1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1

Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallarında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektriksel yük, gibi büyüklükler, cebirsel krallara göre ifade edilirler. B tür çoklklara Skaler büyüklükler denir. 2

Tanım: hareket, hız, kvvet, gibi hem yönü, hem doğrlts, hem de büyüklüğü olan çoklklara Vektörel Büyüklükler denir. 3

Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : Yönlü doğr parçalarına vektör denir. A : Başlangıç noktası, B : Bitim noktasıdır. AB yada ile gösterilir. A B 4

GENEL TANIMLAR Tanım: Başlangıç ve bitim noktaları çakışık olan vektöre SIFIR vektörü denir. AA ya da 0 Sıfır vektörü sonsz sayıda doğrlt ve yöne sahiptir. Tanım: Sabit bir başlangıç noktasına sahip olan vektöre KONUM/YER vektörü denir. Tanım: Başlangıç noktası sabit bir doğr üzerinde değişen vektöre KAYAN vektör denir. Tanım: Eğer başlangıç noktası üzerinde hiçbir kısıt yoksa SERBEST vektör denir.

GENEL TANIMLAR Tanım: ile v gibi iki vektörün, yönleri aynı ve büyüklükleri eşit ise EŞİT vektörlerdir. =v v Tanım: ile yönü zıt fakat büyüklüğü eşit olan vektör - ile gösterilir. - 6

VEKTÖREL İŞLEMLER: Toplama Tanım: ve v gibi ili vektörün toplamı, v vektörünün başlangıç noktasını vektörünün bitim noktasına yerleştirdikten sonra vektörünün başlangıç noktasını v vektörünün bitim noktasına birleştiren vektördür. 1, 2 v v1, v2 ise v v, v 1 1 2 2 Vektörlerin toplamı yine bir vektördür. w v

VEKTÖREL İŞLEMLER: Toplama Paralelkenar Yöntemi +v toplam vektörü ve v vektörlerinin olştrdğ Paralelkenarın köşegenlerinden birine eşittir.

VEKTÖREL İŞLEMLER: n Adet Vektörün Toplanması Tanım: Vektörler sırası ile birinin başlangıç noktası diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir ve ilk vektörün başlangıç noktasını son vektörün bitim noktası ile birleştiren vektör TOPLAM ya da BİLEŞKE vektör olarak adlandırılır. v v1 v2 v n v v v v,, v v v 11 21 n1 1n 2n nn v 1 v 2 v 3 v 4 V v n

VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektörün Tanım: Bir vektörü ve k Bir Skaler İle Çarpımı bir skaler olmak üzere k çarpımı, vektörü ile aynı yönde ve znlğ vektörün k katı olan bir vektördür. Bir vektörün bir skaler ile çarpım sonc yine bir vektördür. k

VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektörün Bir Skaler İle Çarpımı Eğer k ise elde edilen k vektörü vektörü ile aynı doğrltda fakat zıt yöndedir. -k

VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektörlerin Farkı Tanım: Bir vektörünün k çarpımında k=-1 ise, (-1) vektörüne, vektörünün toplamaya göre tersi denir: +(-)=0 Tanım: ve v her hangi iki vektör ise bnların farkı, vektörlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde edilen vektördür: +(-v)=-v=w w,, 1 v1 n vn w +v -v v

VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektörlerin Farkı Paralelkenar Yöntemi w fark vektörü ve v vektörlerinin tanımladığı Paralelkenarın diğer köşegenidir.

İki Noktanın Tanımladığı Vektör Tanım: İki boytl zayda (düzlemde) A(a 1,a 2 ), B(b 1,b 2 ) noktaları verilmiş olsn. B iki noktanın tanımladığı vektörün elemanları: AB OB OA AB OB OA AB b, b a, a 1 2 1 2 AB b a, b a AB B A 1 1 2 2

İki Noktanın Tanımladığı Vektör Tanım: İki boytl zayda (düzlemde) A(a 1,a 2 ), B(b 1,b 2 ) noktaları verilmiş olsn. Düzlemdeki her K noktası için KB KA AB

VEKTÖRÜN UZUNLUĞU NORMU Tanım: Bir vektörünün znlğ vektör elemanlarının karelerinin toplamının kareköküdür ve ile tanımlanır: 2 2 2 1 2 n Uznlk skaler bir değerdir.

