OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ
Modelleme Önceki bölümlerde blok diyagramları ve işaret akış diyagramlarında yer alan transfer fonksiyonlarındaki kazançlar rastgele alınmıştı. Bu bölümde ise bu kazançların nasıl belirlendiği anlatılacaktır. Kontrol sistemleri tanımının başlangıç noktası kontrol sisteminin matematiksel modelinin oluşturulmasıdır. Matematiksel model : t domeni, s domeni (Laplace dönüşümü), ω domeni (Fourier dönüşümü) ve z domeni uygulanarak oluşturulabilir. Bu derste, işlem kolaylığı sağladığı için s donemi kullanılacaktır. Model oluşturulurken ilgili fiziksel sistemin uygun yasalarla modellenmesi gerekir; 1) Mekanik Sistemler : Newton II. Hareket yasası 2) Elektriksel Sistemler : Kirchoff ve Ohm yasası 3) Akışkan Sistemler : Süreklilik yasası veya maddenin sakınımı 4) Isıl Sistemler : Enerjinin sakınımı yasası gibi 63
Modelleme Mekanik Sistemler : Bir cisim üzerine etki eden dengelenmiş kuvvetler o cisim üzerinde bir eylemsizlik kuvveti oluşturur. Akışkan Sistemler : =. = = =. = = θ : Pozisyon (rad) v : Hız (m/s) m : Kütle (kg) w : Açısal hız (rad/s) j : Eylemsizlik momenti (kg.m 2 ) (Bir sisteme giren madde miktarı) (Sistemden çekilen madde miktarı) = (Sistemde depolanan madde miktarı) Isıl Sistemler : (Bir sisteme giren enerji) (Sistemden çekilen enerji) = (Sistemde depolanan enerji) 64
Elektriksel Sistemler : Modelleme i. Basit bir elektriksel sistem direnç, kapasite ve endüktans elemanlarından oluşur. ii. Bu elemanlar farklı şekilde bağlanarak farklı elektriksel devreleri oluşturur. 1) Direnç Elemanı (R) : =. ( ) veya G(s)= =. ( ) G(s)= 2) Kapasite Elemanı (C) : 65 = = 1 1 ( ) veya G(s)= G(s)=
3) Endüktans Elemanı (R) : Modelleme = ( ) =.. ( ) veya G(s)= G(s)= Örnek 1: Aşağıdaki Lineer potansiyometrenin transfer fonksiyonunu bulunuz? 66
Modelleme Örnek 2: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 67
Modelleme Örnek 3: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz?(ny_ Yöntemi) 68
Modelleme Örnek 4: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 69
Modelleme Ödev: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 70
OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ
1) İdeal Sönümleme Elemanı : a) Öteleme Sönümleyici : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Basit mekanik elemanlar, öteleme hareketinde; damper (sönümleyici), sürtünme, kütle ve yaydır. Dönme hareketinde ise dönel sönümleyici, eylemsizlik momenti ve yaydır. F(t)=. ( ) =. ( ) =. ( ) B : Sönümleme katsayısı (N.s/m) F : Kuvvet (N) V : Hız (m/s) b) Dönel Sönümleyici : dθ (t) M(t)=B =. ( ) =. ( ) B : Sönümleme katsayısı (N.s/m) T, M : Moment (N) w : Açısal Hız (rad/s) 72
Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli 2) İdeal Kütle ve Eylemsizlik : a) Öteleme Kütlesi : F(t)=. ( ) = ( ) F(s)=.. ( ) = ( ) b) Döner Kütle : J=. T(t)=. ( ) = ( ) = ( ) T(s)=.. ( ) G= 3- a) Ötelemeli Yay : F(t)=. =. ( ) df(t) =.. =. ( ) 73
Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli 3- b) Burulma Yayı : T(t)=. θ =. θ( ) dt(t) =.. =. ( ) Ödev 1 : Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? K x(s) ( ) = 1 + + Ödev 2 : Ucunda J atalet momentli disk olan ve bir ucu sabitlenmiş şekildeki sistem, uygulanan M momenti ile bükülmektedir. Disk dönme sürtünme katsayısı B olan bir ortamda hareket ettiğine göre sistemin transfer fonksiyonu nedir? 74 θ(s) ( ) = 1 + +
Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Örnek 1: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 75
Enerji Depolamayan veya Harcamayan İdeal Sistem Elemanları 1) Transformatörler : = =. =. İ ( ü ) = = = ü ( ) ( ) = = ü N : Sarım sayısı ü : Dönüştürme oranı ü>1 : Gerilim Düşürücü ü<1 : Gerilim Yükseltici 2) Dişli Kutusu (Redüktör) : = =. =. İ ( ) ( ) = = = 1 ü ( ) ( ) = ( ) ( ) = = = ü N : Diş sayısı ü : Dönüştürme oranı ü>1 : Hız Düşürücü ü<1 : Hız Yükseltici 76
İşlemsel Kuvvetlendiriciler PID denetleyicilerin analog devrelerle gerçeklenmesinde özellikle kazanç, integral ve türev alma işlemleri için işlemsel kuvvetlendiriciler kullanılırlar. Bu sebeple işlemsel kuvvetlendiricilerinde transfer fonksiyonları belirlenmelidir. 1) Kuvvetlendirici (Kazanç) : 77
2) Kuvvetlendiricili Karşılaştırma Devresi : İşlemsel Kuvvetlendiriciler 78
İşlemsel Kuvvetlendiriciler 3) Türev alıcı Devre: 4) İntegral alıcı Devre: 79
İşlemsel Kuvvetlendiriciler Örnek 2: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 80
Durum Değişkenleri Modeli Sistemin dinamiğini tanımlamak için durum değişkenleri veya durum uzay modelleri de kullanılabilir. Durum değişkenlerine bağlı denklemler kullanılarak verilen bir giriş için durum değişkenleri cinsinden sistemin çıkışı tanımlanabilir. n. dereceden bir sistem dinamiğinin modellenebilmesi için n adet değişken ve n adet durum denklemi gereklidir. Genel olarak durum denklemleri ; [ ] = + ( ) [ ] = + ( ) X t = ( ) ( ) ( ) u t = ( ) ( ) ( ) A = B = C = 81 D =
Özellikleri : Durum Değişkenleri Modeli Durum denklemleri bilgisayarda sayısal olarak çözülebilir. Durum denklemleri çok girişli ve çok çıkışlı sistemlerde doğrudan kolaylıkla uygulanabilir. En uygun denetleyici tasarım yöntemleri genellikle durum değişkenleri modeline dayanır. NOT 1: Durum değişkenleri tekniği çoğunlukla çağdaş denetim yöntemleri olarak, buna karşılık transfer fonksiyonu tekniği de klasik yöntemler olarak bilinir. NOT 2: Tek giriş ve tek çıkışlı sistemlerde durum değişkeni yöntemi yerine transfer fonksiyonu yöntemini kullanmak daha uygundur. Transfer fonksiyonu ve Durum denklemleri arası geçiş : G(s)= C.( ). + 82
OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ SİSTEMLERİN GEÇİCİVE KALICI DURUM DAVRANIŞLARI ANALİZİ
Tanımlamalar : Sistemlerin Geçici ve Kalıcı Durum Davranışları Analizi 1) Gecikme Zamanı (tg) : Çıkışın, referans değerin yarısına ulaşana kadar geçen süredir. 1. derece sistemler için tg, zaman sabitine ( ) eşittir. 2) Yükselme Zamanı (ty), (tr) : Çıkışın, referansın %10-90, %5-95 veya %0-100 değerine ulaşana kadar geçen süredir. Genelde aşırı sönümlü (1. derece) sistemlerde %0-100, titreşimli sistemlerde %10-90 alınır. 3) Tepe Zamanı (tt), (tp) : Cevabın referansı aşarak ilk tepe yaptığı zamandır. 4) Maksimum Aşım (Mp) : Cevabın referans değeri en çok aştığı miktardır. Eğer nihai değere ulaşamayıp kalıcı durum hatası oluşuyorsa yüzde olarak verilir. %Mp= % ( ) ( ). 100 5) Oturma Zamanı (to), (ts) : Cevap eğrisindeki titreşimlerin %5 veya %2 ye düştüğü süredir. 1. derece sistemlerde oturma zamanı yükselme zamanına eşittir. Not: Tüm değerler aynı anda küçük tutulamaz, bazıları birbirlerine göre ters etkilidirler. Örneğin Mp küçültülürken aynı anda to küçültülemez. 84
