S IGELER D IZ IN I w N C c 0 l 1 c R C üzeinde tan l bütün dizile uzay Do¼gal say la cülesi Fa opeatöü Koples say la cülesi Koples teili s f dizilei uzay Koples teili s n l dizile uzay Koples teili ya nsa dizile uzay Reel say la cülesi v

1. G IR IŞ TEEL TANI VE KAVRALAR Tan 1.1. X6= ; bi cüle ve K oples say la n bi cisi olsun. E¼ge + : X X! X; : K X! X fonsiyonla aşa¼g dai özellilei sa¼gl yosa, X cülesine K cisi üzeinde bi linee (vetö) uzay ad veili.8; 2 K ve 8x; y; z 2 X için (L1) x+y = y+x; (L2) (x + y) + z = x + (y + z); (L3) x + = x olaca şeilde bi 2 X vad, (L4) He bi x 2 X için x + ( x) = olaca şeilde bi ( x) 2 X vad, (L5) 1:x = x; (L6) (x + y) = x + y; (L7) ( + )x = x + x; (L8) (x) = ()x: Tan 1.2. X6= ; X X üzeinde tan lan ş aşa¼g dai şatla sa¼glayan pozitif eel de¼geli d fonsiyonuna X cülesi üzeinde bi eti deni. 8x; y; z 2 X için, ( 1 ) x 6= y için d(x; y) > 0; ( 2 ) d(x; y) = 0 () x = y ( 1 ve 2 pozitif de¼gelili), ( 3 ) d(x; y) = d(y; x) (sieti özelli¼gi ), ( 4 ) d(x; y) d(x; z) + d(z; y) (üçgen eşitsizli¼gi ) Di¼ge bi ifade ile ( 1 ); ( 2 ); ( 3 ) ve ( 4 ) şatla n sa¼glayan d : X X! R + fonsiyonuna eti deni. Tan 1.3. Bi X cülesi üzeinde bi d eti¼gi veildi¼gi zaan (X; d) iilisine eti uzay deni. Tan 1.4. (X; d) bi eti uzay ve x = (x n ) X de bi dizi olsun. E¼ge he " > 0 için n > n 0 oldu¼gunda d(x n ; s) < " olaca şeilde bi n 0 2 N ve s 2 X vasa (x n ) dizisi X 0 de ya nsat deni ve x n! s veya li n!1 x n = s şelinde gösteili. Tan 1.5. X; K cisi üzeinde bi linee uzay olsun.; : X! R + dönüşüü 1

aşa¼g dai şatla sa¼gl yosa bu dönüşüe bi no, (X; ; ) iilisine de bi nolu uzay deni: 8x; y 2 X için (N1):x 0; (N2):x = 0 () x = 0; (N3):x = jj x ( sale ), (N4):x + y x + y : (N3) Şat x =jj p : x ( 2 K) şelinde olusa bu tadide X e bi p nolu uzay deni. Tan 1.6. E¼ge (N2) şat sadece x = 0 =) x = 0 şat sa¼glan yosa, X e K cisi üzeinde bi ya nolu uzay deni. Tan 1.7. Bi (X; ; ) nolu uzay nda he Cauchy dizisi bu uzay n bi notas na ya ns yosa bu nolu uzaya Banach uzay deni. Tan 1.8. (X; ; ) bi nolu uzay olsun X bi Banach uzay ve : X! C (x) = x = (1; 2; 3; :::) dönüşüü süeli ise X 0 e bi BK uzay deni. Tan 1.9. Bi X vetö uzay n n bi Y alt cülesi veilsin. E¼ge y 1 ; y 2 2 Y oldu¼gunda = fy 2 Y : y = y 1 + (1 )y 2 ; 0 < 1g Y oluyosa Y alt üesi onvesti deni. Tan 1.10. Bi Olicz fonsiyonu süeli, azalayan, onves (0) = 0; x > 0 için (x) > 0 ve x! 1 ien (x)! 1 şatla n sa¼glayan [0; 1)! [0; 1) şelinde tan l fonsiyondu. Tan 1.11. Bi Olicz fonsiyonu, e¼ge (2t) K(t) (t 0) olaca şeilde sabit bi K > 0 say s vasa, t nin tü de¼gelei için 2 şat n sa¼glayan bi fonsiyondu. Tan 1.12. X linee topoloji uzay, g : X! R bi fonsiyon olsun. E¼ge g aşa¼g dai şatla sa¼gl yosa g 0 ye bi paano, (X; g) iilisine de bi paanolu uzay deni: (P 1 ) g() = 0; (P 2 ) g(x) = g( x); 2

