Matematik 8 Ders Notu

T.C. M LLÎ E T M BAKANLI I AÇIK Ö RET M OKULLARI (AÇIK Ö RET M L SES - MESLEK AÇIK Ö RET M L SES ) Matematik 8 Ders Notu Haz rlayan Ayhan ÖZDEM R ANKARA 4

Copyright MEB Her hakk sakl d r ve Millî E itim Bakanl na aittir. Tümü ya da bölümleri izin al nmadan hiçbir flekilde ço alt lamaz, bas lamaz ve da t lamaz. Resimleyen Grafik Tasar m Dizgi : Hatice DEM RER Ozan AKORAL Bülent DURSUN : Süleyman B LG N : Nazmi KEP R Havva ÖZKAN Münevver KARABACAK

SUNU E itim kavram yaflam boyu süren çok önemli bir etkinliktir. E itim süreci ilk ça lardan beri sürekli olarak geliflim göstermektedir. Teknolojinin geliflim göstermesiyle birlikte, yeni bilgi ve iletiflim teknolojileri e itim sürecinde h zla kullan lmaya bafllanm flt r. Günümüzde pek çok problemin çözümünde e itimin etkin bir flekilde kullan lmas gereklidir. Pek çok çaba ve çözümün içinde, biliflim teknolojisi geleneksel araçlar aras ndan s yr larak öne ç kmaktad r. Öne ç kan bu teknolojiyle birlikte geliflen ve önemini giderek art ran yöntemlerden birisi de yer, zaman ve yafl s n rlamas olmayan uzaktan e itimdir. Uzaktan e itim yolu ile e itim görmekte oldu unuz Aç kö retim Lisesi nde, Genel Müdürlük olarak sizlere sundu umuz hizmetlerden birisi de ders notu mahiyetindeki kitaplar m zd r. Uzaktan e itim ilkelerine uygun olarak haz rlanan bu ders materyali lise müfredat programlar na uygun olarak haz rlanmaktad r. Haz rlanan bu ders notlar m z, müfredat programlar nda meydana gelen de iflikliklere paralel olarak yenilenmekte ve güncellefltirilmektedir. Bu ders notundan yararlanacak olan ö rencilerimize baflar lar diliyor, ders notlar n n haz rlanmas nda eme i geçen tüm Genel Müdürlü ümüz çal flanlar na teflekkür ediyorum.

Ç NDEK LER ÜN TE I TÜREV Türev......................................................... Soldan türev, sa dan türev........................................4 Türev kurallar..................................................4 Ters fonksiyonun türevi..........................................9 Bileflke Fonksiyonun Türevi..................................... Kapal fonksiyonun türevi........................................ Ard fl k türevler................................................ Trigonometrik fonksiyonlar n türevi................................4 Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevi.............................5 Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar n Türevi...........................7 Türevin limit sorular nda uygulanmas.............................. Birinci dereceden al nan türevin geometrik yorumu................... Türevin fiziksel anlam.........................................5 Özel tan ml fonksiyonlar n türevi.................................5 Türevin uygulamalar...........................................8 kinci türevin geometrik anlam...................................6 Maksimum ve minimum problemleri...............................4 Fonksiyonlarda Asimptot Bulma..................................4 Grafik çizimleri...............................................47 Örnekler......................................................64 Özet.........................................................78 De erlendirme Testi...........................................79 De erlendirme testinin çözümleri..................................8

ÜN TE II NTEGRAL ntegral...........................................................87 ntegral alma yöntemleri..............................................9 Basit fonksiyonlar n integralleri ve örnekler.............................. Rasyonel ifadelerin integrali..........................................9 Trigonometrik de iflken de ifltirme kural................................ E ri alt nda kalan bölgenin alan......................................9 Belirli integral.....................................................8 ki e ri ile s n rlanan bölgenin alan....................................4 Örnekler..........................................................46 Dönel cisimlerin hacimlerinin bulunmas................................55 Özet.............................................................59 De erlendirme Testi...............................................6 De erlendirme testinin çözümleri ()...................................6 ÜN TE III MATR SLER Matrisler..........................................................69 ki matrisin eflitli i..................................................7 Toplama ifllemi.....................................................7 Matrislerde toplama iflleminin özelikleri.................................7 Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özelikleri...........................7 Matrislerde çarpma ifllemi............................................7 Çarpma ifllemine göre birim matris.....................................74 Kare matris........................................................74 Matrislerde çarpma iflleminin özelikleri.................................75

Kare matrisin kuvvetleri.............................................76 Bir matrisin çarpma ifllemine göre tersi..................................76 Matrislerde transpoz (Devrik) ifllemi....................................79 Matrislerde transpoz (Devrik) iflleminin özelikleri.........................79 Örnekler..........................................................8 Determinantlar.....................................................8 Sarrus kural......................................................85 Determinantlar n özelikleri...........................................86 Lineer Dönüflümler.................................................88 Örnekler..........................................................89 Özet.............................................................9 De erlendirme Testi...............................................9 De erlendirme Testinin Çözümleri ()..................................9 SÖZLÜK.........................................................95 flaretler..........................................................98 KAYNAKÇA.....................................................

ÜN TE I TÜREV Türev Soldan türev, sa dan türev Türev kurallar Ters fonksiyonun türevi Bileflke fonksiyonun türevi Parametrik fonksiyonlarda türev Kapal fonksiyonun türevi Ard fl k türevler Trigonometrik fonksiyonlar n türevi Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevi Loraritma ve üstel fonksiyonlar n türevi Türevin limit sorular na uygulan fl L Hospital kural. dereceden al nan türevin geometrik yorumu. (te etin e imi, normalin denklemi) Türevin fiziksel anlam (H z ivme) Özel tan ml fonksiyonlar n türevi Türevin uygulamalar kinci türevin geometrik anlam Maksimum ve minumum problemleri Fonksiyonlarda asimptot bulma Grafik çizimleri Örnekler

BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde); * Türevin tan m n ve gösteriliflini ö renecek, * Bir noktada türev almay ö renecek, * Sa dan ve soldan türevleri kavrayacak, * Türev kurallar n kavray p, örnek çözecek, * Ters ve kapal fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Bileflke fonksiyonun türevini almay ö renecek, * Parametrik fonksiyonlarda türev almay ö renecek * Ard fl k türev almay ö renecek, * Trigonometrik fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Logaritma ve üstel fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * L Hospital kural n kavray p limit problemlerinde belirsizli indeki durumlar için türevi kullanacak,, * Te etin e imini ve normalin denklemini türev yard m yla bulmay ö renecek, * H z ve ivme problemlerinde türevden yararlanmay ö renecek, * Özel tan ml fonksiyonlar n türevlerini almay ö renecek, * Her türevlenebilen fonksiyon sürekli mi yoksa aksi de do ru mu sorular n n cevab n bulacak, * Ekstremum de erin ne oldu unu ö renecek, fonksiyonlar n ekstremum de erini bulacak, * Fonksiyonun yerel maksimum veyerel minimum noktalar bulmay ö renecek, * Rolle ve ortalama de er teoreminin türevde ne ifle yarad n ö renip, bu teoremler sayesinde ilgili sorular çözmeyi ö renecek, * kinci türevin geometrik anlam n kavrayacak, niçin ikinci türev gerekli sorusunun cevab n bulacak, * Maximum ve minimum problemleri için türevin gereklili ini anlayacak, * Fonksiyonlar n asimptotlar n bulmay ö renecek, * Çeflitli fonksiyonlar n grafik çizimlerini yapabileceksiniz. BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Türev konusundan önce, fonksiyon, limit ve süreklilik konular n iyi ö reniniz. * Tan mlar dikkatli okuyunuz. * Verilen formülleri ezberleyiniz. Ezberledi iniz formüllere yönelik örnekler çözünüz. * Çözülen örnekleri yazarak çal fl n z. Sonra kendiniz çözmeyi deneyiniz. * Çözemezseniz mutlaka hatan z bulunuz, tekrar çözmeye çal fl n z. * Bölüm sonundaki de erlendirme sorular n araflt rarak çözünüz.

ÜN TE I. TÜREV a, b R olmak üzere, f: a,b R fonksiyonunda; x (a,b) ve MATEMAT K 8 f(x) - f x lim xx x - x R ise bu limite, f fonksiyonunun x noktas ndaki türevi denir ve df dx x ya da f x ile gösterilir. f (x) - f x Öyleyse, f x = lim xx d r. Di er bir ifade ile, x - x h R - olmak üzere, x = x + h yaz l rsa lim xx f (x) - f x x - x = lim h fx + h - fx h f x = lim h fx + h - f (x ) h olur. oldu undan, Örnek: f: R R, f(x) = x fonksiyonunun x noktas ndaki türevini, türev tan m n kullanarak bulunuz. Çözüm f(x) =x f(x ) =x f (x ) = lim xx f(x) - f(x) x - x = x lim - x xx = lim x - x xx = lim (x + x ) = x xx olur. x - x x + x x - x Türevi dy dx, y, f (x ) gibi ifadelerden biriyle gösterece iz.

SOLDAN TÜREV, SA DAN TÜREV f : A R fonksiyonunda x A olmak üzere lim x x - f(x) - f(x ) x - x R limitine, f fonksiyonun x noktas ndaki soldan türevi denir ve bu türev f (x - ) ile gösterilir. lim x x + f(x) - f(x ) x - x R limitine, f fonksiyonun x noktas ndaki sa dan türevi denir ve bu türeve f (x + ) ile gösterilir. Bir fonksiyonun, x noktas nda türevli olabilmesi için, x noktas ndaki sa dan ve soldan türevleri eflit olmas gerekir. Örnek: f : RR, f(x) = x- fonksiyonun x = noktas ndaki sa dan ve soldan türevini, türev tan m n kullanarak bulunuz. Çözüm : f ( - ) = f ( + ) = lim x - lim x + f(x) - f( - ) x - - = f(x) - f( + ) x - + = lim x - lim x + x - - x - x - - x - = = -(x - ) x - = - (x - ) x - = f(x) fonksiyonunun x = noktas nda limiti yoktur. Limiti olmayan fonksiyonun türevi de olmayaca ndan x = noktas nda türevi yoktur. f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olsun. TÜREV KURALLARI. C R, f(x) = C ise f (x) = yani, sabitin türevi her zaman s f rd r. Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevlerini bulunuz. a) f(x) = b) f(x) = -5 c) f(x) = 4

Çözüm a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = MATEMAT K 8 ) f(x) = x n, n R olsun. f (x) = n. x n- olarak yaz l r. Örnek : a) f(x) =x b) f(x) = x c) f(x) = x Çözüm a) f(x) =. x - = x = x b) f(x) = x = x f(x) = x - = x- = x c) f(x) =. x- =x Çarp m n Türevi ) (f. g) = f. g + g f Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x. (x + ) b) f(x) = x. ( - x ) 5

Çözüm a) f (x) = (x) (x + ) + (x). (x + ) =. (x + ) + x. (x) =x + + 4x = 6x + b) f (x) = (x ). ( - x ) + (x ). ( - x ) = (x). ( - x ) + x ( -x ) =x - x 4 - x 4 = x - 5x 4 4) (f n ) = n. f n-. f Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = (x -) b) f(x) = (x - x) 5 Çözüm a) f (x) =. (x -) -. (x -) = (x -). () = 6 (x-) b) f (x) = 5. (x - x) 4. (x - x) = 5. (x - x) 4. (x - ) Bu tip sorularda ö renciler parantez içinin türevini almay unutuyorlar, dikkat ediniz. 5) (f + g) = f + g (f - g) = f - g Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x - 4x + 5 b) f(x) =x - x - x 6

Çözüm a) f (x) = 6x - 8x b) f(x) =x -. x - = x - x - MATEMAT K 8 Bölümün Türevi 6) f g = f. g - f. g g Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x - x + b) f(x) = x - x + (g) Çözüm a) f (x) = (x - ). (x + ) - (x - ). (x + ) (x + ) =. (x + ) - (x - ). () (x + ) = x + - x + (x + ) = (x + ) b) f(x) = (x - ) (x + ) - (x - ). (x + ) (x + ) = x (x + ) - (x - ) () (x + ) = 4x + 6x - x + (x + ) = x + 6x + (x + ) 7) n f f = n n. f n- (Formül a) ( f = f f (Formül b) Örnek : Afla daki fonksiyonlar n türevini bulunuz. a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = (x - ) 7

Çözüm : a) I. yol a) f(x) = x = x = x - = x - = = x x II. yol formül b den a) f(x) = x f(x) = x. x = x b) I. yol b) f(x) = x =x f (x) = x - = x = x II. yol formül b den b) f(x) = (x ) x = x x x = x x = x c) I. yol c) f(x) = (x - ) = (x - ) f(x) = (x - ) - (x - ) = (x - ) - (x) = x. (x - ) II. yol n = formül a dan, (x f (x) = - ) = x. (x - )-. (x - ) Yukar daki formül a ve b ayn ifadelerdir. Formül b, formül a n n özel hâlidir. Ancak ö renciye tavsiyemiz formülsüz türev alma yoludur. 8

TERS FONKS YONUN TÜREV MATEMAT K 8 AR, BR f: AB fonksiyonu bire bir örten olsun. f fonksiyonu x A noktas nda türevli ve f (x ) ise, f - : BA fonksiyonuda x n f alt ndaki görüntüsü olan y noktas nda türevlidir ve (f - ) (y ) = f (x ) f (x ) fleklinde gösterilir. Yukar daki tan mdan anlafl laca üzere, tan m ve de er kümesindeki belirli aral klara göre fonksiyonun tersi mevcut olur. Örnek : f:r ( -4, + ) f(x) = y = x - 4 fonksiyonu veriliyor. (f - ) (x) nedir? Çözüm : I. yol : Fonksiyon : ve örten oldu undan önce tersini alal m, sonra da ifadeyi türevleyelim. Yani; y = x - 4 x = y - 4 x + 4 = y x + 4 = y = f - (x) f - (x) = x + 4 oldu undan türevi, f - (x) = (x + 4) = (x + 4)-. (x + 4) = x + 4 II. yol : Yukar daki formüle göre; y = x - 4 x = y + 4 f - (y ) = f (x ) f - (y) = x = y + 4 f - (x) = olur. x + 4 oldu undan, 9

B LEfiKE FONKS YONUN TÜREV y = f(u) u = g(x) oldu unu kabul edelim. y = f [g(x)] = (fog) (x) olarak söylenir. (fog) (x) fonksiyonun türevi (fog) (x) = f [g(x)]. g (x) fleklinde hesaplan r. Örnek : f, g : R R f(x) = x + 5, g(x) = x - 5 ise (fog) (x) de erini bulal m. Çözüm : I. yol : (fog) (x) = f [g(x)]. g (x) =(x) o [x - 5]. =(x - 5). =(6x - ). = 8x - II. yol : Fonksiyonun bileflkesi al n r, sonra türevlenir. (fog) (x) = f [g(x)] = (x-5) + 5 = 9x - x + (fog) (x) = 8x - PARAMETR K FONKS YONLARDA TÜREV t parametre (de iflken) olmak üzere, parametrik fonksiyonlardan birinci türev x = f(t ) ve y = g(t) ise dy dx = dy dt dx dt = dy dt. dt dx

Parametrik fonksiyonlar n ikinci mertebeden türevi ise y = f(x) fonksiyonu, y = f(t) ve x = g(t) fleklinde x ve y parametrik fonksiyonlarla ifade edildi inde her zaman y yi x türünden ifade edemedi imizden, art arda türev alma yöntemini uygulayamay z. Bu durumda afla daki kural kullan r z. dy dx = z = y t x t diyelim d y dx = dz dx = z t x t Örnek : x = t y = t - t ise dy dx =? Çözüm : y nin x e göre türevi direkt olarak al namaz. Çünkü, x t ye ba l ; y de t ye ba l d r. dy dx = dy dt dx dt = (t - t ) ( t ) = - t t = t ( - t) = x ( - x ) dir. Örnek : y = t + ve x = t + t için d y de erini bulal m. dx Çözüm : dy dx = t t+ = z olsun. d y dx = z t = x t t t+ t +t =. (t+) - t. () t+ t+ = 4 t+

KAPALI FONKS YONUN TÜREV F(x,y) = fleklindeki ba nt lara kapal fonksiyon denir. Türevi hesaplan rken birkaç yola baflvurulabilir. Bunlar; ) E er, y yaln z b rak labiliniyorsa, türev al n r. dy ) F(x,y)= ba nt s nda her terimi x e ve y ye göre hesaplanarak y = bulunur. dx ) y = -F x formülünden yararlan l r. Burada F x, F(x,y) ba nt s n n x'e göre türevi F y (y sabit) F y, F(x,y) ba nt s n n y ye göre türevi (x sabit) Örnek : x y + xy - x + y - 5 = ba nt s ile verilen fonksiyonun türevini bulal m. Çözüm F(x,y) = x y + xy - x + y - 5 = F x F y Buna göre, y = - F x =y x + y - (x e göre türev, y sabit) =x y + x + (y ye göre türev, x sabit) F y olarak bulunur. = - y x + y - x y + x + Örnek : x y - xy - 5x + = kapal ifadesinde y = dy dx bulunuz. Çözüm : x y +x y. y - y - xy y - 5 = x yy - xy y = -x y +y + 5 y(x y - xy ) = -x y +y + 5 y = -x y +y + 5 x y - xy y - F x ile bu örnek çözülebilir. F y

x y y ye göre türevi al nd nda x yy oluyor. Ancak, x y, x e göre türevi al nd nda x y oluyor. x yaz lm yor. Kapal ifadelerde türev al n rken, örne in; xy = y + xy = xy = -y y = -y dir. x MATEMAT K 8 f: AR, xy = f(x) fonksiyonunun ARDIfiIK TÜREVLER. mertebeden türevi y = f (x) = df(x) dx. mertebeden türevi y =f (x) = d f(x) dx = d dx ya da Üçüncü mertebeden türevi y = d y dx = d dx dy dx df(x) dx y =f (x) = d f(x) dx = d dx n. mertebeden türevi y (n) =f (n) (x) = dn f(x) dx n = d dx d dx dy dx d f(x) dx d n- f(x) dx n- demek, önce y nin x e göre türevi al, bulunan sonucuda x e göre türevle. Örnek : f: R -{} R f(x) = x fonksiyonunun dördüncü mertebeden türevi

Çözüm f(x) = x - f (x) = -x - f (x) = x - f (x) =-6x -4 f v (x) = 4x -5 = 4 x 5 TR GONOMETR K FONKS YONLARIN TÜREV ) y = Sin f(x) ise y = f (x). Cos f(x) Örnek : y = Sin x ise y = x Cos x ) y = Cos f(x) ise y = -f (x) Sin f(x) Örnek : y = Cos (x -) ise y = -(x - ) Cos (x -) = -4x. Cos (x -) ) y = tan f(x) ise y = f (x). [ + tan f(x)] = f (x) Sec f(x) Örnek : y = tan x ise y = 6x [ + tan x ] = 6x Sec x 4) y = Cot f(x) ise y = -f (x). [ + Cot f(x)]= -f (x). Cosec f(x) Örnek : y = Cot (x 4 -) ise y = -(x 4 -) Cosec (x 4 -) = -x Cosec (x 4 - ) 5) y = [Sin f(x)] n ise y = n. [Sin f(x)] n-. [Sin f(x)] Örnek : y = Sin x ise y =? y = Sin x = (Sin x) oldu undan, y = Sin x. (Sin x) = Sin x. Cos x =. Sin x. Cos x = Sin 6x 4

6) y = [Cos f(x)] n ise y = n [Cos f(x)] n-. [Cos f(x)] Örnek : y = Cos x ise MATEMAT K 8 y = (Cos x ) ise y =. (Cos x ) -. (Cos x ) = (Cos x ). (-x Sin x ) = -6x Cos x. Sin x 7) y = [tan f(x)] n ise y = n [tan f(x)] n-. [tan f(x)] Örnek : y = tan x ise y = tan x. (tan x) = ( tan x). Sec x = 6 tan x. Sec x 8) y = [Cot f(x)] n ise y = n. [Cot f(x)] n-. [Cot f(x)] Örnek : y = Cot 4 x ise y = [Cot x ] 4 = 4. [Cot x ]. [Cot x ] = 4. [Cot x ]. [-x Cosec x ] = -8x Cot x. Cosec x TERS TR GONOMETR K FONKS YONLARIN TÜREV ) y=arcsinx Fonksiyonu Arcsin f(x) = Sin - f(x) dir. y = Arcsin x x = Sin y - y - x (Arcsin x) = - x genel olarak, Arcsin f(x) = f (x) - f(x) Örnek : y = Arcsin x dy dx = x - x 4 ise dy dx =? 5

) y= Arccosx Fonksiyonu Arccos f(x) = Cos - f(x) y = Arccos x x = Cos y y π, - x Örnek : y=arccos (x+) ise dy dx =? dy dx = - -(x+) (Arccos x) = - x genel olarak, Arccos f(x) = ) y=arctanx Fonksiyonu -f (x) - f(x) Arc tan f(x) = tan - f(x) y = Arc tan f(x) x = tan y - < y <, - <x < (Arc tan x) = genel olarak, + x Arc tan f(x) f (x) = + f(x) Örnek : y = Arc tan (x -) ise dy dx =? dy dx = (x - ) + (x - = 6x ) + (x - ) 4) y=arccotx Fonksiyonu Arccot f(x) = Cot - f(x) y = Arccot f(x) x = Cot y < y < π, - < x < + (Arccot x) = - + x genel olarak, Arccot f(x) = -f (x) + f(x) 6

y=sec f(x) ve y=cosec f(x) fonksiyonlar n türevleri, bölme kural ndan ç kart l r. Sec f(x) = Cos f(x) ve Cosec f(x) = Sin f(x) oldu undan MATEMAT K 8 Örne in : y = Sec x y = Cos x y = () Cos x -. (Cos x) (Cos x) =. Cos x - (-Sin x) Cosx = Sin x Cosx Örnek : y = Arccot x ise dy dx =? dy dx = -( x) - + ( = x x) + x = - ( x). ( + x) LOGAR TMA VE ÜSTEL FONKS YONLARIN TÜREV y = Log e x = lnx x = e y dir. n N + olmak üzere, lim x+ ( + n )n = e =,78... dir. ) ln f(x) = f (x) f(x) Örnek : y = (lnx) ise y = lnx ise ) a R + ve a olmak üzere log a f(x) = lna. f (x) f(x) dy dx = x dy dx = (x ) x = x x = x Örnek : y = log x dy ise dx = ln. (x ) = x x x ln = xln Örnek : y = log 5 (Sin x dy ) ise dx =? Çözüm : ln 5. (Sin x ) Sin x = x Cos x ln 5. Sin x = x ln 5. Cot x 7

