T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu EġEN YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠLKÖĞRETĠM ANABĠLĠM DALI KONYA 010

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu EġEN YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠLKÖĞRETĠM ANABĠLĠM DALI Bu tez 6.03.010 tarihide aģağıdaki jüri tarafıda oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiģtir. Yrd. Doç. Dr. Ahmet CĠHANGĠR (DANIġMAN) Doç. Dr. Süleyma SOLAK (JÜRĠ) Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN (JÜRĠ)

ÖZET Yüksek Lisas Tezi AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu EġEN Selçuk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İlköğretim Aabilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR 010, vi + 45 sayfa Jüri: Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR Doç. Dr. Süleyma SOLAK Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN Bu çalışmada; ilk olarak aritmetik üçgeler taıtıldı ve aritmetik üçgelerde Pythagorea üçgelerii asıl elde edileceği verildi. Sora bir üçgei kearlarıı asıl aritmetik dizi olduğu ve hagi durumda harmoik ve geometrik dizi olacağı araştırıldı. Kearları tamsayı ola üçgeler ile x 3y z Diophatie deklemii çözümleri arasıdaki ilişki araştırıldı. Bu çözümlerde, kearları tamsayı ola üçgeleri üretilebileceği gösterildi. So olarak geel aritmetik üçgeler ile Bhaskara Deklemii çözümleri arasıdaki ilişkiler ortaya kodu. Aahtar Kelimeler: Hero Üçgei, Aritmetik Üçge, Pythagorea Üçgei, Pell Deklemi, Bhaskara Deklemi. ii

ABSTRACT M. Sc. Thesis A RESEARCH ON THE RELATIONS BETWEEN TRIANGLES WHICH ANGLES AND SIDES IN ARITHMETIC, GEOMETRIC AND HARMONIC PROGRESSION WITH x 3y z DIOPHANTINE EQUATION Tayfu EġEN Selçuk Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Sciece Departmet of Primary Educatio Supervisor: Asist. Prof. Dr. Ahmet CİHANGİR 010, vi + 45 Pages Jury: Asist. Prof. Dr. Ahmet CİHANGİR Doç. Dr. Süleyma SOLAK Asist. Prof.Doç. Dr. Saadet ARSLAN By this study, firstly, we described the basic kowledge of aritmetic triagles ad we gave iformatio about how Pythagorea triagles are gaied from arithmetic triagles. The how to be a triagle sides a aritmetic progressio ad the case of triagle sides i geometric ad harmoic progressio are searched. Ad the the relatios betwee triagles with iteger sides ad solutio of diophatie equatio x 3y z has bee described. Utilizatio of these studies, how to triagles with iteger sides beig derived has bee proved. Lastly the relatios betwee geeral arithmetic triagles ad the solutio of Bhaskara Equatio has bee preseted. Key Words: Heroio Triagle, Arithmetic Triagle, Pythagorea Triagle, Pell Equatio, Bhaskara Equatio. iii

ÖNSÖZ Matematiği gelişmesii büyüleyici yöleride birisi de, geometri ile sayılar teorisi arasıdaki karşılıklı etkilemedir. Üçgeleri geometride öemli bir yer teşkil ettiği herkesçe biliir. Hero üçgelerii özel bir durumu ola aritmetik üçgeler üzeride yapıla çalışmalar ise sayılar teorisi ile geometri arasıda güzel bir ilişki ortaya çıkarmıştır. Pythagorea, Hero, Brahmagupta, Bhaskara, Hoppe, Aubry ve Rath gibi birçok ülü matematikçi sayılar teorisii cazibesie kapılmışlar ve Diophatie deklemlerii çözümlerie bağlı olarak, bu özel üçgeleri üretilmesi üzeride birçok araştırmalar yapmışlardır. Sayılar teoriside Pell deklemleri ve geel Pell deklemleri ola Bhaskara deklemlerii tam sayı çözümleri üzeride birçok çalışma mevcuttur. Öreği, yedici yüzyılda Brahmagupta, o ikici yüzyılda Bhaskara, o dokuzucu yüzyılda Hoppe, Pell ve Bhaskara deklemlerii çözümleri ile aritmetik üçgeler arasıdaki ilişkileri ortaya çıkarmışlardır. Güümüzde ise Beauregard, Suryaaraya, başta olmak üzere; Sastry, Fasler gibi birçok matematikçii Diophatie deklemlerii çözümleri ile geometri arasıdaki ilişkiler üzerideki çalışmaları hale devam etmektedir. Bu çalışma; Kostatie Zelator u Triagle Agles ad Sides i Progressio ad the Diophatie Equatio x 3y z başlıklı çalışması üzerie kuruldu. Burada kearları aritmetik dizi, geometrik dizi ve harmoik dizi ola üçgeleri buluup bulumadığı araştırıldı. Kearları tamsayı ola üçgeler ile x 3y z Diophatie deklemii çözümleri arasıdaki ilişki verildi. Bu çözümlerde, kearları tamsayı ola üçgeleri üretilebileceği gösterildi. So olarak geel aritmetik üçgeler ile Bhaskara Deklemii çözümleri arasıdaki ilişkiler ortaya kouldu. Açıları ve kearları aritmetik, geometrik ve harmoik dizi oluştura üçgeler ile x 3y z Diophatie deklemi arasıdaki ilişki üzerie bir araştırma adlı tez kousuu tespitide ve tezi hazırlaması sırasıda yardımlarıı esirgemeye daışma hocam Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR e teşekkürlerimi suarım. Ayrıca baa her zama destek ola eşime teşekkürü bir borç bilirim. Tayfu EŞEN Mart 010 iv

SEMBOLLER : Tam Sayılar Kümesi : Pozitif Tam Sayılar Kümesi : Rasyoel Sayılar Kümesi b a : b böler a m( BAC ˆ ) : Üçgedeki A açısıı ölçüsü AB : AB doğru parçasıı uzuluğu (a) : Açıları aritmetik dizi ola üçge (s) : Kearları aritmetik dizi ola üçge s : Üçgei Çevre Uzuluğuu Yarısı a : a ı mutlak değeri ab(mod m) : a, b ye m modülüe göre kogrüettir A( ABC ) : ABC üçgeii alaı r : Üçgei iç teğet çemberii yarı çapı : Elemaıdır Sembolü x : x i tam değeri v

ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET... ii ABSTRACT... iii ÖNSÖZ... iv SEMBOLLER... v ĠÇĠNDEKĠLER... vi 1. GĠRĠġ... 1 1.1. Kayak Araştırması... 1 1.. Ö Bilgiler... 4. KENARLARI ARĠTMETĠK DĠZĠ OLAN HERON ÜÇGENLERĠ 1.1. Ardışık Tamsayı Kearlı Hero Üçgeleri.....1.. Diğer Aritmetik Dizilere Geişlemeler... 15.3. Bir Hero Üçgeide İki Dik Hero Üçgei Oluşturulması... 16 3. ÜÇGENDE AÇILARIN VE KENARLARIN DĠZĠ OLUġTURMASI...19 3.1. Açıları Dizi Ola Üçgeler... 6 3.. Açıları Aritmetik Dizi Ola Tamsayı Kearlı Üçgeleri Taımlaması ve Belirlemesi... 30 3.3. Örekler... 35 4. GENEL ARĠTMETĠK ÜÇGENLER VE BHASKARA DENKLEMĠ...37 4.1. Aritmetik Üçgeleri Özellikleri... 37 4.. Aritmetik Üçgeleri İlk Birkaç Tipi... 40 5. KAYNAKLAR... 43 vi

1.GĠRĠġ Geometride üçgeler özel öeme haizdir. Üçgelerde de dik üçgeler daha ayrıcalıklıdır. Dik üçgeleri, β pozitif bir reel sayı olmak üzere kear uzulukları, ve 3 şeklideki özel hali iyi biliir. Tüm bu üçgeler, açıları 3 A 30, B 60, C 90 ola bezer üçgeleri bir sııfıı oluştururlar. Burada üçgei A, B, C açıları arasıdaki fark; φ = 30º olacak şekilde bir aritmetik dizi oluşturdukları açıktır. Diğer çok bilie bir bezer üçge sııfı ise δ pozitif bir reel sayı olmak üzere, kearları α = 3δ, β = 4δ, γ = 5δ biçimide verile üçgeleri sııfıdır. Buları hepsi dik üçge olmakla birlikte, oları göze çarpa diğer bir özelliği de; α, β, γ kear uzuluklarıı (sırasıyla), d = δ farkı olacak şekilde aritmetik bir dizi oluşturmasıdır. Şimdi de bu çalışmaı yapısıda bahsedelim. Bölüm 1 de, koumuza ilişki çalışmaları bir kısmıı özetleri ile gerekli taım ve teoremler verildi. Bölüm de, kearları aritmetik dizi ola Hero üçgelerde yola çıkıp x 3y z Diophatie deklemie ulaşıldı. Ayrıca bilie örekler dışıdaki diğer aritmetik dizilerde de bahsedildi. E so Hero üçgeii iki dik üçgee ayırdığımızda oluşa üçgeleri de Hero üçgei olduğu görüldü. Bölüm 3 te, kearları ve açıları aritmetik dizi ola üçgelere ilişki birkaç souç ortaya koyuldu. Açıları aritmetik dizi ola üçgeler iceledi; buu yaparke de, x 3y z Diophatie deklemii pozitif tam sayılardaki parametrik çözümlerii belirli bir alt kümesi kullaıldı. Bölüm 4 te, geel aritmetik üçgeler ve Bhaskara deklemii geelleştirilmiş aritmetik üçgeler ile arasıdaki ilişkisi ortaya koularak çalışmamız bitirildi. 1.1. Kayak AraĢtırması Bu kesimde koumuza ilişki, geçmişte güümüze yapılmış ola çalışmaları bir kısmıı özetleri verilmiştir. Matematiği gelişmesii büyüleyici yöleride birisi de geometri ile sayılar teorisi arasıdaki karşılıklı etkilemedir. Buu görüldüğü durumlarda birisi

