f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki... 58 Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam vea Farkın Türevi... 7 Çarpımın Türevi... 7 Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi... 7 Bölümün Türevi... 8 Parametrik Fonksionların Türevi... 8 Kapalı İfadelerin Türevleri... 8 Trigonometrik Fonksionların Türevleri... 8 Logaritma Fonksionunun Türevi... 85 Üstel Fonksionun Türevi... 86 Bileşke Fonksionun Türevi... 9 Ters Fonksionun Türevi... 9 Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev)... 95 Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi... 97 Mutlak Değerli Fonksionların Türevi... 99 Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevi... Türevin Limit Hesabında Kullanılması... L'Hospital Kuralı... Türevin Geometrik Anlamı... 7 Teğet Denklemi... 8 Normal Denklemi... 8 Artan ve Azalan Fonksionlar... 7 Ekstremum Noktaları... 9 Türevin Anlamı... 9 Dönüm Noktası... İkinci Türev ve Yerel Ekstremum Noktası... 5 Mutlak Maksimum Mutlak Minimum... 5 Polinom Fonksionlarının Grafikleri... 65 Asimptotlar... 7 Kesirli Fonksionların Grafikleri... 7 Üstel Fonksionların Grafikleri... 77 Logaritmalı Fonksionların Grafikleri... 78 c 5 c c f(ah) c c f(a) a a a 5 p a ah q A(a, f(a))
KAVRAMSAL ADIM. BÖLÜM ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Bir doğru bounca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu S(metre), zamanın t(sanie) bir fonksionu olarak S S(t) t t ile verilsin. a) Bu cisim ilk sn'de kaç m ol alır? Matematiğin en önemli konularından biri türev kavramıdır. Bu kavramı birçok şekilde açıklamak mümkündür. Bu kitapta türev konusu öğrencinin hislerine en çok hitap edecek bir öntemle açıklanmıştır. Türev tanımına geçmeden önce bazı kavramları hatırlaıp bu kavramlara daanan tanımlar vereceğiz.. Türev ile Hız Arasındaki ilişki Bir doğru üzerinde f() denklemine göre hareket eden bir hareketlinin anındaki hızını tanımlaalım. f( ) f() b) Bu cisim ilk 6 sn'de kaç m ol alır? anının akınlarında bir alınırsa hareketlinin ortalama hızı, alınan ol f() f( ) ve geçen süre olduğundan V ort f ^ h - f ^ h - dır. c) Bu cisim. sn ile 6. sn arasında kaç m ol alır? ın akınlarında seçilen her için bu olla değişik ortalama hızlar elde edilebilir. Biz anındaki hızı aradığımız için olmak üzere elde edilen tüm ortalama hızların limiti olarak d) Bu cismin. sn ile 6. sn arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir? f ^ h - f ^ h lim " - limiti varsa, bu limite anındaki anlık hız denir. ÖRNEK e) Bu hareketlinin.sn deki anlık hızı kaç m/sn dir? Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t t fonksionu ile verilsin. Yukarıdaki tanıma göre bu hareketlinin [t, t ] aralığındaki ortalama hızı V ort S^t S t h- ^ h t - t dir. Bu hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. 5
KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK Kan Şekeri Konsantrasonu: Nisan 988'de insan gücüle çalışan Daedalus uçağı Yunanistan'ın günedoğusunda Ege Denizi'ndeki Girit'ten adasından Santorini'e 9 km'lik rekor bir uçuş aptı. Uçuştan önceki 6 saatlik daanıklılık testlerinde araştırmacılar pilot adalarının kan şekeri konsantrasonlarını ölçtü. Atlet pilotlardan birinin konstantrason grafiği şekil a da görülüor. Konsantrason miligram/desilitre ve zaman saat olarak verilmiştir. E im A E im B E im C 5 D E im f() E im 8 birim/ birim E 8 -birim -birim 5 5 (a) E im V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h 6-66 - 9 V ort 8 km/sa olur. Hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h 6-66 - 6 V ort km/sa olur. Hareketlinin [5,6] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6h- S^5h ^6. 6h- ^5. 5h 6-5 V 66-55 ort km/sa olur. Hareketlinin [5.9, 6] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6h- S^5, 9h 6-5, 9 ^6. 6h - 6 ^5, 9h. ^5, 9h@, 66 (, 8 59),,9 km/sa olur. A' (a)'daki f() grafiğinin eğimlerini işaretleerek (b)'deki f'()'in grafiğini çizdik. Mesela, B'nin dike koordinatı B'deki eğimdir. f' nün grafiği f'nin eğiminin ile nasıl değiştiğinin görsel bir kadıdır. D' f'() E' 5 5 B' C' Dike koordinat (b) Hareketlinin [6, 6.] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6, h- S^6h 6 ^6, h. 6, @ - ^6. 6h 6, - 6, ^7, 6h -^66h, 67, 66,, km/sa olur. Hareketlinin [6, 7] aralığındaki ortalama hızı V ort S^7h- S^6h ^7. 7h- ^6. 6h 7-6 79-66 km/sa olur. Bu sonuçları bir tabloda gösterelim. [t,t ] [, 6] [, 6] [5, 6] [5.9, 6] [6, 6.] [6, 7] V ort 9,9, 5
KAVRAMSAL ADIM Grafik veri noktalarını birleştiren doğru parçalarından apılmıştır. Her parçanın sabit eğimi ölçümler arasındaki konsantrasonu verir. Her parçanın eğimi hesaplanarak şekil b deki grafik çizilmiştir. Örneğin, ilk saat için çizim apılırken konsantrasonun 79 mg/dl den 9 mg/dl e arttığı gözlemlenior. (Şekil c) Net artma Δ 9 79 mg/dl dir. Bunu Δt saat ile bölerek, ortalama değişim oranını buluruz. Δ mg/dl/saat Δt Konsantrasonun bir köşesinin bulunduğu ve eğiminin olmadığı t,,...,5 zamanlarında konsantrasonun değişim oranı hakkında bir tahminde bulunamaız. Türev fonksionu (şekil d) bu zamanlarda tanımlı değildir. 9 8 konsantrason mg/dl Bu hareketlinin 6. saatte hız sınırını geçtiğini varsaalım. Bu hareketlinin 6. saatteki hızı (anlık hızı) h R olmak üzere, h için [6, 6 h] vea [6 h, 6] aralığında ortalama ardımıla bulunur. Anl k h z lim h " ^6 hh. ^6 hh- ^6. 6h lim h h " lim h " lim h " lim h " km/sa vea Anl k h z lim h " S^6 hh -S^6h 6 h -6 6 h h 6 h-66 h h h h ^h h lim^ - hh km/sa bulunur. S^6h -S^6-hh 6-^6-hh ^6. 6h -6^6 - hh ^6 -hh@ lim h h " 66-66 - h h 6 -h@ lim h h " h- h lim h h " h " ÜNİTE 5 6 (c) sa [6, 6h] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki sağdan türevi, [6 h, 6] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki soldan türevi ifade eder. Anlık hız için sağdan türevin, soldan türeve eşit olduğuna dikkat ediniz. konsantrason de iflim oranı mg/dl/saat 5 Düzlemde Doğrunun Denklemi ve Doğrunun Eğimi 5 5 6 5 sa Koordinat düzleminde P (a, b ), P (a, b ) noktalarını alalım. P ve P den geçen doğrunun denklemini B B Y P P P bulmak için bu doğrua ait ve koordinatları (d) (, ) olan bir P noktasını gözönüne alalım. X A A 55
