T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESİR, HAZİRAN - 2016

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR Jüri Üyeleri : Doç. Dr. Yuus Emre YILDIRIR (Tez Daışmaı) Prof. Dr. Ali GÜVEN Doç. Dr. Gökha SOYDAN BALIKESİR, HAZİRAN - 2016

Bu tez çalışması Balıkesir Üiversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi tarafıda 2016-150 olu proje ile desteklemiştir.

ÖZET AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI (TEZ DANIŞMANI: DOÇ. DR. YUNUS EMRE YILDIRIR) BALIKESİR, HAZİRAN - 2016 Bu tezde, ağırlıklı Loretz uzaylarıda ola foksiyoları türevlerie Fourier serilerii Cesàro, Riesz ve Nörlud ortalamaları ile yaklaşım problemleri icelemiştir. değiilmiştir. Bu tez beş bölümde oluşmaktadır. Birici bölümde, çalışma kousu ile ilgili daha öce elde edile souçlara İkici bölümde, öcelikle Lebesgue uzayı, ağırlıklı Loretz uzayı, Fourier serileri, süreklilik modülü ve Lipschitz sııfı taımları ve temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca Lebesgue uzaylarıda yaklaşım teorisii bazı düz teoremleri icelemiştir. Üçücü bölümde, ağırlıklı Loretz uzaylarıda elde edile yaklaşım teoremlerii ispatlarıda kullaılacak ola yardımcı öermelere ve teoremlere yer verilmiştir. Dördücü bölümde, ağırlıklı Loretz uzaylarıda ola foksiyolara, bu foksiyoları türevleri içi elde edile Fourier serilerii Cesàro, Riesz ve Nörlud ortalamaları ile yaklaşım problemleri icelemiştir. So bölüm bu çalışmada elde edile souçlar ile ilgili bazı yorumları ve öerileri içermektedir. ANAHTAR KELİMELER: Ağırlıklı Loretz uzayı, Muckehoupt sııfı, süreklilik modülü, Fourier serileri. i

ABSTRACT TRIGONOMETRIC APPROXIMATION IN WEIGHTED LORENTZ SPACES MSC THESIS AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESIR UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS (SUPERVISOR: ASSOC. PROF. DR. YUNUS EMRE YILDIRIR ) BALIKESİR, JUNE 2016 I this study, approximatio properties of Cesàro, Riesz ve Nörlud meas of Fourier series of derivatives of fuctios i weighted Loretz spaces are ivestigated. This study cosists of five chapters. I the first chapter, older results about this study are give. I the secod chapter, defiitios ad basic properties of Lebesgue spaces, weighted Loretz spaces, Fourier series, modulus of cotiuity, Lipschitz class are give. Furthermore, i Lebesgue spaces, some direct theorems of approximatio theory are ivestigated. I the third chapter, i weighted Loretz spaces, auxiliary results ad theorems which will be used i the proofs of the mai theorems are give. I the fourth chapter, approximatio properties of Cesàro, Riesz ve Nörlud meas of Fourier series of derivatives of fuctios i weighted Loretz spaces are ivestigated. The last chapter icludes some commets ad recommedatios about results obtaied i this study. KEYWORDS: Weighted Loretz space, Muckehoupt class, modulus of cotiuity, Fourier series. ii

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... i ABSTRACT... ii İÇİNDEKİLER... iii SEMBOL LİSTESİ... iv ÖNSÖZ... v 1. GİRİŞ... 1 2. ÖN BİLGİLER... 1 2.1 Lebesgue Uzayları... 1 2.2 Fourier Serileri... 1 2.3 Loretz Uzayları... 3 2.4 Ağırlık Foksiyoları ve Ağırlıklı Loretz Uzayı... 6 2.5 Süreklilik Modülü... 8 2.6 Lipschitz Sııfı... 10 2.7 Bazı Yaklaşım Teoremleri... 10 3. YARDIMCI TEOREMLER... 19 4. AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA YAKLAŞIM TEOREMLERİ.. 22 5. SONUÇ VE ÖNERİLER... 29 6. KAYNAKLAR... 30 iii

SEMBOL LİSTESİ ω : Ağırlık foksiyou L p : Lebesgue uzayı L ω p,q : Ağırlıklı Loretz uzayı A p (T) : Muckehoupt sııfı Ω(f, δ) : Süreklilik modülü σ : Cesàro ortalaması R : Riesz ortalaması N : Nörlud ortalaması iv

ÖNSÖZ Lisasüstü öğreim hayatım süresice baa değerli zamaıı ayıra, bilgi ve tecrübesiyle bei yöledire, hiçbir yardımıı bede esirgemeye değerli hocam ve daışmaım Doç. Dr. Yuus Emre YILDIRIR a sosuz teşekkürlerimi suarım. Ayrıca Balıkesir Üiversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi e 2016-150 olu proje kapsamıda destekleride dolayı teşekkürlerimi suarım. v