aritmetik üçgelerdir. Bu üçgelerde; ala tamsayıdır ve kearları da x d, x, x + d biçimideki tamsayılardır. E küçük örek (3, 4, 5) üçgeidir (Aritmetik ve dik tek primitif üçge). Hero a atfedile ikici örek, (13, 14, 15) üçgeidir ki alaı 84 dür. Sierpiski (196), bu eseride tamsayı kearlı üçgeleri özel çeşidi ola Pythagorea üçgelerii ala, kear, çevre v.b. yöüyle icelemiştir. Ayrıca bu; Pythagorea üçgeleri ile ilgili olarak müstakil yazılmış ilk eserdir. Mordell (1969), bu eseride Diophatie deklemleride bahsetmiştir. Bu çalışma Diophatie deklemleri üzerie yazılmış e kapsamlı ve temel eserlerde biridir. Bu eserde bir sayıı karesi ile başka bir sayıı karesii üç katıı toplamıı bir kareye eşit olması durumu da dahil olmak üzere Diophatie deklemleri ve çözümlerie ilişki ayrıtılı bilgiler verilmiştir. Gilder (198), bir açısı 60 0 ola tam sayı kearlı üçgeleri kearlarıı iki parametreye bağlı olarak üretilmesii göstere formüller verilmiştir. Sierpiski (1988), eseride, Diophatie deklemlerii aalizii ele almış; gerek Pythagorea üçgeleri, gerekse diğer tür diophatie deklemleri geiş bir şekilde icelemiştir. Duham (1990), eseride üçgeleri alaları içi Hero ala formülüü kullamış ve matematiği ülü teoremleri üzeride durmuştur. Dickso (1971), bu eserde; eseri basım yılıa kadar ola sayılar teorisi ile ilgili gelişmeler, açık problemler ve çalışmaları özetlemiştir. Ayrıca Pythagorea üçgeleri ile rasyoel dik üçgeler içi geel bilgilere ve Diophatie deklemlerie de yer vermiştir. Rose (1993), eseride Pythagorea üçgeleri üzeride durmuştur. Bu çalışmadaki bir teoremde, verile bir deklemi. köküü bir tamsayı ya da farklı olarak bir irrasyoel sayı olabileceğide bahsetmiştir. Ayrıca aritmetik ve geometrik dizi üzeride durmuştur. Guy (1994), bu eserde sayılar teorisii, geçmişte eseri basıldığı 1994 yılıa kadar çözülememiş problemler ile bu problemlerle ilgili yayıları ve özetlerii vermiştir. Bu literatürü Diophatie Equatios isimli bölümüde Hero üçgeleri ile ilgili çözülememiş problemlere yer vermiştir.

3 Beauregard ve Suryaaraya (1997), tüm aritmetik üçgeleri x 3y z Diophatie deklemii çözümleride asıl üretildiğii gösterdiler. Brahmagupta ilk olarak yedici yüzyılda, tamsayı alalı ve ardışık kearlı üçgeler ile x Dy 1 Pell deklemii çalışmış ve ikisii ilişkiledirmiştir. O ikici yüzyılda Bhaskara, Pell deklemii tam çözümüü vermiştir. x Dy e Bhaskara deklemii tarihte birçok öemli uygulaması mevcuttur (Nagell, 1951; Adler,1995). İkici yüzyılı başlarıda (e = 1 ile), D i yaklaşık değerii bulma problemi ile ilgileildiği görülmektedir. D i sürekli kesir açılımıyla ilişkisi, ilk olarak 1768 de Lagrage tarafıda ortaya koulmuştur. Bhaskara deklemii diğer uygulamaları; D =, e = 1 alımasıyla Pell dizisii üretilmesi, D = 3 olduğuda aritmetik üçgeler elde edilmiştir. Şimdiye kadar, D > 3 olduğu duruma ilişki Bhaskara deklemii hiçbir geometrik uygulaması buluamamıştır. O dokuzucu yüzyılda R.Huppe, aritmetik üçgeler ile D=3 içi Bhaskara deklemii ilişkiledirmiştir. Buchholz ve MacDougall (1999), kearları geometrik ve aritmetik dizi biçimide ola rasyoel alalı üçgeler ve kirişler dörtgeleri üzeride çalışmıştır. Kearları aritmetik ola üçgeleri sosuz bir ailesi içi tam bir karakterizasyo verilmiştir ve ayrıca geometrik dizide oluşa kearlara sahip hiçbir üçgei olamayacağı gösterilmiştir. Bu eserde, bu tür Hero üçgelerii bulmak içi x 3y z Diophatie deklemi kullaılmıştır. Ayrıca, kearları aritmetik veya geometrik dizide alıa bir kirişler dörtgeii buluamayacağı gösterilmiştir. Her iki tür dörtgei varlığıı araştırılmasıda da eliptik eğriler kullaılmıştır. MacDougall (003), burada üçgei kear uzuluklarıı içere sayılar arasıdaki ilgiç ilişkileri icelemiş ve bu tür üçgeleri örekledirmiştir. Bu çalışmada amaç; bu ilişkileri ede icelediğii açıklamak ve bu duruma cevap vere uygu her üçgei (sosuz sayıda ailesi ola) asıl buluduğuu göstermektir. Ayrıca farklı metotlar kullaarak, aritmetik dizi uzuluğua sahip Hero üçgelerii çok sayıdaki geel problemii de tartışmaktır. Sastry (000), bu çalışmada Pythagorea üçgeleride faydalaarak Hero üçgeleride bahsetmiştir. Ayrıca, Hero dörtgelerii yei bir ailesi, Hero açıları yoluyla taımlamaya çalışmıştır.

4 Zelator (005), dik üçgede Pythagorea teoremi üzeride durmuştur. Ayrıca x y z t Diophatie deklemlerii pozitif tam sayı çözümleride yola çıkarak x 3y z Diophatie deklemi içi geel çözümlerde bahsetmiştir. Zelator (006), herkesçe bilie Pythagorea teoremide yola çıkarak x ky z Diophatie deklemlerii geel çözümlerie ulaşmış ve tam sayı kearlı üçgeler üzeride durmuştur. Sayılar teorisii belli başlı koularıı farklı durumlar halide listeleyerek açıklama yapmıştır. Ayrıca tam sayı kearlı ve açılı üçgeleri geel çözümleri üzeride de durup araştırma koumuza geiş yer vermiştir. Zelator (008), aritmetik dizi, geometrik dizi ve harmoik dizi taımlarıı vermiş, kear ve açıları bu dizilere uya üçgeleri icelemiştir. Çalışmaı ilerleye bölümleride Kosiüs Teoremi ve üçge eşitsizliğide faydalaarak Pythagorea üçgeleri ile bağlatı kurmuş ve bazı özel üçgeler taımlamıştır. Ayrıca pozitif tam sayılarda x 3y z Diophatie deklemlerii çözümlerie yer vererek buları çözümleride aritmetik üçgeleri üretmiştir. 1. Ö Bilgiler Bu kısımda daha soraki bölümlerde kullaılacak taım ve teoremler verilmiştir. Taım 1..1 a, b tam sayılar olmak üzere a = b.c olacak şekilde bir c tam sayısı varsa b, a yı böler deir ve b a biçimide gösterilir (Şeay, 007). Taım 1.. Pozitif bir p tamsayısıa, eğer; i) p 1, ii) p kediside ve 1 de başka bir bölee sahip değilse; asaldır deir (Şeay, 007). Taım 1..3 Eğer p asal sayı ike, p + de asalsa bu iki asala ikiz asal (Twi Prime) deir (Şeay, 007). Taım 1..4 ab, olsu. i) da ve db ise d ye a ile b i bir ortak bölei deir.