(P 3 ) g(x + y) g(x) + g(y); (P 4 )! 0 ; x! x 0! x! 0 x 0: Bu çal şa boyunca aşa¼g dai eşitsizli s s ullan lacat. p = (p ); 0 < inf p = h p sup p = H < 1 olaca şeilde eel say la n bi pozitif dizisi ve K = ax(1; 2 H 1 ) olsun. Bu tatide 8 2 N için a ; b 2 C ola üzee, eşitsizli¼gi sa¼glan. ja + b j p K(ja j p + jb j p ) 3

1.2.FARK D IZ I UZAYLARI Fa dizi uzayla il ez 1981 y l nda K zaz, taaf ndan tan lan ş ve çeşitli topoloji özellilei incelenişti. Bu bölüde bu uzaylaa de¼ginece¼giz. l 1, c ve c 0 s as yla s n l dizile uzay,ya nsa dizile uzay ve s f a ya nsa dizile uzay ola üzee x = (x ) dizisinin bu uzayladai nou x 1 = sup jx j, 2 N ile Banach uzayla d. K zaz 1981 y l nda x = (x x +1 ) ola üzee l 1 () = fx = (x ) : x 2 l 1 g ; c() = fx = (x ) : x 2 cg ve c 0 () = fx = (x ) : x 2 c 0 g dizi uzayla n tan la şt. Şidi de bu fa dizi uzayla n n baz öneli teoeleini ispatla ile veeli. Teoe1.2.1. c 0 (); c() ve l 1 () fa dizi uzayla, oples say la cisi üzeinde bie linee uzayd. Ispat: X = l 1 için ispat yapal. x; y 2 l 1 () ve ; 2 C olsun. Bu tatide (x + y ) = (x + y ) (x +1 + y +1 ) = (x x +1 ) + (y y +1 ) = (x ) + (y ) oldu¼gundan (x + y ) 2 l 1 () elde edili. Dolay s yla l 1 () linee uzayd. Di¼gelei de benze şeilde ispatlanabili. Teoe1.2.2. c 0 (); c(); l 1 () fa dizi uzayla x = jx 1 j + x 1 nou ile bie nolu uzaylad. Ispat: Bu noun no özellileini aaşt al : (N1) x = jx 1 j + x 1 oldu¼gundan jx 1 j 0 ve x 1 0 oldu¼gundan toplala da s f dan büyütü. Dolay s yla x > 0 d. (N2) x = 0, x = 0 oldu¼gunu gösteeli. jx 1 j + x 1 = 0 oldu¼gundan jx 1 j = 0 ve x 1 = 0 olal d. jx 1 j = 0 ) x 1 = 0 d. x 1 = sup x ve x = (x x +1 ) oldu¼gundan x 1 x 2 = 0 oldu¼gundan x 2 = 0 d.x 2 x 3 = 0 oldu¼gundan x 3 = 0 d. Buna böyle deva edilise x 4 x +1 = x = 0: Böylece

