İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE ÇÖZÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ Sema ERNEK. 09007008 Tez Daışmaı: Yad. Doç. D. Ahmet Kıış Mayıs 0
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE ÇÖZÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ Sema ERNEK. 09007008 Teslim Taihi: Mayıs 0 Tez Daışmaı: Yad. Doç. D. Ahmet Kıış Mayıs 0
ii
ÖNSÖZ Bu çalışmaı hazılaışı sıasıda maevi desteği ve bilgisiyle he zama yaımda ola akadaşım Uğu KARAKAYA ya, yadımıı ve bilgisii hiçbi zama esigemeye Sayı Hocam Yad. Doç. D. Ahmet KIRIŞ a, hayatım boyuca baa tecübeleiyle yol göstee, sevgi, güve ve he tülü desteği vee ae baba ve kadeşime e içte teşekküleimi suaım. Mayıs, 0 Sema ERNEK iii
İÇİNDEKİLER ÖZET v. GİRİŞ. CHEBYSHEV POLİNOMLARI.. Taım.. Özellikle... T ( ) le Poliomdula... Chebyshev Poliomlaı Otogoaldile 3.3. Chebyshev Poliomlaıı Köklei ve Ekstemumlaı 4.4. Moic Chebyshev Poliomlaı 6 3. CHEBYSHEV POLİNOMLARININ KULLANIM ALANLARI 8 3.. Yaklaşım Poliomu Oluştuma 8 3.. Yaklaşım Poliomuu Deecesii Düşüme 3.3. Difeasiyel Deklem Çözümü İçi Kullaımı 4 4. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ 5 4.. Cleshaw Yötemi 5 KAYNAKLAR 3 iv
ÖZET Bu çalışmada Chebyshev poliomlaıı özelliklei ve kullaım alalaı icelemişti. Chebyshev poliomlaı sayısal aaliz koulaıa kolay adapte edilebilmesi ve bilgisaya pogamlamaya uyguluğu edeiyle yaklaşım poliomlaıı oluştuulmasıda, poliomlaı isteile hata seviyesi içide kalacak şekilde deeceleii düşüülmeside ve difeasiyel deklemlei başlagıç ve sıı değe poblemleii çözümüde kullaılmaktadı. Bu tez kapsamıda bu koulaa değiilmesii yaı sıa özellikle başlagıç değe poblemleii, Chebyshev poliomlaı kullaılaak sayısal çözümü icelemişti. v
. GİRİŞ Chebyshev poliomlaı ilk kez yaklaşık 00 yıl öce Rus matematikçi Chebyshev taafıda kullaılmıştı. Soasıda Laczos ve Cleshaw iki faklı yötemle Chebyshev poliomlaı yadımıyla yaklaşım poliomlaı oluştumuşladı. Chebyshev poliomlaı; poliomla ailesi içide, otogoal olmalaı, eküsif ilişkile elde edilebilmesi ve bilgisaya pogamlamaya yatkı olmalaı sebebiyle yaklaşım poliomu olaak kullaılmaya çok uygudula. Bu tez kapsamıda, Chebyshev poliomlaıı taımı, otogoal olmalaı, çeşitli eküsif ilişkilei ve "moic" Chebyshev poliomlaı ikici bölümde alatılmıştı. Üçücü bölümde ayı deeceli diğe poliomlaa göe maksimum hatayı miimum yapacak şekilde Lagage itepolasyouda düğüm oktalaıı yeleii belileeek yaklaşım poliomlaıı oluştuulması ve yaklaşım poliomuu deecesii yapıla toplam hata isteile hata aalığı içide kalacak şekilde düşüülmesi alatılmıştı. Chebyshev poliomlaı yaklaşım poliomu oluştuma gibi amaçlala kullaılabilmesie ağme, adi ve kısmi tüevli difeasiyel deklemlei başlagıç ve sıı değe poblemleii sayısal çözümlei temel kullaım alalaıdı. Dödücü bölümde Chebyshev poliomlaıı sadece başlagıç değe poblemleie uygulaması, Cleshaw algoitması alatılmış ve çeşitli öekle veilmişti.
