Matematik 8 Ders Notu

T.C. M LLÎ E T M BAKANLI I AÇIK Ö RET M OKULLARI (AÇIK Ö RET M L SES - MESLEK AÇIK Ö RET M L SES ) Matematik 8 Ders Notu Haz rlayan Ayhan ÖZDEM R ANKARA 4

Copyright MEB Her hakk sakl d r ve Millî E itim Bakanl na aittir. Tümü ya da bölümleri izin al nmadan hiçbir flekilde ço alt lamaz, bas lamaz ve da t lamaz. Resimleyen Grafik Tasar m Dizgi : Hatice DEM RER Ozan AKORAL Bülent DURSUN : Süleyman B LG N : Nazmi KEP R Havva ÖZKAN Münevver KARABACAK

SUNU E itim kavram yaflam boyu süren çok önemli bir etkinliktir. E itim süreci ilk ça lardan beri sürekli olarak geliflim göstermektedir. Teknolojinin geliflim göstermesiyle birlikte, yeni bilgi ve iletiflim teknolojileri e itim sürecinde h zla kullan lmaya bafllanm flt r. Günümüzde pek çok problemin çözümünde e itimin etkin bir flekilde kullan lmas gereklidir. Pek çok çaba ve çözümün içinde, biliflim teknolojisi geleneksel araçlar aras ndan s yr larak öne ç kmaktad r. Öne ç kan bu teknolojiyle birlikte geliflen ve önemini giderek art ran yöntemlerden birisi de yer, zaman ve yafl s n rlamas olmayan uzaktan e itimdir. Uzaktan e itim yolu ile e itim görmekte oldu unuz Aç kö retim Lisesi nde, Genel Müdürlük olarak sizlere sundu umuz hizmetlerden birisi de ders notu mahiyetindeki kitaplar m zd r. Uzaktan e itim ilkelerine uygun olarak haz rlanan bu ders materyali lise müfredat programlar na uygun olarak haz rlanmaktad r. Haz rlanan bu ders notlar m z, müfredat programlar nda meydana gelen de iflikliklere paralel olarak yenilenmekte ve güncellefltirilmektedir. Bu ders notundan yararlanacak olan ö rencilerimize baflar lar diliyor, ders notlar n n haz rlanmas nda eme i geçen tüm Genel Müdürlü ümüz çal flanlar na teflekkür ediyorum.

Ç NDEK LER ÜN TE I TÜREV Türev......................................................... Soldan türev, sa dan türev........................................4 Türev kurallar..................................................4 Ters fonksiyonun türevi..........................................9 Bileflke Fonksiyonun Türevi..................................... Kapal fonksiyonun türevi........................................ Ard fl k türevler................................................ Trigonometrik fonksiyonlar n türevi................................4 Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevi.............................5 Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar n Türevi...........................7 Türevin limit sorular nda uygulanmas.............................. Birinci dereceden al nan türevin geometrik yorumu................... Türevin fiziksel anlam.........................................5 Özel tan ml fonksiyonlar n türevi.................................5 Türevin uygulamalar...........................................8 kinci türevin geometrik anlam...................................6 Maksimum ve minimum problemleri...............................4 Fonksiyonlarda Asimptot Bulma..................................4 Grafik çizimleri...............................................47 Örnekler......................................................64 Özet.........................................................78 De erlendirme Testi...........................................79 De erlendirme testinin çözümleri..................................8

ÜN TE II NTEGRAL ntegral...........................................................87 ntegral alma yöntemleri..............................................9 Basit fonksiyonlar n integralleri ve örnekler.............................. Rasyonel ifadelerin integrali..........................................9 Trigonometrik de iflken de ifltirme kural................................ E ri alt nda kalan bölgenin alan......................................9 Belirli integral.....................................................8 ki e ri ile s n rlanan bölgenin alan....................................4 Örnekler..........................................................46 Dönel cisimlerin hacimlerinin bulunmas................................55 Özet.............................................................59 De erlendirme Testi...............................................6 De erlendirme testinin çözümleri ()...................................6 ÜN TE III MATR SLER Matrisler..........................................................69 ki matrisin eflitli i..................................................7 Toplama ifllemi.....................................................7 Matrislerde toplama iflleminin özelikleri.................................7 Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özelikleri...........................7 Matrislerde çarpma ifllemi............................................7 Çarpma ifllemine göre birim matris.....................................74 Kare matris........................................................74 Matrislerde çarpma iflleminin özelikleri.................................75

Kare matrisin kuvvetleri.............................................76 Bir matrisin çarpma ifllemine göre tersi..................................76 Matrislerde transpoz (Devrik) ifllemi....................................79 Matrislerde transpoz (Devrik) iflleminin özelikleri.........................79 Örnekler..........................................................8 Determinantlar.....................................................8 Sarrus kural......................................................85 Determinantlar n özelikleri...........................................86 Lineer Dönüflümler.................................................88 Örnekler..........................................................89 Özet.............................................................9 De erlendirme Testi...............................................9 De erlendirme Testinin Çözümleri ()..................................9 SÖZLÜK.........................................................95 flaretler..........................................................98 KAYNAKÇA.....................................................

ÜN TE I TÜREV Türev Soldan türev, sa dan türev Türev kurallar Ters fonksiyonun türevi Bileflke fonksiyonun türevi Parametrik fonksiyonlarda türev Kapal fonksiyonun türevi Ard fl k türevler Trigonometrik fonksiyonlar n türevi Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevi Loraritma ve üstel fonksiyonlar n türevi Türevin limit sorular na uygulan fl L Hospital kural. dereceden al nan türevin geometrik yorumu. (te etin e imi, normalin denklemi) Türevin fiziksel anlam (H z ivme) Özel tan ml fonksiyonlar n türevi Türevin uygulamalar kinci türevin geometrik anlam Maksimum ve minumum problemleri Fonksiyonlarda asimptot bulma Grafik çizimleri Örnekler

BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde); * Türevin tan m n ve gösteriliflini ö renecek, * Bir noktada türev almay ö renecek, * Sa dan ve soldan türevleri kavrayacak, * Türev kurallar n kavray p, örnek çözecek, * Ters ve kapal fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Bileflke fonksiyonun türevini almay ö renecek, * Parametrik fonksiyonlarda türev almay ö renecek * Ard fl k türev almay ö renecek, * Trigonometrik fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Logaritma ve üstel fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * L Hospital kural n kavray p limit problemlerinde belirsizli indeki durumlar için türevi kullanacak,, * Te etin e imini ve normalin denklemini türev yard m yla bulmay ö renecek, * H z ve ivme problemlerinde türevden yararlanmay ö renecek, * Özel tan ml fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Her türevlenebilen fonksiyon sürekli mi yoksa aksi de do ru mu sorular n n cevab n bulacak, * Ekstremum de erin ne oldu unu ö renecek, fonksiyonlar n ekstremum de erini bulacak, * Fonksiyonun yerel maksimum veyerel minimum noktalar bulmay ö renecek, * Rolle ve ortalama de er teoreminin türevde ne ifle yarad n ö renip, bu teoremler sayesinde ilgili sorular çözmeyi ö renecek, * kinci türevin geometrik anlam n kavrayacak, niçin ikinci türev gerekli sorusunun cevab n bulacak, * Maximum ve minimum problemleri için türevin gereklili ini anlayacak, * Fonksiyonlar n asimptotlar n bulmay ö renecek, * Çeflitli fonksiyonlar n grafik çizimlerini yapabileceksiniz. BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Türev konusundan önce, fonksiyon, limit ve süreklilik konular n iyi ö reniniz. * Tan mlar dikkatli okuyunuz. * Verilen formülleri ezberleyiniz. Ezberledi iniz formüllere yönelik örnekler çözünüz. * Çözülen örnekleri yazarak çal fl n z. Sonra kendiniz çözmeyi deneyiniz. * Çözemezseniz mutlaka hatan z bulunuz, tekrar çözmeye çal fl n z. * Bölüm sonundaki de erlendirme sorular n araflt rarak çözünüz.