5 ii) d, a ile b i bir ortak bölei olsu. Eğer a ile b i her c ortak bölei içi cd ise, d ortak böleie, a ile b i e büyük ortak bölei deir ve ebob (a, b) veya (a, b) ile gösterilir (Şeay, 007). Taım 1..5 Sabit ve sıfırda farklı bir m tamsayısı, a ve b gibi herhagi iki tamsayısıı a b farkıı bölüyorsa (yai m a b ise); a, b ye m modülüe göre kogrüettir deir ve ab(mod m) biçimde gösterilir (Şeay, 007). Taım 1..6 Bütü kear uzulukları ve açıları eşit ola üçgelere eşkear üçge deir (Şahi ve Arkadaşları,1997). Taım 1..7 Kear uzulukları a, b, c tam sayıları ve alaı da tamsayı ola ABC üçgeie Hero üçgei, (a, b, c) üçlüsüe de Hero üçlüsü deir (Sastry, 000). Taım 1..8 Bir ABC üçgeide 0 < < olmak üzere açısıı hem siüsü hem de kosiüsü rasyoel sayı ise bu açısıa Hero açısı deir (Sastry, 000). Teorem 1..1 (Hero Formülü) Kear uzulukları a, b, c ve yarı çevre uzuluğu da s = 1 (a + b + c) ola bir ABC üçgei alaı A(ABC) ile gösterilir ve A(ABC) = s( s a)( s b)( s c) formülü ile hesaplaır. Bu formül Yua matematikçi Hero tarafıda buluduğu içi Hero ala formülü olarak biliir (Dickso, 1971). Taım 1..9 Fermat ı so teoremi olarak bilie 3 ve tamsayı olmak üzere a b c deklemii sağlaya hiçbir (a, b, c) tamsayı üçlüsü yoktur biçimideki ifadei = içi özel hali ola a b c (1.1) ifadesie Pythagorea deklemi adı verilir. Pythagorea üçgeleri üzerideki çalışmalar (1.1) deklemii tamsayı çözümlerii bulumasıa eşdeğerdir. a b c deklemii sağlaya a ve b kearlı, c hipoteüslü dik üçgee Pythagorea üçgei deir. a b c deklemii sağlaya a, b ve c doğal sayılarıı oluşturduğu (a, b, c) üçlüsüe Pythagorea üçlüsü deir.

6 Eğer bu üçgei a, b dik kearları a b 0, a b 1(mod ) ve a ile b aralarıda asal olma şartlarıı sağlıyorsa, üçgee Primitif Pythagorea Üçgei, (a, b, c) üçlüsüe Primitif Pythagorea Üçlüsü deir. Pythagorea üçgeii bütü kearları bir doğal sayı ile çarpılırsa, o zama yie kearları doğal sayı ola bezer bir dik üçge elde edilir ki bu üçgede Pythagorea üçgeidir. Buda dolayı k=1,, olmak üzere verile bir (a, b, c) Pythagorea üçgeide sosuz çoklukta bezer (ka, kb, kc) Pythagorea üçgei elde edilir (Sierpiski, 1988). Teorem 1.. m ile aralarıda asal, m> ve m ile tamsayıları biri tek ike diğeri çift olmak üzere, b si çift ola tüm primitif (a, b, c) Pythagorea üçgeleri a m, b m c m formülleride elde edilir ki bu tip (a, b, c) primitif Pythagorea üçgei yalız bu yolla buluur (Sierpiski, 1988). Teorem 1..3 d kare çarpa ihtiva etmeye bir tamsayı olmak üzere x dy z Diophatie deklemii bütü x, y, z tamsayı çözümleri; aralarıda asal m ile tamsayıları içi x m d, y m, z m d formülleride elde edilir (Şeay, 007). Taım 1..10 Reel sayılarda tamsayılara taımlaa ( : RZ ) ve x 1 özelliğideki x reel sayılarıı Z sayısıa eşleye foksiyoa tam değer foksiyou deir ve x i tam değeri x ile gösterilir (Şeay, 007). Taım 1..11 0, a0, a1, a,..., a reel sayılar ve a 0 hariç hepsi pozitif olmak üzere a 0 1 a1 a 1 1 a 1 1 a

7 ifadesie solu sürekli kesir deir ve a0, a1, a,..., a biçimide gösterilir. Burada a0, a1, a,..., a ler kısmi bölümler veya kısmi paydalardır. Bu gösterimi 0 içi a0, a1, a,..., a = a 0 1 a1, a,..., a şeklide yazabiliriz. Daha geel olarak; a0, a1, a,..., a = a 0 a 1 a 1 a 1 1 1 1 a biçimide gösterilir. Burada a 0 sayısıı pozitif ya da egatif bir reel sayı veya sıfır olabileceğie dikkat edilmelidir. Ayrıca a0, a1, a,..., a leri hepsi tamsayı ise sürekli kesre solu basit kesir deir (Rose, 1993). Taım 1..1 Eğer a 0 tamsayısı hariç a1, a,..., a ler pozitif tamsayılar ise, o zama içi a a a a sürekli kesrie 0 k yakısayaı deir ve ;,,..., k 0 1 C k ile gösterilir. C = k a0; a1, a,..., a sürekli kesrii k. a0 ; a1, a,..., a k dır (Rose, 1993). Teorem 1..4 a 0 tamsayısı hariç, a1, a,..., a tamsayılarıı tümü pozitif olmak üzere A a a a a q dizileri, 0; 1,,..., solu basit sürekli kesri verildiğide 0 k içi p ve p q 0, 1, biçimide verilir (Rose, 1993). p q 1 1 1 0, p a p p k k k 1 k q a q q k k k 1 k Taım 1..13 a 0 tamsayısı hariç, hepsi pozitif tamsayılar ola bir a1, a, a 3... tam sayı dizisi, C = k a0 ; a1, a,..., a k olmak üzere a0, a1, a,... = lim C k k ola kesirlere sosuz sürekli kesir deir (Rose, 1993).

8 Taım 1..14 a ; a, a,... sosuz basit sürekli kesrie, yeterice büyük r tam sayısı 0 1 içi ar a r olacak şekilde bir pozitif tamsayısı varsa periyodiktir deir. t 0, m 0 olmak üzere; b ; b, b,..., b, a, a, a,..., a, a, a, a,..., a,... 0 1 m 0 1 0 1 periyodik kesri b0 ; b1, b,..., bm, a0, a1, a,..., a şeklide gösterilir. a0, a1, a,..., e bir periyot deir. Burada t ye sürekli kesri periyot uzuluğu deir (Rose, 1993). Teorem 1..5 0 bir irrasyoel sayı ve a0, a1, a,... dizisi ardışık olarak k=0,1,, içi a, k k k1 1 a şeklide taımlası. O zama, a ; a, a,... sosuz basit sürekli kesrii değeridir (Rose, 1993). 0 1 Taım 1..15 x, y, D tamsayılar ve D de bir pozitif tamsayıı kareside farklı olmak üzere x Dy 1 (1.) deklemie Pell deklemi deir. (1.) deklemi D parametresie bağlı olduğuda bu deklem parametreye bağlı bir deklem ailesidir. Yie (1.) deklemide x ve y i her ikisii de egatif olmadığıı kabul edilmesi geelliği bozmaz. Herhagi bir D parametresi içi (1.) deklemii x 1, y 0 ı bir çözüm olduğu kolayca görülür ki bu çözüme bilie (trivial) çözüm deir. Ayrıca eğer D, a gibi bir tamsayıı karesi ( D a ) ise o zama 1 x Dy x a y ( x ay)( x ay) olması içi gerek ve yeter şart x ay 1, x ay 1 olmasıdır. Bu ise k k a x 1, y 0 olması demektir. Yai D a olması durumuda trivial çözüm tek çözüm olur. O halde buda sora (1.) deklemide D yi pozitif ve bir tamsayıı kareside farklı olarak kabul edeceğiz. Şüphesiz Pell deklemii (1,0) da farklı bir çözümüü buluması kouu e zor kısmıı teşkil eder. x Dy 1 deklemie ise (1.) deklemii ilgisi veya egatif Pell deklemi deir (Robbis, 1993).

