Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahip bir bağıntısı varsa X kümesine kısmi sıralı veya kısmi sıralanmış küme denir. (K1) her x X için x x dir. (Yansıma özelliği) (K2) herhangi x,y X için x y ve y x ise x=y dir. (Ters simetri özelliği) (K3) herhangi x,y,z X için x y ve y z ise x z dir. (Geçişme özelliği) X kısmi sıralanmış bir küme ise kısmi sıralama bağıntısını belirtmek için X kısmi sıralanmış bir küme yerine bazen (X, ) kısmi sıralanmış küme de denir. Örnek 1. Bir Z kümesinin bütün altkümeler ailesi P(Z) kümesini gözönüne alalım. P(Z) kümesi,, kapsama ile kısmi sıralı bir kümedir. Gercekten; U, P(Z) in herhangi bir elemanı ise U U dir, dolayısiyla (K1) sağlanır. P(Z) in U V ve V U özelliklerini sağlayan herhangi iki elemanı U ve V ise U=V dir, dolayısiyla (K2) sağlanır. P(Z) in U V ve V W özelliklerini sağlayan herhangi üç elemanı U, V ve W ise U W dir, dolayısiyla (K3) sağlanır. Bu örnekte P(Z) in verilen iki U ve V elemanı için ne U V ne de V U durumu karşımıza çıkabilir. Örnek olarak; Z={1,2,3,4,5} alırsak {1,2} ve {3,4} P(Z) in elemanıdır ancak ne {1,2} kümesi, {3,4} kümesini kapsar, ne de {3,4} kümesi, {1,2} kümesini kapsar. Diger bir deyisle, P(X) in bağıntısına göre karşılaştırılamayan elemanları bulunmaktadir. Eğer kısmi sıralı bir kümenin her eleman çifti, üzerinde tanımlanan bağıntıya göre, karşılastırılabiliyorsa bu kümeye tam sıralı küme denir. Örnegin, R, reel sayılar kümesi "den küçük eşit" yani bağıntısı ile tam sıralı bir kümedir. Bundan sonra, karışıklık olmadığı sürece, bir X kümesi üzerindeki herhangi bir sıralama bağıntısını da R deki gibi sembolü ile gösterecegiz, ve hangi kısmi sıralama bağıntısı ile ilgileniyorsak onu kastetmiş olacagiz. 25
X, ile kısmi sıralı bir küme ve A X olsun. A nin herhangi a 1 ve a 2 elemanı için a 1 a 2 olmasıni, a 1 ile a 2 nin X in elemanları olarak, a 1 a 2 olması olarak tanımlamak suretiyle, A yi da kısmi sıralı küme olarak gözönüne alabiliriz. X, ile kısmi sıralı bir küme ve A X olsun. Her a A için a m 1 oluyorsa, X in m 1 elemanına A kümesinin bir üst sınırı denir. Benzer şekilde, Her a A için m 2 a oluyorsa, X in m 2 elemanına A kümesinin bir alt sınırı denir. Kısmi sıralı bir kümenin her altkümesinin bir üst sınıra veya bir alt sınıra sahip olması gerekmez. Bunu aşağıdaki örnekte göruyoruz. Örnek 2. X=]0,1[ yi R nin alışılmıs "küçük eşittir" bağıntısı ile gözönüne alalım. A=X yazalım. Bu takdirde A kümesinin X de üst sınırı da yoktur, alt sınırı da yoktur. Gercekten; kabul edelim ki x 1, A nin X de bir üst sınırı olsun. Bu durumda, 0<x 1 <1 dir, buna göre, 0 < x 1 =(x 1 +1)/2 <1 dir. Buradan x1 A ve x 1 <x2 dir. O halde x 1, A nin üst sınırı olamaz. A nin X de alt sınırının olmadığı da benzer şekilde gösterilebilir. A nin her m üst sınırı için u m oluyorsa ve u, A nin bir üst sınırı ise u ye A kümesinin en küçük üst sınırı denir ve bu sup A = u yazılarak gösterilir. A nin her k alt sınırı için k α oluyorsa ve α, A nin bir alt sınırı ise α ya A kümesinin en buyuk alt sınırı denir ve bu inf A = α yazılarak gösterilir. Örnek 3. X={a,b,c,d,e} olsun. Aşağıda şekilde görüldüğü gibi X üzerinde su şekilde bir kısmi sıralama bağıntısı tanımlayalım: x y x=y ya da x den y ye daima isaret edilen yönde hareket edilebilir. A={a,b,c,d} X olsun. Bu takdirde sup A =a ve inf A =d dir. B={a,c,d,e} alırsak, sup B =a ve B nin alt sınırı yoktur. Kısmi sıralı bir X kümesinin üstten snırlı her alt kümesinin en küçük üst sınırı bulunmak zorunda degildir. Aşağıdaki örnekte bunu görmekteyiz. Örnek 4. Q rasyonel sayılar kümesi bağıntısı ile kısmi sıralanmış olsun. A = { x : x Q, x 0 ve x 2 <2 } 26