istenen sa¼glan. (N3 ) jx 1 j + x 1 = jj jx 1 j + jj x 1 oldu¼gundan jj ( jx 1 j + x 1 ) = jj x : O halde x = jj x elde edili. (N4) jx 1 + y 1 j jx 1 j + jy 1 j (x + y 1 x 1 + y 1 oldu¼gundan jx 1 + y 1 j + (x + y 1 jx 1 j + x 1 + jy 1 j + y 1 oldu¼gundan x + y x +y elde edili. Bu da istenen üçgen eşitsizli¼gi özelli¼gidi. Teoe 1.2.3. l 1 (); c(); c 0 () dizi uzayla Teoe1.2.2 dei no ile bilite bie Banach uzay d la. Ispat: (x n ); l 1 () da bi Cauchy dizisi olsun. x n = (x n 1; x n 2; :::) 2 l 1 () ola üzee 8n 2 N için x n x = jx n 1 x 1 j + x n x 1! 0 (n;! 1)...(*) yaz l. Böylece 8 2 N için jx n 1 x 1 j! 0, n;! 1 elde edili. Buadan x n = (x1 ; x2 ; :::) dizisinin oples say lada Cauchy dizisi oldu¼gu göülü. C ta oldu¼gundan bu dizi bi x notas na ya nsa. O halde li n x n = x ; (8 2 N) yazal. O halde (*) den dolay 8" > 0; 9N = N(") vad, böylece bütün n; N ve 8 2 N için jx n 1 x 1 j < "; x n +1 x +1 (x n x ) < " ve li jx n 1 x 1 j = jx n 1 x 1 j " li x n +1 x +1 (x n x ) = x n +1 x +1 (x n x ) " sup x n +1 x +1 (x n x ) " 5

yazabiliiz.sonuç olaa he n N için x n x 2" elde edeiz. Böylece x n! x (n! 1) olaca şeilde bi l 1 () dizi uzay nda x = (x ) dizisi vad. Şidi x 2 l 1 () oldu¼gunu gösteeli. jx j = jx x +1 j = x x N + x N x N +1 + x N +1 x +1 x N x N +1 + x N x = O(1) olu i bu da x = (x ) 2 l 1 () oldu¼gunu göstei. Lea: sup jxj < 1 olas (i) sup 1 jx j < 1, (ii) sup jx ( + 1) 1 x +1 j < 1 olas n geetii. Ispat: sup jxj < 1, yani sup jx x +1 j < 1 olsun. ve P jx 1 x +1 j = (x v x v+1 ) P jx v v=1 v=1 x v+1 j = O(); oldu¼gundan bu göstei i, jx j jx 1 j + jx 1 x +1 j + jx x +1 j olup (i) sa¼glan. sup 1 jx j < 1; x ( + 1) 1 x +1 = ( + 1) 1 (x x +1 ) + ( + 1) 1 x = O(1): ifadesinden (ii) elde edili.şidi de (i) ve (ii) nin sa¼gland ¼g n gösteeli. x ( + 1) 1 x +1 ( + 1) 1 jx x +1 j ( + 1) 1 jx j : sup jxj < 1 oldu¼gunu göstei. 6

2. GENELLEŞT IR IL IŞ FARK D IZ I UZAYLARI Genelleştiiliş fa dizi uzayla biço aaşt ac taaf ndan çal ş l şt. Bu aaşt alaa Et ve Çola (1990), Et ve Esi (2000), Esi ve Tipathy (2007), Esi ve Tipathy (2008), Esi (2009) öne olaa veilebili. Şidi de fa dizi uzayla n n genelleştielei olan genelleştiiliş fa dizi uzayla na baal. x = (x x +1 ) ve v = (v ) oples say la n s f dan fal bi dizisi ola üzee ( v x ) = (v x v +1 x +1 ) ve X hehangi bi dizi uzay ola üzee v (x) = fx = (x ) : v x 2 Xg dizi uzay n n baz topoloji özellilei 1989 y l nda Çola taaf ndan incelendi. Daha sona Et ve Çola (1990) 2 N; 0 x = (x ); x = (x x +1 ) ve ola üzee x = P i=0( 1) i i x +i x = ( x ) = ( 1 x 1 x +1 ) l 1 ( ) = fx = (x ) : x 2 l 1 g ; ve c( ) = fx = (x ) : x 2 cg c o ( ) = fx = (x ) : x 2 c o g dizi uzayla n tan lad la ve bu uzayla n 7

P x = jx i j + x 1 i=1 nou ile bi Banach uzay oldu¼gunu göstedile. Daha sona v = (v ) s f dan fal bi oples teili hehangi bi dizi ola üzee yua dai dizi uzayla Et ve Esi (2000) taaf ndan v (l 1 ) = fx = (x ) : v x 2 l 1 g ; ve v (c) = fx = (x ) : v x 2 cg ; v (c o ) = fx = (x ) : v x 2 c o g dizi uzayla na genelleştiildi. Buada 2 N; ve 0 vx = (v x ); v x = ( 1 v x 1 v x +1 ) v x = (v x v +1 x +1 ) P v x = ( 1) i v+i x i +i i=0 şelinde tan l d. Şidi bu dizi uzayla n n sa¼glad ¼g baz özellilee baal. Aşa¼g da veece¼giiz teoelede Z ile l 1 ; c ve c o dan biini tesil edeceti. Teoe 2.1. Z bi vetö uzay ise v (Z) de bi vetö uzay d. Ispat: x; y 2 v (Z) ve bi sale olsun. Koples veya eel teili tü dizilein uzay w bi vetö uzay ve v (Z) w oldu¼gundan x; y 2 v (Z) ve 2 K için x + y 2 v (Z) ve x 2 v (Z) oldu¼gunu göstee yetelidi. x; y 2 v (Z) olsun. Bu tadide v x ; v y 2 Z di. Z bi linee uzay oldu¼gundan v x + v y 2 Z di. linee opeatö oldu¼gundan v x + v y = v (x +y ) 2 Z x + y 2 v (Z) elde edili. x 2 v (Z) ise v x 2 Z di. Z line uzay oldu¼gundan v x 2 Z olup x 2 Z 8

ve x 2 v (Z) di. Teoe 2.2. Z; : ile nolu uzay ise v (Z) de x v P = jx i v i j + v (x) i=1 nou ile nolu uzaylad. Ispat: N 1 ) oldu¼gu aşiad. x v P = jx i v i j + v (x) > 0 i=1 P N 2 ) x v = 0 =) jx i v i j + v (x) = 0 i=1 olsun. Bu tadide x 1 = x 2 = ::: = x = 0 ve 8 2 N için x v x +1 v +1 + :::( 1) x + v + = 0 0 1 = 1 için x 1 v 1 x 2 v 2 + ::: + ( 0 1 1) x +1 v +1 = 0 x+1 v +1 = 0 d. Buadan he 2 N için v 6= 0 oldu¼gundan x +1 = 0 elde edili. Böyle deva edilise he 2 N için x = 0 olu i buadan x = d. Tesine x = =) x v = 0 d. N 3 ) = jj x v P = jx i v i j + v x i=1! P P jx i v i j + 1) j=0( j x +j v +j j i=0 = jj v x N 4 ) x + y v P = jx i v i + y i v i j + v (x + y) i=1 9

P 6 P jx i v i j + v (x) + jy i v i j + v y i=1 i=1 6 x v + y v : Teoe 2.3. (Z; ; ) bi Banach uzay olsun. Bu tadide v (Z) de P x v = jx i v i j + v (x) de nou ile bi Banach uzay d. i=1 Ispat: x s = (x s 1; x s 2:::) 2 v (Z) ola üzee (x s ); v (Z) de bi Cauchy dizisi olsun. Buada s; t! 1 için x s x t v! 0 d. O halde x s x t P v = x s i i=1 x t i + v (x s ) v (x t )! 0 (s; t! 1) olu. Böylece (x 1 i ; x 2 i ; :::); (i 6 ) ve ( v (x 1 ); v (x 2 ); :::) s as yla C ve Z de Cauchy dizisidi. C ve Z ta oldula ndan bu dizi C ve Z de ya nsat. C de x s i! x i ; (i 6 ) ve Z de v (x s )! (y ); (s; t! 1) olsun. x = v 1 = v 1 P i=1 i 1 ( 1) 1 P + i 1 ( 1) 1 i=1 ola üzee y = v x diyeli. Buada y 1 = y 2 = ::: = y o = 0 olaa al n şt. E¼ge x 2 D v (Z) ise yetei ada büyü 0 la için öne¼gin > 2 için, sa¼glanaca şeilde bi te y = y 2 Z vad. Buada D v (Z) = fx = (x ) : x 2 v (Z); x 1 = x 2 = ::: = x = 0g d. Di¼ge taaftan x 2 v (Z) ise x 0 = (x 0 ) 2 D v (Z) ola üzee y i y i x = x x 0 ise > ise yaz labili. O halde v (x s ) = ( v (x 1 ); v (x 2 ); :::) 10

