YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını denge denklemleri yardımıyla hesaplayabiliyorsak sistem izostatiktir.

Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler :

Yapı Sistemleri: Hiperstatik (Statikçe Belirsiz) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonları denge denklemleri yardımıyla hesaplanamıyorsa sistem hiperstatiktir.

Yapı Sistemleri: Hiperstatik Sistemlerin Çözümü için : * Denge Denklemleri * Geometrik uygunluk şartları * Bünye Denklemleri (Gerilmeler ve Deformasyonlar arasındaki ilişkiler)

Hiperstatik Sistemlerde Kesit tesiri oluşturan etkiler * Dış yükler * Mesnet çökmesi * Sıcaklık değişimi

Hiperstatik Sistemlerde Çözüm Yöntemleri Kuvvet Metodu Deplasman Metodu Deplasman Metodları Açı Metodu Cross (Moment Dağıtma) Metodu Rijitlik Matrisi Metodu

Hiperstatik Sistemler : Dolu gövdeli sistemlerin hiperstatiklik derecesi iki gruba ayrılır. ) Dıştan hiperstatiklik : Yapıda hesaplanamayan mesnet reaksiyonu sayısına eşittir. Mesnet reaksiyon sayısı (r) ise r-3 (dıştan hiperstatiklik derecesi)

t/m 8 t 5 t/m I I 0 t I I I m I I 5 m 5 m m 8 m 8 m m

) İçten Hiperstatiklik : Yapıda hesaplanamayan iç kuvvet sayısı ile ilglidir. Dolu gövdeli sistemlerde n = 3*m r - 3j denklemiyle bulunur. n: Hiperstatiklik derecesi m: Eleman Sayısı r : Mesnet reaksiyonları sayısı j : Düğüm noktası sayısı

Düğüm noktası sayısı (j): 6 Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 3 Eleman sayısı (m): 6 Hiperstatiklik derecesi n : 3*mr-3j n : 3*6 3 3*6 = 3 0 hiperstatik Sistem dıştan izostatik ancak içten hiperstatiktir. Yani sistemin tüm mesnet reaksiyonları hesaplanabilir ancak tüm çubuk kuvvetleri bulunamaz.

Düğüm noktası sayısı (j) : 9 Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 6 Eleman sayısı (m) : 0 Hiperstatiklik derecesi n : 3*mr-3j n : 3*0 6 3*9 = 9 0 hiperstatik Sistem 9 0 hiperstatiktir. Mesnet reaksiyonları incelendiğinde sistemin Dıştan 3 0 hiperstatik olduğu görülür. Yani sistem İçten 6 0 hiperstatiktir

Mafsal olması durumunda Eğer mafsal eleman üzerinde ise hiperstatiklik derecesi azaltılır. Eğer mafsal düğümde ise düğümde birleşen eleman sayısının eksiği kadar hiperstatiklik derecesi azaltılır. Düğümde 3 eleman birleşiyor 3-= derece azaltılır.

KUVVET METODU Düzlem Hiperstatik sistemlerin sabit yükler,sıcaklık değişimi ve mesnet çökmesi gibi dış etkilerlerden dolayı oluşan kesit tesirleri ve yer değiştirmelerini bulmaya yarayan virtuel iş ilkesine dayalı çözüm yöntemidir. Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken yapılacak ilk iş izostatik esas sistemin seçilmesidir. İzostatik esas sistem, hiperstatik sistemde hiperstatiklik derecesi kadar bilinmeyenin belirlenmesi ile elde edilir. Hiperstatik sistemde hangi bilinmeyenlerin hesaplanacağı belirlenerek sistem izostatik hale getirilir.

İzostatik Esas Sistem: Hiperstatik sistem izostatik hale getirilir. Bunu yaparken ya sisteme mafsal yerleştirilir yada mesnetlerdeki serbestlikler arttırılır. İzostatik esas sitem seçilirken hangi sistemi daha kolay çözebileceğimizi düşünüyorsak o sistemi seçebiliriz. Bir hiperstatik sistemin pek çok izostatik esas sistemi vardır. Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına bilinmeyen olarak moment yazılır. Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya moment yazılır.

. Dereceden hiperstatik sistem İzostatik Esas Sistem İzostatik esas sistem belirlenirken mesnetlenme durumu izostatik hale getirilir bu arada serbest bırakılan her mesnet reaksiyonu için bir bilinmeyen yazılır veya sisteme mafsal yerleştirilerek mafsalın olduğu yerde bilinmeyen olarak moment yazılır.

