DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL EQUATIONS WITH ALGEBRAIC COEFFICIENTS BY FINITE DIFFERENCE EQUATIONS) Seval ÇATAL* ÖZET/ABSTRACT Geel olarak, değişke katsayılı homoje diferasiyel deklemler, kedie has özellikler içerdikleride kapalı çözümlerii elde edilebilmeleri içi geel bir yötem yoktur. Bu çalışmada bu tür diferasiyel deklemleri bazı tiplerii kapalı çözümleri fark deklemleri kullaılarak elde edilmiştir. Ayrıca çalışmada bazı cebirsel katsayılı diferasiyel deklemleri sabit katsayılı fark deklemie idirgemesi halide elde edile kapalı çözümü üzeride durulmuş ve sayısal örekler suulmuştur. There is o a geeral method for evaluatig the implicit solutios of homogeeous differetial equatios sice they geerally have idividual properties. I this study, the implicit solutios for some types of these differetial equatios are obtaied by usig fiite differece equatios. The implicit solutio obtaied by reducig some differetial equatios with algebraic coefficiet to fiite differece equatios with costat coefficiet is also cosidered ad umerical examples are preseted. ANAHTAR KELİMELER/KEY WORDS Adi diferasiyel deklemler, Fark deklemi, Cebirsel deklemler. Ordiary differetial equatios, Differece equatio, Algebra tic equatios. * Dokuz Eylül Üiversitesi, Mühedislik Fakültesi, İşaat Müh. Bölümü, Buca, İZMİR
Sayfa No:130 S. ÇATAL 1. GİRİŞ Fark deklem, bir ve daha çok değişkeli bir foksiyou solu farklar ile bağımsız değişkeleri arasıdaki cebirsel bir bağıtıdır. Foksiyoel deklemler olarak da isimledirile fark deklemler, diferasiyel deklemlere bezerlik gösterirler. Fakat iceleme süreci yöüde, diferasiyel deklemlerde daha yeidir. Diferasiyel deklemler 200 yılı aşa bir sürede icelediği halde, fark deklemler 100 yıllık bir iceleme sürecide sistematik hale gelmiştir. Diferasiyel deklemleri vazgeçilmez bilimsel öemide doğada kopukluklar yoktur yalış varsayımıa yer veriliyordu. Bu eski hipoteze göre, fiziksel olayları matematiksel modeli, sürekli değişim oraları arasıdaki deklemler ile ifade ediliyordu. Bu edele diferasiyel deklemler, fizik bilimie özgü matematiksel ifadeler olarak kabul ediliyordu. Fakat 20. yüzyıl başlarıda radyasyodaki quata ile biyolojide görüle geetik olaylarıdaki gelişmeler, tüm doğa olaylarıı, süreklilik terimleri ile ifade edilemeyeceğii göstermiştir. Eski yualılara göre, doğa olaylarıda görüle süreklilik ile kesiklilik arasıdaki zıtlaşma, doğadaki sürekliliği bir aldatmacısıydı. Güümüzde diferasiyel deklemlerde görüle süreksizlik halleri, fark deklemler kullaılarak ortada kaldırılmak istemiştir. Solu fark işlemleri Newto ile yayılmaya başlamış, Poicaré kadar uzamıştır, Boole ile zirveye ulaşmıştır. Daha sora Laplace fark deklem üzeride çalışmıştır. 1825 yılıda öce doğrusal fark deklemler ele alımamıştı. 