dizisi Z de v (x) e ya nsa. Buadan s! 1 için x s x v! 0 Böylece v (Z) Banach uzay olu. P Teoe 2.4. (Z; :) nolu bi BK uzay ise v (Z) de x v = jx i v i j + v (x) nou ile ile bi BK uzay d. Ispat: Z Banach uzay ise v (Z) de bi öncei teoeden dolay bi Banach uzay d. Şidi 8 2 N ve n! 1 için x n x v! 0 olsun. Bu tadide için jx n x j! 0; (n! 1) 8 2 N için v (x n x )! 0; (n! 1) buadan 8 2 N için jx n x j! 0; elde edili. Bu nedenle v (Z) bi BK uzay d. i=1 Teoe 2.4. X Y ise v (X) v (Y ) di. E¼ge X Y esin ise v (X) v (Y ) de esindi. Ispat: x 2 v (X) olsun. Bu tatide v (x ) 2 Y di.bu apsaan n esin oldu¼gunu göstee için X = c; Y = l 1 olsun ve x = (1; 0; 1; 0; :::); v = (1; 1; 1; :::) seçeli. Böylece v (x ) = ( 1) +1 2 1 x 2 v (l 1 ) v (c) 0 di: 11

3. ORLICZ FONKS IYONU YARDIIYLA TANILANIŞ SE I- NORLU GENELLEŞT IR IL IŞ FARK D IZ I UZAYLARI Bu s da yüse lisans çal şa z n ojinal s olan ve öncei bölüde vedi¼giiz fa dizi uzayla n daha genel duuda veen yeni genelleştiiliş fa dizi uzayla n tan layaca¼g z. Bi p = (p ) dizisi pozitif eel say la n esin s n l bi dizisi ve s > 0 bi eel say olsun. X de C oples say la cisi üzeinde ya nouyla veiliş bi ya nolu uzay olsun. w(x), X üzeinde tan lan ş bütün dizilein uzay olsun. v = (v ) oples say la n s f dan fal hehangi bi sabit dizisi olsun. Olicz fonsiyonu ola üzee aşa¼g dai yeni dizi uzayla n tan layal : 8 < x = (x c [ ) 2 w(x) : li h s v ; ; p; ; s] = : = 0; l 2 X; ve 9 > 0 i ( p v x l) 9 = ; ; 8 < x = (x c o [ ) 2 w(x) : li h s v ; ; p; ; s] = : = 0; 9 > 0 i ( p v x ) 9 = ; ve 8 < x = (x l 1 [ ) 2 w(x) : sup h s v ; ; p; ; s] = : < 1 ve 9 > 0 i ( p v x ) 9 = ; : Baz iyi bilinen uzayla ; v; ; p; ve s nin özelleştiilesiyle aşa¼g dai şeilde elde edilebili. a) E¼ge (x) = x; = 1; v = (v ) = (1; 1; :::); (x) = jxj, ve he 2 N için p = 1 s = 0 ise K zaz, (1989) taaf ndan tan lanan ve çal ş lan c(); c o (); l 1 () uzayla elde edili. b) E¼ge (x) = x; = 0; v = (v ) = (1; 1; :::); (x) = jxj ve s = 0 ise addox (1970) taaf ndan tan lanan ve çal ş lan c(p); c o (p); l 1 (p) uzayla elde edili. c) E¼ge (x) = x; (x) = jxj ; s = 0 ve p = 1 8 2 N ise Et ve Esi, (2000) 12

taaf ndan tan lanan c( v ); c o ( v ); l 1 ( v ) uzayla elde edili. d) E¼ge (x) = x; = s = 0; v = (v ) = (1; 1; :::); (x) = jxj ve he 2 N için p = 1 için ise c; c o ; l 1 lasi dizi uzayla elde edili. Teel Sonuçla Aşa¼g dai teoelei ispatlayal : Teoe 3.1. p = (p ) pozitif eel say la n s n l bi dizisi olsun. c [ v ; ; p; ; s] ; c o [ v ; ; p; ; s] ve l 1 [ v ; ; p; ; s], C üzeinde linee uzaylad. Ispat: Ispat sadece c o [ v ; ; p; ; s] için veeli di¼gelei de benze şeilde ispatlanabili. x; y 2 c o [ v ; ; p; ; s] olsun, ; 2 C ola üzee ve s s ( p v x )! 0 (! 1) 1 ( p v y )! 0 (! 1) 2 olaca şeilde 1 ; 2 pozitif say la vad. Şidi 3 = ax(2 jj 1 ; 2 jj 2 ): azalayan onves fonsiyon ve ya no oldu¼gundan s v (x + y ) 3 p s K s! 0 (! 1) v (x ) p + v (y ) 3 3 p ( v x ) + K s elde edili. Dolay s yla (x + y ) 2 c o [ v ; ; p; ; s] elde edeiz. O halde c o [ v ; ; p; ; s] lineedi. Teoe 3.2. c [ v ; ; p; ; s] ; c o [ v ; ; p; ; s] ve l 1 [ v ; ; p; ; s] dizi uzayla ( h(x) = inf pn=h > 0 : sup s v x ) 1 1; s > 0; 9 > 0; n 2 N p ( v y ) 2 ile paanolu uzayla olup, buada H = ax(1; sup p < 1) d. Ispat: Ispat sadece c o [ v ; ; p; ; s] için veeli. Di¼geleinin ispat da ayn yolla yap l. He x 2 c o [ v ; ; p; ; s] için h(x) = h( x; y 2 c o [ v ; ; p; ; s] olsun. Dolay s yla 13 x) ve h() = 0 oldu¼gu aç t.

ve sup s sup s v x 1 1 v y 1 olaca şeilde 1 ve 2 say la n bulabiliiz. = 1 + 2 olsun sup s 2 sup s 1 v x 1 + 2 v (x + y ) 1 + 2 1 + 2 v y 2 1 sup s 1 + 2 1: v x + 2 sup s 1 + 2 1 v y 2 elde edili. O halde h(x + y) = inf pn=h : sup s v (x + y ) 1; > 0; n 2 N inf pn=h 1 : sup s v (x ) 1; s > 0; 1 > 0; n 2 N 1 + inf pn=h 2 : sup s v (y ) 1; s 0; 2 > 0; n 2 N 2 = h(x) + h(y) oldu¼gu göülü. Sale çap n süelili¼gi için 6= 0 hehangi bi oples say olsun. h (x) = inf pn=h : sup s v x 14 1; s 0; > 0; n 2 N

= inf (t jj) pn=h : sup s v x Buada t = jj di. jj pn ax(1; jj H ) olas n ullanaa jj pn=h (ax(1; jj H )) 1=H elde edili. Dolay s yla t 1; s 0; t > 0; n 2 N h(x) (ax(1; jj H ) 1=H : inf t pn=h : sup s v x t 1; s 0; t > 0; n 2 N = (ax(1; jj H )) 1=H :h(x) elde edili. Bundan dolay h(x) s f a ya nsad ¼g zaan h(x) de s f a ya nsa. O halde c o [ v ; ; p; ; s] uzay paanolu uzayd. Teoe 3.3. (X; ) ya nolu ta uzay olsun. Teoe 3.2 de tan lanan h paanouyla c [ v ; ; p; ; s] ; c o [ v ; ; p; ; s] ve l 1 [ v ; ; p; ; s] uzayla ta uzaylad. Ispat: Ispat c 0 [ v ; ; p; ; s] için yapal. Di¼geleinin ispat da benze şeilde yap labili. (x i ); c 0 [ v ; ; p; ; s] da bi Cauchy dizisi olsun. x 0 > 0 sabit ve veilen bi 0 < " < 1 için " tx 0 h(x i x j )! 0 i; j! 1 Bu tatide > 0 ve x 0 t 1 olaca şeilde bi t > 0 say s n seçeli h(x i x j ) < " x 0 t ; i; j n 0 olaca şeilde bi n 0 tasay s vad. O halde h n n tan ndan ve inf ( pn=h : sup s " sup s "!# ) v (x i x j ) 1; s 0; > 0; n 2 N < " x 0 t!# v (x i x j ) 1; 8 i; j n h(x i x j 0 ) 15

