ÇATALLAŞMA VE KAOTİK ANALİZLERİ

T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GERİLİM KARARLILIĞI İYİLEŞTİRİCİLERİNİN ÇATALLAŞMA VE KAOTİK ANALİZLERİ DOKTORA TEZİ Elk. Yük.Müh. Kadr ABACI Ensttü Anablm Dalı : ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ Ensttü Blm Dalı : ELEKTRİK Tez Danışmanı : Prof. Dr. Mehmet Al YALÇIN Mayıs 7

ÖNSÖZ Bu tezn hazırlanmasında çalışmalarımı yönlendrerek ben destekleyen, başlangıcından btmne kadar yardımlarını ve katkılarını esrgemeyen değerl hocam, Prof. Dr. Mehmet Al YALÇIN a, tüm çtenlğ le ben cesaretlendren sayın Yrd. Doç Dr. Yılmaz UYAROĞLU na, her türlü mkanlarından faydalandığım Arş.Gör. Murat YILDIZ le lg ve desteğn gördüğüm tüm arkadaşlara sonsuz teşekkürler... Adapazarı, Mayıs 7 Kadr ABACI

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... İÇİNDEKİLER... SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... ŞEKİLLER LİSTESİ... TABLOLAR LİSTESİ... ÖZET... SUMMARY... v x xv xv xv BÖLÜM. GİRİŞ... BÖLÜM. GERİLİM KARARLILIĞI ANALİZLERİ... 7.. Grş... 7.. P-V Eğrler... 9... Radyal letm hattı P-V eğrsnn analtk olarak elde edlmes 9.3. Güç Akışı....3.. Newton-Raphson yöntem le güç akışı....3.. Farklı salınım barası seçm... 4.4. Sürekl Güç Akışı... 5.4.. İk baralı bast br sstemde uygulanması... 7.5. Duyarlılık Analz... 9.6. Çatallaşma Analz....6.. Eyer-düğüm çatallaşaması....6.. Hopf çatallaşması... 3.7. Güç Sstemlernde Çatallaşma Analz... 3

.7.. İk Baralı bast br sstemde uygulanması... 4 BÖLÜM 3. GÜÇ SİSTEM MODELİ...... 6 3.. Generatör Model... 6 3.. Yük Modeller... 7 3... Gerlme bağlı yükler (Statk Yük modeller)... 7 3... Üstel yük model... 8 3... Dnamk yük modeller... 8 3... Bast br dnamk yük model... 9 3... Genel dnamk yük model... 3 3.3. Kademe Değştrc Transformatörlern (KDT) Modellenmes... 3 3.3.. Ayrık kademe değştrc model... 3 3.3.. Sürekl kademe değştrc model... 33 3.4. Şebekenn Modellenmes... 33 3.4.. İk kapılı şebekenn modellenmes... 34 BÖLÜM 4. GERİLİM KARARLILIĞININ İYİLEŞTİRİLMESİ...... 35 4.. Gerlm ve Aktf Gücün Kontrolu... 36 4... Kademe değştrc transformatörler... 37 4.. Faz kaydırıcı transformatörler... 38 4.. Reaktf Güç Kontrolu... 38 4... Şönt elemanlar... 39 4.. Ser elemanlar... 4 4.3. Facts Teknolojs... 4 4.3.. TCR... 4 4.3... TCR model... 4 4.3.. SVC... 4 4.3... SVC le gerlm kontrolu... 43 4.3.3. TCSC... 44 4.4. Facts Chazlarının Güç Akışı Denklemlerne Sokulması... 45 4.5. KDT ve FKT nn Güç Akışı Modeller... 46 v

4.5.. KDT güç akışı model... 46 4.5. FKT güç akışı model... 48 4.6. Facts Chazlarının Güç Akışında Modellenmes... 5 4.6.. SVC güç akışı model... 5 4.6... Ateşleme açısı model... 5 4.6.. TCSC güç akışı model... 5 4.6... Ayarlanablen ser reaktans model... 5 4.7. Beş Baralı Test Sstemnde Sayısal Uygulama... 53 4.7.. KDT uygulaması... 54 4.7.. FKT uygulaması... 55 4.7.3. SVC uygulaması... 56 4.7.4. TCSC uygulaması... 58 BÖLÜM 5. ÇATALLAŞMA ANALİZİ İLE GERİLİM KARARLILIĞI İYİLEŞTİRİCİLERİNİN DİNAMİK ANALİZLERİ... 6 5.. Kararlılık ve Gerlm çökmes... 63 5... Generatör lmtler... 65 5.. Bast Br Güç Sstemnde Çatallaşma Analz ve Kaos... 69 5... SVC uygulaması... 69 5... Güç sstemnn durum uzayında davranışı... 73 5... KDT uygulaması... 76 5... Çatallaşma analz... 78 5... Yük karakterstklernn etks... 8 5...3. Güç sstemnn durum uzayında davranışı... 8 5..3. TCSC uygulaması... 85 5..3.. Dnamk gerlm kararlılığı analz... 86 5..3.. Güç sstemnn durum uzayında davranışı... 89 5.3. N Baralı Güç Sstemlernde Çatallaşma ve Kaos Analz... 9 5.3.. Duyarlılık analz... 9 5.3.. Bara ndrgeme yöntem... 94 5.3.3. Hopf ve eyer- düğüm çatallaşması... 95 5.3.4. Güç sstemnn durum uzayında davranışı... 97 v

BÖLÜM 6. SONUÇLAR VE KATKILAR... KAYNAKLAR.. 4 EKLER.. 4 ÖZGEÇMİŞ... 48 v

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ A &, B,C.D & & & : Numune kest alanı a : Kademe değştrc dönüştürme oranı a : Kademe değştrc adım aralığı a mn, a max : Kademe değştrc dönüştürme oranının mn. ve max. değerler α : Tetkleme açısı α : Yük modellernde aktf güç çn üstel değer α t, α s : Yük modellernde aktf güç geçc ve sürekl hal üstel değerler B(α) : Tetkleme açısının fonksyonu olarak etkn suseptans değer B ref B SVC B L Β β t, β s B C D G D D L E e k ε F G İ I& I SVC : Referans suseptans gerlm değer : SVC nn eşdeğer suseptansı : İletm hattının toplam şönt kapastes : Yük modellernde reaktf güç çn üstel değer : Yük modellernde reaktf güç geçc ve sürekl hal üstel değerler :.nc baraya bağlı yükün suseptans değer : Kapastans : Generatör sönümleme sabt : Kademe değştrclerde band genşlğnn alt yarısı : Dnamk yüke at frekans zaman katsayısı : Generatör uç gerlm : Parametreye bağlı olarak m, dğer elemanları olan satır vektörü : Kademe değştrclerde band genşlğ tolerans değer : Sstem frekansı : Kondüktans : İletm hattı akımının fazörü : Fazör olarak n boyutlu enjete akım vektörü : SVC nn reaktf akımı v

J J R K L M P P P d P G P P M P t, P s : Jacoban matrs : Sstemn ndrgenmş Jacoban matrs : P le Q arasındak yüklenme profl : Endüktans : Generatörün eylemszlk sabt : Kaçak empedans gücünü kompanze edecek güç : Aktf gücün başlangıç güç değer : Sürekl halde talep edlen aktf güç : Generatörün elektrksel çıkış gücü :.barada λ le belrlenen aktf güç : Generatör çn mekank grş gücü : Aktf gücün geçc ve sürekl hal yük karakterstkler ayr P : Kontrolörün transfer ettğ ayarlanmış güç j P δ V Q Q Q Q L Q d Q t, Q s Q Q SVC R S S b S c T G,T B T f T L T M : Bozucu etkden sonra aktf güç değşm mktarı : Bara gerlm açısındak değşm mktarı : Bara gerlm genlğndek değşm mktarı : Yük barasındak reaktf güç : Reaktf gücün başlangıç güç değer :.barada λ le belrlenen reaktf güç : Çalışma noktasındak reaktf güç değer : Sürekl halde talep edlen reaktf güç : Reaktf gücün geçc ve sürekl hal yük karakterstkler : Bozucu etkden sonra reaktf güç değşm mktarı : SVC tarafından baraya aktarılan reaktf güç değer : Yük drenc : Yük barasındak görünür güç : Sstemn baz gücü : SVC barasındak üç faz kısa devre gücü : Kondüktans ve suseptansa at zaman sabtler : Kademe değştrcnn kasıtlı zaman gecktrmes : Termostat kontrollu yükler çn toparlanma zaman sabt : Kademe değştrc çn toparlanma zaman süres v