Üslü fonksiyonlar n türevi ) e f(x) = f (x) e f(x) Örnek : y = e Sin x dy ise dx =? dy dx = (Sin x) esin x = Cos x. e Sin x ) a R + ve a olmak üzere, a f(x) = f (x). a f(x) Ln a Örnek : y = x ise dy dx =? Çözüm : dy dx = (x ). x. Ln = 6x. x. Ln ) f(x) > ve y = f(x) g(x) ise, dy = y. g(x). Ln f(x) dx Örnek : y = x Cos x ise y =? Çözüm : y =x Cos x. Cos x. Ln x = x Cos x -Sin x. Ln x + x (Cos x) 8

fiimdiye kadar türev alma kurallar n ö rendik. Afla daki tabloda ilgili türev alma kural ve örnekleri verilmifltir. nceleyiniz. SORU f(x) = ise f(x) =? LG L FORMÜL f (x) = C, C R ise f (x) = f (x) = ÇÖZÜM f(x) =x ise f(x)=? f(x) =x n ise f(x) =nx n- f(x) = x f(x) =x.cos x ise f(x)=? f(x) = x Sin x f(x) =x, g(x) = x- ise (gof) (x) =? x = t, y = t -, dy dx =? x y + y + x = dy dx =? y = x 4 ise y v (x) =? y = Sin (Cos x) ise y =? y = Cos (ln x) ise y =? y = tan 5x ise y =? y = Cot 5x ise y =? f(x) = u. v ise f(x) = u. v + uv f(x) = u v ise f(x) =uv - uv u (gof) (x) = g f(x). f(x) dy dx = dy dt dx dt Kapal fonksiyonun türevine bak. n. mertebeden türeve bak y = Sin f(x) ise y = f(x). Cos f(x) y = Cos f(x) ise y = -f(x) Sin f(x) y = ln g(x) ise y = g (x) g(x) y = tan f(x) ise y =f(x). Sec f(x) y = Cot f(x) ise y = -f(x)cosec f(x) f(x) = (x) Cos x + (x) (Cos x) = Cos x - x Sin x (x) Sin x - x. (Sin x) f(x) = Sin x = Sin x - x Cos x Sin x (gof) (x) = x dy dx = t = t = x xy+x y +yy+ = y = - xy+ x +y y = 4x y = 4x y = x y v = 4 y = (Cos x)cos (Cos x) = -Sin x. Cos (Cos x) y = -(lnx) Sin lnx = - x y = 5 Sec 5x y = -x Cosec 5x Sin (lnx) y = arc Sin (Cos x) ise y =? y = arc Sin f (x) ise y = f(x) - f(x) y = (Cos x) -Cos x = -Sin x -Cos x y = arc Cos (ln x) y =arc Cos f(x) ise y = -f(x) - f(x) y = -(Ln x) = -(Ln x) - x -(Ln x) y = arc tan x y = arc Cot x y= + f(x) y = - + f(x) y = +4x y = - +9x 9

SORU LG L FORMÜL ÇÖZÜM y = ln (x + ) ise y =? y = log x ise y =? y = e Sin x + Cos x ise y =? y = x +x ise y =? y = ln f(x) ise y = f(x) f(x) y = log a f(x) ise y = ln a. f(x) f(x) y = e f(x) ise y = f(x) e f(x) a R + ve a olmak üzere y = a f(x) ise y = f(x).a f(x). Lna y = (x +) x + = x x + y =. x Ln x = Ln x = x Ln y = (Sin x + Cos x) esin x + Cos x = (Cos x - Sin x) esin x + Cos x y = (x + x). x +x. ln = (x + ). x +x. ln y = x Sin x ise y =? y = f(x) > ise y = f(x) g(x) y = y. g(x). Ln f(x) y =x Sin x. Sin x. Lnx = x Sin x. Cos x Lnx + x Sin x L HOSP TAL KURALI TÜREV N L M T SORULARINA UYGULANMASI f(x) E er lim xx g(x) limitinde ya da lim xx f(x) g(x) = lim f (x) xx g(x) olur. belirsizli i varsa, Limit hesaplan rken ya da sonucu bulunursa pay ve paydan n türevi al n r. E er yine ya da sonucu bulunursa yine pay ve paydan n türevi al n r. Sonuç bir reel say ç kana dek ifllem devam ettirilir. Örnek : lim x x - x - =? Çözüm : - - = belirsiz. O hâlde, pay ve paydan n türevini alal m. lim x x = lim x =. = x

Örnek : x lim Cos x - Sin x =? MATEMAT K 8 Cos Çözüm : - Sin lim x = - = (Cos x) ( - Sin x) = lim -Sin x x -Cos x = lim Sin x x belirsiz. Pay ve paydan n türevini alal m. Yani, Sin Cos x = Cos = Tan = Örnek : lim x+ e x - x =? Çözüm : e - = belirsiz. Pay ve paydan n türevini alal m. lim e x x+ x = e+. = Yine pay ve paydan n türevini alal m. lim e x x = e = + = + B R NC DERECEDEN ALINAN TÜREV N GEOMETR K YORUMU Bir Fonksiyon Grafi inin Bir Noktas ndaki Te etinin E imi f: [a, b] R fonksiyonu, x (a,b) olmak üzere x noktas nda türevlenebilir fonksiyon ise; f fonksiyonun grafi inin (x,f(x )) noktas ndaki te etinin e imi, m t = f (x ) olarak hesaplan r. Te etin denklemi ise, y - f(x ) = f (x ). (x-x ) olur. Te ete (x, f(x )) noktas nda dik olan do ruya, f fonksiyonun grafi inin (x, f(x )) noktas ndaki normali denir. Öyleyse (x, f(x )) noktasn daki normalin e imi, M N = - f (x ) olarak hesaplan r. Normalin denklemi ise, olur. y-f(x ) = - f (x ) (x - x )

Örnek : 8y = x - x + 6 e risinin (, ) noktas ndaki te et ve normal denklemlerin bulunuz. Bu e rinin hangi noktas nda te etinin e imi 9 ye eflittir. Hangi noktadaki te et x eksenine paraleldir? Çözüm : y = x - x + 6 oldu undan e im, 8 O hâlde, x = için te etin e imi,. - 8 dy dx = x - 8 = - dir. y - f(x ) = f(x ) (x - x ) y - = - (x - ) y - = - x, x f(x ) y + x = 4 bulunur. Normal, te ete dik oldu undan, Normalin denklemi; M N = - idi. O hâlde, f(x ) M N = - - = y - f(x ) = f(x ) (x - x ) oldu undan, y - =. (x - ) buradan x - y + 6 = denklemi bulunur. x - 8 = 9 oldu u zaman, 6x - 4 = 7 6x = 96 x = 6 x = ±4 olur.

Bu de erleri 8y = x - x + 6 denkleminde yerine koyal m. x = -4 için 8y = (-4) - (-4) + 6 8y = -64 + 48 + 6 y =, (-4, ) x = 4 için 8y = (4) - (4) + 6 8y = 64-48 + 6 8y = y = 4, (4,4) MATEMAT K 8 O hâlde, (-4, ) ve (4, 4) noktalar nda e im 9 dir. E im s f r oldu u yani, x - = oldu u zaman x = ± dir. O hâlde, x = ± oldu u zaman x eksenine paralel olacakt r. Bu x = ± de erlerini 8y = x - x + 6 denkleminde yerine koyarsak, x = - için 8y = (-) - (-) + 6 8y = -8 + 4 + 6 8y = y = 4 x = için 8y = () - () + 6 8y = 8-4 + 6 y = O hâlde, (, ) ve (-, 4 ) noktalar nda te et x eksenine paraleldir. Örnek : f(x) = x + kx + 8 fonksiyonun e risine, apsisi x = - olan noktas ndan çizilen te et, x ekseni ile pozitif yönde 5 lik aç yapt na göre k =?

Çözüm : x = - noktas ndaki te etin e imi f (-) dir. f(x) = x + kx + 8 f (x) = x + k f (-) = - + k (I) Çizilen te et, x ekseni ile pozitif yönde 5 lik aç yap yorsa m = Tan 5, Tan 5 = - oldu undan m = -. Bu de eri (I) de yerine yazarsak; m = - + k - = - + k k = olarak bulunur. Örnek : f(x) = x + kx + x fonksiyon e risinin, apsisi x = olan noktas ndaki te etin denklemi y + x + = oldu una göre k nedir? Çözüm : f(x) = x + kx + x f (x) = x + kx + f () = + k + Bulunan bir de er, f(x) fonksiyonunda x = noktas ndan çizilen te etin e imidir. Yani, f () = m = 4 + k Bu te etin denklemi y + x + = y = -x - (e im y = ax + b e im m = a) O hâlde e im - = m oldu undan, f () = m = 4 + k = - k = -5 k = -5 olarak bulunur. 4

TÜREV N F Z KSEL ANLAMI Bir hareketlinin gitti i yol s = f(t) denklemi ile belli oldu una göre a) Hareketlinin t an ndaki h z MATEMAT K 8 V t = ds dt = f(t) b) Hareketlinin t an ndaki ivmesi a t = dv dt = v(t) = f(t) olur. Örnek : Hareket denklemi s = olan hareketlinin harekete bafllad andan t - t 6 sa-niye sonraki h z n ve ivmesini bulunuz. (Bu denklemde uzunluk metre, zaman saniye ile veriliyor.) Çözüm H z, v(t) = f (t) = t - v(6) = 6 - = 5 m/sn vmesi, a t = f (t) = f (6) = m/sn Örnek : a R olmak üzere, yol-zaman denklemi s(t)=at olan bir hareketlinin harekete bafllad ktan sonra saniye sonraki h z 4 m/sn oldu una göre bu hareketlinin 6. saniyedeki ald ivmeyi bulal m. Çözüm : s(t) = 6 at ivme = s(t) = at s() = 4a = 4 =.. 6 a = =7 m/sn ÖZEL TANIMLI FONKS YONLARIN TÜREV ) Parçal Fonksiyonlar n Türevi f(x) = g(x), x < a h(x), x a ise ise f(x) = g(x), x < a h(x), x a ise ise Ancak bu fonksiyonlar n x = x noktas ndan türevli olabilmesi için sa dan ve soldan türevlerinin eflit olmas gerekir. 5

Örnek : f (x) = x -, x < ise x, x ise x = noktas ndaki türevini bulunuz. Çözüm : x < için f (x) = 6x öyleyse, f ( - ) = 6. = x için f (x) = - x öyleyse, f (+ ) = - 4-4 oldu undan, x = noktas nda fonksiyonun türevi yoktur. ) Mutlak De er Fonksiyonu Mutlak de er fonksiyonun türevi al n rken mutlak de erin tan m na dikkat edilir. Yani; f(x) = f(x), f(x) ise -f (x), f(x) < ise Örnek : f(x) = x - 6x + 5 ise f (4) =?, f () =?, f () =? Çözüm. yol : Önce fonksiyonu parçal fonksiyon hâline getirelim. x - 6x + 5 = x - 5 + (x - 5) (x - ) = x - 6x + 5 + - + x = 5, x = f(x) = x - 6x + 5, x ise -x + 6x - 5, < x < 5 ise x - 6x + 5, x 5 ise 6

Bu durumda, MATEMAT K 8 f (x) = x - 6, x ise -x + 6, < x < 5 ise x - 6, x 5 ise f (4) = -. 4 + 6 = - f () =. - 6 = 4 x = noktas kritik nokta oldu undan, f ( - ) =. - 6 = -4 f ( + ) = -. () + 6 = 4 x = noktas nda türev yok. II. yol : y= f(x) türevi y = f (x). f(x) f(x) Bu durumda, f (x) = (x x -6x+5). -6x+5 x -6x+5 x f (x) = (x-6). -6x+5 x -6x+5 Örne in x=4 için x -6x+5 < oldu undan x -6x+5 = - x -6x+5 dolay s yla x -6x+5 x -6x+5 = - f (4) = (.4-6). (-) = - x -6x+5 = (x-5) (x-) oldu undan x= ve x=5 noktalara kritik nokta. O hâlde bu noktalarda türev yok. 7

Tam K s m Fonksiyonun Türevi E er, x de eri tam k sm n içini tamsay yapm yorsa türev vard r ve türevi s f rd r. Örnek : f(x) = [ x ] f () =? f =? Çözüm : f () = [. ] = 6 f = [. ]= [ f(x) = f = türevi yoktur. ] türev vard r. flaret Fonksiyonun Türevi flaret fonksiyonun içini s f r yapan x de erleri için türev yoktur. x de eri iflaret fonksiyonun içini s f r yapm yorsa türevi vard r ve türevi s f rd r. Örnek : f(x) = Sgn (x + ) ise f. + = f (x) = TÜREV N UYGULAMALARI Türevlenebilirlik ve Süreklilik Teorem : f : [a,b] R fonksiyonu x (a,b) noktas nda türevlenebilir ise (f (x ) R), f fonksiyonu x noktas nda süreklidir. Bu teoremin karfl t do ru de ildir. Örnek : f(x) = x- fonksiyonu x = noktas nda sürekli midir? Türevli midir? 8

Çözüm : f(x) = x - = x -, x ise -x +, x < ise lim (x - ) = x + lim (-x + ) = x - f() = - = lim f(x) = f() oldu undan süreklidir. x Ancak, x = noktas nda türevli de ildir. Çünkü, f (x) = +, x ise -, x < ise x = kritik nokta oldu u için, f ( + ) = + f ( - ) = - f ( + ) f ( - ) O hâlde, x = x noktas nda sürekli fonksiyon x = x noktas nda türevlenemeyebilir. Sonuç : f:[a,b] R fonksiyonu x (a,b) noktas nda süreksiz ise f fonksiyonu x noktas nda türevlenemez. f : [a, b] R bir fonksiyonu sürekliyse, [a, b] aral nda fonksiyonun ald maksimum ve minimum de erlere fonksiyonun ekstremum de erleri denir. Teorem : f:[a,b] R fonksiyonu sürekli ve her x (a,b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. a) E er her x (a,b) için f (x) ise f fonksiyonu monoton azalan, f (x) < ise azalan fonksiyondur. b) E er her x (a,b) için f (x) ise f fonksiyonu monoton artan, f (x) > ise artan fonksiyondur. 9

Örnek : - f(x) = x - fonksiyonunun [, ] aral ndaki ekstremum de erlerini inceleyiniz. f (x) = dir. f (x) > fonksiyon artand r. min f(x)= f() =. - = - dür. max f(x)= f() =. - = dir.. f(x) = (x - ) - fonksiyonunun [, 4] aral nda ekstremum de erlerini hesaplay n z. f (x) = (x - ) fonksiyonu [, ) aral nda azalan (, 4] aral nda artand r. f() = ( - ) - = - dir. f(4) = (4 - ) - = 8 dir. f(x) in [,4] aral ndaki minimum de eridir. f(x) in [,4] aral ndaki maksimum de eridir. Yerel Maksimum, Yerel Minimum f(x) fonksiyonu bir (x -, x + ) aral içinde en küçük de erini x noktas nda al yorsa fonksiyonun x noktas nda yerel minimumu vard r. En büyük de erini x noktas nda al yorsa fonksiyonun x noktas nda yerel maksimumu vard r. Yerel minimum veya maksimumun varl için bir > say s n n bulunmas yeterlidir. Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalar na fonksiyonun ektremum noktalar denir.

Örnek : f(x) = -x + 8x - 5 fonksiyonunun [, 7] aral nda sürekli ve türevli oldu u biliniyor. Fonksiyonun maksimum ve minimum de erlerini bulunuz. f(x) = -x + 8x - 5 = - (x-4) + MATEMAT K 8 Teorem : f: a,b R fonksiyonu sürekli ve her x (a,b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. E er x (a,b) noktas f fonksiyonunun bir yerel ektremum noktas ise f (x )= Max f(4) = dir. Min f() = -5 dir. fiekilde x = 4 noktas nda bir maksimuma sahip oldu undan f (x) = -x + 8 f (4) = -. 4 + 8 = -8 + 8 = d r. Örnek : f(x) = x + fonksiyonu [, ] aral nda sürekli, (, ) aral nda türevlidir. Fakat fonksiyon bu aral k içinde hiçbir noktada türevi s f r de ildir. Çünkü (, ) aral nda fonksiyon ekstremuma sahip de ildir. Teorem : (Rolle Teoremi) f(x), [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli bir fonksiyon olsun. f(a) = f(b) ise, bu fonksiyonun türevi (a, b) aral nda en az bir x noktas nda s f r de erini al r. Örnek : f(x) = x + 4x + olsun. x (-5, ) için f (x ) = Rolle teoremini kullanarak gösterelim.

Çözüm : f(-5) = (-5) + 4(-5) + = 8; f() = + 4. + = 8 oldu undan x (-5,) için f (x ) = olur. f (x) = x + 4 = x = - (-5, ) ve f (-) = -. + 4 = d r. Örnek : f(x) = x - [ x ] fonksiyonuna [, 4] aral nda Rolle Teoremi kullan lamad n gösterelim. Çözüm : f() = - [ () ] = - =, f(4) = 4 - [ (4) ] = 4-4 = Fonksiyon (, 4) te türevlidir. Fakat fonksiyon (, 4) te sürekli olmas na ra men [, 4] de sürekli de ildir. lim f(x) = lim x - [ 4 ] = lim (x - ) = x4 - x4 - x4 - lim f(x) = lim x - [ 4 ] = lim (x - 4) = x4 + x4 + x4 + Fonksiyon x = 4 noktas nda sürekli de ildir. Fonksiyona bu aral kta Rolle Teoremi uygulanamaz. Teorem : (Ortalama De er Teoremi) f(x) fonksiyonu [a, b] de sürekli ve (a, b) de türevli ise x (a, b) için f (x ) = f(b) - f(a) b - a d r. Örnek : - y = x - x - 7 fonksiyonunda [,4] aral nda ortalama de er teoremini uygulayal m.

Çözüm : f(x) fonksiyonu (-, ) aral nda sürekli ve türevlidir. f() =. -. - 7 = -5 f(4) =. 4 -. 4-7 = f(4) - f() f(x ) = = + 5 = 8 4 - = 9 f (x ) = 4x - = 9 ise 4x = x = tür. (, 4) olur. MATEMAT K 8 Örnek : - f(x) = Sin (πx) teoremini uygulay n z. + x fonksiyonuna [-, ] aral nda ortalama de er f(a) = f(-) = Sin (-π) + - = -Sin π - = - = - f(b) = f() = Sin (π) + = + = f (x ) = f(b) - f(a) b - a = f() - f(-) - (-) f (x ) = π Cos π x + = = + 5 Cos π x = = 5 x 5 = Cos π + π k = Cos π x π x = π + k π x = + k k = -, -, -,, x = - = - 5, x = - = -, x = - = -, x 4 = + =, x 5 = + = de erleri elde edilir. x,x, x, x 4,x 5 vard r. (-, ) aral nda ortalama de er teoremini sa layan befl tane nokta Ortalama De er Teoreminin Geometrik Anlam f(x) in iki noktas A ( a, f(a)) ve B(b, f(b)) olsun. f(b) - f(a), AB do rusunun e imidir. x (a, b) için b - a f(b) - f(a) f (x ) = demek, f(x) e risine A ile B aras ndaki en az bir x noktas ndan AB ye paralel bir te et b - a çizilebilir.

Örnek : f(x) = 9 - x yar m çemberinde A(, ), B (, ) verilsin. E ri üzerindeki bir noktadan AB do rusuna paralel bir te et çizmek mümkün müdür? Öyleyse, te etin denklemini yaz n z. f(x) = 9 - x y +x = 9 AB do rusuna paralel te etin de me noktas n n apsisi (, ) aral nda ortalama de erini ald noktad r. f(x) fonksiyonu [, ] de sürekli ve (, ) de türevli oldu undan Ortalama De er Teoremini uygulayabiliriz. 4

f() = ve f() = f (x) = f() - f() - = - - = - f (x) = -x 9 - x - x = - 9 - x 9 - x = x 9 - x =x x = 9 x = 9 x = ± MATEMAT K 8 - (, ) (, ) x = y = dir. Çizilen te etin e imi AB do rusunun e imine eflit olup m = - dir. y - y = m (x - x ) y - = - x - y = -x + bulunur. ÖRNEKLER Örnek - y = e (x-) fonksiyonuna (, 4) da Rolle Teoremini uygulay n z. Çözüm : f(x) fonksiyonu [, 4] aral nda sürekli, (, 4) aral nda türevlidir. f() =e (-) =e (-) =e = e f(4) =e (4-) =e () =e = e f() = f(4) oldu undan Rolle Teoremi gerçeklenir. f (x) = (x - ).e (x-) = (e (x-) = olamaz), (x - ) = x = (, 4) için f () = d r. Örnek : - f(x) = x + 7x + fonksiyonuna (, 7) aral nda Ortalama De er Teoremini uygulay n z. Çözüm : f() = + 7. + = f(7) = 7 + 7. 7 + = f(7) - f() f (x) = = - = 9 7-6 6 = 5 f (x) = x + 7 = 5 x = 8 x = 4 (, 7) için Örnek : - f(x) = x + 6x fonksiyonuna (, 4) aral nda Ortalama De er Teoremini uygulay n z. Çözüm : f() = + 6. = 8 + = f(4) = 4 + 6. 4 = 64 + 4 = 88 f (x) = f(4) - f() 4 - = 88 - = 4 5

f (x) =x + 6 = 4 x = 8 x = 8 x = ± 7 = ± 7, x = 7 (, 4), x = - 7 (, 4) dür. Örnek : 4- f(x) = ax + bx + c fonksiyonunun (p, q) aral nda Ortalama De er Teoremini sa layan x de erinin x = p + q oldu unu gösteriniz. Çözüm : f(p) = ap + bp + c f(q) = aq + bq + c f (x) = f(q) - f(p) q - p = a(q - p ) + b(q - p) q - p f (x) = ax + b = a (q + p) + b x = q + p = a(q + p) + b bulunur. K NC TÜREV N GEOMETR K ANLAMI f: [a, b] R fonksiyonu sürekli, türevi olan bir fonksiyon olsun. E er fonksiyonun grafi i üzerinde al nan her hangi iki noktay birlefltiren kirifl daima grafi in üzerinde kal yorsa, f fonksiyonuna yukar bükey veya konveks e er kirifl daima grafi in alt nda kal yorsa f fonksiyonuna afla bükey veya konkav denir. 6 fiekilde f fonksiyonu (a, c) aral nda yukar bükey (c, b) aral nda afla bükeydir.