9 pk Teorem 1..6 D tam kare olmaya pozitif bir tam sayı ve, q k D i sürekli kesir açılımıda k. yakısaya olsu. t, bu sürekli kesri periyoduu uzuluğu olmak üzere, (1.) deklemii sosuz sayıdaki bütü çözümleri, i) Eğer t çift ise = 0,1,, içi x pt 1, y qt 1 ii) Eğer t tek ise = 0,1,, içi x pt 1, y qt 1 olur (Robbis, 1993). pk Teorem 1..7 D tam kare olmaya pozitif bir tam sayı ve, q k D i sürekli kesir açılımıda k. yakısaya olsu. t, bu sürekli kesri periyot uzuluğu olmak üzere, eğer t çift ise, o zama x Dy 1 egatif Pell deklemii çözümü yoktur. Eğer t tek ise o zama x Dy 1 egatif Pell deklemii sosuz sayı çözümü vardır ve bu çözümler = 1,3,5, içi x pt 1, y qt 1biçimide verilir (Robbis, 1993). Taım 1..16 D tam kare olmaya pozitif bir sayı, t de D i sürekli kesir açılımıda periyot uzuluğu olarak verilsi. O zama x1 pt 1, y1 qt 1 ifadeleri (1. ) Pell deklemii miimal çözümü olarak isimledirilir (Robbis, 1993). Teorem 1..8 Eğer D tam kare olmaya pozitif bir tam sayı ve (1.) Pell deklemii bir miimal çözümü x x1 ve y y1 ise x y D ( x y D) 1 1 deklemii bütü trivial olmaya çözümleri (Robbis, 1993). x x ve y y biçimide verilir Taım 1..17 D tam kare olmaya pozitif bir tam sayı ve e 0 olmak üzere, x Dy e deklemie geelleştirilmiş Pell deklemi deir. Hitli matematikçi Bhaskara ı bu deklem üzerideki çalışmalarıda dolayı Bhaskara deklemi olarak da isimledirilir (Robbis, 1993). Taım 1..18 α 1, α, α 3 üç reel sayı olmak üzere bu dizii, bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart α = α 1 + α 3 ; geometrik dizi oluşturması içi

10 gerek ve yeter şart ise 1 1 1,, 1 3 ; harmoik bir dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart 1 3 dizisii bir aritmetik dizi oluşturmasıdır (Zelator, 008). Taım 1..19 Eğer, elemaları tamsayılarda oluşa bir aritmetik dizide bir Hero üçgeii kear uzulukları alııyor ve alaı da tamsayı oluyorsa bu üçgelere aritmetik üçgeler deir. c ve d uygu tamsayılar olmak üzere bir üçgei kear uzulukları c, c+d, c+d ise bu üçgee d - aritmetik üçge deir. Sıfırda farklı bir d tamsayısı uygu egatif değer de alabileceğide, eğer d egatif ise o zama (-d) aritmetik üçge olarak isimledirilir., xd, tamsayıları içi x, x d, x d kearlı bir üçgei alaı da tamsayı oluyorsa bu üçgee tipide d- aritmetik üçge deir (Caa,00). Teorem 1..9 (Siüs Teoremi). Bir ABC üçgeii kear uzulukları a, b, c; iç açıları A, B, C ve çevrel çemberii yarıçapı da R ise, o zama a SiA dir (Ayres, 1954). b SiB c SiC = R Teorem 1..10 (Kosiüs Teoremi). Bir ABC üçgeii kear uzulukları a, b, c ve iç açıları da A, B, C ise; a = b + c bccosa, b = a + c accosb, c = a + b abcosc dir (Ayres, 1954). Taım 1..0 Bir üçgedeki üç iç açı ya da üçgei köşe oktaları A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Sözgelimi bir ABC üçgeideki A açısı deildiğide, her zama o üçgei A köşesideki iç açıyı kast edeceğiz ve o alamda kullaacağız. Başka bir deyişle m( BAC) m( CAB) dir. Doğru parçaları geel olarak [AB] şeklide gösterilecektir. [AB]; A ve B oktaları ile bu oktaları birleştire bir doğru parçasıı gösterir. Kear uzulukları ise küçük harflerle gösterilecektir. Öreği, bir ABC üçgeii üç kear uzuluğuu α, β, γ ile gösterirsek; dir. BC CB, AC CA, AB BA

11 Üçgeler içi iyi bilie durumları şöyle verebiliriz. Bir üçgei açılarıı derece ciside ölçümleri A, B, C; kearlarıı uzulukları da α, β, γ ise, o zama (geelliği bozmaksızı) 0º < A B C < 180º, A + B + C = 180º ve (bu sıralamaya uyacak şekilde), 0 < α β γ dır, ayrıca üçge eşitsizlikleride α < β + γ, β < α + γ ve γ < α + β dır (Eğer üç reel sayı, bu üç üçge eşitsizliğii sağlarsa, o zama bu reel sayıları hepsii pozitif olması gerektiğie dikkat ediiz.). Bir üçgei açılarıa karşılık gele A, B, C dizisi (a) ile kear uzuluklarıa karşılık gele α, β, γ dizisi de (s) ile gösterilmek üzere bazı durumları şöyle özetleye biliriz. (a) dizisi bir aritmetik dizi alıdığıda üçgei, B = A+C ve A+B+C= 180º bağlatılarıı sağlaması içi gerek ve yeter şart B = 60º olmasıdır. Kosiüs teoremide, β = α + γ αγ olduğu ortaya çıkar. Hem de, (a) dizisi bir aritmetik dizi oluşturduğuda elde edile dik üçge bir Pythagorea üçgei olamaz. Çükü bu durumda dik üçgei açıları A= 30º, B = 60º, C = 90º biçimide aritmetik bir dizi oluşturacağıda; bu üçgei β ya bağlı α, β, γ kear uzulukları, ve 3 olarak elde edilir. Buula beraber, bu üç reel sayıda e çok ikisi pozitif bir 3 tamsayı olabileceğide, m pozitif bir tam sayı olmak üzere, m 3 olacaktır. Çükü β pozitif bir tam sayı ise o zama α ile γ ı her ikisii de pozitif irrasyoel sayılar olacağı açıktır (Zelator, 008).

1. KENARLARI ARĠTMETĠK DĠZĠ OLAN HERON ÜÇGENLERĠ Bu bölümde kearları aritmetik dizi ola Hero üçgeleride yola çıkarak x 3y z Diophatie deklemleri ve arasıdaki ilişkiler verildi. Ardışık tamsayı kearlı Hero üçgelerii sosuz sayıda olduğu ve buları asıl üretilebileceği gösterildi. Ayrıca, daha geel olarak herhagi bir aritmetik dizi kearlı Hero üçgelerii bulma problemii tam bir çözümü farklı bir metotla verildi. Kear uzulukları ardışık tamsayılar ola Hero üçgelerii varlığı gösterildi ve oları listesi verilerek özellikleri iceledi (Fleeor, 1987)..1. ArdıĢık Tamsayı Kearlı Hero Üçgeleri Bir üçgei a, b, c kear uzulukları ve alaı tamsayı ise bu üçgee Hero Üçgei dediğii Taım 1..7 de biliyoruz. Ayrıca kear uzulukları a, b, c ve s ( a b c) / ola bir üçgei alaıı Teorem 1..1 de A= s( s a)( s b)( s c) formülüyle hesaplarız. Bu formül Heroda birkaç yüz yıl öce Archimedes tarafıda bulumuş acak Hero formülü olarak bilimektedir. Bir üçgei kear uzulukları b 1, b, b+1 olsu. O zama s 3 b/ olur ve buu Hero formülüde yerie koyarsak; A = b 3( b 4) 4 soucua ulaşırız. A ı tamsayı olması içi 3( b 4) ifadesi bir kareye eşit olmalıdır. Buu b i durumua göre irdeleyelim. Bu ifadede; eğer b tek olsaydı o zama 3( b 4) ifadesi tek olurdu ki bu A ı tamsayı olamayacağıı gösterir. Buda dolayı b çift olacağıda b = z alırsak o zama ala A= z 3( z 1) olur. Burada alaı tamsayı, yai üçgei Hero üçgei olabilmesi içi gerek ve yeter şart 3 ( z 1) ifadesii bir tam kare olmasıdır. O zama z 1 3y olması gerektiğide z 3y 1

13 elde edilir. Bu deklem x dy 1 formuda iyi bilie Diophatie deklemleride biridir. Bu deklemi Pell deklemi olarak isimledirildiğii Taım 1..15 de biliyoruz. Pell deklemlerii e küçük çözümlerii ise sürekli kesirler yardımıyla buluabileceğii Teorem 1..6 da biliyoruz (Robbis, 1993). Burada d 3 ve 3 içi sürekli kesir açılımıı Taım 1..14 e göre verirsek; 1 1;1, 1 1 1 1 1 1 1 olur. Burada 3 içi yakısak dizi 5 7 19 6 71 97 65,,,,,,,... 1 3 4 11 15 41 56 153 olarak elde edilir. Yukarıdaki dizide başta başlayıp, birer atlayarak (, 1), (7, 4), (6, 15), (97, 56),... ikililerii buluruz ki buları her biri deklemimizi çözümlerie karşılık gelir. Bular da b i değerlerii verir. Bu şekilde elde edile bazı üçge örekleri Tablo.1 de verilmiştir. Bu yakısak diziler arasıdaki çözümleri sosuz sayıda olduğuu asıl bilebiliriz? İlk bulua çözümde hareketle bütü çözümleri ürete kolay bir yol var. Buu içi z dy 1 Pell deklemii e küçük çözümüü ( z 1, y 1 ) olduğuu var sayalım. O zama bütü pozitif çözümler z y d (z y d ) 1 1 olmak üzere ( z, y ) formudadır (Robbis, 1993). Öte yada d i birçok küçük değeri içi e küçük çözüm kolayca buluabildiğide d i yakısamalarıı hesaplamamız gereksizdir. d = 3 olması durumuda x 3y 1 Pell deklemii e küçük çözümü (, 1) olduğu kolayca buluur. O zama deklemi sağlaya bütü z değerleri, ( 3 ) irrasyoel ifadesii rasyoel bileşeleri olarak buluur. Hesaplamalar soucuda z içi, 7, 6, 97, 36, 1351 çözümleri elde edilir. Bu z lerde elde edile b=z kearlı üçgeleri küçük bir listesi Tablo.1 ile verilmiştir.