1885 yılıda Poicaré ile doğrusal fark deklem teorisie girilmiş, Lagrage doğrusal diferasiyel deklemi sabit katsayılı olması durumuda çözümüü elde etmiş, Guichard 1887 de ikici yadaki foksiyou poliom olması durumudaki çözümüü icelemiş, Gelgru asimptotik çözümler üzeride çalışmış, Birkhoff ve Carmichael bu çalışmaları geişletmişlerdir. Liouville ve Sturm ikici mertebede selfadjoit doğrusal diferasiyel operatörüü üzeride çalışmalar yapmış ve kedi isimleri ile aıla Sturm-Liouville fark deklemii çözümüü ifade etmişlerdir. March Artzoui, değişke katsayılı doğrusal fark deklemi asimptotik üstel çözümlerii özelliklerii geliştirmiş; Hooker, Riccati deklemii geliştirmiş; Popeda, ikici mertebede fark deklemi osilasyolu ve osilasyosuz durumlarıdaki teoremleri geliştirmiş ve çözümleri içi bazı atıflarda bulumuştur (Artzoui, 1987; Hooker, 1987; Popeda, 1987a; Popeda, 1987b). Kaczorek, ici mertebede homoje olmaya değişke katsayılı doğrusal fark deklemi implicit formdaki çözümlerii vermiştir (Kaczorek, 1985). Abramov, poliom katsayılı keyfi dereceli fark deklemleri rasyoel çözümlerii vermiştir (Abramov, 1989). Tuzik, değişke katsayılı kovolüsyo tipteki fark deklemleri çözülebilirliğie değimiştir (Tuzik, 1989). 2. FARK DENKLEMİN TANIM VE ÖZELLİKLERİ Diferasiyel deklemler, foksiyoları solu farkları arasıdaki bağıtı olarak taımlaa fark deklem olarak ifade edilebilirler. Bu bağıtıı özellikleri diferasiyel deklemlerde olduğu gibidir. Geel olarak fark deklem aşağıdaki kapalı form ile taımlaır. F[, ), +1),..., +r)] = 0 (1) Eşitlik 1 ile taımlı fark deklemler, katsayıları ciside sabit ve değişke katsayılı olarak ikiye ayrılırlar. Eğer fark deklemde A 0, A 1, A 2,..., A r ler sabitler ise r ici mertebede sabit katsayılı fark deklem açık olarak aşağıdaki formda taımlıdır. A r +r) + A r-1 +r-1) +...+ A 1 +1) + A 0 ) = F() (2)
Fe ve Mühedislik Dergisi Cilt: 6 Sayı:1 Sayfa No:131 Eğer deklemde A 1 (), A 2 (),..., A r () ler i foksiyou ise r ici mertebede değişke katsayılı fark deklem açık olarak aşağıdaki formda taımlıdır. A r () +r) + A r-1 () +r-1) +... + A 1 () +1) + A 0 () ) = F() (3) Eşitlik 2 ve Eşitlik 3 de F() = 0 ise deklem homoje olarak isimledirilir. Yüksek mertebede sabit katsayılı homoje deklemi çözümüde ) 0 olarak taımlı olmak üzere Eşitlik 2 de F() = 0 alıarak elde edile Eşitlikte, r 0 çözüm foksiyou yazıldığıda aşağıdaki karakteristik deklem elde edilir. A r r + A r-1 r-1 + A r-2 r-2 +... + A 1 + A 0 = 0 (4) Eğer 4 olu karakteristik deklemi kökleri: (i) r 1, r 2,..., r m R olmak üzere reel ve farklı ise çözüm foksiyou aşağıdaki gibidir. ) = C 1 (r 1 ) + C 2 (r 2 ) +... + C m (r m ) (5) (ii) r 1 = r 2 =... = r k, r k+1, r k+2,..., r m R şeklie taımlı ise çözüm foksiyou aşağıdaki formdadır. ) = (C 1 + C 2 +... + C k k-1 ) (r k ) + C k+1 (r k+1 ) +... + C m (r m ) (6) (iii) a + ib = ve a ib = olacak şekilde saal olarak taımlı ise