İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE İŞLEMLER...17 F. EVRENSEL KÜME...21 G. KÜMELERDE FRK...24 Ölçme ve Değerlendirme...27 Kazanım Değerlendirme Testleri...29 2. BÖLÜM: KRTEZYEN ÇRPIM, KÜME PROBLEMLERİ... 41. SIRLI İKİLİ... 41 B. İKİ KÜMENİN KRTEZYEN ÇRPIMI... 42 C. KÜME PROBLEMLERİ... 47 Ölçme ve Değerlendirme...51 Kazanım Değerlendirme Testleri...53 3. BÖLÜM: GERÇEK SYILR... 61 Ölçme ve Değerlendirme...67 Kazanım Değerlendirme Testleri...68 4. BÖLÜM: BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER... 71. GERÇEK SYILRD SIRLM... 71 B. EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ... 71 C. GERÇEK SYILRD RLIK... 72 D. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER... 74 E. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER... 77 Ölçme ve Değerlendirme...81 Kazanım Değerlendirme Testleri...83 5. BÖLÜM: MUTLK DEĞER... 91 MUTLK DEĞER... 91 Ölçme ve Değerlendirme...99 Kazanım Değerlendirme Testleri... 101 6. BÖLÜM: BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ve EŞİZSİZLİKLER... 109.. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER... 109 B. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ... 109 C. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNMSI... 111 D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER... 115 Ölçme ve Değerlendirme... 119 Kazanım Değerlendirme Testleri... 121 5
İçindekiler 7. BÖLÜM: ÜSTLÜ İFDELER... 129. ÜSTLÜ İFDELER... 129 B. ÜSTLÜ İFDELERİN EŞİTLİĞİ... 133 6 Ölçme ve Değerlendirme... 135 Kazanım Değerlendirme Testleri... 137 8. BÖLÜM: KÖKLÜ İFDELER... 145. KREKÖKLÜ SYILR... 145 B. GERÇEK SYILRIN RSYONEL KUVVETİ... 151 Ölçme ve Değerlendirme... 157 Kazanım Değerlendirme Testleri... 159 9. BÖLÜM: ORN - ORNTI... 169. ORN - ORNTI... 171 B. ST PROBLEMLERİ... 173 C. ORTLMLR... 174 Ölçme ve Değerlendirme... 176 Kazanım Değerlendirme Testleri... 177 10. BÖLÜM: SYI PROBLEMLERİ... 183 SYI PROBLEMLERİ... 183 Ölçme ve Değerlendirme... 187 Kazanım Değerlendirme Testleri... 188 11. BÖLÜM: KESİR PROBLEMLERİ... 194 KESİR PROBLEMLERİ... 194 Ölçme ve Değerlendirme... 198 Kazanım Değerlendirme Testleri... 199 12. BÖLÜM: YŞ PROBLEMLERİ... 205 YŞ PROBLEMLERİ... 205 Ölçme ve Değerlendirme... 208 Kazanım Değerlendirme Testleri... 209 13. BÖLÜM: YÜZDE, KRIŞIM ve FİZ PROBLEMLERİ... 214. YÜZDE PROBLEMLERİ... 214 B. KRIŞIM PROBLEMLERİ... 218 C. FİZ PROBLEMLERİ... 220 Ölçme ve Değerlendirme... 222 Kazanım Değerlendirme Testleri... 223 14. BÖLÜM: İŞÇİ - HVUZ PROBLEMLERİ... 230 İŞÇİ - HVUZ PROBLEMLERİ... 230 Ölçme ve Değerlendirme... 234 Kazanım Değerlendirme Testleri... 235