VEKTÖRÜN UZUNLUĞU NORMU: Geometrisi Üç boytl konm vektörünün znlğnn karesi; Uznlk, 2 2 2 2 r OA OC CA 2 2 2 OB BC CA 2 2 2 x y z 2 2 2 r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTÖR Tanım: Uznlğ ya da salt değeri BİR (1) e eşit olan vektörlere BİRİM vektör denir. Bir vektörü, N İşlemi ile birim vektöre dönüştürülebilir. Bir vektörü birim vektör ve znlğ cinsinden yazılabilir: N

NORMALİZE VEKTÖR Tanım: Bir vektörün normalize edilmesi, znlğnn bir birim olacak şekilde ölçeklenmesidir. B amaçla vektörün tüm bileşenleri vektörün znlğna bölünürler. 1, 2,, n 2 2 2 1 2 n ise N 1 2 n,,,

İki Nokta Arasındaki Mesafe Tanım: Üç boytl zayda iki nokta P 1 (x 1,y 1,z 1 ) ve P 2 (x 2,y 2,z 2 ) verilmiş olsn. B iki nokta arasındaki mesafe 1 2 PP PP vektörünün, x x, y y, z z 1 2 2 1 2 1 2 1 znlğ olarak belirlenir ve d ile gösterilir. 2 2 2 d PP x x y y z z 1 2 2 1 2 1 2 1

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Tanım: Üç boytl kartezyen sistemde başlangıç (orijin) O (0,0,0) noktasını; (1,0,0), (0,1,0) ve (0,0,1) noktalarına birleştiren vektörlere sırası ile ox, oy, oz eksenlerinin BİRİM vektörleri denir. i, j, k ile gösterilirler: i 1,0,0 j 0,1,0 k 0,0,1 Tanım: n-boytl zayda eksenlerin birim vektörleri e 1, e 2,,e n

VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Tanım: Üç boytl kartezyen sisteminde başlangıç O (0,0,0) noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektörüne A noktasının KONUM vektörü adı verilir.

VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ r OA OB BC CA OB OD OE

VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Teorem: Üç boytl zaydaki her hangi bir,, 1 2 3 vektörü i, j, k birim vektörlerinin doğrsal derlemesi olarak yazılabilir: i j k 1 2 3 B ifadeye vektörünün ANALİTİK gösterimi denir.

VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Teorem: n-boytl zaydaki her hangi bir,,, n 1 2 konm vektörü e 1, e 2,,e n birim vektörlerinin doğrsal derlemesi olarak yazılabilir: e e e 1 1 2 2 n n B ifadeye konm vektörünün ANALİTİK gösterimi denir.

VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Teorem: i j k,, 1 2 3 1 2 3 v v i v j v k v, v, v ve k olmak üzere, 1 2 3 1 2 3 v v i v j v k 1 1 2 2 3 3 k k i k j k k k, k, k 1 2 3 1 2 3

VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ: İki Boyt y M(x,y) M x, y OM OP PM j O i P x OP PM xi yj OM xi yj 28

VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ: Üç Boyt z M(x,y,z) i k O j y OM x y z x Şekil.5 OM xi y j z k 29

Vektörlerin Çarpımı 1. Skaler Çarpım 2. Vektörel Çarpım

Skaler Çarpım Tanım: ve v v ile gösterilir: v gibi sıfırdan farklı iki vektörün skaler çarpımı v Cos 0 vektörler arasındaki açıdır. Önemli: Çarpım sonc skaler bir büyüklüktür. Skaler çarpım; İç (inner) Çarpım ya da Nokta (dot) Çarpım olarak da adlandırılır.

Skaler Çarpım: Geometrik Anlamı v OA. OB OC. OB OC. OB Cos OC OA OC OA Cos v v OB OA Cos v Cos

Skaler Çarpım: Geometrik Anlamı 1.İki vektör birbirine dik (ortogonal) ise =/2 olp skaler çarpım: v v Cos 0 2. İki vektörün yönleri aynı ise =0 olp skaler çarpım: v v Cos v 3. İki vektörün yönleri zıt ise = olp skaler çarpım: v v Cos v

Skaler Çarpım: Analitik Anlamı Üç boytl iki vektörün;,, v v, v, v 1 2 3 1 2 3 Skaler çarpımının analitik ifadesi: 1 2 3 1 2 3 v i j k v i v j v k 1v 1ii 1v 2ij 1v 3ik 2v1 ji 2v2 jj 2v3 jk 3v1ki 3v2kj 3v3kk

Skaler Çarpım: Analitik Anlamı Birim vektörlerin skaler çarpımı: ii jj kk 1 ve ij ik jk 0 Skaler çarpım sonc: v 1v 1 2v2 3v3 Genel drm: n-boytl vektörler için v 1v 1 2v2 nvn n v r r1 r

