DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin terimleri denir. Eğer dizinin terimleri a harfi ile gösterilirse, bir dizi aşağıdaki gibi belirlenir: a 1, a 2,, a n, Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, f(1)= a 1, f(2)=a 2,, f(n)=a n ise, (a 1, a 2, a 3,, a n reel sayılar olmak üzere) S= (a 1, a 2, a 3,, a n.) sıralanmış kümesine dizi denir. Diziler sonlu yada sonsuz terimli(elemanlı) olabilir. Sonsuz terimli bir dizinin bütün terimlerini a n sembolü temsil eder ki buna dizinin genel terimi denir. Örnek: f: N + IR f(n) = (n-1)(n-2) +4n şeklindedir. Bu bir dizi midir? a n = (n-1)(n-2) +4n Örneğin a 1 =4,, a 3 = 14,, a 5 =32 olur. Örnek: (4, 8,.) bir dizi midir? Bir dizi belirtmez, dizinin genel terimi yok, bu sebeple de diğer terimleri bulamıyoruz. Örnek: şeklindeki fonksiyon bir dizi belirtir mi? bir reel sayı dizisi değildir, çünkü n=9 için f(9) tanımsızdır. f(n) in bir dizi belirtmesi için dizinin tüm terimlerinin elde edilebilmesi gerekir. Tüm doğal sayılar için f(n) tanımlı değildir. 9.terim tanımlı değil.
SONUÇ OLARAK; Her dizi, sıralanmış bir kümedir. Dizinin tüm elemanları, verilen kuralla bulunur. Verilen bu kurala dizinin genel terimi denir. Birkaç elemanı verilmiş olsa bile, genel terimi verilmezse o bir dizi belirtmez. BAZI TANIMLAR A- SONLU DİZİ Sınırlı sayıda terimi olan diziye sonlu dizi denir. a n = dizisinin 4 terimi var, bu bir sonlu dizi B- SABİT DİZİ Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir. Bir diğer deyişle, c IR ve her n ise, a n dizisine sabit dizi denir. N + için a n = c a n = a n = Kural: dizisi sabit ise şeklindedir. C- DİZİLERİN EŞİTLİĞİ Her n pozitif tamsayısı için, a n = b n ise a n ve b n dizilerine eşit diziler denir. Bir diğer ifadeyle, her n N + için a n = b n ise, a n dizisi b n dizisine eşittir. Örneğin, a n = 1+2+ + n b n = ise bu iki dizi birbirine eşit olur.
D- DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER a n ve b n birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere a n +b n = (a n +b n ) iki dizinin toplamı genel terimleri toplamı olur. a n -b n = (a n -b n ) iki dizinin farkı genel terimleri farkı olur. a n. b n = (a n. b n ) iki dizinin çarpımı genel terimleri çarpımı olur. a n : b n = (a n : b n ) iki dizinin bölümü genel terimleri bölümü olur.(b n 0) c(a n ) = (ca n ) dizinin bir sayı ile çarpımı genel teriminin bir sayı ile çarpımına eşit olur. E ALT DİZİ Bir a n dizisi verilmiş olsun. k n artan bir pozitif tamsayı dizisi olmak üzere, ak n dizisine (a n ) dizisinin bir alt dizisi denir ve ak n b n biçiminde gösterilir. 1 ARİTMETİK DİZİLER Tanım: Bir dizide eğer birbirini izleyen terimler arasındaki ortak fark sabit bir sayı ise bu diziye Aritmetik Dizi denir. Genel olarak, a n - a n-1 = r ile gösterilir. Bu tanıma göre ortak farkı r olan bir aritmetik dizi S= şeklinde yazılabilir. Genel terim ise a n = şeklindedir. Örnek: 1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,. a 1 = 2, r= 2 2) 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57,. a 1 = 1, r= 7 3) -1, -4, -7, -10, -13, -16, a 1 = -1, r= -3 Eğer terimler arasındaki ortak fark pozitif ise (r>0) ise, artan bir aritmetik dizi sözkonusudur.
Eğer terimler arasındaki ortak fark negatif ise (r<0) ise, azalan bir aritmetik dizi sözkonusudur. Aritmetik Dizilerin Özellikleri: 1) p< n olmak üzere a n =a p +(n-p)r ve r= şeklindedir. 2) Aritmetik dizinin ilk ve son terimlerinden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı 2a 1 +(n-1)r şeklindedir. Genel olarak uçlardan (ilk ve son terimlerden) eşit uzaklıktaki iki terimin toplamı a j +a n-j+1 = 2a 1 +(n-1)r şeklinde sabit bir sayıdır ve uçlardaki iki terimin toplamına eşittir. 3) Aritmetik dizinin her terimi kendisinden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin aritmetik ortalamasıdır. k<p olmak üzere a p = 4) Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı S n = [a 1 +a n ] şeklindedir. a n = a 1 + (n-1)r yi S n de yerine koyarsak, S n = [a 1 +(n-1)r ] şeklinde de yazılabilir. 2- GEOMETRİK DİZİ Bir dizide ardışık terimlerin birbirine oranı aynı kalıyorsa, bu terimlerin oluşturduğu diziye Geometrik Dizi denir. Geometrik bir dizide her terim, bir önceki terimin sabit bir sayıyla çarpılması sonucu elde edilir. Geometrik dizide a n = a n-1 q veya = q eşitliği vardır. Burada sabit sayıyı gösteren q sembolü ortak çarpan adını alır. Örnek: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 7 terimli bir geometrik dizidir. Bu dizide q = = = = = dir. Geometrik dizinin genel terimi a n = a 1 q n-1 şeklindedir.