İçindekiler 15. BÖLÜM: HREKET PROBLEMLERİ... 241 HREKET PROBLEMLERİ... 241 Ölçme ve Değerlendirme... 247 Kazanım Değerlendirme Testleri... 248 16. BÖLÜM: FONKSİYONLR... 254. TNIM... 255 B. FONKSİYONUN TNIM, DEĞER ve GÖRÜNTÜ KÜMESİ... 256 Ölçme ve Değerlendirme... 264. Kazanım Değerlendirme Testleri... 266 17. BÖLÜM: FONKSİYON ÇEŞİTLERİ... 274 Ölçme ve Değerlendirme... 280 Kazanım Değerlendirme Testleri... 281 18. BÖLÜM: FONKSİYON GRFİKLERİ ve GRFİKLERDE İŞLEMLER... 286. FONKSİYONUN GRFİĞİ... 286 B. PRÇLI FONKSİYONLR... 301 Ölçme ve Değerlendirme... 307. Kazanım Değerlendirme Testleri... 308 19. BÖLÜM: ÜÇGENDE ÇILR... 318 ÇILR... 318 ÜÇGENLER... 325. ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ... 325 B. ÜÇGENİN YRDIMCI ELEMNLRI... 327 C. ÜÇGENDE ÇILR... 329 Ölçme ve Değerlendirme... 337 Kazanım Değerlendirme Testleri... 339 20. BÖLÜM: ÜÇGENLERİN EŞLİĞİ... 347. ÜÇGENLERDE EŞLİK... 347 B. ÜÇGENDE EŞLİK TEOREMLERİ... 348 C. ÜÇGENLERDE EŞLİK UYGULMLRI... 353 Ölçme ve Değerlendirme... 357 Kazanım Değerlendirme Testleri... 358 7
İçindekiler 21. BÖLÜM: ÖZEL ÜÇGENLER... 362. DİK ÜÇGEN... 362 8 B. İKİZKENR ÜÇGEN... 370 C. EŞKENR ÜÇGEN... 374 Ölçme ve Değerlendirme... 378 Kazanım Değerlendirme Testleri... 379 22. BÖLÜM: ÜÇGENDE ÇI KENR BĞINTILRI... 393 ÜÇGENİN KENRLRI VE ÇILRI RSINDKİ İLİŞKİLER... 393 Ölçme ve Değerlendirme... 401 Kazanım Değerlendirme Testleri... 402 23. BÖLÜM: ÜÇGENLERİN BENZERLİĞİ... 406. ÜÇGENDE BENZERLİK... 406 B. DİK ÜÇGENDE METRİK BĞINTILR... 415 Ölçme ve Değerlendirme... 419 Kazanım Değerlendirme Testleri... 421 24. BÖLÜM: ÜÇGENDE ÇIORTY... 433. ÇIORTY... 433 B. ÜÇGENDE ÇIORTY BĞINTILRI... 435 C. ÇIORTYLRIN KESİM NOKTLRI... 442 Ölçme ve Değerlendirme... 446 Kazanım Değerlendirme Testleri... 447 25. BÖLÜM: ÜÇGENDE KENRORTY... 453. KENRORTY... 453 B. KENRORTYLRIN KESİŞİM NOKTSI... 453 Ölçme ve Değerlendirme... 458 Kazanım Değerlendirme Testleri... 459 26. BÖLÜM: ÜÇGENDE KENR ORT DİKME VE YÜKSEKLİK... 465. ÜÇGENDE KENR ORT DİKME... 465 B. ÜÇGENDE YÜKSEKLİK... 469 Ölçme ve Değerlendirme... 472 Kazanım Değerlendirme Testleri... 473 27. BÖLÜM: TRİGONOMETRİK ORNLR VE KOSİNÜS TEOREMİ... 477. ÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ... 477 B. TRİGONOMETRİK ORNLR... 478 C. KOSİNÜS TEOREMİ... 482 Ölçme ve Değerlendirme... 485. Kazanım Değerlendirme Testleri... 486
İçindekiler 28. BÖLÜM: ÜÇGENİN LNI... 492. BİR KENRI VE YÜKSEKLİĞİ BİLİNEN ÜÇGENİN LNI... 492 B. ÜÇ KENRI BİLİNEN ÜÇGENİN LNI... 497 C. İKİ KENRI VE BU KENRLR RSINDKİ ÇININ SİNÜSÜ BİLİNEN ÜÇGENİN LNI... 498 D. İÇ TEĞET ÇEMBERİNİN YRIÇPI VE ÇEVRESİ BİLİNEN ÜÇGENİN LNI... 500 E. KENRORTY VE ÜÇGENİN LNI... 502 F. BENZER ÜÇGENLERDE LNLR ORNI... 503 G. ÜÇGENDE SİNÜS TEOREMİ... 505 Ölçme ve Değerlendirme... 508. Kazanım Değerlendirme Testleri... 510 29. BÖLÜM: VEKTÖR KVRMI VE VEKTÖRLERLE İŞLEMLER... 522. YÖNLÜ DOĞRU PRÇLRI... 522 B. VEKTÖR KVRMI... 523 C. VEKTÖRLERDE TOPLM İŞLEMİ... 527 D. BİR VEKTÖRÜ BİR REEL SYI İLE ÇRPM (SKLER ÇRPM)... 534 Ölçme ve Değerlendirme... 537. Kazanım Değerlendirme Testleri... 538 30. BÖLÜM: GRFİKLER, MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ... 546. İSTTİSTİK... 546 B. GRFİK... 546 C. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ (Ortalamalar)... 552 Ölçme ve Değerlendirme... 556. Kazanım Değerlendirme Testleri... 557 31. BÖLÜM: MERKEZİ YYILIM ÖLÇÜLERİ, SERPİLME VE KUTU GRFİĞİ... 562. MERKEZİ YYILIM ÖLÇÜLERİ... 562 B. SERPİLME GRFİĞİ... 567 C. KUTU GRFİĞİ... 568 Ölçme ve Değerlendirme... 573 Kazanım Değerlendirme Testleri... 574 32. BÖLÜM: VERİ SYM ve OLSILIK... 578. TEMEL KVRMLR... 578 B. OLSILIK FONKSİYONU... 580 C. EŞ OLUMLU ÖRNEKLEM UZY... 582 Ölçme ve Değerlendirme... 588. Kazanım Değerlendirme Testleri... 590 CEVP NHTRI... 594 9