MATEMAT K 8 a) f (x ) = ve f (x ) < ise f fonksiyonu x noktas nda f(x ) yerel maksimum de erini al r. b) f (x ) = ve f (x ) > ise f fonksiyonu x noktas nda f(x ) yerel minimum de erini al r. E rinin konvekslikten konkavl a veya konkavl ktan konveksli e geçti i noktaya dönüm noktas denir. E rilik konvekslikten konkavl a E rilik konkavl ktan konveksli e geçmektedir. x=x D.N. d r. geçmektedir. x=x D.N. d r. kinci türevin pozitif oldu u aral kta f(x) in grafi inde e rilik yukar ya do ru veya konvekstir. kinci türevin negatif oldu u aral kta f(x) in grafi inde e rilik afla ya do ru veya konkavd r. Konveks Konkav 7

Örnekler : - y = (x - ) + fonksiyonunun x = noktas nda minimum de erini ald n gösteriniz. Çözüm : y = (x - ); y = (x - ) = x = f (x) = > oldu undan yerel minimum vard r. - f(x) = x + x - fonksiyonunun x = - de maksimum veya minimumunun bulunup, bulunmad n araflt r n z. Çözüm : f = x + ; f (x) = x + = x = - f (x) = > oldu undan yerel minimum vard r. - f(x) = -(x - ) 4 fonksiyonunun x = de dönüm noktas n n bulunup bulunmad n araflt r n z. Çözüm : f (x) = -4 (x - ) ; f (x) = -4 (x - ) = x =, f (x) = -(x - ) f () = - ( - ) = f(x) in x = de dönüm noktas vard r. 4- f(x) = x - 7x - x + fonksiyonunun konkav ve konveks oldu u bölgeleri bulunuz. Çözüm : f (x) = x - 4x - f(x) = 6x - 4 f(x) = 6x - 4 = x = 7 x - 7 + f(x) - + Konkav Konveks D.N. 8

5- f(x) = x + x - fonksiyonunun ekstremum noktalar n bulunuz. Çözüm : f (x) = x + 6x ; f (x) = x + 6x = x(x + ) = x =, x = - f() = -, f(-) = (-) + (-) - = -8 + - = -9 + = f (x) = 6x + 6 f () = 6. + 6 = 6 > oldu undan x= da minimum de erini al r. MATEMAT K 8 al r. f (-) = 6. (-) + 6 = - + 6 = -6 < oldu undan x=- de maksimum de erini x - - + y + - + y - max. - + min. 6- f(x) = x + 6x - 4 fonksiyonunun eksrtemum noktalar n maksimum ve minimum de erini bulunuz. Çözüm : f (x) = x + x; f (x) = x(x + 4) = x =, x = -4 y = -4, y = 8 f (x) = 6x + f () = > oldu undan x= da minimum de erini al r. f (-4) = - < oldu undan x=-4 te maksimum de erini al r. x - -4 + y + - + y - 8-4 + max. min. 9

MAKS MUM VE M N MUM PROBLEMLER NE A T ÖRNEKLER Örnekler : - Çarp mlar olan pozitif iki say n n toplam n n minimum olmas için bu iki say ne olmal d r? Çözüm : Say lara x, z dersek x. z = y = x + z dir. x. z = x = z dir. y = x + x olur. y = - x dir. y = x - = x = x =, x = - say lar pozitif olaca ndan x = dir. x. z = den z = dir. y = x + z y = + = olarak bulunur. y= x - x ise y = x x = için y = = > oldu undan minimum olur. - Toplamlar iki ve çarp mlar maksimum olan pozitif iki say y bulunuz. Çözüm : Say lar: x ve z olsun. x + z = ve y = z. x maksimum olmal d r. z = - x y = x( - x) = -x + x y = -x + -(x - ) = x = dir. x + z = z = dir. y =. = bulunur. y = - < d r. x = için maksimumu vard r. 4

- x + y = 4 çemberi içine bir dikdörtgen yerlefltirilmek isteniyor. Dikdörtgenin çevresinin maksimum olmas için dikdörtgenin kenar uzunluklar ne olmal d r? Çözüm : Çemberde böyle bir dikdörtgenin köflegenleri merkezden geçer. x + y = r r = 4 r = dir. DAB dik üçgeninde Pisagor Teoremi x + y = 4 x + y = 6 Çevresi : z = (x + y) dir. y = 6 - x olur. z = x + 6 - x z = - x 6 - x z = x 6 - x = x = 6 - x 6 - x =x x = 6 x = 8 x = y = 6-8 = 8 = dir. Maksimum çevre : z = (x + y) = + = 8 dir. 4- AB = AC olan bir üçgende BC = a d r. A köflesinden a kenar na indirilen dikme 4a d r. Bu üçgenin içine bir dikdörtgen yerlefltiriliyor. Bu dikdörtgenin alan n n maksimum olmas için kenarlar ne olmal d r, a cinsinden bulunuz. 4

Çözüm : AB = AC, BC = a ve AH = 4a Dikdörtgenin kenar uzunluklar na x ve y diyelim. AGK ~ ABH dir. x a = 4a - y 4a x = a - y 4 S = x. y = a - y y. y = ay - 4 4 S = ay - y ds 4 dy = S (y) = a - 4.. y = a - y ds = y = a ve x = a - a dy 4 = a - a = a y = a, x = a olmal d r. S(y) = - < oldu undan x = a, y = a için S alan maksimum olur. 5- Yar çap 4 olan küre içine yerlefltirilen maksimum hacimli dönel silindirin hacmini bulunuz. Çözüm : 4

AH = y, x + y = 6 d r. OH = x olsun. OAH dik üçgeninde Pisagor ba nt s ndan Silindirin hacmi : V = y. (x) V =. (6 - x ). x V = 6. x - x V = x - x V(x) = - 6x = x = 6 = 6 x = ± 4-4 y = 4. al nmaz x = 4 dür. V =... 4 = 56 9 tür. y = 6-6 = y = 4 bulunur. V(x) = -x V 4 4 = -.. 4 = -6 < oldu undan hacim maksimum olur. FONKS YONLARDA AS MPTOT BULMA y=f(x) fonksiyonunun grafi i üzerindeki de iflken bir p(x,y) noktas alal m. E er, e rinin en az bir kolu sonsuza uzan yorsa ve p noktas n n d do rusuna veya c e risine olan uzakl s f ra yaklafl yorsa, al nan d do rusuna veya c e risine, y=f(x) fonksiyonun asimptotu denir. Afla daki flekillerde yukar daki tan m aç k olarak görülmektedir. d do rusu y=f(x)in do ru asimptotudur c e risi y=f(x) e risinin e ri asimptotudur 4

Düfley Asimptotun Bulunmas y= p(x) fleklindeki rasyonel fonksiyonlarda, Q(x)= denkleminin x=a kökü için Q(x) p(a) oluyorsa, denklemi x=a olan do ruya bu fonksiyonun düfley asimtotu denir. Örnek : f(x)= x+ x- fonksiyonunun düfley asimptotunu bulal m. Çözüm : x - = x =,. + = oldu undan x = do rusu düfley asimptotdur. Yatay Asimptotun Bulunmas y=f(x) fonksiyonu için, lim f(x)=b R veya lim f(x)=b R ise, x+ x- denklemi y=b olan do ruya, y=f(x) fonksiyonun yatay asimptotu denir. Örnek : f(x) = 5x +4x- fonksiyonunun yatay asimptotunu bulal m. x +x+ Çözüm : lim x+ 5x +4x- x +x+ = 5 lim 5x +4x- x +x+ = 5 x- o hâlde y= 5 olan do ru f(x) fonksiyonun yatay asimptotudur. Örnek : f(x) = x + fonksiyonun yatay asimptotunun olup olmad n araflt ral m. x- Çözüm : lim x+ lim x- x + = + R x- x + = - R x- f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu yoktur. 44

E ik ve E ri Asimptotlar n Bulunmas MATEMAT K 8 Bir y = f(x) fonksiyonu için lim f(x) = oluyorsa, fonksiyonun e ik veya e ri x asimptotu vard r. Rasyonel fonksiyonlarda e ik veya e ri asimptotu bulmak için pay paydaya bölünür. Bulunan bölüm, fonksiyonun e ik veya e ri asimptotudur. E er, bölüm birinci dereceden polinom fonksiyonu ise e ik, en az ikinci dereceden polinom fonksiyonu ise e ri asimptotudur. Örnek : f(x) = x +x- x+ fonksiyonunun e ik asimptotunu bulal m. Çözüm : lim x x +x- x+ = - x + x - x+ + - x + - x x+ +x - x +x- x+ = x+ - 4 x+ - + - x + - -4 Burada, g(x) = x+ birinci dereceden oldu u için g(x) e ik asimptotdur. Örnek : f(x) = x +x -5 x+ olmad n belirleyiniz. fonksiyonunun e ik ya da e ri asimptotunun var olup 45

Çözüm : lim x +x -5 x+ x = x + x - 5 x+ + x x x +x - - + - x - 5 + x x - - + - -x -5 x +x -5 x+ =x +x - x+5 x+ Burada g(x) = x +x ikinci dereceden oldu u için g(x) e ri asimptot vard r. Örnekler : - f(x) = x - x - fonksiyonunun asimptotlar n bulunuz. a) lim f(x) = lim x- x± x± x - = yatay asimptotdur. b) x - = x = düfley asimptotdur. -f(x) = (x - ) x - fonksiyonunun asimptotlar n bulunuz. a) y = lim x± f(x) = lim x± (x - ) x - = yatay asimptotu yoktur. b) x - = x = düfley asimptotdur. c) (x - ) x - = x - 5x + 7 - x - y = x - 5x + 7 fonksiyonun e ri asimptotudur. 46

GRAF K Ç Z MLER Bir fonksiyonun grafi ini çizerken yap lacak ifllemler:. Fonksiyonun tan m aral bulunur.. lim f(x) hesaplan r. x±. Varsa asimptotlar bulunur. 4. Varsa eksenlerin kesti i noktalar bulunur. 5. Ekstremum noktalar bulunur. 6. Bulunan de erler bir tabloda gösterilir. 7. Tablodan yararlan larak grafik çizilir. Polinom Fonksiyonlar n Grafi i Örnekler: - y = x 4 - x + fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. Çözüm ) Fonksiyon (-, + ) tan ml d r. (Çünkü polinom fonksiyondur.) ) lim x ± f(x) = + dur. ) Asimptot yoktur. 4) x = için y = y = için x 4 - x + = (x - ) = x - = x = x = ± 5) y = 4x - 4x 4x - 4x = x(4x - 4) = x = ve 4x - 4 = x = x =, x = - dir. fiimdi. türevi al p, s f ra eflitleyelim. 47

6) x - - + y - + + - - + y + + min. max. min. Tablonun Okunmas : Fonksiyon (-,+ ) bölgesinden gelerek (-,) noktas n u rar ve (,) noktas na ulafl r. Buradan (,) noktas ndan k vr larak (,) do ru ilerler. Grafik; - y = x + x - x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz. Grafi ini çiziniz. Çözüm ) Fonksiyon (-, + ) aral nda tan ml d r. ) lim x ± f(x) = ± dur. ) Asimptot yoktur. 4) x = için y = - y = için x + x - x - = x (x + ) -(x + ) = (x + ) (x - ) = x = -, x = - x = 48

5) y =x + 4x - y = için x + 4x - = x, = -4 ± 6 + 4. 6 y = f(x ) = - - 7 = -4 ± 7 6 = - ± 7 =k, y = f(x ) = f - + 7 x = - - 7,x = - + 7 =k 6) -- 7 -+ 7 x - - - + y + + + - - - - + + y - k - + k Tablonun Okunmas : (-,- ) dan bafllayan fonksiyon (-,) noktas ndan geçer ve -- 7,k noktas nda maksimum de erini ald ktan sonra (-,) noktas na u rar. Fonksiyon (,-) noktalar na u rad ktan sonra -+ 7,k noktas nda minimum de erini al r ve (,) noktas na u rayarak (, ) yönüne do ru ilerler. 7) 49

rrasyonel Fonksiyonlar n Grafi i y = ax + bx + c biçimindeki bir fonksiyonun grafi i çizilirken afla daki durumlar dikkate al nmal d r. a) ax + bx + c eflitsizli inin çözüm bölgesi fonksiyonun tan m kümesidir. b) a > ise y= + - a x + b e ik asimptot a a < ise e ik asimtot yok. c) y = dan yerel ekstremum noktalar bulunur. Örnekler : - y = x - x+ fonksiyonunun grafi ini çizelim. ) x - x x(x - ) x(x - ) = x =, x = x - + x - + + x- - - + x(x-) + - + fonksiyon tan ms z Tan m kümesi :(-, ] [, ) dur. ) lim x ± x - x+ = lim x - x + = ± x ± ) y = ax ± bx + c formundaki bir fonksiyonun asimptotu y = x ± b a formundad r. y = x - x+ y = x - + y = x - + = x + y = - x - + = - x + 7 do rular fonksiyonun e ik asimptotlar d r. 5

4) x = için y = y = için MATEMAT K 8 f() = ; f() = dir. 5) f (x) = y = x -. x - x f(x) = x - = x = tan m bölgeleri d fl nda kal r. x > için f (x) > d r. x = ve x = için f (x) tan ms zd r. 6) x - + y + - + y + + TANIMSIZ Tablonun Okunmas : Fonksiyon (,) aral nda tan ms z. x=- dan bafllayarak y=+ do ru (-,] aral nda e ri çizerek ilerler. x=+ dan bafllayarak y=+ do ru (,+) aral nda e ri çizerek ilerler. Bu arada y= -x + 7 ve y= x + asimptotlar n dikkate almak gerekir. 7) 5

- y = -x + 4x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. Çözüm : ) y = -x + 4x - = - (x - ) = -(x-). (x-) -(x - ) - (x - ) = (x - ) = x - = ± x =, x = x - + -(x - ) + + - x - - + + f(x) - + - fonksiyon tan ms z fonksiyon tan ms z x Tan m aral : [, ] dür. ) Tan m bölgesi s n rl oldu undan lim f(x) hesaplanamaz. x ± ) Tan m bölgesi s n rl oldu undan asimptot yoktur. (a < oldu undan) 4) x = için y = d r. x = için y = d r. x = için y = dir. 5) f (x) = -x + 4 - x + 4x - f (x) = -x +4 = x = dir. (x= için y= dir) 6) x - + y + + - - y + 5

Tablonun Okunmas : x= ve x= do rular aras nda s n rl d r. Çünkü tan m kümesi, x idi. x= için y= noktas e rinin maksimum noktas d r. 7) TANIMSIZ TANIMSIZ Rasyonel Fonksiyonlar n Grafikleri - y = x - x + ) x + = x = dir. f : (-, -) ( -, +) R fonksiyonunun grafi ini çiziniz. x + x - Tan m kümesi : R - - (-, -) (-, +) ) y = x lim ± f(x) = lim x - = dir. Yani y = do rusu yatay asimptotdur. x ± x + ) x = - de düfley asimptot vard r. (Düfley asimtot payday s f r yapan de er) 4) x = için y = - 5) y = için x = dir. y =. (x + ) -. (x - ) (x + ) = x - x + = (x+) > x - = x = 5

6) x - - + y + + + + y + - - - y = (x - ) (x - ) x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. ) x - = x = de fonksiyon tan ms zd r. Tan m kümesi : R - {} ) Asimptotlar: lim f(x)= (x - ) (x - ) lim = ± x ± x ± x - (x - ) (x - ) y = = x - x + = x + x - x - x - y = x do rusu e ik asimptotdur. Tabloda gösterilmez. x - x + ± x ± x x - x x - = x = do rusu düfley asimptotdur. ) x = için y = - y = için x =, x = dir. 54

. (x - ) + (x - ) (x - ) -. ( x - ) (x - ) 4) y = (x-) = x - 6x + 7 (x-) ; y = x - 6x + 7 = x, = ± = ± x = +, x = - y 6, y, 5) x - - + + y + + + - - - + y - -, - + 6 max. min. 6) - y = (x - ) x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. ) x - = x = de fonksiyon tan ms zd r. f : R - {} R ) lim f(x) = (x - ) lim = x ± x ± x - 55

) x - = x = de düfley asimptot vard r. x - 6x + x - 8 x - x - 6x + x - 8 + - x ±x -5x + x ± 5x ± 5x 7x - 8 + - 7x ± -7 - (x - ) x - =x - 5x + 7 - x - y = x - 5x + 7 e ri asimptotdur. y = (x - 5 ) + 4 parabol e ridir. x - x - 5x + 7 E ri asimptot 4) x = için y = 8 y = için (x - ) = x = dir. 5) y = (x - ). (x - ) -. (x - ) (x-) y = için (x - ) (x - ) - (x - ) (x - ) (x - ) = (x - ) = x =, x =, y= x-. (x-) x- y =, y = 7 4, 6) x - + y - - + + + 7 y + 8 4 + - + min. D.N. 56

Tablonun Okunmas : x=-, y=+ bafllayan fonksiyon (,8) noktas na u rayarak, 7 4 noktas nda minimum de eri ald ktan sonra (-,+) do ru ilerler. Sonra fonksiyon ( +,-) dan gelerek (,) dönüm noktas ndan k vr larak (,) do ru ilerler. Bu arada tabloda olmayan x= düfley asimptodu ve y= x - 5 grafikte unutmamak gerekir. + 4 MATEMAT K 8 e ri asimptodu 7) 4- y = x4 x - fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. Çözüm ) x - = x = ± x =, x = - dir. f : R - -, R ) lim f(x) x± = lim x 4 x = x± - ) x =, x = - de düfley asimptotu vard r. x 4 x - =x + + x - y = x + fonksiyonunun e ri asimptotudur. 4) x = için y = d r. y = için x = d r. 57

y = 4x. (x - ) - x. x 4 = 4x5-4x - x 5 = x (x - ) 5) (x - ) (x - ) (x - ) y = x (x - ) = x =, x =, x = - y =, y = 4, y = 4 6) - x - - + y - + + - - + y + 4 - + - + 4 + 7) 5- y = x fonksiyonunun de iflimini inceleyiniz, grafi ini çiziniz. x - Çözüm ) x - = x = x =, x = - noktalar nda fonksiyon tan ms zd r. f : R -{, -} R 58

) y = lim f(x) = lim x x - = d r. x - ekseni yatay asimptotttur. x ± x ± x - = x =, x = - de düfley asimptot vard r. ) x = y = ve y = için x = d r. 4) y = (x - ) - 4x = -x - (x - ) (x - ) = -(x + ) (x - ) y = -(x + ) = x + = x = - Reel kök yoktur. y < d r. 5) x - - + y - - - - y - + - + 6) 59

Trigonometrik Fonksiyonlar n Grafikleri Trigonometrik fonksiyonlar n grafikleri çizilirken afla daki durumlar dikkate al n r: a) Önce periyod bulunur. Periyod geniflli inde bir aral kta de iflim incelenip grafik çizilir. Öbür periyod geniflli inde ard fl k aral klarla ilk çizilen grafik tekrarlan r. b) Fonksiyon kesirli ise düfley asimtot bulunur. c) Eksenleri kesti i noktalar bulunur. d) Türev al n r. Yerel ekstramum noktalar hesaplan r. e) De iflim tablosu yap larak grafik çizilir. Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulmay ö renmeden grafik çizmeye geçmeyin. - y = + Cos x in grafi ini çiziniz. ) Cos x in periyodu = O hâlde,, aral nda grafi ini çizmek yeterlidir. ) Aral k s n rl oldu u için asimptot hesaplanmaz. ) Eksenler kesti i noktalar. x = için f() = + Cos. = + = x = π için f(π) = + Cos π = + = y = için + Cos x = Cos x = - Cos x = Cos (π + kπ) x = π + kπ, k = için x = 4) f (x) = - Sin x; f (x) = - Sin x = Sin x = Sin x = Sin (kπ) x = kπ ise x = k k = için x =, k = için x =, k = için x = π 6

5) x π y - + y MATEMAT K 8 6) - y = Sin x - fonksiyonunun grafi ini çiziniz. Sin x + Sin x - periyodu = = =T Sin x + periyodu = = =T ) Fonksiyonun periyodu (T, T ) ekok = π Grafi i [, π] aras nda çizmek yeterlidir. ) Sin x + = Sin x = - Sin x = - = Sin ( + 6 ) = Sin ( 7 6 ) Ç = x x = 7 6 + k v x = ( - 7 ) + k, k z 6 k = için x = 7 6 x = 6 x = - 6 = p - 6 = 6 ve x = 7 da düfley asimptot vard r. 6 6

) x = için y = - y = için Sin x - = Sin x = Sin x = Sin x = dir. 4) y = x = π için y = - x = π için y = - dir. Cos x. ( Sin x + ) - Cos x. (Sin x - ) ( Sin x + ) = Cos x ( Sin x + ) y = Cos x = Cos x = Cos x = Cos + k x = + k dir. k = için x =,k = için x = y =, y = dir. O hâlde, ve, noktalarında maksimum ve minimum vardır. 5) x π π y + - - - + + y - - - + + - - 7 6 6 max. min. Tablonun Okunmas : (,) noktas ndan bafllayan fonksiyon, maksimum noktas na u rayarak (,-) noktas ndan geçer ve x= 7 6 düfley asimptoduna yaklafl r. Sonra 7 6, + dan bafllayan fonksiyon (x=7 6 düfley asimptodun pozitif yönünden) x= 6 x= 6, minimum noktas ndan geçerek, + do ru yaklafl r. Burada 6 düfley asimptotdur. Daha sonra, - bölgesinden bafllayan fonksiyon 6, düfley asimptodu da negatif yönde te et çizerek (, -) noktas ndan geçerek e ri çizer. 6

6) 6

ÖRNEKLER Türev kurallar ndan yararlanarak afla daki ifadelerin tan ml oldu u yerlerde, türevlerini bulunuz. - y = x. x Çözüm : Çarp m n türevini hat rlayal m ve, y = (x ) x + x. ( x) - y = (x - ) = x. x + x x = x x + x = 6x +x = 7x x x x ( x) () x Çözüm : - y= (x - ). ( x =. x Not: Yukar da y = x - + x x ) + x - x ) + ( x) (x - ) = x ( x ) + x - x () = x + x - = 4x - x x in türevinin oldu unu görünüz. x Çözüm : Bölümün türevini hat rlayal m ve; y = (x - ). ( + x) - ( + x) (x - ) = (x). ( + x) - () (x - ) ( + x) ( + x) = x + 4x - x + = x + x + ( + x) ( + x) 4- f(x) = x. x ise f () =? Çözüm : Önce verilen ifadeyi parçal fonksiyon olarak yapmakta fayda var. x x = x. x, x ise -x(x), x < ise f (x) = x, x -x, x < f () =. = 4 64

5- f: R R, f(x) = mx fonksiyonun x = noktas ndaki te eti yatayla 6 lik aç yapt na göre m nin de eri nedir? MATEMAT K 8 Çözüm : f(x) = mx f (x) = mx Te etin e imi, m t = tan 6 = x = ise m t = f () = m() = m m = 6- f(x) = x + mx fonksiyonun üzerindeki x = - noktas ndaki te eti OX ekseninin pozitif yönüyle 5 lik aç yapt na göre m =? Çözüm : f(x) = x + mx m t = Tan 5 = -Tan 45 = - m t = f(x) = x + m - = - + m m = f(x ) = - + m Tan 5 = -Tan 45 niçin eflit oluyor. Trigonometri bilgilerinizi gözden geçirin. 7- f(x) = kx + (k - ) x + k - (k R) fonksiyonunun x = noktas ndaki te eti 4x + y = do rusuna dik oldu una göre k =? Çözüm : f(x) = kx + (k-) x + k - f (x) = kx + (k -) x m t = f () = k (4) + (k - ) m t = f () = 6k - 4 = 6k - 4 4 k = 9 64 t d : d: 4x + y = m d = -a b = -4 diklik flart na göre m t = 4 (Çünkü m d.m t = - idi.) 65