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM P, P ve P noktalarının eksenler üzerindeki dik izdüşümleri sırasıla X, A, A ve Y, B, B olsun. Tales teoremi ardımıla BY A X BB A A azılabilir. Bu aşamada koordinatlara geçerek - b b - b - a a - a şeklinde azılabilir. b a d: a b d n n m d: m n d Bu eşitlikten çekilerek, b a - b a b a b ^h - a a - a elde edilir. () deki bağıntıa P ve P noktalarından geçen doğrunun denklemi denir. Doğrua bir fonksion gözüle bakılırsa () denklemi b f ^ h a - b - a a b $ a - a b - a şeklindedir. Bu son azılıştan f(a ) b, f(a ) b olur. O halde doğrunun denklemi Bağımsız (Serbest) Değişkenin Artış Miktarı, Fonksionun Artış Miktarı f() fonksionunda ʼe bağımsız değişken, ʼe bağımlı değişken denir. Eğer ve, değişkeninin iki değeri ve f() ve f( ) bu değerlere karşılık fonksionun aldığı değerler ise bu durumda Δ değerine (, ) aralığı üzerinde değişkeninin artış miktarı ve Δ vea Δ f( ) f() f( Δ) f() fa ^ fa a f a a f a h- ^ h $ ^ h- $ ^ h ( ) a - a a - a şeklini alır. değerine de anı aralıkta fonksionunun artış miktarı denir. b a - b - a fa ^ fa h ^ h a - a saısına doğrunun eğimi denir. Bu saı doğrunun O ekseni ile pozitif önde oluşturduğu α açısının tanjantına eşittir. Yani Değişim Oranı oranına, değişkeni ten Δ e kadar değiştiğinde nin ʼe göre ortalama değişim oranı denir. b tan a a O halde, - b - a m ( ) a $ f a a f a ^ h- $ ^ h n a - a denilirse () denklemi azılabilir. Bir Fonksionun Grafiğinin Teğeti f bir fonksion olsun. f nin tanımlı olduğu (p, q) aralığını gözönüne alalım. Aralığa ait herhangi bir a değeri seçildikten sonra f fonksionunun grafiği üzerinde bulunan (a, f(a)) noktasına A dielim. p q m n () şeklini alır. 56
KAVRAMSAL ADIM f(a) A p a q Merkezi A(a, f(a)) olan doğru demetine ait doğrulardan bazıları f fonksionunun grafiğini oluşturan eğri parçasını A noktası dışında ikinci bir noktada keser. Bu tür doğrulara eğrinin A noktasından geçen kesen vea kirişleri denir. Şimdi a değerini h kadar arttıralım. a h noktasına grafik üzerinde (a h, f(a h)) noktası karşılık gelir. (a, f(a)) ve (a h, f(a h)) noktalarından geçen doğrunun denklemi () denkleminde olduğu gibi azılabilir ve bu doğrunun eğimi () bağıntısına göre; ifadesinin limiti alınabilir. Bu limitin sonucu olarak elde edilen saıı eğim olarak kabul eder ve A noktasından geçen doğrunun eğimini azma olanağı, fonksionlar için limit kavramının varlığından dolaı vardır. Ölese f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet, fonksionlardaki limit kavramını ugulamak suretile bulunabilir. Teğet Çiziminde Ortaa Çıkabilecek Zorluklar fa ( h) fa ( ) Teğet problemlerinde ortaa çıkan oranının limitini h bulmak her zaman mümkün olmaabilir. Değişkenin a değeri için fonksion sürekli değilse böle bir teğet çizmek mümkün olmaacaktır. ÜNİTE p f(ah) f(a) A(a, f(a)) a ah q ÖRNEK, < ise f ( ) *, ise fonksionunun grafiğine noktasında teğet çizmek mümkün değildir. (,) mh ( ) f^a hh -f^ah f^a hh -f^ah a h-a h Fonksionun sürekli olması halinde bile sürekli olduğu her noktada teğetinin olması mümkün olmaabilir. şeklindedir. a ve a h noktaları arasındaki artma miktarı (h) küçültülürse, ani h ile gösterilen büüklük sıfıra aklaştırılacak olursa (a, f(a)) ve (ah, f(ah)) noktaları birbirine aklaşır. Geometrik olarak (ah, f(ah)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşarak çakışması halinde kesen doğrunun limit durumuna, f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet doğrusu denir. Teğet doğruu elde etme işlemini fonksionlara indirgeerek, A noktasından geçen doğrunun denklemi () bağıntısına göre, f^a hh f^ah ^a h $ f a a$ f a h $ h ^ h - ^ h h h ÖRNEK f() fonksionunu gözönüne alalım. f() fonksionu noktasında sürekli olduğu halde bu noktada bir teğet çizmek mümkün değildir. A k A f^a hh - f^ah f a h -f a. ^ h ^ h - $ a f^ah h h şeklinde azılır. O halde (a h, f(a h)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşması halinde kesen doğrular için aranan limit erine h saısının sıfıra aklaşması halinde kesen doğrunun eğimi olan, fa ( h) fa ( ) h A A' ve A'' noktaları k doğrusu kendine paralel kalacak şekilde A noktasına aklaştırılabilir. Buna göre, başlangıçtan geçen ve k gibi her doğrua paralel kalan doğru noktası için teğet kabul edilebilir. Şu halde verilen fonksionun noktasındaki teğetleri merkezi O noktası olan ve fonksionu belirtilen iki doğru ile sınırlanmış 9 lik açıı dolduran doğru demetini oluştururlar. 57
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM. Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini araştıralım. A(, ) eğrisi üzerinde A noktasına akın E(, ) noktası için m AE Δ deki de iflim Δ deki de iflim - 6-9 7 bulunur. - Elde edilen bu sonuçları tabloda gösterelim. Nokta (, ) (.9,(.9) ) (.,(.) ) (, ) E im 5 5,9 6, 7 Düzlemde A(, ) ve B(, ) noktalarından geçen doğrunun eğiminin - m AB - olduğunu biliorsunuz. eğrisi üzerindeki A(, ) noktasına akın B(, ) noktası için, m m Şimdi eğrisi üzerinde A(, ) noktasına akın (.9, (.9) ) noktası için m AB AB AC Δ deki de iflim Δ deki de iflim - - - 5 bulunur. - Δ deki de iflim Δ deki de iflim f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini bulalım. h R olmak üzere, h için A ve B ( h, f( h)) B ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. lim m AB h " " ^ hh - lim h ^ hh - 6h h lim h " h lim ^6 hh 6 d r. h " (h) A B (h,(h) ) h ^9, h - 8, - 9 59, bulunur. 9, - -, Bu değer f() türevidir. fonksionunun noktasındaki sağdan eğrisi üzerinde A noktasına akın D(., (.) ) noktası için, m AD Δ deki de iflim Δ deki de iflim ^, h - 96, - 9 6, bulunur., -, C (( h), f( h)) C ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. lim m AC h " " ^-hh - lim h ^-hh - - 6h h lim h " -h lim ^6 - hh 6 h " ( h) A h C ( h,( h) ) 58
KAVRAMSAL ADIM Bu değer f() fonksionunun noktasındaki soldan türevidir. Bir fonksionun bir noktadaki türevi, fonksionun o noktadaki teğetinin eğimidir. f() fonksionun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimi 6 dır. NOT Bir fonksionun grafiğine ait bir noktadaki teğetin eğimi için o noktadaki sağdan ve soldan türevin eşit olduğuna dikkat ediniz. ETKİNLİK a) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. ÜNİTE UYARI Bir fonksionun grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimi (sıfır) ise teğet doğru eksenine paraleldir. Eğim m tanα eşitliğinde α açısı teğet doğrunun ekseninin pozitif önüle aptığı açıdır. < α < 9 ise m tanα > 9 < α < 8 ise m tanα < Yani f fonksionunun noktasındaki türevinin değeri noktasındaki teğetinin eğimi m f'( ) tan α > ise α dar açı, m f'( ) tan α < ise α geniş açıdır. b) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. c) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. f' ( ) E im s f r < a < 9, f' ( ) > (E im pozitif) 9 < a < 8, f' ( ) < (E im negatif) 59