. CHEBYSHEV POLİNOMLARI.. Taım T ( ). deecede bi poliom olmak üzee 0 içi (,) aalığıda T (.) ( ) cos( cos ) şeklide taımlaı []... Özellikle... T() le Poliomdula: (.) taımıda ve olduğu göülü. (.) de içi T ( ) cos0 (.) 0 T (.3) ( ) cos(cos ) cos ataması yapılısa T (.4) (cos ) cos( cos (cos )) cos( ) ifadesi elde edili. (.4) ifadeside yeie yazılısa, T (cos ) cos[( ) ] cos[ ] cos( )cossi( )si (.5) yazılısa, T (cos ) cos[( ) ] cos[ ] cos( )cos si( )si (.6) souçlaıa ulaşılı.
(.5) ve (.6) toplamıda T (cos ) T (cos ) cos( )cos (.7) eşitliği elde edili. (.7) deklemide cos döüşümü yapılısa T (cos(cos )) T (cos(cos )) cos( cos )cos(cos ) (.8) ve (.8) deklemi yeide düzeleise olduğu göülü ve eküsif bağıtısı elde edili. T ( ) ve T( ) 0 T ( ) T ( ) T ( ) (.9) T ( ) T ( ) T ( ) (.0) olduğua göe T ( ) de e büyük deeceli teimi katsayısı, T ( ) de 3 ve T ( ) de poliomdu. olduğu göülü. Dolayısıyla T ( ) le (.0) bağıtısı yadımı ile bulua Chebyshev poliomlaıı bazılaı; T T T ( ) ( ) 0( ) T T T 3 3( ) ( ) ( ) 4 3 T T T 4 4( ) 3( ) ( ) 8 8 şeklide elde edili [].... Chebyshev Poliomlaı Otogoaldile. Chebyshev poliomlaı w ( ) (.) ağılık foksiyoua göe (,) aalığıda otogoaldile. 3
İspat: m ike T T ( ) d m (.) itegali çözülüse (.) taımıda T ( ) cos( cos ) ve T m eşitliklei yazılaak ifadesi elde edili. cos cos.cos mcos d m ( ) cos( cos ) (.3) cos d d cos 0, cos (.4) döüşümlei yapılısa 0 cos tigoometik döüşüm fomülleide (.5) ifadesi şeklide yazılabili. Bu itegal çözülüse 0 cos m d (.5) [cos m cos m ] d (.6) si( m) si( m) 0 ( m) ( m) (.7) 0 buluu ki, bu souç T ( ) poliomlaıı (,) aalığıda otogoal olduğuu göstemektedi []..3. Chebyshev Poliomlaıı Köklei ve Ekstemumlaı Teoem: T ( ) poliomuu ike (,) aalığıda 4
oktalaıda tae kökü ve k k cos k,,..., (.8) k k cos k 0,,,..., (.9) oktalaıda tae ekstemumu vadı. İspat: (.) taımıda k oktalaı yazılısa elde edili. Buada olduğu göülü ve k T( k) cos[ cos (cos( ))] (.0) k T( k) cos( ) (.) T ( ) 0 (.) k olacağıda k oktalaı Chebyshev poliomlaıı kökleidi. Ekstemum oktala içi ise (.) taımıı tüevii alıısa T ( ) si( cos ) (.3) ifadesi elde edili. (.3) de k oktalaı yazılısa T( ) k k k [ cos ] si( cos cos ) (.4) elde edili ve ifade düzeleise 5
si( k ) T ( k) k si (.5) ve T( ) 0 (.6) k olduğu göülü. Yai ' k oktalaı ekstemum oktaladı. Bu ekstemum değele ise T ( k) cos[ cos (cos( ))] cos k k (.7) eşitliğide T ( ) ( ) k (.8) k buluu ve T ( ) poliomuu k tek sayı ise miimum, k çift sayı ise maksimum değe aldığı göülü [-]..4. Moic Chebyshev Poliomlaı T ( ) poliomuda e büyük deeceli teimi katsayısıı olduğu öceki bölümde gösteilmişti. Tüm poliomu bu katsayıya bölümesi ile elde edile, yai e büyük deeceli teimii katsayısı bi ola yei polioma moic Chebyshev poliomu dei ve T ( ) 0 T ( ) T ( ) (.9) şeklide taımlaı. (.9) ifadeside T ( ) poliomlaı içi yazılısa T ( ) T( ) T ( ) (.30) 0 elde edili. (.9) yadımı ile (.30) T ( ) T ( ) T ( ) (.3) 0 6
şeklie getiili ve katsayıla sadeleştiilise T ( ) T ( ) T 0( ) (.3) olduğu göülü. içi beze işlemle yapılısa (.0) ifadesi T ( ) T ( ) T ( ) (.33) şeklie geli. Buada T ( ) T ( ) T ( ) (.34) olu ve katsayıla sadeleştiilise T ( ) T ( ) T ( ) 4 (.35) bağıtısı elde edili. T ( ) ile T ( ) poliomlaı aasıda yalızca katsayı fakı olduğuda T ( ) poliomuu (.8) ifadesi ile veile köklei T ( ) poliomuu da köklei ve beze şekilde (.9) ifadesi ile veile ekstemumlaı da T ( ) poliomuu da ekstemumlaıdı []. 7
3. CHEBYSHEV POLİNOMLARININ KULLANIM ALANLARI 3.. Yaklaşım Poliomu Oluştuma Chebyshev poliomlaı Lagage itepolasyouda düğüm oktalaıı eşit aalıklala değil de, hatayı miimum yapacak şekilde seçileek yaklaşım poliomlaıı oluştuulmasıda kullaılabili. Böylece yaklaşım poliomuu veile aalıkta maksimum hatasıı ayı deecede diğe yaklaşım poliomlaıı tümüde daha küçük olması sağlaı ki, bu özellik Chebyshev poliomlaıı yaklaşım poliomlaı oluştuma da çok üstü kılmaktadı. Teoem: P ( ) Lagage itepolasyo poliomu ve poliomla kümesi olmak üzee. deecede tüm moic ma T ( ) ma P ( ), P ( ) (3.) [,] [,] di. Eşitlik acak P ( ) T ( ) (3.) olduğuda sağlaı. Bu teoem Lagage itepolasyouda, itepolasyo oktalaıı yeii belileeek hataı miimizasyouda kullaılabili. Yai; 0,,..., [,] aalığıda ayık oktala, aalığıda bi sayı olmak üzee hata f C [,] ve ( ) (,) f ( ( )) f ( ) P( ) ( 0)( )...( ) ( )! (3.3) ile veilebili. (3.3) ifadesii miimize etmek içi ( ) üzeide hiçbi kotol olmadığıa göe miimize edilmesi geeke büyüklük ( )( )...( ) (3.4) 0 olmalıdı. 8
( )( )...( ) ifadesi ( ). deecede bi poliomdu ve teoem bu 0 poliom acak ve acak T ( ) olaak seçilise, (3.4) ifadesii miimum olacağıı söyle. Bua göe Lagage poliomuu köklei T ( ) poliomuu köklei yai k ( k ) cos ( ) k cos ( ) (3.5) olaak seçilmelidi. Bu tekik sadece [,] aalığıda değil ( ba ) a b (3.6) değişke döüşümü ile keyfi [ ab, ] aalığıa da geişletilebili [3]. Öek: f ( ) e foksiyoua [0,.5] aalığıda Lagage itepolasyou ve Chebyshev poliomlaı ile yaklaşım poliomlaı oluştuaak he iki yötemde yapıla hatayı kaşılaştııız. İlk olaak Chebyshev poliomlaı kullaılmada sadece Lagage itepolasyou yötemi ile h 0.5 eşit aalıklı oktalala (Tablo 3.) i i f ( ) e i 0 0 0 i i i 0.5 0.8436.788 3.5 6.753 Tablo 3.. Noktala ve foksiyou o oktalada ki değelei yaklaşım foksiyou oluştuulmak isteise, L( ) i ( j ) (3.7) ( ) j0, ji i j ifadesi yadımı ile Lagage poliomlaı 9
