İNTEGRAL İÇ KAPAK
B kitın ütün ın hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI n ittir. Kısmen de ols lıntı pılmz. Metin, içim ve sorlr, ımln şirketin izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi d herhngi ir kıt sistemile çoğltılmz, ımlnmz. İSBN 978-6-8-8-8 METİN YAYINLARI Tel: 8 9 7 86 http://www.metininlri.com Metin Yınlrı Yzrlr Gökhn METİN gokhn.metin@hotmil.com Müjdt ERAN mjoloji@hotmil.com Doç. Dr. Ahn TUTAR Bilimsel İnceleme Aşen KÜTAHYALIOĞLU Ftih UYANIK Umt KAPI Hkk Dnışmnı ihn Kor ÖZAŞAN Grfik Tsrım Merve ÖZBAY merveildizoz@hotmil.com Dizgi pletreklm6@gmil.com srkngenc@gmil.com Genel Dğıtım A KARE BASIM DAĞITIM YAYIN LTD. ŞTİ. Meşrtiet ddesi No: / Kızıl / ANKARA Tel: Fks : 9 demirogli@gmil.com Bskı Adn Yıncılık A.Ş. www.dn-ltd.com.tr Ankr
FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ Sevgili öğrenciler ve değerli meslektşlrım, Biresel Mtemtik Fsikülleri, mtemtik ilmeene keifli ir olclk, mtemtik ilene htsız sor çözme kilieti kzndırck şekilde tsrlnmıştır. Her fsikül, en temelden dım dım mtemtiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle olştrlmştr. Sf şlıklrıl, her ünite, nlmı kollştırıcı lt şlıklr rılmıştır. Kon Özeti : Kon özetlerinde kvrmlr mdde mdde vrglnmıştır. : Urı ikonlrıl htırltmlr ve dikkt edilmesi gerekenler elirtilmiştir. (*) : Dipnotlrl kon dışı kvrmlr çıklnmıştır. ÖRNEK ve ÇÖZÜM : Örnekler sf şlığını en ii çıklck şekilde özenle krlmş ve çözümleri kolc nlşılck şekilde düzenlenmiştir. : Her şlıkl ilgili el lışknlığı kznmnızı sğlck olc sor Sır Sende kısmınd, cevplrınızı kolc kontrol edeileceğiniz şekilde sorlmştr. Uglm Zmnı : Belirli rlıklrl irikimlerinizi değerlendirme glmlrı konlmştr. Tekrr Zmnı : Ünite sonlrınd öğrendiklerinizi test tekniğile pekiştireceğiniz ve çözümlerile nttklrınızı htırlcğınız testler snlmştr. Anhtr kvrmlr ve çözümler renklendirilerek frk etmeniz sğlnmıştır. Öğrencilerin sık düştüğü htlr vrglnrk elirtilmiştir. Prtik ve eğlenceli çözümlerle kıld klıcılık rttırılmıştır. Her kon, özenle olştrln Kon Testi ile pekiştirilirken, " çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmınd lilirsiniz. " ikonl elirtilen sorlrın Sonç olrk, şn dieiliriz ki; mtemtik rıntılrd gizlidir. Bndn dolı sırl her fsikülü, ünitei, şlığı ve mddei nlrk, her örneği ve sor çözerek mtemtiği kolc öğreneilir, sınvlrdki mtemtik korknzdn krtlilirsiniz. Bşrılı ir gelecek dileğile... METİN YAYINLARI http://www.metininlri.com
İÇİNDEKİLER BELİRSİZ İNTEGRAL Difernsiel Kvrmı... İntegrl Kvrmı (Belirsiz İntegrl Alm)... Sit Fonksionn İntegrli / f() n Fonksionnn İntegrli... İntegrlin Özellikleri... Temel Trigonometrik İntegrller... Üstel Fonksionlrın İntegrlleri... 6 İntegrli lnf() ve Arcf() Olnlr... 7 İntegrl Difernsiel İlişkileri... 8 İntegrlden Fonksion Çekme... 9 İntegrl Sitini Tespit Etme... Teğet İntegrl İlişkisi... Uglm Zmnı... Uglm Zmnı... Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi I (Değişken Değiştirme Kvrmı / Lineer Dönüşümler)... Değişken Değiştirme Yöntemi II (Polinomik Dönüşümler / Rsonel ve Köklü Dönüşümler)... Değişken Değiştirme Yöntemi III (Bsit Trigonometrik Dönüşümler / Üstel ve Logritmik Dönüşümler)... Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler I (Arcsinf() Dönüşümleri A)... Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler II (Arcsinf() Dönüşümleri B)... 6 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler III (Arctnf() Dönüşümleri A)... 7 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler IV (Arctnf() Dönüşümleri B)... 8 m + İçeren İntegrller...9 m n + ve + i Birlikte İçeren İntegrller... Uglm Zmnı... Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST... Rsonel Fonksionlrın İntegrli I (Polinom Bölmesi)... 9 Rsonel Fonksionlrın İntegrli II (. Tip Bsit Kesirlere Aırm)... Rsonel Fonksionlrın İntegrli III (. Tip Bsit Kesirlere Aırm /. Tip Bsit Kesirlere Aırm)... Rsonel Fonksionlrın İntegrli IV (Sdeleştirme + Polinom Bölmesi + Bsit Kesirlere Aırm)... Rsonel Fonksionlrın İntegrli V (Rsonel Fonksionlr Dönüşen İntegrntlr)... Uglm Zmnı... Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri I (sin + cos Özdeşliğinden Fdlnm)...6 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri II (Yrım Açı Formüllerinden Fdlnm /+ den Krtrm)...7 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri III (Ters Dönüşüm Formüllerinden Fdlnm)...8 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri IV (Tnjnt ve otnjnt Fonksionlrının İntegrlleri)...9 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri V ( tn Dönüşümü / tn Dönüşümü)... Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri VI (Trigonometrik Özdeşliklerden Fdlnm)... -, - ve + Şeklindeki İfdeleri İçeren İntegrller (Trigonometrik Değişken Değişimler)... Kısmi İntegrl Yöntemi I (Prçlı İntegrson ve LAPTÜ)... Kısmi İntegrl Yöntemi II (Önemli Kısmi İntegrller)... Kısmi İntegrl Yöntemi III (Tlo Yrdımıl Kısmi İntegrson / Ardışık Kısmi İntegrson)... Uglm Zmnı... 6 Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegrl Kvrmı (Bir Eğri Altındki Aln)...6 Belirli İntegrlin Temel Teoremi ve Elemnlrı (Belirli İntegrl Alm).. 6 Belirli İntegrlin Özellikleri...66 Belirli İntegrlde İntegrl Alm Yöntemleri...67 Prçlı Fonksionnn İntegrli...68 Mtlk Değer Fonksionnn İntegrli...69 Uglm Zmnı 6... 7 Belirli İntegrlde Değişken Dönüşümleri I (İntegrl ve Sınır Dönüşümleri)...7 Belirli İntegrlde Değişken Dönüşümleri II (Fonksion Tnımınd Dönüşümler)...7 Belirli İntegrlde Değişken Dönüşümleri III (Dönüşüm ile İntegrl Hesplm)...7 Trigonometrik Belirli İntegrller...7 Belirli İntegrlde Kısmi İntegrson...76 Tek ve Çift Fonksionlrın İntegrli...77 Ters ve İntegrli Alınmn Fonksionlrd İntegrl...78 Uglm Zmnı 7... 