kümesini gözönüne alalım. A kümesinin Q da en küçük üst sınırı yoktur. Ancak A nin R de en küçük üst sınırının 2 olduğunu biliyoruz. R reel sayılar kümesinde üstten sınırlı her alt kümenin en küçük üst sınıra sahip olduğu bilinmektedir. Bunun ise R reel sayılar kümesinde alttan sınırlı her alt kümenin en buyuk alt sınıra sahip olması özelliğine denk olduğu bilinmektedir. Bu özelliğin R de her Cauchy dizisinin yakinsak olması ve her mutlak yakinsak serinin yakinsak olması özelliklerinden herbirine denk olduğu gösterilebilir. Bundan dolayi R reel sayılar kümesinde üstten snırlı her alt kümenin en küçük üst sınıra sahip olması özelliğine R nin tamlik özelliği de denir. X kısmi sıralı bir küme ve A X olsun. m 1 A olmak üzere her a A\{m 1 } için m 1 a olmuyorsa m 1 elemanına A da bir maksimal elemandir denir. m 2 A olmak üzere her a A\{m 2 } için a m 2 olmuyorsa m 2 elemanına A da bir miniimal elemandir denir. Maksimal eleman birden fazla ve minimal eleman birden fazla olabilir. X kısmi sıralanmış bir küme A X ve m 1 A olsun. Eger her x A için x m 1 özelliği saglaniyorsa m 1 elemanına A nin en buyuk elemanı veya maksimum elemanı denir ve max A =m 1 ile gösterilir. X kısmi sıralanmış bir küme A X ve m 2 A olsun. Eger her x A için m 2 x oluyorsa m 2 ye A nin en küçük elemanı veya minimum elemanı denir ve min A = m 2 ile gösterilir. Bir kümenin maksimum elemanı varsa bir tek olduğu ve minimum elemanı varsa bir tek olduğu kolayca gorulebilmektedir; gercekten, bir m3 A elemanı da A kümesinin m 1 den baska bir maksimum elemanı olsaydi, maksimum eleman tanımından m 1 maksimum eleman olduğundan m4 m 1 ve m5 maksimum eleman olduğu kabulunden m 1 m6 olurdu ki buradan da kısmi sıralama bağıntısının ikinci özelliğinden, yani ters simetri özelliğinden m7 =m 1 bulunurdu. Benzer bir ispat minimum için de yapilabilir. Her maksimum eleman bir maksimal eleman ve her minimum eleman bir minimal elemandir ancak karsiti her zaman dogru degildir. R yi alisilmis kısmi sıralama bağıntısı ile gözönüne alalım ve A={1,2,5} olsun. Bu takdirde, 5, A da bir maksimal elemandir ve 1, A da bir minimal elemandir. Hatta max A=5 ve min A=1 dir. Örnek 5. R reel sayılar kümesinin P(R) kuvvet kümesini kapsama bağıntısı ile kısmi sıralanmış olarak gözönüne alalım ve A={ {1}, {2}, {5} } olsun. A nin herbir elemanı hem maksimal eleman, hem de minimal elemandir. P(R) de ise R maksimal eleman ve minimal elemandir. Örnek 6. X={a,b,c,d,e} olsun. Aşağıda, daha once de baska bir örnekde 27
