MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÜKSEK LİSANS TEZİ Ümit CİĞER TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 20

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER Ümit CİĞER ÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez / /. Tarihinde aşağıdaki jüri üyeleri taraından oybirliği /oyçokluğu ile kabul edilmiştir......... Doç. Dr. Fikret KUUCU Doç. Dr. Ali ÖZKURT rd. Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT DANIŞMAN ÜE ÜE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Pro. Dr. İlhami EĞİNGİL Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve otoğraların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

ÖZ ÜKSEK LİSANS TEZİ TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER Ümit CİĞER ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman : Doç. Dr. Fikret KUUCU ıl : 20, Saya: 49 Jüri : Doç. Dr. Fikret KUUCU Doç. Dr. Ali ÖZKURT rd. Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT Bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve bir topolojik uzayın iki genişlemesi ne zaman denk olur konuları daima araştırmaya değerdir. Bir topolojik uzayda bir Ι ideali, Ι nın elemanlarının tümleyenlerinden oluşan bir iltre olmasıdır. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal topolojik uzay denir. Birçok topoloji problemi araştırmalarda kullanılmıştır ve hala kullanılmaktadır. Bu çalışmanın amaı, idealler kullanılarak bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve iki genişlemenin denk olması durumu ineleneektir. Anahtar Kelimeler: Topoloji, genişleme ve idealler. I

ABSTRACT MS THESIS TOPOLOGICAL ETENSİONS AND İDEALS Ümit CİĞER ÇUKUROVA UNIVERSIT INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS Supervisor :Asso. Pro. Dr. Fikret KUUCU ear: 20, Pages: 49 Jury :Asso. Pro. Dr. Fikret KUUCU :Asso. Pro. Dr. Ali ÖZKURT :Asst. Pro. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT It is always worth researhing the topis whih are the relationships between the extensions o a topologial spae and the time when two extensions o a topologial spae are equal. An Ι ideal in a topologial spae is a ilter that is made up o the omplementary omponents o Ι. A topologial spae with its ideal on it is alled an topologial spae. A great deal o topology problems have been and are stil used or researh. The aim o this researh is to investigate the relationships between the extensions o a topologial spae and the state o two extensions being equal by using ideals. Key Words: Topology, extensions and ideals. II

TEŞEKKÜR Bu çalışmanın her aşamasında hiçbir zaman yardımlarını ve anlayışını eksik etmeyen, akademik başarısı ve kişiliğiyle örnek alınaak çok değerli danışmanım Doç. Dr. Fikret KUUCU ya en derin saygılarımla teşekkürlerimi sunarım. Ayrıa bu çalışmanın oluşmasında katkısı bulunan değerli arkadaşım Caner COŞKUNTUNCEL e ve Araştırma Görevlisi Ayşe ÇALAK a teşekkür ederim. İhtiyaç duyduğum her an yardımlarını ve anlayışını hiçbir şekilde eksik etmeyen değerli hoam Doç. Dr. Ali ÖZKURT a teşekkür ederim. Maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan haklarını hiçbir zaman ödeyemeyeeğim çok değerli babam Hüseyin CİĞER, annem Menekşe CİĞER ve kız arkadaşım Asuman ALAPRAK a çok teşekkür ederim. III

İÇİNDEKİLER SAFA ÖZ.............................................................. I ABSTRACT...................................................... II TEŞEKKÜR...................................................... III İÇİNDEKİLER.................................................... IV. GİRİŞ.......................................................... 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ........................ 3 2. Temel Bilgiler................................................ 3 2.2 Kompakt Genişlemeler........................................ 3 2.3 Tek Nokta Kompaktlamaları..................................... 22 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ........................... 3 3. Kuvvet Sistemleri............................................ 3 3.2 İdeal Genişlemeler........................................... 37 KANAKLAR.................................................... 47 ÖZGEÇMİŞ....................................................... 49 IV

V

.GİRİŞ Ümit CİĞER. GİRİŞ Bir uzayının bir genişlemesi i yoğun bir alt uzay olarak içeren bir uzaydır. Kompaktlamalar, reelkompaktlamalar, H-kapalı genişlemeler gibi çeşitleri bulunan genişlemeler genel topolojinin temel çalışma alanlarından biridir. Bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve bir topolojik uzayın iki genişlemesi ne zaman denk olur konuları daima araştırmaya değerdir. Bir topolojik uzayda bir I ideali, I nın elemanlarının tümleyenlerinden oluşan ailenin iltre olmasıdır. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal topolojik uzay denir. Birçok topoloji problemi araştırmalarda kullanılmıştır ve kullanılmaktadır. Bu çalışmanın amaı, idealler kullanarak bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve iki genişlemenin denk olması durumu ineleneektir. Ayrıa ideal genişlemeleri üzerinde durulaaktır. Bunun için 2. Bölümde bir topolojik uzayın genişlemeleri, genişlemelerinin kümesi, bu küme üzerindeki sıralama ve bu sıralamanın özelliklerinden bahsedilmiştir. 3. Bölümde ise bir genişlemenin kuvveti, ideal genişlemeler ve özellikleri, idealleri kullanarak bazı koşullarda iki genişlemenin eşdeğer olmasını veren teoremlerle ele alınmıştır.