1. GİRİŞ Bu tezde ağırlıklı Loretz uzaylarıda trigoometrik Fourier serilerii Cesàro, Riesz ve Nörlud ortalamaları ile yaklaşım problemleri icelemiştir. Lebesgue uzaylarıda Cesàro ortalamaları ile yaklaşım problemleri birçok araştırmacı tarafıda çalışılmıştır [1-3]. Quade [1], p > 1 içi Lebesgue uzaylarıda ola foksiyolara, bu uzayda ola foksiyoları Fourier serilerii Cesàro ortalaması ile yaklaşım problemii iceledi ve yaklaşım hızıı O( α ) olarak belirledi. Quade [1] tarafıda elde edile souçları bazı geelleştirmeleri Sahey ve Rao [4], Mohapatra ve Russell [5], Chadra [6-9] ve Leidler [10] tarafıda çalışılmıştır. Chadra [6,7], 1 < p < durumuda Lebesgue uzaylarıda f foksiyouu Fourier serisii N (f) Nörlud ve R (f) Riesz ortalamaları ile yaklaşım problemlerii iceledi ve f N (f, ) p, f R (f, ) p farkları içi bazı değerledirmeler elde etti. Ayrıca [9] olu çalışmasıda (p ) 0 dizisi üzerie mootoluk koşuluu koyarak Lebesgue uzaylarıda N (f) ve R (f) ortalamaları ile yaklaşım hakkıda bazı souçlar elde etti. Leidler [10], Chadra ı [9] olu çalışmasıdaki (p ) 0 dizisi üzerideki mootoluk koşuluu iyileştirerek Lebesgue uzaylarıda bezer yaklaşım problemlerii iceledi. Mohapatra ve Russell [5] ve Sahey ve Rao [4] Lebesgue uzaylarıda ola foksiyoları Fourier serilerii Nörlud ortalamalarıdaki (p ) 0 dizisi üzerie farklı koşullar koyarak bezer yaklaşım teoremlerii icelemişlerdir. Güve [11], Lebesgue uzaylarıda Nörlud ve Riesz ortalamaları ile ilgili bazı yaklaşım teoremlerii ağırlıklı Lebesgue uzaylarıda ispatladı. 1

Bu çalışmada Nörlud, Riesz ve Cesàro ortalamaları ile ilgili yaklaşım problemleri ağırlıklı Loretz uzaylarıda icelemiş ve bu uzaya ait ola foksiyoları türevlerie Fourier serilerii Nörlud, Riesz ve Cesàro ortalamaları ile yaklaşım teoremleri ispatlamıştır [12]. 2

2. ÖN BİLGİLER Bu bölümde soraki bölümlerde kullaılacak ola temel taımlar ve gösterimler yer almaktadır. 2.1 Lebesgue Uzayları 2.1.1 Taım : T [0, 2π] ve 1 p < içi f p = ( f(x) p dx T ) 1 p < koşuluu sağlaya f: T R ölçülebilir foksiyoları uzayıa Lebesgue uzayı deir ve L p (T) ile gösterilir. L p (T), f p ormua göre bir Baach uzayıdır. 2.2 Fourier Serileri 2.2.1 Taım : a k ve b k (k = 0, 1, 2, ) sabit sayılar olmak üzere a 0 2 + (a kcoskx + b k sikx) k=1 (2.1) serisie trigoometrik seri deir. (a k sikx b k coskx) k=1 serisie de (2.1) serisii eşleik serisi deir. 1

t (x) = a 0 2 + (a kcoskx + b k sikx), k=1 = 0,1,2,. ifadesie ise. derecede bir trigoometrik poliom deir. 2.2.2 Taım : f L 1 (T) olsu. 2π a k (f) = 1 π f(t)cosktdt 0, k = 0,1,2, ve 2π b k (f) = 1 π f(t)siktdt 0, k = 1,2, olmak üzere a 0 2 + (a k(f)coskx + b k (f)sikx) k=1 serisie f foksiyouu Fourier serisi deir. f foksiyouu eşleik Fourier serisi biçimide taımlaır. (a k (f)sikx b k (f)coskx) k=1 2.2.3 Taım : A 0 (f)(x) a 0 2, A k (f)(x) a k (f)coskx + b k (f)sikx, k = 1,2, olmak üzere S (f)(x) = A k (f)(x), k=0 = 0,1,2, 2

biçimide taımlı (S (f)) dizisie f foksiyouu Fourier serisii kısmi toplamlar dizisi deir. 2.2.4 Taım : (p ) 0 pozitif reel sayıları bir dizisi olsu. P = p m ve p 1 = P 1 0 olmak üzere, f foksiyouu Fourier serisii (p ) 0 dizisie göre Nörlud ortalaması Riesz ortalaması biçimide taımlaır. N (f, x) = 1 P p m S m (f, x), (2.2) R (f, x) = 1 P p m S m (f, x) (2.3) p = 1 ve 0 olduğu durumda N (f, x) ve R (f, x) ortalamaları Cesàro ortalamasıa eşittir. σ (f, x) = 1 + 1 S m(f, x) 2.3 Loretz Uzayları Bu bölümde Lebesgue uzaylarıı öemli bir geelleştirmesi ola Loretz uzayları iceleecektir. 3