çözüm C ve D keyfi sabitler olmak üzere aşağıdaki gibi yazılır. ) = A () + B () = (a 2 + b 2 ) /2 C Cos( + D) (7) Burada; (a 2 + b 2 ) /2 uzuluk; ise periyot olmak üzere ) çözüm foksiyouu periyodik salıımlı olduğuu ifade eder. Sabit katsayılı homoje olmaya doğrusal deklemi çözümü ise diferasiyel deklemlerde olduğu gibi parametreleri değişimi, belirsiz katsayılar, operatör ve seri yötemleri kullaılarak elde edilir. Sabit katsayılı yüksek mertebede doğrusal diferasiyel deklemleri kapalı çözümleri elde edilebilmesie rağme değişke katsayılı yüksek mertebede doğrusal diferasiyel deklemleri çözümü içi geel bir yol yoktur. Burada fe ve mühedislik dallarıda çeşitli uygulamalara sahip ola yüksek mertebede doğrusal diferasiyel deklemleri fark deklemleri ile çözümleri üzeride durulacaktır. Değişke katsayılı yüksek mertebede doğrusal diferasiyel deklemleri çözümleri: (i) mertebe idirgeme yolu ile öce döüşüm ile elde edile homoje deklem çözülür sora da ikici yalı deklem çözülür. (ii) çarpalara ayırma yolu ile deklem birici mertebede ardışık deklemi çözümüe idirgeerek elde edilir. (iii) yerie koyma yötemi ile sabit katsayılı forma idirgeerek çözüm elde edilir. Acak uygu döüşümleri her zama bulmak kolay değildir. Eğer diferasiyel deklem Cauchy-Euler veya Legedre diferasiyel deklem formuda ise sabit katsayılı forma idirgeir ve karakteristik deklemi köklerii çözüm foksiyou kabul ede araa çözüm elde edilir. Bu çalışmada değişke katsayılı deklem Cauchy-Euler veya Legedre diferasiyel deklem formuda değil de cebirsel katsayılı ise çözüm asıl elde edilir sorusua yaıt aramıştır. 2.1. Birici Mertebede Değişke Katsayılı Deklemler Birici mertebede değişke katsayılı doğrusal deklem A() 0 olmak üzere aşağıdaki şekilde taımlaır.
Sayfa No:132 S. ÇATAL A() +1) + B() ) = C() (8) Eşitlik 8 de p() = B() / C(), q() = C() / A() olarak seçilirse aşağıdaki forma idirgeir. +1) + p() ) = q() (9) Burada p() ve q() foksiyoları i tüm itegral değerleri içi taımlıdır. Eşitlik 9 da q() = 0 ise eşitlik birici mertebede homoje fark eşitliği olarak isimledirilir ve çözüm, p(+1) + 1 = P() döüşümü ile A, keyfi sabiti göstermek üzere 0)=A başlagıç koşulu altıda aşağıdaki şekilde buluur. 1 ) A P( k) k 0 Geel birici mertebede homoje olmaya doğrusal eşitlik ) = +1) ) şeklide taımlı ileri fark operatörü ciside aşağıdaki şekilde yazılır. ) + P() ) = Q() (11) Eşitlik 11 i çözümü ise C keyfi sabit olmak üzere aşağıdaki gibi yazılır. 1 1 Q( t) ) (1 P( k)) C (12) t k 0 t 0 1 P( k) k 0 Baze birici mertebede eşitlikler daha karmaşık olabilir. Bu durumda eşitlik çözülürke ) bağımlı değişkei bir başka bağımlı değişke ciside taımlaıp çözüm elde edilir veya özel foksiyolarda ola Gamma foksiyoları ile ilişkileride yararlaılarak çözümleri elde edilir. 