8- y = x + 4x - 6 fonksiyonun x = noktas ndasi te etinin denklemi nedir? Çözüm : x = y = x + 4x - 6 y = + 4() - 6 y = x + 4 y = 4 + 8-6 = 6 m t = () + 4 = 8 te et denklemi y - y = m t ( x - x ) oldu undan, yukar da bulunanlar yerine yazarsak, y - 6 = 8 (x - ) y = 8x - 9- y = x ise y =? Çözüm : y = x y = x- y = - 4 x- y = 8 x-5 = 8 x 5 - y = x + x ise y =? Çözüm : y = ( + x) - (x) ( + x) o hâlde y = y = -4 ( + x) - - ( + x) y = -4 ( + x) - y = + ( + x) -4 ( + x) + x - x ( + x) = = ( + x)- ( + x) = + ( + x) -4 = ( + x) 4 66

- y = x. Sin x ise y =? Çözüm : y = (x ) Sin x + x (Sin x) = x Sin x + x Cos x Yukar da çarp m n türevini nas l uyguland ve Sin x in türevinin Cos x oldu una dikkat ediniz. - y = Sec x ise y =? Çözüm : y = Sec x = Cos x Sec x in türevini almak için Cos x - (-Sin x) () y = = Sin x (Cos x) (Cos x) = Sin x Cos x Cos x = Tan x. Sec x yazd k. Ayr ca bölümün türevini kullanarak sonuca gittik. - y = x Cos x Çözüm : y = (x ) Cos x + (-Sin x) x = x ( Cos x - x Sin x) 4- f(x) = Sin x x ise f ( ) =? (Cos x) x -. Sin x Çözüm : f (x) = = x = için x f ( ) = Cos - Sin = - 4 xcos x - Sin x x = -4 Cos = Sin = 67

5- y = Cot x, x = t ise dy dt =? Çözüm : dy dt = dy dx. dx dt = = - Cosec x. t Yukar da de iflken de ifltirme metodu kullan larak türev al nm flt r. Çünkü y, x e ba l, x de t ye ba l d r. 6- y = u, = - Cosec x. t = -.x. Cosec x u= Cos x ise dy dx i bulal m. dy Çözüm : dx = dy du. du dx = u (-Sin x) = - Sin x u = - Sin x Cos x Yukar da de iflken de ifltirme metodu kullan ld. 7- x. y = (x + y) kapal fonksiyonu veriliyor dy dx =? Çözüm : d dx (xy) = d (x + y) dx (. y + xy) = (x + y) ( + y) y + xy = (x + y) + (x + y). y xy - (x + y). y = (x + y) -y y(-x - y) = x + y y = x + y -x -y = - x + y x + y dy dx = - x + y x + y (x e ve y ye göre türev al n yor.) (Da tma ifllemine dikkat edin.) (y lerin eflitli in sol taraf na ald k. Çünkü y yaln z b rak lmal.) 68

8- x y - xy + 6 = kapal fonksiyonuna göre dy dx =? Çözüm : (xy +x y y ) - (. y + yy. x) = xy +y x y - y - 4xy. y = (y x - 4xy) y =y - xy dy dx = y - xy y x - 4xy (x e ve y ye göre türevler ayr ayr al nd.) (y lere ba lanan ifadeleri eflitli in sol taraf na alarak yaln z b rakt k.) x 4 + y dy = kapal fonksiyonuna göre dx =? Çözüm : x +4y = 9- - d dx (x ) + d dy (4y ) = d dx () 6x + 8yy = x + 4yy = dy dx = - x 4y y = ln (lnx) ise dy dx =? (Payda eflitledik, içler d fllar çarp m yapt k.) Çözüm : y = (lnx) lnx = x lnx = xlnx (ln f(x) in türevi = f (x) f(x) dir. 69

y = log (5x ) ise dy dx =? Çözüm : dy dx = (5x ). log e (5x ) = x 5x log e = log e x Log a f(x) in türevi = f (x) f(x) Log a e dir. y = e x ise dy dx =? Çözüm : dy dx = (x ) e x = xe x e f(x) in türevi f(x) e f(x) dir. y = ecos x ise dy dx =? Çözüm : dy dx = (Cos x ) ecos x = -x Sin x ecos x - - - 4- y = e lnx ise y =? Çözüm : y = e lnx = (lnx ) e lnx = x x.x = x Not : e lnx = x e lnx =x 7

5- x - y = fonksiyonuna üzerindeki (, ) noktas ndan çizilen te et ve normalin x - y denklemlerini bulunuz. Çözüm : x = y = x - y x - y = x - y = x - 4y y = x y = x = x dy dx = m t = m t.m N = - oldu undan M N = - Te etin denklemi y - y =m t (x - x ) y - = (x - ) y - x = Normalin denklemi y - y =M N (x - x ) y - = - ( x - ) y = -x + 6- f(x) = -x + x + fonksiyonun artan veya azalan oldu u, aral klar belirtiniz; varsa ekstremum noktalar n bulunuz. Çözüm : f (x) = -x + x - - + = -x + = f (x) - + - -x = - f(x) Azalan - Artan Azalan x = min. max. x = ± f(-) = -(-) + (-) + = + - + = - f() = -() + () + = 7

7- f(x) = - x fonksiyonunun artan veya azalan oldu u aral klar belirtiniz; x + varsa ekstremum noktalar n bulunuz. Rasyonel fonksiyonlarda ekstremum noktalar n bulmak için payday s f r yapan de er aran r. Çözüm : x + = x = - f(x) = (-) (x + ) - () ( - x) (x + ) = -x - - 6 + x (x + ) = -8 (x + ) < - x - + f (x) < d r. f (x) - - fonksiyon daima azalan çünkü, f(x) - - - 8- f(x) = 8x 4-6x fonksiyonun iç bükeylik yönünü inceleyiniz, varsa bükülme noktalar n bulunuz. Çözüm : y = 8x 4-6x ise y = x - x y = 96x - y = dan, x - - + 96x - = y + - + 96x = y x = 96 = x = - ve x = D.N. D.N. 7

y = x - fonksiyonun asimptotlar n bulunuz. Çözüm : Paydas : x - = lim y y ± x = düfley asimptot = lim y ± x - = = Yatay asimtot y = - y = x + x + fonksiyonun asimptotlar n bulunuz. Çözüm : Paydas : x + = x = - düfley asimptot lim y y ± = lim y ± Polinom bölmesini hat rlay n z. x + x + = + x + x + =x - x + 4-7 x + y = x - x + 4 e ri asimptot. x + -+ -+ x x -x + ± x ± 4x 4x + -+ 4x -+ 8-7 x + x - x + 4 9- - y = x + x fonksiyonun asimptot denklemini bulunuz. Çözüm : y = x + x Payda x = düfley asimptot lim y y ± y = y = x e ik asimptot x + x x x + 7

- y = -x + 6x - 5 fonksiyonun grafi ini çiziniz. Çözüm : ) Polinom fleklinde fonksiyon oldu undan tan m kümesi R dir. ) lim y = - (-) = - y - lim y = - () = - y + ) x = için y = -5 4) y = için x = 5 x = 5) y = -x + 6 -x + 6 = x - 5 + y + + + - - y - -5 4 - max. x = 6) - y = x - x + 4x fonksiyonun grafi ini çiziniz. Çözüm : ) Tan m kümesi R ) lim y = - (-) = - y - lim y = - () = y + 74

) x = için y = y = için x - x + 4x = x( x - x + 4) = x = x - x + 4 = Reel kök yok MATEMAT K 8 5) x - + y + + + + + y - + 4) y = x - x + 4 = ise reel kök yok. 6) y = 6x - = ise x = x - + y + + y - D.N. + 4- y = x - x + fonksiyonun grafi ini çiziniz. Çözüm ) Payda x + = x = - Tan m kümesi R - {-} ) x = - için y = x = - düfley asimptot ) lim y y ± = y= yatay asimtot. 5) y = (x + ) > 4) x = için y = - y = için x = x - - + y + + + + y + + - - + 75

5- y = x - x - Çözüm : fonksiyonun grafi ini çiziniz. ) x = Tan m kümesi : R-{} ) x = düfley asimptot. ) lim y = y ± 4) y = için yatay asimtot. x = 5) 6) y = - (x - ) < x - + y - - - - y - + + 76

6- y = x - x x - Çözüm fonksiyonun grafi ini çiziniz. ) Payda x - = x = Tan m kümesi R- {} ) x = düfley asimptot. ) 4) 5) 6) lim y y ± = ± x - x x - - x + +x ± x x - x ± y = x + e ik asimptot. x = için y = - = y = için x = ve x = y = x - 4x + = x - x x + (x - ) y + + - - + x - 4x + = x = + y - y - + y + x = - 77

ÖZET Türevin tan m yap larak bir noktadaki türev ifade edildi. Sa dan ve soldan türev tan mland. Türev kurallar verildi. Ters, parametrik ifadelerde türev ve kapal fonksiyonlar n türevleri verildi. Ard fl k türevler tan t ld. Trigonometrik fonksiyonlar n türevi tan t ld. Ters trigonometrik fonksiyonlar n türevi tan t ld. Logaritma ve üstel fonksiyonlar n türevi tan t ld. L Hospital kural tan t ld. Te etin e imi ve normalin denklemi tan t ld. H z, ivme gibi ifadelerin türevle iliflkisi verildi. Özel tan ml fonksiyonlar n türevi tan t ld. Türevlenebilirlik ve sürekli olmas verildi. Estremum de er ifadesi tan t ld. Yerel maksimum ve yerel minimum noktalar aç kland. Rolle ve ortalama de er teoreminin tan mlar yap ld, ne ifle yarad örneklerle gösterildi. kinci türevin geometrik anlam verildi. kinci türev yard m yla e rinin konveks ve konkav oldu u aral klar bulma verildi. Maksimum ve minimum problemlerinin türev yard m yla çözülmesi gösterildi. Fonksiyonlarda asimptot bulma gösterildi. Grafik çizimleri gösterildi. 78

DE ERLEND RME TEST ( ) ) f(x) = x - 8 - x oldu una göre f (-) in efliti afla dakilerden hangisidir? A) -8 B) -4 C) D) 4 ) f(x) = ln (x -x + 7) fonksiyonun türevi afla dakilerden hangisidir? A) x - B) x - x + 7 x - x - x + 7 C) x - D) x - x ln (x - x) ) f(x) = Cos x fonksiyonu ve [, ] aral veriliyor. f ( f (u) = ) - f() flart n sa layan u say s afla dakilerden hangisidir? A) Arc Sin π B) Arc Cos C) Arc Sin D) Arc Sec 4) x = t + t y = t - t olursa t = için d y dx nin de eri afla dakilerden hangisidir? A) B) C) D) 6 5 4 79

5) y = x - ax - 8 fonksiyonun gösterdi i e rinin y eksinini 8 de kesmesi ve y=x- x - b do rusunu e ik asimtot kabul etmesi için a n n de eri afla dakilerden hangisi olmal d r? A) B) C) D) 6) y = ax + e risinin yatay ve düfley asimptotlar n n kesim noktas (-, ) bx + c oldu una göre a c nin de eri afla dakilerden hangisidir? A) B) C) D) 4 7) y = ve x = do rular n asimptot kabul eden ve y eksenini - noktas nda kesen e rinin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) y = x + B) x + 5 y = x + 6 x + C) y = x + 6 D) x - 8) y = x + bx + cx - fonksiyonunda apsisi x = olan nokta dönüm noktas d r. Fonksiyonun bu noktadaki te etinin e imi (+) oldu una göre c nin de eri afla dakilerden hangisidir? y = x - x + 6 A) B) C) D) 4 9) f(x) = mx + (m + )x + m - fonksiyonun x = - de bir minimumu oldu una göre 4 m kaçt r? A) B) C) D) 4 8

DE ERLEND RME TEST N N ÇÖZÜMLER () MATEMAT K 8 ) x= - de x - 8 = -x + 8 f(x)= - x + 8 - x f (x) = - x + - x f (x)=-6x- f (-)= -6. (-) - =+6 - =4 Do ru cevap D ) f (x) = x - x - x + 7 Do ru cevap A ) f (x) = - Sin x Cos f (u) = - Sin u = - Cos u = Arcsin bulunur. = - = - -Sin u = - Sin u = Do ru cevap C 4) dy dy dx = dt dx dt d dz y dx = dz dx = dt dx dt t = için Do ru cevap A = t - t + = t - t + = z olsun. = t (t + ) - t (t - (t +) = 4t (t +) d y dx nin de eri 4. (t +) = 4. = 4 4 = 6 dir. 8

5) x = için y = 8 olmal d r. Buradan b= bulunur. y = x- do rusunu e ik asimptot kabul etmesi için (x-) + k x- = x - ax - 8 x- x -x++k = x -ax-8 x- x- x - x + +k = x - ax - 8 ise Do ru cevap C a = olmal d r. 6) y = lim ax + bx + c = a b y ± x = - c düfley asimptottur. b yatay asimptot. y = a = a = b b x = - c = - c = b b Do ru cevap A a c = b b = dir. 7) y = x + 6 d r. x - x-= ise x= x+6 x- = lim x x = için y =. +6 - = 6 - = - Do ru cevap C 8) y =x + bx + c = m y = 6x + b = x = - b 6 = - b = - b b = - m =. +. b. + c = + b + c = +. (-) + c c = 4 bulunur. Do ru cevap D 8

9) f (x) = mx + (m + ) = x = - m + m - 4 = - m + m f (x) = m > olmal d r. 6m = 4m + 4 f (- ) =. = 4 > d r. m = 4 m = 4 Do ru cevap B 8

ÜN TE II MATEMAT K 8 NTEGRAL ntegralin tan m ntegral alma yöntemleri Basit fonksiyonlar n integralleri Rasyonel ifadelerin integrali Trigonometrik de iflken de ifltirme E ri alt nda kalan bölgenin alan Belirli integral ki e ri ile s n rlanan bölgenin alan Örnekler Dönel cisimlerin hacimlerinin bulunmas

MATEMAT K 8 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde) * ntegral hesab n niçin gerekli oldu unu ö renecek. * S n rl ve s n rs z fonksiyonlar tan yarak, herhangi bir fonksiyonun s n rl ya da s n rs z olup olmad n söyleyecek. * De iflken de ifltirme kural ile integral almay ö renecek. * K smî integral alma kural ile integral almay ö renecek. * Basit fonksiyonlar n integrallerinin nas l al naca n ö renecek. * Basit kesirlere ay rma yöntemi ile integral almay ö renecek. * Trigonometrik de iflken de ifltirme yöntemi ile integral almay ö renecek. * Basit fonksiyonun ilkelini ö renecek. * E ri alt ndaki alan hesaplamak için parçalama yöntemini ö renecek. * Belirli integral tan m n kavrayacak. * ntegralin. temel teoremini ö renecek. * ntegralin. temel teoremini ö renecek. * Daha basit teknik olan, e ri alt ndaki kalan bölgenin alan n integral ile çözmeyi ö renecek. * ki e ri ile s n rl bölgenin alan n integral ile çözmeyi ö renecek. * Dönel cisimlerin hacimleri için integral kullanma yöntemini ö renip, dönel cisimlerin hacimlerini hesaplayabileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Türev konusunu ö renmeden, integral konusunu çal flmaya bafllamamal s n z. * Tan mlar çok iyi kavray p örnekleri özümseyiniz. * Teoremleri çok iyi kavramal s n z. * ntegral formüllerinin tamam n ezberlemelisiniz. Bolca örnek çözün, hangi soruda nas l bir formül kullanaca n z belirlemelisiniz. * ntegral alma kurallar n ö renmelisiniz. * Çözülen örnekleri siz de çözün. E er çözemiyorsan z hatan z aray n, hatan z bulduktan sonra bafltan çözmeye çal fl n. * Yazarak çal flmay unutmay n. 86

ÜN TE II. NTEGRAL Türev kavram n n bir e riye üzerindeki bir noktadan çizilen te etin e iminin bulunmas probleminden ortaya ç kt n, türev bir de iflim oran oldu undan hareket eden cisimlerin h z ve imeleri ya da buna benzer problemlerin çözümünde kullan l r. ntegral kavram na geometrik bir anlam vermek gerekirse baz düzgün olmayan bölgeler alanlar n n bulunmas probleminden ortaya ç kt n söyleyebiliriz. ntegral, hareket problemleri, dönel cisimlerin hacimleri, ifl, kütle, kütle merkezi ve eylemsizlik momenti bulunmas ; di er bilim dallar ile ilgili pek çok problemlerin çözümünde kullan l r. Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x) in bir ilkel fonksiyonu veya integral denir. S n rl fonksiyonlar : ER ve f:e R bir fonksiyon olsun. f(e) görüntü kümesi f(e) R dir. f(e) nin s n rl ya da s n rs z oldu unu inceleyelim. ER ve f:e R bir fonksiyon olsun. x E için a) f(x) M olacak flekilde MR varsa, f fonksiyonu üstten s n rl, b) f(x) m olacak flekilde mr varsa, f fonksiyonu alttan s n rl, c) m f(x) M olacak flekilde m, MR say lar bulunabilirse, f fonksiyonu hem alttan hem de üstten s n rl ya da yaln zca s n rl d r denir. Örnekler : Afla daki tan m ve de er kümesi ile verilen fonksiyonlar n s n rl l k durumlar n inceleyelim.. f:r R, f(x) = x + fonksiyonu verilsin. x R için x ve x + f(x) oldu undan f fonksiyonu alttan s n rl d r. En büyük alt s n r tür.. f:r R : f(x) = -x +4 fonksiyonu verildi ine göre; x R için x -x ve -x + 4 4 f(x) 4 dür. Fonksiyon üstten s n rl d r. f nin en küçük üst s n r 4 olur.. f:[-, 4] R, f(x) = x + ise x [-, 4] için - x 4 4 x 6 8 x 9 x + dür 87

9 f(x) olup f fonksiyonu alttan ve üstten s n rl d r. 4. f : (, ] R, f(x) = Sinx ise x (, ] için < Sinx dir. Sinx için her pozitif reel say dan daha büyük olur. Sinx x (, ] için f(x) = M olacak flekilde bir MR bulunamaz. Sinx O halde, f(x) = verilen tan m aral nda üstten s n rl de ildir. Sinx 5. f : R R ; f(x) = x - fonksiyonu verilsin. xr için x x - f(x) - dir f fonksiyonu alttan s n rl d r. 6. f : ( 5 8, 9 4 ] R ; f(x) = [ x ] + fonksiyonu verilsin. x ( 5 8, 9 4 ] için [ x ] [ x ] 4 [ x ] + 6 f(x) 6 f fonksiyonu s n rl d r. Örnekler :. a) f:r R, f(x) = x + Sinx fonksiyonunun alttan s n rl oldu unu gösteriniz. Çözüm : xr için x ve xr için - Sinx - x + Sinx - f(x) fonksiyon alttan s n rl ve alt s n r dir.. b) f:r R ; f(x)= - x + fonksiyonunun üstten s n rl oldu unu gösteriniz. Çözüm : xr için x - x - x + f(x) fonksiyon üstten s n rl ve üst s n r dir. 88

. a) f: [, 5] R ; f(x) = x -5x +4 fonksiyonunun s n rl oldu unu gösteriniz. Çözüm : f:(x) =x -5x +4 = (x - 5 ) - 5 4 +4 (x - 5 ) - 9 4 x, 5 için f() = f(5) = 4 oldu undan f(x) = (x - 5 ) - 9 4 parabolünün tepe noktas fonksiyonun minumum noktas d r. -9/4 f(x) 4 f fonksiyonu s n rl d r.. b) f:r R ; f(x) = 4+. Sinx fonksiyonunun s n rl oldu unu gösteriniz. Çözüm : xr için - Sinx - Sinx 4+ Sinx 7 f(x) 7 f s n rl d r.. a) f:r R ; f(x) = x -x + fonksiyonunun alttan s n rl oldu unu gösteriniz. Çözüm : f(x) = (x-) ; xr için (x-) f fonksiyonu alttan s n rl d r.. b) f: [-, ] R ; f(x) = e x fonksiyonunun s n rl olup olmad n bulunuz. Çözüm : f ' (x) = e x > oldu undan f artan bir fonksiyondur. x -, için e - < f(x) < e 6 f s n rl d r. 89

I. De iflken De ifltirme Yöntemi Örnekler : NTEGRAL ALMA YÖNTEMLER. (5x +x+8) 5.(x+)dx integralini bulunuz. 5x +x+8 = u diyelim. (x+) dx = du (5x +x+8) 5 (x+) dx = u 5 du = u6 6 + c' u du = (5x +x+8) 6 6 +c '. Sin5x. Cosx dx =? Sinx = u diyelim. Sin 5 x. Cosx dx = 6 Sin6 x+c ' Cosx dx = du u 5 du = u6 6 + c' =. x x - dx =? - +x = u diyelim. x dx = du x x - dx = du u = ln u +c = ln x - +c 4. e x +.x dx =? x + = u diyelim. x dx = du e x +.x dx = e u du = e u +c= e x + +c' 9

5. 8x dx -6x 4 =? 4x = u diyelim. 8x dx = du 8x dx -(4x ) = du = Arc sinu +c' -u = Arc sin (4x )+c' 6. 6xdx 9x 4 +4 =? x = u diyelim. 6x dx = du du u + = Arctg u+c' = Arctg (x )+c 7. dx x +4x +5 = dx (x+) + =? x+ = u diyelim. dx = du dx (x+) + = du = Arctg u+c' u + = Arctg (x+) +c' 8. du a -u =? u = a sin t diyelim. du = a cost dt du = a cost dt a -u a -a Sin t = a Cost dt a Cost = t+c ' = Arc Sin u a + c' dir. u = a sin t sint = u a t = Arc sin u a 9

9. 4x. x +5 dx =? x +5=u, du = 4x dx 4x x +5 dx = u du = u / du = u +c = (x +5) +c '. Sin x dx =?, cos x dx =? Sin x = -Cosx Cos x = +Cosx Sin x dx = -Cos x dx = (- Cosx) dx x =u dx = du dx = du Cosu du = Sin x = dx - Cosx dx = x - Sinx + c' 4 Cos x dx = Cosx + dx = Cosx dx + dx = 4 Sinx + x +c' 9

. Sin 4 x Cos x dx =? Sin 4 x Cos x dx = Sin 4 x. Cos x. Cos x dx = Sin 4 x (-Sin x) Cos x dx = Sin 4 x Cos dx - Sin 6 x Cosx dx Sinx = u diyelim Cosx dx = du = u 4 du - u 6 du = u5 u + u7 7 +c' = 5 Sin5 x + 7 Sin7 x +c '. tgx dx = Sinx dx =? Cosx Cosx = u - sinx dx = du Sinx Cosx dx = - du u = - ln u +c ' = -ln Cosx +c '. Cotgx dx = Cosx Sinx dx ; Sinx = u Cosx dx = du Cosx Sinx dx = du u = ln u +c ' = ln Sinx +c ' 9

4. Arctgx +x dx =? Arctg x = u du = dx +x Arctgx dx = udu = u +x +c' = (Arctgx) +c 5. Arc Sinx -x dx =? arcsinx = u dx -x = du ; ArcSinx -x dx = udu = u +c ' = (ArcSinx) +c ' 6. (x+).sin (x +6x+)dx = (4x+6) Sin (x +6x+) dx x + 6x+ = u (4x+6) dx = du (x+) dx = du = Sinu.du = - -. Cos u + c' = - Cos (x +6x+) +c ' 7. e Sinx. Cosx dx=? Sinx = u Cosx dx = du e Sinx.Cosx dx = e u du = e u + c = e sinx +c ' 8. (lnx) x dx = u du = u +c' = (lnx) +c ' lnx = u x dx = du 94