BÖLÜM 1 KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR Kazanım Bu bölümü bitirdiğimde; Ü küme kavramını ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimleri Ü evrensel küme, boş küme, sonlu küme ve sonsuz küme kavramlarını, Ü alt küme kavramını ve özelliklerini, Ü iki kümenin eşitliğini, Ü kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapmayı ve bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade etmeyi öğreneceğim. 3. Kümelerin Gösterimi Herhangi bir küme; liste yöntemi, şema yöntemi ve ortak özellik yöntemi olmak üzere üç değişik şekilde gösterilir. a. Liste Yöntemi Kümenin elemanlarının, { } biçimindeki bir parantez içine sıra gözetilmeksizin, birbirinden virgülle ayrılarak yazılmasına liste yöntemiyle gösterme denir. Örneğin, haftanın c ile başlayan günleri kümesi ile isimlendirilirse bu küme liste yöntemiyle = {cuma, cumartesi} olur. nahtar Bilgi Ü Bir kümede her eleman yalnız bir defa yazılır. 1. Küme Kavramı Küme, elemanları iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Kümenin belirlenebilmesi için elemanlarının iyi tanımlanmış olması ve herkes tarafından aynı şekilde anlaşılması gerekir. Örneğin, sınıfımızdaki bazı öğrenciler ifadesi iyi tanımlanmamış olduğundan bir küme belirtmez. Sınıfımızdaki ismi ile başlayan öğrenciler ifadesi iyi tanımlanmış olduğundan bir küme belirtir. Örneğin, İZMİR sözcüğünün harfleri kümesi liste yöntemiyle = {İ, Z, M, R} şeklinde yazılır. Ü Liste yönteminde elemanların kendi aralarında sıralanması önemli değildir. Örneğin, 123 sayısının rakamları kümesi liste yöntemiyle, = {1, 2, 3} veya = {2, 3, 1} şeklinde gösterilir. 2. Eleman Kavramı, Eleman Sayısı Bir kümeyi oluşturan nesnelerin her birine o kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle, B, C gibi büyük harflerle isimlendirilir. Bir x elemanı kümesinin elemanı ise bunu x biçiminde yazar ve x elemanıdır diye okuruz. Bir x elemanı kümesinin elemanı değilse bunu x biçiminde yazar ve x elemanı değildir diye okuruz. kümesinin elemanlarının sayısı s() ile gösterilir. Örnek 1 Onluk sistemdeki rakamların kümesini ile isimlendirip liste yöntemiyle yazalım ve eleman sayısını bulalım. Onluk sistemde rakamlar; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 olduğundan, = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur. Buna göre, kümesinin eleman sayısı s() = 10 dur. 10 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme
Sıra Sizde - 1 Yılın m ile başlayan ayları kümesini ile isimlendirip liste yöntemiyle yazınız. Eleman sayısını bulunuz. kümesi, 0 2 1 3 0 1 2 3 0 1 2 3 şemalarından herhangi biri ile gösterilebilir. Örnek 2 kümesinin eleman sayısı s() = 4 olur. MRMR sözcüğünün harflerinden oluşan kümeyi T ile isimlendirip liste yöntemiyle yazalım. Bu kümenin eleman sayısını bulalım. Bir kümede her eleman bir defa yazıldığından dolayı T kümesinin liste yöntemiyle yazılışı T = {M,, R} olur. Buna göre, T kümesinin eleman sayısı s(t) = 3 tür. Sıra Sizde - 3 = {1, 2, 3, 4} kümesini şema yöntemi ile gösteriniz. kümesinin eleman sayısını bulunuz. Sıra Sizde - 2 ÇERÇEVE sözcüğünün harflerinden oluşan kümeyi D ile gösterip liste yöntemiyle yazınız. Bu kümenin eleman sayısını bulunuz. c. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının ortak özellikleri belirtilerek gösterimine ortak özellik yöntemi denir. kümesi bu yöntemle, = {x :...} veya = {x...} şeklinde gösterilir. x : ifadesi x öyleki biçiminde okunur. b. Şema Yöntemi Kümeyi oluşturan nesnelerin kapalı bir eğri içine, önüne konularak yazılmasına Venn diagramı yöntemi denir. Eğri; elips, çember, dikdörtgen gibi herhangi bir şekilde olabilir. Örnek 4 = {0, 1, 2, 3} kümesini ortak özellik yöntemi ile gösterelim. nın eleman sayısını bulalım. Örnek 3 = {0, 1, 2, 3} kümesini şema yöntemi ile gösterelim. kümesinin eleman sayısını bulalım. kümesi 4 ten küçük doğal sayıların kümesi olduğundan = {x : x < 4, x N} şeklinde yazılır. kümesi = {x : 0 x 3, x N} şeklinde de gösterilebilir. kümesinin eleman sayısı s() = 4 tür. 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 11
nahtar Bilgi Bir küme ortak özellik yöntemiyle birden fazla yolla yazılabilir. Örneğin, = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {x : 1< x < 3, x Z} kümeleri için s() = 5 ve s(b) = 3 tür. Bu kümelerin eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilebildiği için bu kümeleri sonlu kümedir. Sıra Sizde - 4 = {1, 2, 3, 4} kümesini ortak özellik yöntemi ile yazınız. nın eleman sayısını bulunuz. Örnek 6 Örnek 5 = {x : x 2 < 30, x N} kümesini liste yöntemi ile yazıp eleman sayısını bulalım. şağıdaki kümelerin sonlu küme olup olmadığını belirtelim. a. = {x x < 2, x N} b. B = {2334 sayısının rakamları} c. C = {x 0 < x < 30, x N} x N olmak üzere, x 2 < 30 ifadesi karesi 30 dan küçük olan doğal sayılar demektir. Karesi 30 dan küçük olan doğal sayılar; 0, 1, 2, 3, 4 ve 5 tir. kümesinin liste yöntemi ile yazılışı, = {0, 1, 2, 3, 4, 5} olur. kümesinin eleman sayısı s() = 6 dır. Sıra Sizde - 5 a. kümesi 2 den küçük doğal sayılar olan 0 ve 1 elemanlarından oluşmaktadır. kümesinin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilir. Öyleyse, kümesi sonlu kümedir. b. B kümesi 2, 3 ve 4 rakamlarından oluşmaktadır. B kümesinin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilir. Öyleyse, B kümesi sonlu kümedir. c. C kümesi 1 den 29 a kadar olan doğal sayılardan oluşmaktadır. C kümesinin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilir. Öyleyse, C kümesi sonlu kümedir. = {x : x 2 < 23, x N} kümesini liste yöntemi ile yazıp eleman sayısını bulunuz. B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME 1. Sonlu Küme Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye sonlu küme denir. Sıra Sizde - 6 şağıdaki kümelerin sonlu küme olup olmadığını belirtiniz. a. = {x x < 3, x N} b. B = {12344 sayısının rakamları} c. C = {x 0 < x < 22, x N} 12 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme
2. Sonsuz Küme Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye sonsuz küme denir. Örneğin, = {1, 2, 3,..., n,...}, kümesinin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemez. Bu yüzden kümesi sonsuz kümedir. B = {3 ten büyük tam sayılar} kümesi 4, 5, 6,..., n,... elemanlarını içerdiğinden eleman sayısı doğal sayılar ile ifade edilemez. Bu yüzden B kümesi sonsuz kümedir. nahtar Bilgi = { } ve B = {0} kümeleri boş küme değildir. s() = s(b) = 1 dir. Örnek 7 şağıdaki kümelerin sonsuz küme olup olmadığını belirtelim. a. = {x x < 2, x Z} b. B = {x : 0 < x < 2, x R} Örnek 8 şağıdaki kümelerin boş küme olup olmadığını belirtelim. a. = {x x < 0, x N} b. B = {Günleri sayısı 27 olan aylar} c. C = {, 0} a. kümesi 2 den küçük tam sayıları içermektedir. 2 den küçük tam sayılar 1, 0, 1, 2,... biçiminde devam eder. Bu kümenin eleman sayısı doğal sayılar ile ifade edilemez. Öyleyse, kümesi sonsuz kümedir. b. B kümesi 0 ile 2 arasındaki gerçek sayıları (tam sayılar, rasyonel sayılar vb...) içerdiğinden bu kümenin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemez. 0 ile 2 arasındaki gerçek sayılar sayı doğrusunda gösterildiğinde doğal sayı ile ifade edilemeyecek çoklukta eleman içerir. Öyleyse, B kümesi sonsuz kümedir. a. 0 dan küçük doğal sayı yoktur. Bu nedenle, kümesi boş kümedir. = { } olur. b. Günleri sayısı 27 olan ay olmadığından B kümesi boş kümedir. B = { } olur. c. C kümesi 2 elemalıdır. ile 0 elemanlarının { } içinde verilmesi C nin boş küme olduğunu göstermez. Sıra Sizde - 7 şağıdaki kümelerin sonsuz küme olup olmadığını belirtiniz. a. = {x x < 3, x Z} b. B = {x : 1 < x < 4, x R} 3. Boş Küme Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da sembolü ile gösterilir. Sıra Sizde - 8 şağıdaki kümelerin boş küme olup olmadığını belirtiniz. a. = {x x + 1 = 0, x N} b. B = {Haftanın b ile başlayan günleri} 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 13
C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ ynı elemanlardan oluşan en az iki kümeye eşit kümeler denir. ve B gibi iki kümenin birbirine eşit olması = B biçiminde yazılır ve kümesi B kümesine eşittir diye okunur. M ve N kümelerinin birbirine eşit değilse, M N biçiminde gösterilir. YENİ Ü Örneğin, = {matara kelimesinin harfleri} B = {m, a, t, r} kümeleri aynı elemanlardan oluşur. Bu durumda, = B dir. D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME 1. lt Küme ve B herhangi iki küme olsun. kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise ya B nin alt kümesi denir. kümesinin, B kümesinin alt kümesi olduğu B biçiminde gösterilir. kümesi B kümesinin alt kümesi ise, B kümesi kümesini kapsar denir ve B biçiminde gösterilir. Örneğin, = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} kümelerinde, kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı olduğundan B olur. B kümesinde olup kümesinde olmayan en az bir eleman varsa B kümesi kümesinin alt kümesi değildir. denir. B kümesi kümesinin alt kümesi değilse, B biçiminde gösterilir. Örnek 9 = {0, 1, 2, 