIRMA ÖRNEK: x 3 + 3x 2 + 3x 7 ifadesini çarpanlarına ayıralım. ÇÖZÜM: (x+1) 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 olduğunu hatırlayarak x 3 + 3x 2 + 3x 7 ifadesine 1 ekleyip 1 çıkaralım. x 3 + 3x 2 + 3x +1 7 1 = (x+1) 3 8 = (x+1) 3 23 = (x+1 2) ((x+1) 2 +2(x+1)+4) = (x 1) (x 2 +4x+7) olur. 6. x n y n ve x n + y n (n N ve n 2) BİÇİMİNDEKİ POLİNOMLARIN ÇARPANLARINA AYRILMASI n doğal sayı olmak üzere, x n y n = (x y).(x n 1 + x n 2 y + x n 3 y 2 +...+y n 1 ) dir. n tek doğal sayı olmak üzere, x n + y n = (x + y).(x n 1 x n 2 y + x n 3y 2...+y n 1 ) dir. 7. DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİYLE ÇARPANLARA AYIRMA Bir harfli ifadede bulunan benzer terimler, yeni bir harfle gösterilerek ifade daha sade hâle getirilip çarpanlarına ayrılabilir. Bu yönteme değişken değiştirme yöntemi denir. İKİ YA DA DAHA ÇOK POLİNOMUN ORTAK BÖLENLERİNİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB) VE ORTAK KATLARININ EN KÜÇÜĞÜ (OKEK) Sıfırdan farklı en az iki polinom verilsin. 1. Bu polinomların hepsine tam bölünebilen en küçük dereceli polinoma, bu polinomların ortak katlarının en küçüğü (okek'i) denir. 2. Bu polinomların hepsini tam bölen ve büyük dereceli polinoma, bu polinomların ortak bölenlerinin en büyüğü (obeb'i) denir. 3. Bu polinomların sabit polinom dışında ortak bölenleri yoksa, bu polinomlara, aralarında asal polinomlar denir. Polinomlarda obeb-okek bulunurken, polinomlar önce asal çarpanlarına ayrılır. OBEB'i bulmak için yalnız ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır. OKEK'İ bulurken ortak asal çarpanların en büyük üslüleri ile ortak olmayanlar çarpılır. RASYONEL İFADELER VE DENKLEMLER Paydası sıfır polinomundan farklı, pay ve paydası polinom olan kesirli ifadelere rasyonel ifadeler denir. RASYONEL İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ rasyonel ifadesinde pay ve paydanın P(x) ve Q(x) in OBEB ine bölünmesine sadeleştirme denir. Rasyonel ifadelerde dört işlem yapmak için rasyonel sayılarla yapılan işlemlerden faydalanabilirsiniz. Rasyonel ifadelerde toplama ve çıkarma yapılırken, varsa önce sadeleştirme yapılır, sonra Paydaların OKEK'i bulunarak paydaları eşitlenir ve işleme devam edilir. RASYONEL DENKLEMLER P(x) derecesi sıfırdan farklı polinom olmak üzere P(x) = 0 şeklindeki denkleme polinom denklem denir. rasyonel denklemlerinin çözümü P(x) = 0 ve Q(x) 0 koşullarına bağlıdır. Paydayı sıfır yapan değerler çözüm kümesinin elemanı olamazlar. 4