elde edeiz. Buadan "!# v (x i x j ) 1; 8 i; j n h(x i x j 0 ) bulunu. t > 0 için ( tx 0 ) 1 ile şunu elde edeiz: 2 Olicz fonsiyonu süeli oldu¼gundan "!# v (x i x j ) ( tx 0 h(x i x j ) 2 ) v x i v x j < tx 0 2 : " tx 0 = " 2 : elde edili. Bu ise ( v x i ) dizisinin (X; ) da bi Cauchy dizisi oldu¼gunu göstei. (X; ) nun tal ¼g ndan bu dizi X de ya nsat. Fazedeli i he 2 N ve i! 1 için v x i! x olsun. Bundan dolay he " (0 < " < 1) için n 0 gibi pozitif tasay vad öyle i 8i; j N 0 için v x i v x j < " olu. nin süelili¼gini ullanaa sup s v x i li j!1 v x j!! 1 elde edeiz. Böylece sup s v x i v x j olu. lein in uunu al p 8i n 0 ve j! 1 olusa!! 1 h(x i x) = inf pn=h : sup s v x i x 1; s 0; > 0; n 2 N < " olu. Böylece x i! x di. Şidi (x i ) 2 c 0 [ v ; ; p; ; s] ve (x ) = (x x i ) + (xi ) oldu¼gundan uzay n lineeli¼gini ullanaa (x ) 2 c 0 [ v ; ; p; ; s] elde edeiz. Teoe 3.4 Z; l 1 ; c veya c 0 uzayla ndan hehangi bii ola üzee, 1 ve 2 ; ii Olicz fonsiyonu olsun. Aşa¼g dai apsaala sa¼glan. (a) Z [ v ; 1 ; p; ; s] Z [ v ; 2 o 1 ; p; ; s] (b) Z [ v ; 1 ; p; ; s] \ Z [ v ; 2 ; p; ; s] Z [ v ; 1 + 2 ; p; ; s]. 16

Ispat: (a) Ispat sadece Z = c o için yapal di¼gelei benze şeilde yap labili. x = (x ) 2 c o [ v ; 1 ; p; ; s] olsun. 0 < " < 1 ve > 0 say s veilsin. b = ax 1; sup h 2 A = 1 ( s ) 1=p i p ola üzee, 2 N : s 1 v x p < " b olaca şeilde N nin bi A alt cülesini seçeli. al n sa y p y = ( s ) 1=p 1 v x < " < 1 oldu¼gundan y b < 1 di. Böylece 2 nin onvesli¼gini ullanaa ( 2 o 1 ) v x y = 2 ( s ) 1=p Dolay s yla y 2 1 ( s ) 1=p s [ 2 (y )] p s 2 y ( s ) 1=p p s by p byp < " elde edili. O halde ( 2 o 1 )( ( v x ) < " olu. Buadan x = (x ) 2 c o [ v ; 2 o 1 ; p; ; s] elde edili. (b) Istenen apsaa aşa¼g dai eşitsizliten olayca elde edili. ( s 1 + 2 ) p v x K s 1 v x p + K s 2 17 p v x :

Teoe 3.5. bi Olicz fonsiyonu olsun, c o [ v ; ; p; ; s] c [ v ; ; p; ; s] l 1 [ v ; ; p; ; s] di ve bu apsaala esindi. Ispat: Il apsa aç t. Iinci apsaay ispatlayaca¼g z. x = (x ) 2 c [ v ; ; p; ; s] olsun. azalayan onves bi fonsiyon ve bi ya no oldu¼gundan ( s p v x ) ( K s v x l p + K s p l yazabiliiz. bi ya no oldu¼gundan bi K l tasay s vad öyle i (l) K l di. Böylece ( s p v x ) ( K s v x l p + K s Kl p : elde edili. Teoedei apsaa esinli¼gini göstee için aşa¼g dai öne¼gi veeli. Öne 3.1. Z = C; x = (x ) 2 l 1 [ v ; ; p; ; s] ; (x) = x; (x) = jxj ; s = 0; v = (v ) = (1; 1; :::) ve he 2 N için p = 1 olsun. x = ( ) 2 l 1 [ v ; ; p; ; s] faat v = ( 1)! oldu¼gundan x = ( ) =2 c o [ v ; ; p; ; s] di. Bu s tlaala alt nda x = ( 1) dizisini düşünüse x 2 l 1 [ v ; ; p; ; s] faat x =2 c [ v ; ; p; ; s] di. Teoe 3.6. Z; l 1 ; c veye c 0 uzayla ndan hehangi bii ola üzee, Z [ v 1 ; ; p; ; s] Z [ v ; ; p; ; s] ve ay ca genel olaa i = 1; 2; :::; Z [ v ; ; p; ; s] di. Bu apsaa ba¼g nt la esindi. 1 için Z [ i v; ; p; ; s] Ispat: Ispat Z = l 1 için veeli. Di¼gelei de benze yolla ispatlanabili. x = (x ) 2 l 1 [ v ; ; p; ; s] olsun. O halde sup s ( p v x ) < 1: azalayan onves bi fonsiyon, ya no ve v linee oldu¼gundan ( s p v x ) ( = s 1 v x 1 p v x +1 ) < 1: 18