2.2. İkici Mertebede Değişke Katsayılı Deklemler P(), Q() ve R() i foksiyoları olarak taımlamak üzere ikici mertebede değişke katsayılı homoje olmaya eşitlik aşağıdaki gibi taımlaır. +2) + P() +1) + Q() ) = R() (13) Eğer Eşitlik 13 te R() = 0 ise ikici mertebede değişke katsayılı homoje eşitlik olarak isimledirilir. Eşitlik 13 ü çözümü A ve B keyfi sabitleri göstermek üzere; u() ve v() homoje eşitlik esas çözüm foksiyolarıı; S() ikici yalı eşitliği çözümü yai özel çözümü olmak üzere aşağıdaki bağıtı ile taımlaır (Levy ve Lesma, 1959). ) = A u() + B v() + S() (14) Eşitlik 14 ü çözümü aşağıdaki gibi elde edilir. (I) Eşitliği homoje kısmıı çözümü biliiyor ise, u() yei değişke Y() deklemi sağlaya foksiyo olmak üzere; )=Y().u() döüşümü ile E basamak operatörü olmak üzere ikici mertebede değişke katsayılı eşitlik birici mertebede değişke katsayılı eşitliğe aşağıdaki formda idirgeir. [E - Q()] [Y() +1) Y(+1) )] = Y(+1) R() (15) Eşitlik 15 i çözümü ise birici mertebede eşitliği çözümüde olduğu gibi buluur. (10)
Fe ve Mühedislik Dergisi Cilt: 6 Sayı:1 Sayfa No:133 (II) Eşitliği homoje kısmıı çözümü bilimiyor ise, b() ve c() i foksiyoları olmak üzere; u()=b().+1)+c().) şeklide taımlı foksiyo Eşitlik 13 ü yerie yazılır ve bazı düzelemeler yapılır ise aşağıdaki gibi ifade edilir. u(+1) + S() u() = b(+1) +2) + [b() S() + c(+1)] +1) + S() c() ) (16) Eşitlik 13 ile Eşitlik 16 ı katsayıları arasıdaki bağıtılar aşağıdaki gibidir. b() S() + c(+1) = b(+1) P() (17) b(+1) Q() = c() S() (18) Eşitlik 18 de c() çekilir, c(+1) türetilir ve Eşitlik 17 de yerie yazılırsa, aşağıdaki eşitlik elde edilir. b(+2) Q(+1) b(+1) S(+1) P() + b() S() S(+1) = 0 (19) Eşitlik 19 da P(), Q() verile foksiyolar; b() ve S() heüz taımlı olmaya foksiyolardır. b() ve S() foksiyolarıda birisii aşağıdaki gibi seçebiliriz: (a) S() = P() / P(+1) şeklide keyfi olarak seçildiğide aşağıdaki eşitlik elde edilir. b(+2) Q(+1) P(+2) b(+1) P(+1) P() + b() P() = 0 (b) S() = Q() seçildiğide Eşitlik 18 de b(+1) = c() olarak elde edile ifade Eşitlik 17 de yerie yazılırsa, aşağıdaki gibi ikici mertebede homoje eşitlik elde edilir. b(+2) + P() b(+1) + Q() b() = 0 (c)s() = -1 olarak seçilirse ve b(+1) Q() = - c() bağıtısı Eşitlik 17 de yerie yazılırsa b() ve b(+1) toplam yada itegral çarpaı ola deklem aşağıdaki gibi elde edilir (Levy ve Lesma, 1959). Q(+1) b(+2) + P() b(+1) + b() = 0 (20) Şimdiye kadar ikici mertebede değişke katsayılı deklemleri bilie çözüm yollarıda bahsedilmiştir. İkici mertebede diferasiyel deklemlerde olduğu gibi fark deklemleri de bazı karakteristik özellikleri vardır ki bu özelliklerde bazılarıa aşağıda yer verilmiştir. 3. BAZI ÖZEL TİP DENKLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ 3.1. İkici Mertebede Deklem I. y ıı + a(x) y ı + b(x) y = 0 şeklideki ikici mertebede değişke katsayılı homoje diferasiyel deklemi: A. +2) + A() ) = 0 Formudaki fark deklemie idirgeirse, bu deklemi çözümü A()0, 0) ve 1) keyfi sabitleri göstermek üzere aşağıdaki şekilde elde edilir. 1)) ( 1) 2 0)1) 2 k0 A(k) B. A() +2) + B() +1) + C() ) = 0