İzostatik esas sistem belirlenirken aynı zamanda hesap edilecek bilinmeyenlerde seçilmiş olmaktadır. Bu yüzden izostatik esas sistem belirlenirken hesaplarda kolaylık sağlayacak sistemlerin seçilmesine çalışılır. Yani izostatik esas sistem ve bilinmeyenlerin birim yüklemeleri için yapılacak hesapların daha kolay yapılabileceği sistemler izostatik sistem olarak seçilmeye çalışılır.

Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına bilinmeyen olarak moment yazılır.

Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya moment yazılır.. Dereceden hiperstatik sistem İzostatik esas sistem

. Dereceden hiperstatik sistem için izostatik esas sistemler

Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler, İzostatik esas sistemdeki etkiler ile,,, n bilinmeyen kuvvetlerin oluşturduğu etkilerin uygun şekilde birleştirilmesiyle bulunur.,,, n bilinmeyenlerinin bulunması hiperstatik sistemdeki etkilerin bulunması için şarttır. Bilinmeyen sayısı sistemin hiperstatiklik derecesi kadardır.

Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler hesaplanırken, hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem seçildikten sonra sistem uygunluk denklemi yazılır. n nn n n n nt nw n n n t w n n t w n n t w = = = =............ 0 3 3 3 30 3 3 3 0 0 M

Uygunluk denklemi hiperstatiklik derecesi kadar yazılır. Sistem dereceden hiperstatik ise denklem tanedir 0 t w = Sistem. dereceden hiperstatik ise denklem tane olacaktır 0 0 t w t w = = Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktır 3 33 3 3 30 3 3 3 3 3 0 3 3 0 t w t w t w = = =

Sistemde sıcaklı değişimi ve mesnet çökmesi yok ise sadece dış yük etkisi var ise denklem şu hale gelir: 0 t w = Sistem. dereceden hiperstatik ise denklem tane olacaktır 0 0 t w t w = = Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktır 3 33 3 3 30 3 3 3 3 3 0 3 3 0 t w t w t w = = =

Uygunluk denkleminde görülen deplasman ifadelerinin altındaki ilk indis yeri, ikinci indis ise sebebi göstermektedir. M i iw it i0 i i in i yönündeki deplasman i yönünde mesnet çökmesinden dolayı oluşan deplasman değeri i yönünde sıcaklık değişiminden dolayı oluşan deplasman değeri i yönünde dış yükten oluşan deplasman değeri i yönünde nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri i yönünde nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri i yönünde n nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri.

P P. dereceden hiperstatik sistem İzostatik esas sistem Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem belirlendikten sonra uygunluk denklemleri yazılır. Bundan sonra uygunluk denklemindeki değerleri bulmak sırasıyla yüklemeler yapılır.

Sistem. dereceden hiperstatik ise denklem tane olacaktır = = 0 0 P P 0 0

P 0 Yüklemesi P İzostatik esas sisteme dış yük yüklenerek sistemde oluşan M 0 N 0 T 0 değişim diyagramları çizilir. 0 Yüklemesi İzostatik esas sistemde sadece dış yük etkisinde M, N, T kesit tesirleri diyagramları çizilir. M 0 : İzostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan moment N 0 : İzostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan normal kuvvet T o : İzostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan kesme kuvveti.

Birim Yüklemeler İzostatik esas sistemde, sırasıyla seçilen her bir bilinmeyen için birim yüklemeler yapılır. =, =, 3 =,., n = Bu durumda her bir birim yükleme için sistem kesit tesirleri (M, N, T) çizilir. Bu kesit tesirleri hesaplanırken sistemde dış yük yoktur.

Yüklemesi İzostatik esas sistemde sadece nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M : İzostatik esas sistemde nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N : İzostatik esas sistemde nolu birim yüklemeden dolayı oluşan normal kuvvet T : İzostatik esas sistemde nolu birim yüklemeden dolayı oluşan kesme kuvveti.

İzostatik esas sistem Yüklemesi İzostatik esas sistemde sadece nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M : İzostatik esas sistemde nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N : İzostatik esas sistemde nolu birim yüklemeden dolayı oluşan normal kuvvet T : İzostatik esas sistemde nolu birim yüklemeden dolayı oluşan kesme kuvveti.

Uygunluk denklemindeki deplasman ifadelerinin bulunması için mukavemette görülen virtuel iş teoremi kullanılır. Dolu gövdeli ij sistemler için bu ifade şu şekildedir: ds ds = M im j NiN j TT i EI EF j ds GF Bu denklemde görülen EI= Eğilme Rijitliği EF= Uzama Rijitliği GF = Kayma Rijitliği, ifadeleridir.