( 0.5)( )(.5) L (0 0.5)(0 )(0.5) 3 0( ).333 4 3.6667 ( 0)( )(.5) 3 L ( ) 4 0 6 (0.5 0)(0.5 )(0.5.5) ( 0)( 0.5)(.5) 3 L ( ) 4 8 3 ( 0)( 0.5)(.5) ( 0)( 0.5)( ) 3 L3 ( ).333 0.6667 (.5 0)(.5 0.5)(.5 ) şeklide elde edili ve P ( ) yaklaşım poliomu ifadeside P ( ) L( ) f ( ) (3.8) i i i0 P (3.9) 3 3 ( ).38769 0.05758.730 olaak elde edili. İkici olaak i oktalaı T ( ) T 3( ) T 4( ) poliomuu köklei olaak seçilise (3.5) bağıtısı yadımı ile oktala Tablo 3. de i i 0 0.9388 0.3868-0.3868 3-0.9388 Tablo 3.. T ( ) 4 poliomuu köklei göüldüğü şekilde buluu. Acak bu oktala [,] aalığıda [0,.5] aalığıa taşımalıdı. (3.6) döüşümüde yaalaaak bu aalıktaki oktala ve foksiyou kaşı gele değelei Tablo 3.3 te veilmişti. 0
i i f ( ) e i i i i 0.449 6.0783.0370.958 0.4699 0.73560 3 0.05709 0.060444 Tablo 3.3. Noktala ve foksiyou o oktalada ki değelei (3.7) yadımı ile Lagage poliomlaı L 3 o ( ).849.8486.064 0.049777 L 3 ( ) 4.3799 8.59768 3.4057 0.67045 L 3 ( ) 4.3799.8 7.7378 0.3745 L 3 3 ( ).849 5.3390 4.7976.5683 şeklide elde edili ve (3.8) taımıda yaklaşım poliomu P (3.0) 3 3 ( ).3809 0.04465.30309 0.04359 olaak elde edili. He iki foksiyo içi hataya bakılısa (Tablo 4), P 3 ( ) bazı oktalada P ( ) 3 e göe kötü souç vese de veile aalıkta maksimum hataya bakıldığıda Lagage poliomlaı ile elde edile yaklaşım poliomuda maksimum hata 0.0308983 ve Chebyshev poliomlaı ile elde edile yaklaşım poliomuda ise maksimum hataı 0.005903 olduğu göülü ki, bu souç Chebyshev poliomlaı ile ayı deecede daha iyi yaklaşım poliomu elde edildiğii göstemektedi. i f ( ) P3 ( ) f 3 ( ) P ( ) i e ( ) P3 e P ( ) 3 0 0 0.04359 0.8 0.046759 0.0664 0. 0.08747 0.007677 0.9 0.0096670 0.07 0. 0.037 0.096 0 0.0037966 0.3 0.0959 0.096. 0.0485 0.00673066 0.4 0.0049 0.005689. 0.04396 0.060463 0.5 0 0.003367.3 0.0308983 0.09306 0.6 0.008995 0.03774.4 0.05699 0.00993508 0.7 0.0438 0.060.5 0 0.005903 Tablo 3.4. Yaklaşım poliomlaıı kaşılaştıılması
3.. Yaklaşım Poliomuu Deecesii Düşüme Chebyshev poliomlaı yaklaşım poliomuu deecesii yapıla toplam hata isteile hata seviyesi içide kalacak şekilde düşümek amacıyla da kullaılabili. [,] aalığıda. deece keyfi poliom P ( ) a a... a (3.) 0 ile taımlası. Amaç ma P ( ) P ( ) (3.) [,] ifadesi miimum olacak şekilde P ( ) poliomuu seçmekti. P( ) P ( ) a ifadesi. deece "moic" bi poliomdu. Teoemde P ( ) P ( ) T ) (3.3) ma ( [ ], a elde edili. Eşitliği acak P( ) P ( ) T ( ) (3.4) a ile sağladığı öceki bölümde gösteilmişti. Dolayısıyla buada; P ( ) ( ) ( ) P at (3.5) şeklide seçilebili ve P ( ) P ( ) a ma P ( ) P ( ) a ma (3.6) [,] [,] a eşitliği sağlaı [-]. Öek: f ( ) e foksiyoua [,] aalığıda Maclaui seisi 3 4 ( ) P4 (3.7) 6 4