Sayfa No:134 S. ÇATAL Formudaki fark deklemie idirgeirse, burada A()0 ve B()=0 olduğuda aşağıdaki form elde edilir. +2) = -[C() / A()] ) Burada 0) ve 1) keyfi sabitler olmak üzere çözüm aşağıdaki şekilde yazılır. 1 1 C( k) ) 1) ( 1) 0) 1) k 0 A( k) II. A(x) y ıı + 2 A ı (x) y ı + A ıı (x) y = 0 şeklideki ikici mertebede değişke katsayılı homoje diferasiyel deklemi: A. A(x) = ax 2 + bx + c; A ı (x) = 2ax + b; A ıı (x) = 2a olduğuda aşağıdaki seri döüşüm yardımı ile ikici mertebede diferasiyel deklem sabit katsayılı fark deklemie idirgeir (Alku, 1992). x) = 0) + 1) x + 2) x 2 +... + ) x + +1) x +1 + +2) x +3 +... y ı (x) = 1) +... +(+1) +1) x + (+2)+2) x +1 + (+3)+3) x +2 +... (21) y ıı (x) = 22) +... +(+2)(+1) +2) x + (+3)(+2)+3) x +1 +... c +2) + b +1) + a ) = 0 (22) Eşitlik 22 de ) yerie yazılarak aşağıdaki karakteristik deklem elde edilir. c 2 + b + a = 0 0 olmak üzere ikici derecede karakteristik deklemi kökleri 2 2 b b 4ac b b 4ac 1 ve 2 şeklide olup A ve B keyfi sabitler 2c 2c olmak üzere 22 olu fark deklemi çözümü aşağıdaki formda yazılır. ) = A ( 1 ) + B ( 2 ) Diferasiyel deklemi çözümü ise aşağıdaki gibidir. x) A ( ) B( 0 1 2 ) B. A(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d; ı (x) = 3ax 2 + 2bx + c; A ıı (x) = 6ax + 2b; A ııı (x) = 6a x
Fe ve Mühedislik Dergisi Cilt: 6 Sayı:1 Sayfa No:135 olduğuda 21 olu seri döüşüm yardımı ile ikici mertebede diferasiyel deklem sabit katsayılı fark deklemie idirgeir. d +3) + c +2) + b +1) + a ) = 0 (23) Eşitlik 23 ü karakteristik deklemi aşağıdaki gibi yazılır. d 3 + c 2 + b + a = 0 Üçücü derecede deklemi kökleri, Cardao formulüde buluarak çözüm aşağıdaki gibi yazılır. ) = A ( 1 ) + B ( 2 ) + C( 3 ) C. Geel olarak A(x) = P (x) = a x + a -1 x -1 +... + a 1 x + a 0 formuda olduğuda ise fark deklemi aşağıdaki gibi buluur. (+2)(+1) [ a 0 +2) + a 1 +1) + a 2 ) +... + a 2)] = 0 (24) Eşitlik 24 ü karakteristik deklemi ici derecede bir polioma karşı gelir. ici derecede deklemi kökleri istee çözüm foksiyolarıı oluşturur. B ve C şıklarıda diferasiyel deklemi mertebesi kadar sabit olacağıda karakteristik deklemi kökleri birbiri ciside ifade edildiğide diferasiyel deklemi mertebesi kadardır. 3.2. Üçücü Mertebede Deklem Eğer üçücü mertebede diferasiyel deklem aşağıdaki formda ise A(x) y ııı + 3 A ı (x) y ıı + 3A ıı (x) y ı + A ııı (x) y = 0 A. A(x) = ax 2 + bx + c; A ı (x) = 2ax + b; A ıı (x) = 2a olduğuda 21 olu seri döüşüm yardımı ile sabit katsayılı fark deklemie aşağıdaki gibi idirgeir. c +3) + b +2) + a +1) = 0 (25) Bu deklemi karakteristik deklemi (c 2 + b + a) = 0 olup karakteristik deklemi kökleri fark deklemi çözüm foksiyoları olup aşağıdaki gibi yazılır. ) = A (0) + B ( 1 ) + C ( 2 ) Diferasiyel deklemi çözümü ise aşağıdaki şekildedir. x) A ( ) B( 0 1 2 ) B. A(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d; A ı (x) = 3ax 2 + 2bx + c; A ıı (x) = 6ax + 2b; x
