.7 Bezer eğrler, B-splne eğrler Bezer eğrler ve B-splne eğrler blgsaar grafklernde ve Blgsaar Destekl Tasarım (CAD) ugulamalarında çok kullanılmaktadır.. B-splne eğrler sadece br grup ver noktası çn tanımlanan fonksonların saısal türev ve ntegrasonu çn kullanılır. Bu k tp eğr gerçek nterpolason splne ları değldr. Zra bu eğrler normal olarak bütün ver noktalarından geçmez. Bu bağlamda bu eğrler en-küçük kareler eğrlerle benzerlk gösterrler. Bununla brlkte Bezer eğrler ve B-splne eğrler ver noktalarının belrledğ polgon dahlnde kalma özellğne sahptrler. Arıca bu splne eğrler güzel br geometrk özellğe sahptrler k, noktalardan br değştrldğnde eğrnn sadece br kısmı değşerek erel br etk görülür. Osa kübk splne eğrlernde data setndek noktalardan sadece br değştğnde lk noktadan son noktaa kadark eğrlern tamamı etklenmektedr. Son olarak, kübk splne eğrlernde ver noktaları eğrlern geçtğ noktalar ken, Bezer ve B-splne eğrlernde lglenlen noktalar eğrnn şekln belrlemek çn kullanılan kontrol noktalarıdır. Kolalık açısından bu eğrlern kübk çeşdle lgleneceğz. Bu ncelemelerde f() fonksonu parametrk olarak fade edlecektr. arametrk bçm ve arasındak lşknn başka k denklemle F (u) ve F (u) şeklnde br u paramatresne bağlı olarak fades anlamına gelmektedr. Örneğn br dare çembernn denklem θ açısal parametres cnsnden r cos θ r sn θ şeklnde fade edleblr. Bu parametrk fadelerde u büüklüğünün değer le arasında değşecektr. Bezer eğrler Bu eğrler Renault frmasında çalışan Fransız mühends. Bezer tarafından otomobl kaporta üzelernn az saıda parametrele değştrlerek kontrol edleblen eğrlerle tanımlanablmes çn 9 da gelştrlmştr. Br ser kontrol noktasının (Bezer noktaları) (, ) (, ),,, n,..., olarak verldğn varsaalım. 4 5 Bu noktalar blgsaar ekranına mleç vasıtasıla erleştrleblr ve sürüklenerek erler değştrleblr. Noktaların soldan sağa sıralanma zorunluluğu oktur. Her br noktanın koordnatını şeklnde k elemanlı br vektör le gösterelm.bu koordnatlar parametrk bçmde de ( u ) ( u ) ( u ), u şeklnde fade edleblr. N nc dereceden br Bezer polnomu N nokta le belrlenr ve
Bölüm - Eğr udurma ve nterpolason ( u ) N şeklnde verlr. Burada n ( u ) N u n N!! ( N )! dr. (u) aslında br Bernsten polnomudur. Bernsten 9 de bu polnomların ağırlıklı br toplamının N çn [,] aralığında ünform olarak br sürekl fonksona akınsaacağını göstermştr. N çn, ve noktalarıla tanımlanan (u) kuadratk br fadedr. ( u) ( )( u) ( ) ( u ) u ( ) u NOT: N çn,, ve,, dr. Bu durumda Bezer eğrsnn parametrk denklemler şeklndedr. Bu bağıntılardan ( u ) ( u ) ( u) u u ( u) ( u) ( u) u u u çn ( ) ( ),, u çn ( ) ( ) olduğu görülmektedr. Buna göre u parametres le arasında değşrken lk nokta ( ) le üçüncü nokta ( ) arasında br eğr çzlmektedr. Üç noktanın br doğru üzernde olması hal harç knc nokta (aradak noktası) bu eğrnn üzernde er almaacaktır. Gerçekte knc dereceden br Bezer eğrsnn üzerndek noktaların koordnatları, bu eğr tanımlamak çn kullanılan üç noktanın koordnatlarının ağırlıklı br ortalamasıdır. Br başka bakış açısıla Bezer denklemlern, değşken u olan üç polnomun ağırlıklı toplamı olarak düşünmek mümkündür. Burada ağırlık faktörlern üç noktanın koordnatları belrlemektedr. N çn kübk Bezer polnomları ( u ) ( u ) ( u) u ( u ) u u ( u) ( u) ( u) u ( u ) u u şeklndedr. Yne ()() ve ()() olduğu görülmektedr ve (, ) ara noktaları eğr üzernde er almaacaktır. Şekl.7 dek örnek eğrlerde görüldüğü gb ara noktaların erlernn değştrlmes eğr değştrmektedr. Bu şekldek lk üç eğr (a-c) dört nokta kullanılarak elde edlmştr. Şekl.7d ve e de kübk Bezer eğrlernn nasıl dört noktadan ötee devam ettrlebleceğn göstermektedr. Bunun çn ed kontrol noktası alınmakta olup lk dört nokta le br eğr oluşturulurken dördüncü nokta ortak olmak üzere son dört nokta le knc br eğr elde edlmektedr. Şekl.7d dek eğrlerde noktasında br sürekszlk vardır. Şekl.7e de se bu M.A. Yükselen, HM54 Ugulamalı Saısal Yöntemler Ders Notları