9. Sin 4 x dx =? Cos x = +Cosx (Sin x) = ( -Cosx ) = -Cosx + Cos x 4 = 4 - Cosx + 4 Cos x = 4 - Cosx + 8 (+Cos4x) = 4 - Cosx + 8 + 8 Cos4x = 4 - Cosx + 8 Cos4x Sin 4 x dx = 4 - Cosx + 8 Cos4x dx = 4 dx - Cos x dx + 8 Cos 4x dx = 4 x - 4 Sinx + Sin 4x + c'. 6x.e x + dx =? x + = u 6xdx = du 6x. e x + dx = e u du = e u +c ' =e x + +c '. Cosx+e x Sinx+e x dx =? Sinx + e x = u (Cosx + e x ) dx = du Cosx+e x Sinx+e x dx = ln Sinx+ex +c 95

. e x dx +e x =? u = e x du = e x dx e x dx +(e x ) = du +u = Arctgu + c = Arctg ex +c '. Cos 4 x. Sin x dx = Cos 4 x. (-Cos x) Sinx dx = Cos 4 x Sinx dx - Cos 6 xsinx dx = - u 4 du + u 6 du Cosx = u -Sinx dx = du = - u5 5 + u7 +c 7 ' = - Cos 5 x 5 + Cos 7 x 7 + c ' 4. Sin 6 x. Cos 5 x dx = Sin 6 x (-Sin x). Cosx dx = Sin 6 x. (-Sin x + Sin 4 x) Cosx dx Sinx = u Cosx dx = du = u 6 du - u 8 du + u du = u7 7-9 u9 + u +c' Sin 7 x 7-9 Sin9 x + Sin x + c ' 96

5. tgx dx = Sinx Cosx dx = - du u = - ln u Cosx = u -Sinx dx = du = - ln Cosx +c' 6. dx x +6x+ = dx (x+) + = du u + 4 = x+ du = dx = Arctg u +c ' = Arctg (x+) +c ' 7. dx -(x+) = x+ = u dx = du dx = Arc Sin u+c = Arc Sin(x+) +c ' dir. -u 8. tgx Cos x dx = u du = u + c = tg x+c ' tgx = u dx = du Cos x 9. e x. Sine x. Cose x dx = udu = u +c Sine x = u e x. Cose x dx = du e x Sine x Cos x e dx = (Sinex ) + c ' 97

. Sin x dx = Sin x. Sinx dx = (-Cos x) Sinx dx Cosx = u ise - Sinx dx = du = Sinx dx - Cos x Sinx dx = - Cosx + Cos x +c ' = - Cosx + Cos x.cosx +c ' = - Cosx + (- Sin x) Cosx +c ' = - Sin x Cosx - Cosx+ c '. (x+). x +x+5 dx = (x+) (x+) +4 dx (x+) +4 = u (x+) dx = du = u du = u / du = u +c ' = u +c ' = (x+) +4 +c '. e x + e x dx = e x dx + e -x dx -x = u -dx = du ise e -x dx = - e u du e x - e -x +c ' =e x - e x +c'. K smi ntegralleme Yöntemi = - e u +c' = - e -x + c' f, g bir [a, b] aral nda türevli iki fonksiyon olsun. (f.g)' = f '.g+g'.f f.g' = (f.g)' - f '.g f(x). g' (x) dx = f(x). g(x) - g(x). f ' (x) dx f(x) = u, g(x) = V dersek udv = u.v - vdu * 98

Örnekler :. xe x dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : x.e x dx = x.e x - e x dx = xe x -e x +c ' u = x e x. dx = dv du = dx e x = v * formülünde yerine koyal m. x e x dx = x. e x - e x dx =xe x -e x +c '. x.sinx dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : x.sinx dx = -x.cosx + Cosx dx = -x Cosx + Sinx + c ' u = x ; Sinx dx = dv du = dx ; -Cosx = v. x.lnx dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : x.lnx dx = x lnx - x. x dx = x lnx - 4 x +c ' u = lnx ; dv = x dx du = x dx ; v = x 99

4. e x.cosx dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : u = e x ; dv = Cosx dx du = e x dx ; v = Sinx e x. Cosx dx = e x. Sinx - e x. Sinx dx =e x. Sinx - e x. Cosx + e x. Cosx dx e x. Cosx dx = e x (Sinx - Cosx) +c ' e x. Cosx dx = ex (Sinx - Cosx) +c ' 5. ln x dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : ln x dx = x. ln x -.x. x dx = x. lnx - dx = x ln x - x + c' u = lnx ; dv = dx x dx = du ; v = x 6. Arctgx dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : Arctgx dx = x.arctg x - x. +x dx u = Arctg x ; dv = dx = x.arctgx - xdx x + du = dx +x ; v = x = x.arctgx - ln x + +c ' = x.arctgx - ln(x +)+c '

7. Sinx. Cosx dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : u = Sinx du = Cosx dx u. dv = u.v - dv = Cosx dx v = Sinx vdu Sinx Cosx dx = Sin x- Sinx Cosx dx Sinx Cosx dx = Sin x Sinx Cosx dx = Sin x + c' 8. x Cosxdx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : u = x du = xdx x Sinx - dv = Cosxdx v = Sinx Sinx. xdx x Sinx- x Sinxdx = x Sinx -x Cosx + Sinx + c'

9. x e x dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : u = x du = xdx dv = e x dx v = e x udv = uv - vdu k smi integrasyondan, x e x dx = x e x - e x.xdx =x e x - e x.xdx xe x dx integrali için yine k smi integrasyon uygulayal m. u = x dv = e x dx du = dx v = e x xe x dx = xe x - e x dx = xe x - e x + c fiimdi yerine yazal m. x e x dx = x e x - (xe x -e x + c') =x e x -x e x + e x + c' olarak bulunur.

BAS T FONKS YONLARIN NTEGRALLER VE ÖRNEKLER. a dx = ax+c (ar) a) dx = x+c'. x n dx = xn+ n+ +c' (n-) a) x dx =. x+ +c = x + +c = x +c' b) 4x dx = 4 x +c'. x dx = ln x +c' ; u du = ln u +c' a) Cosx Sinx dx = du u = ln Sinx +c' u = Sinx du = Cosx dx

4. e x dx =e x +c' ; e u du = e u +c' a) x e x dx = e u du = ex +c' u = x du = x dx du = x dx b) Sinx e Cosx dx = - e u du = -e Cosx +c' 5. u = Cosx du = - Sinx dx - du = Sinx dx a x dx = lna ax +c' ; a u du = ln u a u +c' a) x dx = ln x +c' x +. x dx = a u du = ln x + x + +c' u = x + du = x dx 6. Sinx dx = - Cosx +c ; Sin u du = - Cos u + c' a) x Sinx dx = Sin u. du = Sin u du u = x du = x dx du = x dx = - Cos x +c' 4

b) Sin x dx = Sin u du = - Cos x + c' u = x du = dx du = dx 7. Cosx dx = Sinx +c' ; Cos u du = Sin u + c' a) Cos x dx = Cos u. du = Cos u du u = x du = dx du = dx = Sin x +c' b) x Cos x dx = Cos u. du = Cos u du u = x du = x dx du =x dx = Sin x +c' 8. dx Cos x = Sec x dx = tanx +c' ; Sec u du = tan u +c' a) Sec x dx = Sec u. du = Sec u du u = x = tan x +c' du = dx du = dx 5

9. dx Sinx = Cosec x dx = -Cotx+c' ; Cosecudu = -Cot u+c' a) Cosec x dx = Cosec u. du = Cosec u du. u = x du = dx du = dx = - Cot x +c'. dx +x = Arc tanx +c' ; du Arc tan u+c' +u a) dx +9x = dx +(x) = du/ +u = du +u u = x du = dx du = dx = arc tanx+c'. tanx dx= -ln Cosx +c' ; tan u du = -ln Cosu +c' a) tanx dx= tan u du. = - ln Cosx +c u = x dx du = dx 6

. Cotx dx = ln Sinx +c' ; Cot u du = ln Sinu +c' a) Cot x dx = Cot u du = ln Sinx +c' u = x du = dx. dx = arc Sinx+c' ; du = arc Sinu+c' -x -u a) dx = du/ -4x -u = arc Sinx +c' u = 4x =(x) u = x du = dx du = dx 4. du u +a = a arc tan u a +c' a) dx x +9 = arc tan x +c' u =x u = x a = 9 a = 7

5. du u -a = a log u-a u+a +c (E er u >a ) du u -a = log a-u a a+u +c (E er u < a ) a) x 4x -9 dx =. u = 4x u = x a = 9 a = u < a 4 < 9 log -x +x +c' 6. du a -u = arc Sin u a +c' a) dx = arc Sinx +c' -x u =x ise u = x du = dx a = a = b) 9-4x = arc Sin x +c' u =4x ise u = x du = dx a = 9 a = 8

Basit Kesirlere Ay rma Yöntemi RASYONEL FADELER N NTEGRAL P(x) = a x + a x + a x +... + a n x n Q (x)= b x +b x +b x +...+ b m x m olmak üzere P(x) biçimindeki fonksiyonlara Q(x) rasyonel fonksiyon denir. P(x) fleklindeki fonksiyona rasyonel fonksiyon denir. Rasyonel fonksiyonda Q(x) paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük ise bu kesir basit kesirdir. E er paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden büyük veya eflit ise, verilen kesrin pay ndaki polinom paydas ndaki polinoma bölünerek verilen fonksiyon bir polinom ile basit kesrin toplam fleklinde ifade edilir. Yani, d p(x) d Q(x) ise, P(x) Q(x) Örnek : = B(x) + K(x) Q(x) fleklinde yaz l r. x -4x +x+ x -x- = x-+ - x -x- x 4 +5x +8x +5x+ x +x+ =x +x+ x x +x+ P(x) Q(x) dx = B(x) dx+ K(x) Q(x) K(x) Q(x) dx integralinde B(x) in integrali kolayca al nabilir. in integralini almak için bir tak m basit kesirlerin toplam biçiminde yazmam z gerekir. Bu toplam T(x) ile gösterirsek Q(x) in çarpanlar n n durumuna göre : 9

I. Durum : Q(x) in çarpanlar aras nda (ax+b) gibi birinci dereceden çarpanlar varsa K(x) Q(x) Örnek : kesri A terimlerinin da l m fleklinde yaz l r. ax+b x (x-) (x+) ifadesini basit kesirlerine ay ral m. Çözüm : x (x-) (x+) = A x- (x+) + B x+ (x-) = (A+B) x+ A-B (x-) (x+) x= (A+B) x+ A-B Belirsiz katsay lar teoremine göre (Belirsiz katsay lar teoremi iki polinomun eflit olabilmesi için ayn dereceli terimlerinin katsay lar eflit olmal d r. A+B = A+B = A-B = A- B = + + A = A = ve B = dir. x (x-) (x+) = x- + x+ bulunur. II. Durum : Q(x) in çarpanlar aras nda (ax+b) m biçiminde olanlar varsa bunlar n her biri için T(x) toplam nda A ax+b + A (ax+b) +...+ A m m olarak ifade edebilece imiz (ax+b) m - terim toplam bulunur. Örnek : Çözüm : x+ (x-) ifadesini basit kesirlerine ay r. x+ (x-) = A x- (x-) + A (x-) (x-) + A (x-) () = x+ = (x -x+) A +A x-a +A x+ = A x -A x+a +A x-a +A x+= A x +(-A +A )x+a -A +A A =, A -A = ; A -A +A = A =, A =, A = x+ (x-) = x- + (x-) + (x-) olarak basit kesirlere ayr l r.

III. Durum : Q(x) in çarpanlar aras nda diskriminant negatif olan her bir (ax +bx+c) çarpan için T(x) toplam nda bir tane x+ (x+) (x +x+5) Örnek : Çözüm : x+ (x+) (x +x+5) = A x+ (x +x+5) Ax+B ax +bx+c x+ = Ax +Ax+5A+Bx +Bx+Cx+C + Bx+c x +x+5 (x+) x+ = (A+B) x +(A+B+C) x+5a+c A+B = O C = A+B+C = A = 5 terimi bulunur. ifadesini basit kesirlerine ay r. - = 5 x+ + 5 x+ x +x+5 5A+C = B = - 5 IV. Durum : Q(x) in çarpanlar aras nda bulan her bir (ax +bx+c) n çarpan için T(x) de, A x+b ax +bx +c + A x+b (ax +bx+c) +...+ A n x+b n (ax n toplam bulunur. +bx+c) Örnek : x + ifadesini basit kesirlerine ay r. (x +x+) Çözüm : x + (x +x+) = Ax+B x +x+ (x +x+) + Cx+D (x +x+) x + = Ax +Ax +Ax+Bx +Bx+B+Cx+D x + = Ax +(A+B)x +(A+B+C)x+(B+D) A = O A = O A+B = B = A+B+C = O C = - B+D = D = - x + (x +x+) = x +x+ + -x- olarak basit kesirlerine ayr l r. (x +x+)

K(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük olmak üzere örnekler verelim. K(x) Q(x) dx integraline Örnek : Çözüm : dx x -x ifadesini hesaplay n z. dx x -x = dx x(x -) = dx x(x-) (x+) x(x-) (x+) = A x (x -) + B x- x(x+) + C x+ x(x-) = Ax -A+Bx +Bx+Cx -Cx = (A+B+C) x +(B-C)x-A A+B+C = O A = - B-C = O B = - A = C = dx x -x = - dx x + dx x- + dx x+ = lnx+ ln x- + ln x+ +c' = lnx+ln (x-). (x+) +c' Örnek : xdx (x+) (x-) ifadesini hesaplay n z. Çöz üm : x (x+) (x-) = A x+ (x-) + B x- (x+) (x-) + C (x-) (x+) x = Ax - 4Ax+4A+Bx -Bx+Bx-B+Cx+C x = (A+B)x + (-B-4A+C) x+ (4A-B+C)

A+B = O A = - 9-4A-B+C = B = 9 4A-B+C = O C = 4 xdx (x+) (x-) = - 9 dx x+ + 9 dx x- + 4 dx (x-) = - 9 ln x+ + 9 ln x- - 4. x- +c' = 9 ln x- x+ - 4. - x- +c' TR GONOMETR K DE fiken DE fit RME KURALI A) ntegrad nda a -x Bulunan ntegalleri Bulma : çinde a -x den baflka köklü ifade bulundurmayan fonksiyonlar n integrallerini hesaplamak için x = a. Sinu ya da x = a. Cosu de iflken de ifltirmesi yap l r. (O < u < 9 ) Örnek : 9 - x dx =? a = 9 ise a = o halde, x = Sinu buradan, dx = Cosu du olur. 9-x dx = 9- ( Sinu) Cosu du =. -Sin u. Cosu du. = 9 Cos u. Cosu du = 9 Cos u du.

Çözüm : = 9 + Cos u du = 9. (+ Cosu) du. = 9 (u + Sin u) + c' = 9u + 9 4 Sinu + c' fiimdi u ve Sin u de erlerini bulal m. Sinu = Sinu. Cosu oldu undan x = Sinu Sinu = x buna uygun dik üçgen çizersek Sinu = Sinu. Cosu =. x. 9-x = x 9-x 9 Sinu = x ise u = Arc Sin x, u ve Sinu da yerine yazarsak, 9-x dx = 9 u + 9 4 Sinu + c' = 9 (ArcSin x ) + 9 4 olarak bulunur. x 9-x ) + c' 9 B) ntegrad nda x -a Bulunan ntegalleri Bulma : çinde x -a den baflka köklü ifade bulunmayan fonksiyonlar n integralleri için x = a. Secu ya da x = a.cosecu defliken de ifltirmesi yap l r. Örnek : x -4 x dx =? 4

a = 4 ise a = x = Secu x = Cosu dx = Sinu du olur. Cos u Buna göre verilen ifadede yerine yazal m. 4 Cos u -4 4 Cos u. Sinu Cos u du = 4-4 Cos u Cos u. Cosu Sinu Cos u du. -Cos u Cosu. Cosu Sinu Cos u du = Sinu Cosu. Sinu Cosu du. = tan u. du = (tan u+-) du = (tanu - u) +c' bulunur. fiimdi u ve tanu de erlerini bulal m. x = Cosu ise Cosu = x Bunu yapan dik üçgen çizilirse x -4 = tan u tanu = x -4, Cosu = x ise u = Arc Cos x fiimdi yerlerine yazal m. x -4 x dx = (tanu - u) + c' = x -4 - Arc Cos x + c' 5

C) ntegrad nda a +x Bulunan ntegalleri Bulma : çinde a +x den baflka köklü ifade bulunmayan fonksiyonlar n integralleri için x = a. tan u ya da x = a.cot u de iflken de ifltirmesi yap l r. Örnek : dx x. x +9 =? Çözüm : x = a.tan u oldu una göre x = tan u tan u = x ve dx = cos du olur. u = dx x. x +9 = du Cos u 9. Sin u Cos u. Cos u du Cos u (tan u). (tan u) +9 = du Cos u. = Cos u 7 Sin u du Cos u 9 tan u 9 (tan u+) Cos u = 9 Cosu Sin u du = 9 dt t = - 9t + c' =- 9 sin u + c' Sin u = x x +9 yerine yazal m. dx x. x +9 = - x +9 9x + c' olarak bulunur. 6

ntegrad nda Sin x ve Cosx in Rasyonel fadeleri Bulunan ntegralleri Bulma: tan x =u de iflken de ifltirmesi yap l r. Daha sonra Sinx, Cosx ve dx in de u cinsinden de erlerini hesaplay n z. Dik üçgen yard m yla, Sin x = u +u ve Cos x = +u olur. Sinx = u +u Cos x = -u +u olur. (Yar m aç formülünden) u = tan x ise du = Cos x dx dx = du +u olur. Örnek : +Sinx dx =? Çözüm : u = tan x ise Sinx = u +u dx = du +u integralinde yerine yazarsak, +u +u +u. du +u = du (u+) = - + c' olur. u+ u = tan x oldu undan = - tan x + + c' olur. 7

lkel Fonksiyon : [a,b] aral nda tan ml iki fonksiyon f ve F olsun. [a,b] nin her noktas nda F nin türevi varsa F' (x) = f(x) ise F fonksiyonuna, f nin ilkeli denir. Örnekler : Türevi f(x) ile verilen fonksiyonlar n ilkeli olan F(x) fonksiyonlar n hesaplay n z. f(x)= F(x)+c'. f(x) = 4x ise F(x) =?. f(x) = Cosx ise F(x) = Sinx+c'. 4. 5. f(x) = x e x 6. 7. 4x dx = 4. x 4 + +c' =x 4 +c ' f(x) = ise F(x) = Arc Sinx +c' -x f(x) =a x F(x) = lna.ax + c' yani a x dx = lna.ax +c' -x F(x) =e x - x + c' yani, xex dx =e x - x + c' f(x) = - x F(x) = x + c', yani - x dx = - x dx = x + c' f(x)= - F(x) =-arc Sinx+c' yani - dx =-Arc Sinx+c' -x -x 8. f(x) = Cos x F(x) = tan x + c' yani dx = tanx + c' Cosx 9. f(x)=sinx Cosx F(x) = Sin x +c' yani Sinx.Cosx dx= Sin x +c'. f(x) =5 Cos(5x+) F(x) = Sin (5x+)+c' yani 5.Cos (5x+)dx=Sin (5x+)+c'. f(x) = - Sin x F(x) = Cotx +c' yani - dx = Cotx + c' Sin x 8

Örnekler : E R ALTINDA KALAN BÖLGEN N ALANI. f:r R ; f(x) = x do rusu x =, x= do rular ve x-ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. I. Ad m : [, ] aral n 4 eflit parçaya bölelim. fiekildeki dikdörtgenlerin alanlar toplam A (T) ile gösterelim. A (T) = 4. 4 + 4. + 4. 4 = 8 dir. fiekildeki dikdörtgenlerin alanlar toplam n U (T) ile gösterelim. U (T) = 4. 4 + 4. + 4. 4 + 4. = 5 8 dir. 9

A (T) U (T) dir. II. Ad m : [,] aral n 8 eflit parçaya bölelim. A (T) = 8. 8 + 8. 4 + 8. 8 + 8. + 8. 5 8 + 8. 4 + 8. 7 8 = 7 6 U (T) = 8. 8 + 8. 4 + 8. 8 + 8. + 8. 5 8 + 8. 4 + 8. 7 8 + 8. = 9 6 A (T) A (T) ve U (T) U (T) Her iki ad mda da A (T), A (T) arad m z bölgenin alan ndan daha küçük, U (T), U (T) den daha büyük oldu u görülür.