ÜN TE I. TÜREV a, b R olmak üzere, f: a,b R fonksiyonunda; x (a,b) ve MATEMAT K 8 f(x) - f x lim xx x - x R ise bu limite, f fonksiyonunun x noktas ndaki türevi denir ve df dx x ya da f x ile gösterilir. f (x) - f x Öyleyse, f x = lim xx d r. Di er bir ifade ile, x - x h R - olmak üzere, x = x + h yaz l rsa lim xx f (x) - f x x - x = lim h fx + h - fx h f x = lim h fx + h - f (x ) h olur. oldu undan, Örnek: f: R R, f(x) = x fonksiyonunun x noktas ndaki türevini, türev tan m n kullanarak bulunuz. Çözüm f(x) =x f(x ) =x f (x ) = lim xx f(x) - f(x) x - x = x lim - x xx = lim x - x xx = lim (x + x ) = x xx olur. x - x x + x x - x Türevi dy dx, y, f (x ) gibi ifadelerden biriyle gösterece iz.

SOLDAN TÜREV, SA DAN TÜREV f : A R fonksiyonunda x A olmak üzere lim x x - f(x) - f(x ) x - x R limitine, f fonksiyonun x noktas ndaki soldan türevi denir ve bu türev f (x - ) ile gösterilir. lim x x + f(x) - f(x ) x - x R limitine, f fonksiyonun x noktas ndaki sa dan türevi denir ve bu türeve f (x + ) ile gösterilir. Bir fonksiyonun, x noktas nda türevli olabilmesi için, x noktas ndaki sa dan ve soldan türevleri eflit olmas gerekir. Örnek: f : RR, f(x) = x- fonksiyonun x = noktas ndaki sa dan ve soldan türevini, türev tan m n kullanarak bulunuz. Çözüm : f ( - ) = f ( + ) = lim x - lim x + f(x) - f( - ) x - - = f(x) - f( + ) x - + = lim x - lim x + x - - x - x - - x - = = -(x - ) x - = - (x - ) x - = f(x) fonksiyonunun x = noktas nda limiti yoktur. Limiti olmayan fonksiyonun türevi de olmayaca ndan x = noktas nda türevi yoktur. f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olsun. TÜREV KURALLARI. C R, f(x) = C ise f (x) = yani, sabitin türevi her zaman s f rd r. Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevlerini bulunuz. a) f(x) = b) f(x) = -5 c) f(x) = 4

Çözüm a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = MATEMAT K 8 ) f(x) = x n, n R olsun. f (x) = n. x n- olarak yaz l r. Örnek : a) f(x) =x b) f(x) = x c) f(x) = x Çözüm a) f(x) =. x - = x = x b) f(x) = x = x f(x) = x - = x- = x c) f(x) =. x- =x Çarp m n Türevi ) (f. g) = f. g + g f Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x. (x + ) b) f(x) = x. ( - x ) 5

Çözüm a) f (x) = (x) (x + ) + (x). (x + ) =. (x + ) + x. (x) =x + + 4x = 6x + b) f (x) = (x ). ( - x ) + (x ). ( - x ) = (x). ( - x ) + x ( -x ) =x - x 4 - x 4 = x - 5x 4 4) (f n ) = n. f n-. f Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = (x -) b) f(x) = (x - x) 5 Çözüm a) f (x) =. (x -) -. (x -) = (x -). () = 6 (x-) b) f (x) = 5. (x - x) 4. (x - x) = 5. (x - x) 4. (x - ) Bu tip sorularda ö renciler parantez içinin türevini almay unutuyorlar, dikkat ediniz. 5) (f + g) = f + g (f - g) = f - g Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x - 4x + 5 b) f(x) =x - x - x 6

Çözüm a) f (x) = 6x - 8x b) f(x) =x -. x - = x - x - MATEMAT K 8 Bölümün Türevi 6) f g = f. g - f. g g Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x - x + b) f(x) = x - x + (g) Çözüm a) f (x) = (x - ). (x + ) - (x - ). (x + ) (x + ) =. (x + ) - (x - ). () (x + ) = x + - x + (x + ) = (x + ) b) f(x) = (x - ) (x + ) - (x - ). (x + ) (x + ) = x (x + ) - (x - ) () (x + ) = 4x + 6x - x + (x + ) = x + 6x + (x + ) 7) n f f = n n. f n- (Formül a) ( f = f f (Formül b) Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = (x - ) 7

Çözüm : a) I. yol a) f(x) = x = x = x - = x - = = x x II. yol formül b den a) f(x) = x f(x) = x. x = x b) I. yol b) f(x) = x =x f (x) = x - = x = x II. yol formül b den b) f(x) = (x ) x = x x x = x x = x c) I. yol c) f(x) = (x - ) = (x - ) f(x) = (x - ) - (x - ) = (x - ) - (x) = x. (x - ) II. yol n = formül a dan, (x f (x) = - ) = x. (x - )-. (x - ) Yukar daki formül a ve b ayn ifadelerdir. Formül b, formül a n n özel hâlidir. Ancak ö renciye tavsiyemiz formülsüz türev alma yoludur. 8

TERS FONKS YONUN TÜREV MATEMAT K 8 AR, BR f: AB fonksiyonu bire bir örten olsun. f fonksiyonu x A noktas nda türevli ve f (x ) ise, f - : BA fonksiyonuda x n f alt ndaki görüntüsü olan y noktas nda türevlidir ve (f - ) (y ) = f (x ) f (x ) fleklinde gösterilir. Yukar daki tan mdan anlafl laca üzere, tan m ve de er kümesindeki belirli aral klara göre fonksiyonun tersi mevcut olur. Örnek : f:r ( -4, + ) f(x) = y = x - 4 fonksiyonu veriliyor. (f - ) (x) nedir? Çözüm : I. yol : Fonksiyon : ve örten oldu undan önce tersini alal m, sonra da ifadeyi türevleyelim. Yani; y = x - 4 x = y - 4 x + 4 = y x + 4 = y = f - (x) f - (x) = x + 4 oldu undan türevi, f - (x) = (x + 4) = (x + 4)-. (x + 4) = x + 4 II. yol : Yukar daki formüle göre; y = x - 4 x = y + 4 f - (y ) = f (x ) f - (y) = x = y + 4 f - (x) = olur. x + 4 oldu undan, 9

B LEfiKE FONKS YONUN TÜREV y = f(u) u = g(x) oldu unu kabul edelim. y = f [g(x)] = (fog) (x) olarak söylenir. (fog) (x) fonksiyonun türevi (fog) (x) = f [g(x)]. g (x) fleklinde hesaplan r. Örnek : f, g : R R f(x) = x + 5, g(x) = x - 5 ise (fog) (x) de erini bulal m. Çözüm : I. yol : (fog) (x) = f [g(x)]. g (x) =(x) o [x - 5]. =(x - 5). =(6x - ). = 8x - II. yol : Fonksiyonun bileflkesi al n r, sonra türevlenir. (fog) (x) = f [g(x)] = (x-5) + 5 = 9x - x + (fog) (x) = 8x - PARAMETR K FONKS YONLARDA TÜREV t parametre (de iflken) olmak üzere, parametrik fonksiyonlardan birinci türev x = f(t ) ve y = g(t) ise dy dx = dy dt dx dt = dy dt. dt dx

Parametrik fonksiyonlar n ikinci mertebeden türevi ise y = f(x) fonksiyonu, y = f(t) ve x = g(t) fleklinde x ve y parametrik fonksiyonlarla ifade edildi inde her zaman y yi x türünden ifade edemedi imizden, art arda türev alma yöntemini uygulayamay z. Bu durumda afla daki kural kullan r z. dy dx = z = y t x t diyelim d y dx = dz dx = z t x t Örnek : x = t y = t - t ise dy dx =? Çözüm : y nin x e göre türevi direkt olarak al namaz. Çünkü, x t ye ba l ; y de t ye ba l d r. dy dx = dy dt dx dt = (t - t ) ( t ) = - t t = t ( - t) = x ( - x ) dir. Örnek : y = t + ve x = t + t için d y de erini bulal m. dx Çözüm : dy dx = t t+ = z olsun. d y dx = z t = x t t t+ t +t =. (t+) - t. () t+ t+ = 4 t+