14 Tablo.1. Kearları Aritmetik Dizi Ola Üçgeler a b c Ala 1 3 4 5 6 13 14 15 84 3 51 5 53 1170 4 193 194 195 1696 5 73 74 75 6974 6 701 70703 3161340 7 10083 10084 10085 44031786 8 37633 37634 37635 61383664 9 140451 14045 140453 8541939510 10 54173 54174 54175 118973869476 11 195643 195644 195645 16570933154 1 7300801 730080 7300803 3080317394680 13 746963 746964 746965 314673519366 14 101687053 101687054 101687055 447746600698440 15 37950151 3795015 37950153 6363009058485800 16 1416317953 1416317954 1416317955 86860466418103000 Bu değerleri ve devamıı üretecek bir formül bulabilir miyiz? Buu içi ( 3 ) irrasyoelii Biom teoremiyle açarsak k0 k k k ( 3 ) 3 soucua ulaşırız. k ı çift kuvvetlerie karşılık gele terimleri rasyoel kısımlarıda, elde edilir ki / z 3 kok b z k k, Hero üçgeii kearıa karşılık gelir. Bu souç, ardışık tamsayı kearlı Hero üçgeleri sosuz bir ailesii buluduğuu gösterir ki buları çok az bir kısmı Tablo.1 de verilmiştir. Fleeor (1987), Tablo.1 de verile ardışık üçgelere karşılık gele kearları oralarıı limit olarak 3 e yaklaştığıı göstermiştir. Bu ifadede z içi farklı bir gösterim de elde edebiliriz. ( 3) i Biom açılımıdaki çift terimleride z,

15 z ( 3 ) +( 3 ) biçimide de ifade edilebilir. ( 3 ) (0,67... ) limit değerii de 0 a yaklaştığıı dikkate alırsak; ifadesii sosuza gittiğide z 3 olur. O zama z / 1 z oraıı yaklaşık 3 olacağı açıktır.. Diğer Aritmetik Dizilere GeiĢlemeler Kesim.1 de b 1, b, b+1 aritmetik dizisii bir Hero üçgei kear uzulukları olduğuu gösterdik ve diğer aritmetik dizi formuda kearlı Hero Üçgelerii buluup bulumadığıı sorduk. Yukarıda taımlaa üçgelerde herhagi birisii bütü kearlarıı bir k tam sayısı ile çarparsak, o zama olar da aritmetik dizi formuda olur ve alaı da k ile çarpılmış hali olacağıda ala da bir tamsayıdır. (15, 0, 5) veya (6, 8, 30) üçgelerii bulara örek olarak verebiliriz. Acak bu yolla elde edilemeye aritmetik üçgeler var mıdır? Öce, x tamsayısı 1 x b şartıı sağlamak üzere, kearlar b x, b, b+x olarak alalım. O zama s 3 b/ yarı çevre ve Hero formülüde ala da b 3( b 4 x ) A= 4 buluur. Daha öce açıkladığı üzere b çift olmak zoruda olduğuda b=z alırsak, o zama alaı sadeleştirdiğimizde, A z z x 3( ) olur. Tekrar bu üçgei Hero olması içi gerek ve yeter şart 3( z x ) ifadesii bir tam kare olmasıdır. Burada z x 3y dersek o zama deklem x 3y z biçimide.derecede homoje Diophatie deklemie döüşür. Böyle deklemleri çözülebilir olduğuu, bu çözümleri Teorem 1..3 ile verildiğii belirtelim. Çözümleri her zama iki değişkeli parametrik deklemleri bir kümesi

16 olarak verildiği açıktır. Yukarıdaki deklemleri bütü çözümleri, ile tamsayı ve g = ( 3,, 3 ) olmak üzere; 3 3 x=, y, z g g g biçimide verilir. Deklem homoje olduğu içi, primitif çözümleri herhagi bir katı da bir çözüm ve ile da aralarıda asal tamsayılar olurlar. Primitif çözümleri ile i farklı değerleri içi oluşa üçgelere karşılık geldiğii söyleyebiliriz ki bular Tablo. ile verilmiştir. Tablo.. Kearları Aritmetik Ola Üçgei Arta b Değerleri x a b c x a b c 1 1 1 3 4 5 7 3 11 65 76 87 1 1 13 14 15 4 3 11 75 86 97 1 11 15 6 37 1 4 47 51 98 145 1 3 13 15 8 41 6 7 37 85 1 159 3 5 11 17 8 39 7 5 13 111 14 137 3 4 13 5 38 51 11 1 59 65 14 183 3 7 3 9 5 75 3 8 61 73 134 195 5 3 1 51 5 53 5 4 3 13 146 169 3 3 39 6 85 1 7 73 75 148 1 5 13 61 74 87 11 3 47 101 148 195 1 5 37 39 76 113 11 3 47 13 170 17 11 6 109 157 66 375 10 3 97 109 06 303 8 9 37 145 1819 10 9 73 181 54 37 11 1 73 65 338 411 5 71 87 158 9 Tablodaki değerler yukarıdaki formüllerde elde edilmiştir. Tabi ki x = 1 alırsak Kesim.1 deki kearları b - 1, b, b+1 ola üçgee döüşür. Ayrıca x değerlerii hepsi 1 modülüe göre 1 ya da -1 e kogrüet olduğua dikkat çekilmelidir..3 Bir Hero Üçgeide Ġki Dik Hero Üçgei OluĢturulması Kesim.1 de verile Tablo.1 deki herhagi bir üçgei dikkate alalım. Bu üçgei kear uzuluğu çift olaa, karşı köşede bir dik idirelim (Üç kearıı ortasıdaki keara). Eğer üçge dar açılı ise ou iki dik üçgee ayırır. Fleeor, bu şekilde elde edile dik üçgeleri her birii Hero olduğuu ve oları taba kear uzuluklarıı farkıı 4 olduğuu göstermiştir (Fleeor, 1987). Bu gerçek kesim.1

17 de icelee üçgeleri hepside ortaya çıkmıştır ve buu görmek çok zor değildir. Eğer kearlar ardışık tamsayılar ise, yüksekliği h olarak aldığımızda, bu yükseklik b tabaıı u ve v uzuluklarıa ayırdığıı ġekil.1 de görürüz. O zama Pythagorea teoremide b z kullaırsak; h u z z 4 4 1 h v z z 4 4 1 buluruz. Bu ifadeleri ikiciside biricisii çıkarırsak, ( v u)( v u) 8z elde ederiz. Burada v u z olduğuda vu 4 soucua ulaşırız. O zama üçgei h yüksekliği h (z 1) ( z ) A z 3z 3 olup bu ifade bir tam sayıdır. Böylece her ikisi de Hero olup, bu üçgeleri taba uzulukları z ve z+ dir. Dolayısıyla oları farkı 4 tür. ġekil.1. Bir Hero Üçgeii İki Dik Üçgee Ayrılması Kesim. deki üçgeler içi yukarıdakie bezer bir hesaplama ile yükseklik, tabaı z x ve z +x uzuluklu parçalara ayırır. O zama yükseklik öcede olduğu gibi 3z 3x ifadesie döüşür ki bu durumda da A z ifadesi tamsayı halie gelir. Böylece kearları b x, b, b + x aritmetik diziside oluşa her bir Hero üçgei, tabaları farkı 4x ola iki dik Hero üçgeie döüşür. Bezer bir hesaplamayla diğer kearlarda (çift olmaya) herhagi birisii yüksekliğide, iki Hero üçgeii üretilemeyeceği gösterilebilir. Gerçekte herhagi bir Hero

18 üçgeii e az bir kearıı çift olduğuu ve birbirie dayaa iki dik üçgee ayrılabileceğii gösterebiliriz. Kesim.1 ve. de çalışıla üçgeler dar açılı olmayabilirdi ki bu durumda yükseklik çift kearlı tabaıı dışıa düşer. Bu durumda (gerçekte b < 4x olduğu zama) yukarıdakie bezer hesaplamayla bir Hero üçgei, farklı iki dik Hero üçgeii farkı olduğu gözlemleebilir. Bu durum daha ayrıtılı olarak 4. bölümde icelemiştir.