3} Örnek 10 B = {1, 2, 3} C = {x : 0 < x < 4, x N} kümelerinin eşitliğini inceleyelim. YENİ = {2, 3, 4, 5}, B = {2, 4} kümeleri için, B olduğunu gösterelim. Bu kümeleri Venn şemasıyla gösterelim. = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} ve C = {1, 2, 3} tür. B ve C kümeleri aynı elemanlardan oluşur. Buna göre, B = C dir. ve B kümesinin tüm elemanları aynı olmadığından, B dir. ve C kümesinin tüm elemanları aynı olmadığından, C dir. B kümesinin her elemanı kümesinin de elemanı olduğundan B olur. B 2 3 4 5 Bu iki kümenin Venn şemasıyla gösterimi yukarıdaki gibidir. = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4} Sıra Sizde - 9 C = {x : 1 < x < 5, x N} kümelerinin eşit olup olmama durumunu inceleyiniz. = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3} kümeleri için, B Sıra Sizde - 10 olduğunu gösteriniz. Bu kümeleri Venn şemasıyla gösteriniz. 14 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme
2. lt Kümenin Özellikleri Ü Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her kümesi için, dır. Ü Her küme kendisinin alt kümesidir. Her kümesi için, dır. Ü, B ve C kümeleri için, ( B) ve (B C) ise C dir. Ü ve B kümeleri için, ( B) ve (B ) ise = B dir. Örnek 12 = {0, 1, {2}, 3, {12}, 4} kü me si nin alt kü me sa yý sý ný bu la lým. YENİ kü me si nin ele man sa yý sý 6 ol du ðu için, kü me si nin alt kü me le ri nin sa yý sý, 2 6 = 64 tür. Örnek 11 = {1, 2, 3} kümesinin eleman sayısını bulup, bu kümenin tüm alt kümelerini yazalım ve alt küme sayısını bulalım. Sıra Sizde - 12 = {0, 13, {2}, 3, {12}} kü me si nin alt kü me sa yý sý ný bu lunuz. = {1, 2, 3} olduğuna göre s() = 3 tür. kümesinin alt kümeleri, 0 elemanlı : { } 1 elemanlı : {1}, {2}, {3} 2 elemanlı : {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} 3 elemanlı : {1, 2, 3} şeklinde olup, nın 8 tane alt kümesi vardır. Örnek 13 n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 32 olduğuna göre, n kaçtır? Sıra Sizde - 11 = {a, b, c} kümesinin eleman sayısını bulup, bu kümenin tüm alt kümelerini yazınız ve alt küme sayısını bulunuz. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 n olduğuna göre, 2 n = 32 2 n = 2 5 n = 5 olur. nahtar Bilgi n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 n dir. Sıra Sizde - 13 n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 16 olduğuna göre, n kaçtır? 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 15
3. Öz lt Küme Bir kümenin, kendisi hariç diğer alt kümelerine o kümenin öz alt kümeleri denir. Sıra Sizde - 15 n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 15 olduğuna göre, n kaçtır? Örnek 14 = {1, 2, 3} kümesinin tüm öz alt kümelerini yazalım ve sayısını belirleyelim. s() = 3 tür. nahtar Bilgi n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2 n 1 dir. kümesinin öz alt kümeleri kendisi dışındaki alt kümeleridir. Buna göre, kümesinin öz alt kümeleri {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3} ve {2, 3} tür. kümesinin öz alt kümelerinin sayısı 2 3 1= 7 dir. Örnek 16 = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere, D