2.3.1 Taım : f: T R ölçülebilir bir foksiyo olsu. Bu durumda λ > 0 içi f foksiyouu dağılım foksiyou, μ R üzeride Lebesgue ölçümü olmak üzere μ f (λ) = μ({x R: f(x) > λ}) biçimide taımlaır [13, s. 37]. 2.3.2 Öerme : f, 2π periyotlu ölçülebilir bir foksiyo olmak üzere f foksiyouu μ f dağılım foksiyou, egatif olmaya, azala ve [0, ) aralığı üzeride sağda sürekli bir foksiyodur [13, s. 37]. İspat : μ f dağılım foksiyouu egatif olmadığı açıktır. Şimdi μ f dağılım foksiyouu azala olduğuu gösterelim. E 1 = {x R f(x) > λ 1 } ve E 2 = {x R f(x) > λ 2 } biçimide taımlı kümeler olsu. Bu durumda, eğer λ 1 > λ 2 ise E 1 E 2 olur. Böylece μ f (λ 1 ) < μ f (λ 2 ) elde edilir. μ f dağılım foksiyouu sağda sürekli olduğuu ispatlayalım. λ 0 içi E(λ) kümesi E(λ) = {x R f(x) > λ} biçimide taımlı ve λ 0 > 0 sabit sayı =1 olsu. λ büyüdükçe E(λ) kümesi daralır ve E(λ 0 ) = E(λ) = E (λ 0 + 1 ) elde edilir. E(λ 0 ) = λ>λ 0 E(λ) olduğuu ispatlayalım. λ>λ 0 Eğer x E(λ 0 ) ise, bu durumda f(x) > λ 0 olur. λ 0 ve f(x) > λ > λ 0 olsu. Bu durumda x E(λ) olur. Bu edele E(λ 0 ) λ>λ 0 E(λ) elde edilir. λ>λ 0 E(λ) E(λ 0 ) olduğu açıktır. So iki kapsamada E(λ 0 ) = λ>λ 0 E(λ) elde edilir. =1 Şimdi de E(λ) = E (λ 0 + 1 λ>λ ) 0 olduğuu ispatlayalım. Eğer x λ>λ 0 E(λ) ise, bu durumda öyle bir λ > λ 0 sayısı vardır ki f(x) > λ olur. λ > λ 0 olmak üzere, λ > λ 0 + 1 olacak biçimde bir N vardır. =1 Böylece E(λ) E (λ 0 + 1 λ>λ ) 0 elde edilir. 4

E (λ 0 + 1 =1 ) E(λ) λ>λ 0 olduğu açıktır. So iki kapsamada =1 E(λ) = E (λ 0 + 1 λ>λ ) 0 buluur. Buu bir soucu olarak, λ büyüdükçe E(λ) kümesi daraldığıda mooto yakısaklık teoremi kullaılarak μ f (λ 0 + 1 ) = μ f (E (λ 0 + 1 )) μ(e(λ 0)) = μ f (λ 0 ) elde edilir ve bu durum sağda sürekliliği doğruluğuu ortaya koyar. 2.3.3 Taım : f: T R ölçülebilir bir foksiyo olsu. Bu durumda t [0, ) içi f : [0, ) [0, ) foksiyou f (t) = if{λ: μ f (λ) t} biçimide taımlaır ve f foksiyouu azala rearragemet foksiyou olarak adladırılır. 2.3.4 Taım : f heme her yerde solu, ölçülebilir bir foksiyo olsu. Bu durumda t > 0 içi f (t): = 1 t f (u)du biçimide taımlaa f foksiyoua f foksiyouu maximal foksiyou deir. 2.3.5 Taım : 1<p, q< olsu. 0 t f L p,q = ( T 1 [tpf q dt (t)] t ) 1 q ve f L p,q < koşuluu sağlaya T üzeride bütü ölçülebilir f foksiyolarıı sııfıa Loretz uzayı deir ve L p,q (T) ile gösterilir. Loretz uzayları f foksiyou kullaılarak aşağıdaki şekilde de taımlaır. 5

1 < p, q < olsu. f L (p,q) = ( T 1 [tpf q dt (t)] t ) 1 q ve f L (p,q) < koşuluu sağlaya T üzeride bütü ölçülebilir f foksiyolarıı sııfıa Loretz uzayı deir ve L (p,q) (T) ile gösterilir. Bu ormlar birbirie dektir ve Loretz uzayları bu ormlara göre Baach uzayı olur [13, s. 216-219]. 1 < p < içi L p,p (T) Loretz uzayı L p (T) Lebesgue uzayı ile çakışır ve f L p (T) içi yazılır [13, s. 216]. f p,p = f p 2.4 Ağırlık Foksiyoları ve Ağırlıklı Loretz Uzayı 2.4.1 Taım : Eğer ω:t [0, ] foksiyou 2π-periyotlu ölçülebilir ve ω 1 ({0, }) kümesii Lebesgue ölçümü sıfır ise ω foksiyoua ağırlık foksiyou deir. 2.4.2 Taım : ω bir ağırlık foksiyou ve e ölçülebilir bir küme olmak üzere ω(e) e ω(x)dx (2.4) olsu. f: T R foksiyouu f ω (t) azala rearragemet foksiyou (2.4) Borel ölçümüe göre f ω (t) = if{τ 0: ω({x T: f(x) > τ}) t)} biçimide taımlaır. Bua göre f ω (t) ortalama foksiyou f ω (t): = 1 t f ω (u)du t 0 6