KAPALI FONKS YONUN TÜREV F(x,y) = fleklindeki ba nt lara kapal fonksiyon denir. Türevi hesaplan rken birkaç yola baflvurulabilir. Bunlar; ) E er, y yaln z b rak labiliniyorsa, türev al n r. dy ) F(x,y)= ba nt s nda her terimi x e ve y ye göre hesaplanarak y = bulunur. dx ) y = -F x formülünden yararlan l r. Burada F x, F(x,y) ba nt s n n x'e göre türevi F y (y sabit) F y, F(x,y) ba nt s n n y ye göre türevi (x sabit) Örnek : x y + xy - x + y - 5 = ba nt s ile verilen fonksiyonun türevini bulal m. Çözüm F(x,y) = x y + xy - x + y - 5 = F x F y Buna göre, y = - F x =y x + y - (x e göre türev, y sabit) =x y + x + (y ye göre türev, x sabit) F y olarak bulunur. = - y x + y - x y + x + Örnek : x y - xy - 5x + = kapal ifadesinde y = dy dx bulunuz. Çözüm : x y +x y. y - y - xy y - 5 = x yy - xy y = -x y +y + 5 y(x y - xy ) = -x y +y + 5 y = -x y +y + 5 x y - xy y - F x ile bu örnek çözülebilir. F y

x y y ye göre türevi al nd nda x yy oluyor. Ancak, x y, x e göre türevi al nd nda x y oluyor. x yaz lm yor. Kapal ifadelerde türev al n rken, örne in; xy = y + xy = xy = -y y = -y dir. x MATEMAT K 8 f: AR, xy = f(x) fonksiyonunun ARDIfiIK TÜREVLER. mertebeden türevi y = f (x) = df(x) dx. mertebeden türevi y =f (x) = d f(x) dx = d dx ya da Üçüncü mertebeden türevi y = d y dx = d dx dy dx df(x) dx y =f (x) = d f(x) dx = d dx n. mertebeden türevi y (n) =f (n) (x) = dn f(x) dx n = d dx d dx dy dx d f(x) dx d n- f(x) dx n- demek, önce y nin x e göre türevi al, bulunan sonucuda x e göre türevle. Örnek : f: R -{} R f(x) = x fonksiyonunun dördüncü mertebeden türevi

Çözüm f(x) = x - f (x) = -x - f (x) = x - f (x) =-6x -4 f v (x) = 4x -5 = 4 x 5 TR GONOMETR K FONKS YONLARIN TÜREV ) y = Sin f(x) ise y = f (x). Cos f(x) Örnek : y = Sin x ise y = x Cos x ) y = Cos f(x) ise y = -f (x) Sin f(x) Örnek : y = Cos (x -) ise y = -(x - ) Cos (x -) = -4x. Cos (x -) ) y = tan f(x) ise y = f (x). [ + tan f(x)] = f (x) Sec f(x) Örnek : y = tan x ise y = 6x [ + tan x ] = 6x Sec x 4) y = Cot f(x) ise y = -f (x). [ + Cot f(x)]= -f (x). Cosec f(x) Örnek : y = Cot (x 4 -) ise y = -(x 4 -) Cosec (x 4 -) = -x Cosec (x 4 - ) 5) y = [Sin f(x)] n ise y = n. [Sin f(x)] n-. [Sin f(x)] Örnek : y = Sin x ise y =? y = Sin x = (Sin x) oldu undan, y = Sin x. (Sin x) = Sin x. Cos x =. Sin x. Cos x = Sin 6x 4

6) y = [Cos f(x)] n ise y = n [Cos f(x)] n-. [Cos f(x)] Örnek : y = Cos x ise MATEMAT K 8 y = (Cos x ) ise y =. (Cos x ) -. (Cos x ) = (Cos x ). (-x Sin x ) = -6x Cos x. Sin x 7) y = [tan f(x)] n ise y = n [tan f(x)] n-. [tan f(x)] Örnek : y = tan x ise y = tan x. (tan x) = ( tan x). Sec x = 6 tan x. Sec x 8) y = [Cot f(x)] n ise y = n. [Cot f(x)] n-. [Cot f(x)] Örnek : y = Cot 4 x ise y = [Cot x ] 4 = 4. [Cot x ]. [Cot x ] = 4. [Cot x ]. [-x Cosec x ] = -8x Cot x. Cosec x TERS TR GONOMETR K FONKS YONLARIN TÜREV ) y=arcsinx Fonksiyonu Arcsin f(x) = Sin - f(x) dir. y = Arcsin x x = Sin y - y - x (Arcsin x) = - x genel olarak, Arcsin f(x) = f (x) - f(x) Örnek : y = Arcsin x dy dx = x - x 4 ise dy dx =? 5

) y= Arccosx Fonksiyonu Arccos f(x) = Cos - f(x) y = Arccos x x = Cos y y π, - x Örnek : y=arccos (x+) ise dy dx =? dy dx = - -(x+) (Arccos x) = - x genel olarak, Arccos f(x) = ) y=arctanx Fonksiyonu -f (x) - f(x) Arc tan f(x) = tan - f(x) y = Arc tan f(x) x = tan y - < y <, - <x < (Arc tan x) = genel olarak, + x Arc tan f(x) f (x) = + f(x) Örnek : y = Arc tan (x -) ise dy dx =? dy dx = (x - ) + (x - = 6x ) + (x - ) 4) y=arccotx Fonksiyonu Arccot f(x) = Cot - f(x) y = Arccot f(x) x = Cot y < y < π, - < x < + (Arccot x) = - + x genel olarak, Arccot f(x) = -f (x) + f(x) 6

y=sec f(x) ve y=cosec f(x) fonksiyonlar n türevleri, bölme kural ndan ç kart l r. Sec f(x) = Cos f(x) ve Cosec f(x) = Sin f(x) oldu undan MATEMAT K 8 Örne in : y = Sec x y = Cos x y = () Cos x -. (Cos x) (Cos x) =. Cos x - (-Sin x) Cosx = Sin x Cosx Örnek : y = Arccot x ise dy dx =? dy dx = -( x) - + ( = x x) + x = - ( x). ( + x) LOGAR TMA VE ÜSTEL FONKS YONLARIN TÜREV y = Log e x = lnx x = e y dir. n N + olmak üzere, lim x+ ( + n )n = e =,78... dir. ) ln f(x) = f (x) f(x) Örnek : y = (lnx) ise y = lnx ise ) a R + ve a olmak üzere log a f(x) = lna. f (x) f(x) dy dx = x dy dx = (x ) x = x x = x Örnek : y = log x dy ise dx = ln. (x ) = x x x ln = xln Örnek : y = log 5 (Sin x dy ) ise dx =? Çözüm : ln 5. (Sin x ) Sin x = x Cos x ln 5. Sin x = x ln 5. Cot x 7

Üslü fonksiyonlar n türevi ) e f(x) = f (x) e f(x) Örnek : y = e Sin x dy ise dx =? dy dx = (Sin x) esin x = Cos x. e Sin x ) a R + ve a olmak üzere, a f(x) = f (x). a f(x) Ln a Örnek : y = x ise dy dx =? Çözüm : dy dx = (x ). x. Ln = 6x. x. Ln ) f(x) > ve y = f(x) g(x) ise, dy = y. g(x). Ln f(x) dx Örnek : y = x Cos x ise y =? Çözüm : y =x Cos x. Cos x. Ln x = x Cos x -Sin x. Ln x + x (Cos x) 8

fiimdiye kadar türev alma kurallar n ö rendik. Afla daki tabloda ilgili türev alma kural ve örnekleri verilmifltir. nceleyiniz. SORU f(x) = ise f(x) =? LG L FORMÜL f (x) = C, C R ise f (x) = f (x) = ÇÖZÜM f(x) =x ise f(x)=? f(x) =x n ise f(x) =nx n- f(x) = x f(x) =x.cos x ise f(x)=? f(x) = x Sin x f(x) =x, g(x) = x- ise (gof) (x) =? x = t, y = t -, dy dx =? x y + y + x = dy dx =? y = x 4 ise y v (x) =? y = Sin (Cos x) ise y =? y = Cos (ln x) ise y =? y = tan 5x ise y =? y = Cot 5x ise y =? f(x) = u. v ise f(x) = u. v + uv f(x) = u v ise f(x) =uv - uv u (gof) (x) = g f(x). f(x) dy dx = dy dt dx dt Kapal fonksiyonun türevine bak. n. mertebeden türeve bak y = Sin f(x) ise y = f(x). Cos f(x) y = Cos f(x) ise y = -f(x) Sin f(x) y = ln g(x) ise y = g (x) g(x) y = tan f(x) ise y =f(x). Sec f(x) y = Cot f(x) ise y = -f(x)cosec f(x) f(x) = (x) Cos x + (x) (Cos x) = Cos x - x Sin x (x) Sin x - x. (Sin x) f(x) = Sin x = Sin x - x Cos x Sin x (gof) (x) = x dy dx = t = t = x xy+x y +yy+ = y = - xy+ x +y y = 4x y = 4x y = x y v = 4 y = (Cos x)cos (Cos x) = -Sin x. Cos (Cos x) y = -(lnx) Sin lnx = - x y = 5 Sec 5x y = -x Cosec 5x Sin (lnx) y = arc Sin (Cos x) ise y =? y = arc Sin f (x) ise y = f(x) - f(x) y = (Cos x) -Cos x = -Sin x -Cos x y = arc Cos (ln x) y =arc Cos f(x) ise y = -f(x) - f(x) y = -(Ln x) = -(Ln x) - x -(Ln x) y = arc tan x y = arc Cot x y= + f(x) y = - + f(x) y = +4x y = - +9x 9