III. Ad mda : A (T) A (T) A (T) U (T) U (T) U (T) olacakt r. n. Ad m : [, ] aral n n eflit parçaya bölelim. U n (T) ve A n (T) yi bulal m. A n (T) = n. n + n. n + n. n +...+ n. (n-) n + n. (n-) n n [+++...+ (n-) + (n-) + (n-)] = n. (n-).n = n- n A n (T) = n- n

U n (T) = n. n + n. n + n. n +... + n (n-) n + n. (n-) n + n (n-) n + n. = n +++...+ (n-) + (n-) + (n-)+n = n. (n+).n = n+ n U n (T) = n+ n Böylece A (T) A (T) A (T)... A n (T), n büyüdükçe artan bir alanlar dizisi. U (T) U (T) U (T)... U n (T), n büyüdükçe azalan bir alanlar dizisi elde edilir. Lim n A n (T) = Lim n- n = n Lim n U n (T) = Lim n+ n n = bulunur. A n (T) alt toplamlar ile U n (T) üst toplamlar n n yaklaflt ortak limit olan / say s, arad m z alan verir.. f:r R, f(x) = x e risi, x =, x = 4 do rular ve x-ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. [, 4] aral n n - eflit parçaya bölelim. A n (T) = 4 n. f 4 n + 4 n.f.4 n + 4 n f.4 n +...+ 4 n f (n- n 4 = 4 n (4 n ) + 4 n (8 n ) + 4 n ( n ) +...+ 4 n [4.(n-) n ] = 4 n [ + +...+ (n-) ] = 64 6 (n-). n (n-) = 64 n 6.n -n +n n Hat rlatma : + +...+n = n(n+).(n+) 6

U n (T) = 4 n. f ( 4 n ) + 4 n.f.4 n + 4 n f.4 n +... n 4 f n.4 n = 4 n. ( 4 n ) + 4 n (.4 n ) + 4 n (.4 n ) +...+ 4 n (n.4 n ) = 4 n [ + +...+ n ] = 64 6. n +n +4 n [, 4] aral n n eflit parçaya bölerek alt toplam ve üst toplam bulduk. Lim n A n (T) = Lim 64 n 6. n + n +n n = 64 6 Lim n n +n +n n = 64 6. = 8 6 = 64 Lim n U n (T) = Lim 64 6. n +n +4 n = 64 6 n Lim n n + n +4 n 64 6. = 64 S = Lim A n n (T) = Lim U n (T) = 64 birim bulunur. n

. f : R ; f(x) = x e risinin x = dan x = e kadar, alt nda kalan bölgenin alan n bulal m. [, ] aral n n- eflit alt aral a bölelim. A n (T) = n. f n + n f n + n f n +...+ n. f n- n = n.( n ) + n ( n ) + n ( n ) +...+ n. (n- n ) = n 4 [ + + +...+ (n-) ] = n 4 [+++...+(n-)] = n [(n-).n ] = n4 -n +n 4 4n 4 A n (T) = n4 -n +n 4n 4 bulunur. U n (T) = n f n + n f n + n f n +...+ n f n n = n ( n ) + n f( n ) + n f( n ) +...+ n (n n ) = n 4 [ + + +...+n ] = n 4 [+++...+n] = n ( n(n+) ) 4 = n (n+) = n4 +n +n 4n 4 4n 4 U n (T) = n4 +n +n 4n 4 4

Lim A n n Lim U n n (T) = Lim n 4 - n +n n 4n 4 (T) = Lim n 4 +n +n n 4n 4 = 4 = 4 O hâlde verilen bölgenin alan S = 4 br dir. Genel olarak : f(x) fonksiyonunun x=a dan x=b ye kadar e ri alt nda kalan alan n bulmak için [a, b] aral n a = x, x, x,..., x n = b noktalar ile n tane alt aral a ay r yoruz. Tabanlar bu alt aral klar olan alt ve üst dikdörtgenlerin alanlar toplamlar n A n (T) = f(x ). (x -x ) + f(x ). (x - x ) +...+ f(x i ) (x i+ - x i )+... n- f(x n- ). (x n - xn-) = f(x i ). ( x i+ -x i ) i= U n (T) = f(x ). (x -x ) + f(x ). (x - x ) +...+ f(x i ) (x i+ - x i )+... n + f(x n ) (x n - xn-) = f(x i ). ( x i -x i- ) olarak yazar z. i = A n (T), U n (T)) nin n limitleri varsa ve birbirlerine eflitse bu ortak limit, fonksiyonunun e ri alt nda kalan alan na eflittir. m i = E.B.A.S. {f(x) x [x i-,x i ]} M i = E.K.Ü.S f(x) x [x i-,x i ] E.B.A.S : en büyük alt s n r. E.K.Ü.S : En küçük üst s n r. D x i = x i -x i- denirse alt ve üst toplamlar. A n (T) = n i= m i x i,u n (T) = n i= M i x i dir. f : [a,b] R s n rl bir fonksiyon olsun. Alt ve üst toplamlar n dizisi ayn bir S limitine yak nsarlarsa yani Lim n (A n (T) = Lim n (U n (T))= f, fonksiyonunun integrali al nabilir denir. S'ye f'nin, [a,b] ar l nda a' dan b'ye belirli integrali ad verilir. b b S = fdx veya S= f(x) dx biçiminde gösterilir. S ise a a 5

E er Lim n A n Örnekler : (T) Lim n U n Yani, fonksiyonunun bu aral kta integrali yoktur. (T) ise fonksiyonunun [a,b] de integrali al namaz.. f : R [, ] ; f(x) = Sinx fonksiyonunun x = dan x = ye kadar e ri alt nda kalan alan n yaklafl k de erini bulunuz. Çözüm :, aral n iki eflit alt aral a ay ral m. R (T) = 4. f( 6 ) + 4. f( ) = 4. Sin 6 + 4. Sin = 4 Aral k say s n artt rd n z zaman buldu umuz toplam arad m z alana daha çok yaklafl r.. + = (+ ) 8 bulunur. f : R R ; f(x) = x fonksiyonunun e risi, x =, x = 4 do rular ve 4 x- ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : 6

[, 4] aral n [, ], [, ], [, 4] alt aral klar na ayr lan ve bu aral klarda /, 7/, / say lar n gelifli güzel seçelim. MATEMAT K 8 R(T) = f(/). (-) + f( 7 ). (-) + f( ) (4-) = 9 6 + 49 6 + 6 = 76 5, bulunur. 44 f fonksiyonu [a, b] aral nda integrali al nabilen bir fonksiyon olsun. [a, b] aral n a = x, x, x,..., x i,..., x n = b noktalar ile n tane alt aral a ay ral m. alt aral k [x i-, x i ] ve t i [x i-, x i ] oldu una göre R n (T) = f(t).(x -x ) + f(t ) (x -x )+...+f(ti) (x i -x i- )+...+f(tn) (x n-x n- )= n f(ti) (x i -x i- ) toplam na f' nin [a,b] aral na ait bir Riemann toplam denir. i= Riemann toplam n n U n (T) ve A n (T) üst ve alt toplamlar dizisi ile ilgisi: n n i= A n (T) = m i xi, A n (T) = M i x i idi. i= fonksiyonun [x i-,x ] aral ndaki EBAS ve EKÜS s ras yla m i ve M i oldu undan m i f(t i ) M i ba nt s sa lan r. x i -x i- = x i > oldu undan m i x i f(t i ) xi M i. x i ve n i= m i xi n i= f(t i ) x i n i= M i x i elde edilir. A n (T) R n (T) U n (T) R n (T) - A n (T) U n (T) - A n (T) biçiminde yaz labilir. Lim n (R n (T)- A n (T)) Lim (U n (T) - A n (T)) n f nin [a,b] aral nda integrali al nabiliyorsa Lim n R n (T) = Lim A n (T) = Lim n n U n (T) a b Lim n f(x) dx dir. ( U n (T)-A n (T)) = d r. 7

BEL RL NTEGRAL f : [a, b] R s n rl bir fonksiyon olsun. [a, b] yi a = x, x, x,..., x n = b noktalar ile n tane alt aral a bölelim. R n (T)Riemann toplam S gibi bir limite yak n s yorsa yani Lim R n n n (T) = Lim f(t i ).xi = S ise f fonksiyonunun [a, b] n i= aral nda integrali al nabilir, ve S'ye f nin [a, b] aral nda a dan b'ye b belirli integrali denir. a f(x) dx ile gösterilir.. f fonksiyonu [a,b] aral nda s n rl de ilse bu aral kta integrali al namaz.. f fonksiyonu [a, b] aral nda s n rl ve bu aral kta süreksiz oldu u noktalar n say s sonlu ise f fonksuyonu [a, b] aral nda integrallenebilirdir.. f fonksiyonu [a, b] aral nda s n rl ve bu aral kta süreksiz oldu u noktalar n say s sonlu de il ise f fonksiyonu [a, b] aral nda integrallenemez. Örnekler :. Cosx dx ; Cosx fonksiyonu [, ] aral nda sürekli oldu undan integrallenebilir.. x dx ; f(x) = x fonksiyonu [, ] aral nda Lim f(x) = Lim x = tan ms z n n oldu undan [, ] de s n rl de ildir. Fonksiyonun bu aral kta integrali yoktur.. - Sinx x dx ; f(x) = Sinx x fonksiyonu [-, ] aral nda f(x) fonksiyonunun [-, ] aral nda süreksiz oldu u noktalar n say s sonlu oldu undan integrali al nabilir. 8

4 4. [ x ] dx ; f(x) = [ x ] fonksiyonunu [-5, 4] aral nda -5, -4, -, -, -, -5,,,, 4 noktalar nda (9 -tane) sürekli de ildir. Fakat bu aral kta s n rl oldu undan integrali vard r. Örnekler : Afla daki integrallerin var olup olmad klar n araflt ral m.. Cotg x dx ; f(x) = Cotgx fonksiyonunu [, ] aral nda s n rl olmad ndan integrali yoktur. Lim x Cotgx = tan ms zd r.. tanx x dx ; f(x) = tanx x fonksiyonu [-, ] aral nda s n rl ve sürekli - oldu undan integrali vard r.. x - dx ; f(x) = x fonksiyonu [-, ] x = noktas nda süreksizdir. Süreksiz oldu u nokta say s sonlu oldu undan integrallenebilir. 4. (x - x+5) dx ; f(x) =x - x+5 = (x-) + fonksiyonu [, ] da sürekli ve s n rl oldu undan integrallenebilir. 9

Teorem : f ve g fonksiyonlar [a, b] aral nda integrallenebilir iki fonksiyon ve kr verilsin. b b b a) (f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g (x) dx a a a b b b) k f(x) dx = k f(x) dx (kr) a a b c b c) a f(x) dx = a f(x) dx + f(x) dx, c [a, b] c d) b f(x) dx = - a f(x) dx a b e) a f(x) dx = -a f) x [a, b] için f(x) g(x) a b f(x) dx a b g(x) dx

I. Temel Teorem : f, [a, b] de sürekli ve F, [a, b] de F(x) = F(t) dt ile tan mlanm fl ise, [a,b] de F'nin türevi vard r ve x [a, b] için F ' (x) = f(x) dir. F (x) = f(t) dt integrali, türevi f(x)'e eflit olan bir F(x) fonksiyonudur. a x F fonksiyonuna f'nin ilkel fonksiyonu; F'yi bulmak için yap lan iflleme f'nin belirsiz integralini alma ifllemi denir. a b. Temel Teorem : f, a,b de sürekli bir fonksiyon, F(x), f(x) in bir ilkeli yani F ' = f(x) ise b a f(x) dx = F(b) -F (a) dir.

f, [a, b] de sürekli bir fonksiyon olsun f nin e risi x=a, x=b do rular ve x-ekseni ile alan ; S = f(x) dx dir. Alan, x- ekseninin üstünde ise x [a, b] için f(x) S = f(x) dx dir. Alan, x- ekseninin alt nda ise x [a, b] için f(x) S = - f(x) dx dir. a b a b a b Alan, x ekseninin hem alt nda hem de üstünde ise f, [a,c] de sürekli, b x [a, c] alan f(x) dx - f(x) dx dir. a b c Örnekler : f(x)= x do rusu x-ekseni x= ve x= do rular yla s n rlanan bölgenin alan n bulunuz.. xdx = x = - = 4- = bulunur.. f(x) = x e risi, x-ekseni, x= ve x=4 do rular yla s n rlanan alan bulunuz. 4 Çözüm : y f(x)= x 4 S = f(x) dx = 4 x Görüldü ü üzere, integral alma sayesinde parçalama yönteminden daha basit bir yöntemle alan hesaplad k. = 4 4 x 4 = x x 4 dx =.4 -. = 64 - = 6 br 4 4

f(x) = Sinx e risinin [, ] aral nda kalan parças ve x- ekseni ile s n rlanan alan hesaplay n z. S = Sinx dx = - Cosx = - (Cos - Cos) = - (-) + = + = br - x dx integralini hesaplay n z. x = b x, x -x, x< f(x)dxa a c f(x) dx+ c b f(x) dx C[a, b] oldu una göre x dx = -x dx + x dx = - - - x + x - = - - (-) + 9 - = 4 + 9 = bulunur.

5. f : R R ; f(x) = x +x - 6 e risi, x = -, x = do rular ve x- ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : S = - - = - x + x - 6x f(x) dx =- - - (x +x-6) dx = - - + 6 + -8 + 4 + = - - +6-6 + +7 = 99 6 6 x=- x= = br 6. f (x) = x - 5x +6x fonksiyonunun e risi ile x- ekseninin s n rlad bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : x(x -5x+6) = x(x-) (x-) = ise x =, x=, x= S = (x -5x +6x) dx - (x -5x +6x) dx = x4 4-5 x + x - x4 4-5 x +x = 4-4 + - 8 4-45+7-4 + 4 - = 4-4 + - 8 4 + 45-7 + 4-4 + = 5 () - 8 (4) - 8 4 () = 6-56 = 7 4

7. x dx integralini hesaplay n z. MATEMAT K 8 Çözüm : x = kritik nokta x- = x- ise x x < ise -(x-) = x ; x- x ; -(x-) oldu undan x- dx = -(x-) dx+ (x-) dx = + x + x -x - x = - + + - - + = - + = - + = bulunur. 8. [ x ] x dx integralini hesaplay n z. Çözüm : x [, ) f(x) = [ x ] = x [, ) f(x) = [ x ] = x [, ) f(x) = [ x ] = [ x ]x dx = dx + xdx+ x dx = + x + x - + 9-4 = + 5 = bulunur. 9. 4 - sgn (x - x+)dx integralini hesaplay n z. Çözüm : ; f(x) > ise Sgn f(x) = ; f(x) = ise - ; f(x) < ise f(x) in iflaretini inceleyelim. 5

x - + x - x+ + O _ O + 4 - Sgn (x -x+)dx = - dx+ -dx+ 4 dx= 4 x + (-x) +x = (+) - (-) + (4-) = - + = bulunur. -. x için Çözüm : - [ x ] Sgnx dx integralini hesaplay n z. x [-, ) [ x ] = - ; x> ise x [, ) [ x ] = Sgnx = - ; x< ise x [, ] [ x ] = ; x= ise - [ x ] Sgnx dx = (-) - dx + - dx + dx = -dx + - dx = - x - + x = - + - =. Cosx-Sinx dx integralini hesaplay n z. Çözüm :, aral nda Cosx -Sinx = denkleminin kökü x = 4 tür. x 4 x> 4 için Cosx Sinx ve Cosx-Sinx = Cosx - Sinx için Cosx< Sinx ve Cosx -Sinx =-(Cosx - Sinx) 6 = Sinx - Cosx dir.

4 Cosx - Sinx dx = Cosx dx 4 4 + Sinx dx - 4 (Cosx - Sinx) dx + 4 Sinx dx - = Sinx - Cosx + Cosx 4 - Sinx 4 4 4 Cosx dx (Sinx - Cosx) dx = (Sin 4 - Sin) - Cos - Cos 4 + Cos 4 - Cos - Sin - Sin 4 = - - - + - - - 4 MATEMAT K 8 = + + --+ = 4 = - bulunur.. Afla daki integralleri hesaplayal m. a) b) (x -4x+) dx = x - 4 x +x - - = - bulunur. Cos(-) = Cos ; Sin(-) = -Sin - (Sinx+Cosx) dx = (- Cosx + Sinx) = 7-8+6 - +- = = - (Cos - Cos(-)) + (Sin() - Sin (-)) = - (Cos() - Cos()) + (Sin () + Sin()) = 4 Sin - c) S = Cos x dx = tgx 4 = tan - tg = - = 4 /4 d) / S = - -x dx = Arc cosx = Arc cos - Arc cos 7

e) S = +x dx = Arctgx = Arctg - Arctg = 4 - = 4 f) S = e 5x dx = 5 e5x = 5 (e5. -e 5. ) = 5 (e5 -) = e5-5 bulunur. g) S = Sin x dx = Sin(-x) dx+ - - Sinx dx = - -Sinx dx+ Sinx dx = Cosx - Cosx = Cos - Cos(-) - Cos + Cos = - (-) - (-) + = - +++ = 4 bulunur. h) - Sgn[ x ] dx = - Sgn (-) dx+ Sgn () dx + Sgn() dx = -dx+ - dx + dx = -x + x = (-) + - = d r. - ) 4 [ x ] [ x ] dx = dx+ dx+ 4 dx = 4 x + 4x + 7x = -+-8+8-8 = 86 j) [ Sinx ] Sinx dx = -Sinx dx = Cosx = Cos - Cos = -(-) = + = dir. x, den ye kadar de iflti inde Sinx, - ile aras nda de iflir. [ Sinx ] =- dir. 8

k) x -x+ dx= ( x -x+)dx+ - (x -x+) dx + (x -x+) dx = x - x +x) - x - x +x + x - x +x = - + - 8 + +4- + - + 7-7 +6-8 + -4 = -9+6 6-6+6+4-+9-6 + 54-8+6-6+6-4 6 - +7+5 6 = 75 6 = 5 l) 4 Sgn(x -5x+6) dx = dx- dx+ 4 4 dx = x - x + x = x --(-) + 4- = -+ = bulunur. x -5x+6 + O - O +. f: (x) = -x +7x-6 fonksiyonunun e risi x =, x=5 do rular ve x-ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : S = f(x) dx = 5 = - x + 7x - 6x 5 (-x +7x-6) dx = - 5 + 75 - - -8 + 4- = 89 5 9

4. f(x) = x -x-4 fonksiyonunun e risi ile x-ekseninin s n rland bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : f(x) = (x- ) - 5 4 S = - 4 - (x -x-4) dx = (- x + x +4x) 4 - = - 64 +4+6 - + -4 = 4 6 5. f(x) = x -8x fonksiyonunun e risine x -ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. f(x) =x -8x =(x-4) -6 8 S =- f(x) dx = (x -8x) dx = x - 8-8 4x = - 4.64 = 5-56 = 56 br bulunur. 8 4

6. f(x) =Sinx fonksiyonunun e risi ile x =, x = 7 4 do rular ve x- ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : S= Sinx dx- 7 4 Sinx dx = - Cosx + Cosx 7 4 = - Cos + Cos 4 + Cos 7 4 - Cos = + + + = + br 7. Afla daki integralleri hesaplay n z. a) 5 Sin [ x ] dx = Sin dx + Sin dx + Sin dx 4 + Sin dx + Sin dx = 4 5 = dx + dx + dx + 4 -dx + 4 5 dx = dx - 4 4 dx = x - x = (-) - (4-) = - = 4

b) 4 - Sin x dx = Cotgx = Cotg - Cotg = -= - 4 4 c) e x dx = lnx e = lne-ln = - = dir. K E R LE SINIRLANAN BÖLGEN N ALANI Örnekler :. y = x do rusu ve y = x parabolünün s n rlad bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : E riyle do ruyu birlikte çözelim ve s n rlar n bulal m. Sonra grafi ini çizip, arada kalan bölgeyi tan mlayal m. x = x x -x = x(x-) = x = veya x- = x = dir. S = (x- x ) dx = x dx - x dx = x - x 6 = - 4 = br 4

. y = x, y = - x +x fonksiyonlar n n e rileri ile s n rl bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : y = - x +x = -(x-) + S = (-x +x-x ) dx = - x dx + x dx = - x + x = - (-) + (-) = - + = br. y = x e risi ve y = 4x do rusu ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : E ri ile do ruyu ortak çözelim. 4x = x x = x x = veya x = S = (4x-x ) dx= 4 x dx - x dx = 4 x - x =.4-6 = 8-6 = 8 br 4

4., aral nda, y = Sinx, y = Cosx e rileri ve x- ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : S = Sinx dx + /4 / /4 Cosx dx = -Cosx 4 + Sinx 4 = - Cos 4 + Cos + Sin - Sin 4 = - + + - = - 5. y = x ve x = y e rileri ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : y = x ( x ) = x x 4 9 = x x 4-7x = x(x - 7) = x = veya x = x = y y = x S = = x - x dx x - x 9 = = x dx - x dx = 7 - = -br 44

6. y = x - e risi ve y = x- do rusunun s n rland bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : S = (x-) - (x -) ( - ) = 6-6 = 6 br () () dx = (x-x ) dx= x - x = 7. y = x -8 ve y = -x e rileri ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : x - 8 = -x x = 8 x = 4 x =, x = - S = (-x - - = - 8+8. - - = - () (-8) -6 = - 6 + = 96- = 64 br () x +8) dx = (-x +8) dx = ( - - + 6-6 + 6 x +8x) - 45

ÖRNEKLER. dx x + ifadesini hesaplay n z. Çözüm : dx x + = 4 - = 4 = Arctan x Arc tan - Arc tan. Cos xdx ifadesini hesaplay n z. - Çözüm : - Cos xdx = - (+Cosx)dx = (x+ Sinx) - = (+ Sin) - (-+ Sin(-) = () + = =. / Sin x dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : / Sin x dx = / (-Cosx) dx = = ( - Sin ) - ( - Sin ) = ( ) = 4 / (-Cosx)dx = (x- Sinx / 46

4. x(x +) 4 dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : t = x + dt = xdx dx = dt x x(x +) 4 dx = = (x +) 5 +c' x. t 4 dt x = t 4 dt =. 5 t5 +c 5. (x+) (x +x-) 4 ifadesini hesaplay n z. Çözüm : t = x +x- dt = (x+)dx dx = dt x+ (x+) (x +x-) 4 dx = (x+) t 4. dt x+ = (x+) t 4. dt (x+) = t 4 dt =. 5 t5 +c' = t5 +c' = (x +x-) 5 +c' 6. e nx x Çözüm : t = lnx dt = x dx dx = xdt dx ifadesini hesaplay n z e lnx x dx = lnx x dx= t x. x dt = t dt = t/ dt = t/ +c' e (lnx) = t +c' 47

7. Cos y dy ifadesini hesaplay n z. -Siny Çözüm : Cos y -Siny dy = -Sin y -Siny = (-Siny) (+Siny) -Siny dy = (+Siny) dy 8. Cos = y - Cosy + c x dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : t = x dt = dx dt = dx Cos x dx = (Cos t) ( dt) = Cos t dt = Sin t +c' = Sin x + c' 9. e x. Sine x ifadesini hesaplay n z. Çözüm : t = e x dt = e x dx dx = dt e x e x. Sine x dx = = - Cos e x +c' e x Sint. dt e x = Sint dt = - Cost + c' 48

. x. (x+) dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : u = x dv = (x+) dx du = dx v = (x+) K smi integrasyon uv - vdu x. (x+) dx = x. (x+) - (x+) dx = x(x+) - (x+) dx = x(x+) - (x+)4 +c'. xdx x -5x+4 Çözüm : ifadesini hesaplay n z. x x -5x+4 = A (x-) + B (x-4) Ax - 4A +Bx - B x = (A+B) x - 4A - B A+B= - + B= -4A -B= B= + =4 -A= A= - - x x -5x+4 dx= x- dx + 4 x-4 dx = - lnx- + 4 lnx-4 +c' 49

. dt 9t -6 Çözüm : ifadesini hesaplay n z. dt 9t -6 = dt (t) -4 = ln t-4 8 t+4 +c'. 4e x e x -e x + Çözüm : ifadesini hesaplay n z. e x = u dersek. e x dx = du 4e x dx = 4 du e x -e x + u - u+ = 4 du (u - ) - 4 = 4 du (u - ) -( ) =. ln u - - u - + + c' = ln u- u- +c' = ln ex - e x - + c' 4. x x - Çözüm : ifadesini hesaplay n z. x x - dx = x = u 6 dx = 6u 5 du x x - dx = u u - 6u5 du = 6 u 8 u - du = 6 (u6 +u 4 +u ++ u - ) du = 6 (u 6 +u 4 +u +) du + 6 du u - = 6 7 u7 + 5 u5 + u +u+ ln u- u+ +c' = 6 7. 6 x7 + 6 x 5 + 6 x + x + 6 6 5 ln x- +c bulunur. 6 x+ 5