ile yaklaşılabili ve kesme hatası olaak buluu. 0.05 5 5 f ( ( )) e R4 ( ) 0.03 (3.8) 0 0 hataı kabul edilebili olduğu vasayılısa, hata isteile aalıkta kalacak şekilde yaklaşım poliomuu deecesi e kada düşüülebili? (3.5) ifadesi kullaılaak P( ) poliomu 3 3 4 P3( ) P4( ) a4t4( ) T 4( ) (3.9) 6 4 4 şeklide elde edilebili. (.35) ifadeside T ( ) 4 poliomu (3.9) deklemide kullaılısa P( ) poliomu 3 4 T 4( ) (3.0) 8 3 4 4 P3 ( ) 6 4 4 8 3 3 9 6 4 9 (3.) olaak buluu. P( ) ile 4 P ( ) 3 aasıdaki hata P4( ) P3( ) a4t 4( ) 0.0053 (3.) 4 4 4 8 9 elde edili. Bu hata ile P( ) hatası toplaısa 4 P ( ) 3 içi toplam hata 0.03 0.0053 0.083 buluu ki, bu da kabul edilebili hata ola 0.05 te küçüktü. Beze şekilde P ( ) poliomu oluştuulusa P ( ) P( ) at ( ) 3 3 3 3 3 9 3 3 3 9 9 6 4 9 6 4 4 8 9 (3.3) 3
elde edili. P( ) ile 3 P ( ) aasıdaki hata P3( ) P( ) at 3 3( ) 0.04 (3.4) 3 6 4 Bu hata P ( ) 3 poliomuu hatası ile toplaısa 0.083 0.04 0.0703 elde edili ki bu hata kabul edilebili hatada büyük olduğu içi yaklaşım poliomu olaak P( ) kaldığıda P( ) 3 poliomu kullaılamaz acak yapıla hata isteile hata aalığı içide poliomu yaklaşım poliomu olaak güvele kullaılabili. 3.3. Difeasiyel Deklem Çözümü İçi Kullaımı Chebyshev poliomlaı difeasiyel deklemlei başlagıç ve sıı değe poblemleii sayısal çözümü içi de kullaılabili. Adi difeasiyel deklemlei başlagıç değe poblemleii çözümü 4. bölümde ayıtılı olaak iceleecekti. 4
4. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ 4.. Cleshaw Yötemi ( k f ) ( ) k. deecede tüev ve p ( ) poliom olmak üzee k m ( k ) ( ) k ( ) ( ) k0 h p f (4.) şeklide taımlaa difeasiyel deklemi Cleshaw yötemi ile çözümü aşağıdaki gibi buluabili. h ( ) difeasiyel deklemi Chebyshev poliomlaıa açılaak f ( ) çözümü f ( ) ' C T ( ) (4.) 0 şeklide hesaplaabili. Cleshaw yötemi içi geekli adımla aşağıda açıklamıştı. f ( ) foksiyouu s. deecede tüevi ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) f ( ) C0 C T( ) C T( )... C T( ) C T( ) C T( )... (4.3) şeklide taımlaı. s 0 içi (4.3) taımı f( ) C0 CT ( ) CT( )... C T( ) CT( ) C T( )... (4.4) ve s içi () () () () () () f( ) C0 C T( ) C T( )... C T( ) C T( ) C T( )...(4.5) olaak elde edili. Chebyshev poliomlaıı tüevlei aasıdaki ilişki, T ( ) T( ) 0 T( ) T ( ) 4 T T T ( ) (4.6) 5