SORU LG L FORMÜL ÇÖZÜM y = ln (x + ) ise y =? y = log x ise y =? y = e Sin x + Cos x ise y =? y = x +x ise y =? y = ln f(x) ise y = f(x) f(x) y = log a f(x) ise y = ln a. f(x) f(x) y = e f(x) ise y = f(x) e f(x) a R + ve a olmak üzere y = a f(x) ise y = f(x).a f(x). Lna y = (x +) x + = x x + y =. x Ln x = Ln x = x Ln y = (Sin x + Cos x) esin x + Cos x = (Cos x - Sin x) esin x + Cos x y = (x + x). x +x. ln = (x + ). x +x. ln y = x Sin x ise y =? y = f(x) > ise y = f(x) g(x) y = y. g(x). Ln f(x) y =x Sin x. Sin x. Lnx = x Sin x. Cos x Lnx + x Sin x L HOSP TAL KURALI TÜREV N L M T SORULARINA UYGULANMASI f(x) E er lim xx g(x) limitinde ya da lim xx f(x) g(x) = lim f (x) xx g(x) olur. belirsizli i varsa, Limit hesaplan rken ya da sonucu bulunursa pay ve paydan n türevi al n r. E er yine ya da sonucu bulunursa yine pay ve paydan n türevi al n r. Sonuç bir reel say ç kana dek ifllem devam ettirilir. Örnek : lim x x - x - =? Çözüm : - - = belirsiz. O hâlde, pay ve paydan n türevini alal m. lim x x = lim x =. = x

Örnek : x lim Cos x - Sin x =? MATEMAT K 8 Cos Çözüm : - Sin lim x = - = (Cos x) ( - Sin x) = lim -Sin x x -Cos x = lim Sin x x belirsiz. Pay ve paydan n türevini alal m. Yani, Sin Cos x = Cos = Tan = Örnek : lim x+ e x - x =? Çözüm : e - = belirsiz. Pay ve paydan n türevini alal m. lim e x x+ x = e+. = Yine pay ve paydan n türevini alal m. lim e x x = e = + = + B R NC DERECEDEN ALINAN TÜREV N GEOMETR K YORUMU Bir Fonksiyon Grafi inin Bir Noktas ndaki Te etinin E imi f: [a, b] R fonksiyonu, x (a,b) olmak üzere x noktas nda türevlenebilir fonksiyon ise; f fonksiyonun grafi inin (x,f(x )) noktas ndaki te etinin e imi, m t = f (x ) olarak hesaplan r. Te etin denklemi ise, y - f(x ) = f (x ). (x-x ) olur. Te ete (x, f(x )) noktas nda dik olan do ruya, f fonksiyonun grafi inin (x, f(x )) noktas ndaki normali denir. Öyleyse (x, f(x )) noktasn daki normalin e imi, M N = - f (x ) olarak hesaplan r. Normalin denklemi ise, olur. y-f(x ) = - f (x ) (x - x )

Örnek : 8y = x - x + 6 e risinin (, ) noktas ndaki te et ve normal denklemlerin bulunuz. Bu e rinin hangi noktas nda te etinin e imi 9 ye eflittir. Hangi noktadaki te et x eksenine paraleldir? Çözüm : y = x - x + 6 oldu undan e im, 8 O hâlde, x = için te etin e imi,. - 8 dy dx = x - 8 = - dir. y - f(x ) = f(x ) (x - x ) y - = - (x - ) y - = - x, x f(x ) y + x = 4 bulunur. Normal, te ete dik oldu undan, Normalin denklemi; M N = - idi. O hâlde, f(x ) M N = - - = y - f(x ) = f(x ) (x - x ) oldu undan, y - =. (x - ) buradan x - y + 6 = denklemi bulunur. x - 8 = 9 oldu u zaman, 6x - 4 = 7 6x = 96 x = 6 x = ±4 olur.

Bu de erleri 8y = x - x + 6 denkleminde yerine koyal m. x = -4 için 8y = (-4) - (-4) + 6 8y = -64 + 48 + 6 y =, (-4, ) x = 4 için 8y = (4) - (4) + 6 8y = 64-48 + 6 8y = y = 4, (4,4) MATEMAT K 8 O hâlde, (-4, ) ve (4, 4) noktalar nda e im 9 dir. E im s f r oldu u yani, x - = oldu u zaman x = ± dir. O hâlde, x = ± oldu u zaman x eksenine paralel olacakt r. Bu x = ± de erlerini 8y = x - x + 6 denkleminde yerine koyarsak, x = - için 8y = (-) - (-) + 6 8y = -8 + 4 + 6 8y = y = 4 x = için 8y = () - () + 6 8y = 8-4 + 6 y = O hâlde, (, ) ve (-, 4 ) noktalar nda te et x eksenine paraleldir. Örnek : f(x) = x + kx + 8 fonksiyonun e risine, apsisi x = - olan noktas ndan çizilen te et, x ekseni ile pozitif yönde 5 lik aç yapt na göre k =?

Çözüm : x = - noktas ndaki te etin e imi f (-) dir. f(x) = x + kx + 8 f (x) = x + k f (-) = - + k (I) Çizilen te et, x ekseni ile pozitif yönde 5 lik aç yap yorsa m = Tan 5, Tan 5 = - oldu undan m = -. Bu de eri (I) de yerine yazarsak; m = - + k - = - + k k = olarak bulunur. Örnek : f(x) = x + kx + x fonksiyon e risinin, apsisi x = olan noktas ndaki te etin denklemi y + x + = oldu una göre k nedir? Çözüm : f(x) = x + kx + x f (x) = x + kx + f () = + k + Bulunan bir de er, f(x) fonksiyonunda x = noktas ndan çizilen te etin e imidir. Yani, f () = m = 4 + k Bu te etin denklemi y + x + = y = -x - (e im y = ax + b e im m = a) O hâlde e im - = m oldu undan, f () = m = 4 + k = - k = -5 k = -5 olarak bulunur. 4

TÜREV N F Z KSEL ANLAMI Bir hareketlinin gitti i yol s = f(t) denklemi ile belli oldu una göre a) Hareketlinin t an ndaki h z MATEMAT K 8 V t = ds dt = f(t) b) Hareketlinin t an ndaki ivmesi a t = dv dt = v(t) = f(t) olur. Örnek : Hareket denklemi s = olan hareketlinin harekete bafllad andan t - t 6 sa-niye sonraki h z n ve ivmesini bulunuz. (Bu denklemde uzunluk metre, zaman saniye ile veriliyor.) Çözüm H z, v(t) = f (t) = t - v(6) = 6 - = 5 m/sn vmesi, a t = f (t) = f (6) = m/sn Örnek : a R olmak üzere, yol-zaman denklemi s(t)=at olan bir hareketlinin harekete bafllad ktan sonra saniye sonraki h z 4 m/sn oldu una göre bu hareketlinin 6. saniyedeki ald ivmeyi bulal m. Çözüm : s(t) = 6 at ivme = s(t) = at s() = 4a = 4 =.. 6 a = =7 m/sn ÖZEL TANIMLI FONKS YONLARIN TÜREV ) Parçal Fonksiyonlar n Türevi f(x) = g(x), x < a h(x), x a ise ise f(x) = g(x), x < a h(x), x a ise ise Ancak bu fonksiyonlar n x = x noktas ndan türevli olabilmesi için sa dan ve soldan türevlerinin eflit olmas gerekir. 5

Örnek : f (x) = x -, x < ise x, x ise x = noktas ndaki türevini bulunuz. Çözüm : x < için f (x) = 6x öyleyse, f ( - ) = 6. = x için f (x) = - x öyleyse, f (+ ) = - 4-4 oldu undan, x = noktas nda fonksiyonun türevi yoktur. ) Mutlak De er Fonksiyonu Mutlak de er fonksiyonun türevi al n rken mutlak de erin tan m na dikkat edilir. Yani; f(x) = f(x), f(x) ise -f (x), f(x) < ise Örnek : f(x) = x - 6x + 5 ise f (4) =?, f () =?, f () =? Çözüm. yol : Önce fonksiyonu parçal fonksiyon hâline getirelim. x - 6x + 5 = x - 5 + (x - 5) (x - ) = x - 6x + 5 + - + x = 5, x = f(x) = x - 6x + 5, x ise -x + 6x - 5, < x < 5 ise x - 6x + 5, x 5 ise 6