ÜNİTE. Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t 5t fonksionu ile verilsin. Bu hareketlinin [,] aralığındaki ortalama hızını bulunuz. S^h- S^h V ort - ^ 5. h- ^ 5. h - 59-55 km / sa olur.. 5 6 fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den,ʼ e b) ten e a) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() [(,) 5(,)6] [ 5.6],9 b) Δ Δ f( ) f( ) f() f() ( 5. 6) ( 5. 6) UYGULAMA ADIMI. f() fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den ʼ e b) den, e a) Δ Δ f( ) f( ) f() f() (. ) (. ) ( 7) 6 b) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() (.(,) ) (. ) [.(,)] ( ),, bulunur. 5. f() fonksionunun grafiği ve apsisli noktasındaki teğeti verilior. Buna göre f'() kaçtır? f'(), d doğrusunun eğimidir. m olup, f tü r. d l^ h f() d bulunur.. f ^ h hiperbolünün Af, p ve Bf, p noktalarından geçen keseninin (kirişinin) eğimini bulunuz., Δ 7 Δ f( ) f( ) m AB Δ deki de iflim Δ teki de iflim 7 - m - dur. AB 7 - - 7 olup eğim, 6. Şekilde f() eğrisinin grafiği ve apsisli noktadaki teğeti verilior. fl^h- ve B(9,) olduğuna göre, A noktasının ordinatı kaçtır? d doğrusunun eğimi OA fl^h m - d OB (eğim açısı geniş açı) OA 6 dır. O halde, A noktasının ordinatı 6 dır. OA 9 A T f() B 9 d 6
KAVRAMSAL ADIM. Diferansiel Kavramı f, noktasında türevli bir fonksion olsun. d f^h& fl^h& d fl^hd d Burada d e f nin noktasındaki diferansieli denir. Yaklaşık Değer Hesabında Diferansielin Kullanılması ETKİNLİK f: R R, f() fonksionu verilior. a) için aşağıdaki tablou tamamlaınız. Δ b) Herhangi bir için lim limitini hesaplaınız. Δ $ Δ f( ) f() ÜNİTE f( ) d,, f() P,, Δ, d doğrusu f nin grafiğine P noktasında teğettir. Şekilden Δ f(δ) f() ve Δ için, Δ d (Δ d) Δ, d olduğundan,, Δ d,,, d, f( Δ) f() olur. O halde, f( Δ), f() d diferansiel elde edilir. Bu ifade aklaşık değer hesaplamasında kulanılır. ÖRNEK ÖRNEK 6 saısının aklaşık değerini hesaplaalım. 5, 8 saısının aklaşık değerini bulalım. f() alalım. f ^ Δh, f ^ h d d Δ, 5 ve Δ d, 8 alınırsa, 8, 5, 8 5, 8, 5 5 8 58 5, 8, 5 5, 8dr. i f^h alalım. f ^ Δh, f ^ h d Δ, d^ h d Δ,. 6, Δ d alınır. ^-h 6 -, 6. ^6h 6, - 6. 9 6,, 979 olur. 8 6
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK tan 8 nin aklaşık değerini bulalım. f() tan f( Δ), f() d f( Δ), f() f'() d tan( Δ), tan (tan X). d 5 ve Δ d π 6 alınır. tan^5 h, tan 5 ^ tan 5 h π tan 8, ^ h $ 6 π tan 8, olur. ETKİNLİK 5 $ saısını aklaşık olarak hesaplaınız. π 6. Türevin Tanımı (Bir Noktada Türev) A R ve f: A R fonksionu verilmiş olsun. A olmak üzere; f ^ h - f ^ h lim " ifadesi bir reel saı ise, bu limite, f fonksionunun noktasındaki türevi denir ve ile gösterilir. Bu durumda f fonksionu noktasında türevlenebilir denir. f fonksionu A kümesinin her noktasında türevlenebiliorsa, f fonksionuna A kümesinde türevlenebilir denir. f' : A R fonksionuna f fonksionunun A tanım kümesindeki türev fonksionu denir. f fonksionunun noktasındaki türevi f l^ df,, simgelerinden biri ile gösterilir. h d ^ h ^ h a h olsun, a h olup f fonksionunun a noktasındaki türevi biçiminde de azılabilir. - fl^ h f ^ h - f ^ h lim " - fa ^ hh-fa ^ h fl^ah lim h h" ETKİNLİK ln(e e ) nin aklaşık değerini bulalım. f() ln, e, Δ d e alalım. f( Δ), f() d f( Δ), f() f'()d ln^ Δh, ln d ln^e e h, ln e $ e e ln^e e h,. e dir ETKİNLİK f() a b fonksionunun R noktasındaki türevini bulunuz. fl^ h f l^ h f ^ h - f ^ h lim " - ^a bh - ^a b h lim " - a ^ - h lim a " - fl^h a bulunur. 6
. f: R R, f() biçiminde tanımlı f fonksionunun a noktasındaki türevi nedir? f ^ h- fa ^ h - a fl^ah lim lim " a a " a - a. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. ^- ah^ ah lim " a ^- ah lim^ ah " a a bulunur. UYGULAMA ADIMI. f: R R, f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? f ^ h- f^h ^ -h-^ -h fl^h lim lim - - " " - lim - " ^- h^ h lim " ^ - h lim^ h ". π f: R R, f() sin fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. bulunur. ÜNİTE bulunur. flf p lim " lim " lim lim f ^ h - ff p - - - - lim " - f - p f p lim. " - f " " ile genifllettikp - f- pf p Trigonometrik fonksionların türevini bulmak için, π π fc hm-fc m π flc m lim olunu kullanmak kolalık sağlar. h" h Türev alırken p q p-q sin p- sin q cos $ sin eşitliğini kullanacağız. π π sinc hm sin π flc m lim h h ". cos lim h " π π π h h π p f $ sin h π h h. cosf p$ sin lim h " h h sin π h lim cos f p$ lim h" h" h π cos $ f bulunur. p 6
ÜNİTE. Hareket fonksionu S S(t) t t 5 olan bir hareketlinin [,5] aralığındaki ortalama hızı kaçtır? (t sanie, S cm) PEKİŞTİRME ADIMI. f() fonksionunda neden sadece Δ 5 verildiğinde Δ bulunabilior da bu durum f() fonksionunda geçerli olmuor? 5 cm / sn. f() fonksionunun den e kadar Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a için f() a b lineer fonksion olduğundan bu durum geçerli,. ve daha üksek dereceli polinom fonksionlarda gerçeli değildir. Δ 5. Aşağıdaki fonksionlar için Δ artış miktarını ve değişim oranını bulunuz. Δ a), ve Δ, için ^ - h b), ve Δ, c) log, 6, Δ 9. 5 Δ Δ a) 6 ; 56 b), ; c) ;,. f() fonksionu için aşağıdaki değerlere göre Δ i hesaplaınız. a), Δ, b) 8, Δ 9 c) a, Δ h 6. parabolünün kesim noktalarının ve apsisleri aşağıda verilmiş olan kesenlerinin (kirişlerinin) eğimlerini bulunuz. a), b),,9 c), h a), b) - c) a h - a a) b), c) h 6
PEKİŞTİRME ADIMI 7. Δ. Bir nokta vea eksen etrafında dönmenin t anındaki, eğrisinin [,5] kapalı aralığındaki oranını bulunuz. b) ani hızı Δ a) ortalama hızı nee eşittir? (t anındaki dönme açısı: α) ÜNİTE 7, 5 a) b) Δa Δt lim Δt " Δa Δt 8. fonksionunun kapalı aralığındaki değişiminin ortalama hızı nedir?. Isıtılmış bir cisim ısısı daha az olan bir ortamda eniden soğuacaktır. (ısı kabedecektir) Aşağıdaki ifadelerden ne anlaşılır? a) Ortalama soğuma hızı b) Verilen bir andaki soğuma hızı (t anındaki ısı I) ΔI a) Δt ΔI b) lim Δt Δt " Δ 9. f() eğrisi için [, Δ] kapalı aralığında oranının değeri Δ nedir?. Kimasal reaksion halindeki bir maddenin reaksion hızından ne anlaşılır? (Q, t anındaki madde miktarı) f ^ Δh -f ^ h Δ lim Δt " ΔQ Δ t 65
ÜNİTE. f: R R, f() fonksionunun a) noktasındaki türevini bulunuz. b) noktasındaki türevini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI π 6. f() cos fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. a) 6 b). f: R R, f() fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 7. f ^ h fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. a) b) 7 c) a) 5 b) 7 c) 7 5. f: R R, f() fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 8. f ^ h fonksionunun 8 noktasındaki türevini bulunuz. a) - b) - c) - 66