.GİRİŞ Ümit CİĞER 2

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER 2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Bu bölümde amaımız bir uzayının genişlemelerini, özel genişlemelerini ve özelliklerini tanıtmaktır. Bir uzayını yoğun bir alt uzay olarak içeren bir uzayına in bir genişlemesi denir. Genişlemelerin çalışılmasının sebebi, ile ilgili olan bir problemi, in genişlemesi olan bir uzayına aktararak problemi çözülebilir veya çözümü daha kolay hale getirebilmektir. Böyle uzayına den daha güzel uzay denir. Bu yüzden genişleme teorisinin önemli amaçlarından biri sabit bir uzayının güzel genişlemelerini inşa etmektir. Bunlardan bazıları bir Tyhono uzayının bütün kompakt genişlemeleri, bir sıır boyutlu uzayın sıır boyutlu genişlemeleridir. Örneğin; = [ 0,] ve ( 0,), in bir genişlemesi olur. = i R den gelen alt uzay topolojileriyle düşünürsek Diğer bir örnek; sonsuz bir küme ve (, τ ts ) uzayını düşünelim., nin herhangi bir sonsuz alt kümesi ve, den gelen alt uzay topolojisine sahip ise, in bir genişlemesidir. edileektir. Bu bölümde bütün uzaylar aksi belirtilmedikçe Τ2 - uzay( Hausdor ) kabul 2. Temel Bilgiler Bu bölümde bir uzayının iki genişlemesinin denk olması tanımlanaak ve bu denkliğe bağlı olarak uzayının genişlemelerinin ailesinin bir küme olduğu gösterileektir. Tanım 2... ve 2 bir küme ise F(, ) = { : : bir onksiyon} 2 2 dır. ve 2 uzaylarının genişlemeleri sırasıyla, 2 Eğer, ve F(, ) olsun. 2 3

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER F (, ) F 2 ve F = olaak şekildeki F ye onksiyonunun bir genişlemesi denir. dir. ve 2 bir küme ise C(, ) = { : : sürekli bir onksiyon} 2 2 Tanım 2..2. Eğer, in bir genişlemesi ise in bir kalanı denir. uzayına ( nin alt uzayı olarak) Lemma 2..3. ve 2 uzaylarının genişlemeleri sırasıyla ve 2 uzayları ve (, ) olsun.. O zaman onksiyonunun en azla bir tek F C(, ) C 2 genişlemesi vardır. İspat: onksiyonun FG, C(, ) 2 2 gibi iki genişlemesi olsun. O zaman F = G = dir. y olsun. l = olduğundan en az bir ( ) λ λ Λ ağı vardır öyle ki y olur. sürekli olduğundan ( λ ) ( y) olur. F ve G sürekli olduğundan : F 2 ( ) F ( y ) : G G y 2 λ olur. O halde, λ ( ) olduğundan her λ Λ için F( ) G( ) ve 2, 2 λ λ ve F = G = olur. Buradan, λ λ ve = ve F( ) = G( ) G( y) F G F y λ Τ -uzay olduğundan limit tek olup F( y) G( y) için F( y) G( y) tektir. λ λ λ = dir. Dolayısıyla her y = olup F = G dir. Sonuç olarak nin sürekli genişlemesi varsa Lemma 2..4., uzayının bir genişlemesi olsun. O zaman 2 2 dir. p İspat: Her p için O = { U I : U, de açık ve p U} olsun. O zaman p O, üzerinde bir açık iltredir. Eğer pq, V ve p q ise de en az bir U, V açık 4

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER kümeleri vardır öyle ki p U, q V ve U I V = olur. Buradan, ( U I) I( V I ) = ise O zaman U I p O ve V I q O olduğundan p p p O dönüşümü birebir olur. ani, P P p Φ: P( P ), Φ ( p) =O 2 onksiyonu birebir olur. O halde P P = dir. p O O olduğundan, 2 q O olur. Tanım 2..5. ve 2 uzayları bir uzayının iki genişlemesi olsun. Eğer, her x için h: 2 h( x) olaak şekilde bir h homeomorizması varsa ve 2 denktir denir ve = 2 yazılır. = x Tanım 2..6. bir uzay ise in denk genişlemeleri arasında ark gözetilmez. Bunu, olarak gösterirsek Z, in bir genişlemesi ise E ( ) = { :, ' in bir genişlemesi} Z olaak şekilde bir E vardır. ani, E denklik sınılarının temsililerinden oluşan bir ailedir. Sonuç 2..7. Bir uzayı için E bir kümedir. Eğer ( α ) α Λ kartezyen çarpımı boş olmayan kümelerin herhangi bir ailesi ise bu ailenin şeklinde tanımlanır. α Λ α = x: Λ α : x( α) α, α Λ α Λ U α yerine çoğu kez α α Λ Tanım 2..8. bir uzay, { : } (, ) i yazılır. i Ι uzaylarının bir kümesi ve her i Ι için F i C i olsun. F = UF i olsun. Her i Ι ve her F i için = i( veya i Ι, ile homeomorik ) olsun. = çarpım uzayı olsun. O zaman, F 5