RASYONEL İFADENİN BASİT RASYONEL İFADELERİN TOPLAMI OLARAK YAZILMASI Paydası indirgenemeyen ve farklı çarpan bulundurmayan, payının derecesi paydanın derecesinden küçük olan rasyonel ifadelere basit kesir denir. Paydasının derecesi, payının derecesinden büyük ve paydası çarpanlarına ayrılabilen her rasyonel ifade, basit rasyonel ifadelerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bir rasyonel ifade, paydasının çarpan sayısı kadar, basit rasyonel ifadenin toplamı biçiminde yazılır. A. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük ise; 1. Paydanın çarpanları (ax + b) gibi birinci dereceden polinomlardan oluşuyorsa, UYARI: biçiminde yazılır. biçimine dönüştürülebilen ifadelerin A ve B sabitlerini bulmada aşağıdaki yol izlenir. A yı bulalım: i. A nın paydasındaki x a nın kökü bulunur. x a=0 x=a ii. iii. ifadesinden x a atılır. ifadesinde x yerine a yazılır. dir. B yi bulalım: i. B nin paydasındaki x b nin kökü bulunur. x b=0 x=b ii. iii. ifadesinden x b atılır. ifadesinde x yerine a yazılır. dir. anlatımı ve yazılımı zor gibi görülebilecek bu yol, esasında polinomların eşitliği kullanılarak bulunmuştur. 2. Paydanın çarpanlar arasında (ax + b) n biçiminde bir çarpan varsa, biçiminde yazılır. 3. Paydanın çarpanlar arasında, çarpanlara ayrılamayan (ax 2 + bx + c) gibi üç terimli varsa, toplamı oluşturan ifadelerin arasında, basit rasyonel ifadesi bulunur. B. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise, P(x), Q(x) 'e bölünerek B(x) bölümü ve K(x) kalanı bulunur. Böylece sonra eşitliği yazılır. Daha rasyonel ifadesi, basit rasyonel ifadelerin toplamı biçiminde yazılır. 2.ÜNİTE: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ VE ÇÖZÜM KÜMESİ a, b, c R ve a 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki açık önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi doğrulayan (eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri ve köklerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. Denklemin kökü yoksa çözüm kümesi Ø dir. a, b, c reel sayılarına ise denklemin kat sayıları denir. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ 1) Çarpanlarına Ayırarak Denklem Çözme f(x).g(x) = 0 f(x) = 0 g(x) = 0 dır. a=1, b=m+n ve c=m.n ise, mx + nx = x(m+n) olduğundan x 2 + bx + c = (x+m)(x+n) biçiminde çarpanlarına ayrılır. (x+m).(x+n) = 0 { olduğundan çözüm kümesi { m, n} olur. 5

a 1 iken a=m.n, c=p.q ve b= m.q+n.p mqx + npx = x(mq+np) olduğundan, ax 2 + bx + c = (mx+p).(nx+q) biçiminde çarpanlarına ayrılır. (mx+p).(nx+q) = 0 { olduğundan çözüm kümesi { } olur. 2) Diskriminantı ( Δ yı) Bularak Denklem Çözme İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem ax 2 + bx + c = 0 olsun. Δ = b 2 4ac olmak üzere, denklemin kökleri dır. i) Δ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. Çözüm kümesi, Ø dir. ii) Δ = 0 ise denklemin eşit (çakışık) iki kökü vardır. Bu durumda denklem bir tam karedir. Çözüm kümesi bir elemanlıdır. iii) Δ > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır. Çözüm kümesi iki elemanlıdır. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax 2 +bx+c = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. Denklemin kökleri ile a, b, c katsayıları arasında, 1) x 1 + x 2 = 2) x 1.x 2 = 3) x 1 x 2 = 4) x 1 2 + x 2 2 = 5) x 1 3 + x 2 3 = bağıntıları vardır. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİ KURMA Çözüm kümesi {x 1,x 2 } olan ikinci dereceden denklem modeli, x 2 (x 1 +x 2 ).x + x 1.x 2 = 0 biçimindedir. x 1 + x 2 = T ve x 1.x 2 = Ç yazılırsa x 2 T.x + Ç = 0 bulunur. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ BİR DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMELERİNİN BULUNMASI 1) Polinomların Çarpımı veya Bölümü Biçiminde Verilen Denklemler. P(x).Q(x) = 0 P(x) = 0 Q(x) = 0 P(x) = 0 Q(x) 0 Örnek: x 3 + 2x 2 3x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: x 3 + 2x 2 3x = 0 x.(x 2 + 2x 3) = 0 x 1 = 0 x 2 + 2x 3 = 0 x 1 = 0 (x + 3)(x 1) = 0 x 1 = 0 x 2 = 3 x 3 = 1 olur. O halde, Ç = { 3, 0, 1} dir. Örnek: denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: x 2 5x + 6 = 0 ve x 2 4 0 dır. x 2 5x + 6 = 0 (x 3)(x 2) = 0 x = 3 x = 2 dir. Bu değerlerden x = 2 paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesine alınamaz. O halde Ç = {3} tür. 2) Değişken Değiştirilerek Çözülebilen Denklemler İkinci dereceden daha büyük dereceli olan bazı denklemlerin çözüm kümesini bulmak için yardımcı değişken kullanılarak, ikinci dereceye dönüştürüp çözeriz. Örnek: x 4 5x 2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm Verilen denklemde x 2 = t alınırsa, x 4 5x 2 + 4 = 0 (x 2 ) 2 5x 2 + 4 = 0 t 2 5t + 4 = 0 (t 4).(t 1) = 0 t 1 = 4 t 2 = 1 dir. t 1 = 4 x 2 = 4 x = ±2 t 2 = 1 x 2 = 1 x = ±1 bulunur. O halde, Ç = { 2, 1, 1, 2} dir. 6