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Grafikten ararlanarak 5. Türevin Tanımı () (Soldan ve Sağdan Türev) A R ve f : A R fonksionu verilsin. a A ve p R olmak üzere, ÜNİTE f() a a a c 5 c c c c a a 5 f ^ h- fa ^ h lim p a " a - limitine, f fonksionunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. q R olmak üzere, a) f fonksionunun limitinin olmadığı noktaları bulunuz. f ^ h- fa ^ h lim q " a a - limitine de fonksionun a noktasındaki sağdan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. b) f fonksionunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz. UYARI. Bir f fonksionunun a noktasında türevinin olması için gerek ve eter koşul f nin a noktasında sürekli ve f nin a noktasında soldan ve sağdan türevlerinin eşit olmasıdır. c) f fonksionu hangi noktalarda türevli değildir?. Bir f fonksionu a noktasında türevli ise f, bu noktada süreklidir. Ya da buna denk olarak, f fonksionu a noktasında sürekli değil ise f bu noktada türevli değildir. f() f() d) f fonksionunun sürekli olup türevli olmadığı nokta var mıdır? de f() süreksiz de türevi ok. de f() süreksiz de türevi ok. e) lim f( )?, f( a )? a $ f'(a )? 67
ÜNİTE. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f'( ) b) f'( ) c) f'() değerlerini (varsa) bulunuz. a) fl^ - h lim " lim " - lim lim - " " " f ^ h- f^h - - - - lim - ^ h - " - -^- h. ^ h lim - - - - UYGULAMA ADIMI b) fl^ lim - - fl^ h lim - fl^ - h h lim lim f ^ h- f^h - lim - " " " f ^ h- f^h - lim - " " " f'( ) f'( ) olduğundan f nin noktasında türevi oktur. b) fl^ h lim " f ^ h- f^h - Şekli inceleiniz. da fonksionun belirli bir teğetinin olmadığına dikkat ediniz. c) f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur.. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f, da sürekli midir? b) f, da türevli midir? lim " lim " - ^- h. ^ h lim - " lim ^ h " a) f nin sürekli olması için noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin f()ʼa eşit olması gerekir. fonksionu da süreklidir. - - - - lim f ^ h lim lim ^- h " " " lim f^h lim f( ) f^holupf^h " ". f: R R Z -, < ise ] f ^ h [, ise ] -, > ise \ ile tanımlı fonksionun noktasındaki a) sürekliliğini inceleiniz. b) türevini (varsa) bulunuz. a) lim f ^ h lim ^- h - " " lim f^h lim ^- h. - " " ve f() olduğundan lim f^h f^h olup " f, de süreklidir. 68
b) fl^ - f ^ h- f^h - - h lim lim - - - " " -^ -h lim - - " f ^ h- f^h ^ -h- f l^ h lim lim - - " " ^ - h lim - " dir. f'( ) f'( ) olduğundan f fonksionunun noktasında türevi oktur. UYGULAMA ADIMI a) > olduğundan f'() için f() 6 dır. f ^ h- f^h ^ -h-^. -6h fl^h lim lim - - " " ^ - 9h lim - " ^- h^ h lim " ( - ). ^ h 8 b) kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevleri bulunmalıdır. ÜNİTE., # fr : " R, f ^ h * - -, fonksionunun noktasındaki türevini (varsa) bulunuz. f ^ h- f^h - - fl^ h lim lim - - " " ^- h^ h lim " ^ - h lim - ^ h - " f ^ h- f^h - - f l^ h lim lim - - " " -^ -h lim - - " olup f'( ) f'( ) olduğundan noktasında fonksion türevlidir ve türevi f'() dir. fl^ fl^ - ^ h lim " " - ^- h^ h lim - " ( ) f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. 6. f() 6 fonksionu için eğer varsa, a) f'() türevini bulalım. b) f'() türevini bulalım. - - lim - " " h- ^ h ^ -6h-^. -6h h lim - ^ - h^ h lim - $ ^ h 5. Z, ise ] fr : " R, f ^ h [ 6, ise ] \ - 6, ise fonksionu için eğer varsa a) f'() değerini bulalım. b) f'() değerini bulalım. a), f() 6 fonksionu için bir kritik nokta olmadığından ^6 - h -^6-9h fl^h lim - " 9 - - ^ h^ h lim lim - ( - ) " " -6 d r. 69
ÜNİTE b) noktası f() 6 fonksionunun bir kritik noktasıdır. Bu nedenle sağdan ve soldan türevlere bakılır. UYGULAMA ADIMI 8. f() ise, f'() kaçtır? fl^ fl^ - h f ^ h- f^h ^ -6h-^ -6h lim lim - - " " ^- h^ h lim ( - ) " 8 f ^ h- f^h ^6 - h-^6 - h h lim lim - - " " kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevlere bakılır. fl^ h ^$ ^h h - ^ h lim - " - lim lim " " -( - )( ) lim -8 - ( - ) " f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. dir. - f l^ h ^^- h h- ^$ h lim - " - - lim lim (- ) " " f'( ) f'( ) olup, f'() dır. 7. R de tanımlı f() fonksionunun deki türevi kaçtır? 9. f: R R, f(), < *, fonksionunun deki türevini bulunuz. Polinom fonksionlar her erde sürekli olduğundan de f fonksionu süreklidir. noktası fonksion için bir kritik nokta olmadığından sol sağ türevi bulmaa gerek oktur. Doğrudan türevi bulabiliriz. f ( ) f( ) f'( ) lim $ noktası bu fonksion için kritik nokta değildir. in komşuluğunda fonksion f() ile ifade edilmektedir. f() sürekli olduğundan hemen türevini hesaplaabiliriz. f ( ) f( ) f'( ) lim $ ( ) ( ) lim $ ( ) ( 6) lim $ lim $ lim $ ( )( ) lim $ ( ).( ) lim $ lim $ ( ) bulunur. lim ( ) dir. $ 7
. f() fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI. a b, # f ^ h * a, fonksionunun noktasında türevli olması için a ve b değerleri ne olmalıdır? ÜNİTE 5 a, b., # f ^ h *, şeklinde tanımlanan f fonksionu için f'() değerini (varsa) bulunuz. 5. f() fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. 6 6. f ( ) fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz. 6. Z a b, ] f ^ h [ c, # ] d, $ \ fonksionu ve de türevli olduğuna göre, a, b, c, d değerlerini bulunuz. Türev oktur. a, b 7 c 6, d 9 7
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 6. Türev Alma Kuralları D R ve f, g, h fonksionları D kümesinde türevli olsunlar.. Sabitin Türevi c R ve f() c & f'() dır. (Sabit fonksionun türevi sıfırdır.) ETKİNLİK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) 6 ÖRNEK f() 5, f(), f() fonksionlarının türevi nedir? b) 6 7/ 5/ f() 5 & f'() f() & f'() f() & f'() dır. c) ( ).( ). n Q, c R olmak üzere, f() c. n f'() c.n. n dir. ÖRNEK f() 5, f() d) ( ) f ^ h, f ^ h fonksionlarının türevini bulunuz. f() 5 & f'().5 5 5 e) f() & f'() f f ^ h & l^ h $ f() & f'(). ( ) 8 olur. 7
KAVRAMSAL ADIM. Toplam vea Farkın Türevi F() f() ± g() & F'() f'() ± g'() tir. ÖRNEK f() 5 fonksionunun türevini bulalım. II. Yol: Çarpımın türevinde verilen kural ugulanırsa, f'()..()..() 6 bulunur. ÖRNEK ÜNİTE a, b olmak üzere; f() 5 & & f'() ( 5 )' f'() ( )' ( )' (5 )' f() ( a) ( b) fonksionu verilior. f'() denkleminin çözüm kümesini bulunuz. & f'() 9 olur. f() ( a) ( b) & f'() ( a)'( b) ( a)( b)'. Çarpımın Türevi. F() f(). g() ise F'() f'(). g() f(). g'(). F() f().g(). h() ise F'() f'().g(). h() f(). g'(). h() f(). g(). h'() tir..( b) ( a). (ab) f'() & (ab) & a b a b & dir. ÖRNEK f(). () fonksionu verildiğine göre, f'() ifadesini bulunuz. I. Yol: f() () ise f() olup f'().. 6 olur. ÖRNEK m, n Z olmak üzere; f() m n ise, f'() f'( ) toplamı nedir? f() m n & f'() m m n n olur. f'() m n f'( ) m( ) m n( ) n m( ) n( ) (mn) ve f'() f'( ) m n (m n) bulunur. 7