Bu durumda, MATEMAT K 8 f (x) = x - 6, x ise -x + 6, < x < 5 ise x - 6, x 5 ise f (4) = -. 4 + 6 = - f () =. - 6 = 4 x = noktas kritik nokta oldu undan, f ( - ) =. - 6 = -4 f ( + ) = -. () + 6 = 4 x = noktas nda türev yok. II. yol : y= f(x) türevi y = f (x). f(x) f(x) Bu durumda, f (x) = (x x -6x+5). -6x+5 x -6x+5 x f (x) = (x-6). -6x+5 x -6x+5 Örne in x=4 için x -6x+5 < oldu undan x -6x+5 = - x -6x+5 dolay s yla x -6x+5 x -6x+5 = - f (4) = (.4-6). (-) = - x -6x+5 = (x-5) (x-) oldu undan x= ve x=5 noktalara kritik nokta. O hâlde bu noktalarda türev yok. 7

Tam K s m Fonksiyonun Türevi E er, x de eri tam k sm n içini tamsay yapm yorsa türev vard r ve türevi s f rd r. Örnek : f(x) = [ x ] f () =? f =? Çözüm : f () = [. ] = 6 f = [. ]= [ f(x) = f = türevi yoktur. ] türev vard r. flaret Fonksiyonun Türevi flaret fonksiyonun içini s f r yapan x de erleri için türev yoktur. x de eri iflaret fonksiyonun içini s f r yapm yorsa türevi vard r ve türevi s f rd r. Örnek : f(x) = Sgn (x + ) ise f. + = f (x) = TÜREV N UYGULAMALARI Türevlenebilirlik ve Süreklilik Teorem : f : [a,b] R fonksiyonu x (a,b) noktas nda türevlenebilir ise (f (x ) R), f fonksiyonu x noktas nda süreklidir. Bu teoremin karfl t do ru de ildir. Örnek : f(x) = x- fonksiyonu x = noktas nda sürekli midir? Türevli midir? 8

Çözüm : f(x) = x - = x -, x ise -x +, x < ise lim (x - ) = x + lim (-x + ) = x - f() = - = lim f(x) = f() oldu undan süreklidir. x Ancak, x = noktas nda türevli de ildir. Çünkü, f (x) = +, x ise -, x < ise x = kritik nokta oldu u için, f ( + ) = + f ( - ) = - f ( + ) f ( - ) O hâlde, x = x noktas nda sürekli fonksiyon x = x noktas nda türevlenemeyebilir. Sonuç : f:[a,b] R fonksiyonu x (a,b) noktas nda süreksiz ise f fonksiyonu x noktas nda türevlenemez. f : [a, b] R bir fonksiyonu sürekliyse, [a, b] aral nda fonksiyonun ald maksimum ve minimum de erlere fonksiyonun ekstremum de erleri denir. Teorem : f:[a,b] R fonksiyonu sürekli ve her x (a,b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. a) E er her x (a,b) için f (x) ise f fonksiyonu monoton azalan, f (x) < ise azalan fonksiyondur. b) E er her x (a,b) için f (x) ise f fonksiyonu monoton artan, f (x) > ise artan fonksiyondur. 9

Örnek : - f(x) = x - fonksiyonunun [, ] aral ndaki ekstremum de erlerini inceleyiniz. f (x) = dir. f (x) > fonksiyon artand r. min f(x)= f() =. - = - dür. max f(x)= f() =. - = dir.. f(x) = (x - ) - fonksiyonunun [, 4] aral nda ekstremum de erlerini hesaplay n z. f (x) = (x - ) fonksiyonu [, ) aral nda azalan (, 4] aral nda artand r. f() = ( - ) - = - dir. f(4) = (4 - ) - = 8 dir. f(x) in [,4] aral ndaki minimum de eridir. f(x) in [,4] aral ndaki maksimum de eridir. Yerel Maksimum, Yerel Minimum f(x) fonksiyonu bir (x -, x + ) aral içinde en küçük de erini x noktas nda al yorsa fonksiyonun x noktas nda yerel minimumu vard r. En büyük de erini x noktas nda al yorsa fonksiyonun x noktas nda yerel maksimumu vard r. Yerel minimum veya maksimumun varl için bir > say s n n bulunmas yeterlidir. Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalar na fonksiyonun ektremum noktalar denir.

Örnek : f(x) = -x + 8x - 5 fonksiyonunun [, 7] aral nda sürekli ve türevli oldu u biliniyor. Fonksiyonun maksimum ve minimum de erlerini bulunuz. f(x) = -x + 8x - 5 = - (x-4) + MATEMAT K 8 Teorem : f: a,b R fonksiyonu sürekli ve her x (a,b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. E er x (a,b) noktas f fonksiyonunun bir yerel ektremum noktas ise f (x )= Max f(4) = dir. Min f() = -5 dir. fiekilde x = 4 noktas nda bir maksimuma sahip oldu undan f (x) = -x + 8 f (4) = -. 4 + 8 = -8 + 8 = d r. Örnek : f(x) = x + fonksiyonu [, ] aral nda sürekli, (, ) aral nda türevlidir. Fakat fonksiyon bu aral k içinde hiçbir noktada türevi s f r de ildir. Çünkü (, ) aral nda fonksiyon ekstremuma sahip de ildir. Teorem : (Rolle Teoremi) f(x), [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli bir fonksiyon olsun. f(a) = f(b) ise, bu fonksiyonun türevi (a, b) aral nda en az bir x noktas nda s f r de erini al r. Örnek : f(x) = x + 4x + olsun. x (-5, ) için f (x ) = Rolle teoremini kullanarak gösterelim.

Çözüm : f(-5) = (-5) + 4(-5) + = 8; f() = + 4. + = 8 oldu undan x (-5,) için f (x ) = olur. f (x) = x + 4 = x = - (-5, ) ve f (-) = -. + 4 = d r. Örnek : f(x) = x - [ x ] fonksiyonuna [, 4] aral nda Rolle Teoremi kullan lamad n gösterelim. Çözüm : f() = - [ () ] = - =, f(4) = 4 - [ (4) ] = 4-4 = Fonksiyon (, 4) te türevlidir. Fakat fonksiyon (, 4) te sürekli olmas na ra men [, 4] de sürekli de ildir. lim f(x) = lim x - [ 4 ] = lim (x - ) = x4 - x4 - x4 - lim f(x) = lim x - [ 4 ] = lim (x - 4) = x4 + x4 + x4 + Fonksiyon x = 4 noktas nda sürekli de ildir. Fonksiyona bu aral kta Rolle Teoremi uygulanamaz. Teorem : (Ortalama De er Teoremi) f(x) fonksiyonu [a, b] de sürekli ve (a, b) de türevli ise x (a, b) için f (x ) = f(b) - f(a) b - a d r. Örnek : - y = x - x - 7 fonksiyonunda [,4] aral nda ortalama de er teoremini uygulayal m.

Çözüm : f(x) fonksiyonu (-, ) aral nda sürekli ve türevlidir. f() =. -. - 7 = -5 f(4) =. 4 -. 4-7 = f(4) - f() f(x ) = = + 5 = 8 4 - = 9 f (x ) = 4x - = 9 ise 4x = x = tür. (, 4) olur. MATEMAT K 8 Örnek : - f(x) = Sin (πx) teoremini uygulay n z. + x fonksiyonuna [-, ] aral nda ortalama de er f(a) = f(-) = Sin (-π) + - = -Sin π - = - = - f(b) = f() = Sin (π) + = + = f (x ) = f(b) - f(a) b - a = f() - f(-) - (-) f (x ) = π Cos π x + = = + 5 Cos π x = = 5 x 5 = Cos π + π k = Cos π x π x = π + k π x = + k k = -, -, -,, x = - = - 5, x = - = -, x = - = -, x 4 = + =, x 5 = + = de erleri elde edilir. x,x, x, x 4,x 5 vard r. (-, ) aral nda ortalama de er teoremini sa layan befl tane nokta Ortalama De er Teoreminin Geometrik Anlam f(x) in iki noktas A ( a, f(a)) ve B(b, f(b)) olsun. f(b) - f(a), AB do rusunun e imidir. x (a, b) için b - a f(b) - f(a) f (x ) = demek, f(x) e risine A ile B aras ndaki en az bir x noktas ndan AB ye paralel bir te et b - a çizilebilir.