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ( ) e : =, x için e F x = x F F F şeklinde tanımlanan, yani her F için π o ef = şeklinde olan, onksiyona değerlendirme onksiyonu (F ye göre) denir. ef : = Fi ] π Tanım 2..9. F, Tanım 2..8 deki gibi olsun. Eğer her A, de kapalı küme ve p A için, = p l A l A i olaak şekilde bir i Ι ve kümelerini noktalardan ayırır denir. F i (yani bir F ) mevut ise F ye in kapalı Teorem 2... (Gömme Teoremi), { : } gibi olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır: i. e C(, ) F dir, i i Ι, i F, F, ve e F Tanım 2..8 deki ii. Eğer F, in kapalı kümelerini noktalardan ayırıyorsa e F bir gömmedir. İspat: i. F için π :, S, çarpım topolojisinin bilinen alt bazı olmak üzere ve U α, F F de açık ise π U α S τçarp olduğundan π süreklidir. O zaman her F için π o ef sürekli olur. U α için π U α S olsun. ( π ) α = π o e α ef U U F 6

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER olup π ef = e F o sürekli olduğundan, ( o e ) ( U ) π α F α ( π ( U α )) kümesi de açık olur. O zaman ef C(, ) ii. e : e F F, de açık olaağından olur. onksiyonun birebir ve açık olduğunu göstermek yeterlidir. Çünkü (i) den e F süreklidir. x0, x ve x0 x olsun. O zaman = { }, de kapalı ve x A { x} A x kapalı kümelerden noktaları ayırdığından ( x0) l { ( x) } = ise F 0 olaak şekilde bir F vardır. O zaman ( x ) ( x ) dir. Buradan ( 0) ( ( 0) ) ( ( ) ) F ( ) F F 0 ef x = x x e x olduğundan e birebirdir. F V kümesi de açık ve x0 olur. Hipotezden ( x ) l ( V) 0 V olsun. O zaman V, de kapalı ve x ( V) olaak şekilde bir F vardır. Biz, I π ef x0 ef l V ef V...() olduğunu gösterebilirsek ef ( V ), ef de açık olur. Açık olarak, π ( ef ( x0) ) = ( x0) l ( V) F 0 ( ) olduğundan e ( x ) π l ( V) dir. Eğer x ve π ( ) ise, ( x ) = π o e ( x ) l ( V) e x l V F F olur. Dolayısıyla ( x ) l ( V) olsun. O zaman ( x ) ( V) Buradan x V olup x olur. Sonuç olarak () denklemi sağlanır. V olur. O zaman l ( V) Şimdi E üzerinde bir sıralama bağıntısı tanımlayalım. 0 olur. π e ( V) F Tanım 2..2. bir uzay ve, Z E olsun. Eğer, : Z, x = x, x için olaak şekilde sürekli bir onksiyonu varsa Z( veya Z ) yazılır ve ye 7

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Z den projekti olarak daha büyüktür denir. E üzerindeki bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır. (, ) Lemma 2..3. Bir uzayı için (, ) İspat: İlk öne E bir tam üst yarı latistir. E in kısmi sıralanmış olduğunu gösterelim. bağıntısının yansıma ve geçişme özelliklerini sağladığı kolaya görülür. Biz ters simetri özelliğini gösterelim. Bunun için, zaman : Z, g: Z Z ve her için E, Z ve Z olsun. O x x = g x = x olaak şekilde sürekli ve g onksiyonları vardır. Buradan o g: sürekli ve g o =Ι =Ι olur. Lemma 2..3 den dolayı g =Ι o olur. Benzer şekilde go =Ι Z olur. Dolayısıyla dir. g = ve bir homeomorizm olur. O zaman Z Son olarak S E ise SupS= VS nin mevut olduğunu gösterelim. S E için π S = çarpım uzayı olmak üzere e: S π S yi her S için ( π o e)( x) = x olaak şekilde tanımlayalım. Gömme Teoreminden dolayı e bir gömmedir. Çünkü S için :, ( x) x =Ι Ι = için F = { Ι : S} ailesi kapalı kümelerden noktaları ayırır. Dolayısıyla x ile e( x ) i özdeşleştirebiliriz ve = e olur. O zaman Z = l e alırsak Z πs E olur. S için π : πs izdüşüm onksiyonu olmak üzere = π Z olsun. O zaman : Z sürekli ve her x için π x = e x = x olur. Böylee her S için Z olur. W E ve her S için W olsun. Z W olduğunu gösterirsek Z=SupS olur. S için W olduğundan her x g x = x için olaak şekilde sürekli bir g : W onksiyonu vardır. Şimdi hw : onksiyonunu için g ( w) π h( w) w W ve S = ile tanımlayalım. π S 8

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER h W π S g ] π Her S için π o h= g sürekli olduğundan h süreklidir. Ayrıa her S için olur. Bu nedenle h ( π oh)( x) = g ( x) = π o e( x) = eve h( x) = e( x) olur. O zaman, hw = hl l e x = Z W olduğundan Z W olur. O zaman Z=SupS= VS dir. Dolayısıyla E (, ) bir tam üst yarı latistir. π S Tanım 2..4. Bir uzayı için Q E olsun. Eğer bir E her Z Q için Z oluyorsa ye Q da bir projekti maksimum denir. Bu tanımdan hemen belirtelim ki, Q ve VQ ve Q olduğundan V Q olup VQ olur. Böylee eğer Q bir projekti maksimuma sahip ise tektir ve VQ ya eşittir. Aşağıdaki sonuç E in projekti maksimumunu belirler. Lemma 2..6. Her uzayı için V E = dir. İspat: E( ) ve E ise :, olur. O zaman, E in projekti maksimumudur. Ι Ι x = x sürekli olduğundan Tanım 2..7. P, homeomorizmler altında kapalı olan uzayların bir ailesi olsun. ani P ve, ye homeomorik ise P dir. Böyle ailelere replete denir. Biz genelde böyle aileleri topolojik özellikler için göstereeğiz. P ve, P özelliğine sahiptir. iadeleri birbirinin yerine kullanılabileektir. Konunun başında aksi belirtilmedikçe bütün uzaylar Hausdor olaak demiştik. O zaman, 9