B koşuluna uyan kaç farklı D kümesi yazılabilir? D B olduğundan D kümesinin içinde kümesinin elemanları mutlaka olmalıdır. Buna göre, D = {1, 2, 3} D = {1, 2, 3, 4} D = {1, 2, 3, 5} D = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere, D B koşuluna uygun 4 farklı D kümesi yazılabilir. Sıra Sizde - 14 = {a, b, c} kümesinin tüm öz alt kümelerini yazınız ve sayısını belirleyiniz. Sıra Sizde - 16 = {1, 2} ve B = {1, 2, 3, 4} olmak üzere, K B koşuluna uyan kaç farklı K kümesi yazılabilir? Örnek 15 n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 63 olduğuna göre, n kaçtır? n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2 n 1 olduğuna göre, 2 n 1= 63 2 n = 64 2 n = 2 6 n = 6 olur. Örnek 17 = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde c eleman olarak bulunur? kümesinin c dışındaki {a, b, d} elemanları ile 2 3 = 8 tane alt küme yazılabilir. Bu 8 alt kümenin her birine c elemanı ilave edelim. Bu durumda kümesinin 8 tane alt kümesinde c eleman olarak bulunur. 16 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme
Sıra Sizde - 17 = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 eleman olarak bulunur? B = {1, 2, 3, 4, 5} tir. B kümesinin Venn şemasıyla gösterimi aşağıdaki gibidir. Örnek 18 = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde d eleman olarak bulunmaz? 3 1 4 2 È B 5 B kümesinden d elemanı çıkartılırsa geriye 4 eleman kalır. Bu 4 eleman ile 2 4 = 16 tane alt küme yazılabilir. Buna göre, kümesinin 16 tane alt kümesinde d eleman olarak bulunmaz. Sıra Sizde - 19 = {1, 2, 4, 5} ve B = {1, 3, 4} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz. Sıra Sizde - 18 = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 3 eleman olarak bulunmaz? Örnek 20 = {1, 2, 4} ve B = {3, 5, 6} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim. E. KÜMELERDE İŞLEMLER 1. Kümelerde Birleşim İşlemi ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümesinin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye ile B kümelerinin birleşim kümesi denir. birleşim B kümesi B biçiminde gösterilir. B = {x x veya x B} dir. B kümesi ve B kümelerinden en az birine ait olan elemanları içerir. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dır. B kümesinin Venn şemasıyla gösterimi aşağıdaki gibidir. B 1 3 4 5 2 6 È B Örnek 19 = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 2, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim. Sıra Sizde - 20 = {a, b, c, e} ve B = {d, f} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz. 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 17
2. Birleşim İşleminin Özellikleri Ü Tek kuvvet özelliği, = dır. Ü Değişme özelliği, B = B dır. Ü Birleşme özelliği, (B C) = ( B) C dir. Ü Etkisiz (birim) eleman özelliği = = olduğundan kümelerde birleşim işleminin etkisiz elemanı dir. Ü B = ise ( = ve B = ) dir. Ü B ise B = B dir. Sıra Sizde - 21 = {1, 2, 4, 5} ve B = {1, 3, 4} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz. nahtar Bilgi Kesişimi boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. 