Örnek : f(x) = 9 - x yar m çemberinde A(, ), B (, ) verilsin. E ri üzerindeki bir noktadan AB do rusuna paralel bir te et çizmek mümkün müdür? Öyleyse, te etin denklemini yaz n z. f(x) = 9 - x y +x = 9 AB do rusuna paralel te etin de me noktas n n apsisi (, ) aral nda ortalama de erini ald noktad r. f(x) fonksiyonu [, ] de sürekli ve (, ) de türevli oldu undan Ortalama De er Teoremini uygulayabiliriz. 4

f() = ve f() = f (x) = f() - f() - = - - = - f (x) = -x 9 - x - x = - 9 - x 9 - x = x 9 - x =x x = 9 x = 9 x = ± MATEMAT K 8 - (, ) (, ) x = y = dir. Çizilen te etin e imi AB do rusunun e imine eflit olup m = - dir. y - y = m (x - x ) y - = - x - y = -x + bulunur. ÖRNEKLER Örnek - y = e (x-) fonksiyonuna (, 4) da Rolle Teoremini uygulay n z. Çözüm : f(x) fonksiyonu [, 4] aral nda sürekli, (, 4) aral nda türevlidir. f() =e (-) =e (-) =e = e f(4) =e (4-) =e () =e = e f() = f(4) oldu undan Rolle Teoremi gerçeklenir. f (x) = (x - ).e (x-) = (e (x-) = olamaz), (x - ) = x = (, 4) için f () = d r. Örnek : - f(x) = x + 7x + fonksiyonuna (, 7) aral nda Ortalama De er Teoremini uygulay n z. Çözüm : f() = + 7. + = f(7) = 7 + 7. 7 + = f(7) - f() f (x) = = - = 9 7-6 6 = 5 f (x) = x + 7 = 5 x = 8 x = 4 (, 7) için Örnek : - f(x) = x + 6x fonksiyonuna (, 4) aral nda Ortalama De er Teoremini uygulay n z. Çözüm : f() = + 6. = 8 + = f(4) = 4 + 6. 4 = 64 + 4 = 88 f (x) = f(4) - f() 4 - = 88 - = 4 5

f (x) =x + 6 = 4 x = 8 x = 8 x = ± 7 = ± 7, x = 7 (, 4), x = - 7 (, 4) dür. Örnek : 4- f(x) = ax + bx + c fonksiyonunun (p, q) aral nda Ortalama De er Teoremini sa layan x de erinin x = p + q oldu unu gösteriniz. Çözüm : f(p) = ap + bp + c f(q) = aq + bq + c f (x) = f(q) - f(p) q - p = a(q - p ) + b(q - p) q - p f (x) = ax + b = a (q + p) + b x = q + p = a(q + p) + b bulunur. K NC TÜREV N GEOMETR K ANLAMI f: [a, b] R fonksiyonu sürekli, türevi olan bir fonksiyon olsun. E er fonksiyonun grafi i üzerinde al nan her hangi iki noktay birlefltiren kirifl daima grafi in üzerinde kal yorsa, f fonksiyonuna yukar bükey veya konveks e er kirifl daima grafi in alt nda kal yorsa f fonksiyonuna afla bükey veya konkav denir. 6 fiekilde f fonksiyonu (a, c) aral nda yukar bükey (c, b) aral nda afla bükeydir.

MATEMAT K 8 a) f (x ) = ve f (x ) < ise f fonksiyonu x noktas nda f(x ) yerel maksimum de erini al r. b) f (x ) = ve f (x ) > ise f fonksiyonu x noktas nda f(x ) yerel minimum de erini al r. E rinin konvekslikten konkavl a veya konkavl ktan konveksli e geçti i noktaya dönüm noktas denir. E rilik konvekslikten konkavl a E rilik konkavl ktan konveksli e geçmektedir. x=x D.N. d r. geçmektedir. x=x D.N. d r. kinci türevin pozitif oldu u aral kta f(x) in grafi inde e rilik yukar ya do ru veya konvekstir. kinci türevin negatif oldu u aral kta f(x) in grafi inde e rilik afla ya do ru veya konkavd r. Konveks Konkav 7

Örnekler : - y = (x - ) + fonksiyonunun x = noktas nda minimum de erini ald n gösteriniz. Çözüm : y = (x - ); y = (x - ) = x = f (x) = > oldu undan yerel minimum vard r. - f(x) = x + x - fonksiyonunun x = - de maksimum veya minimumunun bulunup, bulunmad n araflt r n z. Çözüm : f = x + ; f (x) = x + = x = - f (x) = > oldu undan yerel minimum vard r. - f(x) = -(x - ) 4 fonksiyonunun x = de dönüm noktas n n bulunup bulunmad n araflt r n z. Çözüm : f (x) = -4 (x - ) ; f (x) = -4 (x - ) = x =, f (x) = -(x - ) f () = - ( - ) = f(x) in x = de dönüm noktas vard r. 4- f(x) = x - 7x - x + fonksiyonunun konkav ve konveks oldu u bölgeleri bulunuz. Çözüm : f (x) = x - 4x - f(x) = 6x - 4 f(x) = 6x - 4 = x = 7 x - 7 + f(x) - + Konkav Konveks D.N. 8

5- f(x) = x + x - fonksiyonunun ekstremum noktalar n bulunuz. Çözüm : f (x) = x + 6x ; f (x) = x + 6x = x(x + ) = x =, x = - f() = -, f(-) = (-) + (-) - = -8 + - = -9 + = f (x) = 6x + 6 f () = 6. + 6 = 6 > oldu undan x= da minimum de erini al r. MATEMAT K 8 al r. f (-) = 6. (-) + 6 = - + 6 = -6 < oldu undan x=- de maksimum de erini x - - + y + - + y - max. - + min. 6- f(x) = x + 6x - 4 fonksiyonunun eksrtemum noktalar n maksimum ve minimum de erini bulunuz. Çözüm : f (x) = x + x; f (x) = x(x + 4) = x =, x = -4 y = -4, y = 8 f (x) = 6x + f () = > oldu undan x= da minimum de erini al r. f (-4) = - < oldu undan x=-4 te maksimum de erini al r. x - -4 + y + - + y - 8-4 + max. min. 9

MAKS MUM VE M N MUM PROBLEMLER NE A T ÖRNEKLER Örnekler : - Çarp mlar olan pozitif iki say n n toplam n n minimum olmas için bu iki say ne olmal d r? Çözüm : Say lara x, z dersek x. z = y = x + z dir. x. z = x = z dir. y = x + x olur. y = - x dir. y = x - = x = x =, x = - say lar pozitif olaca ndan x = dir. x. z = den z = dir. y = x + z y = + = olarak bulunur. y= x - x ise y = x x = için y = = > oldu undan minimum olur. - Toplamlar iki ve çarp mlar maksimum olan pozitif iki say y bulunuz. Çözüm : Say lar: x ve z olsun. x + z = ve y = z. x maksimum olmal d r. z = - x y = x( - x) = -x + x y = -x + -(x - ) = x = dir. x + z = z = dir. y =. = bulunur. y = - < d r. x = için maksimumu vard r. 4

- x + y = 4 çemberi içine bir dikdörtgen yerlefltirilmek isteniyor. Dikdörtgenin çevresinin maksimum olmas için dikdörtgenin kenar uzunluklar ne olmal d r? Çözüm : Çemberde böyle bir dikdörtgenin köflegenleri merkezden geçer. x + y = r r = 4 r = dir. DAB dik üçgeninde Pisagor Teoremi x + y = 4 x + y = 6 Çevresi : z = (x + y) dir. y = 6 - x olur. z = x + 6 - x z = - x 6 - x z = x 6 - x = x = 6 - x 6 - x =x x = 6 x = 8 x = y = 6-8 = 8 = dir. Maksimum çevre : z = (x + y) = + = 8 dir. 4- AB = AC olan bir üçgende BC = a d r. A köflesinden a kenar na indirilen dikme 4a d r. Bu üçgenin içine bir dikdörtgen yerlefltiriliyor. Bu dikdörtgenin alan n n maksimum olmas için kenarlar ne olmal d r, a cinsinden bulunuz. 4