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER örneğin P bağlantılılık olsun dediğimizde bunun anlamı P bağlantılı Hausdor uzayların ailesi olur. Bundan böyle, eğer P bir topolojik özellik hipotezi ise P yi sağlayan ve birden azla nokta içeren bir uzayın mevut olduğunu kabul edeeğiz. { } Tanım 2..8. Bir uzayı için P = E ( ) : P olsun. genişlemelerinin kümesi denir. Eğer, her A P için π A= P oluyorsa P ye çarpımsaldır denir. Eğer, oluyorsa P ailesine kalıtsal kapalı denir. A P, in P- P ve A, de kapalı küme ve A P Lemma 2..9. bir uzay ve P de kalıtsal kapalı ve çarpımsal olan topolojik özellik olsun. Eğer P ise P, E in bir tam üst yarı latisidir. Böyle bir projekti maksimuma sahiptir. İspat: S P olsun. Lemma 2..3 den Z VS, zaman her S için Z olduğundan Z P Lemma 2..3 nin ispatından e: çarpımsal olduğundan S P olur. e. Böylee Z P P, = E de mevuttur. O olduğunu göstermek yeterlidir. π S olmak üzere Z = l e idi. P π dir. P kalıtsal kapalı olduğundan l [ ] P dir. π S π S Şimdi üzerindeki sürekli bir onksiyonun ne zaman E in bir elemanı üzerinde sürekli genişlemeye sahip olaağını araştırmaya başlayalım. Bu araştırma bu konunun temellerinden birini teşkil eder. Tanım 2..20. (, τ ) bir topolojik uzay olsun. in kapalı her A alt kümesi ve x A için x U, A V ve U I V = olaak şekilde de U ve V açık kümeleri varsa (, τ ) ya regüler uzay denir. 0

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Lemma 2..2. Bir uzayı için E, Z bir regüler uzay ve C(, Z) olsun. Aşağıdakiler denktir: i. F = olaak şekilde bir F C(, Z) vardır, y ii. Her y için O = { W I : W kümesi de açık ve y W} olsun. Her { } y için F = A Z : Bir U O y için ( U) A iltresi yakınsaktır. İspat: y i) ii) F mevut ve y kümesi Z de açık ve F( y) U açık kümesi vardır ve ve olur. Dolayısıyla F( y) olduğundan F: olsun. F F( y) y olduğunu göstereeğiz. W W olsun. O zaman F sürekli olduğundan de en az bir y U U W olur. Dolayısıyla, ve U I FU I W U I O Fy U olur. ii) i) Her y için F y, Z de bir noktaya yakınsasın. Z Hausdor uzay F y bir tek noktaya yakınsadığından buna F( y ) diyelim. O zaman Z bir onksiyon olur. Eğer x sürekli olduğundan ( U) vardır. V, de açık bir küme ve W F x F olur. Böylee F ( x) F( y) x,w kümesi Z de açık ve y x W ise W olaak şekilde de bir U açık kümesi ve x U x V olsun. U = V I olduğundan olur. Buradan x = olur. F nin sürekli olduğunu göstermek için y için ( x) F( x) y U O ve =, yani, W kümesi Z de açık ve W olsun. Z regüler olduğundan F( y) V lzv W olaak şekilde Z de bir V açık kümesi vardır. F F( y) y olduğundan y U ve U I V olaak şekilde de bir U açık kümesi vardır. ( Fy F( y) ise ( F( y) ) Fy olduğundan V Fy ) U. p U, T kümesi Z de açık ve F( p) Τ olsun. O zaman ve p R açık kümesi vardır. R zaman, R U RI T olaak şekilde de bir I olduğundan RI T olur. O

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ( I ) ( I ) ( I ) R V R U V olur. Böylee T I U olur. Bu bize F( p) l V W ve F( U) W olduğunu gösterir. Bu nedenle F süreklidir. Lemma 2..2 de Z nin regüler olması hipotezi kaldırılırsa doğru değildir. Z Teorem 2..22.( Taimanov Teoremi ) bir uzay, E, Z kompakt bir uzay ve (, ) C Z olsun. O zaman F = olaak şekilde sürekli bir F: Z onksiyonunun, yani nin ye sürekli bir F genişlemesinin olması için gerek ve yeter koşul Z deki ayrık kapalı her B ve C kümeleri için l ( B) I l ( C) olmasıdır. İspat: " " F = olaak şekilde sürekli bir F: zaman F ( B) = Z onksiyonu bulunsun. O kümesi de kapalı ve ( B) F ( B) ve benzer şekilde l ( C) F ( C) l B F B olduğundan, I I ( I ) olduğundan olur. BI C = l B l C F B F C = F B C = olur. Sonuç olarak l ( B) l ( C) I = olur. " " Z deki kapalı ayrık her B ve C kümeleri için l B I l C = olsun. Lemma 2..2 den, y { : O y için } F = A Z Bir U U A kümesinin yakınsak olduğunu göstermek yeterlidir. Z kompakt olduğundan I y U O Z l U = K olur. K { p} = şeklindedir. Aksi halde pq, K ve p qolsaydı Z kompakt ve Τ 2 olduğundan p W, q V ve lzw I lzv= olaak şekilde Z de W, V açık kümeleri vardır. Dolayısıyla hipotezden, I l l W l l V Z Z = 2