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 5. Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi n Q ve F() [f()] n & F'() n.[f()] n. f'() tir. ÖRNEK f() ( ) fonksionunun türevi nedir? 6. Bölümün Türevi g() olmak üzere, f ^ h fl( ). g( ) - f^h. gl^h F ^ h & Fl ( ) g ^ h 6 g ^ h@ ÖRNEK f() ( ) & f'().( ) 9.( )'.( ) 9...( ) 9 olur. f ^ h olduğuna göre, f'() ifadesini bulunuz. ^ hl. ^ h- ^ h. ^ hl fl^h ^ h ^ h ^ h ^ h ^ h bulunur. ÖRNEK f ( ) ^ h fonksionu için f'( ) nedir? f ^ h ^ h & f ^ h ^ f'().( ). ( )' h ÖRNEK f ^ h ise, f'( ) cosi pozitif i açısı kaç derecedir? eşitliğini sağlaan en küçük. ( ). X. olup ^ h. ^ h f'( ) ^^- h h 6 bulunur. f ^ h ise. ^ h. ^h f l^h ^ h ^ h. ^ h fl^ h cos i ^ ^ h h i 6 dir. ise 7
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f() ( ) ise, f'() nedir? f'() ( ).( ) Vea ( ) te u olsun. u d & u du du d KOLAYLIK a, b, c, d R olmak üzere, olur. d d du. ( ).( ) d du d bulunur. a b ad - bc f ^ h ise f l^ h dir. c d ^c dh ETKİNLİK f ( ) düzenlenirse UYARI fonksionunun türevini bulalım. ( )( ) ( )( ) f'( ) ( ) 6 f'( ) ( ) f ( ) türevi f'( ) a b c m n p a m a m b n c p bulunur. ise katsaıları azılarak b n a c m p ( m n p) a b ; an bm dir. E m n bulunur. Buna göre bir önceki örneği çözelim. Katsaıları b n c p ÜNİTE ÖRNEK f'( ) ( ) 5 f ^ h - fonksionunun türevini bulalım 6 f'( ) ( ) olur. ETKİNLİK 5. ^-h -5. f ^ h & fl^h - ^ - h --5 ^ - h f ( ) 5 fonksionunun deki türevini bulunuz. -9 ^ - h dir. 75
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK a f ^ h ve fl^h ^ h ^ h f ^ h ^ h ise ise, a kaçtır? ÖRNEK f ^ h ise, fl^h nedir? ^ hl f ^ h & fl^h. ^ h -. ^ h fl^h ^ h ^ h6 ^ h-@ ^ h^ h - a ^ h ^ h ise a - dir. ÖRNEK f ^ h isef ^ h. fl^h nedir? dir. ÖRNEK Her iki tarafın karesini alalım. m m R olmak üzere f ^ h m kaçtır? fonksionunun türevi sıfır ise, f ^ h & f^h olur. Şimdi de her iki tarafın türevini alalım.. f^h. fl^h & f^h. fl^h dir. m m ^ h ^m h f ^ h & fl^h ^ h ve m - fl^h & & m - ^ h & m & m " dir. ÖRNEK f ^ h - ise, f'() kaçtır? 7. Köklü İfadelerin Türevi gl ^h a) f ^ h g ^ h & fl^h g ^ h n b) f ^ h g ^ h & fl^h n. n gl ^h 6 g^h@ n - dir. f ^ h - - & fl^h - fl^h - - & fl^h - -. tü. r 76
KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK a, b, c R f ^ h a b c, f^h ve f().f'() ise, f'() kaçtır? f^h a b c ise f ^h a b c ETKİNLİK f ( ) fonksionunun türevi Bu tip fonksionlarda türev alınırken önceden sadeleştirme apılırsa f() /6 X / X / 76 / / / f'( ) 6 biçiminde bulunur. ÜNİTE b f ^ h. fl^h a b& f ^ h. fl^h a ve b f ^ h. fl^h & a b & a, & b 6 d r. f^h & f^h c & c ve f ^ h 6 dir. f^h. 6. f ^ h. fl^h & f^h. fl^h. ETKİNLİK. a) f ( ) fonksionunun türevini bulunuz. &. fl^h 7 7 & fl^h dir. ÖRNEK f(). ise, f'() değerini bulunuz. b) f() ise, f'() değerini bulunuz. f ( ).. 5 5 6 5 5 7 5 f'( ).. 7 5 5 f'( ). olur. 77
ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. f(). f() m ve f'() 6 olduğuna göre, 6 fonksionu için, flf p değeri kaçtır? m kaçtır? f ^ h 6 isefl^h 6 & flf p. 6 7 dir. f() m ise f'() m & f'(). m.. 6 5 & m 5 & m - bulunur.. f(). g() fonksionu için g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) kaçtır? f().g() & f (). g(). g'() için, f'( ) ( ). g( ) ( ). g'( ) f'( ). bulunur. 5. f ^ h ise, f'() değeri kaçtır? ^ h. ^ h- ^ h. ^ h fl^h ^ h ^. h^. h- ^. h. ^. h f l^h ^. h 9-7 9 9 bulunur.. Ugun koşullarda f ^ h. f ^ h koşulunu sağlaan f fonksionu için f() ise f'() değeri kaçtır? f ^ h. f ^ h ise fl^h fl ^h 6. f^h. f ^ h iç in, fl^h fl ^h 6.. f^h.. f^h. fl^h f l^h 6 fl^h $ fl^h & fl^h- fl^h fl^h & fl^h 5 bulunur. 6. f ^ h fonksionuna apsisi olan noktadan - çizilen teğetin eğimi kaçtır? f'() istenmektedir. ^ hl. ^ -h- ^ h. ^ -hl fl ( ) ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h 5-8 fl^h - bulunur. 78
a 7. f ^ h fonksionu için, fl^h olduğuna göre, a kaçtır? a a. ^ h- $ ^a h f ^ h & fl^h ^ h a$ - $ ^a h & fl^h ^$ h UYGULAMA ADIMI. f() a fonksionunun grafiğine apsisli noktada çizilen teğetin eğimi 6 olduğuna göre, a kaçtır? f'() 6 olmalıdır. f'() a olup f'(). a 6 & 6 a & a dir. ÜNİTE a - 6 & a - 6 9 & a 9 bulunur.. f() ( ) ise, f'() nedir? 8. f().g() f'(), g'() olduğuna göre, g() kaçtır? f() ( ) & f'() ( ). ( )' f'(). ( ). f(). g() f'() 6. ( ) bulunur. f'(). g(). g'() 6 & f'().. g().. g'(). 6. f'() ve g'() olduğundan. g(). 9.g() g() bulunur.. f( 5) olduğuna göre, f'() f() kaçtır? f( 5) & f'( 5). 9. f() (6 ) fonksionu için f'( ) değeri kaçtır? f() (6 ) & f'() (6 ).(6 )' (6 ). ( ) için; f'( ) (6. ( ).( ) ). (( )). 5. ( ) 75 bulunur. & f'(. 5).. & f'(). 9 & f'() f( 5) & f(. 5). & f() 9 O halde, f'() f() 9 bulunur. 79
ÜNİTE. f() 5 ise, f'() i bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 5. f(). () fonksionu için f'( ) değeri kaçtır?. f() ise, f'( ) değeri kaçtır? 6. - f ^ h fonksionunun - noktasında (varsa) türevini bulunuz.. f().g() ve g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? 7. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. oktur 7. f ^ h fonksionu için flf p değeri kaçtır? 8. ^ - h f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. 5 8
KAVRAMSAL ADIM 8. Parametrik Fonksionların Türevi D f R ve f: D R fonksionu (bağıntısı) f() kuralıla verildi ği gibi, t ortak değişkenine bağlı olarak f(t) ve g(t) kuralıla da verilebilir. Burada t e parametre, f(t) ve g(t) ifadesine parametrik fonksion denir. f(t) ve g(t) fonksionları t e göre türevli olmak üzere, nin değişkenine göre türevi: d d dt $ d dt d d dt d dt dir. l t Bu türev kısaca l biçiminde gösterilir. l t d d dt t - d d t - t dt d d t -. -. -. 9. Kapalı İfadelerin Türevleri F(,) denkleminden, f() gibi nin e bağlı fonksionu elde edilebiliorsa türev d fl^h tir. d bulunur. ÜNİTE ÖRNEK t, t t ise, d t & t dt ÖRNEK d d d t t & t olup dt d d d dt dt t $ d dt d d t dt ifadesi nedir? dir. Ancak çoğu kez, f(,) denkleminde f() gibi bir fonksion bulmak olanaksızdır. Bu durumda verilen denklemin her teriminin e göre türevi alınarak türevi bulunur. d d ÖRNEK ise, d d ifadesi nedir? t t ve t d t ise, türevinin t noktasındaki d değeri nedir? d t - t & t -t dt d t - t & t- ve dt eşitliğinde her terimin 'e göre türevi alınırsa, &.. ' &.' &.' & ' - & d d - bulunur. 8