T P, T Q T t k, t k+ T, T k x s x u X x() x * x λ x X L X C X e X TCSC X TCSC X t X L X SVC Y & j : Yük modellernde aktf ve reaktf güç çn zaman sabt : zaman : Kademe değştrclern ortalama zaman süres : Kademe değştrcnn lk ve ortalama zaman gecktrmes : Kararlı denge noktası : Kararsız denge noktası : Durum vektörü : Başlangıç durum vektörü : Çatallaşma noktası : Eyer noktası denge noktası : Sürekl hal denge noktası : İletm hattının reaktf ndüktansı : İletm hattının kapastf reaktansı : TCSC nn eşdeğer empedansı : TCSC nn kontrol edleblen eşdeğer reaktansı : TCSC nn kontrol edleblen eşdeğer reaktansındak değşm mktarı : Transformatör kaçak reaktansı : Bobnn ana frekanstak reaktansı : SVC termnalnden görülen eşdeğer empedans : Bara admtans matrs fazörü Y & : Tüm sstemn düğümler arasındak bağlantı matrs bara Y & : İndrgenmş bara admtans matrs BARA mod Y KDT V V b V & V, V V V j : KDT nn kaçak admtans değer : Yük barası gerlmnn başlangıç değer : Faz-faz arası baz gerlm : Fazör olarak n boyutlu enjekte gerlm vektörü : Kademe değştrclern brncl ve kncl gerlm değerler : Kademe değştrcnn referans değer V &, & : ve j.nc baralara at gerlm fazörü V ref Z : Referans gerlm değer : Yük empedansı x

Z : Bağımsız yük taleb değşkenler z p, z Q : Yük modellernde aktf ve reaktf güç dnamklerne at değşkenler z mn max P, z P : Yük modellernde aktf güç yük değşkenlernn sınır değerler z mn max Q, z Q : Yük modellernde reaktf güç yük değşkenlernn sınır değerler : Bara yük açısı λ : Yüklenme mktarı(çatallaşma parametres) µ : Özdeğer Φ : Faz kaydırıcı transformatörün açısı τ : Dnamk yüke at gerlm zaman katsayısı Γ σ v W W,w Ω ϖ : Sstemn genel kümes : Her br trstörün letmde kalma süres (açı mktarı) : Sağ özvektör : Sol özvektör : Oto transformatörü brncl ve kncl sargısı : Generatörün açısal hızı : Adım uzunluğu FACTS FKT HB IEEE IEC KDT SVC SNB TCR TCSC : Flexble Alternatf Current Transmsson Systems (Esnek Alternatf Akım letm Sstemler) : Faz Kaydırıcı Transformatör : Hopf Bfurcaton (Hopf çatallaşması) : Internatonal Electrcal Electroncs Commttee (Uluslararası Elektrk Elektronk Komtes) : Internatonal Electrotechncal Commsson (Uluslararası Elektroteknk Komsyon) : Kademe Değştrc Transformatör : Statc Var Compensator (Statk Var Kompansatör) : Saddle Node Bfurcaton (Eyer Noktası Çatallaşması) : Thyrstor Controlled Reactors (Trstör Kontrollü Reaktör) : Thyrstor Controlled Seres Capactors (Trstör Kontrollu Ser Kapastör) x

ŞEKİLLER LİSTESİ Şekl.. P-V eğrlernn elde edlmes çn a)ik baralı radyal br letm sstem b) İletm hattının k kapılı br devre olarak gösterlm. 9 Şekl. Radyal br letm hattı çn P-V eğrs... Şekl.3 Sürekl güç akışı teknğnn gösterlmes... 6 Şekl.4 İk baralı bast br sstem... 8 Şekl.5 Örnek sstem çn P-V Eğrs... 9 Şekl.6 Çatallaşma dyagramı... Şekl.7 İk baralı örnek sstem... 4 Şekl.8 Güç sstemne at P-V eğrs ve sstemn eyer-düğüm noktası... 5 Şekl 3. Br güç sstem gösterm... 6 Şekl 3. Br genel dnamk yük model... 3 Şekl 3.3 Br kademe değştrcnn eşdeğer devres... 3 Şekl 3.4 N baralı güç sstemnn (a) Genelleştrlmş gösterm (b) İndrgenmş sstem c) İk kapılı ndrgenmş sstemn p eşdeğer devres 34 Şekl 4. Br kademe değştrcnn eşdeğer devres... 37 Şekl 4. Faz kaydırıcı transformatörün eşdeğer devres... 38 Şekl 4.3 Bast br TCR model... 4 Şekl 4.4 Bast br SVC model... 43 Şekl 4.5 SVC le kontrol edlen güç sstemnn bast br şeması b)endüktf SVC akımı çn AC sstemn fazör dyagramı c) SVC nn sürekl hal V-I karakterstğ... 43 Şekl 4.6 Bast br TCSC model... 44 Şekl 4.7 Güç akışı jacoban matrsnn a)facts chazları yok ken b) Facts chazları var ken genel formu... 45 Şekl 4.8 ve j. baralar arasına bağlı KDT nn a) elektrksel eşdeğer devres b) π eşdeğer devres... 46 x

Şekl 4.9 Faz kaydırıcı transformatörün elektrksel eşdeğer devres... 48 Şekl 4. k. baraya bağlı SVC nn gösterm... 5 Şekl 4.. ve j. baralar arasına bağlı TCSC nn gösterm... 5 Şekl 4. Farklı salınım barası seçlmes durumlarında Lake barasına at P-V eğrler λ = 8.7884, λ 8.9578)... 54 ( North SNB South SNB = Şekl 4.3 KDT uygulaması durumunda Lake barasına at P-V eğrler a) North barası salınım barası λ 7.6735) b)south barası ( KDT SNB = salınım barası λ 7.85)... ( SVC SNB = Şekl 4.4 FKT uygulaması durumunda Lake barasına at P-V eğrler a) North barası salınım barası λ 7.594) b)south barası ( FKT SNB = salınım barası λ 7.653)... ( FKT SNB = Şekl 4.5 SVC uygulaması durumunda Lake barasına at P-V eğrler a) North barası salınım barası λ 9.438) b)south barası ( SVC SNB = salınım barası λ 9.6358)... ( SVC SNB = Şekl 4.6 TCSC uygulaması durumunda Lake barasına at P-V eğrler a) 55 56 57 North barası salınım barası λ 9.398) b)south barası ( TCSC SNB = salınım barası λ 9.389)... ( TCSC SNB = Şekl 4.7 Temel durum çn Lake barasına at P-V eğrler... 59 Şekl 4.8 Farklı salınım barası seçlmes durumları çn Lake barasına at maksmum güç değerler... 6 Şekl 5. 4 KV luk br güç sstemnde gerlm çökmes olayları... 63 Şekl 5. Durum uzaylarının gösterm... 65 Şekl 5.3 Gerlm çökmes esnasında gerlm ve açının zamanla değşm... 65 Şekl 5.4 Gerlm çökmes olayının oluşumu... 66 Şekl 5.5 Daralan br kararlılık bölges... 67 Şekl 5.6 Yaprak bölgesndek sstem, gerlmn tekrar toparlanmasına zn verrken kademe değştrcsnn kltlenmes... 67 Şekl 5.7 İk baralı hat sonunda SVC olan bast br güç sstem... 69 Şekl 5.8 Krtk yüklenme sevyes cvarında üç farklı çalışma noktası çn gerlmn zamanla değşm... 7 58 x