Deplasman ifadelerinin simetri özelliği vardır. ij = ji Mesela deplasmanı ile deplasmanı birbirine eşittir ve şu denklemle bulunur: = ds ds = M M N N TT EI EF ds GF Bu deplasmanların bulunması sırasında genellikle N ve T kesme ifadeleri ihmal edilir. Moment ifadeleri de matematiksel olarak yazılır ve uzunluk boyunca integral alınır.

Deplasman ifadeleri hesaplandıktan sonra aşağıdaki uygunluk denkleminde yerine konarak denklem takımı çözülür ve bilinmeyenler olarak seçilen ve reaksiyon kuvvetleri bulunur. = = 0 0

P P Bundan sonra hesaplanan değerleri kullanılarak hiperstatik sistemde oluşacak kesit tesirleri bulunabilir. Bunun için hesaplanan değerleri dış yükler ile sisteme etki ettirilir. Yada süperpozisyon denklemleri yazılarak daha önce çizilen M,N,T diyagramları kullanılarak hiperstatik sistemin kesit tesirleri hesaplanır. Sistemde herhangi bir noktadaki kesit tesirlerini hesaplamak için M=M 0 M M M 3 3..M n n T = T 0 T T..T n n N = N 0 N N...N n n Süperpozisyon denklemleri kullanılabilir. Bu denklemler yardımıyla sistemde istenilen noktadaki kesit tesirleri hesaplanabilir.

0 kn m m Hiperstatik sistem (. dereceden) 0 kn İzostatik esas sistem 0 kn İzostatik esas sistem 0 kn İzostatik esas sistem

A 0 kn m B m 0 kn C Hiperstatik sistem (. dereceden) İzostatik esas sistem. Dereceden hiperstatik olduğu için uygunluk denklemi = 0

0 kn m m 0 Yüklemesi 40 kn.m 0 kn 0 kn ΣF y = 0 A y =0 ΣM A = 0 M A = 0* = 40 kn.m 40 m M 0 Diyagramı

Yüklemesi 4 m = 4 kn.m kn = ΣF y = 0 A y = ΣM A = 0 M A = *4 = 4 kn.m m m M Diyagramı 4

40 = 0 m M 0 Diyagramı m m M Diyagramı 4 0 ds M M ihmal EI = 0 EI 0 = ( x).( 0x) dx 0 EI 0 = 33.333 ds M M ihmal EI = EI 4 = x).( x) 0 EI = 64 \ 3 = ( dx.333

i=40 = 0 m m 0 m M 0 Diyagramı ds M M ihmal EI = 0 EI 0 = Li ( k k 6 ) k =4 EI 0 = **( 40)*( *4) = 33.333 6 k = M Diyagramı

= 0 m m k =4 k = M Diyagramı ds M M ihmal EI = EI = Li k = *4*4*4 = 64 / 3 = 3 3.333

= 0 = 0 = 33.333. 333 =6.5 0 kn 0 kn m m =6.5

0 kn A B C =6.75 3.75-6.5 T 5-3.5 M

i=40 A A C m B M 0 Diyagramı 4 M A = M 0A M A * = (-40) 4*(6.5) = - 5 M B = M 0B M B * = (0) *(6.5) = 3.5 M C = M 0C M C * = (0) *(0) = 0 m B m M Diyagramı C 5 A - B 3.5 C

0 kn m m Hiperstatik sistem (. dereceden) Aynı sistemi çözmek için izostatik esas sistemi farklı seçelim. 0 kn İzostatik esas sistem

0 kn İzostatik esas sistem 0 kn 0 kn 0 kn M 0 0 kn.m

0 kn İzostatik esas sistem kn.m 4 m 0.5 kn 0.5 kn kn.m - 0.5 M

= 0 kn.m - 0.5 0 kn.m M 0 Diyagramı M Diyagramı 0 ds M M ihmal EI = 0 EI 0 = Li k Li (k k 3 6 ) EI 0 = **(0)*( 0.5) **(0)*(*( 0.5) ( )) = 0 3 6

kn.m - 0.5 = 0 M Diyagramı = ds MM = Li k = 4.( ).( ) =.333 EI 3 3 EI =.333

= 0 = 0 = 0. 333 =5 0 kn m m =5 0 kn

=5 0 kn 3.75-6.5 T 5-3.5 M

t/m Hiperstatik sistem (. dereceden) 3 m ( I ) 4 m (I) 3 m ( I ) = = 0 0 3 m 4 m (I) 3 m İzostatik esas sistem ( I ) ( I )

t/m 4 m (I) 3 m 3 m 0 ( I ) ( I ) 6 6 tm 6 ( - ) ( o ) 8 t ( - ) M 0

4 m 4 ( - ) 0 3 m ( - ) M 4 tm =t t 3 ( ) 3 4 m 3 m ( ) M ( ) = 0 0

6 = = 0 0 6 ( - ) ( o ) 4 ( - ) ( - ) M 0 ( - ) M 3 ( ) 3 ( ) ( ) M

6 6 ( - ) ( o ) 4 ( - ) ( - ) M 0 ( - ) M 0 = M M 0 ds EI EI 0 = *( Li k) 4 Li k EI 0 = *( *4*( 4)*( 6)) 3* 4* 6 4 EI 0 = 4