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK d 5 ise, d d Önce i bulalım: d Her terimin ʼe göre türevi alınırsa: değeri kaçtır? F(,) F' (,) 6 F' (,) olup d Fl ^, h 6 - d Fl ^, h - dir.. X..'..' '( ) ETKİNLİK d l - d sin (π) cos ( ) & '? d d ve d d. bulunur.. KOLAYLIK F(,) denkleminin l d türevi şöle de bulunabilir. d sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,), sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,) bulunarak d Fl ^, h l - azılır. d Fl ^, h. Trigonometrik Fonksionların Türevleri:. a) f() sin & f'() cos b) f() sing() & f'() g'(). cosg() c) f() sin n & f'() n.sin n. (sin)' n.sin n.cos ÖRNEK f() sin ise, f'() nedir? ÖRNEK ise, d d ifadesini bulunuz. f() sin ise, f'() ()'. cos & f'().cos tir. 8
KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() sin ise, π flc m kaçtır? f() sin ise, f'() sin. (sin)' sin. cos sin ve π flc m sin. π sin π dir. f() sin sin ise f'()..sin.(cos)..sin.(cos)...sin.cos..sin.cos. (sin6 sin8) olup π π π f' c m. csin 6 $ sin 8 $ m π π. csin sin m $ f p ÜNİTE ÖRNEK. a) f() cos & f'() sin 6^ h tü. r f() a.sin b.sin ve fl ( ). cos. cos ise π fc m kaçtır? b) f() cosg() & f'() g'().sing() c) f() cos n & f'() n.cos n.(cos)' n.cos n.sin f() a.sin b.sin ise ÖRNEK f'() a.cos b.cos cos cos olup bu eşitlikten cos f ^ h ise, f l^ h nedir? a, b & b bulunur. O halde, f() sin sin olup, π π π fc m sin sin. - bulunur. cos f ^ h ise. sin. sin fl^h ^hl sin olur. ÖRNEK ÖRNEK f().sin.sin ise, π flc m nedir? f() cos π cos türevinin 6 noktasındaki değeri nedir? 8
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f() cos cos ise f'().cos.sin sin sin sin sin π π π flc m. sin $ - $ sin $ 6 6 - dir. ÖRNEK f() tan ise, f' () ifadesinin eşiti nedir? f() tan ise f'().(tan X) 6(tan ) 6sec vea 6 cos tir. ÖRNEK ÖRNEK f() tan cos ise, π flc m değeri nedir? f() sin π cos π. olduğuna göre, f'( ) kaçtır? f() tan cos ise fl ^h $ tan $ f p$ -cos $ sin cos π. f ^ h sin π cos ise r r r f'() π.sinπ.cosπ. cos. sin π π fl^- h.π. sin^-π h. cos^-πh-π. cosc- m. sinc- m olur. π π π π flc m $ ftan p $ cos $ sin π fcos p $ ^ h $ - $ $ f- p 6 $ - dir.. a) f ^ h tan & fl^h tan cos sec b) f ^ h tan g ^ h& fl^h ^ tan g ^ hh. gl^h $ gl ^h cos g ^ h sec g^h. gl ^h n n- c) f ^ h tan & fl^h n$ tan $ ^ tan h n - n$ tan $ cos 8 n - n$ tan $ sec. a) b) c) f ^ h cot & fl^h- ^ cot h - -cosec sin f ^ h cot g ^ h& fl^h gl^h^ cot g ^ hh gl^h - sin g ^ h -gl^h$ cosec n n- f ^ h cot & fl^h- n. cot $ ^ cot h n - -n$ cot $ sin g^h n - -n$ cot $ cosec
KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() cot cot ise, f'() ifadesini bulunuz. f() cot cot ise f'() cot.( cot ). ( cot X) 8cotX 8cot X cot X olur. f ^ h- f^h f ^ h- f^h lim lim " - " ^- h^ h f ^ h- f^h lim $ lim - " " fl^h$ fl^h ve π π π fl^h tan $ c tan m $ oldu undan π π π tan tan f l^ h ; c $ m$ c me π π bulunur. ÜNİTE ÖRNEK ÖRNEK π f ^ h tan cot ise, flc m kaçtır? tan t ve cot t ise, d d türevi nedir? ^ tan h- ^ cot h f' ^h tan cot π c tan m- c cot π f lc m π π tan cot. π m ^ h- ^ h 8-6.. 7 7 d tan t & tan t dt cos t d cot t & - ^ cot th- olup dt sin t d d dt cos t sin t -tan t bulunur. d d cos t dt sin t. Logaritma Fonksionunun Türevi 7 7 dir. fl^h a. F() ln(f()) & F'() tir. f ^ h ÖRNEK π f ^ h- f^h f ^ h tan ise, lim " - ifadesinin değeri nedir? b. F() log a (f()) & F'() (a R {}) dir. fl^h $ f ^ h ln a fl^h log f ^ h a e 85
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() ln d) g() log b) g() ln e) h() log 5 (sin) c) h() ln f) k() log (ln) ETKİNLİK f(), n u, n(, n) u' f'() u dersek f'( )., n & u' ise türevini bulalım. olur. tir. O halde ^hl a) fl^h b) g'() ()'. ln. (ln)' ln. c) h(), n,n, n ^ hl d) g'() alog l $ log e k ^sin hl e) hl ^h alog ^sin l $ log e 5 hk sin 5 ^, nhl f) kl^h alog, n l $ log e ^ hk, n ^hl hl ( ) $. tir ETKİNLİK log e $ $ ln cos $ log e cot $ sin 5 ln 5 $ log e $ dir., n n,, n f(), n( sin ) için f' a r k? 6, n. Üstel Fonksionun Türevi a ifadesinin her iki anının doğal logaritmasını alalım: a & ln lna & ln lna olur. Her iki anının türevi alınırsa l. lna & l. lna & l a. lna bulunur. O halde a) a & ' a.lna b) a f() & ' a f().f'().lna dır. ÖRNEK f() log ( ) ise türevini bulalım. f'() loge. tür., n f(),n( sin ) Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() d) f ^ h ise türevini bulalım.. cos f'().cot olur. sin b) g ^ h a e) g() sin c) h ^ h - f) h ^ h 5 86
KAVRAMSAL ADIM a) f() & f'(). ()'. ln. ln b) g ^ h a & gl^h a $ ^ hl $, na $ a., na - - c) h ^ h & hl^h $ ^-hl $, n - - - $ $, n -$ $ $, n - -$ $, n d) f ^ h ise fl - - ^h ^- hl $, n $ ^ h, n -$ $, n e) g() sin & g'() sin. (sin)'ln cos. sin. ln f) h ^ h 5 & hl^h 5 ^ hl $, n5 ETKİNLİK f ( ) e ise, f'() i bulalım. f'( ). e olur. UYARI a fonksionunda a e(e,788...) alınırsa e olur. e ' e.lne e. e tir. O halde e f() ' e f().f'() olur. ÜNİTE 5 $ $,n5 tir. ÖRNEK ETKİNLİK a) f ( ) sin( e ) ise, f'( )? Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() e d) f() e sin b) g() e e) g() e c) h() e f) h() e e a) f'() e.()' e b) g'() ()'.e. (e )'.e.e.( )' e e e (-) b) f ( ) e cos ise, f'( )? c) h'() ( )'e (e )' e e e ( ) d) f'() (e sin )' e sin.(sin)' cos.e sin e) gl e e. e ^ h ^ hl $ ^ hl $ tir f) h'() (e e )' (e )' (e )' e e.( )' e e tir. 87
ÜNİTE. Parametrik denklemi t t t t olan f() fonksionu için değeri kaçtır? d d dt t t d d 9t dt t d d UYGULAMA ADIMI türevinin t noktasındaki.. 9. 7 bulunur.. f() sin π fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. f ^ h sin & fl^h. sin $ cos π π π & flc m. sin $ cos.. bulunur. 5. f() cos π cot fonksionunun - apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?. eşitliğile verilen f() fonksionunun ' türevini bulunuz. F l - F l - dir. f() cos. cot f'().. cos. ( sin) cot. [ (cot )] π π π flc- m-6. cosc- m$ sinc- m π π π cotc- m $ c- m$ ;- c cot c- mme π -6$ $ f- p- $ - π. bağıntısıla verilen f() fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. bağıntısında için.( ) ( ). ( ). olup, A(, ) noktasındaki türev soruluor. 6 ', azılırsa ifadesinde 6$ ^ h $ ^-h$ ^- h ^-h$ l - ^- h ^-h 6 - -6-6 bulunur. - - 6. sin - cos π f ^ h fonksionunun sin cos apsisli noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. sin - cos f^h sin cos π bulunur. ^cos sin h$ ^sin cos h-^sin - cos h$ ^cos - sin h & fl^h ^sin cos h π π ccos sin m - & fl^r/ h bulunur. π π csin cos m O halde, m T dir. 88