verilmis olan, şekilde görüldüğü gibi X üzerinde şu şekilde bir kısmi sıralama bağıntısı tanımlayalım. x y x=y ya da x den y ye daima isaret edilen yonde hareket edilebilir. 8 A={a,b,d,e} olsun. a, A nin bir maksimal elemanı, d ile e de A nin minimal elemanlarıdir. B={a,c,d,e} kümesini gözönüne alalım. a, B nin maksimum elemanıdır dolayısiyla maksimal elemanıdır, d ile e B nin minimal elemanlarıdir, ancak B nin minimum elemanı yoktur. Örnek 7. X={1,2,5,6} olsun. Aşağıda şekilde görüldüğü gibi X üzerinde şu şekilde bir kısmi sıralama bağıntısı tanımlayalım. x y x=y ya da x den y ye daima isaret edilen yonde hareket edilebilir. 9 A={1,2,5,6} olsun. 1, 2 A nin maksimal elemanlarıdir. Maksimum elemanı yoktur. 5 ve 6 A nin minimal elemanlarıdir. Minimum eleman yoktur. Bir kümenin en küçük üst sınırı kümeye aitse maksimum eleman, en buyuk alt sınırı kümeye aitse minimum eleman olduğu gorulmektedir. Örnek 8. X bos olmayan herhangi bir küme olmak üzere (P(X), ) kısmi sıralanmış kümesini gözönüne alalım. X in alt kümelerinin bir ailesi A={A i : i I} olsun. Bu takdirde, sup A = Ai, inf A = Ai i I I i 10 olur. Asikar olarak sup P(X)=X ve ve inf P(X) = dir. Ayrica max P(X)=X ve min P(X)= dir. Eger kısmi sıralı bir X kümesinin bir A alt kümesinin her eleman çifti X üzerindeki kısmi sıralama bağıntısı tarafindan dogurulan bağıntıya göre karşılastırılabiliyorsa, A ya X de bir zincir denir. Diger bir ifadeyle kısmi sıralı bir X kümesinin bir A alt kümesinin her x, y elemanları için ya x y ya da y x oluyorsa A kümesine X de bir zincir adi verilir. Buna göre, kısmi sıralı bir kümenin tam sıralı her bir alt kümesine bir zincir denmektedir. Eger X tam sıralı bir küme ise X kendi içinde bir zincir olacaktir. Ornegin, R reel sayılar kümesini "küçük veya eşit" bağıntısı ile kısmi sıralanmış bir küme olarak gözönüne alabilecegimiz gibi, tam sıralı bir küme olarak da dusunebilecegimizi biliyoruz. Bu durumda R nin her A alt kümesinin R de bir zincir olduğunu göruyoruz. Örnek 9. X = { a, b, c, d, e} olmak üzere { {a}, {a,b}, {a,b,c}, {a,b,c,d}, X } 28
ailesi P(X) de, kapsama bağıntısına göre bir zincirdir. Örnek 10. X = { a, b, c, d, e} kümesini üzerinde Örnek 6 daki kısmi sıralama bağıntısı ile gözönüne alalım. Bu takdirde {a,b,d} kümesi X de bir zincirdir, ancak B={a,b,c} kümesi X de bir zincir olamaz; çünkü, ne b c ne de c b dir. Örnek 11. N dogal sayılar kümesinde bir bağıntıyı şöyle tanımlayalım: eger n, m sayisini tam olarak boluyorsa n, bağıntısı ile m e bagli olsun. N kümesinin kısmi sıralı bir küme olduğu gösterilebilir. Ayrica her n sabit dogal sayisi için A n = {1, n, n 2, n 3,...,n k,...} kümesinin N de bir zincir olduğu gösterilebilir. Mesela, n=2 için A 2 = {1, 2, 4, 8,...,2 k,...} kümesi N de bir zincirdir. Simdi kümeler teorisinin temel aksiyomlarından biri olan seçme aksiyomuna eşdeğer olan bir lemmayı aşağıda veriyoruz. Bunun ispatını konumuz dışına taşması nedeniyle vermiyoruz. Lemma 1.4.1 (Zorn Lemması). X kısmi sıralanmış bir küme ve X deki her zincir bir üst sınıra sahip olsun. Bu takdirde X bir maksimal elemana sahiptir. IR, reel sayılar kümesindeki eşitlik, = bağıntısına benzer olarak herhangi bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahip olarak tanımlanan bağıntısına X üzerinde bir denklik bağıntısı denir: (D1) her x X için x x dir, (Yansıma özelliği) (D2) her x, y X için x y ise y x dir, (Simetri özelliği) (D3) her x, y, z X için x y ve y z ise x z dir. (Geçişme özelliği) Örnegin, bütün düzlemsel üçgenlerin kümesi üzerinde benzerlik ve ayni alana sahip olmak birer denklik bağıntısıdir. Baska bir örnek olarak, Z