3) Köklü Denklemler Kök içinde bilinmeyen bulunan denklemlere köklü denklemler denir. Bu tür denklemler, = g(x) biçimine getirilir ve eşitliğin her iki yanının n. kuvveti alınarak kökten kurtarılır. Elde edilen yeni denklem çözülerek kökler bulunur. Fakat kökün derecesi çift ise bulunan köklerin verilen ilk denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Sağlamayan kökler çözüm kümesine alınmaz. 4) Mutlak Değerli Denklemler x R için x 0 ve { dır. Tanımı kullanılarak mutlak değerler kaldırılır. f(x) = g(x) denkleminde bulunan kökler sadece kök adayıdır. Köklerin verilen ilk denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. 5) Üslü Denklemler Üslü denklemleri çözerken aşağıdaki kurallara uyulur. a) a R { 1, 0, 1}, için a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) dir. b) a f(x) = 1 denkleminde, i) f(x) = 0 dır. (a 0 ise) ii) f(x) = 1 dir. (n R ise) iii) f(x) = 1 dir. (n çift ise) c) n Z + için, f(x) n = g(x) n { x 1 + x 2 + x 3 = x 1.x 2.x 3 = x 1.x 2 + x 1.x 3 + x 2.x 3 = EŞİTSİZLİKLER a, b, c R ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 biçiminde ifade edilen eşitsizliklerin her birine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki yol izlenir. 1) Eşitsizlik çözümlerinde içler dışlar çarpımı veya sadeleştirme yapılamaz. 2) A(x), B(x), C(x) polinomlarının ayrı ayrı kökleri bulunur ve bulunan kökler eşitsizlik tablosunda küçükten büyüğe doğru sıralanır. 3) En büyük dereceli terimlerin işaretleri çarpımı olan eşitsizlik işareti bulunur. 4) Eşitsizlik tablosunda en büyük kökün sağına eşitsizliğin işareti yazılır. 5) Her bir kökte işaret değiştirilerek sola doğru gelinir. 6) Çift katlı köklerde işaret değiştirilmez. 7) Paydanın kökleri hiçbir zaman çözüm kümesine alınmaz. BİRİNCİ VEYA İKİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Birden fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme, eşitsizlik sistemi denir. Eşitsizlik sistemindeki her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı bulunur. Bulunan aralıkların kesişim kümesi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. İKİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ a, b, c, d, e, f R ve a, b, c sayılarından en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere, ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi sağlayan (x, y) reel sayı ikililerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir. Üçüncü Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a, b, c, d R ve a 0 olmak üzere, ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x 1, x 2, x 3 olsun. 7

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ BİR DENKLEMİN KÖKLERİNİN VARLIĞI VE İŞARETİNİN İNCELENMESİ ax 2 +bx+c = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 olsun. Δ = b 2 4ac olmak üzere, bu denklemin çözüm kümesini bulmadan, köklerinin işareti ile ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz. Δ < 0 Δ = 0 Eşit iki kök vardır. Δ > 0 Farklı iki kök vardır. Denklemin reel kökü yoktur. x 1 +x 2 > 0 0 < x 1 = x 2 Eşit iki pozitif kök vardır. x 1 +x 2 = 0 x 1 = x 2 = 0 Kökler sıfırdır. x 1 +x 2 < 0 x 1 = x 2 < 0 Eşit iki negatif kök vardır. x x 1.x 2 > 0 1 +x 2 > 0 0 < x 1 < x 2 Pozitif iki kök vardır. Kökler aynı x işaretlidir. 1 +x 2 < 0 x 1 < x 2 < 0 Negatif iki kök vardır. x 1.x 2 = 0 Köklerden biri sıfırdır. x 1.x 2 < 0 Kökler zıt işaretlidir. x 1 +x 2 > 0 0 = x 1 < x 2 Küçük kök sıfırdır. x 1 +x 2 < 0 x 1 < x 2 = 0 Büyük kök sıfırdır. x 1 +x 2 > 0 x 1 < 0 < x 2 ve x 1 < x 2 x 1 +x 2 = 0 x 1 < 0 < x 2 ve x 1 = x 2 y = f(x) = ax 2 + bx + c Fonksiyonunun Grafiği f: R R, f(x) = ax 2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini (parabol) çizebilmek için aşağıdaki işlemler yapılmalıdır. 1) Parabolün kollarının yönü tespit edilir. a > 0 ise kolları yukarı doğrudur. a < 0 ise kolları aşağı doğrudur. 2) Parabolün tepe noktası bulunur. y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktası T(r, k) olmak üzere, k = f(r) = dır. 3) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur. a) x = 0 f(0) = c olup parabol y eksenini (0, c) noktasında keser. ve Δ > 0, a > 0 Δ > 0, a < 0 b) y = 0 ax 2 + bx + c = 0 olur. Burada, i. Δ < 0 ise parabol x eksenini kesmez. x 1 +x 2 < 0 x 1 < 0 < x 2 ve x 1 > x 2 İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR a, b, c R ve a 0 olmak üzere f: R R, f(x) = ax 2 + bx + c biçiminde tanımlanan f fonksiyonlarına ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlar denir. Bu fonksiyonların grafiklerine ise parabol adı verilir. Parabolün en büyük ya da en küçük değerini aldığı noktaya parabolün tepe noktası denir ve T(r, k) ile gösterilir. f(x) = ax 2 + bx + c parabolünün simetri ekseninin denklemi x=r dir. a > 0 a < 0 ii. Δ = 0 ise parabol x eksenine teğettir. a > 0 a < 0 iii. Δ > 0 ise parabol x eksenini farklı iki noktada keser. 8