Sayfa No:136 S. ÇATAL A ııı (x) = 6a olduğuda 21 olu seri döüşüm yardımı ile üçücü mertebede diferasiyel deklem 23 olu sabit katsayılı fark deklemie idirgeir ve üçücü derecede deklemi kökleri fark deklemi çözüm foksiyolarıdır. C. A(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e; A ı (x) = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d; A ıı (x) = 12ax 2 + 6bx + 2c; A ııı (x) = 24ax + 6b olduğuda 21 olu seri döüşüm yardımı ile üçücü mertebede diferasiyel deklem aşağıdaki sabit katsayılı fark deklemie idirgeir. e +4) + d +3) + c +2) + b +1) + a ) = 0 (26) 26 olu fark deklemi karakteristik deklemi dördücü derecede deklem olarak aşağıdaki gibi yazılır. e 4 + d 3 + c 2 + b + a = 0 Bu karakteristik deklemi çözümü istee foksiyoları verecektir. D. Geel olarak A(x) = P (x) = a x + a -1 x -1 +... + a 1 x + a 0 formuda olduğuda fark deklemi aşağıdaki gibi buluur. (+3)(+2)(+1) [ a 0 +3) + a 1 +2) + a 2 +1) +... + a 3)] = 0 (27) Eşitlik 27 i karakteristik deklemi ici derecede bir polioma karşı gelir. ici derecede deklemi kökleri istee çözüm içi temel foksiyoları oluşturur. C ve D şıklarıda, sabitleri sayısı, diferasiyel deklemi mertebesi kadar olacağıda karakteristik deklemi kökleri birbiri ciside ifade edildiğide diferasiyel deklemi mertebesi ile örtüşür. 3.3. Yüksek Mertebede Deklem Eğer ici mertebede değişke katsayılı diferasiyel deklem aşağıdaki formda olup ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )... ( ) A x y A x y A x y A ( x) y 0 0 1 1 Burada diferasiyel deklemi mertebesi ve A(x) poliom foksiyou derecesi r ise aşağıdaki şu souçlar elde edilir. SONUÇ 1: r < ise ( r) kadar sıfır çarpaı karakteristik deklemi köküde yer alır. SONUÇ 2: r = ise karakteristik deklemi kökleri r taedir. SONUÇ 3: r > ise karakteristik deklemi kökleri poliomu derecesi ola r taedir. 4. SAYISAL UYGULAMA Örek 1. (6x 2 5x + 1) y ıı + 2(12x 5) y ı + 12y = 0 diferasiyel deklemii 0) = 1 ve y ı (0) = 0 başlagıç koşulu altıdaki çözümü aşağıdaki gibidir. Diferasiyel deklem 21 olu döüşümler yardımı ile aşağıdaki fark deklemie idirgeir. (28)
Fe ve Mühedislik Dergisi Cilt: 6 Sayı:1 Sayfa No:137 (+2)(+1)[+2) 5+1) + 6)] = 0 Fark deklemi E basamak operatörü ciside ifadesi ve karakteristik deklemi sırası ile aşağıdaki şekildedir. (E 2 5E + 6) ) = 0 2-5 + 6 = 0 Karakteristik deklemi çözümü aşağıdaki gibidir. ) = A*2 + B*3 Bu çözüm, başlagıç koşulları altıda aşağıdaki formda yazılır. ) = 3 *2 2 *3 Diferasiyel deklemi çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir. x) 0 2 3 3* 2 2*3 x 1 6x 30x... Örek 2. (x 3 +1) y ıı + 2(3x 2 ) y ı + 6x y = 0 diferasiyel deklemii 21 olu döüşümler yardımı ile fark deklemi ifadesi aşağıdaki sabit katsayılı deklem ile ifade edilir. +3) + ) = 0 (E 3 +1) ) = 0 3 + 1 = 0 Yukarıdaki şekilde ifade edile karakteristik deklemi kökleri Cardao formülleride 1 1 1, 2, 3 (1 i 3) olarak buluur. Fark deklemi ve diferasiyel deklemi 2 çözümleri sırası ile aşağıda verilmiştir. 