Bölüm - Eğr udurma ve nterpolason sürekszlk ortadan kalkmıştır. Bunun çn,, ve 4 noktalarının anı doğru üzernde er alması eterldr. (a) (b) (c) (d) 4 5 (e) 4 5 Şekl.7 Dört ve ed nokta le tanımlanmış Bezer eğrler Bezer kübklernn özellkler özetlenrse: - (), () - u da kübk fonksonların türevler d / du ( ), d / du ( ) olup eğrnn türev de d d şeklnde elde edleblr. Bu anı zamanda ve noktaları arasındak doğrunun eğmdr. Anı şeklde kübk eğrnn noktasındak eğmnn ve noktaları arasındak doğru parçasının eğmne eşt olduğu gösterleblr. Bu teğetler Şekl.7 de kesk çzglerle gösterlmştr. - Kübk Bezer eğrs 4 noktanın oluşturduğu çbüke bölgenn çersnde er almaktadır. Çoğu zaman Bezer eğrlernn matrs bçmnde gösterlmes ugun olur. Bezer kübğ çn bu gösterlm aşağıdak gbdr: T ( u ) [ u, u, u, ] u M p M.A. Yükselen, HM54 Ugulamalı Saısal Yöntemler Ders Notları
Bölüm - Eğr udurma ve nterpolason B-Splan eğrler B-splan eğrler de Bezer eğrler gb ver noktalarından geçmeen eğrlerdr. (Bu açıdan enküçük kareler eğrlerne benzerler). Herhang br derecede olablrler. Ancak burada kübk eğrlerle lglenlecektr. Kübk B-splan eğrler k nokta arasından geçrlen bast kübk eğrlere benzerdr. Ancak bu eğrler ver noktalarından geçmek zorunda değldr. N adet nokta (, ),,,,...,N şeklnde verlmş olsun. Herhang br - (,,,...,N) aralığındak kübk B-splan eğrs parametrk olarak ( u) B ( u ) (.9) bk k k şeklndedr. Buradak b k katsaıları dört noktanın etks çn ağırlık faktörler olup ( u ) u u u u b, b u, b, b u şeklnde tanımlanmaktadır. B erne sırasıla ve, erne de ve konularak eğr üzerndek noktaların koordnatları [ u ] ( u ) ( u ) ( u u 4) ( u u u ) [ u ] ( u) ( u) ( u u 4) ( u u u ) şeklnde elde edlecektr. Noktaların ağırlık faktörler u parametres le değşmekte olup u çn sırasıla /, /, /, ve u çn de,/, /, / dır. Şekl.8a-b de dört nokta le belrlenmş br B-splan eğrsnn noktalardan sadece brnn er değştrmes halndek durumu göstermektedr. noktası önce ukarı ve daha sonra sola doğru çeklnce, bekleneceğ gb eğr de bunu zleme eğlmnde olup noktasının ötesne geçmştr. Eğrnn başladığı ve bttğ bu k noktaa da çok akın olmadığı lg çekcdr. Bu aralıktak eğrnn tanımlanması çn,, ve gb dört nokta kullanılmıştır. (a) (b) Şekl.8 Br B-splne eğrn tanımlamak çn dört noktaa htaç vardır. Daha fazla saıdak noktadan B- splan eğrler geçrmek çn kübk splan ugulamalarındakne benzer br öntem kullanılablr. Bu durumda eğrnn sürekllğ çn koşullar alelade splanlardakne benzer şeklde brnc ve knc türevlernn sürekllğ koşullarıdır. Ağırlık faktörler çn ukarıda verlen bağıntılar bu koşullar sağlanacak şeklde çıkartılmıştır. Şekl.9 da Br B-splan eğrnn ardarda üç parçası görülmektedr. M.A. Yükselen, HM54 Ugulamalı Saısal Yöntemler Ders Notları
Bölüm - Eğr udurma ve nterpolason 4 4 - Şekl.9 B-splan eğrlernn özellkler şu şeklde özetleneblr:. B-splan eğrler kübk splanlarda olduğu gb parçalardan oluşur ve brleşme erlernde aşağıdak üç koşul sağlanır a) B () B () 4 b) B () B () B B c) () ( ). Her br B-splne eğrs tanımlandıkları dört noktanın oluşturduğu çbüke bölgenn çnde kalır. M.A. Yükselen, HM54 Ugulamalı Saısal Yöntemler Ders Notları