a > 0 a < 0 a < 0 için f(x) in alacağı en büyük değeri de k dır. Bulunan bu noktalar birleştirilirse parabol çizilmiş olur. y = f(x) = ax 2 Fonksiyonunun Grafiği a > 0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup, tepe noktası orjindir. UYARI: a, b, c R ve a 0 olmak üzere f: R R, f(x) = ax 2 + bx + c fonksiyonu x R için i) Daima pozitif ise (f(x)>0) Δ<0 ve a>0 a < 0 ise parabolün kolları aşağıya doğru olup, tepe noktası orjindir. ii) Daima negatif ise (f(x)<0) Δ<0 ve a<0 y = ax 2 + c Fonksiyonunu Grafiği y = ax 2 fonksiyonunun grafiğini y ekseni üzerinde c kadar kaydırırsak y = ax 2 + c fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. O halde, y = ax 2 + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(0, c) dir. olmalıdır. Grafiği Verilen Bir Parabolün Denklemini Bulma 1) Tepe noktası T(r,k) olan ve başka bir noktası bilinen parabolün denklemini yazmak için f(x) = a.(x r) 2 + k formülünden yararlanılır. UYARI: a, b, c R ve a 0 olmak üzere f: R R, f(x) = ax 2 + bx + c fonksiyonun tepe noktası T(r, k) olmak üzere; a > 0 için f(x) in alacağı en küçük değeri k dır. 2) x eksenini kestiği noktaları A(x 1,0) ve B(x 2,0) olan, ayrıca başka bir noktası bilinen parabolün denklemini yazmak için f(x) = a.(x x 1 ).(x x 2 ) formülünden yararlanılır. 9

2) Δ = 0 ise, doğru, parabole teğettir. İkinci Dereceden Bir Denklemin Köklerinin k R Sayısı ile Karşılaştırılması. k R, f(x) = ax 2 + bx + c, Δ = b 2 4ac ve olmak üzere; 1) k sayısı kökler arasında (x 1 < k < x 2 ) ise a.f(k) < 0 olmalıdır. (Ayrıca Δ > 0 incelemeye gerek yoktur.) 3) Δ < 0 ise, doğru ile parabolün ortak noktası yoktur. Yani kesişmezler. a > 0, f(k) < 0 a < 0, f(k) >0 2) k sayısı her iki kökten küçük (k < x 1 < x 2 ) ise Δ > 0, a.f(k) > 0 ve k < r olmalıdır. 3) k sayısı her iki kökten büyük (x 1 < x 2 < k) ise Δ > 0, a.f(k) > 0 ve k > r olmalıdır. İKİ BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİK VE EŞİTSİZLİK SİSTEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN GRAFİK ÜZERİNDE GÖSTERİLMESİ Bir eşitsizliği sağlayan bütün noktaların koordinat düzleminde işaretlenmesiyle oluşan şekil, bu eşitsizliğin grafiğidir. y < mx + n ve y > mx + n eşitsizlikleri, y = mx + n doğrusunun düzlemde ayırdığı farklı iki yarı düzlemi gösterir. Eşitsizliklerin çözüm kümesini analitik düzlemde göstermek için önce y = mx + n doğrusu çizilir. Bu doğru üzerinde olmayan herhangi bir nokta seçilir. Seçilen bu nokta eşitsizliği sağlıyorsa noktanın bulunduğu yarı düzlem, sağlamıyorsa diğer yarı düzlem eşitsizliğin çözüm kümesi olarak taranır. y mx + n veya y ax + b eşitsizliklerin grafiği çizilirken y = ax + b doğrusu da çözüme dahil edilir. y > ax 2 + bx + c ve y < ax 2 + bx + c eşitsizliklerinin grafikleri çizilirken de y = ax2 + bx + c parabolü çizilerek yukarıdaki yöntem uygulanır. BİR PARABOL İLE BİR DOĞRUNUN DURUMU y = ax 2 + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrusunun denklemleri ortak çözülürse, ax 2 + bx + c = mx + n ax 2 + (b m)x + c n = 0 olur. Δ ortak çözüm denklemine ait olmak üzere; 1) Δ > 0 ise, doğru, parabolü farklı iki noktada keser. 10

3.ÜNİTE: TRİGONOMETRİ DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI tanx 0 1 tanımsız cotx tanımsız 1 0 Tavsiye: Trigonometrik değerleri ezberlerken aşağıdaki ifadelere dikkat etmekte fayda vardır. kosinüs değerinde kosinüs ko ile pay değeri olan komşu dik kenar uzunluğu da ko ile başlıyor. Kotanjantta da benzer ifade var. Ayrıca tanjant değeri kotanjantın pay ve paydasının yer değişmiş hali. 30 0, 45 0, 60 0 LİK AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI Yukarıdaki üçgenlerden yararlanılarak aşağıdaki tablo oluşturulur. TÜMLER AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI ARASINDAKİ İLİŞKİ Birbirini tümler iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir. Bu durum aşağıdaki gibi gösterilir. x + y = 90 ise sinx = cosy ve tanx = coty dir. BİR DAR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARINDAN BİRİ BELLİ İKEN DİĞER TRİGONOMETRİK ORANLARINI BULMA Bir dar açının trigonometrik oranı belli iken diğer trigonometrik oranları bulabilmek için dik üçgenden ve Pisagor teoreminden yararlanılır. Örnek: 0 < x< 90 0 olmak üzere ise cosx değerini bulalım. Çözüm: Önce yardımıyla ABC dik üçgenini çizelim. ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısı yardımıyla, AC 2 = AB 2 + BC 2 25 = 4+ BC 2 = BC Bu durumda bulunur. x 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 sinx 0 1 cosx 1 0 11

YÖNLÜ AÇILAR Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimi açı, açıyı oluşturan ışınların her biri de açının kenarlarıdır. Açıyı, kenarlarının yazılış sırasına göre iki değişik biçimde yönlendiririz. Derece AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ Yukarıdaki şekillerin birincisinde başlangıç kenarından bitim kenarına saat yönünün tersi yönde (pozitif yön), ikincisinde ise saat yönü ile aynı yönde (negatif yön) gidilmiştir. YÖNLÜ YAYLAR Bir çemberin 360 ta 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir. Derece ( ) simgesi ile gösterilir. 1 nın 60 ta biri 1 dakikadır. (1') 1' nın 60 ta biri 1 saniyedir. (1'') Radyan Şekilde O merkezli çember ile AOB açısının kesişimi AB yayıdır. AB yayının yönü olarak LOK açısının yönü alınırsa AB yayı pozitif yönlü bir yay olur. A noktası bu yayın başlangıç noktası, B noktası da bitim noktasıdır. BİRİM ÇEMBER Merkezi başlangıç noktası ve yarıçapının uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. K(x, y) birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere; OTK dik üçgeninde, OT 2 + KT 2 = OK 2 x 2 + y 2 = 1 olur. x 2 + y 2 = 1 bağıntısı birim çemberin denklemidir. Bir çemberde, yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsü 1 radyandır. 1 radyan yaklaşık olarak 57.3 dir. Bir çember yayının ölçüsü 2π radyandır. Açı Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüştürülmesi Bir çember yayının ölçüsü 360 derece veya 2π radyan olduğundan dir. BİR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ Birim çember üzerinde bitim kenarları aynı olan açılardan ölçüsü [0, 360) veya [0, 2π) aralığında olan açıya bu açının esas ölçüsü denir. Bir açının esas ölçüsü bulunurken aşağıdaki yollar izlenir. 1) Derece cinsinden verilen negatif yönlü açılarda, açının mutlak değeri 360 ye bölünür; kalan 360 den çıkarılarak esas ölçü bulunur. 2) Radyan cinsinden verilen açılarda açının içerisinden 2π nin katları atılır. Geriye kalan esas ölçüdür. 3) Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan değer 2π den çıkarılır. 4) nin esas ölçüsü aşağıdaki yolla da bulunabilir, a sayısı b nin 2 katma bölünür. 12