olur. 2.4.3 Taım : 1 < p, q < ve f: T R foksiyou 2 π periyotlu ve ölçülebilir olsu. f pq,ω = ( (f ω (t)) q T q t dt 1 p t ) q < koşuluu sağlaya f foksiyolarıı sııfıa ağırlıklı Loretz uzayı deir ve L ω p,q (T) ile gösterilir [14, s. 21]. L ω p,q (T) ağırlıklı Loretz uzayı f pq,ω ormua göre Baach uzayıdır. 2.4.4 Taım : T, derecesi yi geçmeye trigoometrik poliomları kümesi olsu. f L ω p,q (T) foksiyoua, derecesi yi aşmaya trigoometrik poliomlar ile e iyi yaklaşım sayıları dizisi E (f) Lω p,q ile gösterilir ve olarak taımlaır. E (f) Lω p,q = if t T f t pq,ω 2.4.5 Öerme : f 1 L ω p 1,q 1 (T), f 2 L ω p 2,q 2 (T), p = 1 p 1 + 1 p 2 ve q = 1 q 1 + 1 q 2 olsu. c > 0 sayısı içi f 1 f 2 Lω p,q c f 1 Lω p1,q1 f 2 Lω p2,q2 elde edilir [15]. 2.4.6 Öerme : {f } mutlak sürekli foksiyoları bir dizisi ve ω A p (T) olsu. 1 < p, q < içi {f } dizisi f L p,q ω (T) foksiyoua yakısıyor ve {f } birici türev dizisi g L p,q ω (T) yakısıyor ise, bu durumda f mutlak süreklidir ve heme her yerde f (x) = g(x) olur [16, Lemma 4.6]. İspat : f f pq Lω 0 olduğuda öyle bir p 0 sayısı vardır ki 1 < p 0 < p içi f f L p0 0 olur. 7

Böylece {f } dizisii öyle bir {f k } alt dizisi vardır ki heme her yerde f k (x) f (x) olur. x 0 yakısaklık oktası olsu. Loretz uzayları içi Hölder eşitsizliği kullaılarak x x f k (t)dt g(t)dt f k g Lω pq ω 1 p q Lω x 0 x 0 elde edilir. ω A p (T) olduğuda ω 1 p q < olur. Dolayısıyla Lω buluur. Bu edele x g(t)dt x 0 x x lim f k k (t)dt g(t)dt x 0 x 0 = f k (t)dt = lim (f k (x) f k (x 0 )) = f(x) f(x 0 ) k x 0 elde edilir ve bu da ispatı tamamlar. x 2.5 Süreklilik Modülü L p (T) Lebesgue uzaylarıda itegral süreklilik modülü şöyle taımlaır. 2.5.2 Taım : p > 1 içi f L p (T) foksiyouu itegral süreklilik modülü biçimide taımlaır. taımlaır. ω p (δ; f) = sup { 1 h δ 2π f(x + t) f(x) p dx T L ω p,q (T) ağırlıklı Loretz uzaylarıda itegral süreklilik modülü şöyle } 1 p 8

olmak üzere, 2.5.2 Taım : δ > 0 olsu. h (A h f)(x) 1 f(x + t) f(x) dt h 0 Ω(f, δ) p,q Lω = sup A h f pq,ω h δ biçimide taımlaa Ω(f, δ) Lω p,q foksiyoua f L ω p,q (T) foksiyouu süreklilik modülü deir. 2.5.1 Taım : 1 < p < ve p = p p 1 olsu. A p(t) Muckehoupt sııfı sup 1 I ω(x)dx ( 1 I ω1 p (x)dx) I I p 1 < koşuluu sağlaya ω ağırlık foksiyolarıı sııfı olarak taımlaır. Burada supremum, uzuluğu 2π ola aralıklar üzeride alıır. I, I aralığıı uzuluğuu gösterir [17]. 1 < p < içi ω A p (T) olduğuda f L ω p,q (T) içi Hardy-Littlewood maximal foksiyou ağırlıklı Loretz uzaylarıda sıırlı olur [18]. Bu edele A h f Steklov operatörü L ω p,q (T) ağırlıklı Loretz uzayıa ait olur. Böylece Ω(f, δ) Lω p,q sürekllik modülü ω A p (T) içi alamlı olur. Bua ek olarak Ω(f, δ) Lω p,q sürekllik modülü azalmaya, egatif olmaya, sürekli bir foksiyodur ve ve lim Ω(f, δ) p,q δ 0 L = 0 ω Ω(f 1 + f 2, δ) Lω p,q Ω(f 1, δ) Lω p,q + Ω(f 2, δ) Lω p,q özelliklerii sağlar. 9

2.6 Lipschitz Sııfı 2.6.1 Taım : δ > 0 olsu. 0 < α 1, 1 p < içi f L p (T) foksiyolarıı oluşturduğu Lipschitz sııfı Lip(α, L p ) = {f L p (T): ω p (δ; f) = O(δ α )} biçimide taımlaır. 2.6.2 Taım : δ > 0 olsu. 0 < α 1, 1 < p, q < içi f L p,q ω (T) foksiyolarıı oluşturduğu Lipschitz sııfı Lip(α, L ω p,q ) = {f L ω p,q (T): Ω(f, δ) Lω p,q = O(δ α )} biçimide taımlaır. Eğer 1 < p < içi ω A p (T) ise L p,q ω (T) L 1 (T) olduğuda ([16]) f L p,q ω (T) foksiyouu Fourier serisi f(x)~ a 0 2 + (a k(f)coskx + b k (f)sikx) k=1 ve f foksiyouu eşleik Fourier serisi biçimide taımlaabilir. f (x)~ (a k (f)sikx b k (f)coskx) k=1 2.7 Bazı Yaklaşım Teoremleri Öcelikle teoremleri ispatlarıda kullaılacak ola öermeleri verelim. 2.7.1 Öerme : Eğer f Lip(α, L p ), p 1 ve 0 < α 1 ise, bu durumda herhagi bir pozitif tamsayısı içi, f L p (T) foksiyoua. derecede t trigoometrik poliomlar ile yaklaşılabilir ve f t (f) p = O( α ) 10

