T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM

Transkript

1 TC YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ ABURCU ÖZYURT SERİM DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN PROF DR MUSTAFA BAYRAM İSTANBUL,

2 TC YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ ABURCU ÖZYURT SERİM DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN PROF DR MUSTAFA BAYRAM İSTANBUL,

3 TC YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A Bucu ÖZYURT SERİM taafıda hazılaa tez çalışması 39 taihide aşağıdai üi taafıda Yıldız Tei Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati Aabilim Dalı da DOKTORA TEZİ olaa abul edilmişti Tez Daışmaı Pof D Mustafa BAYRAM Yıldız Tei Üivesitesi Jüi Üyelei Pof D Mustafa BAYRAM Yıldız Tei Üivesitesi Pof D İfa ŞİAP Yıldız Tei Üivesitesi Pof D Müfit GİRESUNLU İstabul Üivesitesi Doç D Üsal TEKİR Mamaa Üivesitesi Doç D Fatih TAŞÇI Yıldız Tei Üivesitesi

4 Ösöz Bu tezde sistemle ve otol teoi de öemli bi ol oyaya cebisel Riccati delemle icelemişti So zamalada otol poblemlei altıda taımlaa modellei amaşılığı Riccati delemlei öemii otaya oymatadı Özellile cebisel delemlei matis fomu biçimide geelleştiilmesi, mühedisli alaıda otol poblemleii modellemeside olaylı sağlaya bi ete olduğu düşüülmetedi Buu soucu olaa, so otuz yıl içide bu delem ile ilgili aaştımaladai ileleme et olaa gözlemleebilmetedi Buu yaıda ool poblemii çözümüü geçeleştie yei ümei yötemle geliştiilmişti Daha ço büyü ölçeli sistemle içi geliştiile bu yötemle daha üçü ölçeli sistemlee oala uygulamada pe ço sııtıyı da beabeide getimetedi Bu edele so yılladai aaştımala büyü ölçeli poblemle üzeie yoğulaşmıştı Ele alıa poblemledei matislei seye ya da yapıladıılmış matisle olması ümei yötemlede yei uygulamalaa ima vemişti Bu yei uygulamala çeçeveside, otol teoide otaya çıa otol edilebilili, gözlemleebilili, aalılı, eişilebilili, matis alemi ve değişmez alt uzay gibi yei taımla ile alaşılması güç avamlaa açılı getiilmişti Bu yöde yapıla aaştımalada ço sayıda falı ümei çözümle ele alımıştı ve Kylov alt uzayıa dayalı Aoldi yötemi ile yapıla çözümle bulada biidi Aoldi yötemii diğe yötemlele ıyasladığıda e öemli özelliği ise, çözüme daha ısa süede ulaşması ve böylece zama ve maliyet açısıda belli ölçüde tasauf sağlamasıdı Çalışmalaım boyuca değeli yadım ve atılaıyla baa yol göstee, yöledie ve öeilede buluaa değeli zamaıı bede esigemeye sayı Hocam Pof D Mustafa BAYRAM a ve desteğii bede esigemeye babam Pof D M Sabi ÖZYURT ve eşime teşeüü boç biliim Temmuz, ABucu ÖZYURT SERİM

5 İÇİNDEKİLER Sayfa SİMGE LİSTESİvii KISALTMA LİSTESİix ŞEKİL LİSTESİx ÖZETxi ABSTRACT xii BÖLÜM GİRİŞ Liteatü Özeti Tezi Amacı 3 3 Bulgula3 BÖLÜM 5 MATRİSLERLE İLGİLİ ÖN BİLGİLER5 Bezeli ve Komples Joda Fom5 Değişmez Altuzayla4 3 İzdüşümle ve Değişmez Alt Uzayla 4 Reel Matisle ve Kaoi Fomla 4 5 İzdüşümle ve Değişmez Alt Uzayla 9 6 Düzeli Matis Kalemlei3 7 Matislei Fosiyolaı39 v

6 BÖLÜM 343 CEBİRSEL RICCATI DENKLEMİ 43 3 Cebisel Riccati Delemii Çözümleii Sııfladıılması46 3 Hemit Çözümle Te Çözümü Valığı49 34 Saf Çözümle Teoemlei Sııfladıılması63 36 Çözümlei Kadialliği7 37 Belili Çözümle74 38 Estem Çözümlei Valığı74 39 Sııfladıma Teoemlei 78 3 Kaalı Çözümle 86 BÖLÜM 489 AYRIK CEBİRSEL RİCCATİ DENKLEMİ İÇİN GEOMETRİK BİLGİLER89 4 Ö Hazılı 89 4 Hemit Çözümle Ve Değişmez Lagagıa Alt Uzayla 9 43 Değişmez Alt Uzayla Aacılığıyla Çözümlei Açılaması 44 Ni Pozitif Taımlılığı Ve Hemitia Çözümlei Valığı6 45 Kotol Edilebilili Şatıı Zayıflatma5 46 Geel Alamda Ayı Cebisel Riccati Delemi (DARE) 47 Reel Duum7 BÖLÜM 53 ARNOLDİ METODU3 5 Aoldi Metodu3 5 Aoldi Metoduu Özellilei 3 53 Aoldiye Falı Bi Baış Aoldi Algoitması Rasyoel Kylov Metotla Kapalı Olaa Yeide Başlatıla Aoldi Metodu38 57 Blo Aoldi Metodu 4 58 Blo Aoldi İdigemelei 4 59 Matis-Vetö Fomuda Algoitma4 BÖLÜM 65 SONUÇ VE ÖNERİLER 5 KAYNAKLAR 54 ÖZGEÇMİŞ56 vi

7 SİMGE LİSTESİ dim V u,v x boyutlu eel uzay boyutlu amaşı uzay V vetö uzayıı boyutu Vetöleii iç çapımı x vetöüü omu ya da uzuluğu x F x vetöüü Fobeius omu I Biim matis A a i a i elemalaıda oluşa A matisi a A A matisii aı ta A matisii izi det A A matisii detemiatı A A matisii tesi T A A matisii taspozesi A A matisii ougesi A A matisii ouge taspozesi A A blo matisii detemiatı A A A Ke A Im A max A matisii picipal alt matisi A matisii çeideği A matisii A uzayıı saal ısmı A matisii e büyü özdeğei A matisii e büyü sigüle değei max A A matisi pozitif taımlıdı A B A B pozitif taımlıdı diag,,, öşegei,,, de oluşa matis A B A ve B matisleii Hadamadı A B A ve B matisleii Koecei vii

8 Ric( A ) A matisii alt uzaylaıı bi fosiyou J tipide üst üçgesel Joda blo matisi Iv A A matisii değişmez alt uzaylaıı ümesi A N A matisii N değişmez alt uzayıa ısıtlaışı viii

9 KISALTMA LİSTESİ CARE DARE LQR FOM GMRES Süeli Cebisel Riccati Delemi Ayı Cebisel Riccati Delemi Liee Kuadati Regülatö Full Otogoalleştime Metodu Geelleştiilmiş Miimal Kala Metodu ix

10 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şeil 5 Aoldii matis gösteimi 3 Şeil 5 Matlab pogamıda yazılımı 5 x

11 ÖZET CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ ABucu ÖZYURT SERİM Matemati Aabilim Dalı Dotoa Tezi Tez Daışmaı: Pof D Mustafa BAYRAM Bu tez çalışmasıda uygulamalı matemati ve mühedisli bilimleide ullaıla cebisel Riccati delemleii ümei çözümlei icelemişti Bu çalışmada veile cebisel Riccati delemii Aoldi metodu ile çözümü icelemişti Aahta Kelimele: ARE, CARE, DARE, Aoldi YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ xi

12 ABSTRACT NUMERICAL SOLUTIONS FOR ALGEBRAIC RICCATI EQUATIONS ABucu ÖZYURT SERİM Depatmet of Mathematics Ph D Thesis Adviso: Pof D Mustafa BAYRAM I this thesis the solutios of algebaic Riccati equatio which ae used i applied mathematics ad egieeig scieces ae examied The algebaic Riccati equatio which is the subect of this eseach is examied by the Aoldi method Keywods: ARE, CARE, DARE, Aoldi YILDIZ TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE xii