Çözüm : AB = AC, BC = a ve AH = 4a Dikdörtgenin kenar uzunluklar na x ve y diyelim. AGK ~ ABH dir. x a = 4a - y 4a x = a - y 4 S = x. y = a - y y. y = ay - 4 4 S = ay - y ds 4 dy = S (y) = a - 4.. y = a - y ds = y = a ve x = a - a dy 4 = a - a = a y = a, x = a olmal d r. S(y) = - < oldu undan x = a, y = a için S alan maksimum olur. 5- Yar çap 4 olan küre içine yerlefltirilen maksimum hacimli dönel silindirin hacmini bulunuz. Çözüm : 4

AH = y, x + y = 6 d r. OH = x olsun. OAH dik üçgeninde Pisagor ba nt s ndan Silindirin hacmi : V = y. (x) V =. (6 - x ). x V = 6. x - x V = x - x V(x) = - 6x = x = 6 = 6 x = ± 4-4 y = 4. al nmaz x = 4 dür. V =... 4 = 56 9 tür. y = 6-6 = y = 4 bulunur. V(x) = -x V 4 4 = -.. 4 = -6 < oldu undan hacim maksimum olur. FONKS YONLARDA AS MPTOT BULMA y=f(x) fonksiyonunun grafi i üzerindeki de iflken bir p(x,y) noktas alal m. E er, e rinin en az bir kolu sonsuza uzan yorsa ve p noktas n n d do rusuna veya c e risine olan uzakl s f ra yaklafl yorsa, al nan d do rusuna veya c e risine, y=f(x) fonksiyonun asimptotu denir. Afla daki flekillerde yukar daki tan m aç k olarak görülmektedir. d do rusu y=f(x)in do ru asimptotudur c e risi y=f(x) e risinin e ri asimptotudur 4

Düfley Asimptotun Bulunmas y= p(x) fleklindeki rasyonel fonksiyonlarda, Q(x)= denkleminin x=a kökü için Q(x) p(a) oluyorsa, denklemi x=a olan do ruya bu fonksiyonun düfley asimtotu denir. Örnek : f(x)= x+ x- fonksiyonunun düfley asimptotunu bulal m. Çözüm : x - = x =,. + = oldu undan x = do rusu düfley asimptotdur. Yatay Asimptotun Bulunmas y=f(x) fonksiyonu için, lim f(x)=b R veya lim f(x)=b R ise, x+ x- denklemi y=b olan do ruya, y=f(x) fonksiyonun yatay asimptotu denir. Örnek : f(x) = 5x +4x- fonksiyonunun yatay asimptotunu bulal m. x +x+ Çözüm : lim x+ 5x +4x- x +x+ = 5 lim 5x +4x- x +x+ = 5 x- o hâlde y= 5 olan do ru f(x) fonksiyonun yatay asimptotudur. Örnek : f(x) = x + fonksiyonun yatay asimptotunun olup olmad n araflt ral m. x- Çözüm : lim x+ lim x- x + = + R x- x + = - R x- f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu yoktur. 44

E ik ve E ri Asimptotlar n Bulunmas MATEMAT K 8 Bir y = f(x) fonksiyonu için lim f(x) = oluyorsa, fonksiyonun e ik veya e ri x asimptotu vard r. Rasyonel fonksiyonlarda e ik veya e ri asimptotu bulmak için pay paydaya bölünür. Bulunan bölüm, fonksiyonun e ik veya e ri asimptotudur. E er, bölüm birinci dereceden polinom fonksiyonu ise e ik, en az ikinci dereceden polinom fonksiyonu ise e ri asimptotudur. Örnek : f(x) = x +x- x+ fonksiyonunun e ik asimptotunu bulal m. Çözüm : lim x x +x- x+ = - x + x - x+ + - x + - x x+ +x - x +x- x+ = x+ - 4 x+ - + - x + - -4 Burada, g(x) = x+ birinci dereceden oldu u için g(x) e ik asimptotdur. Örnek : f(x) = x +x -5 x+ olmad n belirleyiniz. fonksiyonunun e ik ya da e ri asimptotunun var olup 45

Çözüm : lim x +x -5 x+ x = x + x - 5 x+ + x x x +x - - + - x - 5 + x x - - + - -x -5 x +x -5 x+ =x +x - x+5 x+ Burada g(x) = x +x ikinci dereceden oldu u için g(x) e ri asimptot vard r. Örnekler : - f(x) = x - x - fonksiyonunun asimptotlar n bulunuz. a) lim f(x) = lim x- x± x± x - = yatay asimptotdur. b) x - = x = düfley asimptotdur. -f(x) = (x - ) x - fonksiyonunun asimptotlar n bulunuz. a) y = lim x± f(x) = lim x± (x - ) x - = yatay asimptotu yoktur. b) x - = x = düfley asimptotdur. c) (x - ) x - = x - 5x + 7 - x - y = x - 5x + 7 fonksiyonun e ri asimptotudur. 46

GRAF K Ç Z MLER Bir fonksiyonun grafi ini çizerken yap lacak ifllemler:. Fonksiyonun tan m aral bulunur.. lim f(x) hesaplan r. x±. Varsa asimptotlar bulunur. 4. Varsa eksenlerin kesti i noktalar bulunur. 5. Ekstremum noktalar bulunur. 6. Bulunan de erler bir tabloda gösterilir. 7. Tablodan yararlan larak grafik çizilir. Polinom Fonksiyonlar n Grafi i Örnekler: - y = x 4 - x + fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. Çözüm ) Fonksiyon (-, + ) tan ml d r. (Çünkü polinom fonksiyondur.) ) lim x ± f(x) = + dur. ) Asimptot yoktur. 4) x = için y = y = için x 4 - x + = (x - ) = x - = x = x = ± 5) y = 4x - 4x 4x - 4x = x(4x - 4) = x = ve 4x - 4 = x = x =, x = - dir. fiimdi. türevi al p, s f ra eflitleyelim. 47

6) x - - + y - + + - - + y + + min. max. min. Tablonun Okunmas : Fonksiyon (-,+ ) bölgesinden gelerek (-,) noktas n u rar ve (,) noktas na ulafl r. Buradan (,) noktas ndan k vr larak (,) do ru ilerler. Grafik; - y = x + x - x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz. Grafi ini çiziniz. Çözüm ) Fonksiyon (-, + ) aral nda tan ml d r. ) lim x ± f(x) = ± dur. ) Asimptot yoktur. 4) x = için y = - y = için x + x - x - = x (x + ) -(x + ) = (x + ) (x - ) = x = -, x = - x = 48

5) y =x + 4x - y = için x + 4x - = x, = -4 ± 6 + 4. 6 y = f(x ) = - - 7 = -4 ± 7 6 = - ± 7 =k, y = f(x ) = f - + 7 x = - - 7,x = - + 7 =k 6) -- 7 -+ 7 x - - - + y + + + - - - - + + y - k - + k Tablonun Okunmas : (-,- ) dan bafllayan fonksiyon (-,) noktas ndan geçer ve -- 7,k noktas nda maksimum de erini ald ktan sonra (-,) noktas na u rar. Fonksiyon (,-) noktalar na u rad ktan sonra -+ 7,k noktas nda minimum de erini al r ve (,) noktas na u rayarak (, ) yönüne do ru ilerler. 7) 49

rrasyonel Fonksiyonlar n Grafi i y = ax + bx + c biçimindeki bir fonksiyonun grafi i çizilirken afla daki durumlar dikkate al nmal d r. a) ax + bx + c eflitsizli inin çözüm bölgesi fonksiyonun tan m kümesidir. b) a > ise y= + - a x + b e ik asimptot a a < ise e ik asimtot yok. c) y = dan yerel ekstremum noktalar bulunur. Örnekler : - y = x - x+ fonksiyonunun grafi ini çizelim. ) x - x x(x - ) x(x - ) = x =, x = x - + x - + + x- - - + x(x-) + - + fonksiyon tan ms z Tan m kümesi :(-, ] [, ) dur. ) lim x ± x - x+ = lim x - x + = ± x ± ) y = ax ± bx + c formundaki bir fonksiyonun asimptotu y = x ± b a formundad r. y = x - x+ y = x - + y = x - + = x + y = - x - + = - x + 7 do rular fonksiyonun e ik asimptotlar d r. 5

4) x = için y = y = için MATEMAT K 8 f() = ; f() = dir. 5) f (x) = y = x -. x - x f(x) = x - = x = tan m bölgeleri d fl nda kal r. x > için f (x) > d r. x = ve x = için f (x) tan ms zd r. 6) x - + y + - + y + + TANIMSIZ Tablonun Okunmas : Fonksiyon (,) aral nda tan ms z. x=- dan bafllayarak y=+ do ru (-,] aral nda e ri çizerek ilerler. x=+ dan bafllayarak y=+ do ru (,+) aral nda e ri çizerek ilerler. Bu arada y= -x + 7 ve y= x + asimptotlar n dikkate almak gerekir. 7) 5