19 3. ÜÇGENDE AÇILARIN VE KENARLARIN DĠZĠ OLUġTURMASI Bu bölümde bir üçgei açılarıı ya da kearıı dizi oluşturması içi trigoometrik durumlarıı e olması gerektiğii vereceğiz. Daha sora üçgei geometrik dizili üçge olup olmadığıı kousua değieceğiz. Bir üçgede (a) ı dizi olabilmesi içi B açısıı 60º olması gerektiğii ve ı oraıı (, 3] aralığıa düştüğüü göstereceğiz. Özel olarak; 1 3 içi bu üçge, A B C 0 0 0 30, 60, 90 açılı üçgelere döüşür. Öte yada, ρ = 3 içi üçge eşkeardır. Teorem 3.1. Üçgeii kear uzulukları α, β, γ, yarı çevresi τ ve üçgei iç teğet ( )( )( ) çemberii yarıçapı r ise; r olarak verilir. Ġspat. Bir üçgei çevresii τ ile yai τ = α + β + γ ile gösterirsek; yarı çevre τ = (α + β + γ)/ olur. AH AE x BH BD y DC CE z r IE r IH r ID ġekil 3.1. Üçgei İç Teğet Çemberii Merkezi ġekil 3.1. de, x + z + y = τ ; x + y + z = τ, x + y = γ, y + z = α ve x + z = β olur. Burada B C A r y. ta z.ta x.ta ; A B C r ( ) ta ( ) ta ( ) ta elde edilir. İki açıı toplamıı tajatıı; (3.1)

0 ta1 ta ta( 1 ) 1 ta.ta olduğuu biliyoruz. Burada; ve 1 A B ta ta A B ta( ) A B 1 ta.ta A B C C 1 ta ( ) ta(90 ) cot( ) C ta( ) olacağıda (3.1) ile (3.) ifadeleride hareketle, r r r 1 ( )( ) r veya degi ola [ r( ) r( )] r ( )[( )( ) r ] r ( )( )( ) (3.) ( )( )( ) r (3.3) olur ki bu da araadır. Teorem 3.. Bir üçgede (s) dizisii bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart cot( A/ ),cot( B/ ),cot( C / ) dizisii de bir aritmetik dizi oluşturmasıdır. B A C Ġspat. Taım 1..18 de cot cot cot olduğuu göstermeliyiz. (3.1) i kullaarak; B A C cot cot cot 1 1 ta( B ) ta( A ) ta( C ) ( ) r r r

1 elde ederiz (Zelator, 008). Teorem 3.3. (s) dizisii bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart A C 1 ta( ).ta( ) olmasıdır. 3 Ġspat. Taım 1..18 de A C 1 ta ta 3 olduğuu göstermek yeterlidir. (3.1) i ve (3.3) ü kullaılmasıyla; A C 1 r r 1 ta ta. 3 3 r 1 ( )( )( ) 1 1. ( )( ) 3 ( )( ) 3 1 1 ( ) 1 3 3 3 3( ) olur ki ispat biter (Zelator, 008). Teorem 3.4. Bir üçgei kear uzuluklarıı kareleri ola α, β, γ ı bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart cosa, cosb, cosc dizisii bir aritmetik dizi oluşturmasıdır. Ġspat. Taım 1..18 de, cot B cot A cot C olduğuu göstermeliyiz. Buu içi cot cot cot ( ) 1 yarım açı formülüü kullaarak başlayalım. cot B cot A cot C cot B 1 cot A 1 C cot B cot A cot C cot 1

((3.1) de) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 r r r ( ) ( ) ( ) r r r (β = τ - (α + γ)) i kullaılması ve eşitlikleri τ ile çarpılması soucuda ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 [ ] 0 4 0 4 4 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 olarak buluur ki ispat biter (Zelator, 008). Teorem 3.5. Bir üçgei hem açılarıı oluşturduğu (a) dizisi hem de kearlarıı oluşturduğu (s) dizisii aritmetik olması içi gerek ve yeter şart üçgei eşkear olmasıdır. Yai bu aritmetik dizilerde fark sıfırdır. Ġspat. : Eğer üçge eşkearsa (a) ı ve (s) i aritmetik dizi olacağı açıktır. Çükü bir üçge eşkear ise, A = B = C = 60º ve α = β = γ olur. Burada açık olarak; (a) ile (s) dizilerii her ikisi de farkı sıfıra eşit ola aritmetik dizilerdir. : Yai, (a) ve (s) dizilerii her ikisi de aritmetik dizi ise o zama üçge eşkeardır. Gerçekte, Teorem 3.3 de dolayı (s) dizisi bir aritmetik dizi olduğuda A C 1 ta( ).ta( ) olur. 3 Öte yada, (a) bir aritmetik dizi de olduğuda, özel olarak B = 60º elde ederiz ve burada A + C = 10º olduğuda C = 10º A buluur. Böylece,

3 Teorem 3.3 de A A 1 ta ta 60 3 ta 60 ta A A 1 ta. 1 ta 60 ta A 3 ve ta 60 3 olduğuda A A A 1 A A A A 3ta 3 ta 1 0 ( 3 ta 1) 0 ta (0 90 ) 30 ; 60 3 ifadelerie ulaşırız ki burada B = 60º ve C = 60º olur. Böylece A = B = C = 60º olup, üçge eşkeardır (Zelator, 008). Teorem 3.6. bir reel sayı olmak üzere, (s) dizileri aritmetik dizi oluştura dik üçgeler ise, üçgei kear uzulukları 3, 4, 5 biçimide verilirler. Ġspat. Böyle bir dik üçgei α, β, γ kear uzulukları iki şartı sağlamalıdır: 4 4 ( ) 3 5 0; (3 5 )( ) 0 ve ( + > 0 olduğuda) 5 3 5 0 3 ve β = α + γ da β = 4α/3 elde ederiz ve δ pozitif reel sayı olacak şekilde, α = 3δ koyarsak, α = 3δ, β = 4δ, γ = 5δ ya ulaşırız (Zelator, 008). Teorem 3.7. Bir üçgei α, β, γ kear uzulukları dizisii bir harmoik dizi olması içi gerek ve yeter şart olmasıdır. A B C dizisii de bir harmoik dizi si ( ),si ( ),si ( ) Ġspat. Harmoik dizi taımıda 1 1 1 1 si si si B A C olduğuu ispatlamalıyız. Sağ tarafta sol tarafa ulaşalım.

4 1 1 si si si B A C B A C cos ec cos ec cos ec B A C 1 cot 1cot 1cot B A C cot cot cot 1 1 ta ta ta B A C ((3.1) de) ( ) ( ) ( ) r r r ( ) ( ) ( )( ) 1 1 olur ki bu da araadır. Teorem 3.8. (a) dizisii aritmetik dizi ve (s) dizisii de geometrik dizi olduğu üçgeler sadece eşkear olalardır (Yai farkı sıfır ola aritmetik diziler ve oraı 1 ola geometrik diziler). Ġspat. Bir üçgede (s) dizisi bir geometrik dizi ve (a) bir aritmetik diziyse, o zama üçgei eşkear olması gerektiğii Teorem 3.5 de biliyoruz. Gerçekte eğer durum böyle ise o zama B=60º ve β = αγ şartları ayı zamada sağlaması gerekirdi. Teorem 1..9 da, si A si 60 sic

5 olur. Böylece, si A si C. si 60 si 60 3 3 ve si 60 olduğuda si A.si C elde edilir. 4 Öte yada cos( A C) cos(180 B) cos10 1 3 1 1 cos AcosC si Asi C cos AcosC cos AcosC 4 4 olduğuda 3 9 si Asi C si Asi C 4 16 1 1 cos AcosC cos Acos C 4 16 9 1 (1 cos A)(1 cos C ) cos Acos C 16 1 1 cos Acos C cos Acos C 16 16 ifadelerii elde ederiz. Eğer iki sayıı toplamı S ve çarpımı P ise, oları x -Sx + P= 0 biçimideki ikici derecede deklemii iki kökü olması gerektiğii hatırlayalım. Yukarıda verilelere göre cos A ve cos C reel sayıları 1 1 1 x x 0 ( x ) 0 16 4 ikici derecede deklemii iki kökü olmalıdır. Bu ikici derecede deklemi 1/4 biçimide bir katlı kökü buluur. Dolayısıyla cos A cos C ve cos A > 0, 16 1 1 cos C > 0 olduğuda hareketle cos A cos C elde edilir. Burada A=60º = C olacağıda üçge eşkeardır (Zelator, 008). Şimdi de kearları geometrik dizi oluştura rasyoel kearlı ve rasyoel alalı hiçbir üçgei bulumadığıı ifade ede teoremi verelim. Teorem 3.9. Kearları geometrik dizi oluştura rasyoel kearlı ve rasyoel alalı bir üçge yoktur.

6 Ġspat. Burada, kear uzulukları geometrik dizi ola rasyoel alalı üçgeler göz öüe alımıştır. Kearları a, ar, ar (burada a, r ve r 0 ) alırsak o zama yarı çevre s a r r (1 ) olur. Hero ala formülüü kullaırsak; a A r r r r r r r r 4 (1 )( 1 )(1 )(1 ) olur ve bu souç bir rasyoel sayı olmalıdır, ayrıca burada y ike (1 r r )( 1 r r )(1 r r )(1 r r ) y olmak zorudadır. Burada m, Z, (m,) = 1 ve Y Z deklemi ike m r alalım, o zama tam sayı olur. Y ( m m )( m m )( m m )( m m ) Bu deklemi sağıdaki 4 terimi ikişer ikişer aralarıda asal olduğu kolayca görülür. Buu alamı, buradaki her bir terimi kare olması gerektiğidir. Gerçekte de terimlerde ikisii çarpımıı da kare olacağı görülür. Bu yüzde Y ' ( m m )( m m ) m m deklemii elde ederiz. 4 4 Bu deklemi tek çözümü m = 0 ike ki çözümdür. Burada 0 olduğuda sadece m = 0 yai r = 0 olur. Böylece teoremi ispatlamış oluruz (Buchholz & MacDougall, 1998). 3.1 Açıları Dizi Ola Üçgeler (a) dizisii bir aritmetik dizi olması içi gerek ve yeter şartı B = 60º olması gerektiği heme görülür. Bu B = A + C ve A + B + C = 180º şartlarıda çıkar. Üstelik kosiüs teoremide; cos60 ( ) 3 elde ederiz. Şimdi de, iki pozitif β ve τ reel sayıları verildiğide 0< α β γ olacak şekilde B = 60º açılı bir tek üçge taımladığıda oraı (, 3] yarı kapalı

7 aralığıa düştüğü görülecektir. Gerçekte β > 0, τ > 0 ve < ρ 3 şartlarıda, tam olarak(gereklilik ve yeterlilik), B = 60º açılı bir tek üçge belirleir. Başka bir deyişle, içi < ρ 3 olacak şekilde, iki pozitif β ve τ reel sayıları verildiğide yukarıdaki koşulları sağlaya Euclides geometriside bir tek üçge oluşturulabilir. Şimdi içi böyle olduğuu görelim. Eğer α ve γ ı toplamı S ile çarpımları da P ile gösterilirse; yukarıda elde ettiğimiz bağıtıda (α + γ) = β + 3αγ olacağıda S olduğu soucua ulaşılır. 3 S 3P P Öte yada α ve γ reel sayıları, X SX + P = 0 ikici derecede deklemii kökleridir. α ve γ reel kökler olduklarıda, bu ikici derecede deklemi diskrimiatı egatif olamaz. Burada; S ( S) 4P 0 S 4P 0 S 4 0 4 S 3 (β ve S i her ikisi de pozitif olduğu içi) β S ve S = τ β olduğuda, 3 (β > 0 içi) 3 elde ederiz; burada da (açık olarak), ; 1 olur. Böylece 1 3 1 3 ifadesi bir gerek şart olarak ortaya çıkar. Öte yada X SX + P = 0 deklemie geri döersek ; α ile γ, α γ olacak şekilde deklemi kökleri olduğuda (ikici derece deklem formülüde), elde ederiz. Daha öcede S S 4 P S S 4 P, S P ve S = τ β olarak verile ifadeler kullaılırsa; 3 (3 )( ) (3 )( ) 3, 3 ifadesii veya dek ola,

8 ve (3 )(1 ) 1 3 (3 )(1 ) 1 3 ifadesii elde ederiz ve ayrıca eşitliğii kullaarak, (3 )(1 ) (3 )(1 ) 1, 1 3 3 (3.4) soucua ulaşırız. Fakat ek bir şart olarak; (3.4) de dolayı 0 olması (β > 0 olduğuda) (3 )(1 ) 1 0 3 olmasıa dek olduğuda; (3 )(1 ) 1 (1 3 içi) 3( 1) (3 )(1 ) 3 3 6 3 3 4 8 0 4 ( ) 0; soucuu elde ederiz. Ayrıca 1 < ρ 3 olduğuda hareketle < ρ 3 elde edilir ki bu da araadır. Teorem 1..9 da R olduğuu hatırlayalım si A si 60 si C (Burada R, çevrel çemberi yarıçapıdır). Burada B 60 alırsak, si 60 3 olduğuda hareketle si A 3 si C ifadesie ulaşırız. Buu (3.4) ile birleştirirsek, si A 3 (3 )(1 ) 1 4 3 ve

9 3 (3 )(1 ) si C 1 4 3 souçlarıa ulaşırız. Ayrıca, olur. 0 0 A B C 180 (A + B + C = 180º olduğuda) 0 si A si B si C 1 0 si A si 60 si C 1 3 0 si A si C 1 3 (3 )(1 ) 3 3 (3 )(1 ) 0 1 1 1 4 3 4 3 Eğer ilk eşitliği işareti doğruysa, o zama ikicisii ve tersii de doğru olması gerekir; burada ρ = 3 olması durumu tam olarak eşkear üçge olması durumua karşılık gelir (yai, A = B = C = 60º). Üstelik dördücü eşitsizlikte, ayı işaretli olması durumu tam olarak 1 3 içi sağlaır ki, bu A B C 0 0 0 30, 60, 90 olması durumua karşılık gelir. Eğer cebirsel işlemler yapılırsa so eşitsizliği (1 3) 0 olduğu görülür. Tersie olarak 3 olmak üzere (3.4) ü kullaılması ve siüs teoremiyle birlikte B = 60º olarak belirleyebiliriz. So olarak ta α + β > γ; α + γ > β; β + γ > α şeklideki üç üçge eşitsizliğii sağladığıı kolayca gösterebiliriz; üçücü eşitsizlik, γ β α > 0 da dolayı heme görülür; ikicisi ise α + γ = τ β da kolaylıkla buluur. Gerçekte (β > 0 olduğuda) ifadeside olur ki bu geçerlidir. Çükü u, 3 şartıı sağladığıı varsaymıştık. Şimdi α + β > γ üçge eşitsizliğii ispatlayalım. (3.4) de dolayı (β > 0 olduğuda) 3 (3 )(1 ) 3 (3 )(1 ) 1 1 1 4 3 4 3 (Bu eşitsizliği her tarafıı 4 ile çarparsak)

30 3( 1) 4 3( 1) (3 )(1 ) (3 )(1 ) 4 (3 )(1 ) 1 0 ( 1) 0 olur ki bu eşitsizlik 1 olduğuda doğrudur. Çükü < 3 dür. Bua göre şu souçları elde ederiz. Açıları A, B, C; kear uzulukları α, β, γ ola bir üçgede açıları (a) dizisii bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart B = 60º olmasıdır. dur. olmak üzere 3 olacak şekildeki bir üçgede çevre uzuluğu Tersie olarak 3 olacak şekilde iki pozitif reel sayı τ ve β verildiğide B = 60º açılı ve B açısıı oluştura kearları; (3 )(1 ) 1 ve 3 (3 )(1 ) 1 3 biçimide ola bir özel üçge işa edilebilir. Ayrıca bu üçgede; 3 (3 )(1 ) si A 1 4 3 olarak buluur. ve 3 (3 )(1 ) si C 1 4 3 Üçgede 1 3 olduğu zama, açıları A = 30º, B = 60º, C = 90º ola bir dik üçge buluur. Öte yada ρ = 3 içi üçge eşkeardır. 3. Açıları Aritmetik Dizi OluĢtura Tamsayı Kearlı Üçgeleri Taımlaması ve Belirlemesi Açıkça görüleceği gibi, kear uzulukları tamsayı ola ve açılarıı (a) dizisi bir aritmetik dizi oluştura bütü üçgeleri parametrik olarak taımlayabilmek içi, üç değişkeli x + 3y = z Diophatie deklemii geel çözümüe ihtiyacımız olacaktır. Burada x + y = z ( verile pozitif bir tamsayıdır) biçimideki üç değişkeli Diophatie deklemii iyi alaşıldığıı ve geel çözümlerii uzu zamadır bilidiği belirtelim. Fazla ayrıtıya girmeksizi, x + 3y = z Diophatie

31 deklemii pozitif tamsayılardaki bütü çözümleri; d, κ, λ pozitif tamsayılar ve κ ile λ aralarıda asal (yai (κ, λ) = 1 içi) olmak üzere; d 3 d (3 ) x, y d, z (3.5) biçimide taımladığıı ifade edelim. Şimdi kear uzulukları α, β, γ tamsayıları ve (a) dizisi bir aritmetik dizi ola bir üçge düşüelim ki bu durumda B = 60º olması gerekecektir. Bu üçgee Teorem 1..10 ile verile Kosiüs Teoremii uygularsak; 0 deklemie ulaşırız. 0 < α β γ olduğuu dikkate alır ve γ ya göre bu so ikici derecede deklemi çözersek; 4 3 (3.6) ifadesii elde ederiz. Burada sayılar teorisii bilie bir soucuda faydalaarak hareket ederiz. Bu souca göre; eğer ve m pozitif tamsayılarsa o zama m (m i ici derecede kökü) i rasyoel olması içi gerek ve yeter şart m i ici kuvvette bir tamsayı; yai bir k pozitif tamsayısı içi m = k olmasıdır. Buu alamı m k ı pozitif bir tamsayı olmasıdır. Özel olarak, bir pozitif tamsayıı kareköküü rasyoel olması içi gerek ve yeter şart bu pozitif tamsayıı bir tam kare olmasıdır (yai mükemmel kare) (Nagell,1951). Çükü yukarıda verile (3.6) e göre hareket edersek (β, γ, α tam sayılar oldukları içi) 4 3 kareköküü bir rasyoel sayı olması gerektiği ortaya çıkar. γ ı bir pozitif tamsayı olması içi gerek ve yeter şart bir δ pozitif tamsayısı içi ve α ve δ tamsayılarıı ayı türde (yai her ikisi 4 3 ; 0 de tek veya her ikisi de çift) olmasıdır. α ile δ ı her ikisi de pozitif tamsayılar olduklarıda, 0 olduğu açıktır. Buula beraber olması durumu bir çelişkidir. Bu kolayca görülebilir. Burada γ > 0 olduğuda α > δ olması gerekir. Acak bu durum geçerli