İki Vektör Arasındaki Açı Cos Cos v v v v v 1 1 2 2 n n v v

Ortogonal (Dik) Vektörler n- boytl iki vektör; 1, 2,, n v v v v Birbirine Ortogonal (dik) ise,,, n 1 2 v v v v 1 1 2 2 n n 0

38 Skaler Çarpımın Özellikleri w v,, sıfır olmayan üç vektör olmak üzere; v v a.. ) ) (,. ) 2 2 b w v w v c.. ).( ) ).( ). ( ). ( ) v m v m v m d (m : skaler) 1. 1 ) e 0. ) v v f

Vektörel Çarpım Tanım: Sıfırdan farklı ve v gibi iki vektörün vektörel çarpımı v ya da ile gösterilir: v w v e v Sin Vektörel çarpımın sonc bir vektördür. Doğrlts ve v vektörlerinin olştrdğ düzleme diktir. v v

Vektörel Çarpım: Paralelkenarın Alanı ve v vektörleri düzlemde bir paralelkenar tanımlar. Paralelkenarın alanı A olsn. Şekilden görülebileceği gibi verir. sin paralelkenarın yüksekliği v paralelkenarı taban znlğn A taban yükseklik v sin

Vektörel Çarpım: Sonç ve v vektörlerinin vektörel çarpımından elde edilen w v vektörünün znlğ ve v vektörlerinin tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir.

Birim Vektörlerin Vektörel Çarpımı Dairesel Permütasyon i i 0 i j k i k j j i k j j 0 j k i k i j k j i k k 0

Vektörel Çarpım: Analitik İfadesi Üç boytl iki vektörün;,, v v, v, v 1 2 3 1 2 3 Skaler çarpımının analitik ifadesi: 1 2 3 1 2 3 v i j k v i v j v k 1v 1i i 1v 2i j 1v 3i k 2v1 j i 2v2 j j 2v3 j k 3v1k i 3v2k j 3v3k k

Vektörel Çarpım: Analitik İfadesi Birim vektörlerin vektörel çarpımları kllanılarak: v v v i v v j v v k 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 v v, v v, v v 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 Not: Determinant kons ile ilişkilidir.

Vektörel Çarpım Teorem: Eğer ve v üç boytl zaydaki iki vektör ise,. v 0 v. v 0 v 2 2 v 2. v 1. 2. v vektörü vektörüne ortogonaldir. v vektörü v vektörüne ortogonaldir. 3. 2 Lagrange özdeşliği

Vektörel Çarpım: Determinant İfadesi v 1 v 2 i x 1 j y 1 k z 1 x 2 y 2 z 2

Tanım:, v Üçlü Vektörel Çarpım ve w vektörlerinin üçlü vektörel çarpımı: v w wv v w Üçlü vektörel çarpımın sonc yine bir vektördür. v w çarpım vektörü v ve w vektörlerinin olştrdğ düzleme paralel, v w ikili vektörel çarpım vektörüne dik bir vektördür.

48 Vektörel Çarpımın Özellikleri w v,, sıfır olmayan üç vektör olmak üzere; v v a ) w v w v b ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) v m v m v m c (m : skaler). 0 ) paraleldir v ile v d e) ve v vektörlerinin vektörel çarpımının değeri (skaler büyüklüğü) ve v vektörleri üzerine krlan PARALELKENAR ın alanını verir.

Tanım:, olmak üzere, v Karışık Çarpım ve w aynı düzlemde blnmayan üç vektör v w v w Cos çarpımına karışık çarpım denir. Karışık çarpım v oldğ için sonç bir skalerdir. w vektörü ile vektörünün skaler çarpımı

Karışık Çarpım: Geometrik Anlamı

Karışık Çarpım: Geometrik Anlamı v w v w Cos İlk bileşen v w : OBCD paralelkenarının alanı İkinci bileşen Cos : paralelyüzün yüksekliği Karışık Çarpım:, v ve w vektörleri üzerine krlan paralelyüzün hacmine eşittir.

Karışık Çarpım :Determinat İfadesi.( v w ) x x 1 2 y y 1 2 z z 1 2 x 3 y 3 z 3 52

Vektörlerin İzdüşümü Vektörel İzdüşüm Skaler İzdüşüm

Vektörlerin İzdüşümü ox ekseni için birim vektör e olsn. OA vektörünün ox ekseni üzerindeki vektörel izdüşümü: izd. OA OB OB OB OB e OA Cos e OA vektörünün ox ekseni üzerindeki skaler izdüşümü: OB OB OA Cos ya da OA. e

Vektörlerin İzdüşümü: Geometrik

BİRİNCİ BÖLÜM BİTTİİİİİİİ 56