7. sin f ^ h - cos fonksionunun noktasındaki türevinin değeri kaçtır? sin f ^ h - cos ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ h^-h-$ - - bulunur. ^-h UYGULAMA ADIMI. f ^ h log ise, f 9 kaçtır? 5 f p l^ h f p ' f ^ h log & f $ log e 5f p l^ h 5 f p $ ^ h- ^ h$ ^ h & fl^h $ log e 5 f p & fl^h $ f p$ ^ h ln 5 ÜNİTE l f l^h $ ^ h^ h ln 5 8. f().tan π fonksionunun noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. f ^ h. tan & fl^h. tan $ $ tan $ ^ tan h π π π π π fl tan tan tan c m $ $ $ c m π ^ h π bulunur.. f() log( ) ise, f'() kaçtır? f() log( ) ise ^ fl^h hl $ log f l^h $ ln l fl^9h $ tir.. ln 5 ln 5 e fl^h $ dur. ln ln ln 9. f() ln( ) ise, f'() kaçtır? ^ hl f ^ h ln^ h & fl^h $ ln e f l^h. fl^h dir.. f() ln(tan) ise, f'() nedir? ^tan hl f ^ h ln^tan h isefl^h tan tan fl^h tan tan tan fl^h cot tan olur. 89
ÜNİTE. f() ln(ln) ise, flf p kaçtır? e ^, nhl f ^ h, n^, nh & fl^h, n & fl^h, n n, e e & flf p - e dir. e e n, ne - $, e. ise,, ' nedir? &, n, n &, n, n l & ^, nhl l &,n $ & l $ ^n, h & l ^n, h. & ' (, n ) 5. cos ise, ' nedir? cos & ln ln & ln cos $ ln l & ^cos $ ln hl l & - sin $ ln cos f p & l $ f- sin ln cos p cos UYGULAMA ADIMI 6. f() ln( sin ) ise, f'() nedir? ^sin hl cos^ h. ^ hl f ^ h ln^sin h & fl^h sin sin 7. (ln) ln ise, ' nedir?, n, ^, nh &, n, n6^, nh &, n, n., n(, n) ' ' ( ) n n n ^, nh,,,, n & ' ;, n(, n) E, n ' (, n). 6, ( ) n, n @ 8. ln ise, f'(e) nedir? f^h $ cos f l^h sin cot fl^h tir. n l,, n f^h & fl^h f p $ $, n, n 6 ^, nh @ l$ - fl^h -^, nh $ $ fl ( e) -^, neh - $ e $, n, n., n n @ ln, ne $ $ $, n e $, n cos & l $ f- sin $ ln cos p olur. -, n e dir. 9
PEKİŞTİRME ADIMI π. f() sin tan fonksionunun r apsisli noktasındaki. f() cos fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. türevini bulunuz. ÜNİTE π - π sin. f() fonksionunun apsisli noktasındaki cos türevini bulunuz. 5. eşitliğile verilen f() fonksionu için d d türevini bulunuz. d - l - d - -. Parametrik denklemi t 5t t t olan f() fonksionu için, d d türevini bulunuz. π 6. f() sin sin fonksionu için flc m değeri kaçtır? 6t t - 5 9
ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI 7. f() sin(cos) ise, f' () fonksionunu bulunuz.. f ^ h olduğuna göre, flf p değerini bulunuz., n e sin. cos(cos) 8. f() sin (sin) fonksionunun türevini bulunuz.. f() e sin π olduğuna göre, flc m değeri kaçtır? sin (sin).cos(sin).cos 9. f().ln ise, f'(e) değeri kaçtır?. f().e fonksionu için f'() değeri kaçtır? e 8e 9
e. f ^ h fonksionu için f'() değeri kaçtır? - e PEKİŞTİRME ADIMI, n 6. f ^ h fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. ÜNİTE 7ln. f() e tan π fonksionu için flc m değeri kaçtır? 7. f().5 fonksionu için f'() değeri kaçtır?, n^5eh 5 π e ( ) cos sin π 5. f ^ h - fonksionunun apsisli noktadaki türevini bulunuz. 8. f(). olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? -.,n ^, n h- 9
ÜNİTE. Bileşke Fonksionun Türevi (Zincir Kuralı): D R, E R olmak üzere; f: D E fonksionu a D noktasında, g: E R fonksionu f(a) E noktasında türevlenebiliorsa; gof: D R fonksionu da a noktasında türevlenebilirdir ve (gof)' (a) g'(f(a)). f'(a) dır. f(), z g() alınırsa z g(f()) (gof)() olur. dz dz d ^gofhl^ h $ ani zl zl $ l d d d (gof)'() g'(f()). f'() olur. ÖRNEK f: R R, f() g: R R, g() ise, (gof)'() nedir? I. Yol: KAVRAMSAL ADIM (gof)'() g'(f()). f'() olduğundan g() & g'() f() & f'(), f() ve f'(). ise g'(f()) g'() 8 olduğundan (gof)'() 8. 6 dır. II. Yol: (gof) () g(f()) ( ) ( ) (gof)'() ( ) olup (gof)'() (..).8 6 dır. ÖRNEK f, g ve fog fonksionları türevlenebilir fonksionlardır. g( ), g'( ) ve f'() olduğuna göre, (fog)'( ) kaçtır? (fog)'( ) f'(g( )).g'( ) f'().. dir. ETKİNLİK. Ters Fonksionun Türevi: A R, B R olmak üzere; f: A B bire bir ve örten fonksionunun ters fonksionu f : B A olsun. A için f() B ise ters fonksion tanımından B için f () A dır. f () eşitliğinin her iki anının ʼe göre türevi alınırsa; ^ f hl ^h$ l vea ( f ) l^h tir. l l fl^h fl^f ^hh oldu undan ^f ^f hl^ h a da fl ^f ( ) h f ( ), n, g ( ) ise ÖRNEK f:(,) R, f() fonksionu verilior. (f )' () nedir? I. Yol: (fog)() fonksionunun türevini bulalım. ( fog)( ), n( ) olur. ( fog)'( ) n ' a, k hl^ h olur. fl^f ( ) h f fonksionu (,) aralığında bire bir ve örten olduğundan ters fonksionu vardır. & & ( ) ( ) & bulunur. ve (,) olduğundan > dir. 9
KAVRAMSAL ADIM - - ise ve f ( ) dir. Ohalde, f ^h dir. ^ f hl ^h & ^f hl^ h olur. II. Yol: ETKİNLİK f() 5 eşitliği ile tanımlanan f : R R fonksionu verilior. (f )'()? ÜNİTE f() ise f ^h ( bulundu.) ^ f hl^ h fl^h ^ - hl - ^f III. Yol: ^ -h hl^ h. f() (f & )' () olduğunu görmüştünüz. (f )'() için fl^h e karşılık gelen değerini bulmalıız. f() & & & ( ) ( ) olur. ve tür. z (,) ve (,) olup için tür. O halde, 5. Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev): D R ve f: D R fonksionu D kümesinde türevli ise; ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Eğer f' türev fonksionu da, E D olmak üzere E kümesinde türevli ise dl d m fm^h ^fl^hhl d d. sıradan türevi denir. Benzer düşünüşle d l fl^h d dm d n fn^h ^fm^hhl d d ifadesine f fonksionunun ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Genel olarak n N ve n > için ^n - h ^nh ^nh d d f ^h d n d ifadesine f fonksionunun n. sıradan türevi denir. n ^f h^h & ^f hl^ h fl^h fl^h ve f() & f'() olduğundan fl ^h. - ve^f hl^h fl^h bulunur. ÖRNEK f() fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 95
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ise ' 6 " (')' 6 6 dır. ÖRNEK f() sin sin fonksionunun. sıradan türevini bulalım. sin sin ise ' sin. cos sin. cos sin sin. cos " (')' cos.(sin. cos). cos sin. ( sin) cos sin. cos sin bulunur. n sıradan türev sorulduğunda önce, verilen fonksionun birkaç sıradan türevi bulunur. Bu türevlerden ararlanarak n. sıradan türev bulunur. ' n. n " n.(n ) n "' n.(n ). (n ). n... (n) n.(n ). (n )..[n (n )] n n (n) n.(n ). (n ). (n )... (n) n! bulunur. ÖRNEK fonksionunun n. sıradan türevi nedir? ÖRNEK f() 5 fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 5 ise ' 5 " (')' '" tür. UYARI f(), n. dereceden polinom fonksion ise, f fonksionunun n. sıradan türevi sabit, daha üksek türevleri sıfırdır. & l dir. ' ( ). '' ( ) ( )... '''..( ).... (n) ( ) n... n. (n) (n) ( ) n n!. n bulunur. ETKİNLİK f() Arccosa k fonksionunun türevini bulalım. f ( ) Arccos & f'( ) 9 ÖRNEK n N olmak üzere f() n fonksionunun n. sıradan türevi nedir? f'( ) 9 9 bulunur. 96