3 olduğuda 4 3 4 3 4 4 ifadeside (β ve α ı her ikisi de pozitif oldukları içi) β < α elde edilir ki bu ise α β olmasıyla çelişir. Böylece (3.6) ifadesideki hesaplamada dolayı; 4 3 4 3,,, olarak elde edilir (pozitif tamsayılar kümesi). ( ) 3,,, (3.7) (3.7) deki ikici deklem; x + 3y = z Diophatie deklemii bir pozitif tamsayı çözümüü (δ, α, β) üçlüsü olduğuu gösterir. (δ, α, β) çözüm üçlüsü; d, d, 3 d(3 ) olarak buluur ki bu ifadeler ile (3.7) ile birleştirilirse δ, α, β tamsayıları; d, κ, λ Z + ve (κ, λ) = 1 içi d(3 ) 3 d,, d 4 4 formülleride buluur. (3.8) İlk gözlemimiz; κ, λ parametreleri tamsayı ve (κ, λ) = 1 olduğuda bu tamsayıları ya her ikisi de tek, ya da olarda birisii çift, diğerii tek olması gerektiğii görürüz. Eğer κ ile λ farklı ikililer ise, o zama β ve γ ı tamsayı olması içi d, 4 ü bir katı olmalıdır. Öte yada eğer κ λ 1 (mod ) ise, o zama 1 (mod 4) olacağıda, 3κ +λ 0 (mod 4) elde edilir. Burada β ve γ pozitif tamsayı olmaları gerektiğide, d pozitif bir değer alır. Ayrıca κ λ 1 (mod ) olduğu zama d = i = 1 veya κ + λ 1(mod ) olmak üzere i = 4 içi; iκλ, 3 3 i, i 4 4 tamsayıları ikişer ikişer aralarıda asal ve λ, 3 ile bölüemeye bir sayıdır. Eğer i, κ ve λ; tamsayıları yukarıdaki şartları sağlamak üzere λ, 3 ü bir katı ise o zama bu üç tamsayıda herhagi ikisii e büyük ortak bölei 3 e eşit olacaktır. Sora, (3.8) formülleride

33 α β δ şartıı geçerli olduğuu kabul edelim. Dolayısıyla bu κ ve λ tamsayı parametrelerii sağlaması gereke şartlarıı belirlememizi mümkü kılar. Daha sora β = γ + α αγ deklemii pozitif tamsayılardaki bütü çözümlerii elde ettikte sora, bu çözümler arasıda α β γ eşitsizliğii sağlaya çözümleri belirlemeliyiz. (3.8) ifadesie bu şartlar uygulaırsa; d(3 ) 3 d d 4 4 (3.9) elde edilir. d, κ, λ lar pozitif olduğuda, kısa bir cebirsel işlem soucuda, (3.9) daki ilk eşitsizlikte; 1 3 0 1 yada 3 (3.10) elde edilir. Burada (λ, κ) = 1 olduğuda 1 içi λ = κ = 1 ve 3 içi λ = 3, κ = 1 olacağıı belirtelim. (3.8) de dolayı ilk durumda; α = β = γ = d olduğuu, ikici durumda ise α = β = γ = 3d olduğuu görürüz ki, her iki durumda da üçge eşkear olur (aşağıda bu durumu bir taesi kabul edilmiştir). λ ve κ pozitif tamsayı olduklarıda, (3.10) ifadesi 1 λ κ veya 3 3κ λ değerleri içide elde edilebilir ki buu aralık gösterimi (0,1] [3 ) olarak buluur. (3.10) altıda, (3.9) daki ikici eşitsizliği de sağladığıı gösterelim. 3 bir irrasyoel sayı olduğuda 3κ λ sıfır olamaz. Eğer 3κ λ > 0 ise o zama 3 3 olacağıda (3.9) daki ikici eşitsizlikte; 3 d(3 ) d 1 0 0 4 4 (olduğu içi) 0 1, (3.10) ile uyumlu ve 3κ λ > 0 olması gerektiğide 0 3 buluur. Bezer şekilde eğer 3κ λ < 0 ise o zama 3 3 olacağıda ve ikici eşitsizlikte 3 elde edilir ki (3.10) ile uyumlu ve ayı

34 zamada 3κ λ < 0 olması gerektiğide 3 elde edilir. Burada α β γ olmak üzere (3.8) ve (3.10) ile birlikte; β = α + γ αγ deklemii bütü pozitif tamsayı çözümlerii taımlaacağı açıktır. Üstelik kosiüs teoremide üçgei B açısıı 60º olarak buluruz. Geriye gerçek bir üçgei oluştuğuda emi olmak içi; α + β > γ, β + γ > α, α + γ > β üçge eşitsizliklerii gerçekleştiğii kotrol edilmesi kalır. ((3.8) de dolayı) 3 3 olması gerektiği; 3 3 3 ve κ ile λ ı pozitif olmasıda açıktır. İkici üçge eşitsizliği ola β + γ > α ifadesi ( ) 3 0 ifadesie dek olur ki geçerli olduğu açıktır. Üçücüsü ola α + γ > β üçge eşitsizliğii gerçekleştirmek içi, (3.10) de faydalaarak 3κ λ > 0 ile 3κ λ < 0 olması durumlarıı irdelemek gerekir. Ayrıtıları bir keara bırakıyoruz. Ayrıca, (3.8) ile (3.10) ifadelerii birleştirir ve gerekli hesaplamaları yaparsak oraıda 3 olması gerekeceğide, öceki kesimdeki souçta buu sağladığıı görürüz. Burada şu souçları çıkarırız. Kear uzulukları α, β, γ tamsayıları α β γ ve ou açılarıı (a) dizisi bir aritmetik dizi olacak şekildeki bütü üçgeleri parametrik gösterimi (3.8) ifadeleri ile verilmiştir. Burada, d, κ, λ pozitif tamsayılar, (κ, λ) = 1, 3κ λ veya 1 dir (veya aralık gösterimi (0,1] [3 ) olur.). Ayrıca κ ile λ ı her ikisi de tek olduğuda d herhagi bir pozitif tamsayı olabilir. Acak κ + λ 1 (mod) içi d, 4 ü bir katı olmalıdır. Ek olarak B = 60º açısı ve Teorem 1..9 da dolayı a si 60 3 si A 3 ifadesi elde edilir ki burada 0 < A 60º ve φ = 60º A olacağıda φ, (a) aritmetik dizisii farkıdır. Yai 0º φ 60º buluur. So olarak C açısı, C = 10º A = φ +A = φ + 60º olarak buluur. Ayı zamada verile bir (κ, λ) ikilisi içi, d yi değiştirmek suretiyle bezer üçgeleri

35 bütü sııfıı üretilebileceğii belirtelim. Üstelik aralığıa düşer. Yai < ρ 3 dir. oraıda ρ, (, 3] 3.3 Örekler Aşağıda kear uzulukları tamsayı, (a) dizileri aritmetik dizi, 1 λ, κ 5 eşitsizliklerii sağlaya λ ve κ farklı ikili olduğuda d parametresi 4 e eşit, λ ile κ ı her ikisii de tek olduğu durumda d = 1 olacak şekildeki bütü üçgeleri listesii veriyoruz. Aşağıdaki veriler; öceki bölümdeki formüllerde A açısıı değerii yaklaşık olarak belirlemek içi ve bilimsel hesap makiesi kullaılarak elde edilmiştir. Aşağıda o iki üçge vardır. Burada tüm bezer üçgeler sııfı λ ve κ yı sabitleyerek ve d yi değiştirmek suretiyle elde edilmesie rağme, aşağıdaki örekler bu sııfları birbiriyle bağlatılı olmadığıı göstermektedir. Buu edei; λ, 3 ü katı alıdığı içi üçgei her bir kearıı 3 ü katı olmasıdır. 3 Örek 3.3.1 1, d 1, 1, 3, si A, A 60, 0, B 60, C 60 36 Örek3.3., 1, d 4, 8, 13, 15,.76930769, 13 4 3 si A, A 3.0475, 7.795775, B 60, C 87.795775 13 7 18 Örek 3.3.3 3, 1, d 1, 3, 7, 8,.5714851, 8 7 3 3 si A, A 1.7867893, 38.13107, B 60, C 98.13107 14 10 Örek 3.3.4 4, 1, d 4, 16, 49, 55,.44897959, 49 8 3 si A, A 16.46414, 43.5735786, B 60, C 103.5735786 49 Örek 3.3.5 5, 1, d 1, 5, 19, 1, 45 10 3 5 3.36841053,si A, 19 76 38 0