olur [1, Teorem 4]. 2.7.2 Öerme : p > 1 içi eğer f Lip(α, L p ) ise, bu durumda σ (f) S (f) p = O( 1 ) olur [1, s. 541]. 2.7.3 Öerme : 0 < α 1 ve p > 1 içi f Lip(α, L p ) olsu. Bu durumda f S (f) p = O( α ) olur [1, s. 541]. 2.7.4 Öerme : (p ) dizisi pozitif ve artmaya bir dizi olsu. Bu durumda 0 < α < 1 içi olur. m α p m = O( α P ) İspat : r, sayısıı tam kısmı olsu. Bu durumda 2 r m α p m = m α p m + m α p m m=r+1 p r m α + (r + 1) α p m = O( 1 α )p r + O( α )P = O( α )P, olmak üzere (p ) dizisi artmaya olur. Bu durum da ispatı tamamlar. Aşağıdaki teorem Quade ([1]) tarafıda ispatlamıştır. 2.7.5 Teorem : f Lip(α, L p ) ve 0 < α 1 olsu. Bu durumda (i) p > 1, 0 < α 1 ya da 11

(ii) p = 1, 0 < α < 1 içi f σ (f) p = O( α ) olur. Chadra [8], Lebesgue uzaylarıda ola foksiyoları Fourier serilerii Nörlud ve Riesz ortalamaları ile yaklaşım özelliklerii iceledi ve aşağıdaki yaklaşım teoremlerii ispatladı. 2.7.6 Teorem : f Lip(α, L p ) ve (p ) dizisi ( + 1)p = O(P ) (2.5) koşuluu sağlaya pozitif reel sayıları bir dizisi olsu. Eğer (i) p > 1, 0 < α 1 ve (p ) mooto ya da (ii) p = 1, 0 < α < 1 ve (p ) azalmaya ise, bu durumda f N (f) p = O( α ). olduğuda İspat. 1. Durum p > 1, 0 < α < 1 olsu. N (f, x) = 1 P p m S m (f, x) N (f, x) f(x) = 1 P p m [S m (f, x) f(x)] yazılır. Öerme 2.7.3, Öerme 2.7.4 ve (2.5) kullaılarak f N (f) p 1 P p m f S m (f) p 12

= 1 p P m O(m α ) + O ( p ) P = O( α ) elde edilir. 2. Durum p > 1, α = 1 olsu. S (f, x) = A m (f, x) = 1 P P S m (f, x) olduğuda Abel döüşümü kullaılarak N (f, x) = 1 P P m A m (f, x) yazılır. Buu soucu olarak, P 1 = 0 toplamıda ve Abel döüşümüde elde edilir. Böylece S (f, x) N (f, x) = 1 P (P P m )A m (f, x) m = 1 P m ( P P m ) k A m k (f, x) m k=1 = 1 + 1 k A k (f, x) k=1 m S (f) N (f) p = 1 P m ( P P m ) k A m k (f) k=1 p + 1 + 1 ka k(f) k=1 p (2.6) 13

olur. olmak üzere Öerme 2.7.2 kulaılarak σ (f, x) S (f, x) = 1 + 1 ka k(f, x) k=1 ka k (f) = ( + 1) σ (f) S (f) p = O(1) (2.7) k=1 p olur. (2.6) ve (2.7) kullaılarak S (f) N (f) p = O ( 1 ) P m ( P P m ) + O( m 1 ) (2.8) elde edilir. Bua ek olarak (p ) dizisi azalmaya ve egatif olmaya bir dizi ya da artmaya ve pozitif olmaya bir dizi olduğuda m ( P P m ) = P m 1 P m + P P m 1 m m m(m + 1) = P P m 1 m(m + 1) = p m m 1 m(m + 1) {(P P m 1 ) (m + 1)p m } 1 = m(m + 1) { k= m p k (m + 1)p m } yazılır. Buda dolayı (p ) dizisi mooto ise { P P m } +1 m dizisi de mootodur ve P 1 = 0 toplamı kullaılarak m ( P P m ) m elde edilir. Böylece (2.8) eşitsizliğide (2.9) ve (2.5) kullaılarak = p P + 1 (2.9) 14

S (f) N (f) p = O( 1 ) (2.10) elde edilir. So olarak (2.10) ve Öerme 2.7.3 kullaılarak α = 1 içi f N (f) p = O( α ) olur. 3. Durum p = 1, 0 < α < 1 olsu. p 1 = 0 ve Abel döüşümü kullaılarak N (f, x) f(x) = 1 P p m [S m (f, x) f(x)] m = 1 P m p m [S k (f, x) f(x)] k=0 = 1 P (m + 1) m p m [σ m (f, x) f(x)] olur. Böylece (p ) dizisii azalmaya olması, (2.5) ve Teorem 2.7.5 kullaılarak f N (f) 1 1 P (m + 1) m p m f σ m (f) 1 = O ( 1 P ) (m + 1) 1 α m p m = O ( 1 α ) P m p m = O( α ) elde edilir ve ispat tamamlaır. 15

2.7.7 Teorem : f Lip(α, L p ) ve (p ) pozitif reel sayıları dizisi olsu. Eğer (i) p > 1, 0 < α 1 ve (ii) P m ( ) = O ( P m + 1 + 1 ) (2.12) ya da (i) p = 1, 0 < α < 1 ve (ii) (p ) dizisi (2.5) koşuluu sağlaya pozitif ve azalmaya bir dizi ise f R (f) p = O( α ) olur. İspat. 1. Durum p > 1, 0 < α < 1 olsu. olduğuda R (f, x)= 1 P p m S m (f, x) f(x) R (f, x) = 1 P p m [f(x) S m (f, x)] olur. Abel döüşümü ve (2.12) kullaarak 1 m α p m = O(1) m α ( m + 1 ) + α P = O( α P ) P m (2.13) olur. Böylece Öerme 2.7.3 kullaılarak f R (f) p 1 P p m f S m p 16