Şekl 5.9 Her k durum çn güç sstemnn P-V eğrler... 7 Şekl 5..6 +j. p.u yük kararlı kalan sstemn zamanla a) gerlm(v ) b)açı(δ ) c)svc suseptansı (B SVC ) d) generatörün açısal frekansı (w) değşmler... 73 Şekl 5. P d =.7 p.u yük değernde her k durum çn sstemn faz portreler zamanla a) SVC l (w )-(δ ) b) SVC sz (w )-(δ ) c) SVC l (V ) -(δ ) d) SVC sz (V ) -(δ )... 74 Şekl 5. SVC l sstem çn krtk yüklenme sevyes cvarında k farklı çalışma noktası çn faz portreler a) (w )-(δ ) b) (w )-(δ ) c) (V ) -(δ ) d) (V ) -(δ )... 75 Şekl 5.3 SVC l sstem çn krtk yüklenme sevyes cvarında k farklı çalışma noktası çn faz portreler... 76 Şekl 5.4 İk baralı hat sonunda KDT olan bast güç sstem... 76 Şekl 5.5 Krtk yüklenme sevyes cvarında k farklı çalışma noktası çn gerlm- zaman değşm... 78 Şekl 5.6 Farklı dönüştürme oranı (a) değerler çn P-V eğrler... 79 Şekl 5.7.6 +j. p.u yüklenme değernde kararlı kalan sstemn zamanla a)gerlm b)açı c)dönüştürme oranı d) açısal frekans değşm. 8 Şekl 5.8 (Şekl 5.4) de verlen güç sstemnde z=,z=,z= çn P-V eğrler... 8 Şekl 5.9 KDT l sstem çn krtk yüklenme sevyes cvarında k farklı çalışma noktası çn faz portreler a) (w )-(δ ) b) (w )-(δ ) c) (V ) -(δ ) d) (V ) -(δ )... 8 Şekl 5. (z=) çn krtk yüklenme sevyes cvarında k farklı çalışma noktası çn faz portreler... 83 Şekl 5. P d=.66 p.u çn sabt akım ve sabt empedans, yük karakterstğnde yüklern karşılaştırmalı faz portreler... 84 Şekl 5. (δ) açısının k farklı başlangıç değer çn faz portreler ve açı ve gerlmn zamanla değşm (üstte δ =, altta δ =.6 )... 84 Şekl 5.3 İk baralı hat sonunda TCSC olan bast güç sstem... 85 Şekl 5.4 Krtk yüklenme sevyes cvarında üç farklı çalışma noktası çn gerlmn zamanla değşm... 87 x

Şekl 5.5 TCSC lavel güç sstemnn P-V eğrs... 87 Şekl 5.6.6 +j. p.u yükte kararlı kalan sstemn zamanla a)gerlm(v ) b)açı(δ ) c)tcsc reaktansı (X TCSC ) generatörün açısal frekansı (w) değşmler... 88 Şekl 5.7 TCSC l sstem çn krtk yüklenme sevyes cvarında k farklı çalışma noktası çn faz portreler portreler a)(w )-(δ )b)(w )-(δ ) c) (V )-(δ ) d) (V )-(δ )... 89 Şekl 5.8 3 P vep yüklenme değerler çn faz portreler... 9 d d Şekl 5.9 (δ) açısının üç farklı başlangıç değer çn faz portreler... 9 Şekl 5.3 N baralı güç sstemnde çatallaşma ve kaos analz çn akış şeması... 9 Şekl 5.3.5 +j.5 p.u yükte kararlı kalan sstemn zamanla a)gerlm(v ) b)açı(δ ) c)tcsc reaktansı (X TCSC ) generatörün açısal frekansı (w) değşmler... 95 Şekl 5.3 Krtk yüklenme sevyes cvarında k farklı çalışma noktası çn gerlmn zamanla değşm... 96 Şekl 5.33 SVC l sstem çn krtk yüklenme sevyes cvarında k farklı çalışma noktası çn faz portreler portreler a)(w )-(δ )b)(w )-(δ ) c) (V )-(δ ) d) (V )-(δ )... 97 Şekl 5.34 Krtk yüklenme sevyes cvarında k farklı çalışma noktası çn faz portreler... 98 Şekl 5.35 (δ) açısının üç farklı başlangıç değernde üç boyutlu durum uzayı 99 Şekl A. Tpk br faz portres... 6 Şekl A. Çatallaşma noktası... 7 Şekl A.3 r= -, r =, r =, çn üç faz düzlem çzlmes... 9 Şekl A.4 Üst krtk Ptchfork dyagramı... 9 Şekl A.5 Alt krtk Ptchfork çatallaşma dyagramı... Şekl A.6 Üst krtk Ptchfork çatallaşması... Şekl A.7 Eğer noktası çatallaşması... Şekl A.8 Çeştl parametre durumları... 3 Şekl A.9 Hopf çatallaşması... 4 Şekl A. Üst krtk Hopf çatallaşması... 6 xv

Şekl A. Alt krtk Hopf çatallaşması... 6 Şekl A. Lmt çevrm yapıları... 7 Şekl A.3 Kapalı yörüngel lmt çevrm... 8 Şekl A.4 Lorenz sstemnn garp yakınsakları s=,r=8, b=8/3 ve başlangıç şartları X =[-8 8 7]... 3 Şekl B İk baralı br letm hattının a) Elektrksel eşdeğer b) İletm hattının k kapılı br devre olarak gösterlm... 35 Şekl B. İk baralı br letm hattının sonuna SVC eklenmes durumunda a) Elektrksel eşdeğer b) İletm hattı ve SVC nn k kapılı br devre olarak gösterlm... 37 Şekl B.3 İk baralı br letm hattının sonuna TCSC eklenmes durumunda a) Elektrksel eşdeğer b) İletm hattı ve TCSC nn k kapılı br devre olarak gösterlm... 39 Şekl B.4 İk baralı br letm hattının sonuna KDT eklenmes durumunda a) Elektrksel eşdeğer b) İletm hattı ve KDT nn k kapılı br devre olarak gösterlm... 4 Şekl C. Beş baralı Stag-El Abad sstem... 45 Şekl C. Dokuz baralı WSCC sstem... 46 xv

TABLOLAR LİSTESİ Tablo. Örnek sstem çn parametrk değerler... 8 Tablo. Yük barasına at çatallaşma noktasını gösteren sonuçlar... 5 Tablo 4. KDT bağlanması durumunda bara gerlm ve açı değerler... 54 Tablo 4. FKT bağlanması durumunda bara gerlm ve açı değerler... 56 Tablo 4.3 SVC bağlanması durumunda bara gerlm ve açı değerler... 57 Tablo 4.4 TCSC bağlanması durumunda bara gerlm ve açı değerler. 58 Tablo 5. Tablo 5. Tablo 5.3 Dokuz baralı (WSCC) sstemnn bara gerlm ve açı değerler (SVC yok)... 9 V-Q duyarlılık matrs J R n köşegen elemanlarına göre elde edlen sıralama... 93 Dokuz baralı (WSCC) sstemnn bara gerlm ve açı değerler (SVC var)... 94 Tablo C. Beş baralı Stag El Abad sstemnn hat verler... 45 Tablo C. Beş baralı Stag El Abad sstemnn generatör verler... 45 Tablo C.3 Dokuz baralı WSCC sstemnn hat verler... 47 Tablo C.4 Dokuz baralı WSCC sstemnn transfomatör verler... 47 Tablo C.5 Dokuz baralı WSCC sstemnn generatör ve generatör baralarına at verler... 47 xv

ÖZET Anahtar Kelmeler : Sürekl Güç Akışı, Gerlm Kararlılığı, FACTS, Çatallaşma Analz, Kaotk oslasyonlar Güç sstem planlama ve kontrol çalışmaları yapan mühendsler çn sstemn gerlm kararlılığı analznn kapsamlı br bçmde yapılmasının önem gtgde artmaktadır. Generatör ve letm hatlarının kapastelernn sınırlı olması ve sstem yüklernn artması sonucu olarak gderek lneer olmayan bölgelerde çalışan sstemler çn gerlm kararlılığı analzne büyük ölçüde htyaç duyulmaktadır.son zamanlarda, gerlm kararlılığı ve gerlm çökmes olayı güç sstem analz ve kontrolunda çok öneml br konu olmaya başlamıştır. Araştırmacılar bu problem çn statk ve dnamk yaklaşımlarla çözüm önerler sunmuşlardır. Çatallaşma teors güç sstemlerndek açısal ve gerlm kararlılığı gb değşk sorunların analz edlmesnde kullanılan en yaygın yöntemlerden brsdr. Çatallaşma teors, özellkle denge noktalarının küçük-snyal kararlılığı ve çatallaşması, salınımlı kararsızlıklar ve gerlm çökmes gb dnamk olayların analznde pratk yöntemler gelştrme mkanını vermektedr. Br güç sstemnde yük artışı sonucu Eyer Noktası ve Hopf çatallaşmaları gb temel çatallaşma olayları meydana gelr. Eyer noktası çatallaşması güç sstemlernde gerlm çökmes noktası olarak blnr ve bu noktada, sstem Jakobyen matrsnn özdeğerlernden br orjndedr. Hopf çatallaşması noktasında sstem sanal eksen üzernde bulunan k adet özdeğere sahptr ve bu özdeğerler sstemde salınımlı kararsızlıkların oluşmasına sebep olmaktadır.her k çatallaşma olayı güç sstemnn lneer olmayan çalışma bölgesndek kararsızlık mekanzmasını açıklar ve kaotk yapıya dönüşeceğ yüklenme aralıklarını tesbt etmemze olanak sağlar. Bu parametrk değerler sstemn kararlılık ve kontrol çalışmalarında kullanılablr. Bu tez çalışmasında gerlm kararlılığı analz hem statk hem de dnamk yaklaşımlarla ele alınmıştır. Lneer olmayan bölgelerde çalışan güç sstemlernde Kademe Değştrc Transformatör (KDT), Faz Kaydırıcı Transformatör (FKT), Flexble Alternatf Current Transmsson Systems (FACTS) chazları olarak blnen Statc Var Compensators (SVC) le Thyrstor Controlled Seres Capactors (TCSC) gb gerlm kararlılığını yleştrc chazların statk ve dnamk modeller kullanılarak çatallaşma ve kaotk analzler yapılmıştır. Elde edlen güç sstem modeller le bu chazların yleştrc performansları karşılaştırılmıştır. Çalışmada öncelkle k baralı br güç sstem ele alınmış daha sonra genelleştrlerek N baralı sstemlere uygulanablrlğ gösterlmştr. xv

