BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü yoktur. Çünkü (x + x -) karesi olan sayılar yoktur. Şimdi bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız. Tanım a ve b birer reel sayı ve i olmak üzere, a+ib şeklinde ifade edilen z sayısına kompleks(karmaşık) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. C{z z a + ib; a,b IR ve i } dir a + ib karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel (gerçek) kısmı, b ye de karmaşık sayının imajiner(sanal) kısmı denir. Ve sırasıyla Re(z)a, İm(z)b şeklinde gösterilir. Aşağıdaki karmaşık sayıların reel ve sanal kısımlarını belirleyiniz? a) +i Re( ), İm( ) b) i Re( ), İm( ) c) 5 Re( )5, İm( ) d) 4-4i Re( 4 ), İm( 4 ) -4 dir x -4x+ denkleminin çözüm kümesini bulunuz? b 4ac (-4) -4.(). -6 6.(-) 6i X, b µ a ( 4) µ. 6i 4 µ 6i X +i,x -i olup Ç.K{+i,-i} Bulunur.
- İ NİN TAMSAYI OLAN KUVVETLERİ i, i i, i -, i -i, i 4, i 5 i,... Görüldüğü gibi, i nin tamsayı olan kuvvetleri,i,-,-i değerlerinden yalnızca birine eşittir. Buna göre n IN olmak üzere i 4n, i 4n+ i, i 4n+ -, i 4n+ - şeklindedir. Aşağıdakileri hesaplayınız? a) i 48 (i 4 ) b) i 49 (i 4 ).i.i i c) i 5 (i 4 ).İ.(-) - d) i 5 (i 4 ).i.(-i) -i dir. - KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ Sayı ekseni, karmaşık sayıları ifade etmeye uygun değildir. Bu yüzden iki boyutlu Analitik düzlemde, X- ekseninin reel eksen, Y- ekseninin sanal eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme Karmaşık Düzlem denir. a+ib karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktası, vektör uzayındaki görüntüsü ise M(a,b) olmak üzere OM Vektörüdür. Aşağıdaki karmaşık sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz? +i --i -i 4 i 5-4
Tanım Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın orjine olan uzaklığına bu karmaşık sayının modülü (mutlak değeri) denir. Ve şeklinde gösterilir. a+ib ise + a b dir. Aşağıdaki karmaşık sayıların modülünü bulunuz? a) + i + b) + 4i ( ) + 4 5 c) i + ( ) d) 4 + 4 4 4 4 Tanım a+ib karmaşık sayısı için a-ib karmaşık sayısına karmaşık sayısının eşleniği denir,ve ile gösterilir. Açıktır ki bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir, yani dir Aşağıdaki karmaşık sayıların eşleniğini bulup karmaşık düzlemde gösteriniz? + i i i + i i + i i 4 i 4 5 4 5 4
-4 KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER ) a+ib a ve b ) a+ib, c+id olsun a) ac ve bd b) + (a+c) + i(b+d) c) (a-c) + i (b-d) d). (a+ib).(c+id) ac + iad + ibc +i bd ac + i(ad + bc ) bd (ac bd) + i(ad+bc) a + ib ( a + ib)( c id) ac iad + ibc i bd e) c + id ( c + id)( c id) c i d ac + bd + i( bc ad) ac + bd c + d c + d bc ad + c + d f) ( a + ib) ( c + id) ( a c) + i( b d) ( a c) + ( b d) dir. +4i ve -i ise aşağıdaki işlemleri yapınız? a) + (+4i) + (-i)(+) + (4-)i 5+i b) (+4i) (-i) (-) (4-(-))i +5i c). (+4i). (-i) 6- i 8i 4i +5i + 4i ( + 4i)( + i) 6 + i + 8i + 4i + i d) + i i ( i)( + i) i 5 5 5 e) ( + 4i) ( i) ( ) + i(4 ( )) + 5i + 5 6 4