5. dx x 9-x Çözüm : ifadesini hesaplay n z. x =.Sinu dx = Cosu du, u = Arc Sin x. Cosu du 9Sin u 9-9 Sin u Cosu du 9Sin u -Sin u = Cosu du 9Sinu. Cosu = Cos u du 9Sin u = 9 du Sin u = - 9 Cotgu + c' = - 9 Cotg (Arcsin x ) +c' 6. dx x x +4 Çözüm : ifadesini hesaplay n z. x = tanu dx = (+tan u) du dx = du Cos u dx x x +4 = du Cos u 4 Sin u Cos u 4+4tan u = du 4 Sin u +tan u = 4 du Sin u. Cosu = 4 Cosu du Sin u = 4 dt t = - 4t + c' = - 4. Sinu + c Sinu = t Cosu du = dt - 4. Sinu + c' = - 4. = - 4+x 4x +c' x 4x+x +c' 5

7. x 6-x dx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : x = 4 Sint dx = 4 Cost dt x 6-x dx = 4 Sint 6-6 Sin t. 4 Cost dt = 4 sint. 4. Cost. 4 Cost dt = 64 Sint. Cos t dt = 64u (-du) Cost = u Sint dt = -du = -64 u du = - 64 u + c' = - 64 Cos t + c = - 64 Cos (arc Sin x 4 ) + c' 8. Sinx dx ifadesini hesaplay n z. Sin x+5 Çözüm : u + 5 = t udu = dt Sinx Sin x+5 dx dt t = ln t +c = Sinx. Cosx Sin x+5 dx = = u du u +5 = ln u +5 + c = ln Sin x+5 + c' Sinx = u Cosx dx = du 5

9. (-t )dt t(+t ) ifadesini hesaplay n z. Çözüm : Basit kesirlere ay rma yöntemiyle (-t )dt t(+t ) = dt t - t dt t + = ln t - ln t + + c' = ln t t + +c'. Afla da verilen e ri ve do rularla s n rlanan alanlar bulunuz. a) y = (x+) e risi x =, x = do rular ve x - ekseni ile s n rlanan alan bulunuz. Çözüm : y = (x+) = 4x +4x+ = (x +x+ 4 ) = 4 [(x+ ) ] y = 4 (x+ ) bulunur. S = (4x +4x+) dx = 4 x + 4 x + x = 6+8 + - 4 - - = 57-4 - = 54 () - 4 () = 6-4 = 58 b) y = x e risi ile y = x do rusu aras ndaki alan bulunuz. Çözüm : x = x x - x = x (x-) = x = ve x = dir. fiekilde, s n rl bölgenin alan S ise, br S= (x-x ) dx = x - x = 4-8 = 4 br 5

c) y = x +4 e risi ile y= x+6 do rusu aras ndaki s n rl bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : x +4 = x+6 x -x- = x = -, x = fiekilde, s n rl bölgenin alan S ise, S = (x+6 - x -4) dx = - - (x+ - x ) dx = x + x - x = - +4-8 - + - = 8 - - = 9 br d) y = x e risi, (x>), x = ; x = e do rular ve x - ekseni ile s n rlanan bölgeninalan n bulunuz. Çözüm : S = e e dx = lnx = lne - ln = - = x 54

DÖNEL C S MLER N HAC MLER N N BULUNMASI [a, b] aral nda integrallenebilen bir f fonksiyonunu ele alal m. f nin grafi i; x- ekseni x = a ve x = b do rular ile s n rlanan bölgeyi x - ekseni etraf nda döndürmekle oluflturan cisme dönel cisim denir. [a, b] aral n a = x, x, x,..., x n = b noktalar ile n - tane alt aral a ay ral m. [x i-, x i ] alt aral nda bir t i noktas seçelim. Taban x i = x i - x i-, yüksekli i f(t i ) olan bir dikdörtgen oluflturur. Bu dikdörtgen x - ekseni etraf nda döndürülünce, yar çap f(t i ) ve yüksekli i x i olan bir silindir elde edilir. Böylece [a, b] aral na ait n tane dikdörtgenin x - ekseni etraf nda döndürülmesi ile elde edilen n - tane silindirin hacimleri toplam : V' = n i= V = Lim n b f(ti). xi dir. n f(x) dx n için f(t i ).xi = f(x) dx = i= V = b a b y dx bulunur. a a [a, b] aral nda integrallenebilen bir x=g (y) fonksiyonu y ekseni y=a ve y=b do rular ile s n rlanan bölgeyi y ekseni etraf nda döndürmekle oluflturan cismin hacmi, b b V = g(y) dy V = x dy bulunur. a a 55

Örnekler :. y = x do rusu, x = do rusu ve x - ekseni ile s n rlanan bölgenin x - ekseni etraf nda döndürülmesi ile elde edilen dönel hacmini bulunuz. V = a b y dx V = x dx = x = 9 br. y = x e risi y= do rusu ve y - ekseni ile s n rlanan bölgenin y - ekseni etraf ndan döndürülmesi ile oluflan cismin hacmini bulunuz. V = x dy = y 4 dy = y5 5 = 5 br 56

. y = Cosx fonksiyonunun e risi x =, x = 4 do rular ve x - ekseni ile s n rlanan bölgenin x - eksen etraf nda döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmini bulunuz. V = Cos x dx = 4 = x+ /4 4 Sinx = /4 +Cosx. 8 + 4. Sin 4 = 8 + 4 = 4 (+ ) br 4. y = x nin e risi, y =, y = 4 do rusu ve y - ekseni ile s n rlanan bölge y - ekseni etraf nda döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmini bulunuz. V = 4 x dy = 4 y dy = y 4 =. 8 - =. 5 = 5 br 57

5. y = x -4 fonksiyonunun grafi i, y =, y = do rular ve x - ekseni ile s n rlanan bölgenin, x-ekseni etraf ndan döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmini bulunuz. V = (x -4) dx = (x 4-8x +6) dx = x5 5-8 x +6x = 4 5-7+48 = 4-6+4 5 = 48-6 5 = 5 br 6. y = b a a -x e risi ile x - ekseninin s n rlad bölge, x - ekseni etraf nda döndürülüyor. Elde edilen cisim hacmini bulunuz. y = b a a -x y = b a (a -x ) a y =a b - b x b x + a y =a b x a + y b = elipsdir. V = -a a y dx = -a a (b - b a x ) dx =. (b x- b x a ) a -a = (ab - a b a + ab - a b a )= 4 ab 58

ÖZET Bu bölümde, afla daki durumlar ö rencilere verilmeye çal fl lm flt r :. ntegral hesab niçin gerekli oldu u ö rencilere tan t ld.. S n rl fonksiyonlar n tan m yap larak örnekler üzerinde duruldu. MATEMAT K 8. S n rl ya da s n rs z fonksiyonlarda integral al n p al nmayaca aç kland. 4. Riemann toplam ile e ri alt ndaki alan üzerinde duruldu. 5. De iflken de ifltirme kural ö rencilere tan t ld. 6. K smî integral alma kural ö rencilere tan t ld. 7. Basit fonksiyonlar n integralleri tan t ld. 8. Basit kesirlere ay rma kural ö rencilere tan t ld. 9. Trigonometrik de iflken de ifltirme ö rencilere tan t ld.. E ri alt nda kalan bölgenin alan n hesaplamak için parçalama yöntemi kullan ld.. Belirli integral tan m yap ld.. Belirli integral formülleri ö rencilere tan t ld.. ntegralin. temel teoremi ö rencilere tan t ld. 4. Bir fonksiyonun ilkeli ö rencilere tan t ld. 5. ntegralin. temel teoremi ö rencilere tan t ld. 6. Daha basit teknik olan, e ri alt ndaki kalan bölgenin alanlar için integral ile çözüldü. 7. ki e ri ile s n rlanan bölgenin alan integral ile çözüldü. 8. Dönel cisimlerin hacimleri integral ile çözüldü. 59

DE ERLEND RME TEST (). xe x dx ifadesi afla dakilerden hangisidir? A) e x (x-) +c B) e x (x+)+c C) e x +xe x D) e x ++c. dx x +x ifadesi afla dakilerden hangisidir? A) ln x + x+ B) ln x + x+ C) ln x - x+ +c D) ln x - x+. dx x(x-) ifadesi afla dakilerden hangisidir? A) ln x + ln x+ +c B) ln x - ln x- +c C) - ln x + ln x- +c D) ln x + x+ +c 4. f(x) =x - 4 fonksiyonu Ox ekseni ile s ralanan bölgenin alan kaç br dir? A) B) C) D) 9 5. f(x) = x(x - 9) fonksiyonunun x = -, x = 5, y = do rular yla s n rlanan bölgenin alan kaç br dir? 6 A) B) C) 8 D) 9

6. x-5 x +9 dx integralinin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) ln (x +9) - 5 arctan x +c B) arctan x + ln (x +9) C) arctan x + ln (x +9) D) 5 arctanx - ln (x +9) 7. x- x(x+) dx integralinin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) ln x+ - ln x- +c B) -ln x + ln x+ +c C) ln x+ + ln x- +c D) ln x + +c 8. y = x -x e risi ile Ox ekseni aras ndaki bölgenin Ox ekseni etraf nda dönmesiyle oluflan cismin hacimi kaç br dür? A) 6 B) 5 4 C) 6 8 D) 6 9 9. y = 4x, x =, y = 6 ile s n rlan p Oy ekseni etraf nda döndürülmesiyle oluflan cismin hacimi kaç br dür? A) 48 5 B) 48 6 C) 486 5 D) 489 5. e x. Sinx dx integralinin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) e x (Sinx + Cosx) B) ex (Sinx + Cosx) C) ex (Cosx - Sinx) D) ex (Sinx - Cosx) 6

DE ERLEND RME TEST N N ÇÖZÜMLER (). xe x dx = xe x - e x dx = xe x -e x +c u = x dv = e x cdx du = dx v = e x Do ru Cevap A. x(x+) = A x (x+) + B x+ (x) x(x+) = Ax+A+bx x(x+) x(x+) = x - x+ = (A+B) x+a A =, A+B = B = - dx x +x x + - x+ dx = x dx - x+ dx Do ru Cevap C = ln x - ln x+ +c. x(x-) = A x + B x- A(x-)+ Bx (A+B) x - A = = x(x-) x(x-) x(x-) A+B = -A = A = - / o halde, - x(x-) = x + x- dx x(x-) = - x + x- dx = - ln x + ln x- +c 6 Do ru Cevap C

4. f(x) = x -4 fonksiyonunu x ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n, A = (x -4) - dx = x -4x = br - Do ru Cevap A 5. f(x) = x ( x -9 ) fonksiyonunun x = -, x=5, y = do rular yla s n rlanan bölgenin alan x (x -9) = x = x = 9 5 A = f(x) dx+ f(x) dx + f(x) dx - Do ru Cevap D A = x4 4-9x - + x4 4-9x A = 8 4 + 8 4 + 56 4 = 48 4 = 9 br + x4 4-9x 5 6. x-5 x +9 dx = x dx x +9-5dx x +9 = x dx x +9-5 dx x +9 = ln (x +9) - 5 Arc tan x +c Do ru Cevap A 6

7. x- x(x+) dx = (- x + x+ ) dx = - x dx + x+ dx = -ln x + ln x+ +c Do ru Cevap B 8. y = x -x, x ekseni etraf nda s n rlan p x etraf nda dönmesiyle oluflan cismin hacimi, x.(x -) x = x = ± - ile aras bölge, ile + aras ndaki bölge ile simetrik oldu undan hacim formülünde çarpan al nmal d r. V = y dx = (x - x) dx V = (x 6 - x 4 +x ) dx =. x7 7 - x5 5 + x Do ru Cevap C V = ( 7-5 + ) = ( 8 5 ) = 6 8 br 9. y = 4x, x =, y = 6 ile s n rlan p y ekseni etraf nda döndürülmesiyle oluflan cismin hacimi. V = 6 x dy = 6 ( y ) dy = y 4 6 4 dy 6 V = 6 6 y 4 dy = 6 y 5 5 6 = 8 (65 - ) Do ru Cevap C = 486 5 br 64

. A = e x Sinx dx = e x Sinx - e x Cosx dx A = e x Sinx - e x Cosx - e x Sinx dx A = e x Sinx - e x Cosx A = ex (Sinx - Cosx) Do ru Cevap B 65

ÜN TE III L NEER CEB R MATR SLER Matrisin ki matrisin eflitli i Toplama ifllemi ve özellikleri Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özellikleri Matrislerde çarpma ifllemi Çarpma ifllemine göre birim matris Kare matris Matrislerde çarpma iflleminin özellikleri Kare matrisin kuvvetleri Bir matrisin çarpma ifllemine göre tersi Matrislerde transpoz (Devrik) ifllemi Matrislerde transpoz (Devrik) ifllemin özellikleri DETERM NANTLAR Determinant Sarus kural Determinantlar n özellikleri Lineer Dönüflümler Örnekler

MATEMAT K 8 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde) * Matrisin tan m n kavrayacak, * ki matrisin eflit olup olmad n ifllem yaparak görecek, * Matrislerde toplama, ç karma, çarpma ifllemlerinin nas l yap ld n ö renecek, * Birim ve kare matrisi tan yacak, * Kare kuvvetini almay ö renecek, * Bir matrisin çarpma ifllemine göre tersini alacak, * Matrislerde devrik ifllemini tan yacak * Determinant n devrik ifllemini tan yacak, * Determinant n tan m n kavrayacak, * Minör ve kofaktör tan mlar n ö renecek, * Sarrus kural ile determinant hesab n ö renecek, * Determinant n özelliklerini kavrayacak, ilgili örnekleri çözmeyi ö reneceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Tan mlar dikkatli okuyunuz, * Çözülen örnekleri yazarak çal fl n sürekli neden, niçin sorular n kendinize sorun, * Bölüm sonundaki de erlendirme sorular n çözün. 68

MATR SLER Günlük yaflant m zda say lar n, de iflkenlerin veya parametrelerin oluflturdu u çeflitli tablolar yapmaya ihtiyaç duyar z. Örne in bir fabrikan n üretti i dört tür mal n ilk befl ayl k üretim miktarlar n n aylara göre dökümünün verilmesi istenirse, bunu göstermenin yolu dört sat r ve befl sütundan oluflan bir tablo haz rlanmaktad r. Sat rlar n karfl s na mal çeflitlerini, sütunlar n tepesine de aylar yaz l rsa, bir sat r ile bir sütun kesiflti i yere de o ay içinde üretilen o mal n miktar yaz l r. Bu tabloya üretim matrisi denir. Ocak fiubat Mart Nisan May s Beyaz peynir 8 4 45 Kaflar peyniri 5 5 Tereya 5 Kaymak 5 Dört sat r, befl sütundan oluflan bu tablo, hangi mal n hangi ay ne miktarda üretildi ini göstermektedir. Say lar n, de iflkenlerin veya parametrelerin oluflturdu u dikdörtgen biçiminde bir tabloya bir matris denir. Bir matrisi oluflturan nesnelere o matrisin elemanlar denir. Yatay çizgiler üzerinde yer alan matris elemanlar na matrisin sat rlar, düfley çizgiler üzerinde yer alan matris elemanlara matrisin sütunlar denir. m say s na matrisin sat r say s n say s na matrisin sütun say s m sat r ve n sütundan oluflan matrise mxn türünde bir matris denir. Matrisler genelde büyük harfler ile gösterilir. sat r ve n sütunden oluflan matrise sat r matrisi sütün ve m sat rdan oluflan matrisde sütun matrisi denir. Örne in A = [a a... a n ] xn matrisi xn türünden sat r matrisidir, 69

a a B =... matrisi mx türünden sütun matrisidir. a m mx Örnek : A= - matrisinin türü ve eleman say s n nedir? Çözüm : A matrisi sat r sütundan (kolondan) olufltu undan x tipinde bir matristir. Bu matrisin eleman say s x = 6 d r. Örnek : A = - - - matrisine göre 4 a + a. a - a =? Çözüm : a = (. sat r. kolona bak.) a = - (. sat r. kolona bak.) a = 4 (. sat r. kolona bak.) a = (. sat r. kolona bak.) O halde, + (-). 4 - - 4 - = -6 a ij a ji K MATR S N Efi TL Ayn tipden, A = [a ij ] mxn ve B = [b ij ] mxn matrisleri verilsin. E er, i, j için a ij = b ij oluyorsa A matrisi B matrisine eflittir denir ve A = B ile gösterilir. ki matrisin eflit olmas için her iki matrisin sat r ve sütun say lar eflit olmal, ayr ca, karfl l kl olarak, matris elamanlar birbirine eflit olmal d r. 7

Örnek : A = A matrisi B matrisine eflit ise x - y + z =? Çözüm : x + y = 8, 5 = z, y = 6 x = x+y - 5 y x - y + z - 6 + 5 = B = 8 - z 6 MATR SLERDE TOPLAMA filem Ayn tipten iki matris, A = [a ij ] mxn, B = [bij] mxn olsun. A + B = [a ij + b ij ] mxn fleklinde tan mlan r. Örnek : A = 5 - B = A+B bulunamaz çünkü A matrisi x tipinde B matrisi x tipindedir. Örnek : A = -, B = - 4 A+B = + +(-) + -+4 = 4 5 A= [a ij ] mxn matrisinin, toplama ifllemine göre tersi, - A = [-a ij ] mxn matrisidir. Örnek : A = - -4 matrisinin toplamaya göre tersi - - 4 Bütün elemanlar s f r olan matrise s f r matris denir. olarak yaz l r. 7

MATR SLERDE TOPLAMA filem N N ÖZEL KLER Ayn tipden A, B, C matrisleri için. ) Toplama iflleminin de iflme özeli i vard r, yani A + B = B + A d r. ) Toplama iflleminin birleflme özeli i vard r yani, (A+ B) + C = A + (B + C) ) S f r matris, toplama ifllemine göre, etkisiz elemand r yani, A+ O = O + A = A 4) A matrisinin toplama ifllemine göre tersi -A matrisidir, yani A+ (-A) = (-A) + A =O yukar daki özelikleri mümkündür. ile do rulamak MATR SLERDE SKALARLA ÇARPMA filem VE ÖZEL KLER A= [a ij ] mxn B = [b ij ] mxn matrisler ve p,q, R sabitleri (skalerleri) için afla daki özelikler vard r. ) p. (A+B) = pa + pb ) (p+q) A = pa + qa ) p(qa) = (p.q)a A =, B =, C = - yukar daki tan ma uygun olarak afla daki örne i verebiliriz. p = q = A =, B = olsun. Örne in:. özelli i göstermek mümkündür. p. (A+B) =. + =. = 6 6 pa + pb =. + = 4 + 4 = 6 6 Di er özelliklerinin varl n yukar daki örne i kullanarak görebiliriz. 7

k R olmak üzere, bir A matrisi k gibi bir skaler ile çarp m k.a = A.k Örne in A = 8 ise -A nedir? dersek, 5 4 6 -A = -. -. -.8 -.5 -.4 -.6 = -6-9 -4-5 - -8 MATR SLERDE ÇARPMA filem mxn tipinde A = [a ij ] mxn ile nxp türünde, B = [b jk ] nxp matrisleri verilmifl olsun. A matrisinin i sat r ile B matrisinin k sütunundaki elemanlar karfl l kl olarak çarp l p, bu çarp mlar toplan rsa, A.B matrisinin terimi elde edilir. Bu flekilde elde edilen mxp tipindeki C = [c ik ] mxp matrisinde, A matrisi ile B matrisinin çarp m denir. A ile B matrislerinin çarp lmas için, A matrisinin sütun say s, B matrisinin sat r say s na eflit olmal. Örne in : A matrisi x tipinde bir matris B matrisi x tipinde bir matris olsun. A matrisi ile B matrisini çarpamay z çünkü, A matrisinin sütun say s, B matrisinin sat r say s dür. Matrislerde çarpma iflleminin de iflme özeli i yoktur. A.B B.A dir. Yukar daki tan m, kullan lmaya uygun olarak açarsak; ö renciler taraf ndan daha iyi sonuç al naca kesindir. Yani A = a b c m n B = p q d e f r z matrisleri çarpal m. A. B = a.m+b.p+c.r d.m+e.p+f.r a.n+bq+cz d.n+e.q+f.z 7

Örnek : A = - 4 B = - 4 A. B = (-) (-) +.4 -.() +..(-) +.4. +. 4.(-) +.4 4. +. Yukar daki örne e bakarak A.B B.A oldu unu gösterebilirsiniz. A matrisi mxn tipinde B matrisi nxs tipinde ise oluflan çarp m matris mxs tipindedir. = - - 9-4 Örnek : A= [a ij ] x4 B = [b ij ] 4x6 tipinde iseler, [A.B] x6 yani, x6 tipinde bir matris elde edilmifl olur. mxm tipinde bir A matrisi için aij =, i = j ise, i j ise ÇARPMA filem NE GÖRE B R M MATR S oluyorsa, A matrisine m. s radan birim matris denir ve I n ile gösterilir. KARE MATR S : Sat r say s sütun say s na eflit olan matrise denir. O hâlde çarpmaya göre birim matris karesel matrisdir. Afla dakilerin hepsi birim matrisidir. nceleyiniz : I = 4x4 I = x I 4 = 4x4 I 5 = 5x5 A.I n = I n.a 74

Örnek : Çözüm : A = 4 5, I = A.I = 4 5. =. +.. +. 4. + 5. 4. + 5. = 4 5 MATR SLERDE ÇARPMA filem N N ÖZEL KLER A matrisi mxn tipinde B matrisi nxp tipde C matrisi pxs tipinde olmak üzere ) A.B.C matrisi mxs tipinde bir matrisdir. ) A. (B.C) = (A.B).C ) A matrisi mxn tipinde, B ve C matrisleri nxp tipinde olmak üzere A.(B+C) = A.B + A.C 4) A ve B matrisleri mxn tipinde, C matrisi nxp tipinde olmak üzere (A+B).C = A.C + B.C 5) A matrisi mxn tipinde, B matrisi nxp tipinde ve K R olmak üzere k.(a.b) = (k.a). B = A.(k.B) Örnek : A = B =, C = 4 x 4 A.(B+C) = A.B + A.C oldu unu gösteriniz. A.(B+C) = 4. = 4. 4 5 + 4 ++6 ++9 4+6+5 = ++8 ++ +6+ = A.B + A.C = 9 5 4 8. 4 + 4. 4 = ++ ++6 ++ ++ ++8 6++4 + ++6 ++ +6+ ++8 ++4 6+6+6 = 8 5 + 8 4 8 = 9 5 4 8 75

KARE MATR S N N KUVVETLER n. s radan bir kare matris A ve kn + ise A o = I, A = A, A = A.A, A = A.A,..., A k = A.A k- Birim matrisin tüm pozitif tam say kuvvetleri kendisine eflittir. I = I, I = I,..., I k = I fleklinde gösterilir. Örnek : A = ise A matrisi nedir? Çözüm : A = A.A oldu undan,. A =A.A oldu undan, 7 6. olarak bulunur. =.+..+..+..+. = 7 6 = 7.+. 7.+..+6..+6. B R MATR S N ÇARPMA filem NE GÖRE TERS A, n. s radan bir kare matris olsun. = 4 6 A.B = B.A = I n eflitli ini sa layan n. s radan bir B kare matrisi varsa B ye, A n n çarpma ifllemine göre tersi denir ve B = A - fleklinde gösterilir. Buradan, A.A - = A -.A = I fleklinde ifade edilir. 76

