MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
4.KONU Latisler, Boole Cebri
1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri 6. Boole Cebiri 7. Problemler
1. Kısmi sıralı kümeler 1.Tanım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı aşağıdaki özelliklerine sahip olsun: a. a A ara (Yansıma) b. a,b A arb ve bra a = b (Ters Simetrik) c. a,b,c A arb ve brc arc (Geçişlilik) Bu özelliği taşıyan kümelere kısmi sıralı kümeler (Partially Ordered Set, POSET) denir. Sıralama için sembolü kullanılır. a b : a, b nin önünde gelir anlamındadır. Kısmi sıralı küme A kümeyi (A, ) biçimde gösteribileris. Örnekler: a) Kümelerde alt küme( ) bağıntısı, b)doğal sayılarda bölünebilirlik; a/b ak=b, a,k,b N ; 2/5 c)topyekünsıra: (Doğrusal sıra) : Kümenin her hangi iki elemanı arasında sıralama yapılabilirse topyekün sıra bağıntısı vardır. (Doğal sayılarda büyüklük, küçüklük bağıntısı )
d) Sözlük sırası: S ve T topyekün sıralı kümeler ise S T (kartezyen çarpım) kümesinde sözlük sırası: a, a S; b, b T olmak üzere; (a,b) < (a,b ) a < a yada a=a, b<b dür. 1. e) A= (1,2,3,4,6,8,12) kümesinde bölünebilirlik bağıntısıyla kısmi bir sıralama yapılırsa, bağıntı matrisi aşağıdaki şekilde olacaktır
2. Hasse Diyagramı 1.Tanım. Halef-Selef (Predecessor-Successor, ilk-öndegelen ilksonra-gelen) bağıntısı: b, a nın halefi ise a<c<b olamaz. Yani a ile b arasında sırlanabilen bir c elemanı bulmak mümkün değildir, yani a << b dir. Bu durumda kısmi sıralı küme için yeni bir graf tanımı (hasse diyagramı) yapılarak çizilir. Hasse Diyagramı: a<<b şeklindeki çiftleri birleştiren ve en önde gelenin en alta konulduğu graftır (çizge).
2. 1.Örnek. A={1,2,3,4,5,6} kümesini ve bölünebilme bağıntısını göz önüne alalım. A kümesinin bölünebilme bağıntısına göre sıralanmasının Hasse diyagramını çiziniz. 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 2 4, 2 6 3 6 2.Örnek. A={a, b, c} kümesinin altkümelerinden oluşan kümenin P(A) içerme bağıntısına göre sıralanmasının hasse diyagramını çiziniz. {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b,c}, {a} {a, b}, {a} {a, c}, {a} {a, b, c}, {b} {a, b}, {b} {b, c}, {b} {a, b, c}, {c} {a, c}, {c} {b, c}, {c} {a, b, c}, {a, b} {a, b, c}, {a, c} {a, b, c}, {b, c} {a, b, c},
3. Infimum, Supremum S bir POSET, A S alt POSET 1. Tanım: a A m a olacak şeklide m mevcut ise m A nın bir alt sınırıdır. 2. Tanım: a A a n olacak şeklide n mevcut ise n A nın bir üst sınırıdır. 3. Tanım: Eğer A nın bir üst sınırı, A nın diğer bütün üst sınırlarından önde geliyorsa buna A nın supremumu denir. sup(a) ile gösterilir. 4. Tanım: Eğer A nın bir alt sınırı, A nın diğer bütün alt sınırlarını ilk izleyen ise buna A nın infimumu denir. inf(a) ile gösterilir.
4. Latis (Kafes Lattice) 1. Tanım: Kısmi sıralı (A, ) kümesi verilsin. Her x,y A için sup{x,y} ve inf{x,y} varsa, A kümesine Latis veya Kafes denir ve sup{x,y}=x y ve inf{x,y} =x y şeklinde yazılır. Eğer A kısmi sıralı kümesi bir kafes ise x y gösterimi x ve y öğelerinin kesişimi ve x y gösterimi de x ve y öğelerinin birleşimi olarak okunur. 1. Teorem: a,b ve c öğeleri A kafesinin keyfi öğeleri ise i. a a b ve b a b ii. a c ve b c a b c iii. a b a ve a b b iv. c a ve c b c a b olur.