Geometrik Dizilerin Özellikleri: 1) Geometrik dizinin ilk ve son terimlerinden eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımı sabit bir sayıdır ve dizinin ilk ve son teriminin çarpımına eşittir. a 1 a n = a i a n-i+1 2) Geometrik bir dizide herhangi bir terim kendinden önce gelen terim ile kendinden sonra gelen terimin çarpımlarının kareköküne eşittir. a n = 3) n>p iken a n = a p q n-p şeklindedir. 4) Bir geometrik dizide ilk n terimin toplamı S n = a 1 şeklindedir. Benzer şekilde S n = şeklinde de elde edilebilir. 5) Geometrik bir dizide ilk n terimin çarpımı T n = a 1 a 2.a n = şeklindedir. MONOTON DİZİLER Genel terimi a n olan diziyi ele alalım: Eğer her n N + için a n < a n+1 ise, a n bir monoton artan dizidir. a n > a n+1 ise, a n bir monoton azalan dizidir. a n a n+1 ise, a n bir azalmayan dizidir. a n a n+1 ise, a n bir artmayan dizidir. a n = a n+1 ise, a n bir sabit dizidir. NOT: a n+1 > a n monoton artan > 1 monoton artan a n+1 < a n monoton azalan < 1 monoton azalan NOT: a n = dizisinde 1) Paydanın kökü 1 den büyük ise dizi monoton değildir. 2) Paydanın kökü 1 den küçük ise dizi monotondur,
a) ad-bc>0 dizi monoton artandır. b) ad-bc<0 dizi monoton azalandır c) ad-bc=0 dizi sabittir.
DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI ** Komşuluk** a IR ve çok küçük bir pozitif sayı olmak üzere ( a -, a + ) açık aralığına a nın komşuluğu denir. (a- ) (a+ ) <------------------------ -----------------------> a Not: *a' nın komşuluğundaki terimleri an - a < eşitsizliğini sağlar. * an dizisinin a'nın komşuluğu dışındaki terimleri; an - a eşitsizliğini sağlar. *** Yakınsak ve Iraksak Diziler *** - a n bir reel sayı dizisi ve a da sabit bir reel sayı olsun, her pozitif reel sayısı için a n dizisinin hemen hemen her terimi a'nın komşuluğunda bulunuyor ise a n dizisi a'ya yakınsıyor denir ve a n dizisi a'ya yakınsıyor ise a n dizisine yakınsak dizi denir. - Yakınsak olmayan dizilere ıraksak dizi denir. ***Dizilerin Limiti*** 1-Limitin Tanımı - a n bir reel sayı dizisi olsun, a n dizisi sabit bir a reel sayısını yakınsıyor ise a sayısına a n dizisinin limiti denir. lim(a n )=a veya veya (a n ) a şeklinde gösterilir. - Özetle an- a < olacak bir şekilde bir doğal sayısı var ise a n dizisinin limiti a'dır. Bir diğer deyişle bir dizinin limiti var ise dizi yakınsak aksi halde limiti yok ise ıraksaktır.
Kurallar: * Bir a n dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa bu dizinin her alt dizisi de a reel sayısını yakınsar. Bunun karşıtı doğru değildir. * Bir dizinin limiti var ise bir tanedir. * c IR olmak üzere a n = c ise lim(a n ) = lim c= c 'dir.her sabit dizi yakınsaktır. * Bir an dizisinin 2 alt dizisi farklı sayıları yakınsıyor ise a n dizisi ıraksaktır. * Bir dizinin yakınsak alt dizilerinin limitleri sonlu sayıda ise bu limitlerin en küçüğüne alt limit, en büyüğüne üst limit denir. a n dizisi ıraksaktır. *Limitlerle İlgili Özellikler Kural: a n ve b n birer dizi; a, b ve c birer reel sayı olmak üzere, Lim(a n )=a ve lim(b n )=b ise; 1) lim(a n +b n ) =lim (a n ) +lim (b n ) =a+b 2) lim(a n -b n ) =lim (a n ) -lim (b n ) =a-b 3) lim(a n.b n ) =lim (a n ).lim (b n ) =a.b 4) lim(a n /b n ) =lim (a n ) /lim (b n ) =a/b b n 0 ve b 0 5) lim(c a n ) =lim (c).lim (a n ) =c.a 6) lim (a n ) n =a n (n IN) *Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesi Reel sayılar kümesine, artı sonsuz ( ) ve eksi sonsuz (- kavramlarının katılmasıyla elde edilen [-, + ] aralığına (kümesine) genişletilmiş reel sayılar kümesi denir. 1- Iraksak Diziler Kural: 1- Her K reel sayısı için, (a n ) dizisinin hemen hemen her terimi (+ (a n ) dizisinin limiti (+ ) dur veya (a n ) dizisi + a ıraksar denir. un K komşuluğunda ise 2-Her K reel sayısı için (a n ) dizisinin hemen hemen her terimi (- ) un K komşuluğunda ise (a n ) dizisinin limiti (- dur veya (a n ) dizisi (- a ıraksar denir.