1 i ) A( 1) B 2 3 1 i C 2 ( ) y x A* ( 1) B * Cos C * Si 0 3 3 x 3 A( 1) BCos CSi 3 3 B ( A BCos 1 3 CSi Örek 3. (x 4 x 2 ) y ıı + 2(4x 3 2x) y ı + (12x 2 2) y = 0 diferasiyel deklemi 21 olu bağıtılar yardımı ile aşağıdaki fark deklemie idirgeir. +2) +4) = 0 (E 2 E 4 ) ) = 0 2-4 = 0 Karakteristik deklemi çözümü sırası ile fark deklemi ve diferasiyel deklemi çözümüü verecektir. ) = A + B*(-1) 1 ) x... 3
Sayfa No:138 S. ÇATAL x) 0 5. SONUÇ 2 3 2 3 A B *( 1) x A(1 x x x...) B(1 x x x...) Bu çalışmada ikici mertebede değişke katsayılı diferasiyel deklemleri fark deklemleri ile kapalı çözümleri icelemiştir. Diferasiyel deklemleri katsayıları cebirsel yapıda ve Biom açılımıa sahip ise diferasiyel deklem sabit katsayılı fark deklemie idirgeebilmektedir. Diferasiyel deklemi, kapalı çözümü fark deklemi ile yapılabilmekte ve bu çözümü diferasiyel deklemi ici mertebesie kadar uygulaabilmektedir. Burada uygulaa yötem değişke katsayılı diferasiyel deklemi kapalı çözümüü elde edilebilmesi bakımıda diferasiyel dekleme uygulaa seri yötemide daha kullaışlıdır. Bu yötem ile çözüm tekiği daha basit olup işlem karışıklığıa sebep olmamaktadır. Acak yötemi çözüm algoritması seri yötemide uzudur. KAYNAKLAR Alku S. (1992): A Solutio of Homegeeous Differetial Equatios with Variable Coefficiets by Fiite Differece Equatios, D.E.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü, Yüksek Lisas Tezi, İzmir. Abramov S.A. (1989): Ratioal Solutios of of Liear Differatial ad Differece Equatios with Polyomial Coefficiets, Zh.Vychisl. Mat. i Mat. Fiz. 29, o.11, 1611-1620, 1787. Artzroui M. (1987): Coditios for Asymptotically Expoetial Solutios of Liear Differece Equatios with Variable Coefficiets, J. Math. Aal. Appl. 121, o.1, 160-172. Hooker J.W. (1987): Oscillatory Secod Order Liear Differece Equatios ad Riccati Equatios, Siam J. Math. Aal., 18, o.1, 54-63. Kaczorek T. (1985): Extesio of the Method of Cotiuats for -order Liear Differece Equatios with Variable Coefficiets, Bull.Polish.Acad.Sci.Tech.Sci. 33, o.7-8, 395-400. Levy H., Lessma F. (1959): Fiite Differece Equatios, Sir Isaac Pitma&Sos Ltd., Lodo. Popeda J. (1987a): Oscilatio ad Nooscilatio Theorems for Secod Order Differece Equatios, J.Math.Aal.Appl. 123, o.1, 34-38. Popeda J. (1987b): Oe Expressio for The Solutios of Secod Order Differece Equatios, Proc.Amer.Math.Soc. 100, o.1, 87-93. Tuzik A.I. (1989): Solvability of a Discrete Equatios of Covolutio Type with Variable Coefficiets, Differetsial ye Uraueiya 25, o.8, 1462-1464, 1472.