ve (4.7) ( ) T( ) [ T( ) T ( )] [ T ( ) T( )] bağıtılaı ile veili. (4.5) ifadesi (4.6) yadımı ile itege edilise () () f( ) c0 c0 T( ) c T( )... 4 () T( ) T ( ) c () T( ) T ( ) c () T ( ) T( ) c... (4.8) elde edili. Buada dikkat edilmesi geeke okta (4.8) deklemideki c 0 ile (4.4) deklemideki c 0 katsayısıı faklı sayıla olduğudu. (4.8) ile (4.4) deklemlei eşitleise C C C (4.9) ( ) ( ) ( ) eşitliği elde edili. s 0 içi (4.9) ifadesii (4.0) C C C olduğu göülü. g( ) ile veile bi poliomu Chebyshev açılımıda, T ( ) poliomuu katsayısı C g( ), 0 C g( ) /, 0 (4.) olaak gösteilise, (4.) difeasiyel deklemide ki teimlei Chebyshev açılımı içi geel yapı p p ( s) p ( s) C ( f ) p Cp j j0 j (4.) 6
şeklide veilmişti. Dolayısıyla (4.) difeasiyel deklemi (4.) yadımıyla Chebyshev poliomlaıa açılıp, eşitliği he iki taafıda ayı deecede Chebyshev poliomlaıı katsayılaı eşitleeek (4.) çözümüü Chebyshev poliomlaı ciside yazmak içi geekli katsayıla elde edilebili. Bu amaçla aşağıda alatıla eküsif yötem kullaılı []. Reküsif Yötem:. N sayısı çözümü doğuluğu isteile hata aalığıda kalacak şekilde yeteice büyük olmak üzee, C keyfi N ( s) N C 0 N ( s) (4.3) şeklide keyfi N ve C değelei seçili. ( s ) N. N sayısıda başlaaak ile hesaplaı. C katsayılaı, s,..., m içi (4.9) ifadesi ( s) N 3. Bi öceki adımda ki ifadele ve (4.) ile veile difeasiyel deklemde (4.) yadımıyla elde edile eküsif ilişkilede ise C C hesaplaı. 0 N N 4. () ve (3) işlemlei 0 olucaya kada devam ettiili []. Öek: y y 6y 0, 0, y(0), y(0) 0 (4.4) deklemii çözümüü ve y () değeii Chebyshev poliomlaı yadımıyla buluuz. Çözüm: Cleshaw yötemi kullaabilmek içi deklem C ( y) C ( y) 6 C ( y) 0,,3,... (4.5) şeklide yazılı. (4.) ifadesi kullaılaak () () () C ( y) C C C C C, j j0 j 0 0 0 () C( y) C C, 0 0 j j0 j C y C C C (0) (0) (0) ( ) j j0 j 0 C C (4.6) 7
katsayılaı elde edili. Bu katsayıla (4.5) deklemide yazılısa ifadesi elde edili. C C C 8 C C 0,,3,... (4.7) (4.7) ifadeside yeie yazılısa, yazılısa ifadelei elde edili. C C C 8 C C 0,3, 4,... (4.8) C C C 8 C C 0 0,,,3,... (4.9) (4.9) ifadeside (4.8) ifadesi çıkaılısa soucua ulaşılı. C C C C 8 C C 0,3, 4,... (4.0) (4.0) ifadesii basitleştimek içi (4.9) ifadeside yeie yazılısa ( ) C C C (4.) ( s) ( s) ( s) yazılısa ( ) C C C (4.) ( s) ( s) ( s) ifadelei elde edili ve (4.) ile (4.) ifadelei toplaısa elde edili. s içi (4.3) ifadesii ( ) C ( ) C C C (4.3) ( ) ( ) ( ) ( ) C C ( ) C ( ) C (4.4) şeklie geli. (4.0) ifadeside (4.4) kullaılısa ( ) C ( ) C ( C C ) 8( C C ) 0 C ( C ) 8( C C ) 0 (4.5) elde edili ve düzeleise 8