ALIŞTIRMALAR ) Aşağıdaki karmaşık sayıların her birini, a+ib durumunda yazınız? a) i + i - i 7 + i b) i + i 47 + i - 5i 6 c) i 5 + 4i - 5i d) i.( - i ) + i ( + i + i 5 ) ) Aşağıdaki işlemleri yapınız? a) (-i)(+i) b) (-i)(+i)i c) ( 5 i )( 5 + i) i d) e) f).i - + i - + i i i ( + i)( i) ( + i) g) h) i) + i ( + i)( + i) ( i) ) Aşağıdaki eşitlikleri gerçekleyen karmaşık sayılarını bulunuz? a) + i b) ( ) + i c) + i -i d) + i 4) -i ve -i ise Im( + ) kaçtır? 5) x 4 + ax + bx denkleminin köklerinden biri +i ise a+b kaçtır? 6)Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz? a) x + 7 b) x 4x + 5 c) x + (i-)x i d) x + (-i)x i - 5
-5 KARMAŞIK SAYILARDA KUVVET ve KÖK ALMA Bir Karmaşık Sayının Kutupsal (Trigonometrik) Gösterimi a+ib karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsünün M(a,b) noktası olduğunu biliyoruz Yandaki şekil deom vektörü ile x ekseni arasındaki pozitif yönlü açını ölçümü θ olsun OKM dik üçgeninde r a + b b sinθ b r. sinθ r a cosθ a r. cosθ r bağıntıları vardır. a+ib olduğundan, a+ib r.cosθ+i.r.sinθ r(cosθ+isinθ) elde edilir. Tanım a+ib karmaşık sayısının r.(cosθ + isinθ) şeklinde ifade edilmesine karmaşık sayının kutupsal(trigonometrik)gösterimi denir. Bazen bu ifade yerine r.e iθ veya r.cisθ gösterimi de kullanılır. - + i karmaşık sayısını kutupsal şeklinde yazınız? r ( ) + b sin θ r a cosθ r ise θ 5 dir o halde + i (cos5 + i sin5 ) olur. 6
Karmaşık sayılardaki; çarpma,bölme,kuvvet ve kök alma işlemlerini, karmaşık sayıların trigonometrik gösteriminden faydalanarak yapmak daha kolaydır. Şimdi bu işlemlerin nasıl yapıldığını inceleyelim. Teorem r (cosθ + isinθ ) ve r (cosθ +isinθ ) ( ) şeklinde verilen iki karmaşık sayı olsun. a). r.r [cos(θ +θ )+isin(θ +θ )] b) [ θ θ ) + i sin( θ θ )] r r cos( dir. 4( cos4 + isin4 ) ve (cos +isin ) ise aşağıdakileri hesaplayınız? a).? b)? a). 4.[cos(4 + ) + isin(4 + )] 8(cos 7 + isin 7 ) 8( + i(-) ) -8i b) 4 [cos(4 ) + i sin(4 )] (cos ( i) i + i sin ) -6 BİR KARMAŞIK SAYININ N.KUVVETİ (DEMOİVRE TEOREMİ) + n ve r(cosθ + i sinθ ) karmaşık sayısı verilsin Bu durumda n r n (cos nθ+isin nθ) dir. π π (cos + i sin ) ise, sayısını bulunuz? 8 8 π (cos + i sin 8 π ) 8 π π (cos + i sin ) ( i) i dir. 7
+ i ise, sayısını bulunuz? Önce + i sayısını trigonometrik şekilde yazalım. sin + + i (cos 6 + i sin 6 ) olup ( + i) (cos 6 + i sin 6 ) + i ise + ve (cos6 + isin6 ) (cos4 + isin4 ) 9 ( i) ( i) bulunur. θ, cosθ θ 6 bulunur. O halde, -7 BİR KARMAŞIK SAYININ N.KUVVETTEN KÖKLERİ Karmaşık sayılarda kuvvet alma işlemi gibi, kök alma işlemine de ihtiyaç duyulur. DeMoivre teoremi kullanılarak bir karmaşık sayının n. Kuvvetten köklerini aşağıdaki teorem yardımıyla bulabiliriz. Teorem r IR +,n + olmak üzere r(cosθ +isinθ ) karmaşık sayısının tam n tane farklı kökü olup bunlar, n θ + kπ θ + kπ k r[cos ) + i sin( )] ik,,,,...( n ) şeklindedir. n n 7 karmaşık sayısının.kuvvetten köklerini bulunuz? Önce 7 karmaşık sayısını trigonometrik şekilde yazalım. 7 + i r 7 + 7 sin θ 7 7 cos θ 7 θ dir. O halde 77(cos + isin ) olur. karmaşık sayısının.kuvvetten köklerini bulacağımız için, + kπ + kπ 7[cos( ) + i sin( )], k,, k O halde aranan kökler; 8