5) Kalan π nin kat sayısı olarak paya yazılır payda aynen yazılır. 6) a nin b nin 2 katma bölümünden kalan k ise nin esas ölçüsü dir. SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR SİNÜS VE KOSİNÜS FONKSİYONLARI x açısının değişen değerlerine göre birim çember üzerindeki bitim noktasının apsisi cos x, ordinatı sin x olarak ifade edilir. x gerçek sayısını cos x e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir. cos: R [ 1, 1], f(x) = cos x biçiminde gösterilir. x gerçek sayısını sin x e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir. sin: R [-1, 1], f(x) = sin x biçiminde gösterilir. Yani x R olmak üzere sinüs ve kosinüs fonksiyonları 1 cosx 1 ve 1 sinx 1 aralıklarında değerler alır. TANJANT VE KOTANJANT FONKSİYONLARI sec: R { } R, fonksiyonuna sekant fonksiyonu, cosec: R {kπ, k Z} R, fonksiyonuna kosekant fonksiyonu denir. NOT: Trigonometride bazı anlatımları daha kolay yapabilmek için kullanacağımız kolcu kavramını açıklayalım. sinüs ile kosinüs, tanjant ile kotanjant ve sekant ile kosekant birbirlerinin kolcularıdır. TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER Bir açının trigonometrik değeri, tümleyeninin kolcusunun trigonometrik değerine eşittir. sinα = cos(90 α) tanα = cot(90 α) secα = cosec(90 α) TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN BİRİM ÇEMBERİN BÖLGELERİNDEKİ İŞARETLERİ x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni olduğundan, birim çemberin herhangi bir bölgesinde bulunan bir açının kosinüsü ile sinüsünün işareti o bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işareti ile aynıdır. Tanjant ve kotanjantın işaretleri de o bölgedeki sinüs ve kosinüsün işaretlerinin oranından bulunur. Birim çembere A (1, 0) noktasında teğet olan doğruya tanjant ekseni denir. tan: R { } R eşleyen fonksiyona tanjant fonksiyonu denir. Birim çembere B(0,1) noktasında teğet olan doğruya kotanjant ekseni denir. cot: R { kπ, k Z } R eşleyen fonksiyonuna kotanjant fonksiyonu denir. 13

Geniş Açıların Trigonometrik Oranlarını Bulmak II. Bölge Biçem1: (180 α) Biçem2: (90 + α) 90 0 I. Bölge Biçem1: (α) Biçem2: (90 α) BİR AÇININ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR ALTINDAKİ GÖRÜNTÜSÜNÜ TRİGONOMETRİK DEĞER TABLOSUNDA BULMA TRİGONOMETRİK DEĞERLER TABLOSU 180 0 III. Bölge IV. Bölge 0 0 360 0 Biçem1: (180 + α) Biçem2: (270 α) Biçem1: (360 α) Biçem2: (270 + α) 270 0 Geniş açıların trigonometrik değerleri bulunurken yukarıdaki tablodan yararlanarak aşağıdaki adımlar izlenir. 1) Trigonometrik değeri istenen açının hangi bölgede olduğu bulunur. 2) Bulunan bölgede istenen trigonometrik fonksiyonun işareti bulunur. 3) Açı bulunduğu bölgedeki biçeme göre yazılarak α açısı bulunur. 4) Biçem1 de trigonometrik fonksiyon değişmez. Biçem2 de trigonometrik fonksiyon kolcusu ile değiştirilir. 5) İşareti yazılıp trigonometrik oran bulunur. Trigonometrik cetvelde ölçüleri tam sayı olarak verilen 0 den 90 ye kadar olan açıların derece cinsinden trigonometrik oranlarını gösteren tablo verilmiştir. Trigonometrik cetveli incelediğinizde aynı satırdaki iki açının ölçüleri toplamı 90 dir. Trigonometrik fonksiyonlar ilk ve son satırda iki kez yazılmıştır. Ölçüleri 0 den 45 ye kadar olan açılar için üst satırdaki trigonometrik fonksiyonlar; ölçüleri 45 den 90 ye kadar olan açılar için de en son satırdaki trigonometrik fonksiyonlar alınmıştır. Böylece 0 den 45 ye kadar olan açıların trigonometrik oranları üstten aşağıya; 45 den 90 ye kadar olan açıların trigonometrik oranları aşağıdan yukarıya doğru kullanılır. 14