tamsayılar kümesi üzerinde n-m farkinin 3 ile tam olarak bolunebilir olmasıni, yani n m(mod3) olmasıni n m ile gösterirsek,, Z üzerinde bir denklik bağıntısı olur. X bir küme ve X üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. x X olmak üzere X in denklik bağıntısına göre x e bagli olan bütün elemanlarınin kümesine x in denklik sınıfı denir ve bu [x] ile gösterilir. Buna göre, [x] = { y X : x y } dir. Örneğin, bütün düzlemsel üçgenlerin kümesi üzerinde benzerlik denklik bağıntısına göre bir düzlemsel üçgenin denklik sınıfı o üçgene benzer olan bütün üçgenlerin kümesi olacaktir. Z tamsayılar kümesi üzerinde n-m 29
farkinin 3 ile tam olarak bölünebilir olması, yani n m(mod3) olması denklik bağıntısı ni gözönüne alırsak, [1] = {..., -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7,...} dir. Şimdi denklik bağıntısı ile ilgili bir teorem veriyoruz. Teorem 1.4.2. X boş olmayan herhangi bir küme ve X üzerinde herhangi bir denklik bağıntısı olsun. Bu takdirde, X in denklik sınıfları kümesi { [x] : x X }, X in bir parcalanisini olüsturur. Karsit olarak, X in verilen herhangi bir P parcalanisi için bu parcalanisi doğuracak şekilde X üzerinde bir denklik bağıntısı vardir. İspat. X herhangi bos olmayan bir küme ve bu küme üzerinde herhangi bir denklik bağıntısı olsun. { [x] : x X } ailesinin X in bir parcalanışı olduğunu göstermek için X= x X [x] olduğunu ve X in her bir elemanınin { [x] : x X } ailesinin yalnız bir tek elemanına ait olduğunu göstermeliyiz. Her x X için [x] X olduğu yansıma özelliğinden gorulmektedir. Dolayısiyle X x [x] X dir. Her x X için x x olduğundan, x [x] olacağından, X [x] dir. Boylece x X [x] X ve x X X x X bulunur. Simdi de X in her bir elemanınin [x] olur ki X= x X {[x] : x X } ailesinin yalnız bir tek elemanına ait olduğunu gösterecegiz. Kabul edelim ki bir z X elemanı hem [x] [x] ye hem de [y] ye ait olsun. Bu takdirde, z [x] ve z [y] dir, buradan z x ve z y yazabiliriz. Simetri özelliğinden dolayi x z ve z y dir. Geçişme özelliğinden, x y bulunur. Bu ise y [x] demektir. Oysa bu [y]=[x] olmasıni gerektirir. Bunu göstermek için [y] [x] ve [x] [y] olduğunu göstermeliyiz. [y] [x] olduğunu göstermek için herhangi bir t [y] alalım. Bu takdirde, t y dir. y [x] olduğundan, y x dir. Dolayısiyla geçişme özelliğinden, t x bulunur. Bu ise t [x] olması demektir. Yani [y] [x] dir. Benzer şekilde, [x] [y] olduğu da gösterilebilir. Dolayısiyla [y]=[x] elde edilmis olur. Simdi de karsit olarak, X in herhangi bir P parcalanisi verilsin. X in herhangi iki x, y elemanınin P nin ayni bir elemanında bulunmasini x y ile göstererek X üzerinde bir bağıntısını tanımlayalım. Bu şekilde tanımladığımız bağıntı X üzerinde bir denklik bağıntısı olacaktir. Bu denklik bağıntısının doguracagi 30