- y = -x + 4x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. Çözüm : ) y = -x + 4x - = - (x - ) = -(x-). (x-) -(x - ) - (x - ) = (x - ) = x - = ± x =, x = x - + -(x - ) + + - x - - + + f(x) - + - fonksiyon tan ms z fonksiyon tan ms z x Tan m aral : [, ] dür. ) Tan m bölgesi s n rl oldu undan lim f(x) hesaplanamaz. x ± ) Tan m bölgesi s n rl oldu undan asimptot yoktur. (a < oldu undan) 4) x = için y = d r. x = için y = d r. x = için y = dir. 5) f (x) = -x + 4 - x + 4x - f (x) = -x +4 = x = dir. (x= için y= dir) 6) x - + y + + - - y + 5

Tablonun Okunmas : x= ve x= do rular aras nda s n rl d r. Çünkü tan m kümesi, x idi. x= için y= noktas e rinin maksimum noktas d r. 7) TANIMSIZ TANIMSIZ Rasyonel Fonksiyonlar n Grafikleri - y = x - x + ) x + = x = dir. f : (-, -) ( -, +) R fonksiyonunun grafi ini çiziniz. x + x - Tan m kümesi : R - - (-, -) (-, +) ) y = x lim ± f(x) = lim x - = dir. Yani y = do rusu yatay asimptotdur. x ± x + ) x = - de düfley asimptot vard r. (Düfley asimtot payday s f r yapan de er) 4) x = için y = - 5) y = için x = dir. y =. (x + ) -. (x - ) (x + ) = x - x + = (x+) > x - = x = 5

6) x - - + y + + + + y + - - - y = (x - ) (x - ) x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. ) x - = x = de fonksiyon tan ms zd r. Tan m kümesi : R - {} ) Asimptotlar: lim f(x)= (x - ) (x - ) lim = ± x ± x ± x - (x - ) (x - ) y = = x - x + = x + x - x - x - y = x do rusu e ik asimptotdur. Tabloda gösterilmez. x - x + ± x ± x x - x x - = x = do rusu düfley asimptotdur. ) x = için y = - y = için x =, x = dir. 54

. (x - ) + (x - ) (x - ) -. ( x - ) (x - ) 4) y = (x-) = x - 6x + 7 (x-) ; y = x - 6x + 7 = x, = ± = ± x = +, x = - y 6, y, 5) x - - + + y + + + - - - + y - -, - + 6 max. min. 6) - y = (x - ) x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. ) x - = x = de fonksiyon tan ms zd r. f : R - {} R ) lim f(x) = (x - ) lim = x ± x ± x - 55

) x - = x = de düfley asimptot vard r. x - 6x + x - 8 x - x - 6x + x - 8 + - x ±x -5x + x ± 5x ± 5x 7x - 8 + - 7x ± -7 - (x - ) x - =x - 5x + 7 - x - y = x - 5x + 7 e ri asimptotdur. y = (x - 5 ) + 4 parabol e ridir. x - x - 5x + 7 E ri asimptot 4) x = için y = 8 y = için (x - ) = x = dir. 5) y = (x - ). (x - ) -. (x - ) (x-) y = için (x - ) (x - ) - (x - ) (x - ) (x - ) = (x - ) = x =, x =, y= x-. (x-) x- y =, y = 7 4, 6) x - + y - - + + + 7 y + 8 4 + - + min. D.N. 56

Tablonun Okunmas : x=-, y=+ bafllayan fonksiyon (,8) noktas na u rayarak, 7 4 noktas nda minimum de eri ald ktan sonra (-,+) do ru ilerler. Sonra fonksiyon ( +,-) dan gelerek (,) dönüm noktas ndan k vr larak (,) do ru ilerler. Bu arada tabloda olmayan x= düfley asimptodu ve y= x - 5 grafikte unutmamak gerekir. + 4 MATEMAT K 8 e ri asimptodu 7) 4- y = x4 x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. Çözüm ) x - = x = ± x =, x = - dir. f : R - -, R ) lim f(x) x± = lim x 4 x = x± - ) x =, x = - de düfley asimptotu vard r. x 4 x - =x + + x - y = x + fonksiyonunun e ri asimptotudur. 4) x = için y = d r. y = için x = d r. 57

y = 4x. (x - ) - x. x 4 = 4x5-4x - x 5 = x (x - ) 5) (x - ) (x - ) (x - ) y = x (x - ) = x =, x =, x = - y =, y = 4, y = 4 6) - x - - + y - + + - - + y + 4 - + - + 4 + 7) 5- y = x fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. x - Çözüm ) x - = x = x =, x = - noktalar nda fonksiyon tan ms zd r. f : R -{, -} R 58

) y = lim f(x) = lim x x - = d r. x - ekseni yatay asimptotttur. x ± x ± x - = x =, x = - de düfley asimptot vard r. ) x = y = ve y = için x = d r. 4) y = (x - ) - 4x = -x - (x - ) (x - ) = -(x + ) (x - ) y = -(x + ) = x + = x = - Reel kök yoktur. y < d r. 5) x - - + y - - - - y - + - + 6) 59

Trigonometrik Fonksiyonlar n Grafikleri Trigonometrik fonksiyonlar n grafikleri çizilirken afla daki durumlar dikkate al n r: a) Önce periyod bulunur. Periyod geniflli inde bir aral kta de iflim incelenip grafik çizilir. Öbür periyod geniflli inde ard fl k aral klarla ilk çizilen grafik tekrarlan r. b) Fonksiyon kesirli ise düfley asimtot bulunur. c) Eksenleri kesti i noktalar bulunur. d) Türev al n r. Yerel ekstramum noktalar hesaplan r. e) De iflim tablosu yap larak grafik çizilir. Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulmay ö renmeden grafik çizmeye geçmeyin. - y = + Cos x in grafi ini çiziniz. ) Cos x in periyodu = O hâlde,, aral nda grafi ini çizmek yeterlidir. ) Aral k s n rl oldu u için asimptot hesaplanmaz. ) Eksenler kesti i noktalar. x = için f() = + Cos. = + = x = π için f(π) = + Cos π = + = y = için + Cos x = Cos x = - Cos x = Cos (π + kπ) x = π + kπ, k = için x = 4) f (x) = - Sin x; f (x) = - Sin x = Sin x = Sin x = Sin (kπ) x = kπ ise x = k k = için x =, k = için x =, k = için x = π 6

5) x π y - + y MATEMAT K 8 6) - y = Sin x - fonksiyonunun grafi ini çiziniz. Sin x + Sin x - periyodu = = =T Sin x + periyodu = = =T ) Fonksiyonun periyodu (T, T ) ekok = π Grafi i [, π] aras nda çizmek yeterlidir. ) Sin x + = Sin x = - Sin x = - = Sin ( + 6 ) = Sin ( 7 6 ) Ç = x x = 7 6 + k v x = ( - 7 ) + k, k z 6 k = için x = 7 6 x = 6 x = - 6 = p - 6 = 6 ve x = 7 da düfley asimptot vard r. 6 6

) x = için y = - y = için Sin x - = Sin x = Sin x = Sin x = dir. 4) y = x = π için y = - x = π için y = - dir. Cos x. ( Sin x + ) - Cos x. (Sin x - ) ( Sin x + ) = Cos x ( Sin x + ) y = Cos x = Cos x = Cos x = Cos + k x = + k dir. k = için x =,k = için x = y =, y = dir. O hâlde, ve, noktalarında maksimum ve minimum vardır. 5) x π π y + - - - + + y - - - + + - - 7 6 6 max. min. Tablonun Okunmas : (,) noktas ndan bafllayan fonksiyon, maksimum noktas na u rayarak (,-) noktas ndan geçer ve x= 7 6 düfley asimptoduna yaklafl r. Sonra 7 6, + dan bafllayan fonksiyon (x=7 6 düfley asimptodun pozitif yönünden) x= 6 x= 6, minimum noktas ndan geçerek, + do ru yaklafl r. Burada 6 düfley asimptotdur. Daha sonra, - bölgesinden bafllayan fonksiyon 6, düfley asimptodu da negatif yönde te et çizerek (, -) noktas ndan geçerek e ri çizer. 6