Tanımlamalar : Sistemlerin Geçici ve Kalıcı Durum Davranışları Analizi 6) Kalıcı Durum Hatası: Kalıcı durum başarımı genellikle basamak, rampa veya ivme giriş sinyaline göre gösterdiği kalıcı durum hatasına göre belirlenir. Verilen bir sistemin bir tipte giriş sinyalinde küçük bir hata verirken diğer bir girişte hata gösterebilir. Bu açık çevrim transfer fonksiyonuna bağlıdır. Kalıcı duruma sıfır veya en küçük hata ile ulaşmalıdır. Kapalı çevrim kontrol sistemi oluşturularak kalıcı durum hatası açık çevrime göre daha küçük hatalar oluşturulabilir. 85
86 Sistemlerin Geçici ve Kalıcı Durum Davranışları Analizi
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi Her ne kadar bir sistemin kararlılığında sistemin kutupları 1. derecede etkili olsa da transfer fonksiyonunun sıfırları da önem taşır. Bu sebeple istenilen bir sistem cevabı için genellikle transfer fonksiyonuna bazı kutup ve sıfırların ilave edilmesi veya istenmeyen kutup ve sıfırların silinmesi gerekebilir. 1) İleri besleme yoluna kutup ilavesi : G(s)= ( )( σ ) = 1 ξ =1 için inceleyelim. G(s)= ( )( σ ) T(s)= ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )( σ ) ( )( σ ) T(s)= ( ) ( ) = ( ) ( ) = σ σ 87
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi İleri yol transfer fonksiyonuna ilave edilen kutupların genellikle kapalı çevrim sisteminde aşımı arttırdığı gözlenir. İlave edilen kutup sistem band genişliğini azaltır. İlave edilen kutup yükselme zamanını arttırır. 88 Ödev 3 : = 1, ξ =0.25 için ve Tp=0,1,2 ve 5 değerleri için MATLAB da inceleyiniz.
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi 2) Kapalı çevrim transfer fonksiyonuna kutup ilavesi : T(s)= ( ) ( ) = ( ξ )( σ ) = 1 ξ =0.5 için inceleyelim. T(s)= ( )( σ ) Tp arttıkça; aşım azalır, oturma zamanı artar. Aşım açısından bakılırsa kapalı çevrim transfer fonksiyonuna ilave edilen kutuplar açık çevrim e ilave edilene göre ters etki gösterir. 89
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi 3) İleri besleme yoluna sıfır ilavesi : G(s)= ( σ ) ( )( ) T(s)= ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( σ ) ( )( ) ( σ ) ( )( ) = ( σ ) σ Açık çevrim sistemine bir sıfır ilavesinin sistemin kararlılığına etkisi vardır. Her ne kadar karakteristik denklemin kökleri sönüm ve kararlılığı belirlese de sistem davranışını etkileyen sıfırlarda dikkate alınmalıdır. 90
Transfer Fonksiyonlarına Eklenen Kutup ve Sıfırların Etkisi 4) Kapalı çevrim transfer fonksiyonuna sıfır ilavesi : T(s)= ( ) ( ) = ( σ ) = 1 ( ξ ) ξ =0.5 için inceleyelim. T(s)= ( ) = ( σ ) ( ) ( ) Kapalı çevrim transfer fonksiyonuna bir sıfır ilave edilmesi yükselme zamanının azalması ve aşımın artmasına sebep olur. 91
Baskın Transfer Fonksiyon Kutupları Geçici durum cevabını çok etkileyen kutuplara baskın kutuplar adı verilir. Yüksek mertebeden olan sistemleri kontrol edebilmek için yaklaşık olarak temsil eden düşük mertebenden sistemlere dönüştürülür. Bilindiği üzere imajiner eksene yakın kutuplar yavaş zayıflayan, uzaklar hızlı azalan cevaba sahiptir. Baskın ile baskın olmayan kutuplar arasındaki D mesafesi net değildir. Sistem ve beklenen cevap ile ilgili olarak değişir. Uygulamada bir kutbun gerçek kısmı, bir baskın kutbun gerçek kısmının 5-10 katı ise baskın olmadığı kabul edilir. Kutup yerleştirme tekniklerinde ξ=0.707 doğrusu üzerinde baskın kutupların olduğu düşünülür. 92
