İÇİNDEKİLER. GİRİŞ. KOMPLEKS KÜRESEL HARMONİKLER 6.. Hdrojen Atounda Eetronun Bağı Hareet 6.. Eetronun Bağı Hareet İçn azıan Schrödnger Denenn Kürese Koordnatarda Çözüü 7.. Açısa Kısın Çözüü 9.4. Kürese Haronern Sayısa Değerernn Hesapanası 8.4.. Wenger ve Stenborn önte 8.4.. ardıcı onsyonarın Teraraa Bağıntıarı e Hesapaa 9. GAUNT KATSAILARI.. Gaunt Katsayıarını İfade Ete İçn Kuanıan Gösterer.. Gaunt Katsayıarının Hesapana önteer... Doğrudan Hesapaa 4... Teraraa Bağıntıarı e Hesapaa 7 4. GAUNT KATSAILARINI İÇEREN MATRİS DENKLEMİNİN OLUŞTURULMASI 5. BİLGİSAAR HESAPLAMALARI 5 5.. Örne Br Hesapaa 5 5.. Lteratür e Karşıaştıra ve Keyf Hesapaaar 7 6. SONUÇ VE TARTIŞMA 4 KANAKLAR 45 v
. GİRİŞ Kuantu eanğnn beenen değer e g postüasına göre her hang br ato veya oeüün her hang br A özeğnn berenebes çn Tü Uzay ψ * (r,t  ψ(r,t dτ (. ntegrann çözües gerer (Sater 96. Burada Â, g ato veya oeüün her hang br A gözenebrne arşıı geen operatör, ψ se ato veya oeüü anatan daga fonsyonudur. Bu daga fonsyonu ço bast ssteer çn Schrödnger denenn çözüünden ede edr. Örneğn hdrojen atou çn eetrse potansye fonsyonu ürese setrye sahp (VV(r oduğundan ψ Schrödnger denenden doğrudan ede edebr. Anca bazen ato ve oeüer çn eetronarın aruz adığı eetrse potansye ço araşı oduğundan daga fonsyonu Schrödnger denenn anat çözüünden ede edeez. Hdrojen atou çn Schrödnger denenn çözüünden ede eden ψ daga fonsyonu radya ve açısa oa üzere ısıdan ouşur. Bu fonsyonun radya ısı hdrojenden büyü atoar çn oduça araşı oaa brte açısa ısı araşı atoar çn de hdrojen atou çn ede eden çözüe aynıdır, bu ısa ürese haroner denr. Her hang br ato veya oeüü anatan daga fonsyonu Hartree-oc yaaşıı uanıara ede eddğnde bu daga fonsyonu Sater deternantarından ouşur. Sater deternantı aşağıda görüdüğü gb te eetron ato veya oeüer orbtaerden ouşur. U n ( U n ( U (... U ( N n n ψ (. N! U nn ( U U n nn (... (... U U n nn ( N ( N Burada n µ eetronun duruunu araterze eden uantu sayıarı çouğu (n,,, dr. s U U nµ U s oup burada U ato veya oeüer orbtan
uzaysa ısı; U s, se eetronun spn fonsyonudur. Sater deternantı adı veren daga fonsyonunun eeanarı apaı abuu atoar çn U C χ (. p p p bçnde χ e gösteren sater tp ato orbtaernn neer obnasyonu p ouren açı abuu ato veya oeüer çn U C ψ (.4 p bçnde ψ p sater deternantarıdır. p p Lteratürde Sater deternantarı taboar hande verr. Örneğn HeD oeüü çn HR (Hartree-oc-Roothaan daga fonsyonu aşağıda taboda verştr. Burada R atoar arası uzaıtır. Çzege : HeD oeüünün HR daga fonsyonu (R,55 a.b χ p ξ σ C σ, p σ,764,987 S He σ,877,445 S ' He σ,545 -,468 S He σ,64576,644 p ' He σ,48 -,5 p ' He σ,9447,59 d He σ,756,9 4 f He σ,949,497 S D σ,86 -, σ S D D ' S,569,69 σ,7989,4494 P D σ,48,64 d D
Bu çzegeden yararanıara Sater ato orbtaern χ χ (.764, rhe χ χ (.877, rhe χ χ (.545, r He χ χ (.64576, rhe χ 5 χ (.48, rhe χ 6 χ (.9447, r 4 He χ 7 χ 4(.756, rhe χ 8 χ (.949, rd χ 9 χ (.86, rd χ χ (.569, rd χ χ (.7989, rd χ χ (.48, rd şende ve C p atsayıarını C,.9875 C,.445 C,.468 C,4.644 C,5.5 C,6.59 C,7.9 C,8.4975 C,9. C,.69 C,.4494 C,.64 şende odayaı. Bndğ gb HeD oeüünün yanızca eetronu vardır. Taban duruunda eetron onfgürasyonu σ dr. Burada σ oeüer orbtadr. HeD nın eetronu oduğu çn sater deternantı (.5 fadesnde görüdüğü gb x boyutunda br deternattır. U U / ( U U / ( σ σ! U σ U / ( U σ U ( / ψ (.5 U Bu deternantın eeanarı σ C p p χ (.6 p bçndedr. Buna göre σ oeü orbta, yuarıda odaaız yardııya U C C C C σ χ, χ, χ..., χ şende oup C ern sayısa değerer yerne yazıara
U.9875 χ (.764, r He.445 χ (.877, r σ He bçnde ede edr..468 χ (.545, r He.644 χ (.64576, r He.5 χ (.48, r He.59 χ (.9447, r He.9 χ (.756, r He.4975 χ (.949, r 4 D. χ (.86, r D.69 χ (.569, r D.4494 χ (.7989, r D.64 χ (.48, r D uarıda HeD oeüünün Sater deternantında görüen χ ( ξ, r er Sater tp ato orbtaerdr ve χ n bçnde tanıanır. n (ξ n ξr ( ξ, r r e y ( θ, ϕ (.7 (n! Buradan görüdüğü gb herhang br ato veya oeüün A gb br gözenebrnn teor oara hesapanasında Den.(. e veren ntegrade (. fades e tanıanan Sater deternantarı uanıdığında söz onusu ntegra, (. fadesnde görüen C p atsayıarı e * χ ( n ξ,r  χ n ( ξ,r d τ τ (.8 bçnde sater-tp ato orbtaer üzernden ntegraern çarpıarının br topaı hane dönüşür. Bazı A gözenebrerne arşıı geen operatörer örneğn eetr aan gradyent, eetr ço utup oenter, agnet ço utup oenterne arşıı geen operatörer atı ürese haronere fade edebr. Bu duruda Den.(.8 de ntegran açısa ısı Ω θ ϕ θ ϕ θ ϕ (.9 * (, (, (, dω bçnde üç ürese haronğn çarpıının ntegra han aır. Bu ntegran sonucu se er böüerde görüeceğ gb br sabt çarpanı farıya Gaunt 4
atsayıarı oara adandırıır. Bu atsayıar ez Gaunt (99 tarafından önerdğ çn Gaunt atsayıarı oara anıatadır. Ayrıca açısa oentuarın çften çn de ürese haronğn çarpıı e arşıaşıır. Bu çarpı se bu tez çaışasına tee ouşturan Xu nun Gaunt atsayıarının hesapanasında uanıatadır ( Xu 996. Söz onusu çarpı, ayrı ayrı ürese haronern Gaunt atsayıarı e çarpıarının topaı bçnde fade edetedr. Tü bu söyederzden de anaşıacağı gb ato ve oeüer e g teor hesapaaarda Gaunt atsayıarı vazgeçez br önee sahptr. Doayısıya bu atsayıarın duyarı br şede hesapanası büyü öne taşıatadır. 5