k ise 7(cos + i sin ( + i) π π k ise 7(cos + i sin ) ( + i) + i 4π 4π k ise 7(cos + i sin ) ( i) i dir. +i denklemini çözünüz? +i karmaşık sayısını trigonometrik şekilde yazalım. r +, sin θ, cosθ olup θ 45 bulunur. O halde +i karmaşık sayısını + i [cos(45 + k.6 ) + i sin(45 + k.6 )], k yazabiliriz. Bu ifadenin. kuvvetten köklerini alırsak, 45 + k.6 45 + k.6 ( k ) ( + i) ( ) [cos( ) + i sin( )], k, o halde 4 45 45 k ise (cos + i sin ) 4 45 45 k ise (cos + i sin ) bulunur. 9
ALIŞTIRMALAR ) Aşağıdaki karmaşık sayıları kutupsal şekilde yazınız? a) +i b) -+i c) i d) i π π π π ) 4(cos + i sin ) ve (cos + i sin ) karmaşık sayıları için aşağıdaki 4 4 işlemleri yapınız? a). b) c) 8 d) ( ). ) Aşağıdaki karmaşık sayılar için istenenleri bulunuz? a) 4(cos5 + isin5 ) ise 4? b) 5(cos55 + isin55 ) ise 6? c) + i ise 6? π π d) (cos + i sin ) ise 8? 4 4 e) - i ise? 4) Aşağıdaki karmaşık sayıların kareköklerini ve küp köklerini bulunuz? π π a) (cos + i sin ) 4 4 π π b) (cos + i sin ) 5) z 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
-8 TEST (KARMAŞIK SAYILAR). ( i ) z 4 + z eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? ( z, z nin eslenigidir. ) A) i B) + i C) i D) + i E) + i ( + i) + ( ). i olmak üzere, işleminin sonucu kaçtır? 4 A) 4 B) C) D) E) 4 i CEVAP : E CEVAP : C. i olmak üzere, 8 + 8 işleminin sonucu kaçtır? A) + 6i B) 6i C) 4 D) 6 E) 8 CEVAP : E 4. a, b birer reel sayı olmak üzere, x + ax + b denkleminin köklerinden biri i olduğuna göre, a b kaçtır? A) B) C) 8 D) 6 E) CEVAP : B π π 5. z cos + i sin karmaşık sayısı veriliyor. Buna göre, z 7 sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) + D)+ i i B) E)+ i 6. 6( cos 8 + i sin 8 ) i C) i CEVAP : A z karmaşık sayısının kareköklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? C) 4 ( + i sin 4 ) B) 4( cos5 + i sin 5 ) A) 4 sin 4 ( cos + i sin ) D) 4( cos 4 + i sin 4 ) E) ( cos6 + i sin6 ) CEVAP : D
7. z z olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) + 4i B) 4i C) 5 + 6i D) 5 + 9i E) 6 + i CEVAP : C 8. z i ve z i noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 6 + A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 9. 9 ( cos 8 + i sin 8 ) z olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) D) E) ( sin + i sin ) ( cos + i cos ) ( cos 5 + i sin 5 ) ( cos 8 + i sin 8 ) ( cos + i sin ) CEVAP : B CEVAP : E. z cos5 + i sin 5 karmaşık sayısının küp köklerinden birisi aşağıdakilerden hangisidir? A) cos E) cos 4 C) cos45 + i sin + i sin 4 + i sin 45 B) cos D) cos55 + i sin + i sin 55 CEVAP : D