= O ( 1 P ) m α p m (2.14) elde edilir. (2.14) eşitsizliğide (2.13) kullaılarak f R (f) p = O( α ) elde edilir. 2. Durum p > 1, α = 1 olsu. R (f)(x) e Abel döüşümü uygulayarak 1 f(x) S (f, x) = 1 P P m A m+1 (f, x) (2.15) olur ve tekrar Abel döüşümüü uygulayarak 1 1 m P m A m+1 (f, x) = ( P m m + 1 ) (k + 1)A m+1(f, x) k=0 olur ve böylece (2.12) kullaılarak 1 + P + 1 (k + 1)A m+1(f, x) k=0 1 1 P m A m+1 (f) p = O(1) ( P m ) + O ( P m + 1 + 1 ) = O ( P + 1 ) (2.16) olur. Bu durumda (2.16) kullaarak (2.15) eşitsizliğide f R (f) p = O( 1 ) (2.17) elde edilir. So olarak (2.17) ve Öerme 2.7.3 e başvurarak ve 17

f R (f) p f S (f) p + S (f) R (f) p eşitsizliğide p > 1, α = 1 içi f R (f) p = O( α ) elde edilir. 3. Durum p = 1, 0 < α < 1 olsu. Teorem 2.7.5, (p ) azalamayalığıda ve (p ) dizisii (2.5) koşuluu sağlamasıda f R (f) 1 = 1 p P m {f S m } 1 1 1 (m + 1) p P m f σ m (f) 1 elde edilir ve ispat tamamlaır. + ( + 1)p P f σ (f) 1 1 = O ( 1 α ) p P m + O( α ) = O( α ) 18

3. YARDIMCI TEOREMLER Bu bölümde, dördücü bölümde ifade edilecek ola ağırlıklı Loretz uzayları ile ilgili elde edile aa teoremleri ispatlarıda kullaılacak ola öermeler ve taımlar verilecektir. 3.1 Öerme : f L p,q ω (T), 1<p, q<, ω A p (T) ve (S (f)), f foksiyouu Fourier serisii. derecede kısmi toplamı olsu. Bu durumda S (f) pq,ω c f pq,ω olacak şekilde c > 0 sabiti vardır [16]. 3.2 Öerme : 1 < p, q <, ω A p (T) olsu. Eğer f L ω p,q (T) ve r = 1,2,3, ise, bu durumda sadece r ye bağlı c > 0 sabit sayısı vardır ve E (f) Lω p,q cω r (f, 1 ) L ω p,q olur [19, Lemma 2.3]. 3.3 Öerme : f L ω p,q (T), 1<p, q<, ω A p (T) ve f, f foksiyouu eşleik foksiyou olsu. Bu durumda f pq,ω c f pq,ω olacak şekilde f foksiyouda bağımsız c > 0 sabiti vardır [16]. 3.4 Taım : r = 1,2, içi ağırlıklı Sobolev tipli uzaylar r W pq,ω = {f L p,q ω (T): f (r 1) mutlak süreklidir ve f (r) L p,q ω (T) } W r,α pq,ω r = {f W pq,ω : f (r) Lip(α, L p,q ω ) } biçimide taımlaır. 19

f W r,α pq.ω 3.5 Öerme : 1<p, q<, ω A p (T), 0<α 1 ve r N olsu. Bu durumda her içi f (r) S (f (r) ) pq,ω = O( α ), =1,2, (3.1) olur. İspat t, f (r) L p,q ω (T) foksiyoua e iyi yaklaşa trigoometrik poliom olsu. Bu durumda derecesi yi aşmaya bütü t trigoometrik poliomları üzeride ifimum alıdığıda f (r) t pq,ω = if f (r) t pq,ω elde edilir. Öerme 3.2 kullaılarak f (r) t pq,ω = O (Ω (f (r), 1 ) L ω pq ) olur ve böylece f (r) t pq,ω = O( α ). L ω p,q (T) ağırlıklı Loretz uzayıda S (f) kısmi toplamları düzgü sıırlı olduğuda f (r) S (f (r) ) pq,ω f (r) t pq,ω + t S (f (r) ) pq,ω = f (r) t pq,ω + S (t f (r) ) pq,ω = O ( f (r) t pq,ω ) = O( α ). r,1 3.6 Öerme : 1<p, q<, ωϵa p (T) ve rϵn olsu. Bu durumda her f W pq.ω ve f (r+1) L ω p,q (T) içi olur. S (f (r) ) σ (f (r) ) pq,ω = O( 1 ), =1,2, (3.2) İspat : Eğer f (r) foksiyouu Fourier serisi 20

f (r) (x)~ A k (f (r) )(x) k=0 ise, bu durumda f (r+1) (x) eşleik foksiyou Fourier serisi olur. Diğer yada f (r+1) (x)~ ka k (f (r) )(x) k=0 S (f (r) )(x) σ (f (r) )(x) = k + 1 A k(f (r) )(x) k=0 = 1 + 1 S (f (r+1) )(x) olur. Öerme 3.1 ve Öerme 3.3 kullaılarak S (f (r) ) σ (f (r) ) pq,ω = 1 + 1 S (f (r+1) ) pq,ω C 1 + 1 f (r+1) pq,ω C 1 + 1 f(r+1) pq,ω = O( 1 ), = 1,2, elde edilir. 21

4. AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA YAKLAŞIM TEOREMLERİ Tezde bu bölüm yei souçlar içermektedir. 4.1 Teorem : 1< p, q <, ωϵa p (T), 0<α 1, rϵn {0} ve (p ) 0 ( + 1)p = O(P ) (4.1) koşuluu sağlaya pozitif reel sayıları bir mooto dizisi olsu. Eğer f W r,α pq.ω ise f (r) N (f (r) ) pq,ω = O( α ), = 1,2,. olur. İspat. 1. Durum 0 < α < 1 olsu. f (r) (x) = 1 P p m (f (r) )(x) olduğuda f (r) (x) N (f (r) )(x) = 1 P p m [f (r) (x) S m (f (r) )(x)] olur. Öerme 3.5, Öerme 2.7.4 ve (4.1) kullaılarak f (r) N (f (r) ) pq,ω 1 P p m f (r) S m (f (r) ) pq,ω 22

= 1 p P m O(m α ) + p f (r) S P 0 (f (r) ) pq,ω = 1 P O( α P ) + O ( 1 + 1 ) = O( α ) elde edilir. 2. Durum α = 1 olsu. olmak üzere Abel döüşümü kullaılarak N (f (r) )(x) = 1 P p m A m (f (r) )(x) S (f (r) )(x) N (f (r) )(x) = 1 P (P P m )A m (f (r) )(x) = 1 ( P P m P m elde edilir ve böylece P P m 1 m + 1 m ) ( ka k (f (r) )(x)) k=1 + 1 + 1 ( ka k(f (r) )(x)) k=1 S (f (r) ) N (f (r) ) pq,ω 1 P P m P m m ka k (f (r) ) k=1 pq,ω + 1 + 1 ka k(f (r) ) k=1 P P m 1 m + 1 pq,ω olur. 23

S (f (r) )(x) σ (f (r) )(x) = 1 + 1 ka k (f (r) )(x) olmak üzere, Öerme 2.7.4 kullaılarak k=1 ka k (f) k=1 pq,ω = ( + 1) S (f (r) ) σ (f (r) ) pq,ω = O(1) elde edilir. Böylece S (f (r) ) N (f (r) ) pq,ω elde edilir. 1 P P m P m = O ( 1 ) P P m P m P P m m P P m 1 m + 1 P P m 1 O(1) + O ( 1 ) m + 1 P P m 1 m + 1 + O ( 1 ) (4.2) 1 = m(m + 1) ( p k mp m ). k= m+1 Bu eşitlik (p ) dizisi azalmaya olduğuda ( P P m ) +1 m olmasıı, (p ) dizisi artmaya olduğuda ( P P m ) +1 m olmasıı gerektirir.ayı zamada bu eşitlik dizisii artmaya dizisii azalmaya P P m m P P m 1 = p m + 1 P + 1 = 1 + 1 O(P ) olduğuu gösterir. Bu eşitsizlik ve (4.2) kullaılarak S (f (r) ) N (f (r) ) pq,ω = O( 1 ) 24

elde edilir.so değerledirme ve (3.1) kullaılarak f (r) N (f (r) ) pq,ω = O( 1 ) elde edilir. 4.2 Teorem : 1 < p, q <, ωεa p (T), 0 < α 1, rϵn {0} ve (p ) 1 P m m + 1 P m+1 m + 2 = O ( + 1 ) (4.3) koşuluu sağlaya pozitif reel sayıları bir dizisi olsu. P r,α Eğer fεw ps,ω ve f (r+1) L ω p,q (T) ise f (r) R (f (r) ) pq,ω = O( α ), = 1,2, olur. İspat. 1. Durum 0 < α < 1 olsu. f(x) = 1 P p m f(x) olmak üzere R (f (r), x) taımı da kullaılarak f (r) (x) R (f (r) )(x) = 1 P p m [f(x) S m (f)(x)] elde edilir. Öerme 3.5 kullaılarak f (r) R (f (r) ) pq,ω = 1 P p m f S m (f (r) ) pq,ω = O ( 1 ) p P m m α + p 0 f (r) S P 0 (f (r) ) pq,ω 25

= O ( 1 P ) p m m α (4.4) elde edilir ve Abel döüşümü kullaılarak 1 p m m α = P m [m α (m + 1) α ] + α P elde edilir ve (4.3) kullaılarak 1 m α P m m + 1 + α P 1 P m 1 P m m 1 m α m + 1 = ( m + 1 P m+1 ) + ( k α) + P m + 2 + 1 m α = O( α P ) k=1 elde edilir. Bu durum p m m α = O( α P ) olmasıı gerektirir. Bu eşitsizlik ve (4.4) kullaılarak f (r) R (f (r) ) pq,ω = O( α ) elde edilir. 2. Durum α = 1 olsu. Abel döüşümüü kullaarak 1 R (f (r) )(x) = 1 P [P m (S m (f (r) )(x) S m+1 (f (r) )(x)) + P S (f (r) )(x)] 26