6 6 ( o ) ( - ) 3 ( ) 3 ( - ) M 0 ( ) M ( ) 0 EI = M M 0 ds EI *( *4* 6*3) ( *3* 3 EI = *( Li k) ( 3 0 = EI 0 = 04 0 Li k 6*3) )

4 ( - ) 3 ( ) 3 ( ) ( - ) ( ) M M = = M M ds EI EI = *( Li k) ( Li k ) EI = = EI EI *( *4*3* 4) ( *3*3* = 30 4)

4 ( - ) = ( - ) M M ds EI M EI = *( Li k) ( Li k) 3 EI = *( *4* 4* 4) (3* 4* 4) 3 EI = 58.667

3 ( ) 3 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) M M = M M ds EI EI = ( Li k) *( Li k) ( 3 3 Li k ) EI = ( *3*3*3) *(4*3*3) 3 EI = 36 ( 3 *3*3*3)

= = 0 0 EI = 4 0 EI = 58. 667 EI 0 = 04 = = EI EI EI = 36 30 = 4 58.667 = 04 30 36 30 = 0 = 0 = 4.079 = 0.5

t/m t/m 4 m (I) 4 m (I) 3 m ( I ) 3 m ( I ) 3 m ( I ) 3 m ( I ) =0.5 = 4.079

t/m 0.5 3 m ( I ) 4 m (I) 3 m ( I ) =0.5 ( - ) - 0.5 N ( - ) 0.36 3.9 = 4.079 3.9 4.079 3.9 () ( - ) T ( - ) ( - ) 4.079. ( - ). - - M.53 ( - ) 0.5 0.5 0.36

4 m 3 m İzostatik esas sistem t/m t/m 0 Yüklemesi 4 m 4 0 4 m 4 0 3 m 0 4 3 m 0 4

t/m 4 m 4 0 4 0 4 0 4 3 m M 0 0 4

4 m 4 m 3 m 3 m = = 4 m 0 0 0.5-0.5 0.5 0 = 3 m I M 0.5 0 0.5

4 m 3 m = 4 m = 0.333 0 0.333 = 0.333 3 m 0 0 0 0.333 0 M

= = 0 0-4 M 0 I M 0 = M M 0 ds EI EI = *( 3 0 Li k ) EI *( *4*4*( 3 0 = EI0 =.667 ))

4 M M 0 0 = M M 0 ds EI EI = *( 3 0 Li k ) EI 0 = *( 3 *4*4*) EI 0 = 5.333

- I M = M M ds EI EI = *( Li k) ( Li k) 3 EI EI = 3.667 *( *** 4) 3 = (**3)

M = M M ds EI EI = ( Li k) *( Li k) ( 3 3 Li k ) EI = ( *3**) *(4**) 3 EI = 4 ( 3 *3**)

- I M M = = M M ds EI EI = *( Li k) ( Li k ) EI = *( *4* *) ( *3* * ) = = EI EI.5

= = 0 0 EI0 =.667 EI = 3.667 EI 0 = 5.333 = = EI EI EI = 4.5 =.667 3.667 = 5.333.5 4.5 = 0 = 0 = 0.36 =.53

4 m = -.53 3 m =0.36.846.846 - -.53 ( - ) ( - ) 0.36 M

ÖRNEK N/m 3 m 3 m Yandaki hiperstatik sistemin moment ve kesme kuvveti değişim grafiklerini çiziniz.. Dereceden hiperstatik = 0 İzostatik esas sistem

ÖRNEK 0 Yüklemesi N/m 3 m 3 m 3 N 3 N M 0 Moment diyagramı M 0 =.5

ÖRNEK Yüklemesi 3 m 3 m = N M Moment diyagramı 3 N.m

ÖRNEK M 0 =.5 M 0 Moment diyagramı 3 N.m M Moment diyagramı = 0 0 = = M M 0 M M ds EI ds EI EI = ( Li k) = *3*3*.5 3 3 0 = EI = ( Li k) ( Li k) = *3*3*3 *3*3*3 = 8 3 3 3 3 6.75

ÖRNEK = 0 = 0 6.758 =0 = -0.375 N/m 3 m 3 m = 0.375

ÖRNEK N/m.65 3 m 3 m 3.75 = 0.375.65 0.375 0.375-3.375 T -.5 - M