5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri L üzerinde karşılaşma ve birleşme adı altında iki ikili işlem tanımlanan boş olmayan bir küme olsun. Karşılaşma ; birleşme birbirinin düali. Ancak işlemler aşağıdaki aksiyomları sağlamalıdır. L1 : Değişme : a b = b a ; a b = b a L2: Birleşme : (a b) c = a (b c) ; (a b) c = a (b c) L3: Yutma : a (a b) = a ; a (a b)= a Bu aksiyomlar birbirinin dualidir. Buna göre diğer tanımlanacak özelliklerinde bir duali vardır. Sabit Kuvvetlilik (idempotence) a a = a a a = a [a (a b)] = a (a c) = a 2.Teorem : a b = a a b = b dir. b = b (b a) b = b a b = a (a b) a = a b bulunur.
5. 3.Teorem : L de a b= a (a b =b) şeklinde tanımlanan bağıntı bir sıra bağıntısıdır. a a = a (Yansıma) a b = a ve b a = b a=b (Antisimetri) a b = a, b c = b a c = a (Geçişme) Her POSET bir kafesmidir? Bu soruyu cevaplamak için aşağıdaki teoremin ispatı verilebilir. 4.Teorem: P (kısmi sıralı küme) her eleman çifti için (a,b) bir infimum ve bir supremum var olan bir kısmi sıralı küme ise P bir kafes yapısıdır. Bu durumda: a b = inf(a,b), a b = sup(a,b) olarak tanımlanır. İspat: inf. ve sup. ifadelerinin kafes aksiyomlarının sağlayıp sağlamadıklarına bakalım. inf(a,b) = inf(b,a) ; { a b = b a } inf(inf(a,b),c) = inf(a, inf(b,c)) ; { (a b) c = a (b c) } inf(a,sup(a,b)) = a yazabiliriz. ; { a (a b) = a } Bu aksiyomları sup için de gerçekleyebiliriz. Böylece bu aksiyomlar tanımlandığına göre P kısmi sıralı kümesi bir kafestir.
6. Boole Cebiri 1. Tanım: (A, ) kısmi sıralı bir kümesinin her x,y A için iki ikili, işiemler, bir tekli işlem ("olumsuz ") verilsin. A kümede 0 ve 1 iki eleman varsa ve her a,b,c A için aşağıdaki aksiomlar gerçekleşse A kümeye boole cebir denir: a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c associativity a b = b a a b = b a commutativity a 0 = a a 1 = a identity a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) distributivity a a = 1 a a = 0 complements
6. 1.Örnek: İki elemanlı Boole Cebiri: 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 a 0 1 a 1 0 2.Örnek: İki atomlı Boole Cebiri: 0 a b 1 0 0 0 0 0 a 0 a 0 a b 0 0 b b 1 0 a b 1 0 a b 1 0 0 a b 1 a a a 1 1 b b 1 b 1 1 1 1 1 1 x 0 a b 1 x 1 b a 0
7. Problemler 1.Bir latis içinde x y = y x y = x çift gerektirmesini doğrlayınız. 2.Bir A latis için aşağıdaki önermeleri kanıtlayınız a) a b ise, x A için a x b x ve a x b x b) a b ve c d ise, a c b d ve a c b d dir. 3.A bir Boole cebir olsun. a, b, c A için aşağıdaki özelliklerin varlığını kanıtlayınız. a) 0 ile 1 elemanlar tek olarak belirlenirler b) a 1 = 1 ve a 0 = 0 c) a a b = a ve a (a b) = a d) a b (b c) (c a) = (a b) (b c) (c a) e) a c = b c ve a c = b c a = b f) 0 = 1 ve 1 = 0 g) a b = a b ve a b = a b h) a = a