Örnek : A = - matrisinin çarpmaya göre tersi nedir? Çözüm : Yukar daki tan mdan yararlan rsak, yani A.A - = I oldu unu biliyoruz. O hâlde, -. A - = A - = a c b olarak keyfi seçelim d -. a b c d = a+c a-c b+d b-d = a+c = b+d = a-c = b-d = a+c = 7a = a-c = a = 7 b+d = 7b = b-d = b = 7 oldu unu görürüz. Bu denklemi çözdü ümüzde a, b, c, d yi buluruz.. 7 +c = c = - 7 c = 7. 7 +d = O hâlde A - = 7 7 7-7 d = - 6 7 d = - 7 olarak bulunur. 77

Pratikde A = a b kare matrisinin, çarpma ifllemine göre c d tersini bulurken, afla daki ifllem yap l r. A = a b c d ise A - = ad-bc. d -b -c a d r. ad- bc olmak zorundad r. O hâlde bir önceki örne i pratik olarak çözelim.. A = - verilmiflti. Burada a=, b=, c=, d=- A - =.(-) -., - - - = - 7 - - - = 7 7 7-7 Örnek : A = 5 matrisinin, çarpma ifllemine göre tersi olmas için x x hangi de eri alamaz? Çözüm : x - 5 = x = 5 x = 5 olamaz. TEOREM : a) Bir kare matrisinin, çarpma ifllemine göre tersi varsa, tersi tekdir. b) Bir A kare matrisinin tersi varsa, A - matrisinin de tersi vard r. Yani, (A - ) - = A c) A ve B kare matrislerinin tersi varsa ve A.B ile B -. A - tan ml ise (A.B) - = B -. A - dir. Örnek : A = B = iki karesel matris verilsin. (A.B) - = B -. A - oldu unu gösteriniz. 78

Çözüm : A.B =. = 5 4 (A.B) - = 4- -5-4 = - 8 4 5 6-8 B - = 4- - = - 4 A - = -4. - - = - 4 B -.A - = - 4. - 4 = - 8 4 4 + 6-8 = - 8 4 5 6-8 O hâlde (A.B) - =B -.A - Oldu u gösterilmifl oldu. MATR SLERDE TRANSPOZ (DEVR K) filem A= [a ij ] mxn matrisini, sat rlar n sütun ve sütunlar sat r hâline getirirken elde edilen [a ji ] nxm matrisine, A matrisinin transpozu (devri i) denir ve A T ile gösterilir. MATR SLERDE TRANSPOZ (DEVR K) filem N N ÖZEL KLER A ve B matrisleri için; A+B, A.B, A - matrisleri tan ml ve kr olmak üzere a) A T T = A (Bir matrisin transpozunun transpozu kendisine eflittir.) b) (A+B) T = A T +B T c) (A.B) T = B T.A T d) (k.a) T = k.a T e) (A T ) - = (A - ) T 79

Örnek : A = matrisi verilsin. 4 5 x a) A T =? b) (A T ) T = A oldu unu göster. Çözüm : a) A T = 4 5 b) (A T ) T = 4 T = 5 4 5 Transpozu al nan matrisin sat rlar sütun, sütunlar sat r oldu. ÖRNEKLER ) A = - 4-5 B = 4-7 ise A+B =? Çözüm : A+B = - 4-5 + 4-7 = -+ +4 4- -5+7 = 7 ) A = 5 - matrisinin toplamaya göre ters matrisini bulunuz. Çözüm : A + A - = buradan, 5 - + a b c d = olur. ) A = +a = ise a=- +c = ise c = - 5+b = ise b = -5 -+d = ise d= O halde A - = 5, B= - 7 - -5 - ise A.B nedir? 8

Çözüm : A= 5. - 7 = (-) + 5.7 = -6+5 = 9 Dikkat edilirse A matrisi x tipinde B matrisi x tipinde, dolay s yla A.B matrisi x tipindedir. 4) A = - - B = x - ise A.B nedir? 4 x Çözüm : A.B matrisi x tipinde oldu u bellidir. A = - -. - 4 =.+.+(-)..+.(-)+(-).4 -.+.+. -.+.(-)+.4.+.+..+.(-)+.4 = -4 4-4 6 5) A = - 4 B = C = - ise A - B.C matrisinin efliti nedir? Çözüm : fllem s ras n göz önüne alal m. O hâlde önce çarpma iflleminden bafllayal m. B.C =. - A - B.C = - 4-6 = -4 - - = -+ + -+6 + = 6 6) - 4 matrisinin çarpma ifllemine göre ters matrisi nedir? Çözüm : A.A - = I oldu unu biliyoruz. O hâlde, - 4. a b c d = -a+c -b+d a+4c b+4d = -a+c = -b+d = a+4c = b+d = 8

eflitliklerinden yok etme kural ile a, b, c, d yi bulal m. -a+c = 4c = -a + 7 = den a+4c = c = 7 7 - = a - 6 = a 4 - -b+d = b+4d = -b+4d = b = 4 -b - 4d = - b = /4 denklemde yerine yaz. d = /4 olur. o halde A - = 7) A = Çözüm : - - 4 5 - At = -/7 /4 /7 /4 = 7 - ise A matrisinin transpozu (devri i) nedir? 5 - - - 4 8 DETEM NANTLAR Elemanlar reel say lar olan nxn tipindeki kare matrislerin kümesinden, reel say lar kümesine tan mlanan fonksiyona, determinant fonksiyonu denir. A karesel matrisinin determinant, det A veya A ile gösterilir. x tipindeki karesel matrisin determinant yani, det [a ] x = a dir. Örnek : a) det [] = b) det [5] = 5 x tipindeki matrislerin determinant al n rken, A = a c det A = b a a olsun. b - c d + = ad - bc ile ifade edilir.

Örnek : A = 4 ise deta nedir? Çözüm : det A = =.4 -. = 4-6 = - - 4 + Örnek : A = Sinx Cosx -Cosx Sinx ise det A nedir? Sinx -Cosx Çözüm : det A = = Sinx. Sinx - Cosx. (-Cosx) - Cosx Sinx + = Sin x+cos x Örnek : =? = Çözüm :. -. basitlik olsun diye = x diyelim. x (x+) - (x+) (x+) x + x - (x +x+) = x +x - x -x- = - A= [a ij ] kare matrisinin, bir a ij teriminin bulundu u i. sat r ve j. sütun at ld nda, geriye kalan matrisin determinant na a ij terimin minörü denir. ve M ij fleklinde gösterilir. Örnek : A = - matrisinin, a teriminin minörünü bulunuz. Çözüm : M bulunurken, A matrisin. sat r ve. sütunu yok edilir, geriye kalan k sm n determinant al n r. yani; 8

M = - M = - = -- = - A= [a ij ] mxn kare matrisinde, (-) i+j. M ij ifadesine, a ij terimin kafaktörü denir ve A ij ile gösterilir. Örnek : - matrisinde a teriminin kafaktörünü bulunuz. Çözüm : A = (-) +. M M bulunurken,. sat r ve. kolon yok edilir. Geriye kalan k sm n determinant al n r. M = det = = - = - A = (-) +. = (-) 5. = -. = - x tipindeki bir karesel matrisin determinant n hesaplarken, bir sat r na ya da bir sütununa göre aç l m yaparak hesaplayabiliriz. Her ikisi de ayn sonucu verir. a) Bir sat ra göre hesaplama : a a a x tipindeki bir matris, A = a a a olsun. a a a. sat ra göre det A = a A + a. A +a A. sat ra göre det A = a A + a A + a A. sat ra göre det A = a A + a A + a A Her üç hesaplama ayn sonucu verir. 84

Örnek : A = - olsun. det A nedir? Çözüm :. sat ra göre hesaplarsak, det A = a A + a A + a A o hâlde, det A =.A +. A +. A A = (-)+ M = (-). - =. = - - = -6 - A = (-)+ M = -. - = -. (--) = 4 A = (-) + M =. = buldu umuz kafaktörleri yerlerine koyarsak. det A =.(-6) +.4 +. = -6+4 = - Siz de. sat r ve. sat ra göre aç n z. Göreceksiniz ki ayn sonucu verir. Ancak, yukar da uzun ifllemler yerine x tipindeki matrislerin determinantlar n bulmak için daha basit olan sarus kural kullan lmaktad r. SARRUS (SARUS KURALI) x tipinde A = a a a a a a a a a matrisi verilsin. a a a a a a a a a a a a det A = = a a a a a a a a a a a a - + = a. a a +a. a. a + a a a - (a. a a + a a a + a a a ) 85

a) Determinant n ilk iki sat r, determinant n alt na eklenir. b) Sa köflegenler üzerinde bulunan elemanlar çarp l r ve bu çarp mlar toplan r. c) Sol köflegenler üzerinde bulunan elemanlar çarp l r ve bu çarp mlar toplan r. (b) ve (c) sonuçlar birbirinden ç kart l r. Örnek : A = det A = - - olsun. det A nedir? =.. (-) +.. +.. -.. +.. + (-).. = - + + - + - = - = - x tipindeki matrislerin determinantlar n sarus kural ile ö renmenizde fayda olacakt r. DETERM NANTLARIN ÖZEL KLER. Bir determinant n, herhangi bir sat r ya da sütunundaki elemanlar n hepsi s f r ise, bu determinant n de eri s f rd r. Örnek : a) 4 5 6 8 = b) - 4-6 5 4 =. Bir determinant n, herhangi iki sat r ya da sütun elemanlar karfl l kl olarak ayn ise, bu determinant n de eri s f rd r. Örnek : a) 4 5 6 = b) 4 7 9 = 86

. Bir determinant n, herhangi iki sat r ya da sütun elamanlar karfl l kl orant l ise, bu determinant n de eri s f rd r. kat Örnek : a) 4-4 6 = b) 4 6 5 4. A, n.s radan bir kare matris (nxn tipinde) ise det A = det A T Örnek : A = olsun, - A T = - det A = det A T = - - = (-+9) - (6+-6) =8 = (-++9) - (6+-6) = 8 = 5. Bir determinant n, bir sat r ya da bir sütunu, bir kr say s ile çarp l rsa bu determinant n de eri de k ile çarp lm fl olur. Örnek : A = 4. (det A) - =? matrisi olsun. Çözüm : det A = 4 = 8- = 5. det A - =.5 - = 4 87

Örnek : A = a c b d ise k.a = ka kb c d = a b kc kd = ka b kc d = a kb c kd 6. Bir determinant n, herhangi iki sat r ya da herhangi iki sütunun yerleri de iflirse determinant n iflareti de iflir. Örnek : A = 4 B = 4 ise det A = 4-6 = - ise det B = 6-4 = sat rlar n yerleri de iflti. flaret de de iflti. 7. Bir determinant n bir sat r ndaki ya da bir sütunundaki elemanlar, kr ile çarp l p baflka bir sat ra ya da sütuna karfl l kl olarak eklenirse, determinant n de eri de iflmez. 4 5 =.+.+4.+5 = 4 4. sütun. ile çarp p. sütunu ekledik. Her iki determinant n sonucunu sarus kural ile bulunuz. Göreceksiniz ki; sonuçlar ayn d r. 8. (x,y,z) koordinat sisteminde bir ABC üçgeninin koordinatlar A(x,y,z), B(x,y,z ), C(x,y,z ) olsun. ABC ücgeninin alan x A= y z ile bulunur. x y z x y z T= a b c d L NEER DÖNÜfiÜMLER Lineer dönüflüm matrisi A(x, y ) noktas n K(x, y ) noktas na dönüfltürüyorsa, a c b a. x y = x y fleklinde gösterilir. 88

) A = 4, B = - ÖRNEKLER ise det (A+B) de eri nedir? Çözüm : A + B = + + - 4+ = 5 6 det 5 6 = 5 6 = 8- = 8 ) Sarus kural ile afla daki matrisin determinant n bulunuz. A = - 4 5 - Çözüm : - 4 5 - - 4 = (+6+4) - (5-4-8) = 48- = 45 ) (x, y, z) koordinat sisteminde bir ABC üçgeninin köflelerinin koordinatlar A(,, ) B(-, -, ) C(,, 4) oldu una göre bu ABC üçgeninin alan nedir? Çözüm : Alan = x y z dir. o halde, x y z x y z A(ABC) = - - - - 4 = = ( -8-9+) - ( -6+-8) -5 + = -4 = br 89

4) - -x = ise x =? Çözüm : Sarus kural na göre, - -x = ise - ( -x - +) - (- + + 6-8x) = -x - + -6+8x = 5x -6 = x= 6 5 = 5 5) a a a = a - a ise a =? Çözüm : Sarus kural na göre, a a a = (++4a) - (a+a +) a a = 4a+ -a - a = -a + a+ -a + a+ = a-a a+ = a a = - 9

ÖZET MATEMAT K 8 Bu bölümde, afla daki durumlar ö rencilere verilmeye çal fl lm flt r. - Matrisin tan m - ki matrisin eflitli i - Matrislerde dört ifllem ve skalar ile çarpma iflleminin özelikleri - Birim matris ve kare matris tan t lm flt r. - Kare matrisin kuvvetleri örneklerle ö rencilere tan t lm flt r. - Bir matrisin çarpma ifllemine göre tersi ö rencilere tan t lm flt r. - Matrislerde devrik ifllemi ö rencilere tan t lm flt r. - Determinant n tan m - Minör ve kafaktör tan mlar - Sarrus kural ile determinant çözümü ö rencilere tan t lm flt r. - Determinant n özellikleri tan t l p, örneklerle ö rencilerin anlama durumlar h zland r lm flt r. 9

DE ERLEND RME TEST () ) A = - ise A 5 ise matrisi afla dakilerden hangisidir? A) (-) 5 5 C) 4-5 B) (-) - 5 D) 4 - ) - 6. x 6 = y 4 A) - B) - 4 8 oldu una göre xy çarp m kaçt r? C) - 6 D)- ) 4) 5) a b A) x x 4 x 5 x matrisinin tersi kendisine eflit oldu una göre a afla dakilerden hangisidir? B) C) 7 6 = 6 denkleminin kökü kaçt r? D) 5 6 A) B) - C) - D) - 99876 98877 99874 99875 determinant n de eri nedir? A) (9987) B) 9987 C) 9988 D) 6) 7) T = a c b d x+ x+ x+ matrisi A(, ) noktas n (-,) noktas na dönüfltürüyorsa B(,4) noktas hangi noktaya dönüflür? A) (-4,6) B) (-, ) C) (,-) D) (,) = denkleminin çözüm kümesi afla dakilerden hangisidir? A) {-, -, -} B) {, -6, 6} C) {-6, } D) {, -, } 9

DE ERLEND RME TEST N N ÇÖZÜMLER () ) A = - A = -. - = - - 6 - = - - A = A. A = - -. - = - 4 4 = -.4 = -8 = -8, I = (-).I A 5 = (A ) 5 = ((-) ) 5. I 5 = (-) 5 Do ru Cevap A ) - 6. x 6 y 4 = - x = - x 6 y 4 = = - 6 - = 6 - - - = y = - 4 -.6 -. 6 x.y = - 4 6 - - - Do ru Cevap A ) A.A - = I a. b a + 6 a + b o halde, a b a +b 6 +b = = a + 6 = a = 5 6 a = ± 5 6 Do ru Cevap D 9

4) x x 4 x 5 x = 6 sarrus kural ile ise x x 4 x + x + 4x - (x +x + x) = 6 x + 4x - x - x = 6-8x = 6 x = - Do ru Cevap C 5) 99874 = x olsun. x+ x+ = (x+) (x+) - x (x+) x x+ = x + x + - x - x = Do ru Cevap D 6) T = a c b d a b c d. x = x y y dir. a b c d. = - a b c d. 4 = a b c d. Lineer dönüflüm matrisi A(x,y) noktas n K(x,y) noktas na dönüfltürüyorsa = a b c d. = - = -4 6 Do ru Cevap A 7) Sarrus kural ile (x+) (x+) (x+) + 6+6 - [(x+) + 6(x+) +(x+)] = x + 6x +x + 6+ - [x + 6+6x+6+x+6] = x + 6x + x + 8 -x -8 = x + 6x = ise x (x+6) = x = x = x = -6 Ç.K = {-6, } Do ru Cevap C 94

SÖZLÜK aç aral k artan fonksiyon ardafl k türevi asimptot azalan fonksiyon - A - : Bafllang ç noktalar ortak olan, iki fl n n bileflimi. : ki say aras ndaki aç kl k. : x, x [a,b] için x <x ise f(x ) < f(x ) koflulunu sa layan fonksiyon. : Bir fonksiyonun birinci, ikinci, üçüncü,..., n, türevleri. : Bir e rinin sonsuzda yaklaflt e ri veya do ru. : x, x [a,b] için x <x ise f(x ) > f(x ) koflulunu sa layan fonksiyon. belirsiz ifade : - B -,, -,.,,, fleklinde ifade edilir. birim çember büküm noktas : Merkezi orjinde bulunan ve yarçap birim olan çember. : Bir fonksiyonun çukurlu unun yön de ifltirdi i nokta. çift fonksiyon determinant de iflken - C-Ç-D - : Tan m kümesindeki her x eleman için f(-x) = f(x) olan fonksiyon. : Karesel matrisleri, reel say lara dönüfltüren özel fonksiyon. : De iflik say de erleri alabilen nicelik. diferansiyel : y= f(x) fonksiyonu için dy = f' (x).dx eflitli indeki dy ifadesi. do al logaritma fonksiyonu dönel cisim : Taban e olan logaritma fonksiyonu. : Düzlemsel bir bölgenin, bir do ru etraf nda 6 dönmesinden oluflan cisim. 95

e im esas ölçü ekstremum de er grafik - E-F-G - : Analitik düzlemde bir do runun x ekseni ile yapt, pozitif yönlü aç n n tanjant. : S f r ile 6 aras nda olan aç ya da yay ölçüsü. : Bir fonksiyonun grafi inin uç noktalar. : Bir fonksiyonun belirtti i ikililere, düzlemde karfl l k gelen noktalar n kümesi. integral - H-I- - : Türevi bilinen bir fonksiyonun asl n bulma. integrand : f(x) dx ifadesindeki f(x) fonksiyonu. integrasyon sabiti : f(x) dx = F(x) + C = eflitli indeki C reel say s. - K-L - kapal fonksiyon : F(x,y) = biçiminde yaz lan fonksiyon. kofaktör : Bir kare matrisin a ij teriminin kofaktörü, a ij nin minörü ile (-) i+j nin çarp m d r. limit : De iflken bir niceli in, istenilene yak n olarak yaklaflt baflka bir nicelik. logaritma fonksiyonu: Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu. maksimum de er - M-N - : Bir fonksionun belli bir aral ktaki en büyük de er. mxn türünde matris : m tane sat r ve n tane sütundan oluflan matris. minumum de er minör norm normal : Bir fonksiyonun belli bir aral ktaki en küçük de eri. : Bir kare matrisin, a ij teriminin bulundu u i. sat r ile j. sütunun at lmas sonucu, geriye kalan matrisin determinant de eri. : Uzunluk. : Bir e rinin te etine, de me noktas nda dik olan do ru. 96

- P-R-S - periyodik fonksiyon : Bir f fonksiyonunun tan m kümesindeki her x eleman için parametre sarrus kural skaler f(x+t) = f(x) eflitli ini gerçekleyen f fonksiyonu. : Matematiksel bir denklemin, katsay lar na giren de iflken nicelik. : Üçüncü mertebeden bir determinant hesaplama yöntemi. : Reel say. MATEMAT K 8 tek fonksiyon ters matris türev transpoz - T - : tan m kümesindeki her x eleman için f(-x) = -f(x) olan fonksiyon. : çarp mlar birim matrisi veren iki matrisden biri. : Bir fonksiyondan limit ile elde edilen yeni bir fonksiyon. : Bir matrisin sat rlar n n sütun yap lmas ile elde edilen matris. üs : a m say s ndaki m. üstel denklem yerel ekstremum - Ü-Y - : Bilinmeyeni, denklemin üstünde olan denklem. : Bir fonksiyonun belli bir aral ktaki en büyük veya en küçük de eri. 97

fiaretler N N + Z Q R : do al say lar kümesi. : Pozitif do al say lar kümesi. : Tamsay lar kümesi : Rasyonel say lar kümesi. : Reel say lar kümesi. : Pi say s =,45 96... e : e say s e =, 788... AB A(a,b) EBAS EKÜS : ise : Çift gerektirme. : Baz. : Her. : [AB] nin uzunlu u : Koordinatlar a ve b olan A noktas. : En büyük alt s n r. : En küçük alt s n r. I, I A : Birim fonksiyon. f : f fonksiyonun mutlak de eri. Sgnf : f fonksiyonun iflaret fonksiyonu. [ ] : Tam k s m sembolü. log a ln : a taban na göre lo aritma fonksiyonu. : e taban na göre logaritma fonksiyonu. f' (x ) : f fonksiyonun x noktas ndaki türevi. 98

df(x ) dx dy dx d n f(x ) dx n d f(x) : f fonksiyonunun x de iflkenine göre türevi. : y nin x de iflkenine göre türevi. : f fonksiyonunun x de iflkenine göre n. basamaktan türevi. : f fonksiyonun x de iflkenine göre diferansiyeli. MATEMAT K 8 a b x k A(f,p) Ü(f,p) R(f,p) : belirsiz integral iflareti. : Belirli (s n rl ) integral iflareti. : [x k-, x k+ ] alt aral n n uzunlu u. : f nin p bölüntüsüne göre alt toplam. : f nin p bölüntüsüne göre üst toplam. : f nin p bölüm türüne göre Riemann toplam. [a ij ] mxn : m x n türünde matris. a ij A - A T A M ij Rank (A) A ij : Matrisin i. sat r nda ve j. sütununda bulunan eleman. : A kare matrisinin çarpma ifllemine göre tersi. : A matrisinin devri i (transpozu) : A kare matrisinin determinant. : Matrisinin a ij eleman n n minörü. : A matrisinin rank : Matrisinin a ij eleman n kofaktörü (efl çarpan ) Aij = (-) i+j. M ij 99

KAYNAKÇA Ellis, Robert, Gulick, Denny; Calculus One and Several Variables, London 99. Thomas, B. George; Thomas Üniversite Matemati i. F scher and Ziebur, Calculus and Analyt c Geometry, Prentice Hall.

N.Ö.C (AZERBAYCAN) GÜNEY KIBRIS RUM YÖNET M Başkent (Ankara) İl merkezleri NÖC: Nahcivan Özerk Cumhuriyeti (Azerbaycan)

Ö RETMEN MARfiI Aln m zda bilgilerden bir çelenk, Nura do ru can atan Türk genciyiz. Yeryüzünde yoktur, olmaz Türk e denk; Korku bilmez soyumuz. fianl yurdum, her buca n flanla dolsun; Yurdum, seni yüceltmeye andlar olsun. Candan açt k cehle karfl bir savafl, Ey bu yolda and içen genç arkadafl! Ö ren, ö ret hakk halka, gürle cofl; Durma durma kofl. fianl yurdum, her buca n flanla dolsun; Yurdum, seni yüceltmeye andlar olsun. smail Hikmet ERTAYLAN