79 Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 Belirli İntegrl Denklemleri...87 Teğet Türev İntegrl İlişkisi... 88 Belirli İntegrl İçin Grfik Okm I... 89 Belirli İntegrl İçin Grfik Okm II... 9 İntegrl Süreklilik İlişkisi... 9 İntegrl Difernsiel İlişkileri... 9 Belirli İntegrlin Türevi I (İntegrl Hesının Temel Teoremi... 9 Belirli İntegrlin Türevi II (Ardışık Uglmlr / L'Hospitl)... 9 Belirli İntegrlin Türevi III (Nokt Değer / Fonksion Çekme)... 9 Uglm Zmnı 8... 96 Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 98 İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı I (Riemnn Kvrmı ve Bölüntü)... Riemnn Toplmı II (Riemnn Alt Toplmı)... Riemnn Toplmı III (Riemnn Üst Toplmı)... Riemnn Toplmı IV(Riemnn Ort Toplmı)... Riemnn Toplmı V(Riemnn Toplmı İntegrl İlişkisi)... İntegrl ile Aln Hesı I (Aln-İntegrl İlişkisi)... 6 İntegrl ile Aln Hesı II (Geometrik Şekiller Yrdımıl İntegrl / Frktl Fonksionlrın Eğrileri Altındki Aln)... 7 İntegrl ile Aln Hesı III (Sık Krşılşıln Fonksionlrın Eğrisi Altındki Aln)... 8 İntegrl ile Aln Hesı IV ( Ekseni ile Eğri Arsındki Aln)... 9 İntegrl ile Aln Hesı V (Bir Fonksion ile Tersinin Alnlrı Toplmı)... İntegrl ile Aln Hesı VI (İki Eğri Arsındki Aln)... İntegrl ile Aln Hesı VII (Yrım Çemer Denklemlerile İntegrl Hesı)... İntegrl ile Aln Hesı VIII (Verilen Alnın İntegrl ile İfdesi)... Uglm Zmnı 9... Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 İntegrl ile Hcim Hesı I ( Ekseni Etrfınd Döndürme)... 9 İntegrl ile Hcim Hesı II ( Ekseni Etrfınd Döndürme)... İntegrl ile Hcim Hesı III (İki Eğri Arsındki Bölgenin Döndürülmesi)... İntegrl ile Hcim Hesı IV ( k ve m Doğrlrı Etrfınd Döndürme)... İntegrlin Fiziksel Yorm I (Doğrsl Hreket Denklemi)... İntegrlin Fiziksel Yorm II (Yer Değiştirme ve Toplm Yol)... İntegrlin Ekonomi ve Diğer Alnlr Uglmsı... Kesit Aln İntegrl Hcim İlişkisi... 6 Uglm Zmnı... 7 Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 9 KONU TESTLERİ... SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ... 8
Difernsiel Kvrmı BELİRSİZ İNTEGRAL Kon Özeti Tnımlı oldğ rlıkt türevleneilen f() fonksion için in değerindeki değişim oln Δ e krşılık gelen nin değerindeki değişim Δ olsn. in difernsieli d Δ iken nin difernsieli d f'()d olr. O hlde, f() fonksionnn difernsieli, (Difernsiel Alm) Aşğıdki fonksionlrın difernsiellerini lınız. ) f() ) g(t) sint c) f () ) d f() d( ) d ) dg(t) d(sint) cost dt c) d d(f ()) f() f'() d f() df() dir. d f() df() f'() d dir. Aşğıd verilen fonksionlrın difernsiellerini lnz. 7. f(t ).. + 8. ln( + ). t + t + 9. z e +. sin. f ( ). e t. f( ) + g( ) 6. v +. f() ve v g() olmk üzere d( v) difernsielinin ve v cinsinden eşiti nedir? ) d d ) d ( + )d ) d (t + 6t)dt ) d cos d ) d e t dt 6) dv ( 6 + )d 7) d t f'(t ) dt 8) d d 9) dz e + ^ + h d + df( ) ) d f ( ) ) d df() + dg() ) dv + v d
BELİRSİZ İNTEGRAL İntegrl Kvrmı Kon Özeti (Belirsiz İntegrl Alm) Belirsiz İntegrl Alm: Türevi d difernsieli verilmiş ir fonksionn kendisini lm işlemidir. f() fonksionnn türevi t() olsn, R iken, v v f'() t() td ( ) f ( ) + : İntegrl işreti d: integrl difernsieli, : integrl değişkeni t(): İntegrl ltındki fonksion (integrnt) f(): t() in nti-türevi (ilkeli) f() + t() in tüm : İntegrson siti nti-türevleridir. İntegrl lm, türev lmnın tersi oldğ için türev lm krllrı ii ilinmelidir.(*) (Belirsiz İntegrl Alm) Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) d ) cosd c) 6 f' ^hg ^ h+ g' ^hf ^ h@ d İntegrl ile ir fonksionn ilkeli, ilkele sitinin eklenmesi ile tüm ilkeleri elirlenir. d ) ^ h oldğndn d + d dir. d ) ^sinh cos oldğndn cosd sin + dir. d d c) ^f ( ) g ( ) h f '( ) g ( ) + g '( ) f ( ) oldğndn d 6 f'( ) g ( ) + g'( ) f ( )@ d f ( ) g ( ) + dir. Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. d 6. '( ) d ( ). cos d 7. f'( )() fd. ed 8. g'( ) f'( g( )) d. ^ + tn hd 9. 7f'( ) + f''( ) - f'''( ) Ad. + d. Ç - f'( ) g ( )- g'( ) f ( ) > H d g ( ) ) + ) sin + ) e + ) tn + ) rctn + (*) "Türev-I" fsikülü "Türev Alm" krllrını tekrrlınız. 6) ln ( ) f ( ) + 7) f () + 8) (fog)() + 9) f() + f'() f''() + ) + g ( )
Sit Fonksionn İntegrli / f() n Fonksionnn İntegrli BELİRSİZ İNTEGRAL Kon Özeti (Sit Fonksionn İntegrli), R iken, d + dir. İntegrsonn difernsieli ltındki değişken dışındki diğer değişkenler sit kl edilir. Örneğin, d ifdesinde d in değişkeni e göre integrl lındığındn sit terimdir. Kon Özeti ( f() n Fonksionnn İntegrli) R ve n R { } iken, n+ n d n + + dir. " d " İntegrsonnd ket rttırımı glnmz. B integrntın nti-türevi logritm fonksiondr. İleride değinilecektir. Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) dt ) d c) t d İntegrson değişkenlerine dikkt ediniz. ) dt t + dir. ) d + dir. c) t d t + dir. Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) d ) d c) d Ketleri düzenleip ket rttırımı glınız. + dir. ) d d + + + ) + dir. d d + + + + dir. c) d d + + + Aşğıd verilen integrlllerin eşitini lnz.. d 7. e d Aşğıd verilen integrlllerin eşitini lnz.. d 6. d. d. d 8. d 9. d. d 7. d. dt. d. d 8. d. r d. d. d 9. d 6. d. + cos d n d ln +. d. d t ) + ) + ) + ) + ) p + 6) + 7) e + 8) + 9) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + 6) + 7) + 8) + 9) + + ) + + r + +
BELİRSİZ İNTEGRAL İntegrlin Özellikleri Kon Özeti İntegrlin temel özellikleri ile düzenlemeler pılrk integrli lınilecek ifdeler elde edilir. _ f( d ) fd ( ) ` 6 f ( )" gd ( ) @ fd ( ) " gd ( ) (Temel Özellikler) Eşitliklerini iki önlü glileceğinizi UNUTMAYINIZ! İntegrl toplm-frk dğılilir nck çrpım-ölüme DAĞILMAZ! Çrpım-ölüm için frklı glmlr pılır. İleride rıntılı değineceğiz. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz. ) costd ) + ^ hd c) ^- hd ^ + h + ^ h ) costd cos t d cos t+ ) d d d + + c) - d d- d - + (Düzenlemeler) Aşğıdki integrllerin eşitini lnz. ) - ^ + hd ) c m d Çrpımın ve ölümün dğılımı pılrk olşn her terime ket rttırımı glnır. ) ^ + hd ^ + hd + + ) - c m d c - m d ^ - h d - + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. ^ + hd 8. c + + d m. ^ + 6+ hd 9. d + d. ^+ hd. ^ + hd - ^ - hd. 8 c - d m 6. ^+ h d.... c f - md -6 - pd - c m d f - d p 7. ^ + hd. f'( ) gd ( ) + g'( ) fd ( ) ) + + ) + + + ) + + ) + ) + + 6) + 6 + 9+ 7) + + 8) - - + 9) + + ) - + ) - 6 + + ) - + ) - + ) f() g() +