C C ( C ) C (4.6) 8 ifadesie ulaşılı. (4.3) ifadeside N 0 ve C 0 olaak seçili ve daha büyük deeceli katsayıla sıfı olaak belileise, (4.0) ve (4.6) ifadelei ile katsayıla C C C C 0 0 9 0-543803680 9 0 40 8 8609055 0 8-00 0 7 0 830390 7 0-3560 6-677577744 0 6 79 0 5 0-93050008 5 0 499 4 0045490404 0 4-49804 0 3 0 30647330 3 0-3548600 -535566049900 0 38065 0 0-8365004080 0 54586400 0 80738738 0 0-797949504 0 Tablo 4.: C ve C değelei Tablo 4. de göüldüğü gibi hesaplaı. T i Ti (0) ( ) (0) 0 i (4.7) olduğua göe y(0) C 0 C C 4... C 0 80509493505.5 (4.8) olaak buluu. Poblemde veile y(0) başlagıç koşuluu sağlaması içi bu değe kedisie yai y(0) değeie bölümelidi. Bu duumda (4.) geçek C değelei 9
C C (4.9) y(0) ifadesi kullaılaak hesaplaı. C C 0 0.000000000000 9 0 9 0 8 0.0034 8 0.0000000000 7 0 7 0 6-0.033573 6 0.000000000983 5 0 5 0 4 0.48983703 4 0.000000060 3 0 3 0-0.6653007 0.0000089670 0 0 0 0.00546 0-0.00009977 Tablo 4. C değelei Tablo 4. de elde edile y olaak hesaplaı []. Öek: C C değelei ile y () 0 0 () CT i i() 0.39749809863869800 i (4.30) 3 (5 3 y ) y, y( ) deklemii çözümü içi dödücü deecede bi yaklaşım poliomu oluştuuuz. Çözüm: Bi öceki öeğe beze şekilde deklem 3 5 C( y) 3 C( y) C( y) (4.3) 0
şeklide yazılı. (4.) ifadesi kullaılaak 0 0 () C( y) 0 C C, 0 j j0 j 0 () C( y) C C C, j j0 j 0 0 () C( y) C C 0 0 j j0 j (4.3) değelei buluu. Bu değele (4.3) ifadeside yeie yazılısa 5C 3 3 C C C (4.33) olu. (4.0) ifadesi yadımı ile (4.33) ifadesi basitleştiilmek isteise (3 6 C ) 0C 6C (4.34) ifadesi elde edili. (4.3) ifadeside N 7 olaak seçili C 7 0 ve daha büyük deeceli katsayıla sıfı olaak belileise (4.0) ve (4.34) ifadeleide katsayıla C C 7-3 0 6-4 5-43 4 4 84-47 3-887 64 536-5794 -6585 306 0-40843 -36364 Tablo 4.3. C ve C değelei olaak belilei. Bulua değele e yakı tamsayıya yuvalamıştı. olduğua göe T ( ) ( ) i i (4.35)
y( ) C 0 C C... C 7 3436 (4.36) olaak buluu. Bu değei veile geçek y( ) değeie yai ye eşit olması içi tüm C katsayılaı C 7 0.00003 6-0.000 5 0.00046 4-0.0096 3 0.00947-0.0576 0.6974 0 4.3633 Tablo 4.4. şeklide buluu. Souç olaak çözüm sayısı ile çapılmalıdı. Buada C değelei 3436 C değelei y 3 4( ).807 0.697 0.0573( ) 0.0095(4 3 ) 4 0.000(8 8 ).360 0.6686 0.0986 0.0380 0.060 3 4 (4.37) olaak elde edili [3].
KAYNAKLAR [] Fo L., 968. Chebyshev Polyomials i Numeical Aalysis, Ofod Uivesity Pess, Lodo. [] Gill A., Segua J., Temme N. M., 007. Numeical Methods fo Special Fuctios, Siam, Philadelphia. [3] Cleshaw C. W., 956. The Numeical Solutio of Liea Diffeatial Equatios i Chebyshev Seies, Poceedigs of the Cambidge Philosophical Society, 53:34-49. 3