BIFURCATION AND CHAOTIC ANALYSIS OF THE LINE CONDITIONERS FOR VOLTAGE STABILITY SUMMARY Keywords : Power Flow Contnuaton, Voltage Stablty, FACTS, Bfurcaton Analyss, Chaotc Oscllatons It s becomng ncreasngly mportant for power system plannng and operatng engneers to be capable of performng comprehensve voltage stablty analyses of the systems. Ths need s largely due to the recent trends towards operatng systems under stressed condtons as a result of ncreasng system loads wthout suffcent transmsson and generaton enhancements. There have been many falures, due to voltage nstablty n power systems around the world. In recent years voltage stablty and voltage collapse phenomena have become more and more mportant ssues n power system analyss and control. Researchers have suggested technques for voltage stablty analyss consderng both statc and dynamc aspects. The bfurcaton theory s one of the most common theory whch s used to analyss the problems such as angular and voltage stablty n power systems. Bfurcaton theory allows us to develop practcal methods especally n analyss of dynamc events such as small-sgnal stablty and bfurcaton of balance nodes oscllate nstabltes and voltage collapse. Power systems are consst of Saddle-Node and Hopf bfurcatons whch as a result of load ncreasng. Saddle node bfurcaton s known as voltage collapse node n power systems and on ths mode one of the egenvalues of the system jacoban matrx s on the orgn. The system has two egenvalues on the magnary axs and these egenvalues cause oscllatve nstabltes. Both of these bfurcaton events explan the nstablty mechansm that s n the nonlnear work zone of the power system and enable us to establsh the loadng ntervals that wll be turn nto chaotc buldng. These parametrc values can be used n stablty and control studes of the system. In ths thess, voltage stablty analyss s dealng wth both statc and dynamc approaches. Bfurcaton and chaotc analyss have been done by usng the statc and dynamc models of the devces that mprove the voltage stablty, such as tap changer transformers (LTC), phase shftng transformers (PST), Statc var Compensators (SVC) known as Flexble Alternatf Current Transmsson Systems (FACTS) devces and Thyrstor Controlled Seres Capactors (TCSC) n power systems that work on the nonlnear zones. The power system models that has been obtaned. Furthermore the mprovng performances of these devces have been compared. In ths study, frstly a two bus power system has been taken up, then by generalzng ths, t has been ndcated that t can be appled to N bus system. xv

BÖLÜM. GİRİŞ Günümüzün hızlı teknolojk gelşmelerne paralel olarak elektrk enerjsne olan talep de aynı ölçüde artmaktadır. Sürekl yük artımı le brlkte ekonomk ve çevresel baskılar güç sstemlern kararlılık lmtne yakın noktalarda çalışmaya zorladığından kararlılık sınırları azalmaya ve gerlm kararlılığı krtk br konu olmaya başlamıştır []. Sürekl artan bu htyaca cevap vereblmek çn yen üretm tessler kurmak kaçınılmazdır. Bu tür tesslerden, elektrksel yüklern dnamk davranışlarına ve meydana geleblecek bozucu etklere (paralel letm hatlarından brsnn devre dışı kalması, kısa devreler veya büyük mktarlarda yük almalar gb) hızla cevap vereblmeler stenmektedr. Üretm tesslernde kullanılan senkron generatörlern, bu tür etkler karşısında senkronzmadan kopup kopmayacağı dğer br deyşle kararlılık problem, berabernde gerlm kararlılığı sorununun ortaya çıkmasına neden olmuştur. Bu açıdan bakıldığında gerlm kararlılığı br enerj sstemnn yük baralarının gerlmlernn genlklern, gerek sürekl halde gerekse geçc olaylar esnasında, belrl şletme lmtler çersnde tutablme yeteneğ olarak tanımlanablr. Dünyanın çeştl ülkelernde enerj sstemlernde son yıllarda meydana gelen çeştl olaylardan sonra gerlm kararlığına artan br lg duyulmaya başlanmıştır. Güç sstemnde generatörler arasında br dengeszlk esnasında br gerlm düşümü meydana geldğnde yük, letm sstem bleşenler ve sstem kayıpları br gerlm kararsızlığı artışına neden olablrler. Gerlm kararsızlığı gerlm kararlılığının yok olmasıdır ve gerlmde artma ve azalma gb sonuçlar doğurmaktadır. Kararlılığa ulaşmak çn kontrol mekanzmaları, kararlılık lmtn tespt ederek kararlılığı sağlayablrler []. Gerlm kararsızlığının brncl neden, normal olmayan sstem çalışmaları veya kontrolör davranışları altında, yük taleplern karşılamaya çalışan belrl sstem baralarına yeterl reaktf gücün verlemeyşdr [3]. Gerlm kararsızlığının br tp gerlm çökmesdr. Br sstem br bozucu etk nedenyle gerlm çökmesne grdğnde gerlmde kontrol edlemeyen br düşüşe neden olur.

Gerlmn düzenlenmes reaktf kompanzasyon chazlarının veya kaynaklarının, yük talebn karşılayacak reaktf güç üretm mktarının üretlmes hızına bağlıdır. Reaktf güç mktarı büyük br ölçüde yük karakterstkler le belrleneblr ve gerlm kontrol edleblr. Gerlm kararsızlığı reaktf yüktek artışın sürmesyle meydana gelmektedr. Bu süreç letm hatlarında kayıpların artmasına neden olacaktır. Buna lave olarak, letm şebekelernn zayıflığı güç transfer sevyelerndek kuvvetszlğ, gerlmn çökmesne katkı sağlamakta ayrıca generatör reaktf güç sınırları, yük karakterstkler, reaktf kompanzasyon chazlarının karakterstkler ve gerlm kontrol chazları özellkle Kademe Değştrc Transformatörlern (KDT) lern davranışları etkldr [4]. Güç transferlernn artması le, güç sstem ağır şartlar altında daha yüksek kayıplar vererek çalışmaya başlamıştır. Bununla brlkte düzenl olmayan yük akışı le güvenlr olmaktan uzaklaşmaktadır. Bu bağlamda FACTS( Flexble Alternatf Current Transmsson Systems) olarak smlendrlen yen br teknoloj güç sstemlernde yern almaya başlamıştır. FACTS teknolojsnn ana hedef sstem kontrol altında tutarak güç transfernn düzenlenmesn ve ayrıca taşıma kapastesnn belrl sınırlar dahlnde artırılmasını sağlamaktır. Günümüzün güç sstemler büyük ve mekank kontrolludur. FACTS teknolojs yüksek güç elektronğne dayalı çeştl trstör chazlarından oluşmuş mkroelektronk, haberleşme ve ler kontrol uygulamaları çeren br teknolojdr. Gerlm çökmes le gerlm kararlılığı problem modern güç sstemlernn şletlmes ve planlamasında öneml br sonuç olarak karşımıza çıkmaktadır. Güç sstemlernn yararlarını artırmak çn sstemn gerlm çökmes rskne neden olan gerlm kararlılığı sınırlarına yakın yerlerde çalışması sağlanmalıdır. Gerlm çökmesnn temel neden yük barasına gerekl reaktf gücün sağlanamamasıdır [3]. FACTS teknolojs le bara gerlm, hat empedansı ve faz açısı esnek ve hızlı br şeklde düzenleneblr. Bu nedenle, FACTS ler güç akışı kontrolunu kolaylaştırarak, güç transfer kapastesn artırıp generatör malyetn azaltır, güç sstemnn güvenlrlğn ve kararlılığını gelştreblr [9].

3 Son zamanlarda elektrk güç sstemlernde oluşan sstem çökmeler, güç sstem baralarındak gerlm genlklernde, gderek artış gösteren br azalma le karakterze edlmektedr. Ekonomk ve çevre baskıları nedenyle büyük güç sstemlernn brbrlerne bağlantılarının sürmes, kararlılık sınırlarına yakın çalışması gereken kompleks br ssteme yol açmaktadır. Bu çalışma ortamı, güç sstemlernn dnamk kararlılık değerlendrmeler le lgl problemlern artan önemne katkı sağlamaktadır. Doğrusal olmayan büyük br enterkonnekte güç sstem, sürekl haldek br çalışma noktasından uzaklaştığı zaman çok karmaşık olaylar göstermektedr. Ekonomk ve çevre baskıları yen letm ve üretm kapastes artırımını sınırladığı çn güç sstemler gttkçe daha da çok yüklenmektedr. Bu aşırı çalışma koşulları altında, büyük elektrk şletmesnn devre dışı kalmasına neden olan gerlm çökmes olarak da adlandırılan yen br kararsızlık problemyle karşı karşıya kalınmaktadır. Son zamanlarda çoğu büyük elektrk güç sstemlernn devre dışı kalması sstemn hatalara vermş olduğu dnamk cevap yüzünden olmaktadır. Böylece güç sstemlernn dnamk değerlendrlmes hızla önem kazanmaktadır. Br güç sstemnn dnamk davranışı br parametre değşmyle değştrldğ zaman güç sstemlernde çatallaşmalar doğmaktadır. Bunlardan en yaygın olanı yük artışının br sonucu olarak denge noktalarının çatallaşmasıdır. Çatallaşma teors doğrusal olmayan sstemlern çözümünde anahtar rol oynamaktadır. Sstemdek anlık değşklkler, sstem kararlı normal durumundan artarak uzaklaştırmakta, bu da elektrk güç sstemnde gerlm çökmesn ve kaos olaylarını berabernde getrmektedr. Çatallaşma teors güç sstemlerndek açısal kararlılık ve gerlm kararlılığı gb değşk sorunların analznde kullanılan en yaygın yöntemlerden brdr. Çatallaşma teors, özellkle denge noktalarının küçük-snyal kararlılığı ve çatallaşması, salınımlı kararsızlıklar ve gerlm çökmes gb dnamk olayların analznde pratk yöntemler gelştrme mkanını vermektedr [93, 94].

4 Elektrk güç sstemlernde meydana gelen gerlm çökmes olayları, y tanımlanamamakta ve sstem dnamkler y anlaşılamamaktadır. Eyer noktası çatallaşması saddle node bfurcatons (SNB) gerlm çökmes problemleryle lşklendrlerek sstemn dnamk kararsızlığı çn temel br fkr verr. Şu ana dek lteratürde elektrk güç sstemlernn statk ve dnamk gerlm kararlılığı analzler genş br bçmde çalışılmıştır. Elektrk güç sstemlernn blgsayar destekl analz ve kontrolu [6,7, 8] numaralı kaynaklarda, kararlılık analzler [, 9] kaynaklarda ayrıntılı br bçmde anlatılmıştır. Ayrıca brçok teknk rapor ve dökümanlarda [,] gerlm kararlılığı problem ve analz metotlarından bahsedlmştr. Statk analz çn, modal analz [8], sürekl güç akışı (contnuaton power flow-cpf) [5, 3], tekl değer ayrıştırması [,8,5,9] gb metotlar sstemn maksmum yükleneblrlk sınırı ve meydana geleblecek kararsızlık mekanzması hakkında blg verrler. Sstemn kararlılık sınırlarının belrlenmes sürekl güç akışı [, ], çatallaşma analz [9,4,7,6 ] ve dğer metotlarla [, 56, 6, 8 ] de belrlenmştr. [5, 6] de gerlm çökmes ve dnamk analzler yapılmıştır. Gerlm kararlılığı olayını anlamak çn onun yakın lşkl olduğu yük dnamkler le tek tek lglenmeldr [57].Brçok çalışmalar göstermştr k, yükün tanımlanması analz sonuçlarında öneml br etkye sahptr. Bu nedenle gelştrlen yük model çok önemldr [47]. Son yıllarda bu blgler özetlemek çn tavsye edlen standart yük modellerne lşkn br blg yayınlanmıştır [7]. Bunlar statk yük modeller(sabt empedans, sabt güç, sabt akım ve bu modellern kombnasyonları le dnamk yük modeller [46,58,59] olarak k ana gruba ayrılablr. Son yıllarda br çok çalışma nonlneer br olay olan çatallaşma ve kaos çermektedr [3,33,8]. Güç sstemlernde Eyer noktası çatallaşması gerlm çökmes problemleryle lşklendrlerek sstemn dnamk kararsızlığı çn temel br fkr verr. [34,54,55,6,7,75] de güç sstemlernde çatallaşma ve kaos analzler yapılmıştır.gerlm kararlılığının yleştrlmes amacıyla brçok çalışma mevcuttur [ 36]. Bu çalışmalarda temel hedef öncelkle gerlm kararsızlığına neden olan reaktf güç eksğnn ssteme şönt ve ser [4,4,43,89,98] kompanzatörlerle enjekte

5 edlmesdr. Ayrıca kademe değştrc [44,49,7] ve faz kaydırıcı transformatörlerle [9] yük barasındak gerlm stenlen değerlerde tutulmaya çalışılmıştır. Son yıllarda gerlm kararlılığı çalışmalarında FACTS Teknolojsnn kullanımı oldukça yaygınlaşmıştır. FACTS teknolojs le bara gerlm, hat empedansı ve faz açısı esnek ve hızlı br şeklde düzenleneblr. Facts chazlarının matematksel modellernn elde edlerek güç akışı denklemlerne katılması suretyle statk analzler [64,65]yapılmış, kontrol ve kararlılık sınırlarının gelştrlmes amacıyla dnamk performansları ncelenmştr [5,66,67,69,3,5].FACTS chazları le lgl en öneml sorular bu chazların yerleşm ve dzaynıdır. [77] nolu kaynakta bu metodoloj yern almıştır. Güç akışı Jacoben matrsnn tekl değerne dayalı, sağ ve sol tekl vektörler le daha duyarlı br bçmde aktf ve reaktf güç enjeksyon değşmlernn yönetm sağlanmıştır. Oslasyonun söndürülmesn sağlayacak olan grş snyalnn kontrolunu gerçekleştrecek en uygun FACTS chazlarının yerleşm ve seçm [78,79,,9] da tartışılmıştır. [68] de br SVC sstemnn Hopf Çatallaşması metodu le kontrolu ve k generatör arasına yerleşm, üç maknal örnek br test sstem düşünülerek ncelenmştr. [8] nolu kaynakta şönt bağlı FACTS chazlarının yerleştrlmes çn br metod önerlmştr. [8,86] da FACTS chazlarının elverşl ve optmal bçmde yerleştrlmes çn etkl ve bast br model gösterlmştr. Yne FACTS chazlarının optmal bçmde yerleştrlmeler ve kontrolunun en y bçmde yapılableceğ noktaların gösterlmes [7,8] de yapılmıştır. [4 ]. kaynakta şönt ve ser kompanzasyon parametrelernn optmal ayarlamaları ve sstem br eğer noktası çatallaşmasından ve berabernde gerlm çökmesnden uzaklaştırmakla brlkte kullanılmıştır. FACTS chazları le güç transfer kapastesnn ve güvenlrlğnn artırılması yönünde de çalışmalar mevcuttur. [] da bu chazların transfer kapastesne olan etkler gözlemlenmştr. [,3] de sürekl hal kararlılık lmtnn artırılması ve ser FACTS chazlarıyla optmze edlmes ve ayrıca yerleşmlernn etks tartışılmıştır. [] de FACTS chazlarının optmal seçm çn br genetk algortma önerlmştr. Burada ana hedef çok maknalı sstemlerde generatör malyetlernn azaltılmasıdır. Bunlara lave olarak FACTS chazlarının güç sstemlerne etkler ve gerlm kararlılığına olan katkıları açısından br çok çalışma mevcuttur.

6 Lteratür ncelemelernden anlaşılacağı gb gerlm kararlılığını yleştrc chazların statk ve dnamk analzler oldukça genş br bçmde çalışılmıştır. Bu çalışmada şu ana dek yapılan çalışmalara lave olarak bu chazların elde edlen Dferansyel Cebrsel Denklemler (DCD) modeller le çatallaşma ve kaotk analzler yapılarak güç sstemlernde, kararlı haln ortadan kalktığı ve lneer olmayan bölgede çalışan sstemn dnamk davranışları durum uzayında ncelenerek yorumlanmıştır. Çalışma esnasında lteratürde yaygın olarak kullanılan Dobson-Chang güç sstem modelnn [5] yerne k baralı bast güç sstem model üzernde yoğunlaşılmış ve ardından N baralı sstem uygulamalarının yapılacableceğ gösterlmştr. Çalışma aşağıdak bölümlerden oluşmaktadır..bölümde k baralı br sstem çn gerlm kararlığı analz metodları bast açıklayıcı brer örnek verlerek açıklanmıştır. 3.Bölümde güç sstem ve bleşenlernn modellenmes anlatılmıştır. 4.Bölümde reaktf güç sstem ve facts chazlarının matematksel modeller verlerek güç akışı çalışmalarında etkler ncelenmş ve örnek br test sstem üzernde sonuçlar verlmştr. 5.Bölümde bast br güç sstemnde gerlm çökmes dnamk smulasyonları yapılmış çatallaşma ve kaotk analzler gerçekleştrlmştr. Ardından N-baralı sstemlern ncelenmesne geçlmş şebeke ndrgeme teknğ kullanılarak sstem baralı bast br güç sstemne ndrgenerek en uygun reaktf güç desteğ sağlanacak baranın belrlenp çatallaşma ve kaos analz gerçekleştrlmştr.

BÖLÜM. GERİLİM KARARLILIĞI ANALİZLERİ.. Grş Güç sstemlernde gerlm kararlılığı problemne son yıllarda artan br lg vardır. Geçmşte gerlm kararlılığı problemnn statk veya dnamk yaklaşımlar le çözümlenmes tartışılmıştır. Statk analzlerde br yük akışı problem, dnamk analzde se br takım dferansyel denklemlern çözümlenmes düşünülmüştür [4]. Verlen br sstem durumu çn gerlm kararlılığı analz gerlm kararsızlılığına yakınlık ve gerlm kararlılığı mekanzması olmak üzere k yön çerr. Gerlm kararsızlığına olan mesafe yük sevyes, krtk br ç yüzeyden akan aktf güç ve reaktf güç yedekler gb fzksel büyüklüklerle ölçüleblr. Verlen herhang br durum çn en uygun ölçüm belrlenen ssteme ve sınırların kullanımına, örneğn çalışma koşullarına bağlıdır. Olası htmallere (hat çıkışları, br üretm brm veya reaktf güç kaynağının kaybı gb) bakılarak karar verlr. Gerlm kararsızlılığının neden ve nasıl olduğunu kararsızlığa götüren nedenn ne olduğunu hang bölgelernn gerlm açısından zayıf olduğunu ve gerlm kararsızlılığının gelştrlmesne en etkl ölçütlern neler olduğu blnmeldr [87]. Gerlm kararlılığını etkleyen sstem dnamkler genelde yavaştır. Bu yüzden, problemn pek çok yönü statk yöntemlerle etkl br şeklde nceleneblr. Bu yöntemler güç sstemlernn belrlenmş br çalışma durumu le temsl edlen denge noktasının uygulanablrllğn nceler [6]. Statk yaklaşım, zaman dönem yörünges boyunca çeştl zaman dlmlerndek sstem koşullarından anlar çerr. Her br zaman dlmnde, durum değşkenlernn zaman türevler sıfır olarak kabul edlr ve durum değşkenler belrl zaman dlmne uygun yer alır. Sonuç olarak, toplam sstem eştlkler, statk analz teknklernn kullanılableceğ tamamıyla cebrsel eştlklere ndrgenmş olur [].

8 Geçmşte, gerlm kararlılığı statk analz çn büyük ölçüde geleneksel yük akışı programları kullanılmaktaydı. Gerlm kararlılığı nceleme metotlarından statk (sürekl hal) metotları; yük akışı uygulamalarına dayalı metotlar, yan lneerleştrlmş dnamklern öz değerler ve duyarlılık analzlern çerr [3]. Aynı gurupta farklı br küme oluşturan çalışmalarda se duyarlılık gösterge olarak kullanılmıştır. Problemn kompleks yapısı gereğ (yük akışı fzbltes, optmal güç akışı ve sürekl hal kararlılığı gb statk teknklere dayalı güç akışı çalışmaları yapılmıştır. Statk analz teknkler çersnde, modal analz [8], sürekl güç akışı [5], tekl değer ayrıştırması [,8,5,9] gb gelştrlen metotlarla sstemn maksmum yüklenme noktası, kararlılık sınırları ve kararsızlık mekanzmasının meydana gelş hakkında blg ednlmeye çalışılmıştır. Gerlm kararsızlığı veya gerlm çökmes dnamk br süreç olsa da, çoğunlukla statk (yük akışı) analzne uygun olarak br sürekl hal problem olarak görülmüştür. Bundan dolayı yük akışı tabanlı statk analz yöntemler hızlı ve yaklaşık analz çn kullanılmaktadır. Açık br şeklde gerlm kararlılığının ortaya çıkmasıyla brlkte dnamk yaklaşımlara da htyaç duyulmuştur. Statk analz teknkler le sstem koşulları genş br alanda nceleneblr ve eğer doğru kullanılırsa problemn doğasına daha yakınlaşılır ve belrleyc temel etkenler bulunur. Dnamk analz, dğer br taraftan belrl gerlm çökme durumlarının ayrıntılı ncelenmes, koruma ve kontrollern koordnasyonu ve ölçüm testler çn yararlıdır. Dnamk smülasyonlar ayrıca sürekl hal denge noktasına nasıl ulaşılableceğn de nceler[6]. Dnamk analzler sstemn gerçek dnamk davranışını tahmn edeblrler. Bu bölümde gerlm kararlılığı analz teknkler hakkında blg verlerek bast br güç sstemnde uygulamaları anlatılacaktır.

9.. P-V Eğrler Gerlm kararlılığı ncelemelernn klask yolu, statk yük akışı analzlerne dayanmaktadır. Sonuçlar genellkle, aktf güç gerlm ordnatlarında P-V eğrler le gösterlrler. P-V eğrs üzernde gerlm kararsızlık noktası açıkça görülebldğnden, statk analzler gerlm çökmesnden korunmak çn faydalı olmaktadır. Ancak, statk yaklaşım, gerlm kararlılığının dnamk davranışı hakkında yeterl blg veremeyeceğnden, dnamk yaklaşımında göz önüne alınması gerekecektr [3]. Şekl.a da verlen k baralı br sstem çn, hat sonu (alıcı uç) gerlmnn genlğ V j le bu uçtan çeklen aktf güç P j arasındak lşky, hat başı (gönderc uç) gerlmnn genlğ, letm hattının sabtler ve hat sonundan çeklen güce lşkn güç katsayısı cnsnden analtk olarak fade etmek ve bu fade yardımıyla hat sonu çn P-V eğrlern elde etmek mümkündür.... Radyal letm hattı P-V eğrsnn analtk olarak elde edlmes Şekl..a da verlen k baralı br sstem çn letm hattını, k kapılı br devre olarak gözönüne alarak, A-B-C-D devre sabtler, gönderc uç gerlm ve alıcı uç güç faktörü cnsnden hat sonu gerlm le aktf güç arasındak fade elde edleblr. a) b) Şekl. P-V eğrlernn elde edlmes çn a)ik baralı radyal br letm sstem b) İletm hattının k kapılı br devre olarak gösterlm Br enerj letm hattının hat başı gerlm V ve hat başı akımı I aşağıdak gb matrsel formda yazılablr. V& & I A& = C& B& V& D& I& j j (.)

(.) eştlğ le hat sonu gerlm V j, hat sonu akımı I j ve hattın genelleştrlmş devre sabtler.. A,. B, C &, D cnsnden fade edlr [3-35]. Genelleştrlmş devre sabtlern kartezyen bçmde A & =a + ja, B & = b + jb, C & = c + jc, D & = d + jd yazarsak, hat başı gerlm ve hat sonu akımı çn, şeklnde veya V & = (a + j.a ). V& + (b + j.b ). I& (.) j * S P + jq = V & & (.3) j = j j j I j j I j Pj jq j = (.4) V * j yazılır ve (.) fades düzenlenerek, V&.V& = (a V& + b. P + b.q ) + j.(a.v& + b. P b.q ) (.5) j olur. Son eştlğn her k yanı kend eşlenğ le çarpılıp kareler alınırsa, A B. V 4.(P r + [.P r.(a + Q ) =.b + a.b ) +.Q.(a.b j a.b ) V ].V (.6) elde edlr.x = V dönüşümü yapılarak, a. x + b. x + c = (.7) şeklnde y blnen.dereceden br denkleme dönüştürülür. Denklemnn çözümü, x. bm = b.a 4.a.c (.8)

dr. Gerlme lşkn gerçek kök se V = m x, belrlenrken şüphesz (+) kök kullanılmaktadır., Bu analtk fadenn çözümü le, hat başı gerlm V belrl br değerde sabt tutulurken, sabt güç katsayısı altında hat sonundan çeklen gücün sıfırdan tbaren arttırılarak sürekl değşmne karşılık, hat sonu gerlmnn genlğnn değşmnn gözlendğ P-V eğrs olarak adlandırılan eğr elde edlr [3-73]. Üst Bölge V[pu] Alt Bölge P[pu] Şekl.. Radyal br letm hattı çn P-V eğrs. Br radyal letm hattına lşkn P-V eğrs Şekl. de gösterlmştr. P-V eğrsnn üst kısmı normal kararlı çalışma bölgesn yansıtmaktadır, alt bölge se Newton- Raphson algortmasının çözüm vermedğ gerlm kararsızlığına karşılık olan bölgedr. Eğr üzernde eyer-düğüm noktası (SNB: saddle node bfurcaton) olarak ta blnen ve br tek gerlm değerne karşılık gelen bu nokta gerlm kararlılığı açısından taşınablecek maksmum güç sınırını ve buna gelen krtk gerlm değern göstermektedr. Krtk güçten daha yüksek br güç taleb çn yük gerlm kararsız olacaktır. Gerçekte gerlm kararsızlığı P, Q ve V arasındak lşklere bağlıdır bu lşkler gösteren karakterstkler radyal hat çn (k baralı sstem) analtk olarak

edleblrken, daha büyük baralı karmaşık sstemler çn yük-akışı analz kullanılarak belrleneblr..3. Güç Akışı Güç akışı çalışmaları, yaygın br şeklde yük akışı olarak blnmekte ve güç sstem analznn öneml br kısmını oluşturmaktadır. Planlama ve kontrol açısından ve lerye dönük genşlemeler çn gerek duyulur. Problem her br barada gerlmn büyüklüğü le açısının belrlenmes ve her br hattan geçecek aktf ve reaktf gücün bulunmasının stenmesdr..3. Newton-Raphson yöntem le güç akışı Newton metotları güç akışı denklemlernn çözümü çn teratf metodlara (Gauss, Gauss-Sedel... ) göre kuadratk yakınsama karakterstğne sahptr. Özellkle çalışılan sstem hakkında blg sahb olmak ve bunun sonucunda y başlangıç tahmnler yapmak, daha y sonuç verr [6]. Br çözüm elde etmek çn gerekl terasyon sayısı sstemn boyutundan farklıdır, fakat her terasyonda daha fonksyonel değerlendrmeler gerekldr. Şeklde verlen sstem çn,baraya gren akım aşağıdak gb yazılablr. Şekl. de verlen sstemde. baraya gren akım aşağıdak gb yazılablr. n & I = Y& V& (.9) j= j j burada Y & = Y θ ve V& = V δ olup sırasıyla hattın admtansını ve j j j j j j j barasının gerlmn göstermektedr. Bu eştlğn çersne bara admtans matrs konularak yenden yazılırsa.bara çn aktf ve reaktf güç akışı eştlkler aşağıdak gb elde edleblr. P jq = V θ n j= Y j V j θ j + δ j (.) gerçek ve sanal kısımlar ayrılırsa

3 P Q = n j = V n j V Y j V cos ( θ δ Y j j j j V sn ( θ δ j + δ j ) + δ j ) (.) Yukarıdak (.) eştlkler Taylor sersne açılır ve yüksek mertebeden termler hmal edlrse aşağıdak lneer denklem takımı elde edlr. P (k) P (k) P (k) P (k) ( )...( ) ( )...( ) (k) δ δ n V Vn P M O M M O M M (k) Pn (k) Pn (k) Pn (k) Pn (k) P ( )...( ) ( )...( ) n δ δ n V Vn = (k) Q Q (k) Q (k) Q (k) Q M ( )...( ) ( )...( ) δ δ n V Vn (k) Q n M O M M O M Q n (k) Q n (k) Q n (k) Q n ( )...( ) ( )...( ) δ δ n V Vn (k) δ M (k) δ n (k) V M (k) V n Yukarıdak eştlkte numaralı bara salınım barası olarak farzedlr. Jacoben matrs aktf ve reaktf güçtek küçük değşmler le gerlmn açısı ve büyüklüğü arasındak değşmler verr. Jacoben matrsnn elemanları aktf ve reaktf güçlern (k) (k) δ (k) ve V (k) dek değşmlernn kısm türevlerdr. Kısaca aşağıdak gb yazılablr. P J δ J = (.3) Q J 3 J 4 V Gerlm kontrollu baralar çn gerlmn büyüklüğü blnmektedr. Böylece n baralı br sstemde gerlm kontrollu bara sayısı m se n- adet aktf güç ve n--m adet reaktf güç eştlğ yazılablr. Buna göre jacoben matrs (*n--m)* (*n--m) boyutundadır. J (n-)*(n-), J (n-)*(n--m), J 3 (n--m) *(n-) ve J 4 se (n--m) *(n--m) boyutludurlar. P ve Q termler hesaplanan değerler le (k) tahmn edlen değerler arasındak farktır. (k)

4 P = P P (.4) (k) (k) (tah mn) (tah mn) (k) Q = Q Q (.5) (k) Baralardak gerlmlern yen değerler de aşağıdak gb olur. δ (k+ ) (k+ ) (k) = δ δ (.6) V (k+ ) = V (k) + V (k) (.7).3.. Farklı salınım barası seçm Güç akışı çalışmalarında her analz çn dama çalışma şartları belrlenerek, br bara harç dğer bütün baralarda şebekeye gren aktf güç tarf edlmeldr. Ayrıca bu baraların her brnde ssteme akan reaktf güç veya gerlmn genlğ de tarf edlmeldr. Yan, her barada reaktf güç akışı veya gerlmn genlğnden hangsnn sabt tutulacağına karar verlr. Bazen generatörler çn reaktf güç tarf edlse ble, genel olarak yük baralarında reaktf güç ve generatör baralarında da gerlmn genlğ tarf edlmektedr. Pratkte çok yakın tahmn edleblse de, şebekedek bütün santrallern aktf üretmlern kesn olarak blmek mkansızdır. Bunun sebeb hat kayıplarının blnmemesdr. Bundan dolayı sstemdek baralardan brnde aktf güç blnmeyen seçlerek, bunu çözümün sonunda elde etmek gerekr. Bu yüzden üretm baralarından brnde aktf güç blnmeyen seçlr k bu baraya salınım barası denr. Salınım barası olarak üretm baralarından brnn seçlmes mecbur olmamakla beraber çözüm çn kolaylık sağlar [8, 6]. Bu bölümde güç akışı algortmasında seçlecek salınım baralarının farklı olması durumlarında Jacoban matrsnn sınırlarında ne tür değşmler olacağı formülüze edlmştr. 4.Bölümde bu konu le lgl 5 baralı br test sstemnde uygulamalar yapılmıştır. n baralı br güç sstemnde numaralı baranın salınım barası seçlmes durumunda aktf ve reaktf güçlere at denklem setnn matrsel formunun.8a da verlmş olduğunu farzedelm. Buna göre numaralı seçlen salınım barasının (n-) numaralı bara olması durumunda güçlere at denklem setnn matrsel fades.8b de

5 görüldüğü gb olacaktır. Bu k fadede sınırlardak değşklklere dkkat edlmes gerekmektedr [97]. P J = Q J 3 J δ J 4 V =,...,n ( ) (.8a) P J = Q J 3 J δ J 4 V =,...,n ( n ) (.8b).4. Sürekl Güç Akışı Geleneksel yük akışı le yapılan çalışmalarda yükleneblrlk sınırlarının bulunmasının bazı dezavantajları vardır. Bu nedenle çalışmada sürekl güç akışı metodu kullanılacaktır. Bu metod le doğru sonuçların bulunmasının yanısıra sstemn yük artımı esnasında öneml blglern elde edlmes gerçekleşr. Metod k adım teknğne (tahmn etme ve düzeltme) dayanır ve sstemn sınırları çok kolay br şeklde elde edlr. Bu metod özellkle büyük güç sstemlernde hesaplama zamanı açısından oldukça elverşldr. Yukarıdak blglerden yola çıkarak bu metod gerlm çökmes analzlernde öneml br rol oynar [8]. Bu metod br güç sstemnn br denge noktasından adım adım br çatallaşma noktasına doğru yönelmesn zler. Çatallaşma noktasına k adımla şu şeklde varılır. Temel yaklaşım sstem br denge noktasından dğer br noktaya taşıyan br sstem parametres (λ) seçlmes ve daha sonra tahmn br değer seçlerek bu değer çn güç akışı eştlklernn çözümünün yapılmasıdır. Daha sonra br tanjant vektörü yardımıyla gerçek çözüme ulaşılır. Buna göre önce çözüm tahmn edlmekte daha sonra da düzeltlerek gerçek çözüme ulaşılmaktadır. kullanılır. PV eğrs üzernde bu adımlar Şekl.3 de gösterlmştr.

6 Şekl.3 Sürekl güç akışı teknğnn gösterlmes Sstemn maksmum yükleneblrlk sınırından sonra Newton-Raphson metodu le çözüm yapılamayacak ve bu anda Jacoban matrs tekl olmaya başlayacaktır. Bu durumda güç akışı eştlkler çersnde blnmeyenler çn lave eştlkler yazılıp Newton-Raphson metodunun modfye edlmes suretyle P-V eğrsnn kararsız olduğu bölgelerdek değerlere ulaşılablr. Buna göre temel güç akışı eştlkler ve blnmeyen λ değer çn lave eştlk aşağıdak gb verlsn; λk-f(δ,v)= (.9) veya F(δ,V,λ)=F(x,λ)= (.) e k dδ dv = m dλ (.) burada x durum değşken vektörü x=[δ,v], K se P le Q arasındak yüklenme profl, e k seçlen parametreye bağlı olarak m dğer elemanları sıfır olan br satır vektörüdür. İşaret, parametrenn artması veya azalmasına bağlı olarak değşmektedr. Örneğn parametrenn (λ) şaret poztf se bu durumda yükün arttığı, eğer

7 parametrenn (V) şaret negatfse bu kez gerlmn aşağıya doğru azalmakta olduğu anlaşılır. (.) eştlğ lneerleştrlrse; F F F dδ + dv + = δ V λ (.) elde edlr. Blnmeyen değerlerlern tahmn edlmes çn aşağıdak denklem yazılablr. δ V λ tah mn δ dδ = + ϖ V dv λ dλ (.3) burada dδ : dv = J : K......:... dλ [e k ] : şeklndedr. Burada ϖ parametres br sonrak tahmn çn adım uzunluğudur. Bu durumda x k seçlen parametre olduğuna göre, dx k= durumuna göre her adımda düzeltlmek suretyle tah mn x x + ϖ (.4) x k = k tah mn x (.5) k k = yazılablr. Son olarak (.) numaralı denklem takımı çözülerek düzeltme adımı gerçekleştrlr ve tam çözüme ulaşılır []..4.. İk baralı bast br sstemde uygulanması Şekl.4 de verlen sstemde bu metodun uygulaması yapılmış ve PV eğrs çzdrlmştr.

8 Şekl.4 İk baralı bast br sstem Yukarıdak sstem çn güç akışı eştlkler aşağıdak gb yazılablr; -P-.995Vcos(δ-95.7 )-.995V cos(84.3 )= -.995Vsn(δ-95.7 )-.995V sn(84.3 )= ve Jacoban matrs;.995v sn( δ 95.7 ) J =.995V cos( δ 95.7 ).995V cos( δ 95.7.995V sn( δ 95.7 ).99 cos(84.3 )V şeklndedr ).99sn(84.3 )V Sstemn yüklenme vektörü λk= ve adım uzunluğu ϖ =. çn ek =[ ]; çatallaşma noktasına yaklaşılan bölgelerde ϖ =.5 çn e k =[ - ] alınmıştır. Bu ssteme at Tablo. de elde edlen değerler ve Şekl.5 de se P-V eğrs çzdrlmştr. Tablo. Örnek sstem çn parametrk değerler λ...3.4.474.445.45.455.457.4487.437.488.49 V.9847.957.93.868.89.759.79.6769.659.669.5769.559.569 Tablo. de görüldüğü gb örnek sstem çn maksmum yükleneblrlk noktası λ max =.455 ve bu nokta çn krtk gerlm değer V kr =.6769 p.u olarak bulunmuştur. Buna göre P-V eğrs aşağıdak gb çzdrlmştr.

9.9.8.7.6 * V[pu].5.4.3...5..5..5.3.35.4.45.5 landa Şekl.5 Örnek sstem çn P-V eğrs.5. Duyarlılık Analz Elektrk enerj sstemnde, reaktf güç kompanzasyon kaynaklarının yerlern belrlemek çn mühendslk deneym ve çeştl krterlere göre yapılan duyarlılık analzlerne dayalı yöntemler vardır. Br güç sstemnde yapılan reaktf güç kompanzasyonunun kararlılık üzerndek etksne lave olarak, sstem aktf güç kayıpları ve gerlm profller üzernde de etks vardır. Bu nedenle reaktf güç kompanzasyonu çn Savulescu, sürekl-hal kararlılığı, gerlm kontrolu ve aktf güç kaybı le lşkl üç sstem gösterges amaçlamıştır [83]. Duyarlılık lşklerne dayalı bu göstergeler bazı düzeltmeler le daha sonra, reaktf güç aygıtı yerleştrmek çn aday baraların sıralamalarının belrlenmesnde kullanılmıştır [74, 76]. Gerlme göre reaktf gücün değşmn veren Q / V term de sstemn kararlılığı hakkında blg verr. Q / V nn sıfırdan geçş, kararsızlığın başlangıcına şaret eder [84]. Bara güçler çn düğüm fark eştlğ matrs formunda, P P / δ = Q Q / δ P / V Q / V δ V (.6)

olarak fade edlr. Genel olarak,ayrık (decoupled ) yük akışı algortmasında, P / V = ve Q / δ = olduğu göz önüne alınır. Böylece, [ P] = [ P / δ ] [ δ] [ Q] = [ Q / V][ V] (.7) olur. Q ve V de k küçük değşmeler çn, köşegen elemanlar Q / V, süreklhal kararlılığı göstergelerdr. Eğer generatör baraları elmne edlrse [ Q ] = [ Q / V ][ V ] (.8) L L L olur. Burada, L nds yalnızca yük baralarının göz önüne alındığını gösterr. Köşegen elemanlar Q / V nn daha büyük değerne sahp olan baralar endüktf reaktf gücün daha fazla değşmesne karşı koyablr. Buradan hareketle, Q / V nn yük baraları çn olan Q L / V L köşegen elemanları küçükten büyüğe doğru sıralanırsa, sürekl-hal kararlılığı bakımından reaktf güç değşmesne en duyarlı bara sıralaması elde edlmş olur [74]. Kapastf reaktf güç yerleştrlecek aday bara sıralamasının elde edlmes çn yukarıda verlen yöntem ayrık(decoupled) yük akışı yöntemne dayanılarak elde edleblr. Jacoban matrsnn tanımını kullanarak V-Q duyarlılığı lşksnden de sürekl-hal gerlm kararlılığı açısından aday bara sıralaması çn br gösterge elde edlr. Gerlm kararlılığı ncelemelernde Q-V eğrlern tam olarak elde etme, sstemdek başka problemler nedenyle yük akışının ıraksaması yüzünden mümkün olmayablr. Ayrıca bu eğrler elde etmek oldukça zaman tüketc şlemlerdr. Bu yüzden gerlm kararlılığı ncelemelernde V-Q duyarlılığına dayalı yaklaşım kullanılablr. Br güç sstem çn Newton-Raphson yöntemnden, P J = Q J 3 J J 4 δ V (.9)