K s ( ( v 1 x ) p + K s ( ( 1 v x +1 Böylece Z [ 1 v ; ; p; ; s] Z [ v ; ; p; ; s] di. Bu şeilde deva edese i = 1; 2; :::; 1 için l 1 [ i v; ; p; ; s] l 1 [ v ; ; p; ; s] elde edeiz. Şidi bu apsaala n esin oldu¼gunu önele gösteeli. Öne 3.2. Z = C; (x) = x; (x) = x; s = 0; 8 2 N için ve v = 1 olsun. x = ( ) dizisini düşüneli, öne¼gin X = c veya l 1 için, Z [ v ; ; p; ; s] e ait olsun aa Z [ 1 v ; ; p; ; s] e ait olas n. Yua dai saltala alt nda x = (x ) = ( 1 ) dizisini düşüneli. O halde x = 0 ve 1 = ( 1) 1 ( 1)! oldu¼gundan x = ( 1 ) 2 c o [ v ; ; p; ; s] faat x = (x ) = ( 1 ) =2 c o [ v 1 ; ; p; ; s] d. Teoe 3.7.Z; l 1 ; c veya c 0 uzayla ndan hehangi bii ve bi Olicz fonsiyonu olsun. O halde (a) 1 ve 2 ii ya nou için, e¼ge 1 ya nou 2 ya noundan uvvetli ise Z [ v ; ; p; 1 ; s] Z [ v ; ; p; 2 ; s] di. (b) 1 inf p p 1 olsun. O halde Z [ v ; ; p; ; s] Z [ v ; ; ; s] ; (c) 1 p sup p 1 olsun. O halde Z [ v ; ; ; s] Z [ v ; ; p; ; s] ; (d) s 1 s 2 olsun. O halde Z = c o ; c; l 1 için Z [ v ; ; p; ; s 1 ] Z [ v ; ; p; ; s 2 ] di. Ispat: Teoein ispat ouyucu taaf ndan olayl la yap labili. p 19

KAYNAKLAR Çola, R. 1989. On soe genealized seuences spaces, Coun Fac. Sci., Univ. An. Seies A 1, V. 38, 35-46 Çola, R. 1989. On invaiant seuence spaces, Eciyes Univ.Jounal of Sci., 5,1-2 81-88 Esi, A. 2009. Stongly genealized di eence V ; ; p suable seuence spaces de n ed by a seuence of oduli, Nihonai atheatical Jounal Vol:20 99-108. Esi, A. and Tipathy, B.C. 2008 On Soe Genealized new type di eence seuence spaced de ned by a odulus function in a seinoed space, Fasciuli atheatici, Fasc. ath., 40, 15-24 Esi, A. and Tipathy, B.C. 2007 Stongly Alost Convegent Genealized Di eence Seuences Associated with ultiplie Seuences. ath. Slovaca, 57, 339-348. Et,. ve Çola, R. 1995. On soe genealized di eence spaces, Soochow Jounal of atheatics, Vol 21(4) 377-386 Et,. and Esi, A. On Kothe Teoplitz Duals of genealized di eence seuences spaces 2000 Bull. alaysian ath Sci. Soc.(Second Seies) 23, 1-8 K zaz, H.1981 On cetain seuence spaces, Canad. ath. Bull. Vol 24(2) Lindenstauss, J. and Tzafii, L.1967 On seuences spaces, Isael J. ath., 18, 2, 345-355. addox. I.J. Eleents of Functional Analysis. Cabidge Univesity Pees (1970). 20