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER olur. Her y U O için W I U olduğundan her y U O I olur. Böylee y l ( W) olur. Benzer şekilde y l ( V) U W dir. Buradan, I l ( l W) I l ( l V) y l W l V Z Z çelişkisi elde edilir. Böylee bir p Z için K = { p} şeklindedir. W kümesi Z de açık ve p W olsun. O zaman K W, Z W olduğundan F y de öyle bir sonlu S ailesi vardır öyle ki, = için kompakt ve Z W ( Z l F) U F S Z W Z l F Z IS Z U F Fy Z olur. O zaman IS F ve IS W olur. Buradan, y W F ise F P olur. Dolayısıyla Lemma 2..2 den istenilen elde edilir. y y Lemma 2..23. Bir uzayı için E ve Z regüler uzay olsun. g F(, Z) her y için g U { y} sürekli ise g süreklidir. y İspat: = { W I : W kümesi de açık ve y W} ve O olsun. Hemen belirtelim ki y O = { W I : W kümesi U{ y } de açık ve y W} dir. g { y} olduğundan Lemma 2..2 den y { : U O y için ( g )( U) A } F = A Z Bir g y olur. ine Lemma 2..2 in diğer yönünden dolayı g süreklidir. U sürekli 2.2. Kompakt Genişlemeler Bu bölümde kompakt genişlemeleri tartışaağız. Burada, eğer verilen bir uzayın kompaktlamalarının ailesi boş kümeden arklı ise bu ailenin bir projekti maksimuma sahip olduğunu göstereeğiz ve bu projekti maksimumu inşa edeeğiz. 3

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER { } Bir uzayı için K = E( ) : K olsun. ani K ( ) kompakt genişlemelerinin kümesidir., in Tanım 2.2.. Bir uzayının kompakt bir genişlemesine in bir kompaktlaması denir. K, kompakt uzayların bir sınıı olsun. O zaman K çarpımsaldır ve kalıtsal kapalı olduğundan replete dir. Lemma 2..9 dan aşağıdaki sonuu yazabiliriz. Lemma 2.2.2. Bir uzayı için K ( ) ise ( ) projekti maksimuma sahiptir. K bir tam üst yarı latistir ve bir Tanım 2.2.3. Bir uzayı için K ( ) ise ( ) ile gösterilir, yani V K in projekti maksimumu β β = K ve β e in Stone-Ceh kompaktlaması denir. Tanım 2.2.4. bir topolojik uzay olsun. den R ye bütün sürekli onksiyonları C() ile den R ye bütün sürekli, sınırlı onksiyonların kümesini de C göstereeğiz. A, in alt kümesi olsun. Eğer C( A) ile nın e sürekli bir genişlemesi var ise A ya de C-gömülmüştür denir. Benzer şekilde her C ( A) nın e sürekli bir genişlemesi var ise A ya de C -gömülmüştür denir. Tanım 2.2.5. bir topolojik uzay olsun. in kapalı her K alt kümesi ve x K için g( x ) = 0 ve g( K ) = olaak şekilde : [ 0,] bulunabiliyorsa e tam regüler uzay denir. g sürekli onksiyonu bir topolojik uzay olsun. Kolaya görüleeği gibi, in kapalı her K alt kümesi ve x K için ( x) l ( K) olaak şekilde bir : R sürekli onksiyonu var ise tam regülerdir. bir topolojik uzay olsun. Eğer Hausdor ve tam regüler ise e Tyhono uzay denir. 4