Temel Trigonometrik İntegrller BELİRSİZ İNTEGRAL Kon Özeti Her trigonometrik ifdenin integrli kolc lınmz. Aşğıd nti türevi elli temel trigonometrik integrller verilmiştir. İşretlerine DİKKAT EDİNİZ! cos^ + d h sin^ + h+ sin^ + d h cos^ + h+ d sec d ^ + tn hd tn + cos d cosec d ^ + cot hd cot + sin Trigonometrik integrller lınırken trigonometrik özdeşlikler, rım çı ve dönüşümlerden fdlnılır. Bnlr ileride rıntılı nltılcktır. Örneğin, " + tn sec " ve cos " + cot cosec " oldğn htırlınız. sin Aşğıdki integrlleri hesplınız. d ) sind c) sin ) cos^+ hd d) _ + tn id İşretlere dikkt ediniz. Gerekirse trigonometrik düzenlemeler pınız. ^ h d - + sin _ i ) sind cos + ) cos + d sin^+ h+ c) cot d) + tn d _ + tn id tn + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. cosd. cos d. cos^+ hd. sind. sin d 6. sin^+ hd 7. ^sin+ cos hd 8. ^cos- sin hd 9. 6 sin^+ h+ cos @ d ) sin + ) sin + ) sin^+ h + ) cos+ ) cos+ 6) cos^+ h + 7) cos+ sin + 8) sin+ cos + 9) cos^+ h+ sin +. cos d. ^ + tn hd. sec d. + cos cos d. ^ + cot hd. ^ cosec + sec hd 6. 7. 8. c - cos d m cos sin + f pd sin Ç - sin + d sin ) tn + ) tn + ) tn + ) sin + tn + ) cot + ) cot + tn + 6) tn- sin + 7) cot + 8) - cot +
Tekrr Zmnı Test Çözümü - 6. ( - 6+ ) d - + + + + lnr. evp: D d. ( - - + ) d - - + lnr. d evp: B. f - pd - + - + lnr. evp: A. c d + - m + d - + d + + ln + - ln + + ln + lnr. + evp: E. ( + ) d ( + ) + lnr. evp: B 6. f - + pd ( - + ) d - + + lnr. evp:. d d ln + + + + lnr.. c + d rctn m + + lnr. + ln evp: evp: E - - - -. ln d c - + m - + + - - - + + ln + lnr. evp:. ; + d rctn ln E + + + lnr. + + evp: D 6. ( - )( + ) d ( - - ) d - - + lnr. evp: B 6. f ( ) f'( ) d ( - 6 + ) d & f ( ) - + + f() ise f() + + c tür. 7. ( e + ) d e + + lnr. evp: A O hlde f() + 6-6 + - f() lnr. evp: B 8. ( cos- sin ) d sin+ cos + lnr. evp: A f ( ) 7. f d ( p - + )' (Her iki trfın türevi lınırs) + f ( ) & 8 & f( ) ( ) ( 8 ) + + - dir. f() ( + ) (8 ) 8 lnr. evp: B + 9. ( e + ) d e - - + ln + e - + lnr. ln 8 evp: D. d e ^ e h c m + lnr. evp: E I 8. f f ( ) ( + ) dp ( - + )' (Her iki trfın türevi lınırs) f() ( + ) & f ( ) ( + ) ( - )( + ) & f ( ) - oldğndn sit terim - lnr. evp: A
Tekrr Zmnı Test Çözümü - - 8. c8 + d m + + - & - + lnr. evp:. f + e pd rcsin + e + lnr. - evp: B. f - pd - + - + lnr. evp: A. f - sin - ( ) pd -cot- rcsin + lnr. evp: D. c- + + e + + sin + d m + + +. d f pd d lnr. sin sin evp: B + ln + e -rccot- cos + X+ lnr. evp:. sin d+ cos d ( sin + cos ) d. J K K K L N + O d f + p d + + lnr. O O P evp: D. ( sin- cosec + ) d - cos+ cot + + lnr. evp: A 6. f + d tn rcsin p + + lnr. cos - evp: E 7. ( + sind ) - cos + cos + lnr. evp: A 8. f + e d rctn e p + + lnr. ( + ) evp: d 9. ( + - + ) d + - + lnr. d evp: D. d( ) d d + lnr. evp: A d + lnr. evp:a I f'( ) 6 + 6+. f f'( d ) p ( + + )' & 6. f f'( ) 6 6 & + + & f'( ) d c6 + 6+ m d & f ( ) + 6+ ln + lnr. evp: ' f( - ) dp ^6 + + + h' f( - ) 8 + 8 + & 8 + 8+ & f( - ) dir. Her iki trfın türevi lınırs ( 6+ 8) - ( 8 + 8 + ) f'( - ) için f'( ) f'( ) - lnr. evp: E d 7. d d & tir. Yni f'( ) & f'( ) d d d & f ( ) ln + & f( ) ln+ & dir. 8 O hlde f ( ) ln + & f( e ) ln e + - - - & fe ( ) - 6+ - lnr. evp: A 8. f() in deki teğetinin eğimi f'(-) dir. f''( ) - + & f''( ) d ( - + ) d & f'( ) - + + & f'( ) - + + & f'( - ) -- + & 6 & f'( ) 6 lnr. evp:
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi I Kon Özeti (Değişken Değiştirme Kvrmı) Kon Özeti (Lineer Dönüşümler) İntegrli lınn ifde ir fonksion ile irlikte fonksionn difernsielini içeriors değişken değiştirme pılrk nti türevi tnıdık ir integrl elde edilir. Mtemtik dilile, f ( ) ff ( ) '( ) d d + c + 9> d Yni, f() dönüşümü pılırs f'() d d olr. ÖRNEK (Temel Değişken Değiştirmeler) f() + şeklindeki. derece (lineer) fonksionlr dönüşüm glndığınd difernsiel dönüşümü pılırken; d + d d & d olr. ÖRNEK Aşğıdki integrlleri lınız. ) ( + ) d ) + d c) sec ( ) d Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz. f'( ) ) d ) f ( ) f'( ) d c) ( fog)( ) g'( ) d f ( ) ÇÖZÜM ) f() f'() d d dr. f'( ) d d ln + ln f( ) + f ( ) ) f() f'() d d dr. f ( ) f ( ) f'( ) d d + + 6 6 6 6 c) (fog)() f(g()) dir. g() g'() d d dr. ( fog)( ) g'( ) d fg ( ( )) g'( ) d f( ) d ÇÖZÜM ) + d d d d ise 6 d ( + ) d d + > 6 ( + ) 6 + ) + d d d d ise d + d d ( + + ) + 9 c) d d d ise d sec ( ) d sec sec d 9 tn+ tn( ) + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. f ( ) '( f ) d Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. ( + ) d. f'( ) d f ( ). + d f (). e f'( d ). ^e h d f ( ) ) + ) - + ) e f ( ) + f ( ) ) ( ) + + ) ( ) + + ) e +
Değişken Değiştirme Yöntemi II İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Kon Özeti (Polinomik Dönüşümler) P() ir polinom olmk üzere, fp ( ( )) P'( d ) f( d ) olr. P() P'() d d ÖRNEK Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) 6 ( + ) d Kon Özeti (Rsonel ve Köklü Dönüşümler) g'( ) d f(g()) olmk üzere, d olr. fg ( ( )) f ( ) g() g'() d d Pdnın çrpnlrın rıldığı drmlrd ileride değineceğimiz sit kesirlere ırm krllrındn fdlnılır. f^ + h > olmk üzere, d fd ( ) olr. d d + & d & d ÖRNEK ) cos( ) d Aşğıdki integrlleri hesplınız. d - ) ) d c) ( + ) - + ^ + h d ÇÖZÜM ÇÖZÜM ) + d d d d ise d 6( + ) d 6 6 + > ( + ) + lnr. ) d d ise cos( ) d cos d sin+ sin( ) + 9 ) + d d ise d d - d + ( + ) - > - - + - + + ) + ( ) d d ise - d d ln + ln - + + - + c) d d d + & & d ise H ( + ) d d ( ) + + + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz. Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. ( + ) ( + ) d. ( -6) ( - ) d. ( -) sin( - d )... Ç - 6 d + ( - ) d + d ) ( ) + + ) ( 6 6 - ) + ) -cos( - ) + 6 ) ln + + ) - + ) ( + ) + 6( - )
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi III Kon Özeti (Bsit Trigonometrik Dönüşümler) Kon Özeti (Üstel ve Logritmik Dönüşümler) Trigonometrik ifdelerin integrsonnd sin cos d d ve cos sin d d difernsiel dönüşümlerden fdlnılır. f() > olmk üzere, olr. f'( ) ln f ( ) d d f ( ) f'( ) ln f ( ) & d d f ( ) Trigonometrik integrllere rıntılı değinilecektir. R + {} olmk üzere, f () '( f d ) d olr. f() f'() d d ÖRNEK Aşğıdki integrlleri inceleiniz. ) sincos d ) tnd Çözümde d cevpt üstel d logritmik düzenlemeler pılilir. ÖRNEK Aşğıdki integrlleri inceleiniz. ln ) d ) cosd sin ln c) e + d ÇÖZÜM ÇÖZÜM ) sin cos d d ise sin sin cos d d c : + + dir. sin ) tn oldğ için, cos cos &- sin d d & sin d - d ise, tn d sin d cos < -d - ln + - ln cos + lnr. ) ln & d d ise B ln ln d d + + lnr. ) sin cos d d ise D sin sin cos d d ln + + ln ( ) ( ) c) e + ln ln e e e iken d & d d & d ise e ln e ( + d ) d e d ( ) e + e + lnr. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz.. sin cos d. ( ln ) d. sin d cos sin. cosd. cotd. Ç - 7 + e d ) sin + ) + ) ln sin + cos ) sin ( ln ) + ) + + ) e + ln
Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - I İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Kon Özeti (Arcsin f() Dönüşümleri - A) f'( ) d ifdesinde şğıdki dımlr glnır. - f ( ) f'( ) d f'( ) d _ " I. Adım: prntezine" lıp f ( ) f ( ) ` f - p - ; E "tm kre" düzenleme f ( ) II. Adım: & f( ) & f'( d ) d} değiştirme d d değişken değiştirmei III. Adım: - - erine zıp tnıdık ifdei elde etme _ f ( ) _ rcsin+ rcsin; E + d eşitliklerinden irisi ` ` f ( ) - rccos+ rccos; E + kllnılır. d " rcsin^h " + ğıntısını ^ h ilmeniz işlem hızınızı rttırcktır. (f() f'() d d Dönüşümü) Aşğıdki integrlleri hesplınız. d ) - 9 ) d - c) ) ) d d d - 9 - ^h - d d rcsin d - d rcsin+ rcsin^h+ - d d d - - ^ h - d d d rcsin+ rcsin^ h+ - c) rcsin d - rcsin d d - rcsin d + + Aşğıdki integrllerin eşitini lnz.. d -. rccos d -. d - 6. d 6 -. d 9-7. ed - e Ç - 8. d - 8. d - ln ) rcsin + ) rcsin + ) rcsind n + ) rcsin_ i + ) rccos _ i + 6) rcsin_ i + 7) rcsin_ e i + 8) rcsin_ lni +
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - II Kon Özeti (Arcsin f() Dönüşümleri - B) Bir önceki sfd hsedildiği üzere; f'( ) d d şeklindeki ifdeler prntezine - f ( ) lınıp tm kre düzenleerek, değişken değiştirme ile d - rcsin + eşitliği elde edilir. " d rcsin + " - n ğıntısını ilmeniz işlem hızınızı rttırcktır. ( Prntezine Alm ve Tm Kre Düzenleme) Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) d - ) d - ) d d d - c- m c c m m d - - & & d d d rcsin + rcsinc m+ - ) Pddki kökün içindeki ifdei tm kreli olrk düzenleelim; - + - -^ - + h -^ - h (terim ekleip çıkrlım) ^ - h O hlde, d d d - - -^ -h - d d rcsin + rcsin( ) + lnr. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz.. d 9 -. d -. d 6-6. d -. d 9-7. d + - Ç - 9 8. d -. d - 6 ) rcsin + ) rcsin + ) rcsin d n + ) rcsin d n+ 6 ) rcsinf p + 6) rcsin_ + i + 7) rcsin_ - i + - 8) rcsind n+
BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegrl Kvrmı Kon Özeti (Bir Eğri Altındki Aln) Bir fonksionn tnımlı ve sürekli oldğ ir lt rlığı ile fonksion eğrisi rsınd kln ölgenin lnı elirli integrl ile gösterilir. O A f() v O c B d g() Trlı ln A ise Trlı Aln B ise d fd ( ) A fd ( ) B Eğri ltındki lnın integrl ile nsıl ifde edildiği ileride "Riemnn Toplmı" ile rıntılı gösterilecektir. c S f() O S Şekildeki f() fonksionnn grfiği verilmiştir. S ve S lndklrı ölgelerin lnlrını göstermektedir. S 7 r, S r oldğn göre şğıdki elirli integrl değerlerini lnz. ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) ) fd ( ) 7 dir. ) fd ( ) dir. c) fd ( ) 7+ _ i lnr.. f(). S S S 6 S S S f() Ykrıdki şekilde f() fonksionnn grfiği verilmiştir. S, S ve S lndklrı ölgenin lnını göstermektedir. S 6 r, S r ve S r oldğn göre şğıdki elirli integrllerin değerlerini lnz. ) fd ( ) c) fd ( ) Ykrıdki şekilde f() fonksionnn integrli verilmiştir. S, S ve S lndklrı ölgenin lnını göstermektedir. Bn göre şğıdki elirli integrllerin S, S ve S cinsinden eşitini lnz. ) fd ( ) d) fd ( ) 6 6 ) fd ( ) d) fd ( ) ) fd ( ) e) fd ( ) c) fd ( ) f) fd ( ) 6 6 ) ) 6 ) c) d) ) ) S ) S c) S d) S S e) S + S f) S S + S
Belirli İntegrlin Temel Teoremi ve Elemnlrı BELİRLİ İNTEGRAL Kon Özeti (Belirli İntegrl Alm) f() fonksion [, ] rlığınd integrli lınilen ir fonksion ve f() fonksionnn nti türevi F() iken; ni (, ) için F'() f() ise fd ( ) F ( ) F ( )- F ( ) dır. v v "" integrlin lt sınırıdır. v v "" integrlin üst sınırıdır. v v "d" integrlin hngi değişkene göre lıncğını elirten difernsiel ifdesidir. fd ( ) elirli integrlinin değeri den ğımsız sit ir reel sıdır. (Belirli İntegrlin Değeri) Aşğıdki integrllerin değerini lnz. ) d ) d c) sintdt d) e d ) d - dir. ) d - 6 dır. c) sintdt cos t ( cos )-( cos ) ( ) ( ) dir. < < d) e d e e - e e- dir. Aşğıd verilen integrllerin değerini lnz.. d 6. cos d. d 7. sind ln. ed 8. d -. cosd 9. d 9 +. dt. d - ) ) 9 ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ln 6
BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegrlin Özellikleri Kon Özeti f() ve g(), [, ] rlığınd integrlleneilen iki fonksion olmk üzere, k R iken k fd ( ) k fd ( ) tir. v v 7f ( )" g ( ) Ad fd ( ) " gd ( ) tir. v v fd ( ) dır. v v fd ( ) fd ( ) tir. < c < ise fd ( ) fd ( ) + fd ( ) tir. c c fd ( ), fd ( ) ve g( d ) 7 oldğn göre şğıdki elirli integrllerin değerlerini lnz. ) 7f ( ) + g ( ) Ad ) gd ( ) c) fd ( ) ) 7 f ( ) + g ( ) A d fd ( ) + gd ( ) + + _ Alt sıınır ve üst sınır ) gd ( ) ` nı oldğ için eğri ltınd ln olşmz. c) fd ( ) fd ( ) + fd ( ) 7 7 7 fd ( ) fd ( ) 7 & fd ( ) +_ i & f ( ) + 7 lnr. 7 7 7 6 fd ( ) 6, fd ( ) ve gd ( ) 8 oldğn göre şğıdki sorlrı cevplınız.. 7f ( ) + g ( ) Ad. gd ( ) - fd ( ). fd ( ) 6 6. 7f ( )- g ( ) Ad. fd ( ) 6 6. fd ( ) + fd ( ) - fd ( ) 6 66 ) ) ) ) ) 6)
Belirli İntegrlde İntegrl Alm Yöntemleri BELİRLİ İNTEGRAL Kon Özeti Belirsiz integrl lınırken kllnıln temel türev-nti türev krllrı, değişken değiştirme, sit kesirlerine ırm, trigonometrik integrller ve kısmi integrson öntemleri elirli integrlin değerini tespit ederken kllnılcğındn ii ilinmelidir. Aşğıdki integrllerin değerlerini lnz. ) _ + e id ) d + ) _ + e id f + e p ( + e ) ( + e ) e lnr. ) Öncelikle integrnt polinom ölmesi gllım: _ + + ` + - + olr. d d < - F - + d + + - rctn _ -i-( rctn -rctn ) > > - lnr. Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. _ - id. _ sec - d i. _ - id 6. d +. _ + id 7. _ sin- cos id. _ - e id 8. + d - ) ) 6 ) ) e ) 6-6 9 6) ln 7) 8) + ln 67
BELİRLİ İNTEGRAL Prçlı Fonksionnn İntegrli Kon Özeti Prçlı fonksionlrın integrli, kritik noktlrın göre prçlı integrllerin toplmı şeklinde zılrk lınır. Kritik nokt integrlin sınırlrı rsınd değil ise prçlı integrle ırmdn sınırlrın oldğ ölgede fonksionn eşiti kllnılır., < f ( ) * oldğn göre şğıdki integrl- -, H lerin değerini hesplınız. ) fd ( ) ) f ( + ) d ) fd ( ) fd ( ) + fd ( ) 9 9 - d + _ -id + _ - i _ - i+ _ 9-i-_ -i lnr., <, < ) f ( + ) * + _ + i-, + H * -, H f ( + ) d _ - id _ - i > H iken f ( + ) - (9 6) ( ) lnr. -, <. f ( ) * fonksion verilior. -, Bn göre şğıdki integrl değerlerini lnz. ) fd ( ) +, <. f ( ) * fonksion verilior. +, Bn göre şğıdki integrl değerlerini lnz. ) fd ( ) ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) c) f ( - ) d d) fd ( ) d) f( d ) 68 ) ) ) c) 6 d) 8 8 ) ) ) 7 c) 9 d)
Mtlk Değer Fonksionnn İntegrli BELİRLİ İNTEGRAL Aşğıdki integrllerin değerini lnz. ) - d ) - d c) - d ) kritik noktdır Kon Özeti Mtlk değer fonksionnn integrli, kritik (mtlk değerin içini sıfır pn) noktlrın göre prçlı integrllerin toplmı şeklinde zılrk lınır. İntegrllerin sınırlrı rsınd kritik nokt ok ise prçlı integrle ırmdn o ölgedeki fonksionn eşiti kllnılır. - d - d + - d < < - + _ - d i + _ - id d - n + d -n 9 7 _ -i - A + < d -6n -_ - if lnr. ) kritik noktsı (, ) sınırlrıl elirlenen ölgenin elemnı değildir. (, ) iken - - < dir. - - d _ - id d - n ( ) ( ) lnr. c) ise + ( ) + + ve kritik noktlrdır. Ykrıdki işret tlosn göre integrli prçllım. - d - d + - d + - d + - + _ -id + _ - id + _ - id d - n + d - n + d - n + + d n lnr. Aşğıd verilen integrllerin değerini lnz.. - d. + d. + d. cos- 6 Ç -. _ + + - id 6. cos- sin d ) ) ) ) ) 6-6) - 69
İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı - I Kon Özeti (Riemnn Kvrmı ve Bölüntü) Riemnn Toplmı; ir eğrinin ltındki ölgei, eş tnlı "dikdörtgenlere ırrk" eğri ltındki lnın klşık değerini tespit etmedir. B dikdörtgenlerin sısı rtıkç gerçek ln dh çok klşılır. Riemnn toplmı için olştrln dikdörtgenlerin eşit znlktki tn rlıklrın lt rlıklr rlıklrın sınırlrının kümesine düzgün ölüntü (prçlnm) denir. f f f (Bölüntü) [, 7] rlığınd f() eğrisinin ltınd kln lnın klşık değerinin düzgün prçlnmış lt rlıklı Riemnn Toplmı ile lnilmesi için; ) Arlık genişliğini lnz. ) Alt rlıklrı lnz. c) Bölüntüü elirtiniz. rlık genişliği, P ölüntü olmk üzere T T T 7-6 ) dir. ) [, ], [, ], [, 7] c) P {,,, 7} tne tne n tne n Alt rlıklr: [, ] [, ],[, ] [, ],... [ n-, n ] Bölüntü (P): {, } {,, } {,,..., n }, rlık genişliği: - - n iken oldğndn; - n Riemnn Toplmı Eğri Altındki Aln fd ( ) Alt rlık sısı rttıkç dikdörtgenlerin lnlrı toplmı eğrinin ltındki ln klşır. [, ] kplı rlığınd, P (,, ölüntüsüne göre Riemnn Toplmı glnck ln f() fonksion için olştrln lt rlıklrı, rlık genişliğini ve lt rlık detini elirtiniz. [, ] rlığındki lt rlıklr T T T E [, H ], [ H, ],[,] dir. Olştrln rlığın heririnin ortk rlık genişliği; - - - dür.. [, ] rlığınd f() fonksionnn eğrisi ltınd kln lnın klşık değeri için [, ] kplı rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünüp Riemnn toplmı glncktır. Bnn için olşck, ) Arlık genişliğini lnz.. [, ] rlığınd giderek incelen prçlnmlrdn olşn (P n ) (P, P,... P n, P n, P n+,...) dizisine incelme dizisi denir. (Lim(P n ) dır) Bn göre şğıdki dizilerden incelme olnlrı "İ", olmnlrı "X" ile elirtiniz. ) [, ] nı n eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) ) Prçlnmı elirtiniz. ) [, ] nı n! eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) c) Alt rlıklrı elirtiniz. ) ) D ),, P, 7, (, 7 7 c) <, F, <, F, <, F, <, F, <, F c) [, ] nı eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) d) [, ] nı n eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) ) İ ) İ c) X d) İ
Riemnn Toplmı - II İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Riemnn Alt Toplmı) [, ] rlığınd tnımlı f() foksion için Alt rlıklrın ç noktlrındn eğrinin ltınd f( n ) f klck... f( ) f( )...... n n şekilde ükseklikleri elirlenen dikdörtgenlerin lnlrı toplmı Riemnn Alt Toplmını verir. P {,,... n } ölüntü v v [, ], [, ],... [ n, n ] lt rlıklr Arlık genişliği dikdörtgenlerin tnlrı v f( ), f( ),..., f( n ) dikdörtgenlerin ükseklikleri olmk üzere, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı n / k f( ) + f( ) +... + f( n ) f ( ) D k - f fonksionnn P ölüntüsüne göre (Riemnn) lt toplmıdır.... f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn tnım rlığını eşit znlkt iki lt rlığ ölerek Riemnn lt toplmını lnz.... 9 O f() [, ] rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünürse rlık genişliği D - r dikdörtgenlerin tn znlklrıdır. f() ve f() ise dikdörtgenlerin ükseklikleridir. O hlde, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı; f( ) + f( ) + r f fonksionnn 9 9 P {,, } ölüntüsüne göre lt toplmıdır.. doğrs, ekseni ve 6 doğrs rsınd kln ölgenin; ) Alnı nedir?. f: [, ] [6, ] f() 6 fonksionnn grfiği şğıd verilmiştir. 6 f ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn lt toplmı nedir? O [, ] rlığının eşit znlktki, ) İki lt rlığın göre Riemnn lt toplmı nedir? c) lt rlık genişliğine göre Riemnn lt toplmı nedir? ) Dört lt rlığın göre Riemnn lt toplmı nedir? d) [, 6] rlığı lt kplı rlığı rılırs Riemnn lt toplmı ne olr? c) n lt rlığın göre n Riemnn lt toplmı nedir? e) [, 6] rlığı n lt rlığ rıldığınd n Riemnn lt toplmı ne olr? ) ) 8 ) c) d) 6, e) 8 8 ) ) ) c)
İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı - III Kon Özeti (Riemnn Üst Toplmı) [, ] rlığınd tnımlı f() foksion için f( n ) f f( ) f( )...... n n Alt rlıklrın ç noktlrındn eğrinin üstünde klck şekilde ükseklikleri elirlenen dikdörtgenlerin lnlrı toplmı Riemnn Üst Toplmını verir. P {,,... n } ölüntü v v [, ], [, ],... [ n, n ] lt rlıklr Arlık genişliği dikdörtgenlerin tnlrı v f( ), f( ),... f( n ) dikdörtgenlerin ükseklikleri olmk üzere, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı... n / k f( ) + f( ) +... + f( n ) f ( ) D f fonksionnn P ölüntüsüne göre (Riemnn) üst toplmıdır. k... f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn tnım rlığını eşit znlkt iki lt rlığ ölerek Riemnn üst toplmını lnz.... 9 O f() [, ] rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünürse rlık genişliği D - r dikdörtgenlerin tn znlklrıdır. f() ve f() 9 ise dikdörtgenlerin ükseklikleridir. O hlde, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı; f( ) + f( ) + 9 r f fonksionnn 9 9 9 P {,, } ölüntüsüne göre üst toplmıdır.. doğrs, ekseni ve 6 doğrs rsınd kln ölgenin; ) Alnı nedir?. f: [, ] [6, ] f() 6 fonksionnn grfiği şğıd verilmiştir. 6 f ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn üst toplmı nedir? O [, ] rlığının eşit znlktki, ) İki lt rlığın göre Riemnn üst toplmı nedir? c) lt rlık genişliğine göre Riemnn üst toplmı nedir? ) Dört lt rlığın göre Riemnn üst toplmı nedir? d) [, 6] rlığı lt kplı rlığ rılırs Riemnn üst toplmı ne olr? e) [, 6] rlığı n lt rlığ rıldığınd n Riemnn üst toplmı ne olr? c) n lt rlığın göre n Riemnn üst toplmı nedir? ) ) 8 ) c) d) 9, e) 8 8 ) ) 6 ) c)
Riemnn Toplmı - IV İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Riemnn Ort Toplmı) [, ] rlığınd tnımlı f() foksion için f(r n )... f(r ) f(r )... r r... r n n n v v P {,,... n } ölüntü f Alt rlıklrın ort noktlrın göre ükseklikleri elirlenen dikdörtgenlerin lnlrı toplmı Riemnn Ort Toplmını (Riemnn Toplmını) verir. [, ], [, ],... [ n, n ] lt rlıklr r, r,..., r n, lndklrı rlıklrın ort noktlrı Arlık genişliği dikdörtgenlerin tnlrı v f(r ), f(r ),... f(r n ) dikdörtgenlerin ükseklikleri olmk üzere, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı n / k f(r ) + f(r ) +... f(r n ) fr ( ) D f fonksionnn P ölüntüsüne göre Riemnn toplmıdır. k f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn tnım rlığını eşit znlkt iki lt rlığ ölerek Riemnn ort toplmını lnz. 9 / 9/ O f() [, ] rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünürse rlık genişliği D - r dikdörtgenlerin tn znlklrıdır. Arlıklrın ort noktlrın göre çizilen dikdörtgenlerin ükseklikleri f 9 vef d n d n tür. O hlde, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı; 9 7 f f d n + d n + r f fonksionnn ; ; 9 P {,, } ölüntüsüne göre Riemnn ort toplmıdır.. doğrs, ekseni ve 6 doğrs rsınd kln ölgenin; ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn lt toplmı ile Riemnn üst toplmının ortlmsı nedir?. f: [, ] [6, ] f() 6 prolünün [, ] rlığının eşit znlktki, ) İki lt rlığın göre Riemnn ort toplmı nedir? ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn toplmı ( * ) nedir? ) n sıdki lt rlığın göre n Riemnn toplmı nedir? c) [, 6] rlığı n lt rlığı rıldığınd n Riemnn lt toplmı ne olr? ) ) 8 ) 8 c) 8 (*) "Riemn Toplmı" ifdesi ile "Riemn Ort Toplmı" nlşılmlıdır. 8 ) ) )
İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı - V Kon Özeti (Riemnn Toplmı - İntegrl İlişkisi) Bir fonksion Riemnn toplmındki dikdörtgen sılrı rttıkç eğri ltındki ln klşılcğı için lt rlık sısı n iken rlık genişliği ile eğri ltındki ln lşılır. Eğri ltındki ln ise elirli integrl ile tespit edilir. f f... n tne lt rlık Dikdörtgenlerin lnlrı toplmı n n / fr ( ) D k k n iken Δ Eğri ltındki ln n lim / fr ( ) D f( d ) n k " k f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn eşit znlkt iki lt rlığın göre Reimnn lt toplmı A, fonksion ile ekseni rsınd kln ölgenin lnı B ise B A ı lnz. 9 O f() A + r B B A 7 6 d - r 6 - r dir.. f: [, ] [, ] f() + fonksionnn grfiği şğıd verilmiştir. f foksionnn P {,, } düzgün ölüntüsüne göre. [, ] kplı rlığınd tnımlı f() 6 fonksionnn eşit znlkt lt rlığın göre Riemnn toplmı A, fonksion eğrisi ile ekseni rsınd kln ölgenin lnı B ise A B frkı kç r dir? ) Alt toplmı ile üst toplmının ortlmsı kçtır? ) Riemnn toplmı kçtır? Ç -. d integrl ifdesinin Riemnn toplm formülü ile 6 ifdesi nedir? c) f ile ekseni rsınd kln ölgenin lnı kçtır? ) ) ), c) ) ) lim n " k / n 8 _ k - i n
İntegrl ile Aln Hesı - I İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Aln-İntegrl İlişkisi) S O S f c (i) [, ] için f() oldğndn S f( d ) (ii) [, c] için f() oldğndn S f( d ) f fonksionnn ile c rsındki integrli fd ( ) S -S dir. c f fonksionnn ile c rsındki lnlr toplmı c _ Mtlk değeri S + S f ( ) d dir. ` ntmınız! c (Aln ile İntegrlin Frkı) Şekilde f() fonksionnn A c A d A f grfiği verilmiştir. A r, A r, A r oldğn göre şğıdki ifdelerin değerlerini lnz. ) fd ( ) ) f() eğrisi ve rsınd kln ln c ) fd ( ) fd ( ) + fd ( ) + fd ( ) c d + ( ) + lnr. ) f ( ) d + + r lnr. d.. A B c d A B f() f() Şekilde f() fonksionnn grfiği verilmiştir. A r, B 7 r ve r dir. Bn göre şğıdki sorlrı cevplınız. ) fd ( ) d e) fd ( ) f() in grfiğinde A ve B lndklrı ölgenin lnını elirtmektedir. A + B r ve fd ( ) 6 oldğn göre A kç r dir? ) fd ( ) c f) fd ( ) d. A B f() c) fd ( ) c d) f() eğrisi,, c ve ekseni rsınd kln ölgenin lnı c g) fd ( ) + fd ( ) h) f() eğrisi,, d ve ekseni rsınd kln ölgenin lnı d Şekildeki f() fonksionnn grfiğinde A ve B lndklrı ölgenin lnlrını göstermektedir. fd ( ) ve A r oldğn göre B kç r dir? 6 ) ) ) 7 c) d) e) f) g) h) 6 ) ) 6
İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrl ile Aln Hesı - II Kon Özeti (Geometrik Şekiller Yrdımıl İntegrl) Bir fonksionn grfiği ltındki lnlr, mümkünse geometrik şekillere rılrk lnlr rdımıl fonksionn elirli integrl değeri tespit edileilir. Örnekle çıkllım. Kon Özeti (Frktl Fonksionlrın Eğrileri Altındki Alnı) Frktl fonksion sisteminin (*) eğrileri ltındki ln tespit edilirken sonsz geometrik dizi toplmındn fdlnılır. r < için _ k + r + r +... i r / dir. - r k f() n N olmk üzere [n, n + ) rlıklrınd tnımlı n f ( ) - n n fonksion sisteminin ekseni ile rsınd kln ölgenin lnlrı toplmını lnz. Grfiği şekideki gii oln f() fonksion için verilenlere göre fd ( ) in değerini lnz. O f f f... f (), f ( ) -, f ( ) -, f ( ) -,... S S S + d n r (mğn lnı) S r (üçgenin lnı) O hlde fd ( ) + lnr. Trlı Aln D - - TA.. d + d + d +... _ - i _ - i + + +... > / / / d + + +... n lnr. r -.. O 6 Şekilde f() fonksion grfiği verilmiştir. Bn göre şğıdki sorlrı cevplınız. ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) 6 d) f ( ) d 6 f f O _ - ni n N için [n, n + ) rlıklrınd tnımlı f ( ) n n içiminde tnımlnn fonksionlr ile ekseni rsınd kln ölgeler şekilde trlı olrk verilmiştir. Bn göre tüm trlı ölgenin lnlrı toplmı kçtır? f... ) ) ) 7 c) d) 6 (*) Belirli ir krl göre küçülen d üüen grfiklerden olşn fonksion sistemine frktl geometri ile tekrrln fonksionlr denir. ) 7
İntegrl ile Aln Hesı - III İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Sık Krşılşıln Fonksionlrın Eğrisi Altındki Aln) Fonksion grfikleri (*) integrl ile ln hesı için ii ilinmelidir. v v v e O e Şekildeki trlı ölgenin lnını lnz. ln 7! R iken e > dır. TA e d e d e e - e e- r v cos sin v k (k < ) k (k > ) f() fonksion ve doğrlrı ve ekseni rsınd kln ölgenin lnını lnz. v v Arıc grfiği verilen fonksionn (doğrsl, prolik, polinomik,...) denklemini olştrmı ii iliniz. (*) f() O TA - d _ - i d + _ - id lnr. d - n + d - n < - d nf+ < - F r. Şekilde prolünün grfiği verilmiştir.. prolü ile, doğrlrı ve ekseni ile sınırlnn ölgenin lnı kç r dir? O Bn göre trlı ln kç r dir?. Şekilde eğrisinin grfiği verilmiştir.. eğrisi, doğrlrı ve ekseni ile sınırlnn ölgenin lnı kç r dir? O e Bn göre trlı ln kç r dir? 8 6 ) ) 6 (*) "Türev II" fsikülü "Grfikler" ünitesini tekrrlınız. 9 ) ) 8
İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrl ile Hcim Hesı II Kon Özeti ( Ekseni Etrfınd Döndürme) f() fonksion, ve ekseni rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd 6 f() döndürülmesi ile olşn cismin hcmi V olsn; öncelikle fonksion f() olrk düzenlenmelidir. o V d [f()] d dir. f() 6 den küçük kdr döndürmelerde hcim α ifdesini " 6 " ornı ile çrpmı ntmınız. ÖRNEK Birinci ölgede, ekseni, ekseni ve + elipsi rsınd kln ölge ekseni etrfınd, ) 6 ) 8 o döndürülmesi ile olşn cisimlerin hcimlerini lnz. ÇÖZÜM isim ekseni etrfınd döndürülerek elde edileceği için e göre fonksion elde edilip d ile integrl lınır. + & - dir. ) V ^ - h d ^- h d 8 f - p ; c - m - ^he r lnr. 8 ) V 6 - @ d 6 8 8 r lnr. Aşğıdki grfiklerde verilen trlı ölgelerin o ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cisimlerin hcmini lnz.. Anlitik düzlemin irinci ölgesinde eğrisi ve koordint eksenleri ile sınırlı ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir?. o Ç - 6. ln eğrisi, doğrlrı ve ekseni ile sınırlı ölgenin ekseni etrfınd 8 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir?. e e o e. - eğrisinin ekseni etrfınd 8 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? ) ) ( e - e) 6 ( e - e ) ) ) 6 )
İntegrl ile Hcim Hesı III İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (İki Eğri Arsındki Bölgenin Döndürülmesi) f() ve g() fonk sionlrı, ve doğrlrı rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd döndürülmesi ile olşn cismin hcmi V olsn, f() g() iken; V o [f () -g ()]d tir. f() g() İki eğri rsındki ölgenin ekseni etrfınd döndürülmesi ile olşn cismin hcmi için fonksionlr eksenine göre integrl lınck şekilde düzenlenip krıdki mntık çerçevesinde ormlnır. ÖRNEK Fonksionlrın kesim noktlrının lnmsı gereken drmlrd ortk çözüm pılır. Anlitik düzlemin I. ölgesinde; + doğrs ve eğrisi rsınd kln sonl ölgenin ( * ) ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn dönel cismin hcmini lnz. ÇÖZÜM Sınırlı ölge ekseni etrfınd döndürüleceği için fonksionlr d ile integrl lınck şekilde düzenlenir. (irinci ölgede) + o + Ortk çözüm ile kesişim noktsını llım; - & ^ h ( - ) & - + & - + & ve dir. V ( ) d + ( - ) d > ( - ) ( - ) d+ ( - ) d + ; + r lnr. 6.. prolü ile doğrs rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? o + Şekilde trlı ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir?. o Ç - 7. ve 8 eğrileri rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd 8 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? Şekilde trlı ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? ) ) ) 6 ) ( * ) "Sonl Bölge" sınırlndırılmış ölge demektir.
İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrl ile Hcim Hesı IV Kon Özeti ( k ve m Doğrlrı Etrfınd Döndürme) f() fonksion, ve k doğrs rsınd kln ölgenin eksenine prlel oln k doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi V ise, V 6 f( ) - k@ d Anı orm eksenine prlel m doğrs etrfınd döndürme ve iki eğri rsındki ölgei, k ve m etrfınd döndürme için de glnır. k k ÖRNEK Anlitik düzlemde + prolü ile ekseni, ve doğrlrı rsınd kln sınırlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmini lnz. ÇÖZÜM Grfiği çizerek ormllım, + o V ( + - ) d V ( + ) d + + ( + + ) d 8 c + + m c + + m lnr.. o + Ç - 8. prolü ile doğrs rsınd kln sınırlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? Şekildeki trlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hcmi nedir?. o Şekildeki trlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hcmini veren integrl ifdesi nedir?. ln eğrisi ile ve doğrs rsınd kln sınırlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmini veren integrl ifdesi nedir? ) ) ^ - h d 6 ) ) ^e - h d
İntegrlin Fiziksel Yorm I İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Doğrsl Hreket Denklemi) S ol, V hız, ivme ve t zmn olmk üzere, S(t) oln zmn, V(t) hızın zmn ve (t) ivmenin zmn göre fonksionlrı iken "oln türevi hızı (S'(t) V(t)" ve "hızın türevi ivmei (V'() (t)" verdiğine göre, İvmenin integrli hızı verir: Vt () tdt () Hızın integrli ol verir: St () Vtdt () Belirsiz integrl hesındki integrson siti, hız için ilk hız V ve ol için ilk konm S dır. ÖRNEK Yerden m ükseklikte lnn ir cisim m/sn hızl krı doğr düşe olrk fırltılıor. Yer çekimi ivmesi m/sn olrk lındığınd, t snie sonrki zmn göre şğıdki istenilenleri lnz. ) ismin (t) ivmesini, V(t) hızını, S(t) konmn ) ismin çıkileceği mksimm üksekliği c) ismin ere çrptığı n kdr geçen sürei ÇÖZÜM İlk konm S m ve ilk hız V m/sn olmk üzere krı doğr hreketi "+" şğı doğr hreketi " " llım. m m/sn ) isme etkien er çekimi ivmesi zmn ile değişmeeceğinden, (i) (t) m/sn dir. (ii) Vt () tdt () & Vt () (- ) dt V(t) t + 9 Vo t lnr. (iii) St () Vtdt () & St () ( - tdt ) S(t) t t + t + t + lnr. S 9 o ) ismin mksimm ükseklikteki hızı dır. V(t) t t. sn de cisim mksimm üksekliğe lşır. O hlde, t için S() + + m dir. c) ismin ere çrptığı nd konm dır. S(t) t + t + t t (t )(t + ) t. sn de cisim ere çrpr.. V m/sn 8 m Yerden üksekliği 8 m oln ir cisim m/sn hızl düşe olrk fırltılıor. Yer çekimi ivmesi m/sn olrk lındığınd t snie sonrki zmn göre şğıdkileri lnz. c) ismin S(t) konm fonksion nedir? ) ismin (t) ivme fonksion nedir? d) ismin çıkileceği mksimm ükseklik kç metredir? ) ismin V(t) hız fonksion nedir? e) isim fırltıldıktn kç snie sonr ere çrpr? ) ) ) t c) t + t + 8 d) e) 8
İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrlin Fiziksel Yorm II Kon Özeti (Yer Değiştirme ve Toplm Yol) St () Vtdt () iken, t ve t nlrı rsındki er değişim; t ÖRNEK t t Vtdt () St () St ( )- St ( ) dir. t t ve t onlrı rsınd lınn toplm ol; t t Vt () dt dir. Mtlk değer fonksionnn integrlinin kritik noktlrın göre prçlnıp lıncğını htırlınız. Doğrsl ir ol onc hreket eden ir cismin hız fonksion V(t) t t m/sn oldğn göre, cismin t ve t snie nlrınd lndğ noktlr rsındki, ) Uzklığı lnz ) Aldığı toplm ol lnz ÇÖZÜM St () Vtdt () olmk üzere, ) Yer değişimi: t ( t - t) dt c - t m - tür. isim. sniede. sniede lndğ noktnın metre ilerisini gitmiştir. O hlde noktlr rsı zklık metredir. ) Toplm ol: t - t dt dir. t t t(t ) t ve t kritik noktlrdır. O hlde, t - t dt t - t dt + t - t dt - + ( t- t ) dt + ( t -t) dt t t ct - m + c - t m + lnr. O hlde, cisim toplm metre ol lmıştır.. Doğrsl ir ol onc hreket eden ir cismin hız fonksion V(t) (t t) m/sn oldğn göre şğıdki sorlrı cevplınız.. Herhngi ir t nındki hızı V(t) t + 6t m/sn oln ir hreketlinin hrerekete şldığı ndn itiren sniede ldığı ol kç m dir? ) t ve t snie nlrınd lndğ noktlr rsındki zklık kç m dir? ) t ve t snie nlrı rsınd ldığı toplm ol kç m dir.. Doğrsl ir old m/sn hızl giden ir rç niden frene stığınd 6 m/sn ivme ile vşlrk drmştr. B rç frene sıldığı ndn drnc kdr geçen sürede kç metre ol lmıştır? ) ) 9 9 ) 6 ) ) 7
İntegrlin Ekonomi ve Diğer Alnlr Uglmsı İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti İntegrlin fiziksel glmsınd kllnıln ilişkiler, ekonomik ve diğer lnlrd krşımız çıkn değişim hızı (ornı) ve hız (orn) ğlı değişen miktr rsınd kllnılır. t zmnın ğlı miktr fonksion F(t) ve hız fonksion V(t) ise, Ft () Vtdt () dir. t ile t rsındki net iş Vtdt (), toplm iş Vt () dt dir. t t ÖRNEK (Üretim Uglmsı) Bir ınevinin kitp sm hızı + t (det/ıl) olrk elirlenmiştir. B ın evinin. ve. ıllr rsınd scğı toplm kitp sısını lnz. (t ıl olrk zmnı elirtmektedir) t t ÇÖZÜM Toplm sıln kitp sısı, sım hızının elirli integrli lınrk lnr. Toplm sım ( + t) dt Nüfs + ( + t) dt + ( t+ t ) ( t+ t ) 8-6 dettir ÖRNEK (Nüfs Uglmsı) ılınd nüfs oln ir şehrin ıldn itiren nüfsnn + t (kişi/ıl) ornı ile değişeceği thmin edilior. t zmn değişkeni, ılındn sonr geçen ılı elirtmek üzere 8 ılınd şehrin thmini nüfsn lnz. ÇÖZÜM ılı t ise 8 ılı t deki nüfs, nüfs değişim ornının (hızının) elirli integrli lınrk lnr. + ( ) 6 kişidir.. Yeni çıln ir otomoil friksının ilk lık üretim ilgilerine göre üretim hızı A'(t) + t (det / ) olrk elirlenmiştir. t friknın çılışındn itiren geçen zmnı, A(t) ise friknın çılışındn t sonr det olrk üretilen otomoil miktrını göstermektedir.. M() ir telin sol cndn itiren noktsın kdr kütlesini, M'() ise oğnlğn elirtmektedir. Bn göre sol cndn itiren cm zklığ kdr oğnlğ M'() + (gr/cm) oln ir telin; ) Friknın ilk d ürettiği toplm otomoil sısı kçtır? ) İlk cm sindeki kütlesi kç grmdır? ) Friknın 9. ve. lr rsınd üreteceği toplm otomoil sısı kçtır? ). ve. sntimetreleri rsındki kütlesi kç grmdır? ) ) 6 ) 69 ) ) 6 ) 68