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) f : R R, e) f ^ h arctan & fl^h ÜNİTE f() 6 5 5 ise, f () ()? ve f () ()? f) g) gl ^h f ^ h arctan g ^ h& fl^h 6 g ^ h@ - f ^ h arccot & fl^h h) gl ^h f ^ h arccot g ^ h& fl^h- 6 g ^ h@ ETKİNLİK ) sin, cos fonksionlarının n. sıradan türevlerini, n doğal saısına bağlı olarak veren formüller bulunuz. r 5 f() sin c Arc tan m 'nin saısal değerini bulalım. cos tan 5 c m 5 cos & cos r sina ak cos a tür. olduğundan f ( ) bulunur. 6. Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi a) f ^ h arcsin & fl^h - NOT: cos tan ve olduğunu hatırlaınız. r sina ak cos a b) f ^ h arcsin g ^ h& fl^h gl ^h - 6 g ^ h@ ETKİNLİK f() Arccos fonksionu için f'() ın değerini c) d) f ^ h arccos & fl^h- f ^ h arccos g ^ h& f' ^h- - gl^h - 6 g ^ h@ bulalım. f'( ). f'() bulunur. 97
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ÖRNEK f ^ h arcsin ise, f'() nedir? ( > ) fl^h l f p - f p - - - f ^ h arctan f ^ h arctan ise ^ hl fl^h ^ h ise, f'() kaçtır? - - - - fl^h bulunur. - - olur. ETKİNLİK f() Arcsin(π/) fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. ÖRNEK f() arccos bulunuz. fonksionunun türevsiz olduğu en geniş kümei r f() Arcsin a k & f'( ) f'( ). dir. f ^ h arccos ise, fl^h- - olup f'( ) bulunur. için tanımsızdır. & ± dir. - f' nün tanımlı olmadığı erlerde f' süreksiz olduğundan türevsizdir. O halde (, ], [, ) kümesinde f() arccos fonksionu türevsizdir. ETKİNLİK f() Arccot fonksionu verilior. Buna göre, f'() in değerini bulalım. f ( ) Arccot f'( ). f'( ) bulunur. 98
KAVRAMSAL ADIM 7. Mutlak Değerli Fonksionların Türevi D R ve f, D kümesinde türevli bir fonksion olsun. F() f() ise fl^h. f^h fl^h, f^h ise Fl^h * f ^ h -fl^h, f^h ise dir. ÖRNEK f() 8 fonksionunun türevi nedir? UYARI Mutlak değerin içini pozitif apan değerler için, doğrudan içinin tü-revi alınır. Negatif apan değerler için, içinin türevi ile çarpılır. ETKİNLİK f : R R f() olduğuna göre, f() f'() ün değerini bulalım. f() & f() f'().( ) & f'() f() f'() bulunur. ÜNİTE 8 & dir. ^- 8hl. 8! için fl^h - 8. -. - ^ - h - dir. ETKİNLİK f() fonksionu için f'(), f'( ) ve f'(5) değerlerini bulalım. ÖRNEK ( ) f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? Buna göre f(), f( ) olduğundan f'( ) ve f'() oktur. f(5) > & f() & f'() f'(5) olur. & ( ) ( ) & ve ʼtür. f() ( ) < olup f() & f'() ve f'(). olur. ÖRNEK f: R $ [,] f() cos fonksionu verilor. π π π π a) flc m b) flc m c) flf p d) f' c m 6 ifadelerini hesaplaınız. 99
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM π π a) cos oldu undan flc m oktur. π b) cos > oldu undan π π flc m - sin - dir. 8. Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevlerin Hesaplanması g() t parametrik denklemlerinden h() t türevini hesaplaalım. d d d' d d d d' dt d c m ve l d d d d d d dt ikinci mertebe d dt d dt olduğundan π c) cos - oldu undan π π flf p. f sin p dir. dl dt d d d d $ - $ dt dt dt dt d f p dt dir. d) π cos oldu undan 6 π π flc m - sin - 6 6 dir. Yerine azılırsa d d d d l d $ - $ d dt dt dt dt dt d d d d dt f p $ f p dt dt ÖRNEK d d d d $ - $ d dt dt dt dt d d f p dt bulunur. f() 5 k ve f'() ise, k nedir? a da d ". ' ' " d ^' h bulunur. 5 &, 5 tir. ETKİNLİK t [, π] parametresine bağlı olarak 5 5 cost sin t için 5X < olduğundan f() 5 k & f() 5 k ile verilen fonksion için d d r t? f'() 5 k & f'(). 5 k & 5 k & k dir.
UYGULAMA ADIMI. f() ve g() ise, II. Yol: a) (fog)'() nedir? b) (gof)'() nedir? Fonksionun tersini bulmadan f () a & f(a) & a 5 a a) I. Yol: (fog)() f(g()) () a dir. f() 5 & f'() (fog)() f'( ). ( ) olur. (fog)'() ( f )'( ) fl^ h olur. II. Yol: (fog)'() f'(g()). g'() ÜNİTE. b) I. Yol: (gof)() g(f()) ( ). f: [, ] [ 9, ) f() 5 ise, (f )'( 5) kaçtır? II. Yol: (gof)'() (gof)'() g'(f()). f'(). ^f hl^ 5h fl^f ^ 5hh f ( 5) a & f(a) 5 tir. olur. a a 5 5 & a V a f [, ) olduğundan a tür. ( [, )). f: R R, f() 5 ise, (f )'() değeri kaçtır? f'() & f'(). tür. ^f hl^ - 5h fl^f ^ 5hh fl^h olur. I. Yol: f () ʻ i bulup türev alalım. 5 & 5 & -5 & f ^h -5 & ^f hl^h. ^ - 5h & ^f hl^ h. ^- 5h dür.. f() 5 ise, f''() nedir? f() 5 ise f'() f''() 6 dur.
ÜNİTE 5. f() 5 ise, f (5) () nedir? f'() 5 f''() 5.. f'''() 5... f () () 5... f (5) () 5.... 5! olur. UYGULAMA ADIMI 8. $ sin t d cos t d I. Yol: nin efliti nedir? d d dt sin t. sin t. cos t - - d d cos t. cos t dt d - sin t d 6. f ( ) e ise, ^h f ^h nedir? df- sin tp -. cos t d - d d. cos t 9 dt dur. fl^h e e e fm^h $ $ e fn^h $ $ $ e e... f^ h^h f $ $ p$ e $ e dir. II. Yol: d ''' ''' d ^' h _ ' cos t b b '' - sin t b d cos t$ ^-cos th-^-$ sin th$ ^-sin th ` ' -sin t b d ^ cos th b '' -. cos tb a - $ cos t$ cos t-6 sin t$ sin t 7. cos t 7. d ^e h e $ f p d ifadesinin eşiti nedir? d ^$ e h d d ^ $ e f d d d d e ^ e d h p h - e e e -. cos t$ cos t-6 sin t$ sin t$ cos t 7. cos t$ cos t - $ ^cos t -cos th 9 $ cos t ^cos t- sin t -cos th - $ 9 cos t bulunur. 9 e - e e d ^ e h $ e $ ^- e e d - tir. h
9. sin t cost cos t sint d π olmak üzere, nin t için değeri kaçtır? d d d dt cos t$ ^- sin th cos t - sin t cos t d d sin t$ cos t- sin t sin t- sin t dt d d d d - sin t cos t c m c m d d d d sin t- sin t UYGULAMA ADIMI. (a b) n fonksionunda n bir tam saı olmak üzere, n nin eşiti nedir? ' n.(a b) n.a '' n(n ).(a b) n.a ''' n(n )(n ).(a b) n.a... (n) n. (n )(n ) [n (n )]. (a b) n n. a n n n!. a n dir. ÜNİTE d - sin t cos t f p dt sin t- sin t d dt d - sin t cos t f p dt sin t- sin t sin t$ cos t- sin t ^-cos t - sin th$ ^sin t - sin th-^- sin t cos th$ ^cos t - cos th ^sin t - sin th $ ^sin t - sin th d d π t..e ise (n) nin eşitini bulalım. ' e e e () '' e. () e. e () ''' e. () e. e ()... (n) e. (n) dir. π r π π π π π π - $ cos $ sin $ sin - sin - - sin cos $ cos $ - cos π π π π csin $ - sin m $ csin $ - sin m c m c m c m c m ^^-h$ ^-h-h$ ^-h- ^ h$ ^.( ) h ^-h $ ^-h $ ^-h - ^-h - - dir.. e ise, e d d f - p ifadesinin eşiti nedir? d d d e & l e. e e ^ h d d. ' e e e ' ^ lhl ^ h ^ h ^. e hl d e l e e. e e ^ h dir.
ÜNİTE. Ölese, e - d d - f - p e 6e ^ h- e ^ h@ d d - e 6e ^ --h@ bulunur.. sin i d ile verilen f() fonksionu için 5. cos i d bulalım. d d di 5 sin i 5 - - $ tan i d d cos i di dl - 5 $ ^ tan ih di dir. ve UYGULAMA ADIMI türevini 5. t e ile verilen f() fonksionu için t t bulalım. d d dt t d d t e dt t dl t $ e - ^t h $ e dt t ^e h t dl t e - ^t he d t dt e d d t e dt t d e ^t t h t d e t t d d türevini d' 5 - $ ^ tan ih d di d d.cosi di - 5 $ 9 cos i bulunur. 6. e t (t t ) bulunur. t t ile verilen f() fonksionu için t t bulalım. d d türevini. t t ile verilen f() fonksionu için t - t bulalım. d d türevini d d dt 9t d d t dt dl 8t$ ^t h - ^9t h $ 8t 8t-8 dt ^t h ^t h d d dt t - ^t - h d d t dt dl dt ve dl d dt d d t ^t h dt bulunur. dl 8t 8t-8 d dt ^t h 8t 8t-8 tür. d d ^t h ^t h dt Diğer taraftan, dm d d d d dt f p m d d d d d dt olup,