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Tanım 2.2.6. (, τ ) bir topolojik uzay olsun. Eğer de her A, B kapalı kümeleri ve AI B= için de A U, B V ve U I V = olaak şekilde U, V açık kümeleri varsa (, τ ) ya normal uzay denir. bir uzay ve K ( ) olsun. K ise kompakt ve Τ2 -uzay olduğundan, Normal ve Τ2 -uzay olur. Dolayısıyla de Tyhono uzay olur. Tersine Tyhono uzay ise (, ) C = F, in kapalı kümelerinden noktaları ayırır. O zaman F için Ι = a, b ve Z = Ι olmak üzere Teorem 2.. F den dolayı = l e K olur. Böylee, ( ) Z yeter koşul in Tyhono olmasıdır. F Şimdi ve Tyhono uzaylar ve C(, ) şekilde bir F C( β, β) nin bulunduğunu gösterelim. K olması için gerek ve ise F = olaak Lemma 2.2.7. ve Tyhono uzaylar ve C(, ) şekilde bir tek F C( β, β) sürekli genişlemesi vardır. ise F = olaak İspat: [ 0, ] kapalı ve sınırlı aralığını den gelen alt uzay topolojisiyle düşünelim C ve C =C(,0, [ ]) olsun. [ 0,] [ 0,] = onksiyonunu x için e( x) ( x) C F olmak üzere e: [ 0,] =, yani C için e( x)( ) = ( x) olsun., Tyhono uzay olduğundan Teorem 2.. den dolayı e bir gömmedir. Kompakt uzayların çarpımı kompakt olduğundan [ 0,] C kompakttır. x ile e( x ) i özdeşleştirerek ile e( ) i özdeşleştirebiliriz ve le in bir kompaktlamasıdır. Benzer bir şekilde =C(,0, [ ]) inşa edebiliriz. İlk olarak G olduğunu göstereeğiz. O zaman = olsun. O zaman, D i kullanarak yi = olaak şekilde bir G C(, ) nin mevut olduğu gibi ile e yi özdeşleştirebiliriz. β olduğunu gösterebiliriz. Daha öne C 5

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER O zaman : x e [ 0,] onksiyonu ile özdeşleştirebiliriz. : e [ 0,] ( x ) e ( x) onksiyonunu : e e, ] g D C yi g D için ( g) g o g [ 0,] D C = ( ) e x e x = o olarak tanımlayalım. :0, [ ] C [ 0, ] D yi h [ 0,] C için h = ho olarak tanımlayalım. C [ 0,] = [ 0, ] = h: C [ 0, ]: C için h( ) [ 0,] C U C ın sürekli olduğunu göstermek için g D, π go ın sürekli olduğunu göstereeğiz. Burada π :0, [ ] D [ 0,] g. izdüşüm onksiyonudur. h [ 0, ] g C olsun. O zaman, olur. ( πg ) πg o o h = h = h g = h g ( ) ( o ) π g = h g = h g = o h C [ 0,] [ 0,] D g π g [ 0,] Böylee π g o sürekli ve bu nedenle = πgo süreklidir. 6

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Şimdi de e e olduğunu gösterelim. x ve g D olsun. O zaman, ( ) ( ) e x g = e x o g = e x g = e x go = go x ( ) ( ) ise ( ) = g x = e x g e x = e x e olur. Böylee sürekli olduğundan dolayı ( ) = le x l e x le = olur. G = olsun. O zaman G: sürekli ve G = olur. Şimdi = β alalım. O zaman kompakt olduğundan = olur. i: onksiyonu; ani i( x) şekilde sürekli bir : ( β ) β içerme = x olsun. O zaman elde ettiğimiz sonuçtan G = i olaak G = β onksiyonu vardır. Böylee x için G( x) = i( x) = x olur. O zaman β dir. V β = K olduğundan β dir. Bu nedenle β olur. Böylee bu Teoremin içinde elde ettiğimiz sonuçtan : sürekli ise F = olaak şekilde sürekli bir F: β β onksiyonu vardır. Lemma 2..3 den dolayı F tektir. Tanım 2.2.8. Eğer ve Tyhono uzaylar ve C(, ) ise F = olaak şekilde nin bir tek F: β β sürekli genişlemesi vardır. Bu genişlemeye nin Stone genişlemesi denir ve β ile gösterilir. Sonuç 2.2.9. bir Tyhono uzay olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır: i. Eğer K kompakt bir uzay ve C(, K) F: β K genişlemesine sahiptir, ii., β e genişlemesi vardır. İspat: i. K kompakt ve C(, K) olaak şekilde bir β C( β, βk) C - gömülmüştür. ani her C β K = K olup β = F alınırsa ispat biter. ise sürekli bir tek in bir F C ( β ) ise Lemma 2.2.7 den nin β = genişlemesi vardır. K kompakt olduğundan 7

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ii. C ( K) ve K l ( x) = olsun. O zaman K kapalı ve sınırlı olduğundan kompakt ve C( xk, ) olur. (i) den dolayı nin bir F C ( β ) genişlemesi vardır. Tanım 2.2.0. ve herhangi iki uzay ve : ye bir onksiyon olsun. Eğer her y için { y}, de kompakt ise ye kompakt onksiyon denir. Eğer kapalı ve kompakt onksiyon ise ye peret onksiyon denir. Şimdi iki Tyhono uzay arasındaki örten, sürekli peret onksiyonların kullanışlı bir karakterizasyonunu vereeğiz. Lemma 2.2.. : bir peret onksiyon olsun. O zaman aşağıdakiler doğrudur: i. Eğer A kümesi de kapalı ise A perettir, ii. Eğer ise : B B B B onksiyonu perettir. İspat: i. A kümesi de kapalı olsun. C kümesi A da kapalı ise C kümesi de de kapalıdır. Buradan ( A)( C) = ( C) kümesi veya A da kapalı olur. Dolayısıyla A kapalıdır. y ise A ({ y} ) A ({ y} ) I ({ }) { y} A y = I ve de kapalı ve kompakt olduğundan A { y} I kompakt olur. O zaman A bir kompakt onksiyon olur. Dolayısıyla A peret onksiyon olur. = ii. C kümesi de kapalı, olduğundan ( C) B CI B C I B ve kapalı I B kümesi B de kapalı olur. Böylee, ( B) : ( B) B bir kapalı onksiyondur. Eğer b B ise, kompakttır. O zaman ( B) peret onksiyon olur. ( ) {} = ({}) B b b bir kompakt onksiyon ve böylee ( B) 8