13 BÖLÜM GİRİŞ Liteatü Özeti 95 li yıllada güümüze ada cebisel Riccati delemlei ile ilgili pe ço gelişme olmuştu Bu edele ço sayıda aaştıma yayıı geçeleşmişti Taihsel olaa, Riccatti i yaptığı çalışmalaıı çoğuluğu difeasiyel delemle üzeiedi Spesifi olaa Riccati delemlei değişe zama ve sabit paametelele biçimidei sale delemle çeveside geliştiildi x ax bx c Riccati delemi il olaa m sabit olma üzee m x ax t () x ax t t () biçimide yazıla difeesiyel delemlele ifade edilmişti Bu Riccati delemii il belgesi olaa abul edili () ve () dışıda biici metebede biaç delemi, m, p ve q sabitle olma üzee (3) p m x t x t p q m x t x t (4) olaa yazılı Buada göüldüğü gibi p olduğuda (3) delemi () delemie eşitti ve (4) delemi de q özel duumu içi (3) delemie eşit olu Ricatti yi bu delemlei aaliz etmeye yöledie sebeplede bii de liee difeesiyel delemi sağlaya otalaı oiile bileştie doğuu eğimii özellilei olmuştu Böylece, Riccati yüzyılla boyu mühedisli ve uygulamalı matemati alalaıda büyü öeme sahip olaca bi delemi oluştumuş olu

14 Mode zamada Riccati delemii öemi olduça ço vugulamatadı Delemi matis fom içide bi geellemesii yapılması, mode mühedisliği tasaım poblemlei aasıdai filteleme ve otol poblemleide olduça öemli bi ol oya Özellile Kalma ı (96a ve 96b) filteleme ve otol üzeie yaptığı il çalışmala Riccati delemlei aasıda zayıf bi bağlatıyı uma özelliğie sahipti Bu duum optimal filte dizayı ve otol teoi poblemlei içi cebisel Riccati delemleii ve olaı çözümlei ile bu poblemlei alaşılmasıı daha da olaylaştımıştı Tüm bu gelişmelee paalel olaa so yıllada bu delemle etafıda aaştıma faaliyetleide büyü ilelemele aydedildi Öeği; Potte (966) ve Kleima (968) maalelei liee cebii olüü ve ümei methodlala çözümüü otaya çıamıştı Woham(97) taafıda yazıla avamsal teoii biici basısı o zamaı başyapıtlaıda biiydi ve hala sılıla efeas gösteilmetedi Süeli cebisel Riccati delemleii çözümleii özellileii ço apsamlı aalizlei Willems ve Coppel taafıda [7] ve [5] de veilmişti Rasyoel matis fosiyolaıı aalizlei aalı bi şeilde cebisel Riccatti delemleie yeleştiilmişti ve bu aladai bazı ilit gelişmelei Bat ve diğeleii (979 ve 98) çalışmalaıda göülmetedi [7; 9; 3] Gelişmelede biide il defa Pappas (98) maaleside otaya oa te opeatö yeie liee alem opeatöü teoisi olmuştu Bu gelişme teoide ve ümei yötemlede öemli ilelemelei de beabeide getimişti Delemi gelişimie dai daha yaı zama ele alıdığıda, Ado [] ve Mehma (99) i cebisel Ricatti delemleii ümei metod çözümleii il apsamlı icelemesii ve Bittati ve diğeleii [] aaştıma ve iceleme maaleleii toplamı ola çalışmalaı gösteilmetedi Yimici yüzyılı iici yaısıa gelidiğide ise mühedisli alaıda i sistem teoisi avamı il ez otaya oulaa otol bilimidei teoi aalizlee yei bi yalaşım oluştuulmuştu Güümüzde bu yalaşımla otol edilebilili ve gözlemleebilili, aalılı ve algılaabilili gibi avamla geliştiilee, bu avamlaı delemi çalışma içi öemi aaçla olduğu tespit edilmişti [3] Böylece öcede bilimeye biço özelli geliştime imaı doğmuştu Ayıca Riccati delemii ayı zamalı

15 ısmı içi de beze çalışmala yapılmıştı [3] Süeli ve ayı zamalı bu delemlei çözme içi ileleye zama içide etili ümei algoitmala belilemişti [6] So o yıl içide geçeleşe diami aaştımala şüphesiz biço yei çözüm metoduu geliştimeye ima vemişti Tezi Amacı Bu tezi amacı, cebisel Riccati delemleii otol teoisidei belisiz, alaşılması güç bazı temel avamlaa açılı getimele bilite bu delem üzeidei çalışmalaı taip edebilme ve yei çalışmalaı yapabilme içi geeli temeli oluştumatı Ayı zamada cebisel Riccati delemleii bilie çözüm metotlaı dışıda yei metotlala çözüme falı bi yalaşım getime amaçlamıştı Bu sebeple tezde Aoldi metodu ile delem çözümüü yapılması geçeleştiilmişti 3 Bulgula Çalışma Aoldi fatoizasyouu ullaaa A, B matis çiftii oluştuduğu otogoal Kylov alt uzayıda elde edile yalaşı çözümlei geçe çözüme daha yaı bi souç alma hipotezi üzeie uulmuştu Buu test etme içi Aoldi ve blo Aoldi metotlaı icelemişti Bu çalışmada cebisel Riccati delemie uygulaa Aoldi algoitmalaı ile elde edile çözümlei geçe çözüme diğe yötemlee göe olduça yaı olduğu tespit edilmşti Bu ise çözümle aasıdai hataı miumum olduğuu göstei Bu souçla doğultusuda mühedisli alaıdai LQR optimal otol poblemide otolö matisi ile sistemi istee büyülüleii miumum olmasıı sağlaması belemetedi [3; 3] Bu amaca göe hazılaa tez, giiş bölümüyle bilite döt bölümde oluşmatadı İl bölümde soai bölümlede ullaılaca ola matis özellilei ile ilgili taımla veildi Komples elemalı bi A matisii geelleştiilmiş aateisti uzayı ve değişmez alt uzay avamlaı ile ilgili teoemle ifade edilip ispatla yapıldı So 3

16 ısımda ise de e liee döüşümlü matisle içide beze souçlaı geçeleştiğii ve temel avam taımlaıı da geçeli olduğu beliledi İici bölümde cebisel Riccati delemii çözümlei ayıtılı olaa alatıldı Bu bölüm altıda Hemit ya da Hemit olmaya, solu veya sosuz çözümle şelide çözümlei bi sııfladıılması yapıldı Ayıca buada CARE delemii gafi alt uzayla bağlatılı çözümlei buludu ve bu çözümlei vee hem öeme hem de lemma oşullaı sağladı Bu çözümlee ilişi veile temel teoemle ve souçla değelediildi Üçücü bölümde Diset Cebisel Riccati delemle başlığı altıda Hemit çözümle ve değişmez Lagagia alt uzayla taıtılı Değişmez alt uzayla aacılığıyla çözümlei taımı yapılı Hemit çözümlei valığıyla ilgili teoemle veili ve teoemlei ispatlaı yapılı Dödücü bölümde cebisel Riccati delemle içi ümei çözüm metotlaıda bii ola Kylov alt uzayıa dayalı Aoldi algoitmalaı icelemetedi Bu metot büyü metebeli delem sistemleii daha üçü metebede sistemlee idigemeyi sağlaya pe ço yalaşım metoduda biidi Bu bölümde Aoldi algoitmalaı yadımıyla cebisel Riccati delemi içi daha büyü boyutlu matislei çözümleii yapılabildiği gösteildi Bu so ısım Matlab pogamıda algoitmaı yazılımıı yapılması ile geçeleşee falı matis gidilei içi pogam çalıştıılı 4

17 BÖLÜM MATRİSLERLE İLGİLİ ÖN BİLGİLER Bezeli ve Komples Joda Fom A, elemalaı omples ola tipide bi matis olsu Bu duumda A, de e bi liee döüşüm göstei Buada, elemalaı omples sayıla ola elemalı sütu vetöleii uzayıı temsil ede Biz buada bu döüşümü A hafi ile gösteeceğiz Yai, A: liee döüşümü A( x) Ax, x olaa taımlaı omples sayı ve sıfıda falı x le içi Ax x () eşitliği sağlaıyosa A matisii bi özdeğei dı dei Sıfıda falı x vetölei, () sağlıyosa özdeğei ile beabe A ı özvetölei olaa adladıılı Böylece, A ı özdeğei olması içi gee ve yete oşul, I A det aateisti poliomuu öü olmasıdı Buda dolayı aateisti poliom deecededi Bu ise cebii temel teoemide A ı özdeğei olduğu soucuu doğuu 5

18 Taım A ve B, tipide ii matis, A S BS olaca şeilde S teil olmaya bi matis vasa A ve B matislei bezedi dei Geometi olaa beze matisle de e ayı liee döüşümü göstei Teoem [3] S, teil olmaya bi matis ve A S BS olma üzee A ı, B ye beze olduğuu abul edelim A ve B i ayı özdeğelei vadı Bua göe öz değeie aşılı gele A ı özvetöüü x olması içi gee ve yete oşul ayı özdeğeie aşılı gele B i özvetöüü Sx olmasıdı İspat: det det S det S olduğuda I A det S I B S deti B dı Böylece A ve B ayı aateisti polioma sahipti ve buda dolayı ayı öz değelei vadı Bua e olaa Ax x, x S BSx x ya da S BS olaa yeide yazılı S, teil olmadığıda x deme Sx demeti ve bu teoemi iici ısmıı açıla A, diyagoal matise beze ise A, tipide diyagoal matisti dei Yai, öşege üzeide A ı özdeğelei olmalıdı A ı diyagoal olması içi gee ve yete oşul A ı özvetöleide oluşa de bi bazıı va olmasıdı Böylece öşege matisi yapısı özdeğe ve özvetölede oluşu Aca tamame he matis diyagoalleşebili değildi ve diyagoal olmaya matislei yapılaıı taımlama içi geelleştiilmiş özvetöle ve Joda blolaı avamlaı ullaılı Taım A, tipide bi matis olsu A matisii Joda zicii x ve A ı bazı özdeğei içi A I x A I x x,, A I x x () eşitlileii sağlayaca şeilde x, x,, x vetöleii bi sıalı ümesidi 6