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYOTLARI f: A R fonksiyonunda, x A için f(x + T) = f(x) olacak şekilde sıfırdan farklı bir T gerçek sayısı varsa f ye periyodik fonksiyon, T nin en küçük pozitif değerine ise bu fonksiyonun periyodu denir. a, b R ve m N + olmak üzere, 1) f(x) = sin m (ax + b) ve g(x) = cos m (ax + b) fonksiyonlarının periyodu, Sinüs Fonksiyonunun Grafiği Sinüs fonksiyonunun grafiği {(x, sinx) : x R} kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar kümesidir. f(x) = sinx fonksiyonunun periyodu 2π olduğundan grafiğini [0, 2π) aralığında çizip 2π periyotlarla tekrarlarız. { 2) f(x) = tan m (ax + b) ve g(x) = cot m (ax + b) fonksiyonlarının periyodu, dır. f(x) ve g(x) periyodik fonksiyonlar olmak üzere, f(x) ± g(x) fonksiyonu eğer periyodik ise esas periyodu f(x) ve g(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının e.k.o.k. una eşittir. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği Kosinüs fonksiyonunun grafiği {(x, cosx) : x R} kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar kümesidir. f(x) = cosx fonksiyonunun esas periyodu 2π olduğundan [0, 2π) aralığında çizilecek grafik 2π periyotlarla tekrarlanır. Tanjant Fonksiyonunun Grafiği Tanjant fonksiyonunun grafiği {(x, tanx) : x R, k Z} kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar kümesidir. f(x) = tanx fonksiyonunun esas periyodu π olduğundan, grafiği [0, π] aralığında çizilip, π periyotlarla tekrarlanır. Tablodaki bilgileri analitik düzlemde aşağıdaki gibi ifade ederiz. 15

Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği Kotanjant fonksiyonun grafiği {(x, cotx) : x R, x kπ, k Z} kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar kümesidir. f(x) = cotx fonksiyonunun esas periyodu π olduğundan grafiği (0, π) aralığında çizilip π periyotlarla tekrarlanır. Arccos (Arkkosinüs) Fonksiyonu Kosinüs fonksiyonu [0, π] aralığında bire bir ve örtendir. Dolayısıyla bu aralıkta f(x) = cosx fonksiyonunun tersi yine bir fonksiyondur. f: [ 0, π] [ 1, 1], f(x) = cosx olmak üzere, f 1 : [ 1, 1] [0, π], f 1 (x) = arccosx y = arccosx x = cosy TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için, bu fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir. Trigonometrik fonksiyonlar R den R ye bire bir ve örten olmadıklarından R den R ye trigonometrik fonksiyonların tersleri fonksiyon olmaz. Bu nedenle bu fonksiyonların bire bir ve örten olduğu reel sayı aralıkları seçerek bu aralıklarda ters fonksiyonlarını tanımlayacağız. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tersleri arcsin, arccos, arctan, arccot biçiminde yazılır. Arcsin (Arksinüs) Fonksiyonu Sinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu aralıklardan biri olan [ ] aralığını seçersek Arctan (Arktanjant) Fonksiyonu f: R, f(x) = tanx fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan, f 1 : R, f 1 (x) = arctanx tir. y = arctanx x = tany f: [ ] [ 1, 1], f(x) = sinx fonksiyonu bire bir ve örten olur. Bu fonksiyonun ters fonksiyonu sin 1 x veya arcsinx biçiminde gösterilir. arcsin : [ 1, 1] [ ], f 1 (x) = arcsinx y = arcsinx x = siny 16