Baskın Transfer Fonksiyon Kutupları Örnek 3: T(s)= = 10 1 1 Baskın kutuplar : (-1+j) ve (-1-j) Baskın kutupların reel kısmı : -1 Diğer kutup : -10 ve değeri baskın kutbun 10 katı Dolayısıyla sistemin geçici hali için ; T(s)= = sadeleştirilmiş denklem kullanılabilir. Önemsiz kutupların sürekli hal davranışında yok edilmesi : Baskın olmayan kutuplar geçici hal davranışında yukarıda yok edilmişti. Ancak kararlı durum davranışı korunmalıdır. Bu sebeple T(s) formülü yeniden düzenlenmelidir. T(s)= = Bu düzenleme yapılmaz ise sadeleştirme yanlış olur. 93 Baskın kutup
94
OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DOĞRUSAL (LİNEER) GERİ BESLEMELİ SİSTEMLERİN KARARLILIĞI
Kararlılık Denetim Sistemlerinden; Kararlılık Hızlı cevap Az veya sıfır hata Minimum aşım gibi kriterleri sağlaması beklenir. Kararlılık; Fiziksel sistemlerde kararlılık, Dinamik sistemlerin kararlılığı da benzer şekilde tanımlanır. Sistemin birim girişe cevabı; azalan, yansız veya artan şeklinde olabilir. 96
Kararlılık Özellikle kararlılık tanımında bir impuls girişe karşılık, zaman sonsuza giderken çıkışın sıfıra ulaşmasıdır. Eğer çıkış artan veya büyüyen genlikli artan şeklinde ise kararsızdır. Doğrusal bir sistemin kararlılığı kapalı-çevrim transfer fonksiyonunun kutuplarından diğer bir deyişle özyapısal (karakteristik) denklemin köklerinden belirlenebilir. Giriş fonksiyonu sistemin kararlılığını etkilemez. Yalnızca çıkış davranışını ve kalıcı durum hatasını etkiler. Kararlı bir sistem bozucu giriş karşısında geçici durum davranışını gösterdikten sonra tekrar denge konumuna dönen sistemdir. 97 Kararlılığı inceleyen yöntemler; 1) Karmaşık s düzlem yaklaşımı, 2) Zaman alanı yaklaşımı : Zaman sonsuza giderken çeşitli giriş fonksiyonların cevapları, sonlu ise kararlıdır. 3) Frekans alanı yaklaşımı (Nyquist yöntemi)
KARMAŞIK DÜZLEMDE KARARLILIK ANALİZİ Kapalı çevrim transfer fonksiyonun kökleri kutuplar olarak adlandırılır. Bir geri beslemeli sistemin kararlı olabilmesi için gerek ve yeter şart transfer fonksiyonu kutuplarının negatif reel kısımlara sahip olması ve payın derecesinin paydadan küçük olmasıdır. Kutuplar sistemin kararlılığı yanında sistemin dinamik davranışını da tanımlar. 98 Köklerin s düzlemindeki yerine göre ani darbe cevapları (Katlı kök)
KARMAŞIK DÜZLEMDE KARARLILIK ANALİZİ Düşük mertebeli sistemlerde s kökleri hesaplanabilir. Ancak yüksek mertebeli sistemlerde kolaylıkla bulunmayabilir. Bu durumda köklerin bulunması gerekmeden köklerin işaretinin belirlenmesi yeterli olacaktır. Karmaşık sayı düzleminde köklerin bulunmasına gerek kalmadan kararlılığın incelenmesi ROUTH Kararlılık ölçütü ile yapılabilir. ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ Birbirinden bağımsız olarak 1895 te A.Hurwitz, 1905 te E.J.Routh tarafından benzer olarak geliştirilmiştir. Polinom denklemlerinin pozitif gerçel kısımlı köklerinin olup olmadığını denklem çözmeden belirlemeye yarar. Bir transfer fonksiyonu genel olarak; 99 = ( ) ( ) = ( ). +. +. +.. +. +. + Q(s): Karakteristik Denklem (Özyapısal denklem)
ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ Routh Hurwitz kriterinde özyapısal denklemde a n > 0 olduğu kabul edilir. 1) Gereklilik şartı : Öncelikle T(s) in payının derecesinin paydanın derecesinden küçük olması gerektir. İkinci olarak karakteristik denklemin negatif kısımlı köklere sahip olması gerekir. Yani kararlı olabilmesi için tüm a i katsayılarının (i=0,1,2,3,,n için) eksiksiz, pozitif ve sıfırdan farklı olması gerekir. Başka bir ifadeyle karakteristik denklemin köklerinin sol yarı s düzleminde olması gerekir. Bütün katsayılar pozitif ve sıfırdan farklı olması halinde bile sistemin sağ s düzleminde kökleri olabilir ve sistem kararsız olabilir. NOT: a 0 = 0 ise karakteristik denklem s parantezine alınır ve yukarıda bahsedilen koşulların sağlanıp sağlanmadığına bakılır. Örnek : s 2 +1=0 s 3 +2s 2 +s+2=0 s 2-1=0 S 2-3s+1=0 s 3 +3s+5=0 100
ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ 2) Yeterlilik şartı : Yeter koşul Routh stabilite kriterinden bulunabilir. Öncelikle Routh tablosu oluşturulur. Karakteristik denkleminin katsayıları cinsinden Routh tablosu aşağıdaki gibidir. Q =. +. +. +.. +. +. + 101
ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ Benzer yoldan gidilerek tablonun tüm elemanları hesaplanır. (c 2, d 1, d 2, e 1, e 2, f 1, g 1 ) Karakteristik denklemin pozitif gerçel kısımlı köklerinin sayısı 1. sütundaki işaret değiştirme sayısına eşittir. Sistemin kararlı olabilmesi için 1. sütundaki elemanların hiçbirinin işaret değiştirmemesi gerekir. Bu şartı sağlamayan sistem kararsızdır. Örnek 1: s 3 +3s 2 +2s+1+K=0 şeklinde verilen karakteristik denklem hangi K parametre değerleri için kararlılık koşulunu sağlar. 102
ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ Örnek 2: 3. derece bir sistemin karakteristik denklemi a 3 s 3 +a 2 s 2 +a 1 s+a 0 =0 olarak verilmiştir. Bütün köklerin sol yarı s düzleminde olması için gerek ve yeter şartları bulunuz. 103
ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ ÖZEL DURUMLAR 1. Özel Durum : 1. sütunda yalnızca tek bir elemanın sıfır olması durumu. Bu durumda sıfır yerine küçük bir ε değeri konur ve tablonun diğer elemanları bulunur. ε sıfıra çok yakın ama sıfırdan büyük bir sayıdır. (ε >0) Örnek 3: s 3 +2s 2 +s+2=0 şeklinde verilen karakteristik denklemin Routh tablosu ile kararlılığını inceleyiniz. 104
ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ ÖZEL DURUMLAR Örnek 4: s 5 +2s 4 +2s 3 +4s 2 +11s+10=0 şeklinde verilen karakteristik denklemin Routh tablosu ile kararlılığını inceleyiniz. 105
ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ ÖZEL DURUMLAR 2. Özel Durum : Routh tablosunda 1 satırın tüm elemanların sıfır olma durumu. Bu durumda sistem ya kararsız yada sınırlı kararlı olur. Aşağıdaki durumların biri yada birkaçı var demektir. (Fiziksel örnekle destekle ideal LC devresi AC ile beslenen LC devresini rezoransa gelmesi jw da çift katlı örnek) a) Denklemde genliği eşit, işaretleri zıt kökler vardır. (s 1 =3, s 2 =-3) (s 1 =K, s 2 =-K) b) Denklemde bir yada çok sanal kök çifti vardır. c) Denklemde s düzlemi merkezine göre simetrik karmaşık eşlenik bir çift kök vardır. (s 1 =-1±j, s 2 =1±j) (s 1 =-a±jb, s 2 =a±jb) Bu durumda tüm elemanları sıfır olan satırın üstündeki satırdan yardımcı bir polinom türetilir. [ N(s) ] Bu polinomun türevi alınarak oluşan yeni polinomun = ( ) katsayıları sıfır olan satıra konur. Routh tablosunun kalan kısımları tamamlanır. Yardımcı polinomun kökleri bilinirse diğer köklerde bulunabilir. NOT: Yardımcı denklemin kökleri ana denklemi de sağlar. 106
ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ ÖZEL DURUMLAR Örnek 5: s 6 +3s 5 +3s 4 +6s 3 +3s 2 +3s+1=0 şeklinde verilen karakteristik denklemin Routh tablosu ile kararlılığını inceleyiniz. 107
ROUTH HURWITZ KARARLILIK KRİTERİ ÖZEL DURUMLAR Örnek 6: s 6 +8s 5 +18s 4 +24s 3 +41s 2-32s-60=0 şeklinde verilen karakteristik denklemin Routh tablosu ile kararlılığını inceleyiniz. 108