19 Böylece x, A ı özdeğeie aşılı gele özvetöü ve Joda ziciide ola x,, x vetölei x özvetöü ile özdeğeie bağlı A ı geelleştiilmiş öz vetölei olaa adladıılı a aşılı gele Joda blolaı bezeliğe göe iyi taımlıdı Teoem S teil olmaya bi matis ve A S BS olma üzee a aşılı gele,, x x i A içi bi Joda zicii olması içi gee ve yete oşul B de a aşılı gele Sx,, Sx Joda ziciii olmasıdı İspat teoem ispatıa ço bezedi İspat: x içi Ax x Ax x x ve Ax x x Ax x x ise olduğu biliiyo Buada teoemde veile yeie yazılısa A S BS eşitliği yuaıdai ifadelede S BSx x BSx Sx S BSx x x BSx Sx Sx S BSx x x BSx Sx Sx S BSx x x BSx Sx Sx buluu Buada Sx olma üzee,,, Sx Sx Sx olu Bua göe teoem de B i aateisti vetöleii oluştuduğu Sx le içi Sx, Sx,, Sx şelide Joda blolaı vadı İspatı iici ısmıda Sx içi B i Joda bloğu 7

20 BSx Sx ifadesii he ii taafıı S ile çapıldığıda Ax x olu Buada B i he Sx özvetöü içi A da i özdeğeie aşılı gele bi x özvetöleide oluşa bi Joda zicii vadı Öe A x A matisii ele alalım Bu matise, özdeğeiyle bilite bi Joda bloğu dei Açıça, A ı te özdeğeidi ve e sıfıda falı omples sayıla ile çapımıa bağlı ola te özvetödü Buada e i (i)ici bileşeide ve diğe yelede sıfı ola sütula olaa belilei A ı Joda zicii e,,, e e olu Bu Joda zicii te değildi ve A ı Joda zicilei içi geel fom ;,,, ve olma üzee e; e e; e3 e 3e;; e e e şelide gösteili Öe A diyagoalleşebili matis ise A ı Joda zicilei sadece öz vetölede oluşu Teoem 3 A ı x,, x Joda zicilei liee bağımsız olmalıdı İspat: Geçete, i olma üzee ixi (3) i alıdığıda () eşitlilei i ve A I x x içi A I x i 8

21 olması demeti Böylece (3) ü he ii taafıa A I uygulasa elde edili Buada x olduğuda olu Şimdi (3) ü he ii taafıa I A uygula ve beze bi yötemle soucu buluu Bu işlem tealadığıda tüm vetölei liee bağımsızdı Taım 3 A ı,, i atsayılaı sıfı olaa elde edili ve buda dolayı x,, x x x Joda zicii taafıda geilmiş x x,, x alt uzayı A içi bi Joda alt uzayı olaa adladıılı Şimdi tezdei işlemlede öemli ye tuta Joda fom teoemleie ısaca bi göz atalım Teoem 4 [3, 4] A hehagi bi tipide bi matis ve A ı Joda zicileide oluşa de bi taba va Yai, de taba fomlaı ve i i olaca şeilde x i vetölei ümesi sıasıyla,, özdeğelee aşılı gele i,, içi A ı x,, x Joda zicileidi i i i Buada teoem 4 ü ispatlamayacatı Çüü bu souç lasiti ve buluabili [4] Teoem 4 e de bi duumu matislei bezeliği aacılığıyla da veilebili Bu duumu açılama içi Joda matislei taıtacağız Taım 4 özdeğeiyle Joda bloğu J ile ifade edelim Yai, J dı Matisle aa öşege üzeide Joda blolaıyla 9

22 J J J (4) şelide diyagoal fomda blolaı ola matisle Joda matisle olaa adladıılı Joda matislei sııflaı diyagoal matisle içei Ola öşege üzeide diyagoal Joda blolaıa sahipti Joda matisle açıça üst üçgesel matisledi,, la (4) Joda matisi özdeğeleidi Şimdi Aˆ : liee döüşüm x içi  x Ax ile taımlamış olaa bi A tipide matisii alalım A matisii stadat tabaı e,, göstei Şimdi, e e ola  yı,, özdeğeie aşılı gele A ı i,, olma üzee x,, x Joda zicileide oluşa i i i de i bi taba x,, x, x,, x,, x,, x (5) olsu tabaıa göe x i oodiat vetöleii x ile gösteelim i ve i x x ise i i i

23 x şelide yazılı tabaıa göe  yı temsil ede B matisi ˆ ˆ ˆ ˆ B A x A x A x A x dı Joda zicilei taımıda i,, olma üzee ˆ ˆ ˆ,,, i i i i i i i i i i i i i i A x x A x x x A x x x olu Böylece J J J B matisi bi Joda matisidi Tesii göme olaydı tabaıa göe  matisii temsil ede matis bi Joda matisi ise, A matisii Joda zicileide oluşu Başa bi ifadeyle  liee döüşüm içi Joda zicileidi Hatılasa falı tabalaa göe ayı liee döüşümü temsil ede matisle bezedi Şimdi aşağıda belitildiği gibi teoem 4 yeide ifade edileceti

24 Teoem 5 [3] He tipidei A matisi bi Joda matise bezedi A ı Joda fomu olaa adladııla bu Joda matis A taafıda te olaa belilei Yai, B ve J J B J s J sl l ayı tipide A matisie beze ii Joda matis ise l di Yai B ve B i öşege diyagoal üzeide Joda blolaıı sayısı ayı olduğuda J,, l blolaı J,, J s J sl taafıda elde edili Buda dolayı A ı Joda fom özellilei Joda blolaıı ye değiştimesi altıda sabit alması geçete A ı edisii özelliğidi Buada bu özellilei biaçıı taımlayalım Taım 5 A ı bi özdeğei veilsi özdeğeiyle Joda blolaı sayısı ı geometi atlılığı olaa adladıılı Bu Joda blolaı boyutu ı ısmi atlılığı olaa adladıılı ve ısmi atlılılaı toplamı ı cebisel atlılığıı vei Öe 3 B Bu Joda matisi ve özdeğelei vadı özdeğeii geometi atlılığı 3, cebisel atlılığı 6 ve ısmi atlaı 4, ve di özdeğeii geometi atlılığı, cebisel atlılığı 3 ve ısmi atlaı ve di A matisii edisii atlaı açısıda ifade etme içi Ke A I i i,, (6) alt uzaylaı taıtacağız Buada Ke, m tipide bi matisii çeideğidi

25 Yai, Ke y y olaca şeilde de bi alt uzay olu Bu (6) alt uzaylaı zici biçimide Ke A I Ke A I Ke A I (7) p şelide yazılabili Geçete A I y ise A I y p p olduğu bellidi (7) dei alt uzaylada meydaa geli ve bu da alt uzaylaı solu boyutta Ke A I p,, olmalaıı geetii Açıça sosuz boyutta alt uzayla p şelide ola alt uzaylada tamame falı olamaz Ke p p A I KeA I (8) olaca şeilde e üçü pozitif tamsayı olaa p seçelim Geçete tüm p içi p A I KeA I Ke (9) dı p de başlayaa ye ada tümevaım yötemi ile (9) ispatlaı(bu (8) taafıda doğulaı) ı atsayısı buada p sayısıa uygulayaa alalım Ayıca p ı özdeğeiyle A ı e büyü Joda boyutu olduğuu göme zo değildi (7) alt uzaylaa göe ı atlaı aşağıdai gibi veili Teoem 6 [3] A ı bi özdeğei olaa alalım ı geometi atlılığı dim Ke A I ifadesie eşitti ve ı cebisel atlılığı dim Ke p A I eşitti Buada p, ı ö uvvetidi 3

26 İspat: Eğe A bi Joda matis ise basit bi iceleme ile teoem 6 doğulaı A, geel matisi teoem 5 de A S BS şelide yazılı Buada B, A ı bi Joda fomudu S KeA I ) ( Sx x Ke A I dı,, içi taafıda taımlaa üme A I KeB I S( Ke ) olduğuu gösteme olaydı S tesii olduğuda,, içi A I KeB I dim Ke dim () demeti Buada öcede B Joda fomu içi teoem 6 ispatlamıştı A ı bi öz değei ola ı geometi(sıasıyla cebisel) atlılığı, B i bi özdeğei ola ı geometi(sıasıyla cebisel) atlılığı taımı geeğidi Şimdi A içi teoem 6, () ifadeside buluu Değişmez Altuzayla Taım 6 A gidilei omples ola tipide matis olsu He x içi Ax oluyosa ısaca A da değişmezdi dei Beze bi taımı A: x olacatı ve alt uzayı A matis içi değişmez olaa adladıılı Ya da bi liee döüşüme uygulayaca olusa Ax içi alt uzayı A da değişmez olu Bu duumda A, e bi liee döüşüm olaa düşüülü ve bu liee döüşüm A ile gösteili Şimdi A da değişmez alt uzaylaıa bazı öele veelim Öe 4 ve alt uzaylaı he alt uzaylaa değişmez aşiâ alt uzayla dei tipide A matis içi A da değişmezdi Bu 4

27 Öe 5 A ı bi x,, x Joda zicilei taafıda geilmiş Joda alt uzay spax,, x A da değişmezdi Im otasyou ile bi m tipide matisii imaie ısmıı gösteeceğiz Bua göe, Im y y şelide taımlaı Böylece Im, olaa da ifade edili Ayı otasyo Im y y olma üzee : m de bi alt uzay ve ayıca i sütu uzayı m bi liee döüşüme uygulaacatı Teoem 7 [3] A ı bi özdeğei olsu,,, içi Ke A I ve Im A I A I x x alt uzaylaı A da değişmezdi İspat: ise x Ke A I A A I x A I Ax A I x dı Ayıca olu ve buada Ax Ke A I di Bu A I Ke i A da değişmez olduğuu göstei Üsteli bazı x içi y A I x oluyosa di ve buada ImA I Ay A I Ax Ay yazılı Daha geel olaa B, A matisi ile değiştiildiğide BA AB gibi KeB ve Im B alt uzaylaı A da değişmezdi Taım 7, A ı bi özdeğei olsu Bu duumda p, e üçü pozitif tamsayı olma üzee 5

28 Ke p p A I KeA I olsu Buada p, ı ö uvvetidi Tüm A I p KeA I p pozitif tamsayılaı içi Ke () olu Bu duumda () alt uzayıa geelleştiilmiş aateisti uzay ya da a aşılı gele A ı ö alt uzayı dei ve bu alt uzay A ile gösteili Böylece Öe 5 de dolayı bu alt uzay A da değişmezdi S liee uzayıı alt uzaylaı,, p ise bulaı toplamı :,,,, p p p ile taımlaı ve bu toplam S i bi alt uzayıdı Taım 8,, p A ı falı özdeğelei olsu Geelleştiilmiş aateisti uzaylaı toplamı A A p A da değişmezdi ve bu alt uzaya ayı zamada A ı bi spetal alt uzayı da dei Buada şimdi tezi diğe bölümleide ullaılaca değişmez alt uzayla ile ilgili bazı teoemlei veelim Teoem 8 A da değişmez alt uzaylaı ümesi bi latisti Yai ve A da değişmez alt uzayla ise İspat: M alt uzayı A da değişmez ve M N z z x y, x M ve y N ve de A da değişmezdi N alt uzayı A da değişmez olsu Buada biçimide taımlası M ve N alt uzaylaı A da değişmez olduğuda Ax M ve Ax N di z x y olaca şeilde bi z M N içi Az Ax Ay ifadeside Az M N olu ve böylece M olduğuu göstei N elde edili Bu ise M N 6 alt uzayıı A da değişmez

29 M N x x M ve x N biçimide taımlası M ve N alt uzaylaı A da değişmez ise x M N içi Ax M ve Ax N olduğuda Ax M N di Buada da M N alt uzayı A da değişmezdi dei Teoem 9,, x x liee bağımsız vetölei ümesi olsu A: bi liee döüşüm ya da A tipide matis ise aşağıdai ifadele deti Buada A, bi liee döüşüm olaa alımıştı (i) spax,, x alt uzayı A da değişmezdi (ii) x,, x A liee döüşümü il vetöü, de bi tabaa göe A A A () üçgesel matis bloğu ile veili Buada öşe sol alt sıfıı dı (iii) A ı matis gösteimi de x,, x il vetölei hehagi bi taba içi () fomudadı Ax i, x,, x ı liee bileşimi olduğuda spax,, x A da değişmezdi İl vetöü x,, x değeleii ala de i hehagi bi x,, x, y,, y tabaı içi Ax olo vetölei içidei ici bileşe sıfıdı i Teoem [3] A ve B, tipide matisle ve A S BS olsu Bu duumda (i) bi alt uzay A da değişmez olması içi gee ve yete oşul S, B de değişmez olmasıdı (ii) alt uzayı A içi bi ö alt uzayıdı olması içi gee yete oşul S, B içi bi ö alt uzayıdı (iii) bi alt uzayı A içi bi spetal alt uzay olması içi gee ve yete oşul S, B içi bi spetal alt uzayıdı Buada değişmez alt uzaylaı, geelleştiilmiş aateisti uzaylala alt uzaylaı aaesiti aacılığıyla taımlamış olduğuu gösteeceğiz İl başta alt uzaylaı diet 7

30 toplamı avamıı veelim alt uzayı ve olsu Bu duumda (i),, alt uzaylaı liee bağımsızdı Öeği, i,, içi xi i olma üzee x x oluyosa he x i sıfıa eşitti (ii),,, lei toplamıa eşitti Öeği,, x,, x olma üzee x x fomudai vetölei ümesie deti Bu şatla sağlaıyosa, olaca şeilde,, alt uzaylaı diet toplamı olaa adladıılı Teoem A, tipide matis olsu uzayı,,, A ı özdeğelei olma üzee A ı geelleştiilmiş aateisti uzaylaı bi diet toplamıdı Yai, A A (3) dı İspat: A x A I x 8 şelide ö alt uzay taımlası A ı bi aateisti değeii alalım Buada q, pozitif bi tamsayı olma üzee Im q q Ke A I A I ve q q Ke A I x A I x A dı Tümevaım yötemiyle q, aateisti değei içi 3 q Ke A I x A I x A q 3 q, aateisti değei içi Ke A I x A I x A 3 3

31 q, aateisti değei içi olu Bulaı taaf taafa topladığımızda q Ke A I x A I x A q q q Ke A I Ke A I Ke A I A A A eşitliği yazılı Cayley-Hamilto Teoemie göe aateisti poliom det ve A I A A A A I i olaa yazılı Buada i i i q Ke A i xi olaca şeilde yazıldığıda q A q i olduğu biliiyo Bua göe i q q q Ke A x Ke A x Ke A x dı Böylece yuaıdai eşitlilede A A A Teoem [4] A, tipide matis ve ı falı özdeğelei olma üzee olsu Bu duumda,,s, A A A ( ) ( ) olaca şeilde A da değişmez bi alt uzayı vadı s İspat: Teoem de A, A şelide yazılabili Böylece falı özdeğelei olma üzee,, A ı A A dı Buu i olaca şeilde he, i lei biisiyle çaışaca olduğuu gösteme geei Bu duumda 9

32 A A i olu ve i le A i özdeğelei olsu Böylece i yazılı A Şimdi adoit matislei değişmez alt uzaylala ilgili bazı bilgile veelim Buada vetö uzayıda stadat ölidye sale iç çapım x, y i x i y i olaa taımlaı Buada x x, x y y y dı Aşağıdai avamla bu sale çapıma göe taımlaı (i) x vetölei omu x (ii) x, y ve, x ile y aasıda i açı olma üzee x ve y içi x, y cos, x y (iii) boş olmaya ümesie diey tümleye x x, y, tüm y içi gözlemlediğide diey tümleye he zama edisii de Diat edelim i i hehagi bi alt ümesi olması geei de bi alt uzaydı Buada ı

33 ve bi alt uzay ise olu Bu tümleye teimii ullaımıı açıla Teoem 3 [4] alt uzayıı tipide bi A matisii de değişmez olması içi gee ve yete oşul i diey tümleyeii değişmez olmasıdı A adoit matis içi İspat: Kabul edelim i M, A da değişmez olsu x M alalım He y M içi A y M olduğuda Ax y x A y,, olu Buada Ax M di Tesie abul edelim i M, A da değişmez olsu y M alalım He x M içi A y x y Ax,, dı Buada A y M di Böylece M, A da değişmezdi 3 İzdüşümle ve Değişmez Alt Uzayla P : ile taımlaa bi liee döüşüm P P yi sağlıyosa bi izdüşüm olaa adladıılı İzdüşümlei öemli özelliği tüm izdüşümlei ümesi ile de alt uzaylaı tümleyeleii tüm çiftleii ümesi aasıda biebi bezeli olmasıdı Bu bezeli teoem 4 de veilmişti İl başta, alt uzaylaı ve şatlaıı sağlıyosa, bibiii tümleyei olaa adladıılı, alt uzaylaı he x ve y içi x, y şatıı sağlıyosa otogoaldi dei ve ola bibileii diey tümleyeleidi Yai, ve dı

34 Teoem 4 [3] P, bi izdüşüm olsu Im P, KeP tümleyeleii bi çiftidi Tesie, de alt uzay tümleyeleii he içi Im P KeP olaca şeilde bi te P izdüşümü vadı İspat: olsu P P olaca şeilde yazalım P Im P ve P KeP di Böylece Im P KeP di Eğe Im P KeP ise PY P Y P PY P y içi PY di ve P dı Böylece de alt uzaylaı, çifti ve Im P KeP olduğuda Im P ve KeP tümleye alt uzayladı Tesie ve tümleye alt uzaylaı bi çifti olsu içi P ve içi P olaca şeilde de bi liee P döüşümü taımlası Buada Im P ve KeP olu Yuaıda gösteile Im P P KeP P olduğuda eşitliğide Im P ve KeP olaa belilei Böylece oşullaı sağlaya P döüşümü bi izdüşümdü He Im P içi P olduğuda P i te olduğu gösteili P P, P P ve P P olaa seçelim He Im P içi P P ve P eşitlileide P yazılı Bu ise P P soucuu vei Böylece P i te olduğu belilei P, Im P ve KeP şatlaıı sağlıyosa boyuca üzeie izdüşümdü KeP Im P ise P izdüşümü otogoaldi Böylece beze tümleye alt uzayla bibileie otogoaldi Otogoal izdüşümle aşağıdaile gibi aateize edilebilile Teoem 5 Bi P izdüşüm otogoaldi P self-adoitti Yai, P P di

35 İspat: Diat edildiğide P bi izdüşüm ise I P I P P I P P I P dı Üsteli KeP dı Im I P ve Im P KeI P Bu P izdüşümlei ve Şimdi A: I P de izdüşümdü Geçete I P tümleye izdüşümle olaa adladıılıla bi liee döüşüm içi yi bi değişmez alt uzay olaa düşüelim Im P olduğuda hehagi bi P izdüşümü içi PAP AP (4) yazılı Geçete x KeP ise açı olaa PAPx APx olu Eğe x Im P ise Ax, ye ait ve böylece PAPx PAx Ax APx olu KeP Im P olduğuda (4) eşitliği ouu Tesie, (4) ü sağlaya bi izdüşüm P ise he bi ifade ile Im P x Im P içi PAx Ax dı Diğe, A da değişmezdi Böylece bi alt uzayıı A da değişmez olması içi gee ve yete oşul i (4) ü sağlayala P izdüşümü imaiei olmasıdı, A da değişmez bi alt uzay ve P de üzeide bi izdüşüm olsu P i çeideği olsu tipide blo matis olsu Buada diet toplamıa göe A, A A A A A, PAP : ; : A I P AP, : A, : A I P A I P PA I P ; 3

36 bie liee döüşüm ve tüm bu liee döüşümle ve tabalaıa göe matisle olaa yazıldı, A da değişmez olduğuda delem (4) de PAP I olu Yai, A dı Buda dolayı A A A (5) A olu Bu souç teoem 9 ile uyumludu 4 Reel Matisle ve Kaoi Fomla Buada gidilei eel ya da de e liee döüşümlü matisle ele alıacatı A, tipide bi eel matis olsu A ı tae özdeğei olma zouda değildi Öeği matisii hiç eel özdeğei yotu Diğe yada A ı eel olmaya özdeğelei omples sayıla olaa düşüüldüğüde olma üzee, eel ve i olaca şeilde omples eşlei çiftlede meydaa geli Reel olmaya omples eşlei özdeğelee sahip ola eel değeli A matisii bi modeli eel Joda blolaıdı J i ;, ve olma üzee matisii boyutu dı, pozitif bi tamsayıdı Açıça bu matis he bii cebisel atlılığı ola i özdeğelei vadı 4

37 Taım 9 Bi diyagoal matis K B K K p He K i blo ya bi eel özdeğeli bi Joda blo ya da eel olmaya omples eşlei özdeğeli çiftli bi eel Joda blo oluyosa B bi eel Joda matis olaa adladıılı Teoem 6 [3; 4] He eel değeli A, tipidei matis bi eel bezeli matis ile bi eel Joda matise bezedi Üsteli eel Joda matis aa öşege üzeide blolaı pemütasyoua bağlı olaa A taafıda te olaa belilei Bi tipide eel matis A ya beze ola eel Joda matise A ı eel Joda fomu dei Komples matisle içi olduğu gibi ayı amaçla eel matislei özdeğeleii cebisel atlılığı, geometi atlılığı ve ısmi atlaı avamlaı da vadı Böylece eel matis i J i J i J i J i ve 3i özdeğelei vadı i ve i özdeğelei he biii cebisel atlılığı 5, geometi atlılığı 3 ve ısmi atlaı 3,5 ve 7 di 3i ve 3i öz değeleii he biii cebisel ve geometi atlılığı di He A, tipide bi eel matisi veildiğide alt uzayı he x içi Ax oluyosa ye A da değişmezdi dei Bu taım ayıca A: döüşümlee de uygulaabili liee Öcei bölümde veile değişmez alt uzaylaı biço öeği eel matisle içide bezedi Öe 6, tipide eel A matisii eel bi özdeğei olsu Eğe p p Ke A I x A I x 5

38 içi p,, ve p, ı idisi ö uvveti ise tüm p içi p A I KeA I Ke dı Bu alt uzaya A ı a aşılı gele geelleştiilmiş aateisti uzay ya da ö alt uzayı dei ve bu alt uzay A ile gösteili ve bu uzayı A da değişmez olduğu olayca gösteilebili A ı eel olmaya özdeğeleii ö alt uzayı falı taımlama zoudadı Faat bu uzayla yiede i bi alt uzayıdı eşlei özdeğeleii bi çifti olsu i A ı eel olmaya omples p,, olma üzee A A I p şelide eel matislei düşüelim ve Ke p A A I KeA A I olaca şeilde p ı e üçü tamsayı olaa alalım Bu duumda p içi Ke olu ve p A A I KeA A I (6) p de bi alt uzay ola (6) alt uzayı A da değişmezdi Bu alt uzay i eel olmaya omples eşlei özdeğelee aşılı gele A ı ö alt uzayı ya da geelleştiilmiş aateisti uzay olaa da adladıılı Bu alt uzay A gösteili ile i Öe 7,, p, tipide bi eel A matisi(ya da liee döüşümü) falı eel özdeğelei ve,, iv q ivq A ı eel olmaya falı omples eşlei öz değelei olsu Bua göe geelleştiilmiş aateisti uzaylaı toplamı A A A A (7) p iv g ivq olaa yazılı ve bu da aslıda de A da bi değişmez alt uzaydı Bu şeilde otaya çıa A da değişmez alt uzayla spetal değişmez alt uzayla olaa adladıılı Komples bi duum olduğuda (7) alt uzayı, omples düzlemde basit-bağlatılı apalı hehagi bi bölge olma üzee,,,,, iv q ivq içeiside ve A p ı diğe tüm özdeğelei ı dışıda olaca şeilde 6

39 Im i I A d bi itegal gösteimi vadı Matis ya da liee döüşüm P I A d (8) olaca şeilde A ı diğe tüm özdeğeleie aşılı gele spetal alt uzay boyuca (7) spetal alt uzayı üzeie bi izdüşümdü P izdüşümü bi eel matis ya da liee döüşümdü Geçete geelliği bozmada eel esee göe simeti olaa seçili (8) de omples eşleile ve Teoem 8,9 ve u (, içi geçelidi değişe değiştimesi ile P P eşitlilei çıa ile ye değiştidiğide ) souçlaı da eel matisle Teoem 7 A, tipide eel bi matis,, p, A ı eel özdeğelei ve,, iv q ivq da A ı eel olmaya özdeğelei ise A da değişmez hehagi bi alt uzayı A A p ( ) ( ) ( A M ) ( ( A) ) iv q ivq (9) şelide yazılı İspat [3] ( ), A ı aateisti poliomu olsu ( ) ı atsayılaı eeldi Buda dolayı (,, p) uygu pozitif bi tam sayı olma üzee, ( ) ( ) ve ( ) ( ) p dı (,, q) uygu pozitif bi tam sayısı içi ( ) ı ölei düşüüldüğüde esilile A ı öz değelei ( ) ( ) pq ( ) fomuda çapalaıa ayılmış olu Şimdi, (,, p q ) alalım Buada poliomuu atsayılaıı eel olabileceği düşüülebilii 7

40 Cayley-Hamilto teoemide A yazılı Böylece A A,,, p () ve Im iv A Im p A,,, q () olduğu ispatlaı Faat,, sıfılaı yotu ve buda dolayı oada pq poliomlaıı omples düzlemde ota pq pq () olaca şeilde,, pq eel atsayılı poliomla vadı Bu p q duumuda he x içi () ullaılaa pq x A A x elde edili (), () ve A da değişmezliğide dolayı A A x A,, p A A x A,,q p p iv yazılı Buda dolayı x, (9) u sağ taafıa aitti ve (9) u apsa ( ) olduğu abul edili Kapsamaı tesi ( ) olduğu aşiâdı ve (9) eşitliği ispatlamış olu (9) u sağ taafı omples matisle içi diet toplamdı Özellile olduğuda A A A A P iv q ivq geelleştiilmiş özdeğele uzaylaıı bi toplamı olaa edili i bi ayışımı elde de stadat Ölidye sale çapım 8

41 x x x, x y y y olma üzee y x, y i x i y i şelide de taımlaı Taım alt uzayı tipide bi eel A matiside değişmez olması içi gee ve yete oşul i T A taspoz matis içide değişmez olmasıdı 5 İzdüşümle ve Değişmez Alt Uzayla Hepside öce il hatılaılaca taım Hemitia matislei eel özdeğelele diyagoalleşebili olmasıdı Üsteli matis özdeğeleii bi diyagoal matise biebi bezeliği vadı Böylece tipidei A matisii A A olaa alalım ve bu matisi özdeğelei,,, olsu Bu duumda D diag,, (3), yazabiliiz Böylece tipide bi U biim matisi U U I özelliğii sağlaya vadı ve A UDU (4) dı A Hemit matisi sıfıda falı tüm x içi Ax x Ax x oluyosa pozitif taımlı (pozitif yaı taımlı) dei Beze taımla egatif taımlılı ve egatif yaı taımlı matisle içide yapılı Bu döt duum sıasıyla A, A, A ve A olaa yazılı Pozitif duum içi ii özelli geçelidi ve bu duumda aşağıdai teoem yazılabili Teoem 8 [3; 4] Aşağıdai duumlaı he bii diğeie deti (a) A ( A ) (b) A ı he özdeğei içi ( ), 9

42 (c) A A olaca şeilde A bi te matisi vadı A (c) de A matisi A şelide yazılı Buada A eel bi matis olduğuda A matisi ya da A matisii de eel olduğua diat edilmelidi Açıça A olması deme (3) de D olması demeti Ayıca D diag,,, olu Tesie (4) de A UD U (5) yazılı Kabul edelim i u,,, u u ; (4) ve (5) de,, pozitif ve olsu U u sütulaı A u u, A u u şelide yazılabili Buada A KeA spa Ke u,, u (6) A Im A spau,, Im u (7) olu Özellile A ve A ayı aa sahipti Bu bağıtılala ilgili ola teoemi veelim Teoem 9 [3] A ise hehagi bi m tipide matisi içi, Ke A KeA di ve hehagi bi m tipide Y matisi içi YA ImYA Im dı İspat: Bazı m x içi x A oluyosa Ax A ( A x) 3

43 dı Bu da Ke A Ke A alalım Buada olduğuu ispatla Tesii ispatı içi Ax A x A x, A x Ax, x yazılı ve böylece A x olu alalım Böylece bazı Im A A A A Y A dı Tesie Y içi A Y di Buada olu Bu ise A Im YA demeti Böylece Im A Y Im A alalım Böylece ImYA Y A A A Y AY olu Buada ImYA Im A di Böylece Im A ImYA elde edili 6 Düzeli Matis Kalemlei Taım (ya da ), A ve B tipide omples ya da eel matisle olma üzee A B matis ailesie bi matis alemi adı veili Bi matis alemi det A B olaca şeilde bi salei vasa düzelidi Açıça det A ise bi A B alemi düzelidi Aca bu bölümü amacı bu A ve B matislei he iiside teil olabildiği duumlada ele alıp bazı hesapla yapmatı ( A B ) yi düzeli matis alemi olaa alalım A B det,,,, (8) olaca şeilde içi,,, falı omples sayıla vadı Bu sayıla alemi solu özdeğelei olaa adladıılı Ke A B ye aşılı gele A de sıfıda falı hehagi bi vetö B i bi özvetöü (sağ) olaa adladıılı 3

44 Bu taımla doğal olaa lasi duum A I olduğuda otaya çıa A B i bi sıfı özdeğei vasa bi matis alemi sosuzda bi özdeğee sahipti dei Öeği; KeA gibi Taım bi alt uzay dim dim ve A, B olaca şeilde bi alt uzayı vasa A, B çifti içi alt uzayıı deflatig olduğu söylei Açıça A I ise, B de değişmezdi ve böylece bu avam bi değişmez alt uzayı geelleştiilmişidi Üsteli vetöle taafıda alt uzayı geilmişti ve A B, x,, xs özvetöleiyle bi düzeli alem ise bu A alıabili Lemma [3] A B bi düzeli matis alemi olsu K bi tipide matis olma üzee AK B olaca şeilde tipide bi matisi vasa Im, A, B içi deflatigdi İspat:, Im A Im Im A A olma üzee -boyutlu hehagi bi alt uzay olsu Buada yazılı Aca B olu Böylece B Im elde edili Bu da istee souçtu AK olduğuda Im B Im A Lemma de geelliği bozmada i aıı olduğuu abul etmişti Başa bi ifade ile yeie ~ ( ~, Im de bi baz fomuda sütulaı ola tipide bi matis) ve K yeie LKL ( L sağda teslei ve L, L i sağda tesi) ~ alıısa L olaca şeilde tipide bi L matisi buluabili i aıı olmasıa e olaa, K yeie Joda aoi fomu ve K ı öz değelei A göülü Açıça B i solu özdeğelei hepsi alıabileceği lemma de olayca A BK ise beze duumla içei Faat A BK duumuda A B i bi özdeğei sosuzda K ı bi sıfı özdeğeie aşılı geli Teoem [3] A B bi düzeli matis alemi olsu A, B içi bi boyutlu deflatig alt uzay ise A, B, tipide ve, i il sütuuu gediği A A B B YA, YB A (9) 3 B3 matislei içi ve Y teil olmaya matisledi 3

45 Tesie (9), ve Y teil olmaya matisleii de içei ve, i tipide bi paçalaışı oluyosa Im, A, B içi deflatigdi İspat:, A, B içi deflatig ve A, B, dim dim olsu tipide ve Z matislei içi Im, Im Z di ve Y Z Z (3) Y teil olmaya matisleidi Ayıca Y tipide bi matis olma üzee Y Y yazılı Böylece Y Z olu Buada AS T ImZ yazılı Beze olaa Y B ve (9) A A B B YA, YB A 3 B3 elde edili Tesie, Y, Y paçalaışı (9) u ullaaa A Z Z A A A 3 B Z Z B 3 B şelide yazılı Böylece A ZA ve B ZB di Im ve Im Z olduğuda dim dim, A, B olu Böylece B Teoem, A B düzeli olduğuda Y A B A B A3 B A B 3 şelide uvvetli bi deli bağıtısı göstei Açıça deflated alemle A B ve A3 B 3 düzeli olmalı ve olaı özdeğeleii bileşimi A B 33 i özdeğeleii ümesidi Veile bi deflatig alt uzay içi A B, ye aşılı gele

46 idigemiş bi alemdi ve A B A B olaa yazılı Açıça A ve B, ve Y i seçimie bağlıdı ama A B i spetumua bağlı değildi Ayıca ve Y biim matis olaa da seçilebili Bu sıasıyla ve Z i sütulaı ola ve içi seçile otoomal tabala taafıda elde edili ve ile Y ve dolayısıyla Y biim matis olaca şeilde seçilise (3) delemidei ve Z matislei buluu Souç [3], KeA olaca şeilde B A, içi bi boyutlu deflatig bi alt uzay olsu Böylece tipide Im ve A K B olaca şeilde bi K matisi ve tipide aı ola matisi vadı İspat: Yuaıda i teoemi ispatıdai gibi seçili ve Z taımlaısa Im, A ZA ve ZB B olu Yai, z KeA ise z KeA olu z KeA ise z ve dolayısıyla z olu Böylece A tesii olduğuda Z A A ve dolayısıyla B A A B olu Böylece K A B olaa seçilebili Aşağıdai teoem deflatig alt uzayı değişi bi özelliğii vei Teoem [3] A B bi düzeli matis alemi olsu, A, B içi bi deflatig alt uzay olması içi gee ve yete oşul dim A B dim olmasıdı İspat:, deflatig olması diet taımda çıa Tesie, dim A B dim ise A B içi S i boyutuda hehagi bi alt uzayı olaa alalım Soasıda A, B olu ve buada deflatigdi Bi düzeli alem içi deflatig alt uzaylaı ümesi belli bi tipide matis içi değişmez uzaylaı latisi olaa taımlaı Böylece geçete olmaya yei özellile elde edili Buu göme içi det A B değişe değiştimesi yapalım Böylece A B A A B I A B olaca şeilde seçelim ve A B A (3) 34

47 olu Açıça, A B i solu bi özdeğei ise sosuzda A B i bi özdeğei va ve ( matisii bi özdeğei A B) : olması içi gee ve yete oşul A B A ı bi sıfı özdeğeie sahip olmasıdı Ayıca olması içi gee ve yete oşul ise olmasıdı Teoem [3] det A B uzayı ( A B) ile A B bi düzeli alem olsu Bi alt altıda değişmez olması içi gee ve yete oşul i B bi deflatig alt uzay olmasıdı A, içi İspat: hehagi bi alt uzayı içi A B A A B olduğu açıtı Tesie x A B ise y, z içi x Ay Bz de z y z yazılısa x A z z Bz A B z Az A B A olu Böylece A B A A B ve dim A B dim A B A dim A B A (3) olu Kabul edelim i, A, B içi deflatig olsu Teoem de dim dim A B dim yazılı ve A B A dim (33) olu Böylece ( ) di(, ( A B) B de değişmez olduğu gibi) A B A Tesie, ( ) da değişmez olduğuda (33) delemii sağla Böylece A B A (3) de dim A B dim eşitliği yazılı ve teoem de i A, B içi deflatig olduğu göülü Açıça ( A B ) ve - ( A B matisleii özdeğelei falıdı faat falı öz ) değelei sayılaı ayıdı e olusa olsu det A B olduça 35

48 ( A B A ı değişmez alt uzaylaıı latisi A, B içi bi deflatig alt uzaylaı ) ümesidi Teoem 3 [3] A B, tipide düzeli bi alem ve,,m A B i falı özdeğelei hepsi olsu A teil ise sosuzda i özdeğelei apsa Soa, B,, m A, içi deflatig alt uzayla olma üzee i bi paçalaışı de m (34) şelide olu ve A B Geçete, ise ı, (,, m) özdeğe tabaı vadı Im A B A d (35) di Buada uzayı, meezli yeteice üçü yaıçaplı bi daiedi (35) de alt özdeğei ile bilite A, B i spetal deflatig alt uzayı olaa adladıılacatı So olaa bi düzeli alemi spetumu üzeie bi teoem veme içi şu taım geelidi Taım 3 Eğe P ve Q teil olmaya matisle A B P C DQ eşitliğii sağlayabile tipidei esilile deti dei A B ve C D düzeli matis alemlei Kesi deli altıda bi aoi fom içi şu teoemi yazabiliiz q Taım 4 Bi A ae matis içi A olaca şeilde bi q tam sayısı buluabiliyosa A ya ilpotet matis dei A ilpotet matis ise bi te sıfı öz değei vadı Teoem 4 [3] Eğe A B bi düzeli alem ise bu duumda A B, I J K I (36) 36

49 şelide bi düzeli aleme esi olaa deti Buada J, K Joda matisle ve K sıfı uvvetli matisti Buada matisi solu özdeğelei ve olaı atlılılaı J i Joda blo bileşeleii boyutlaı ve özdeğelei teti Beze şeilde sosuzda özdeğelei ısmi atlılığı K matisie uygu ola ilpotet Joda blolaıı sayısı olaa taımlaı Souç : Düzeli matis alemlei (36) da i aoi foma esi olaa deti ve böylece ayı özdeğelee ve ısmi atlılılaa sahipti Taım 5 A a tipide bi matis olsu Eğe i içi a ise A i i matisie öşege matis dei Taım 6 Bi V vetö uzayıı bi S V V V,,, alt ümesi aşağıdai ii özelliğe sahipse V i bi bazı veya tabaı adıı alı a) S, V yi gee Yai, V a b c d olsu V av av av eşitliğii sağlaya a, a,, a sabitlei bulumalıdı b) S, liee bağımsızdı Yai, av av a V olaca şeilde hepsi a a a sıfı ola a, a,, a atsayılaı bulumalıdı Taım 7 Bi aesel A matisii detemiatı sıfıa eşit ola matisti Tesi olmaya aesel matisti Yai, değilse A matisie sigüle matis dei AB BA I olaca şeilde bi B matisi mevcut Taım 8 Veile bi A, matisi içi değişeli det I A poliomudu A, tipide bi matis olsu I A matisii detemiatıa aateisti poliom, P det I A delemie A matisii aateisti delemi dei Taım 9 A : bi liee döüşümü özdeğei olsu Eğe x ve 37

50 Ax x Ax x x Ax x x Ax x x olaca şeilde bağıtıla sağlaıyosa x, x,, x vetöle ziciie a aşılı gele A ı bi Joda zicii dei Taım J,, tipide bi matis olsu Köşege elemalaı lada, süpe diyagoal elemala lede ve diğe elemalaı ise lada oluşa matise Joda blo matis dei Bi Joda matis blo matisti Yai, Joda blola öşege üzeide diyagoal blolada ve diğe yelede sıfı ola matisti Öe 8: i i A i i matisi aateisti değei 3 3 blo matisi, i aateisti değei blo matisi, i aateisti değei blo matisi ve 7 aateisti değei 3 3 blo matiside oluşmatadı Bu,3, i,, i,, 7,3 biçimide Joda blola ile gösteili diag J J J J ya da J,3 Ji, Ji, J7,3 Taım Bütü sütulaı liee bağımsız ola matise full a matis dei Taım V ve W bi K cismi üzeide vetö uzaylaı, f : V He x, y V içi f x y f x f y W olma üzee 38

51 He K ve he x V içi f x f x oşullaıı sağlaya döüşüme liee döüşüm dei Taım 3 S,,, m, T,,,, i A : S T H, ai ve H bi hala olma üzee, biçimidei bi A fosiyoua m tipide bi matis ya da m biçimide matis dei Taım 4 E yüse deeceli teimii atsayısı bi ola polioma moi poliom dei Taım 5 Doğal sayıla ümeside taımlı ve, Eğe p, p,, p falı asal sayıla olma üzee p, p,, p ise ve 3 Tüm diğe doğal sayılaı içi oşullaıı sağlaya fosiyoua Mobius fosiyou dei 7 Matislei Fosiyolaı Buada matislei fosiyolaıı içee bazı temel bilgilei hatılayalım A, tipide bi matis olsu Eğe f m a, a bi sale poliom ise f A, f A m a A (37) şelide taımlaı J, A ı Joda fomu olsu Öyle i S tesii matisi içi A S JS olu (37) delemide 39

52 f A m S ( a J ) S (38) yazılı A ı falı özdeğeleii hepsi,, p ile gösteilsi Bu duumda J K K p yazılabili Buada K u J J u, s u, u u u di Buada sağdai teimle Joda blolaı ve atlılığıdı (38) de f p s u q u A S f J u uq S s u, u özdeğeii geometi (39) olduğu göülü Bi Joda bloğuu poliomu olayca şu şeilde hesaplaabili f m! f yazılı Soa f m J! f J u u u u I u x x x x x x (4) olu Buada x! f,,, dı u (39) ve (4) fomüllei f poliom fosiyou dışıa f A geişletmemize imâ vei f sale fosiyou taımlı ve A açı ümede aaliti olsu Böyle fosiyolaı tamamıı ümesi gösteili 4 ı taımıı yı ihtiva ede A A ile A A ı bi cebi olduğuu gösteelim Yai, he f g A A c C içi f g, g f ve cf A A dı Üsteli A, ve A fosiyouu

53 apsa (, g f A A da çapmaya göe biimdi ve tüm A içi g A A olma şatıyla A A A A içi A poliom fosiyolaı sııfı dışıa dı g ve f matisi (39) ve(4) eşitlileide taımlaı Açıça bu f A fosiyolaıı bazı temel özellileii sıalayacağız Teoem 5 f f A döüşümü ile f A A f g A f A ga ; f g A A f g A f A ga ; f, g A A A I ı taımı geişletili Buada matis bi cebi homomofizmidi Yai,,,, C Bu özellile (39) ve(4) fomüllei ullaılaa doğuda ispat etme ile otol edilebili Souç 3 f ve g poliomlaıı A içi g olma üzee f h bi asyoel fosiyo olaa alalım Böylece h A A, g A g tesii ve A f Ag A h dı Aşağıdai teoem (39) ve (4) fomülleide elde edilmiş spetal haitacılı teoemi olaa bilii Teoem 6 f değelei A ı bi özdeğei Soa f yol aça A Teoem 7 Bi A A ise f A f A dı Diğe bi deyişle f A olma üzee f fomuu sayısıdı ı öz ı değişmez alt uzaylaıı düşüelim Teoem aşağıdai gözlemlee f A ümesie aşılı gele f A ı spetal alt uzayı f olaca şeilde A ı özdeğeleii ümesi ola toplam A toplamıa deti He f A A içi A f AA f A da değişmezde olu Af olduğuu açıça he A da değişmez alt uzay R 4

54 Teoem 8 p, A ı falı özdeğelei ve f A A,, olsu A ve f A esilile ayı değişmez uzayla olması içi gee ve yete oşul aşağıdai şatlaı geçeli olmasıdı i) f f, i ( i, p) içi i ii) He içi f Buada cebisel atlılı geometi atlılıta daha büyütü Üsteli (i) ve (ii) geçeli ise de A ı ısmi atlılığı,, p olma üzee f de f A ı ısmi atlılığıa de geli 4

55 BÖLÜM 3 CEBİRSEL RICCATI DENKLEMİ Elemalaı omples ola sabit değeli tipide A, B, C matisleii göz öüe alalım Buada B ve C, B B, C C şelide Hemit matisledi Buada sembolü bi matisi eşleiğii taspozou göstei, elemalaı omples ola tipide bi matis olma üzee; A A B C (3) delemie cebisel Riccati delemi dei Bu delemi çalışılmasıı geetie ede: Matis difeasiyel delemlei çözümleii liee Hamilto matis sistem aalizie dayamasıdı Öeği, U t AU t BV t V t CU t A V t (3) sistemii göz öüe alalım Bu sistem aşağıdai teoem aacılığıyla t t A A t t B t C (33) Riccati matis difeasiyel delemi ile ço yaıda ilgilidi Teoem 3 U, T aalığıdai bi t içi teil olmaya bi matis olma üzee U, V (3) delemii bi çözüm çifti ise, bu duum da delemii bi çözümüdü - = VU, T aalığıda (33) Tesie, T aalığıda (33) delemii bi çözümü ve U da U t = A - B t U t 43

56 delemii bi temel çözümü ise, bu duumda T aalığıda U ve V = U, (3) delemii bi çözüm çiftidi (33) delemii sabit çözümlei (3) cebisel Riccati delemii çözümleidi Geellile (3) ve (33) delemlei aasıdai bağıtıı bi soucu olaa (3) matis delemi siyal işleme ve optimal otol gibi ço sayıda veile içee sistem teoilei uygulamalaıda bulumatadı A, tipide amaşı değeli bi matis içi sol yaı düzlem, saal ese ve sağ yaı düzleme aşılı gele A ı geelleştiilmiş aateisti uzaylaıı toplamı l o A, A, A ile gösteilsi A, A ı aateisti poliomlaıı göstesi Taım 3 A ı özdeğeleii hepsi egatif eel ısımda ise A aalı ve ise de A aasız olu A aalı Taım 3 A ı he bi özdeğeii ısmi atlaı A ı Joda fomu içide ya aşılı gele Joda blolaıı sayısıdı ya da si - A ı s - λ x şelide elemate böleleii deecelei ayıdı ı atlaı ı ısmi atlaıı toplamıdı Taım 33 A ı he bi özdeğei te ısmi çapada oluşuyosa A peiyoditi dei Taım 34 değişmezdi dei i bi alt uzayı içi A ise A da değişmez ya da A altıda Taım 35, bi A da değişmez alt uzayı olma üzee A, A ı ye ısıtlaması olaa taımlaı Üsteli SpA ya A ı sütu geei ve KeA ya A ı çeideği dei,, alt l o A A A uzaylaı, SpA ve KeA A da değişmezdi ve gibi ii alt uzayı diet toplamı olaa taımlaı Bi omples poliom q s s içi 44

57 q s ( ) s ile belilemiş eşlei poliom taımlaı Buada asteis bi matis veya vetöü eşlei taspozu ve bi sayıı omples eşleiği taımlama içi ullaılı Taım 36 olaca şeilde, ii Hemit matisi vasa egatif taımlı değildi dei ve olduğuda pozitif taımlı olu Taım 37 A ve B tipide ii omples matis ise A, B SpB SpAB SpA B ve l A, B A, B A ile taımlaı A ve C, tipide ii omples matis ise A, C KeC KeCA KeCA ve A, C A, C A A ile taımlaı Taım 38 Eğe, aalı olu i bu alt uzaylaıı tümü A da değişmezdi ise, A B Taım 39 Eğe A, C algılaabili olu ise, A B çifti eişilebili ve A, B A C çifti gözlemleebili ve, Taım 3 A ı bi özdeğei ola amaşı sayısı içi A ve B eşitlilei içi sağlaıyosa, ya B eişilebili dei Taım 3 Aw w ve Cw eşitlilei w içi sağlaıyosa, ya C gözlemleebili dei ise, A C A B çifti ise, A C çifti 45

58 Taım 3 A ı he bi özdeğei ya ya da işaet-eişilebilidi dei A, B, C, tipide omples matisle olsu A+ B +C = içi B eişilebili ise, A B çifti Sylveste delemii bi te çözümüü olması içi gee ve yete oşul A ve B çözümleii asal sayı olmasıdı Yuaıdai delemde B A ve C C olduğuda delem A+ A +C = şelide bi Lyapuov delemi olu Lyapuov delemide A aalı ve C ise bi te çözümü vadı ve dı Başa bi ifadeyle, çözümü va ve C ise A aalıdı 3 Cebisel Riccati Delemii Çözümleii Sııfladıılması A+ A - B +C = (3) cebisel Riccati delemii Hemit ya da Hemit olmaya, işaet belili veya belisiz çözümlei vadı ve bu çözümlei ümesi solu yada sosuz olabili (3) ve (33) aasıdai ilişiye baıldığıda H = A -B -C -A (34) tipide bi matise bağlı boyutlu değişmez alt uzaylaı belli bi sııfıa aşılı gele (3) delemii G çözüm ümesi buluu Buada Hamilto özelliği JH = -H J (35) ifadesii sağlaya I J = -I (36) matisi, H ve saal esee göe simetiti H matisleie bezedi Buda dolayı H matisii spetumu 46

59 Teoem 3 [5] (3) delemii G çözüm ümesi ve i boyutlu H da değişmez alt uzaylaı ümesi aasıda biebi bezeli vadı Bu üme boyutlu Sp I alt uzayıı tümleyeidi Bu bezeli çözümü içi I Sp değişmez alt uzayı olaa belilei taafıda veile taba matis A B ti H matisie aşı I sütu matisi I sütulaı ile veile tabaa göe H i matisi A B ti İspat:, Sp I ya aşılı gele i boyutlu alt uzayıdı şeilde tipide bi matisi vadı Ayıca, H da değişmez ise A -B I I = L -C -A olaca şeilde tipide bi L matisi vadı I Sp olaca Biici delem olaa L A B yazılı Buada elde edilece iici delemde L yeie yazılısa -C - A = A- B olu ve bu da (3) delemii bi çözümüü olduğuu göstei Tesie, (3) delemii sağlıyosa A -B I I = A - B -C -A olu ve bu da i H da değişmez olduğuu ve A B matisii ise I sütulaı ile veile bi taba matisi olduğuu göstei matisidi H matisi, i H ye ısıtlaış 47

60 Öe 3,, eel ve getie iici deecede delem β α H = -γ - β Hamilto matisii meydaa dı 4 olsu Eğe ise iisi sıasıyla Sp Sp di Bua aşılı gele çözümle; i -boyutlu H da değişmez alt uzaylaı di Eğe ise aşılı gele te çözüm Sp olaca şeilde sadece te alt uzay vadı ve bua dı Optimal otol ve siyal üetim uygulamalaıı alama içi (3) i Hemit veya hem egatif taımlı olmaya hem de pozitif taımlı olmaya çözümleiyle ilgileilmiş oluacatı 3 Hemit Çözümle B şatı altıda H ile taımlaa (3) i Hemit çözümle ümeside çalışılı Taım 33 J matisi (36) da i gibi taımlası Böylece tüm u, v içi u Jv olaca şeilde i bi alt uzayıa J ötal dei Bu özelli G çözüm ümesii H alt uzayıı aateize etmede ullaılı 48

61 Teoem 33 [5] G i çözümüü H ya ait olması içi gee ve yete oşul i I Sp şelidei H da değişmez alt uzaylaıı J da ötal olmasıdı İspat: Teoem 3 icelei ve I I I = -I eşitliğii olması içi gee ve yete oşul olmasıdı 33 Te Çözümü Valığı H ı he çözümü; H ı H ( ) qq (37) H aateisti poliomuu çapalaıa ayıı Buada q AB di Buada I A -B I A - B -B = I -C -A I - A - B (38) olduğu göülü [3] Buda soa (3) i başa çözümleii vee ayı q poliomuu çözümü te olduğuu göstee (3) i Hemit çözümleii valığı gösteileceti Bu işlem içi aşağıdai lemmala ullaılacatı Lemma 3 [8; 5] A, B eişilebili olsu i he -boyutlu H da değişmez J da ötal alt uzayı Sp I i tümleyeidi 49