. KOMPLEKS KÜRESEL HARMONİKLER.. Hdrojen Atounda Eetronun Bağı Hareet (Aygün ve Zengn 99 İ parçacıı uantu ssteernde üçü csn büyü cs etrafında bağı hareetnn Schrödnger denenn r oordnatarına bağı ısı, ħ ( r ψ U(r E BAĞ ψ ψ µ BAĞ BAĞ BAĞ bçnde yazıabetedr. Burada µ ndrgenş üte oup, ( r oordnatar üzerne şeyen br operatördür. Çoğu ez (. bağı E BAĞ E LAB (KM oduğundan, bağı hareet, üte ereznn hareet yanında daha ço öne azanır. Buna göre hdrojen atounda erezc aan proben çözüünün öne br ısını eetronun bağı hareet e g Schrödnger denenn çözüü ouşturatadır. Anca bağı hareetn Schrödnger denen d oordnat sstende çöze fazaca ve sııcı ateat çer getrdğnden bu çözü ürese oordnat sstende yapıır. Bunu yaparen d ve ürese oordnat ssteer arasında geçş deneernden yararanıara nn ürese oordnatarda operatör fades uanıır. Proton üzerne yereştren bağı oordnat sste hesaparında aındığına dat ededr. Eetronun bağı hareetn ayrı p br başı atında nceee daha uygun our. 6
.. Eetronun Bağı Hareet İçn azıan Schrödnger Denenn Kürese Koordnatarda Çözüü İ cs probenn as ean nceeesnde ssten aboratuar oordnat sstende net enerjs K LAB µ r ω MR ω KM (K.Me. (. oara ede edştr. Burada ter bağı enerjy, nc ter de üte ereznn LAB. Sstende enerjsn tes etetedr. İ sste uantu ean teor açısından ee aındığında E LAB ħ E (Ku.Me (. BAĞ M oduğu, yan üte ereznn ve bağı hareete at enerjnn berene aşaasına gendğ görüetedr. E ın forüünü türetebe çn, bağı hareete at BAĞ Schrödnger denen çöze geretğnden bu çözüde aynı zaanda söz onusu hareete at daga fonsyonu da buunur. Bağı hareetn d oordnat sstende Schrödnger daga dene ħ - ψ U ( r ψ Eψ µ x y z (.4 our. Burada ( r x y z oup, tü avraar bağı oordnat sstende oduğundan ndser adırııştır. Oaya bağı oordnat sstenden baıdığında duru şe. de gösterdğ gbdr. Den. (.4 ün ürese oordnatarda x r snθ cosϕ, y r snθ snϕ, z r cosθ Şe.: Hdrojen atounda bağı hareetn nceenes çn oordnat ssteernn gösterş 7
çözüü yapıacağından Den.(. nn so tarafında brnc ter çnde nn ürese oordnatarda fadesne htyaç vardır. Bunun çn Şe.. n atında veren (, y, z ( r,θ,ϕ x geçş deneernden yararanıara oordnatarda fades buunup Den.(.4 de uanıdığında nn ürese ħ µ r r r ψ r r ψ Snθ Snθ θ θ r ψ Uψ Eψ Sn θ ϕ (.5 ede edr. Burada U, hdrojen atou çn Couob potansye enerjsn tes etete oup Ze U ( r (.6 r şende sadece r ye bağııdır. Görüdüğü gb Couob potansye θ ve ϕ açıarından bağısızdır ve bu duru onun ürese setr oduğunu gösterr. Potansyen bu özeğ hdrojen atou çnde erezc br aan (ya da uvvet ouşturur. İşte bu nedene onu erezc aan probe oara adandırıır. Potansye enerj ürese setr oduğunda Schrödnger dene değşenerne ayıra yönte e çözüebr. Bu ayıra, öncee açıara bağı ısı ve radya ısı oara düşünüdüğünde eetronun bağı hareete at daga fonsyonu, radya ve açısa çarpandan ouşaca şede yazıabr. (, θ, ϕ R( r ( θ ϕ ψ r, (.7 Den.(.7, Den.(.5 de yerne onup, yenden düzenendğnde, eetronun bağı hareetnn ürese oordnatarında dferansye dene r r r R µ r ħ r ( E U R Snθ R Snθ θ θ r Sn θ ϕ R (.8 our. Bu dene de R e böünüp r e çarpıdığında 8
R d dr r dr dr µ r ħ Snθ θ θ Sn θ ϕ ( E U Snθ (.9 our. Dat edrse bu denen so tarafı sadece radya değşener, sağ tarafı da açısa değşener çeretedr. Bu denen, ( r,θ,ϕ bağısız değşenernn değş sınırarı çnde her değer çn doğruanabes, anca bu denen br sabte eşt oası e üündür ve sabte ayıra sabt denr. O sabt şd C e gösterş osun. Den. (.9 her tarafı, ayrı ayrı C sabtne eştenere çözüe deva edr. Açıara bağı ısın çözüü ( θ,ϕ e gösterr ve ürese haron adını aır. Radya ısın çözüü sonunda se Rn( r e gösteren radya daga fonsyonu ede edr. Anca Rn( r yı ede ete bu çaışanın aacı dışındadır... Açısa Kısın Çözüü Kürese haroner, hdrojen atounda eetronun protona göre bağı hareetnn dferansye denenn ürese oordnatarda çözü fonsyonu oan ψ (, θ, ϕ r nn açıara bağı oan ısını tes eder. Bunar, sabt yarıçapı br üre yüzey üzernde açıarın, θ π ve ϕ π araıarında haron değşern tes etesnden doayı ürese haron adını aır. Şd bu açıara bağı oan ( θ, ϕ fonsyonunu bereye. Den.(.9 un sağ tarafı ayıra sabt C ye eştenere dene yenden düzenendğnde Snθ Snθ θ θ Sn θ ϕ C (. our. Bu dene θ ve ϕ bağısız değşenerne ayrıabr. O hade ( θ, ϕ Θ( θ Φ( ϕ (. oaıdır. Den.(., Den.(. da yerne onup, her ter Sn θ e çarpıp ΘΦ e de böünüp; θ ya bağı terer soda, ϕ ye bağı terer sağda oaca şede düzenenrse 9
d dθ d Φ Snθ Snθ CSn θ (. Θ dθ dθ Φ dϕ our. Bu denen θ ve ϕ nn değş araıarının her değer çn doğru oabes, anca br sabte eşt oabes e üündür. O sabt de oara aaı. Şd denen her tarafı ayrı ayrı sabte eştenere ürese haron çarpanarı buunur. Den.(. nn sağ tarafının edş çözüü ϕ π araığında noraze ϕ Φ ( ϕ e (. π bçndedr. Burada, ±, ±,... şende tasayı değerer aa zorundadır. Çünü ( ϕ Φ ( ϕ π Φ oa zorundadır. Burada br uantu sayısı oup agnet uantu sayısı oara adandırıır. Ede eden ( ϕ ouşturduğuna, yan π ; Φ ϕ Φ ϕ ϕ δ ; Φ fonsyonarının ortonora br üe * ( ( d (.4 oduğuna dat ededr. tarafı Şd de θ ya bağı çarpanı bereye. Bunun çn Den.(. nn so ye eştenp denen her ter θ düzenendğnde Sn e böünüp yenden d dθ Snθ C Snθ dθ dθ Θ Sn θ (.5 our. Bu dferansye dene çözebe çn ξ Cosθ (.6 değşen değş yapıır. Den. (.6 dan türev aara Den (.5 n ternn parantez dışında ve gere ısataar yapıdığında Snθ ve parantez çnde d θ yerne eşdeğerer onduğunda