1 = 1 P P m ( A m+1 (f (r) )(x)) + S (f (r) )(x), ve böylece 1 R (f (r) )(x) S (f (r) )(x) = 1 P P m (A m+1 (f (r) )(x)) olur. Abel döüşümüü tekrar uygulayarak 1 1 P m A m+1 (f (r) )(x) = P m m + 1 (m + 1)A m+1(f (r) )(x) 1 m = ( P m m + 1 P m+1 m + 2 ) ( (k + 1)A k+1(f (r) )(x)) k=0 1 + P + 1 (k + 1)A k+1(f (r) )(x) k=0 elde edilir. (3.2) ve (4.3) kullaılarak 1 P m (A m+1 (f (r) )) pq,ω 1 P m m + 1 P m+1 m + 2 (k + 1) (A k+1(f (r) )) m k=0 pq,ω 1 + P + 1 (k + 1) (A k+1(f (r) )) k=0 pq,ω 1 P m = m + 1 P m+1 m + 2 (m + 2) S m+1(f (r) ) σ m+1 (f (r) ) pq,ω +P S (f (r) ) σ (f (r) ) pq,ω 27

elde edilir. Bu durumda 1 P m = O(1) m + 1 P m+1 m + 2 + O ( P ) 1 R (f (r) ) S (f (r) ) pq Lω = 1 P P m (A m+1 (f (r) )) pq,ω = 1 P O ( P ) = O (1 ) olur. Bu durum ve (3.1) kullaılarak f (r) R (f (r) ) pq,ω = O( 1 ) elde edilir. Bu ispatı tamamlar. üzere Eğer p = A β 1 (β > 0) ise, k 1 içi A 0 β = 1, A k β = β(β+1) (β+k) k! olmak N (f (r) )(x) = σ β (f (r) )(x) = 1 β A A β 1 ms m (f (r) )(x) elde edilir. Dolayısıyla σ β (f (r) ) Cesàro ortalamaları ile fεl ω pq (T) foksiyoua yaklaşım ile ilgili aşağıdaki souç elde edilir. 4.3 Souç : 1 < p, q <, ωεa p (T), 0 < α 1, rεn ve β > 0 olsu. Eğer r,α fεw ps,ω ise, bu durumda f (r) σ β (f (r) ) pq,ω = O( α ), = 1,2,. olur. 28

5. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada öcelikle Lebesgue uzaylarıda bazı yaklaşım teoremleri verilmiştir. Ayı yaklaşım teoremleri bu uzayı bir geelleşmesi ola ağırlıklı Loretz uzaylarıa taşımış ve bu uzayda ola foksiyoları türevleri içi ispatlamıştır. Bu çalışmada ispatlaa yaklaşım teoremleri ağırlıklı Loretz uzayıa ait ola foksiyoları kesirli türevleri içi de değerledirilebilir. 29

6. KAYNAKLAR [1] Quade, E. S., Trigoometric approximatio i the mea, Duke Math. J., 529-542, (1937). [2] Tima, M. F., The absolute Cesàro summability of orthogoal Fourier series, (Russia) Ural. Gos. Uiv. Mat. Zap. 6 1968 tetrad.4, 109-113, (1968). [3] Ulyaov, P. L., O approximatio of fuctios, Sibirskii Matematicheskii Zhual. 5, 2, (1964). [4] B. N. Sahey, V.V. Rao, Error bouds i approximatio of fuctio, Bull. Austral. Math. Soc. 6, 11-18, (1972). [5] Mohapatra, R. N. ad Russell, D. C., Some direct ad iverse theorems i approximatio of fuctios, J. Aust. Math. Soc. (Ser. A) 34, 143-154, (1983). [6] Chadra, P., Approximatio by Nörlud operators, Mat. Ves., 38, 263-269, (1986). [7] Chadra, P., Fuctios of classes L p ad Lip(α, p) ad their Riesz meas, Riv. Mt. Uiv. Parma, (4) 12, 275-282, (1986). [8] Chadra, P., A ote o degree of approximatio by Nörlud ad Riesz operators, Mat. Ves., 42, 9-10, (1990). [9] Chadra, P., Trigoometric approximatio of fuctios i L p orm, J. Math. Aal. Appl., 275, 13-26, (2002). [10] Leidler, L., Trigoometric approximatio i Lp orm, J. Math. Aal. Appl., 302, 129-136, (2005). [11] Guve A., Trigoomeric approximatios of fuctios i weighted L p spaces, Sarajevo J. Math. 5, (17), 99-108, (2009). [12] Yildirir, Y. E. ve Avsar, A. H., Trigoomeric approximatios of fuctios i weighted L p spaces, Sarajevo J. Math. Yayıa kabul edildi. [13] Beet C. ad Sharpley R., Iterpolatio of operators, Academic Press, Ic., Bosto, MA, (1968). 30

[14] Geebashvili, I., Gogatishvili, A., Kokilashvili, V. ad Krbec, M., Weight theory for itegral trasforms o spaces of homogeeous type, USA: Logma, (1998). [15] Kokilashvili, V. ad Krbec, M., Weighted iequalities i Loretz ad Orlicz spaces, World Scietic Publishig Co. Ic. River Edge, NJ, (1991). [16] Kokilashvili, V. ad Yildirir, Y. E., O the approximatio by trigoometric polyomials i weighted Loretz spaces, J. Fuct. Space. Appl., 8 67-86, (2010). [17] Muckehoupt, B., Weighted Norm Iequalities for the Hardy Maximal Fuctio, Tras. Amer. Math. Soc. 165, 207-226, (1972). [18] Chag, H.M., Hut, R. A. ad Kurtz, D. S., The Hardy-Littlewood maximal fuctios o L p,q spaces with weights, Idiaa Uiv. Math. J. 31, 109-120, (1982). [19] Yildirir, Y. E. ad Israfilov, D. M., Approximatio theorems i weighted Loretz Spaces, Carpathia J. Math. 26, 108-119, (2010). 31