parcalanis ile P parcalanışının ayni olacagi gorulmektedir. Örnek 12. f : X Y olsun. X deki herhangi iki x 1, x 2 elemanları için x 1 x 2 olmasıni f(x 1 )=f(x 2 ) olması seklinde tanımlarsak, X üzerinde bir denklik bağıntısı olur. X in denklik sınıfları kümesini [X] ile gösterelim. Simdi f 1 ile bir f fonksiyonunu herhangi bir x X için f 1 ([x])=f(x) olarak tanımlamak suretiyle esleyelim. f birebir olmadığı halde f 1 birebirdir. İlk once x 1 x 2 olmasıni f(x 1 )=f(x 2 ) olması seklinde tanımladığımızda nin bir denklik bağıntısı olduğunu gösterelim. Her x X için f(x)=f(x) olduğu için x x olur ki yansıma özelliğine sahiptir. x 1 x 2 ise f(x 1 )=f(x 2 ) dolayısiyla f(x 2 )=f(x 1 ) ve dolayısiyla x 2 x 1 olur ki ters simetri özelliği saglanmis olur. Simdi x 1 x 2 x 2 x 3 olsun. Bu takdirde, f(x 1 )=f(x 2 ) ve f(x 2 )=f(x 3 ) olur ki buradan f(x 1 )=f(x 3 ) elde edilir bu ise x 1 x 3 demektir. O halde geçişme özelliği de sağlanır. Boylece nin bir denklik bağıntısı olduğu elde edilmis olur. Simdi de f nin denklik sınıfının temsilcilerinden bagimsiz olduğunu gösterelim. Yani z, [x] denklik sınıfının herhangi bir elemanı ise f([z])=f([x]) olduğunu göstermeliyiz. z [x] ise x z dir, dolayısiyla f(x)=f(z) dir. f nin tanımından, f ([x])=f ([z]) dir. O halde f 1 fonksiyonu denklik sınıfının temsilcilerinden bagimsizdir. f 1 nin birebir olduğunu göstermek için, f 1 ([x])=f 1 ([x 2 ]) alalım. Bu takdirde, f 1 nin tanımından f(x 1 )=f(x 2 ) dir. Buradan x 1 x 2 ve dolayısiyla [x 1 ] [x 2 ] bulunur. O halde f 1 birebirdir. Burada f nin birebir olma zorunlulugunun olmadığını görmekteyiz. 31
1.4. ALIŞTIRMALAR (KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI) (1) RxR üzerinde (x 1,x 2 ), (y 1,y 2 ) elemanları için x 1 =y 1 oluyorsa (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) diyelim. nin bir denklik bağıntısı olduğunu ispatlayiniz. (0,0) ve (0,1) in denklik sınıflarını bulunuz. (2) X boş olmayan herhangi bir küme ve A,B X olsun. A dan B uzerine birebir bir fonksiyon bulunabiliyorsa A B diyelim. nin P(X) kuvvet kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olduğunu ispat ediniz. x X olmak üzere {x} tek nokta kümesinin denklik sınıfını bulunuz. x,y X olmak üzere {x,y} nin denklik sınıfını bulunuz. (3) NxN üzerinde (i,j) (m,n) in=jm ile bir bağıntısı tanımlayalım. gösteriniz. bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu (4) NxN üzerinde (i,j) (m,n) i+n=j+m ile bir bağıntısı tanımlayalım. bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz. (2,5) nin denklik sınıfını bulunuz. (5) RxR üzerinde (x,y) (w,z) x=w ile bir bağıntısı tanımlayalım. bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz. (1,2) nin denklik sınıfını bulunuz. (6) a,b sabit reel sayılar olsun. RxR üzerinde (x,y) (w,z) x-w=ka, y-z=kb olacak şekilde bir k tamsayisi vardir. ile bir bağıntısı tanımlayalım. bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz. Bazi denklik sınıflarının grafiğini çiziniz. (7) X kısmi sıralı bir küme olsun. Bu takdirde, X in tam sıralı baska hic bir alt kümesinin gercel alt kümesi olmayan tam sıralı bir alt kümesi vardir. (Yol Gösterme: X in bütün tam sıralı alt kümelerinin sınıfını A ile gösteriniz ve bunu küme kapsama bağıntısı ile kısmi sıralanmış küme olarak gözönüne aliniz. A nin tam sıralı bir alt sınıfı olarak B = 32
{B i :i I} aliniz ve A= Bi 11 yaziniz. A i I nin tam sıralı olduğunu kullanip, Zorn lemmasindan yararlaniniz). (8) Boş olmayan herhangi bir X kümesi ve bu kümenin herhangi bir P parcalanisi verilsin. X in herhangi iki x, y elemanınin P nin ayni bir elemanında bulunmasini x y ile gösterelim. Bu şekilde tanımladığımız bağıntısının X üzerinde bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz. 33