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Teorem 2.2.2. ve iki uzay olsun. Eğer C(, ), S in yoğun bir alt kümesi ve S: S ( S) onksiyonu peret ise ( S) ( S) dir. İspat: Kabul edelim ki hipotezler altında ( S) ( S) olsun. O zaman ( x) ( S) olaak şekilde bir x S vardır. T S { x} ({ }) kompakt onksiyon olduğundan = U olsun. S bir x I S = K kompakt ve böylee T de kapalıdır., Hausdor olduğundan K U ve x ltu olaak şekilde T de bir U açık kümesi vardır. S, in yoğun bir alt kümesi olduğundan U olur. Böylee, ( T ( )) ( ) = ( ) x l S U l S U S U S l U l S U = T olur. O zaman K U çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla ( S) ( S) olmalıdır. T T Teorem 2.2.3. ve Tyhono uzaylar olsun ve : bir sürekli, örten onksiyon olsun. O zaman aşağıdakiler denktir: i. peret onksiyondur, ii. α, δ K K ve eğer F = olaak şekilde bir ( α, δ ) mevut ise F = dir. ani ( α ) F C iii. β = dir. ani F = δ dir, β β = β dir. İspat: i) ii) : peret onksiyon olsun. kümesi α de yoğun, F = peret ve örten olduğundan Teorem 2.2.2 den dolayı ( α ) δ δ... F = olur. Buradan F elde edilir. Daima F = olur. O zaman F = olup F dolayı ( α ) F = δ dir. ii) iii) F = β alınırsa ispat biter. δ δ δ olduğundan l F = l = dir. dan 9

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER iii) i) ( β ) ve y = olsun. O zaman ( β ) ({ }) olduğundan ({ }) β y = ({ y} ) olur. Böylee ({ y} ) y kompakttır. A, in kapalı bir alt kümesi olsun. O zaman A= H I olaak şekilde β de bir H kompakt kümesi vardır. Dolayısıyla, ( A) = ( AI ) olur. Fakat dir. Hipotezden dolayı ( β ) ( β )( H) = ( H I) I( β )( H I ) H β olur. Bu nedenle, ( I ) = I ( β ) H H olur. O zaman ( A ) kümesi de kapalı ve peret onksiyon olur. Bu Teoremi nin örten olmadığı durumlar için aşağıdaki şekilde genelleştirebiliriz. Sonuç 2.2.4. ve iki Tyhono uzay olsun. C(, ) ve de kapalı olsun. Aşağıdakiler denktir: i. peret onksiyondur, ii. α δ kümesi K, K ve F = olaak şekilde bir ( α, δ ) mevut ise ve ( α ) F C İspat: iii. β = ve F = F δ dir, β α δ dir. i) ii) Lemma 2.2. (ii) de β = alınırsa : bir peret sürekli ve örten onksiyon olur. Ayrıa açık olarak l, (, δ ) kompaktlaması ve F C α l δ in bir dir. Böylee Teorem 2.2.3 den dolayı, ( δ ) F l α dir. ( ), de kapalı olduğundan l F olur. = olur. O zaman Teorem 2.2.3 den dolayı, ( α ) δ δ = F = l δ I ve bu nedenle 20

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ii) iii) F = β alınırsa açıktır. iii) i) Teorem 2.2. in iii) i) l β ile belirtelim ki : nin ispatındaki yöntemi ile ve β nin yerlerini değiştirerek kullanırsak ispat biter. ( Burada hemen onksiyonunun kapalı olduğunu gösterebilmek için ( ) in de kapalı olması hipotezine ihtiyaç vardır. ) Tanım 2.2.5. (, τ ) bir topolojik uzay olsun. Eğer de kapalı ve ayrık her A, B alt kümeleri için G ve H açık alt kümeleri A GB, H ve GI H = koşulu sağlanaak şekilde bulunabiliyorsa bu topolojik uzaya bir Τ 4 -uzayı denir. Lemma 2.2.6. (Urysohn Lemması) (, τ ) nun bir Τ 4 -uzayı olması için gerek ve yeter koşul (, τ ) da kapalı ve ayrık herhangi iki A ve B alt kümeleri için ( A ) = 0 ve ( B ) = koşullarını sağlayan bir : [ 0,] sürekli onksiyonu vardır. Bu kısmı Teorem 2..22 de verilen Taimanov Teoreminin önemli ve özel bir durumunu vererek bitirelim. Teorem 2.2.7., i. δ α dir, α δ K olsun. Aşağıdakiler denktir: { } ii. Z ( 0 ) : C(, ) = in sıır kümelerinin ailesi olmak üzere Z, Z2 Z ve lδzi lδz2 = ise lαzi lα Z2 = olur, iii. A ve B, δ in ayrık kapalı alt kümeleri ise l AI Il BI olur. α α = İspat: i) ii) δ α ise i: δ inlusion onksiyonu gömme olup α e sürekli bir genişlemesi vardır. O zaman Teorem 2..22 den dolayı, I l i l Z l i l Z α δ α δ 2 = 2