3. Kümelerde Kesişim İşlemi kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişim kümesi denir. kesişim B kümesi B biçiminde gösterilir. B = {x x ve x B} dir. Örnek 22 = {1, 2, 3} ve B = {4, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim.. Örnek 21 = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 2, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim. ve B kümesinde ortak olan elemanlar 1 ve 2 dir. Buna göre, B = {1, 2} dir. B kümesinin Venn şemasıyla gösterimi aşağıdaki gibidir.(taralı bölge) 3 4 1 2 Ç B 5 B ve B kümesinin ortak elemanı olmadığından B = dir. B kümesinin Venn şemasıyla gösterimi aşağıdaki gibidir. 1 2 3 4 5 Ç B = Æ B B = olduğuna göre, ile B ayrık kümelerdir. Sıra Sizde - 22 = {1, 2, 4} ve B = {3, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz. 18 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme
4. Kesişim İşleminin Özellikleri Ü Tek kuvvet özelliği, = dır. Ü Değişme özelliği, B = B dır. Ü Birleşme özelliği, ( B) C = (B C) dir. Ü Yutan eleman özelliği, = Ü B ise B = dır. ( B) ( ) = ( B) = ( ) B = B olur. Sıra Sizde - 24 ( ) ( B) ifadesini en sade biçimde yazınız. Örnek 23 = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 3} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim. 5. Birleşim İşleminin Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği Ü (B C) = ( B) ( C) dir. B = {2, 3} = B dir. 2 3 1 B 4 Ç B = B Ü (B C) = (B ) (C ) dır. Örnek 25 B = {1, 2, 3, 4, 5} C = {3, 5, 6} kümelerine göre, (B C) kümesini bulalım. Sıra Sizde - 23 = {1, 2, 4, 5} ve B = {2, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz. (B C) = ( B) ( C) = {1, 2, 3, 4, 5} {3, 5, 6} = {3, 5} olur. Örnek 24 ( B) ( ) ifadesini en sade biçimde yazalım. Sıra Sizde - 25 B = {1, 2, 3, 4} C = {3, 4, 5} kümelerine göre, (B C) kümesini bulunuz. 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 19
6. Kesişim İşleminin Birleşim Üzerine Dağılma Özelliği Ü (B C) = ( B) ( C) dir. Ü (B C) = (B ) (C ) dır. s( B) = s() + s(b) s( B) s( B) = 4 + 5 2 s( B) = 7 olur. Örnek 26 B = {1, 2, 3} C = {3, 4, 7} kümelerine göre, (B C) kümesini bulalım. Sıra Sizde - 27 s() = 6, s(b) = 4, s( B) = 3 olduğuna göre, s( B) kaçtır? (B C) = ( B) ( C) = {1, 2, 3} {3, 4, 7} = {1, 2, 3, 4, 7} olur. Sıra Sizde - 26 B = {1, 2, 3, 4} C = {2, 3, 5} kümeleri veriliyor. kümelerine göre, (B C) kümesini bulalım. Örnek 28 ve B ayrık iki küme olmak üzere, s() = 5, s(b) = 3 olduğuna göre, s( B) kaçtır? ve B ayrık kümeler olduğundan, s( B) = 0 dır. s( B) = s() + s(b) s( B) s( B) = 5 + 3 0 s( B) = 8 olur. 7. Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı nahtar Bilgi ve B herhangi iki küme olmak üzere, Ü s( B) = s() + s(b) s( B) dir. Ü ve B ayrık iki küme olduğunda s( B) = s() + s(b) dir. Sıra Sizde - 28 ve B ayrık iki küme olmak üzere, s() = 6, s(b) = 7 olduğuna göre, s( B) kaçtır? Örnek 27 s() = 4, s(b) = 5, s( B) = 2 olduğuna göre, s( B) kaçtır? Örnek 29 ve B kümeleri için, s() = 2 s(b), s( B) = 13, s( B) = 2 olduğuna göre, s(b) kaçtır? 20 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme