LINEER SISTEMLER Muhendislite herhangibir sistem seil(ref: xqs402) dei gibi didortgen blo icinde gosterilir. Sisteme disaridan eti eden fatorler giris, sistemin bu girislere arsi gosterdigi tepi ciis olara adlandirilir. Sisteme birden fazla giris olursa cogirisli, sistemin bu girislere gosterdigi tepi birden fazla degisen uzerinden disaridan gozleniyorsa cociisli sistem olara adlandirilir. xqs402 Fizisel Sistem semasi lineerli ve nonlineerli Lineerli (dogrusalli) prensip olara giris ile ciisin orantili olmasidir. Sistem girisi x ve ciisi y olsun. Matematisel olara lineerli asagidai gibi tarif edilir. giriste x 1 uygulandiginda ciis y 1 giriste x 2 uygulandiginda ciis y 2 olsun. Sisteme x 3 ax 1 bx 2 girisi uygulandiginda a, b herhangi sabitler olma uzere, sistem ciisi y 3 ay 1 by 2 oluyorsa sistem lineerdir denir. seil(ref: xqs401) de gorulen yay sisteminde yayin uzama atsayisi,f uygulanan uvvet, x uygulanan uvvet sonucu yayin uzamasidir. Sistemin giris ciis bagintisi a) x F b) x F2 olara veriliyor. Her ii durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin. xqs401 a)yay ve uvvet sistemi b)kuvvet-yerdegistirme grafigi cozum:a) Sisteme giris F, ciis ise x dur. Sistem modeli yuaridai notasyonla y x
olur. x 1 F 1 y 1 F 1 x 2 F 2 y 2 F 2 x 3 af 1 bf 2 y 3 af 1 bf 2 a F 1 b F 2 y 3 ay 1 by 2 oldugundan sistem lineerdir. b)yuaridai islemler aynen burada da yapilir. x 1 F 1 y 1 F 1 2 x 2 F 2 y 2 F 2 2 x 3 af 1 bf 2 y 3 af 1 bf 2 2 a 2 F 2 1 b 2 F 2 2 2abF 1F 2 y 3 ay 1 by 2 oldugundan sistem lineer degildir. Fizisel sistemlerin hicbirisi ideal anlamda lineer degildir. Orne olara O.P(ref: xqp401) dei yay utle meanizmasini ele alalim. Kucu yerdegistirmeler icin yayin uvvet-yerdegistirme bagintisi x F selindedir. Faat yay belli bir mitar uzaditan sonra giris ciis bagintisi x F2, yay asiri uzatilip sinira dayanirsa x l olur. Yani giris F ne olursa olsun ciis x sabit alir. Bu durum seil(ref: xqs401.b) de gosterilmistir. Basa bir orne olara seil(ref: xqs405) dei direnc ve gerilim aynagindan devreyi ele alalim. Devreden gecen aim I V dir. Faat direncden gecen aim direnci bir R mitar isitir. Isinan direncin R direnc degeri degisir. Dolayisiyla gecen aim degisir. Bu ise uygulanan V gerilimi ile gecen I aimi arasindai ilisinin lineer olmamasi(nonlineer olmasi) anlamina gelir. Seil(xqs405 a)direncli devre b)gercete ve pratitei aim-gerilim grafigi Lineerligi isaca giris ciis bagintisi orijinden gecen bir dogru ise o sistem lineerdir diye tanimlayabiliriz. Seil(ref: xqt401)de pratite raslanan bazi nonlineerliler gosterilmistir. xqt401 Pratite raslanan nonlineerliler??athertondan atar. Fizisel dunyada hicbir sistem ideal anlamda lineer olmamasina arsili ullanim
sinirlari icinde lineer abul etmete buyu bir hata yotur. Nonlineerligin ihmal edilemeyece boyutlarda oldugu cogu durumlardada sistem belli lineer bolgelere ayrilir. Orne olara Seil(ref: xqs407.a) dei diyodun arateristigini ele alalim. Diyodun aim-gerilim arateristigi analiz ediliren diyot Seil(ref: xqs407.b) dei gibi varsayilir. Boylece lineer bolgeler elde edilere analiz yapilir. Seil(xqs407) a)diyodun aim-gerilim arateristigi b)lineer bolgelere ayrilmis (lineerlestirilmis arateristi Sistem Dinamigi Fizisel sistemlerin az veya co ataletleri(tembellileri) vardir. Yani sisteme etiyen eten ile sistemin verdigi tepi arasinda belli bir sure gecer. Mesela seil(ref: xqs411.a) de eletri devresinde de ondansator elemaninin ataletinden dolayi uygulanan gerilim etisini zamana yayilara gosterir. seil(ref: xqs411.b) de uygulanan gerilim ve seil(ref: xqs411.c) de uygulanan gerilimin etisi ile ondansator geriliminin degisimi gosterilmistir. seil(xqs411) a)kondansatorlu devre b)u t uygulanan gerilim c)gerilimin etisi ile gecen aim. Benzer seilde seil(ref: xqs401.a) dai yay sisteminde yaya etiyen uvvet etisini hemen gosteremez. Kuvvetin etisi yayin utlesi ve hava surtunmesinden dolayi zamana yayilara etisini gosterir. Bu seildei sistem ataleti matemati modellemede diferansiyel denlemler olara arsimiza ciar. Lineer sistemlerin modelleri d n x dt n a n 1 dn 1 x dt n 1...a 1 dx dt a 0 x b n d n r dt n b n 1 dn 1 r dt n 1...b 1 dr dt b 0 r xqe401
selinde lineer diferansiyel denlemlerle ifade edilir. Zamanla Degismeme Dinami sistemin modeli zamandan bagimsiz ise, zamanla degismiyorsa sistem zamanla degismeyen sistemdir. Matematisel olara zamanla degismeme su seilde tanimlanir. x t girisine arsi y t ciisini veren bir sistem eger x t p girisine arsi y t p ciisini veriyorsa sistem zamanla degismeyen sistem olara adlandirilir. Butun sistemlerin modelleri sicali basinc gibi etenler altinda degismele beraber prati anlamda cogu sistemler zamanla degismez abul edilir. Zamanla degismesi diate alinmasi gereen sistemlere orne olara bir savas ucaginin veya roetin yaiti azaldica utlesinin azalmasi ve sistemin matemati modelinin degismesini orne olara gosterebiliriz. Sistem lineerse ve zamanla degisiyorsa (ref: xqe401) dei a 1,a 2,...a n,b 1,b 2,...b n atsayilari a 1 t,a 2 t,...a n t,b 1 t,b 2 t,...b n t selinde zamana bagli olara degisir. Lineer Sistemlerin Analizi Yuarida bahsedildigi gibi meani hidroli, eletri sisteemler cogu ere lineer abul edilere liner zamanla degismeyen diferansiyel denlemlerle modellenebilir. Bu yuzden Lineer zamanla degismeyen diferansiyel denlemlerin cozumlerini isaca inceleme gereir. (ref: xqe401) ile verilen diferansiyel denlemin homojen ve ozel cozum olara adlandirilan ii cozumu vardir. Toplam cozum ii cozumun toplamidir. Homojen (Oz) Cozum Diferansiyel denlemin homojen(oz) cozumunun sabit bir sayi olma uzere x t ce t xqe461 formunda oldugu gosterilebilir. (ref: xqe461) dei x t degeri dx t c e dt t d, 2 x t c 2 e t dx... n t dt 2 dt n c n e t selinde turetilere (ref: xqe401) de yerine onulursa c n e t a n 1 c n 1 e t a n 2 c n 2 e t a 1 c e t a 0 ce t xq4e472 elde edilir. (ref: xq4e472) in her ii yani 1 c e t ile arplrsa. c 0 n a n 1 n 1 a n 2 n 2...a 1 a 0 xqe403 elde edilir. (ref: xqe403) polinomunun oleri 1, 2, 3,... n 1, n olsun. Eger butun oler birbirinden farli ise (ref: xqe401) dif denleminin cozumu de x t c 1 e 1t c 2 e 2t c 3 e 3t...c n e nt selindedir. Burada c 1,c 2,c 3...c n tamamen eyfi sabitlerdir. Yani c 1,c 2,c 3...c n atsaylar, arasnda herhangibir degeri alabilirler. Btn aldlar de erler i in dif
Lineerlestirme L(x) = f(x 0 ) + f X (x 0 ) (x-x 0 ) = f(x 0 ) + f X (x 0 ) x = f(x 0 ) + f f(x 0 ): fonsiyonun x 0 dai degeri f X (x 0 ): fonsiyonun turevinin x 0 dai degeri f = f X (x 0 ) (x-x 0 ) fonsiyonun diferansiyeli x =(x- x 0 ) x 0 civarinda x in degisme mitari Cozum: f(x) = e 0.5x ----> f X = 0.5 e 0.5x L(x)=f(x 0 ) + f X (x 0 ) (x- x 0 ) =e 0.5 3 + 0.5 e 0.5 3 (x- 3) =4.48+2.24(x-3) = 2.24x-2.24 b) L(3.1)= 2.24x-2.24=2.24 x 3.1-2.24=4.7058 c)f(3.1)= e 0.5x = e 0.5 3.1 = e 1.55 =4.7115 d) f(x)-l(x)=4.7115-4.7058=0.0057 x degeri x 0 civarinda x adar degisirse, fonsiyonun degeri f adar degisir. P212) f(x)=x 2, x=3 civarinda lineerlestirin. Cevap: f(3)= 3 2 =9, f X (3)=2 3=6 L(x)=f(3) + f X (3) (x-x 0 ) =3 2 + 2 3(x-3)= 9 +6 (x-x 0 ) x=3 icin fonsiyonun degeri f(3)=9 dur. x=3.1 icin: x = (3.1-3)=0.1 f= f X (3) (x-x 0 ) = 6 0.1=0.6 Fonsiyonun Yalasi degeri 3+0.6=3.6 Fonsiyonun Gerce deger: f(3.1)=3.1 2 =9.61 Hata=9.61-9.6=0.01 P221)a)f(x)= e 0.5x fonsiyonunu x=3 civarinda lineerlestiriniz. c)elde ettiginiz linner denlemlerden faydalanara fonsiyonun x=3.1 dei degerini hesaplayiniz. d)buldugunuz degerleri fonsiyonuin gerce degeri ile arsilastirin. P221)a)f(x)= e 0.5x fonsiyonunu x=5 civarinda lineerlestiriniz. c)elde ettiginiz linner denlemlerden faydalanara fonsiyonun x=4.9 dai degerini hesaplayiniz. d)buldugunuz degerleri fonsiyonuin gerce degeri ile arsilastirin. Cozum: f(x) = e 0.5x ----> f X = 0.5 e 0.5x L(x)=f(x 0 ) + f X (x 0 ) (x- x 0 ) =e 0.5 5 + 0.5 e 0.5 5 (x- 5) =12.18+6.09(x-5) = 6.09 x-18.27 b) L(4.9)= 6.09x-18.27=6.09 x 4.9-18.27=11.5734 c)f(4.9)= e 0.5x = e 0.5 4.9 = e 2.45 =11.5883 d) f(x)-l(x)= 11.5883-11.5734=0.015 Ozet: e 0.5x 2.24x-2.24 (x=3 civarinda) e 0.5x 6.09 x-18.27 (x=5 civarinda)