Arccot (Arkkotanjant) Fonksiyonu f: (0, π) R, f(x) = cotx fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan f 1 : R (0, π), f 1 (x) = arccotx dir. y = arccotx x = coty ÜÇGENİN ALANI ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR 1) Sinüs Alan Teoremi: Bir üçgende iki kenar uzunluğu ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısı üçgenin alanını verir. 2) Kenar uzunlukları a, b, c olan bir ABC üçgeninde olmak üzere dir. 3) Kenar uzunlukları a, b, c olan bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ise dir. Kosinüs teoremi: Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarlara ait açılar A, B, C olmak üzere a 2 = b 2 + c 2 2bc.cosA b 2 = a 2 + c 2 2ac.cosB c 2 = a 2 + b 2 2ab.cosC dir. TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ Kosinüs teoremi yardımıyla İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açısı verilen üçgenin üçüncü kenar uzunluğunu Üç kenar uzunluğu bilinen üçgenin açılarının ölçülerini bulabiliriz. Sinüs Teoremi: Herhangi bir ABC üçgeninde, çevrel çemberin yarıçapı R olmak üzere dir. İKİ YAYIN TOPLAM VE FARKLARININ TRİGONOMETRİK ORANLARI 1) sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b 2) sin(a b) = sin a.cos b cos a.sin b 3) cos(a + b) = cos a.cos b sin a.sin b 4) cos(a b) = cos a.cos b + sin a.sin b 5) 6) 7) 8) YARIM AÇI FORMÜLLERİ 1) sin2x = 2sinx.cosx 2) cos2x = cos 2 x sin 2 x = 1 2sin 2 x = 2cos 2 x 1 3) 4) 17

DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ a, b R olmak üzere, 1) sin a + sin b 2) sin a sin b 3) cos a + cos b 4) cos a cos b UYARI: dir. TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ a, b R olmak üzere, 1) cosa.cosb =.[cos(a + b) + cos(a b)] 2) sina.cosb =.[sin(a + b) + sin(a b)] 3) sina.sinb =.[cos(a + b) cos(a b)] TRİGONOMETRİK DENKLEMLER sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx = a BİÇİMİNDEKİ TRİGONOMETRİK DENKLEMLER 1) sinx = sin α denkleminin çözüm kümesi, Ç = {x x 1 = α+360 0.k x 2 = 180 0 α+360 0.k, k Z} sin (f(x)) = sin (g(x)) denklemin çözüm kümesi ise Ç={x f(x) = g(x) + 360 0.k f(x) = 180 0 g(x) + 360 0.k, k Z} dir. 3) tanx = tan α ve cotx = cot α denklemlerinin çözüm kümesi, Ç = {x x = α +180 0.k, k Z} tan (f(x)) = tan (g(x)) ve cot (f(x)) = cot(g(x)) denklemlerinin çözüm kümesi ise, Ç = {x f(x) = g(x) + 180.k, k Z} dir. a.cos x + b.sin x = c BİÇİMİNDEKİ TRİGONOMETRİK DENKLEMLER a, b, c R olmak üzere, a.cosx + b.sinx = c biçimindeki denklemlere doğrusal denklem denir. Bu tür denklemler cos x +.sin x = şeklinde düzenlenip = tan α değeri yerine yazıldıktan sonra çözüm kümesi bulunur. UYARI: f(x) = a.sinx ± b.cosx ise f(x) in en küçük değeri: en büyük değeri: dir. TRİGONOMETRİK EŞİTSİZLİKLER sinx > a veya sinx < a Eşitsizliği 2) cosx = cos α denkleminin çözüm kümesi, Ç = {x x 1 = α + 360 0.k x 2 = α + 360 0.k, k Z} cos(f(x)) = cos(g(x)) denkleminin çözüm kümesi ise Ç = {x f(x) = g(x) + 360 0.k f(x) = g(x) + 360 0.k, k Z} dir. sinx > a eşitsizliğinde i) 1 a 1 Ç = (α, π α) ii) a > 1 Ç = Ø iii) a < 1 Ç = R 18

sinx < a eşitsizliğinde i) 1 a 1 Ç = [0, π) (π α, 2π) ii) a > 1 Ç = R iii) a < 1 Ç = Ø cosx > a veya cosx < a Eşitsizliği tanx < a eşitsizliğinin çözüm kümesi, veya Ç = [0, π) dir. cotx > a veya cotx < a Eşitsizliği cosx > a eşitsizliğinde, i) 1 a 1 Ç = ( α, α) veya Ç = [0, α) (2π α, 2π] ii) a > 1 Ç = Ø iii) a < 1 Ç = R cotx > a eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç = (0, α) (π, π + α) dır. cosx < a eşitsizliğinde, i) 1 a 1 Ç = (α, 2π α) ii) a > 1 Ç = R iii) a < 1 Ç = Ø cotx < a eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç = (α, π) (π + α, 2π) dir. tanx > a veya tanx < a Eşitsizliği tanx > a eşitsizliğinin çözüm kümesi, olur. 19