3-(+ veya (- a ıraksayan dizilere ıraksak diziler denir. 2- Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde İşlemler 1- (+ +(+ = (+ (- +(- = (- 2- (+.(+ = (+ (-.( = (+ (+.(- = (- 3- a+(+ = (+ a IR a+ (- = (- a IR 4- a. (+ = (+ a IR + a. (+ = (- a IR - a. (- = (- a IR + a. (- = (+ a IR - 5- = 0 a IR = 0 a IR 6- (+ (- (- n = + n Z + 2n = + n Z + 2n-1 = - n Z + Kural: Dizinin limitleri bulunurken elde edilen 1- (+ )+(- 2-0(+ ) 3-,,, 4- İfadeleri belirsizdir. Kural: a n = r n olsun. 1- <1 ise lim(a n ) = 0 2- r >1 ise lim(a n )= + 3- r=1 ise lim(a n ) = 1 4- r -1 ise lim(a n ) yoktur.
Kural: a n bir dizi olmak üzere, = ise, lim(a n ) = = şeklindedir. Kural: a n pozitif terimli bir dizi olsun. = r ise. NOT: Limiti olan her diziye yakınsak, olmayan dizilere de ıraksak denir. a n ve b n dizileri yakınsak ise a n b n, a n. b n, an / bn de yakınsaktır. Yakınsak olan bir alt dizinin tüm alt dizileri de yakınsaktır ve limitleri dizinin limitine eşittir. ALT LİMİT VE ÜST LİMİT Bir a n dizisinin yakınsak alt dizilerinin limitleri sonlu sayıda ise, bunların içinde en küçüğüne alt limit, en büyüğüne de üst limit denir. Alt limit lim(a n )
Üst limit lim(a n ) İle gösterilir. lim(a n ) = lim(a n ) = l şeklinde ise lim(a n )= l şeklindedir. SINIRLI DİZİLER NOT: 3- Üst Sınır : Her n IN + için a M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (a n n) dizisine üstten sınırlıdır denir. bir diğer deyişle bir dizinin tüm terimleri bir reel sayıdan daha küçük ise bu dizi üstten sınırlıdır. M sayısı da bu dizinin üst sınırı adını alır. M den büyük her reel sayıda a n dizisinin üst sınırıdır. Üstten sınırlı bir dizinin üst sınırlarından en küçük olanına dizinin en küçük üst sınırı (Eküs)denir. a n dizisinin Eküs ü, Eküs(a n ) ile gösterilir. 4- Alt Sınır: Her n IN + için m a n olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (a n ) dizisine alttan sınırlıdır denir. Bir diğer deyişle bir dizinin tüm terimleri bir reel sayıdan daha büyük ise bu dizi alttan sınırlıdır. m sayısı da bu dizinin alt sınırı adını alır. m den küçük her reel sayıda a n dizisinin alt sınırıdır. Alttan sınırlı bir dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük üst sınırı (Ebas)denir. a n dizisinin Eküs ü, Ebas(a n ) ile gösterilir. 5- Hem alttan hem üstten sınırlı olan dizilere sınırlı diziler denir. *Sınırlı bir dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir. *Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul sınırlı olmasıdır. *Yakınsak her dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir. *Monoton ve yakınsak bir dizinin ilk terimi olan a 1 ile limitinden büyük olan Eküs küçük Ebas tır. olanı Teorem: lim ( l ise lim ( l şeklindedir. Bunun tersi sadece l=0 için geçerlidir. n a n ) n a n ) Cauchy Yakınsaklık Teoremi Bir a n dizisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul: Bazı N( ) vardır ki; n,m >N( ) için a a kalır. Böyle dizilere Cauchy dizisi denir. bu teoremin üstünlüğü dizinin yakınsaklığının n m ispatlanmasında dizinin limitinin bilinmesine gerek yoktur. Belirsizlik Durumları
a. Belirsizliği b. 0 Belirsizliği Bu tür belirsizlikler belirsizliğine dönüştürülerek limit bulunur. c. - Belirsizliği Bu tip belirsizliklerde cebirsel işlemlerle giderilebilir. Kural: lim b n lim c n a n = b n - c n lim (a n ) = - olur. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için payı ve paydası genişletilebilir. Kural: a>0 olmak üzere b n + c n ifadesiyle lim( 2 b an bn c lim( a( n )) olur. 2a