d dθ Sn θ C dξ dξ Θ Sn θ (.7 ede edr. Öte yandan ξ Sn θ (.8 oduğundan dferansye dene d dξ Θ d C dϕ ξ ξ our. Bu denede, C ( ve düzenendğnde Θ (.9 Θ P değş yapııp, dene yenden d dp ( ξ dξ dξ P (. our. Burada de br uantu sayısı oup yörünge açısa uantu sayısı oara adandırıır. P se Legendre ponou oup, nora Legendre ponou adını aır. Den.(. de gösteren türev şe yapııp, dene yenden düzenendğnde d d P dp ξ ξ ( P (. ξ dξ our. Buna Legendre dferansye dene ve çözüü oan ( ξ P fonsyonarına da Legendre ponoarı denr. Böyece bağı hareetn θ ya bağı ısının dferansye dene Legendre dferansye denene dönüştürüüş oatadır. Anca, C ( ve ( ξ ( ξ üzernde benzer şeer terarandığında se Θ P şende aara, Den.(.9
( P d d d d ξ ξ ξ ξ ξ (. ede edr. Bu denee de asosye Legendre dferansye dene ve çözüü oan ( ξ P fonsyonarına da asosye Legendre ponoarı denr. uarıda söz eden Legendre ponoarı Rodrgues forüünden başayara türetebr. Rodrgues forüü Legendre ponoarı ξ ve türeverne ( d P! d ξ ξ ξ (. şende bağar. Buna Rodrgues forüü denr. Görüdüğü gb yörüngese açısa oentu uantu sayısına,,, gb değerer verere arşıı geen nora Legendre ponoarı buradan berenebr. Asosye Legendre ponoarı da, nora Legendre ponoarından ( ( / d P P d ξ ξ ξ ξ (.4 bağıntısı yardııya türetr. İg Legendre fonsyonarı çn daha prat ço sayıda anat fade buunatadır. Bunardan s ve θ Cos x oa üzere ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] / / x x x P (.5a ( ( ( ( ( ( ( Sn Cos Cos P /. θ θ θ (.5b oup; bu çaışada ( x P çn
( ( ( ( ( ( ( ( s x x x P π / / 4 (.5c bçde oduça prat br anat fade türetştr. Burada çft sayı se ( s ve te sayı se ( s dr. Ayrıca yuarıda bağıntıarda ( n er bno atsayıarıdır ve (!(!! n n n bçnde tanıanır. İg Legendre fonsyonarının braç özeğ aşağıda verştr; ( ( ( ( se çft se te P 4 (.6a ( ( δ ± ± P (.6b ( ( ( x P x P (.6c
δ ( x P (.6d Den.(. ve Den.(., yenden düzenenere sağ tarafarı sıra e ( P ve ( P oaca şede yazıdığında ve so tarafarı da fonsyon (pono parantezne aındığında br özdeğer dene görünüü aırar. Legendre operatörer özdeğer deneernn her br g Legendre ponoarı üeer tarafından sağanır. Bu baıdan Legendre ponoarının her türü de g dferansye dene sağayan denee fonsyonu oara da düşünüebr.,,, çn Den.(. ve Den.(.4 yardıı e her tür Legendre ponoarının br çzeges, Çzege. de verştr. Çzege. : Noraze oaış Legendre Ponoarı P ( Cosθ ( Cosθ P P P P Cosθ P P Cosθ Snθ ( Cos P θ P P P ( Cos θ SnθCosθ Sn θ ( 5Cos θ Cosθ P ( 5Cos θ Cosθ P P Snθ P 5Sn θcosθ ( 5Cos θ P 5Sn θ 4
Dat edrse Rodrgues forüünden türeten Legendre ponoarı noraze değdr. Doayısı e Çzege. de veren fadeer noraze oayan Legendre ponoarına attr. İg teratürde Legendre ponoarının norazasyon sabtnn gene fades ve uantu sayıarına bağı oara, ( ( / / (! N (! (.7 e verr. Burada öşe parantezn önünde çarpana faz çarpanı denr ve bu çarpanı sadece ( şende br şaret berer. N e ( ξ P nn çarpıı noraze ouş Legendre ponoarıdır. Başa br deyşe, noraze ouş Θ ( ξ fonsyonarı ( ξ N P ( ξ Θ (.8 şende tanıanır. a da daha açı fades e ( ( ( / / (! Θ ξ P ξ (! ( (.9 our. O hade Den. (.9 un da,,, çn br çzegesn yapa, onuya açıı getre baıından yararı oacatır. Çzege. de noraze Legendre ponoarına arşıı geen ve Den (.9 e veren ( ξ Θ fonsyonarının,,,, çn fadeer verştr. Bu çzegede nn şaretnn, faz çarpanının şaretn nası berendğne dat ete yernde oacatır. Böyece, ürese haroner ouşturan fonsyon çarpanarı berenş oacatır. Den.(. ve Den.(.9, Den.(. de yerne yazıırsa / ( ( ( (! /, e ϕ θ ϕ P π (! (. our. Bu fonsyon daha önce de vurguandığı gb, hdrojen atounda eetronun, sabt yarıçapı üre yüzey üzernde haron hareetern tes eder. Kürese haron fonsyonar opes eşenerne 5
Çzege.: Hdrojen atounda eetrona eş eden daga fonsyonunun θ ya bağı ısını tes eden noraze Legendre ponoarı. Θ Den.(.9 Θ ± Θ Θ ± ± 6Cosθ Snθ ( Cos θ Θ 4 ± Θ ± ± 5Snθ Cosθ ± ± 5Sn θ 4 Θ ± ( 5Cos θ Cosθ Θ 4 4 ± Θ 4 ( 5 ± ± Sn θ Cos θ 8 ± ± Sn 5 θ Cosθ 4 Θ ± ± 7Sn θ 8 Θ ± * ( θ, ϕ ( ( θ, ϕ,, (. şende bağıdır. Şd de Den.(. e veren ürese haron fonsyonarın br çzeges ouşturuabr. Çzege. de,,, çn ürese haronern açı fadeer verştr. Çzege - de veren ürese haronern, Den.(. den de görüdüğü gb noraze edş fadeer oduğuna dat ededr. Bu daga fonsyonarı türetren, sağaaarı gereen sınır şartarından doayı 6
oa duruundadır. Herhang br değerne arşıı ( aatadır. Çzege.: Kürese haronern,,,, çn açı fadeer ( θ, ϕ Den.( 5 tane değer 4π 4π Cosθ ± ± ± 8π Snθ e ± ϕ 5 / ( Cos θ 6π ± 5 ± ± 8π / Snθ Cosθ e ± ϕ ± ± ± ± / 5 ± ± Sn θ e π 7 / ϕ ( 5Cos θ Cosθ 6π / ± ϕ ( 5Cos θ e ± Sn θ 64π ± / 5 ± ± Sn θ Cosθ e π / 5 ± ± ± Sn θ e 64π ϕ ϕ 7
.4. Kürese Haronern Sayısa Değerernn Hesapanası Bu tez çaışasında öneren Gaunt atsayıarının atrser yardııya hesapanası yöntende ürese haronern be br θ ve φ açısında sayısa değernn hesapanası gerer. Bu nedene bu esde ürese haronern sayısa değerernn duyarı br şede hesapanabes çn uanıan yönteer üzernde duruacatır. Bu yönteerden her hang br anat fadey uanara doğrudan hesapaa yapan yönteerde ürese haronern büyü ve değerernde ve θ ~ ve θ ~ 9 gb rt açıarda duyarı hesapaa yapaadıarı görüüştür. Bu nedene ürese haronern sayısa değerern hesapaa çn Den.(.5a, Den.(.5b ve Den.(.5c de veren g egendre fonsyonarının açı fadeern uanan anat fadeer doğrudan uanıaaz. Kürese haronern sayısa değerernn hesapanasında zenebece başa br yo se teraraa bağıntıarı şende bağıntıarı uanatır. Böye bağıntıar uanıara yapıan hesapaaarda se hassasyet aybı buunaz. Bu şede teraraa bağıntısı buunatadır. Bu bağıntıar aşağıda verştr..4.. Wenger ve Stenborn önte Bu yöntede stenen br ax yörüngese açısa uantu sayısına adar ürese haronern sayısa değerer hesapanabr (Wenger ve Stenborn, 98. Bu teraraa bağıntısı / ( ( ( θ, ϕ Cosθ., ( ( ( θ, ϕ / ( ( ( ( θ, ϕ ( ( (, (. Bu bağıntıya göre örneğn sayısına sahp tü ürese haronern be br ax 5 e adar agnet uantu θ ve ϕ açısında değern 8
hesapaa çn başangıç değer oara hesapanası gerer. Bu duruda oduğundan ( θ, nn ϕ (9(7 θ, ϕ Cosθ (7( / 4(, ( θ, ϕ our. Bu şede nc ürese haron değer de hesapandıtan sonra (. fades uanıara stenen ax değerne adar ürese haronern sayısa değerer hesapanabr. uarıda sözü eden başangıç değer se ve ( ( 4π (!! /!! ϕ ( θ, ϕ ( Sn θ e (. / ( (!! (, Sn e ϕ θ ϕ θ 4 π (!! (.4 bçndedr. Burada!!(-(-4 şendedr..4.. ardıcı onsyonarın Teraraa Bağıntıarı İe Hesapaa Bu yöntede uanıan teraraa bağıntısı ürese haronern stenen br ax değerne adar üün oan tü ve uantu sayı çfter çn sayısa değerern hesapar. Bu yöntede Den.(. da veren ürese haron fades / ( (! / A (, ( x e ϕ θ ϕ! 4 π (! (.5 d ( ( x B θ (.6 dx yardıcı fonsyonarı uanıara ( θ, ϕ A ( θ, ϕ B ( θ (.7 şende yazııştır. Bu duruda ( θ θ, ϕ A ( θ, ϕ B ( (.8 9
ve ( θ θ, ϕ A ( θ, ϕ B ( (.9 our. Burada A ve B yardıcı fonsyonarının teraraa bağıntıarı se / ( A A ( (.4 poztf değerer çn A ( ( / / ϕ ( x e A (.4 ve ν ( B, ν CosθB, υ Sn θb ν B (.4 bçndedr. Bu fadeerde başangıç değerer A / 4π ve B dr. Ayrıca çn B dır. (.4 fadesnde, ve ν, ye arşıı geetedr ve eyf br ax değerne adar hesapanaca ürese haroner çn ν,,,..., ax,,,..., ν değerern aır. Aynı zaanda ve B B (.4 A ϕ ( e A (.44
Çzege.4: Bazı ürese haronern farı yöntee hesapanan sayısa değerer (θ45 o, ϕ o, 9. (. fades (.7 fades -.6686578977D- -.6686578977D- -.565998746D- -.565998746D- 4 -.88698779448D- -.88698779448D- 6 -.5678854485D- -.5678854485D- 8 -.56599465D -.56599465D 4 -.94884D -.94884D 4 -.599569487557D -.599569487557D 44 -.599954688D -.599954688D 46 -.4595854564D -.4595854564D 48.5458774D.5458774D 5.475798745D.475798745D 5.986789769D.986789769D 54 -.7547596D -.7547596D 56 -.4566777D -.4566777D 58 -.556584D -.556584D 6.484859447D.484859447D şende setr özeer uanıırsa ϕ ( e ( θ, ϕ (.45 fadesn uana hesapaaarda öne öçüde zaan tasarrufu sağar. Çzege.4 de Wenger ve Stenborn un (98 Den.(. şende fadeer e Aın ve ar. ( nın önerdğ Den.(.7 uanara hesapanan θ 45, ϕ ve 9 oan dan 6 a adar ürese haronern sayısa değerer verştr.
. GAUNT KATSAILARI Ato ve oeüer hesapaaarda Gaunt atsayıarının duyarı br şede hesapanasının öne. böüde bertştr. Gerçete Gaunt atsayıarı yanızca ato ve oeüer hesapaaarda değ atıha fzğ ve nüeer fzte tü eteş probeernde de geredr. Özee yoğun addede, eetron ve rstaograf yapıarın çözüenesnde esas oan tü eetron spetruarın tanıanası ve anaşıası çn anahtar roü gören çou saçıa teorer,çften teorerne ( ürese haronğn çarpıı şddete bağıdır. Sözü eden çoğu spetrosoperde Gaunt atsayıarı esas oara çfteştrc operatörün (propagator atrs eeanarı fadesnde ortaya çıar.bu tp oara fotoeetron ırınıı (phd, genşetş x-ışın soğura nce yapısı (EXAS veya düşü enerj eetron ırınıında (LEED durudur. Burada, yuarıda bahseden atrs eeanarının hesapanası çn teraraa bağıntıarının uanıı (Sebeau 995, Manar ve Brouder 995, ujawa ve ar 997, veya her eeanın brbrnden bağısız oara doğrudan hesapanası (Rehr ve Abers 99 taaen Gaunt atsayıarının hesapaasına bağıdır... Gaunt Katsayıarını İfade Ete İçn Kuanıan Gösterer Gaunt atsayıarının fade edesnde teratürde uanıan ço sayıda göster buunatadır. Örneğn Schuten ve Gordon (975 tarafından türeten j-seboünün üç ter teraraa bağıntısını uanara bu seboün çarpıından Gaunt atsayıarını hesapayan Wenger ve Stenborn (98 şende br göster uanışardır. Burada ( Ω ( Ω ( Ω dω (. bçnde tanıanıştır.
( Gusenov ve ar. (995, Den.(. de Gaunt atsayıarının 4π e çarpıını C, bçnde gösterştr. an C ( / 4π *, Ω Ω Ω Ω ( ( ( d (. θ, ϕ ( bçndedr. Burada dr. Ktapara gren başa br göster se (Cowan 98 yne Weger ve Stnborn un gösterne benzer ve C ( q 4π q ( Ω ( Ω ( Ω dω (. şende yazıır. Berghe (975 yne Den.(. ve Den.(. e benzer şede d ( Ω ( Ω ( Ω Ω j j j j j (.4 j göstern uanıştır... Gaunt Katsayıarını Hesapaa önteer Gaunt atsayıarını hesapaa yönteer, doğrudan hesapaa yönteer ve teraraa bağıntıarını uanan yönteer oara sınıfa ayrıabr. Doğrudan hesapaa yönteernde veren br ( L,,,, uantu sayı taıı çn g anat fade uanıara yanızca br tane Gaunt atsayısı hesapanır. Teraraa bağıntısı uanan yönteerde se be br başangıç değernden başanara ço sayıda Gaunt atsayısı hesapanabr.
...Doğrudan Hesapaa Gaunt atsayıarını doğrudan hesapayan anat fadeer ders tapara dah grştr (Cowan 98. Gaunt atsayısı çn doğrudan hesapaa yapan br anat fade, şende gösteren adet j-seboünün < LM > M ( L (L ( ( 4π L M / (.5 bçnde çarpıından ouşur. oa üzere j-seboernn açı fades, a ( j, ( j!( j! (.6 j j j j j δ (, ο / (j j j (j j j! ( j j j!a(j, a(j, a(j,! (.7 (j j j! (! (j j j! (j! (j! (j j! (j j! bçndedr. Burada ax(, j j, j j n ( j j j, j, j (.7 fadesnde j ve er anca ta veya buçuu değerer aabr. jseboer ree sayıardır. Bu nedene (j j j ( ve (j -j - ta sayı oaıdır. Ayrıca j-seboernn sıfırdan farı oabes çn J (,, (.8 j j j, j j j, j j j (.9 oşuarı sağanaıdır. Çzege. de bazı j-seboernn sayısa değerer verştr. dr. 4
Çzege. : Bazı j-seboer J J J j. -,9457 -,977 4 -,66459 6 5 -,7788 -,57757 / / / -/,5 / / ½ -/,668 / / -/ -/,6777 5/ / ½ -/,99944 - - -,8667 -,6764 5/ / -5/ /,4975 - - -,88984 - -,69656 Gaunt atsayıarının doğrudan hesapanası çn başa br yönte Gusenov ve aradaşarı (995 tarafından önerştr. Söz onusu çaışada Cebsch-Gordon atsayıarı ve Gaunt atsayıarı çn ayrı anat fade verştr. Bu fadeern orta özeer fatörye yerne bno atsayıarından ouşturuuş oaarıdır. Bu fadeer ( LM δ M, / ( L ( ( L L M L ( ( L ( L L ( L ( ( n ( n ( L n ( L M n ( L M (. n oa üzere Cebsh-Gordon atsayıarı C ( ( M M ( LM L M bçndedr. Den (. da (. 5
6 L, L M, ( (,, n (,, ax( L n M L M L şende tanıanıştır. Gaunt atsayıarı se, ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( t L t t t M L t M M L M L M L L g M g L M M L t t M L M L M L L M M L M g g g g C /, ( (. bçndedr. Burada ( g L, M, L, L M ve ax [ ] [ ],, n, L M L t L dr. Ayrıca Gaunt atsayıarı (. de veren Cebsch-Gordon atsayıarı cnsnden ( ( L L M L C C L C, ( (. çarpıı şende fade edştr.
... Teraraa Bağıntıarı e Hesapaa Wenger ve Stenborn (98 Gaunt atsayıarının / ( ( ( < > ( 4π (.4 şende j-seboernn çarpıı cnsnden fadesn uanışardır. Bu fadede j-seboernn Schuten ve Gordon (975 tarafından ede eden teraraa bağıntıarı çn Wenger ve Stenborn br agorta ouşturara bgsayar hesapaaarı yapışardır. j-seboer çn Schuten ve Gordon un (975 teraraa bağıntıarı aşağıda gbdr: j A ( j j j j j j B( j j j j A( j ( j j (.5 Burada [ j ( j j ] [( j j j ] [ j ] A ( j (.6 / ve {[ j ( j j ( j ] j ( j ( } B( j ( j (.7 bçnde tanııdır. Parte atsayıarı oara da adandırıan Cebsch-Gordon atsayıarı çn teraraa bağıntıarı bçnde 7
8 ( ( [ ] ( ( [ ] ( [ ] ( [ ] / (.8 e verştr. Buna göre Wenger ve Stenborn (98 Gaunt atsayıarını hesapaa çn, (.4 bağıntısında şende j-seboern hesapaa çn (.8 e veren teraraa bağıntısını ve şende j-seboern hesapaa çn de (.5 teraraa bağıntısını uanara bgsayar hesapaaarını yapışardır. Teraraa bağıntıarı e hesapaaya başa br örne Xu nun (996 yöntedr. Asında bu yönte ta br teraraa bağıntısı sayıaz. Anca bu yöntede de Gaunt atsayıarını ayrı ayrı hesapaa üün değdr. önte bu tez çaışasında ayrıntıı oara nceeneceğ çn burada yönten ana hatarı verecetr. önte, ( ( ( x a x x q q q q P P P ax (.9 şende Legendre fonsyonunun çarpıının ayrı ayrı Legendre ponoarı cnsnden açııına dayanır. Burada q a, Gaunt atsayıarıya g açıı atsayıarıdır ve ( ( ( ( ( ( χ d x x g P P P!!,, (. oa üzere ( q a g,, q (.
dr. (.9 fadesnde tanıanıştır. q ax n,, şende Bu tanıara göre Gaunt atsayıarı ( ( ( ( ( g (,,, ( ( ( ( ( (!!! G 4π!!! (. fadesnden ede edr. Burada q dur. Bu fadede Gaunt ntegraye g oan g sabter, (.9 fadesnde bneyen a q sayısı adar x değer çn (.9 terar terar yazıara br dene sste ede edr. Bu dene sste q A q a~ Bq q q ax (. şende yazıabr. Burada a ~, noraze Gaunt atsayısı oara adandırıır ve a (! (! (! (!!(! (! (!! (.4 oa üzere ~ a a (.5 a bçndedr ve ax q b q n B (.6 e verr. Burada n ax, q ve ax nq, dr. (. fades atrs forunda AãB (.7 bçnde yenden yazıabr. Burada ( Aj, a a A ~ ~ ve B B j dr. Böyece (.7 de atrs dene çözüere noraze Gaunt atsayıarı ede edr. 9
n tanıaasını yapara j j b ve A aşağıda veren teraraa bağıntıarı e hesapanır: ( ( (, n n A A (.8 ( (, j j j A A j j (.9 ( ( ( (, j j j j b b j j j (. ( ( (, b b j (. Bu agortada, yanızca üzernden br teraraa yapıdığına dat ededr.
4. GAUNT KATSAILARINI İÇEREN MATRİS DENKLEMİNİN OLUŞTURULMASI Bu tez çaışasına tee ouşturan Xu nun (996 çaışasında (.9 fadesnde veren aynı erez Legendre fonsyonunu çarpıının ayrıışından yararanıara Gaunt atsayıarı hesapaıştır. Xu nun ede ettğ bu atsayıar asında br çarpan farı e Gaunt atsayıarıdır. Bu çaışada Gaunt atsayıarını ede ete çn (.9 fades değ anca buna benzeyen ürese haronğn çarpıının ayrıa fades uanıacatır. Bu fade açısa oentu duruunun öze br çftenn anatan br fadedr ve Wenger e Stenborn un (98 çaışaarında ( Ω ( Ω ( Ω, (4. bçnde verştr. Burada neer topaın atsayıarı (. fadesnde ntegrae tanıanan Gaunt atsayıarıdır. Be br (, ; uantu sayı, taıı çn ve çn bazı seç uraarı vardır. Bu seç uraarı (4. çft sayı (4. ax (4.4 bçndedr ve ax ax(, ax( n, çft se (4.5, n ax (,, ax( ax oa üzere bu duruda (4. fades,, te se (4.6 ( ( Ω ( Ω ( Ω ax n (4.7 şen aır. Burada topaın üzernde ( nds topaın şer araıara yapacağını gösteretedr. (. fadesnde ( θ,ϕ er, (4.7 fadesnde yerne
yazıırsa ϕ e çarpıarı farı ϕ açıarı çn yen br dene verez. Bu nedene (4.7 fadesnde ϕ aınara dene yanızca ξ Cosθ ya bağı br dene han aır. an ϕ çn ax ( ( ξ ( ξ ( ξ (4.8 n ede edr.bu eştte dat edrse ax n ( (4.9 tane Gaunt atsayısı vardır. Bu duruda Gaunt atsayıarı bneyen abu edr ve tane ξ değer çn (4.8 fades terar terar yazıırsa ax ( ( ξ ( ξ ( ξ n ax ( ( ξ ( ξ ( ξ (4. n ax ( ( ξ ( ξ ( ξ n bçnde tane neer dene ede edr.uarıda topaarı j den ya adar yazarsa ve bu duruda ( ξ er ( j adığıız Gaunt atsayıarını ( j a, e, bneyen oara ee b e, ( ( ξ ξ çarpıını da c( e gösterrse,,...,, j,,..., oa üzere (4. dene sstenn br satırını a(, j b( j c ( (4. j bçnde yazabrz. an a (, j n ( ξ j, (4.
b ( j n j (4. ve ( ( ξ ( ξ c (4.4 bçnde tanıanıştır. an a(,j er boyutu br are atrsnn (A eeanarı, b( er eeanı br sütun atrsnn (B eeanarı ve c( er yne eeanı br sütun atrsnn (C eeanarını gösteretedr. Doayısıya (4. neer dene sste ABC (4.5 şende br atrs eştğ han aır. Buradan görüdüğü gb A atsayıar atrsdr. Böyece bneyen (4. de Gaunt atsayıarı, A atrs üzernde eeanter satır şeer yapıara oayca hesapanır. A atrsnn şenş han D e gösterrse ve bu D atrsnn eeanarını d(,j e gösterrse (4.5 eştğ açı oara j d (, j. b( j c( (4.6 han aır ve böyece bneyen Gaunt atsayıarı Den.(4.6 dan ayrı ayrı buunur. Teory daha y anayabe çn bast br uantu sayı taıını göz önüne aara yuarıda şeer sayısa oara yapaı. Örneğn 5,, 4, osun. Bu duruda ax Den.(4.4 tanıına göre 5 4 9, Den.(4. tanıına göre n ve Den. (4.6 tanıına göre dür. Buna göre Den. (4.9 da tanıdan 9 4 buunur. Böyece (4. tanıına göre,,,4 ve j,,,4 oa üzere a ( j ( ξ, j, Den.(4. tanıına göre b ( j 54 j,
ve Den.(4.4 tanıına göre b ( ( ξ * ( j 5 ξ yazıabr. Buradan g atrsern atsayıarı a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (,4 ( ξ 5 a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (,4 ( ξ 5 a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (,4 ( ξ 5 a ( 4, ( ξ, a ( 4, ( ξ, a ( 4, ( ξ, a ( 4,4 ( ξ 4 şende, b sayıarı (Gaunt atsayıarı 5 4 b ( 5 4, b ( 5 45, b ( 547, b ( 4 549 şende ve c sayıarı da c( ( ξ ( ξ, c( ( ξ ( ξ c ( ( ξ ( ξ, c( 4 ( ξ ( ξ 5 4 5 şende ede edr. 5 4 4 4 7 7 7 7 4 4 9 9 9 9 5 4, 4 4
5. BİLGİSAAR HESAPLAMALARI Dördüncü böüde bertdğ gb Gaunt atsayıarını atrser yardııya hesapaa çn Den. (4. 7 e veren ürese haronğn çarpıının ayrıışının uanıası duruunda bu çarpıın ayrıışında arşıaşıan Gaunt atsayıarı br set handedr. Bu Gaunt atsayıarı set göz önüne aınan açısa oentu uantu duruu, örneğn, ;, uantu duruarı çn at sınırı Den. (4.5 veya Den.(4.6 da veren tanıdan, üst sınırı se Den.(4.4 de veren tanıdan buunan ve Den.(4.9 fades e veren tane Gaunt sayısından ouşur. 5.. Örne Br Hesapaa Örne br hesapaayı bütün ayrıntıarıya göre çn oara eyf ürese haronğn çarpıında uantu sayıarını, 4 ve 4, aaı. Bu duruda (4. fades uanıara 6 4 ; (4.4 fades uanıara 4 6 ; ax ( 4 6, ax çft n oduğundan (4.5 fadesnden ede edr. Bu verer uanıara (4.8 fades yazıırsa * 4 ( ξ 64 ( ξ 64 4 ( ξ (5. ede edr. Bu fade açı oara yazıırsa (4.9 dan 5 buunacağı çn 5 tane Gaunt atsayısı e arşıaşıır. an * 4 ( ξ ( ξ 64 6446 6 644 ( ξ 6444 ( ξ ( ξ 6448 ( ξ 644 ( ξ 8 4 (5. buunur. Burada ξ Cosθ oduğu unutuaaıdır. Cos θ, anca Cos θ arasında değer aabdğ çn ξ şartını sağayan 5 adet ξ değer çn; 5
ξ,8, ξ,85748574, ξ,5, ξ,57485749 4, ξ 5,666666666666 terar terar yazıırsa bneyen 5 adet Gaunt atsayısı oan 5 tane neer dene ede edr. Bu 5 dene br neer dene sste ouşturur ve atrs forunda ABC (5. oa üzere atsayıar atrs A nın eeanarı (4. fadesnde a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (,4 ( ξ, a (,5 ( ξ 4 a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (, ( ξ, a (,4 ( ξ, a (,5 ( ξ 4 a ( 5, ( ξ, a ( 5, ( ξ, a ( 5, ( ξ, a ( 5,4 ( ξ, a ( 5,5 ( ξ 5 4 5 ede edr. Sütun atrs C nn eeanarı se c ( * ( ( 6 6 6 5 8 8 8 5 ξ ξ, 4 64 ( * ( ξ ( ξ, c ( * ( ξ ( ξ, c ( 4 * ( ( c 4 64 * ( ( ( c 5 4 5 64 5 4 64 ξ ξ, 4 4 64 4 ξ ξ bçndedr. Bneyen Gaunt atsayıarı se Den.(4. den b ( 64 4, b ( 64 4 4, b ( 64 4 6, ( 4 64 48 b ( 5 64 4 bçnde odanıştır. ( j b, a, ve c( er Wenger ve Stenborn un (98 Den.(. e verdğz fadesnden hesapanara (5. fades, sayısa oara Çzege 5. de gb ede edr. 5 Çzege 5.: arı değerer çn (5. eştğnden ede eden neer dene ssteernn atrs foru.88.54746.89756.648.75544.94665.49747.868955 -.666 -.74648.455.8869 -.548.95.8966 -.9894654 -.767 -.6996.6686876 -.5977464 -.5678976 b(.87787 -.4468 b(.447.8878857 b(.66865.55895 b(4.4889 -.5654 b(5.6567 Bu atrs denende atsayıar atrs Gauss-Jordan yönteye öşegeneştrere çözüe gdrse g Gaunt atsayıarı set 6
64 4 64 4 4 64 46 64 48 64 4,47585,5967874 6,9549664 E,54487 4,77799549 E oara ede edr. Ede eden bu atsayıarın doğruuğu yne (5. eştğ uanıara test edebr. Bu aaça (5. eştğnde ξ aınara eştğn so ve sağ tarafı hesapandığında Eştğn sağ tarafı,678874 Eştğn so tarafı,678874 ede edştr. Buradan yuarıda Gaunt atsayıarının oduça duyarı br şede hesapandığı görüetedr. 5.. Lteratür e Karşıaştıra ve Keyf Hesapaaar Lteratürde Gaunt atsayıarı çn büyü uantu sayıarında dah oduça duyarı hesapaaar Wenger ve Stenborn un (98 çaışaarında buunatadır. Söz onusu çaışada ürese haronğn çarpıının ayrıışında arşıaşıan taı Gaunt atsayısı hesapanıştır. Bu taıardan br ( ( θ * 5 7 θ 5 çarpıının ayrıışında arşıaşıan Gaunt atsayıarından; dğer * se ( ( θ çarpıının ayrıışında arşıaşıan Gaunt atsayıarından 5 θ 5 ouşatadır. Bu çaışada ayrıca θ 45 ve ϕ çn (4.7 fadesnn sounda çarpıın sayısa değer de verştr. Böyece (4.7 fades uanıara, Gaunt atsayıarının doğruuğu test edştr. Bu tez çaışasında da hesapanaca Gaunt atsayıarı çn ouşturuaca çzegede Wenger ve Stenborn un gösterer terch edecetr. Çzege 5. ve Çzege 5. de Wenger ve Stenborn un hesapaaarı (98 e bu çaışada 7
ayrıntıarı anatıan Xu nun (996 atrser uanan yönte e yapıan hesapaaar arşıaştırııştır. Çzege 5.4 de se seçen öze br uantu sayı taıı çn aynı arşıaştıra yapııştır. 8
Çzege 5.: 5, -7, 5, oan ürese haronern çarpıının ayrıışında arşıaşıan gaunt atsayıarının farı yöntee hesapanan değerer ve bu Gaunt atsayıarıya çarpıaca ürese haronern sayısa değerer. Gaunt Katsayısı L Wenger ve Stenborn (98 (4.5 Eştğ (45,.4459689E-.4459689E- -.668657-6.5898877E- -6.5898877E- -.56599 4 8.7448969486E- 8.7448969486E- -.886987794 6.885945E-.885945E- -.56788544 8-6.48468468E- -6.48468468E- -.56599465 4-5.9768844E- -5.9768844E- -.9488 4.957459E-4.957459E-4 -.5995694876 44 5.6665779E- 5.6665779E- -.59995468 46 6.5899898754E- 6.5899898754E- -.4595855 48.57959479E-.57959479E-.5458 5 -.778795E- -.778795E-.4757987 5-7.9769987E- -7.9769987E-.9867898 54-6.5494755E- -6.5494755E- -.754759 56.59748895E-.59748895E- -.4566777 58.46694E-.46694E- -.55658 6-8.599588E- -8.599588E-.48485944 (4.8 eştğnn so taraf -.458689 (4.8 eştğnn Wenger ve Stenborn un Gaunt atsayıarıya hesapanan sağ tarafı -.458689 (4.8 eştğnn (4.5 den ede eden Gaunt atsayıarıya hesapanan sağ taraf ı -.458689 L 9 9
Çzege 5.: 5,, 5, oan ürese haronern çarpıının ayrıışında arşıaşıan gaunt atsayıarının farı yöntee hesapanan değerer ve bu Gaunt atsayıarıya çarpıaca ürese haronern sayısa değerer. Gaunt Katsayısı L Wenger ve Stenborn (98 (4.5 Eştğ (45,.8947964E-.8947964E-.89479774.5896489E-.5896489E-.576957866 4.66777E-.66777E- -.487474 6.56997E-.56997E- -.597685586 8 9.4495598E- 9.4495598E-.474847 8.996989E- 8.996989E-.488869 7.8499956866E- 7.8499956866E- -.479995 4 7.5966888E- 7.5966888E- -.47766944767 6 7.797944687E- 7.797944687E-.48468966 8 7.586998E- 7.586998E-.47585547 7.47978E- 7.47978E- -.4879 7.774776666E- 7.774776666E- -.4676676 4 8.657459E- 8.657459E-.489788 6 9.477656567E- 9.477656567E-.464796 8.9796688E-.9796688E- -.4958478.786956E-.786956E- -.4674 (4.8 eştğnn so tarafı.5657656e- (4.8 eştğnn Wenger ve Stenborn un Gaunt atsayıarıya hesapanan sağ tarafı.5657656e- (4.8 eştğnn (4.5 den ede eden Gaunt atsayıarıya hesapanan sağ tarafı.5657656e- L 4
Çzege 5. 4: 7, -5, 7, 5 oan ürese haronern çarpıının ayrıışında arşıaşıan Gaunt atsayıarının farı yöntee hesapanan değerer ve bu Gaunt atsayıarıya çarpıaca ürese haronern sayısa değerer. Gaunt Katsayısı L Wenger ve Stenborn (4.5 Eştğ (45, 7 -.959557884E- -9.5587556E-.5979E- 7 -.68695548E- -6.7844988765E-.74458797E-9 74 -.5958797884E- -5.948746859E-.58759E-8 76 -.547686599E- -5.4854746E-.58745785E-7 78 -.559698E- -5.7446E-.9499968484E-6 8 -.4956547E- -4.948759987E-.598994759E-5 8 -.4768786687E- -4.78579544E-.6666E-4 84 -.46957886E- -4.665696E- 5.4577494947E-4 86 -.45994677E- -4.588557E-.686655E- 88 -.446685788E- -4.4864E- 7.97464474E- 9 -.4999888E- -4.759956E-.88879479E- 9 -.454879E- -4.76588E- 5.64576664E- 94 -.446494E- -4.945667E-.559888E- 96 -.496449E- -4.7664546E-.444667895 E- 98 -.49799997E- -4.6495455E-.496674 E- -.497667E- -4.6658956E-.5879758 E- -.47479E- -4.79559E-.69975 E- 4 -.4687989E- -4.9458555E-.654877 E- 6 -.45464665E- -4.58666E-.58978 E- 8 -.4947458E- -4.67657764E- -.59846576 E- -.4449777858E- -4.44787779E- -.479566499 E- -.4574577E- -4.4889674E- -.595684 E- 4 -.4696798E- -4.574449589E- -.84574878 E- 6 -.4779954E- -4.67464E-.9478 E- 8 -.488557E- -4.7985465E-.556454 E- -.496867957E- -4.977477E-.58857 E- -.54649967E- -5.4455685E- -.4578898 E- 4 -.56497445E- -5.8876474E- -.4857896646 E- 6 -.564956575E- -5.5998549778E- -.797979 E- 8 -.5978465E- -5.949447E-.49895 E- -.647884E- -6.8745E-.4599488 E- -.74577E- -6.9967774478E-.674665 E- 4 -.79496764E- -7.8847865649E- -.9689565 E- 6 -.9967587E- -9.5587E- -.589555878 E- 8 -.5549474E- -.7846888E-.764995 E- 4 -.48896856E- -.465548E-.449454579 E- (4.8 eştğnn so tarafı -.87764447, (4.8 eştğnn Wenger ve Stenborn un Gaunt atsayıarıya hesapanan sağ tarafı -.88886987, (4.8 eştğnn (4.5 den ede eden Gaunt atsayıarıya hesapanan sağ tarafı -.87764449 L 7 4
6. SONUÇLAR VE TARTIŞMA Bu çaışada. Böüde ayrıntıı oara anatıdığı gb ato ve oeüer hesapaaarda sıça arşıaşıan ve tee oara aynı çerdeğ erez abu eden üç opes ürese haronğn çarpıının atı açı üzernden ( θ π, ϕ π ntegra oan Gaunt atsayıarı çn Xu (996 tarafından öneren atrs yönte uanııştır. Söz onusu yöntede açısa oentuarın çftennde arşıaşıan, aynı erez ürese haronğn çarpıının yne aynı erez ayrı ayrı ürese haronern neer topaı cnsnden fadesnden (Den. 4.7 yararanıatadır. Kürese haronern g Legendre fonsyonarı e ϕ ürese oordnatına bağı br fonsyonun çarpıı oduğu y bnetedr. Bu ϕ ye bağı fonsyon (4.7 fadesne baıdığında eştğn her tarafında da aynı şede oduğundan ϕ nn farı değerer (4.7 de yerne yazıdığında yen br dene üreteetedr. Bu nedene (4.7 fadesnde ϕ aınara (4.8 fades ede edştr. Bu fade artı yanızca θ açısına bağı br fadedr ve hesapanaca Gaunt atsayısı adar farı Cosθ değer çn (4.8 terar terar yazıara atrs şe (4.5 oan neer br dene sste ede edştr. Bu dene ssten ouştura çn ürese haronern sayısa değerernn hesapanası gereetedr. Bu hesapaada se duyarıı baıından bazı zoruar vardır. Böye hesapaaar çn yne çoğu hesapaada oduğu gb doğrudan ya da teraraa bağıntıarını uanan yönteer vardır. Bu çaışada da g Legendre fonsyonarı doayısıya ürese haroner çn doğrudan hesapaa yapaben br anat fade verştr (Den..5c. Anca teratüre (Gusenov ve ar. 997 ayrıca şse deneyerze göre doğrudan hesapaa yönteer söz onusu sayısa değerer özee büyü uantu sayıarında ve, 45, 9 dereceye ço yaın oan rt açıarda duyarıı ayıparına neden oatadır. Bu nedene (4.8 fadesnden yararanıara ede eden atsayıar atrs e eştğn so tarafında ürese haronern çarpıının sayısa değerern hesapaa çn ayrıntıarı Kes.4. ve Kes.4. de anatıan teraraa bağıntıarını uanan yönteer bensenştr. Böyece ede eden atrs şende denen çözüü çn se Gauss-Jordan yönte uanııştır. 4
Gaunt atsayıarının hesapanabes çn gere tü hesapaaar, g anat fadeern ortran 77 prograaa d e rea*8 artetğnde bgsayar prograarı yapıara gerçeeştrştr. önten y anaşıabes çn Kes 5. de Gaunt atsayıarı çn eyf br hesapaa 4,, 6, 4 uantu sayı taıı çn ayrıntıı oara yapıış ve yapıan test sonucunda Xu nun yöntenn duyarı hesapaa yaptığı görüüştür. Anca burada uantu sayıarı oduça üçü uantu sayıarıdır. Büyü uantu sayıarına sahp Gaunt atsayıarının Xu nun yönteye duyarı oara hesapanıp hesapanaayacağını nceee çn teratürde hesapanış bazı değerer (Wenger ve Stenborn 98 Xu nun yönteye yenden hesapanış ve bu değerer Çzege 5. ve Çzege 5. de teratüre arşıaştıraı oara verştr. Bu çzegeerden görüdüğü gb Xu nun atrs yönte e ede eden Gaunt atsayıarı teratüre ço y br uyu çndedr. Aynı zaanda Xu nun atrs yönteye hesapanan Gaunt atsayıarının doğruuğunu test ete çn teratüre yetneş ve teratürde de uanıan yönte tü hesapaaara uyguanıştır. Bu test yöntende atsayıar atrsn ouşturada uanıayan br Cosθ değer uanıara (4.8 fadesnde görüen tü ürese haronern sayısa değerer hesapanış ve bu değerer farı yönteere ede eden Gaunt atsayıarı e (4.8 eştğnde yerne yazıara eştğn sağanıp sağanadığı ontro edştr. Bu aaça g Gaunt atsayısı e çarpıaca ürese haronğn sayısa değer çzegeern son sütununda çarpıacağı Gaunt atsayısı satırında verştr. (4.8 eştğnn so tarafı ve farı yönteere hesapanan sağ tarafı çzegeern atında verştr. uarıda da sözü eddğ gb Çzege 5. ve Çzege 5. den ve bu çzegeern atında testerden görüdüğü gb Xu nun atrs yönte teratüre uyu çndedr. Çzege 5.4 de eyf br ço büyü uantu sayı taıından ede eden Gaunt atsayıarı verştr. Burada Wenger ve Stenborn un yöntenden ede eden Gaunt atsayıarı Seçu Ünverstes, en-edebyat aütes, z Böüü öğret üyes Doç.Dr. Ayhan Özen n tcar oara ede ettğ fortran prograı uanıara buunuştur. Bu çzegenn atında test sonuçarından görüdüğü gb (4.8 eştğnn so tarafı.87764447 en Wenger ve Stenborn un Gaunt 4
atsayıarı uanıara ede eden sağ tarafı.88886987, Xu nun atrs yönteye ede eden Gaunt atsayıarı uanıara ede eden sağ tarafı se -.87764449 dur. Buradan görüdüğü gb Xu nun atrs yönte ço büyü uantu sayıarında Wenger ve Stenborn un yöntenden ço daha y sonuçar veretedr. Sonuç oara üçü uantu sayı taıarında daha prat oası nedenye Wenger ve Stenborn un yöntenn ço büyü uantu sayıarında se duyarıı baıından Xu nun atrs yöntenn everş oduğu buunuştur. 44
KANAKLAR Aın, E., üse, H., Güeç, A., S.Ü. en-edebyat aütes (, -8. Dergs, Berghe, G.V., J.Phys.A.Math.Gen., 8/7 (975, -5. Condon, E.U., Shortey, G., Theory of Atoc Spectra, Cabrdge Unv. Press, Cabrdge, UK, 95. Cowan, R.D., The Theory of Atoc Structure and Spectra, Unv. Of Caforna pres, Bereey, 98. ujawa, T., anaguawa, R., wata, N., Ohtan, K., J. Phys.Sos. Japan, 66 (997, 57. Gaunt, J.A., Ph. Trans-R. Soc. A., 8 (99, 5-96. Gusenov, I.I., Özen, A., Atav, Ü., üse, H., J.Coput.Phys. (995, 4-47. Gusenav, I.I., Özen, A., Atav, Ü., üse, H., Ayeva, T.H., Tursh, J. Phys., (997, 87. Manar,., Brauder, C., Physca, 8/9B (995, 79. Rehr, J.J. Abers, R.C., Phys.Rev.B, 4 (99, 89. Schuten, K., Gordon, R.G., Coput. Phys. Coun. (976, 69. Sébeau, D., J. Phys. Condens. Matter 7 (995, 6. Sater, J. C. Quantu Theory of Atoc Structure, Vo, McGraw-H Boo Copany, Inc., N, 96. XU,.L., Math-Coput., 65 (996, 6. Wenger, E.J., Stenborn, E.O, Coput. Phys. Coun. 5 (98 49 45