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER olur. Açık olarak daima i ( l Z ) Z ( i,2) δ j j (A kümesi de kapalı ise lδ A A δ = = olduğundan ispat biter. dir. O zaman i l A = A olur. ) ii) iii) Hipotez sağlansın. A ve B, δ in ayrık kapalı iki alt kümesi olsun. δ Normal olduğundan Urysohn Lemmasından dolayı A H, B K ve I olaak şekilde H, K Z( δ ) H K = A H, B K α vardır. O zaman I I I I ve l ( H ) l ( K ) Buradan l ( H ) l ( K ) α α = l AI Il BI olur. α α = I I I olur. δ δ = I I I elde edilir. Dolayısıyla iii) i) Hipotez sağlansın. i: Hipotezden dolayı A ve B, δ içerme gömme onksiyonu olsun. δ in ayrık kapalı alt kümeleri ise, I ( I ) I ( I ) l i A l i B = l A l B = α α α α olur. Teorem 2..22 den dolayı δ α olur. 2.3. Tek Nokta Kompaktlamaları Bu bölümde eğer, bir yerel kompakt uzay ise K ( ), ( ) K in bir minimuma sahip olduğunu ve K ( ) in bir tam latis olduğunu göstereeğiz. Ayrıa in varsa tek nokta kompaktlamasını inşa edeeğiz. Tanım 2.3.. Bir uzayı için tek elemandan meydana geleek şekilde bir K varsa, ye in tek nokta kompaktlaması denir. Öne tek nokta kompaktlamasının nasıl inşa edildiğini gösterelim. (, ) τ bir topolojik uzay ve bu uzaya ait olmayan bir w noktası, yani w alalım. { w} = U olsun ve P( ) i. τ ya ait her küme, ii. τ ailesi aşağıdaki kümelerden oluşsun. kümesinin w noktasını içeren alt kümelerinden kompakt olanlar. ani, a göre tümleyeni 22

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER olsun. { W : W I kümesi de açık ve w W ise W W kompakt} τ = = Teorem 2.3.2. P( ) doğrudur: i. İspat: i. τ ailesi ii.(, ) τ ailesi yukarıdaki gibi tanımlansın. O zaman aşağıdakiler üzerinde bir topolojidir. τ uzayı, (, ) iii. (, ) τ uzayı kompakttır. iv. kompakt değilse τ ın τ uzayının alt uzayıdır. içinde yoğundur. üzerinde bir topoloji olduğunu gösterelim. T) τ τ olduğundan τ dır. w ve = kompakt olduğundan τ dır. UV, ise V T) 2 UV, τ ise τ ise U V τ I olduğunu gösterelim. τ τ ve τ bir topoloji olduğundan UV, τ ve w U olur ki w U I V olur. τ olur. U IV = U U V = U U V ve V τ ve U τ τ U = U kompakt ve V, de kapalı olduğundan ( U I V), de kapalı olur. O zaman U I V τ, Dolayısıyla U V τ I olur. Benzer şekilde U τ ve V τ τ ise U V τ I olur. UV, τ τ, yani w U ve w V olsun. O zaman w U I V ve U, V kompakttır. Dolayısıyla, ( U) U( V) = ( U IV) = ( U I V) kompakttır. Sonuç olarak 3 U V τ I dır. Ui : i Ι τ için U Ui τ olduğunu gösterelim. Her T) Her { } i Ι i Ι için w U, yani i U i dır. En az bir 0 i Ι U Ι ise U τ τ i i Ι için w U i ise 0 23

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER w U U dir. Bu durumda i Ι i kompakt olduğunu göstermeliyiz. { } J i w U U Ui τ olduğunu göstermek için i Ι = Ι: i olsun. O zaman j J ise w U j olup kompakttır. K =Ι J olsun. O zaman k K ise w Uk olur. U U nin i Ι U j = U j = = = i Ι i Ι i Ι j J k K j J U i U i U k UU j I( k) II ( j) U U U U U U dir. Burada ( ) I Uk kapalı ve ( U j ) k K j J U i I ( j) olduğundan U U i Ι j J U Ui τ olur. i Ι ii. (, ) τ uzayının (, ) için, τ = τ { : = U U τ } I kompakttır. O zaman U U kompakttır. Sonuç olarak i Ι i τ uzayının alt uzayı olduğunu gösterelim. Bunun I olduğunu gösterelim. { } U τ ve w U ise τ olduğundan U I = U I { w} = U w ve ( { }) U w = U = U = U { } U w = U I τ ve τ τ = τ olur. iii. (, ) { G : i } i I olur. τ dur. τ ın özelliğinden τ ın kompakt olduğunu gösterelim. g = Ι olsun. O zaman = U G ise i Ι i w U τ, kompakt olduğundan τ dır. Sonuç olarak ın herhangi bir açık örtüsü olduğundan en az bir 0 i i Ι vardır öyle ki i olur. O zaman 0 w G τ Gi G 0 i K 0 = = kümesi de kapalı ve kompakttır. O halde I da en az sonlu bir J kümesi vardır öyle ki K K K G G = U = U i = 0 U i JU 0 { i } i K U G olur. j J j elde edilir ki bu uzayının kompakt olduğunu gösterir. iv. l = olduğunu gösterelim. 24

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Eğer, Dolayısıyla, da kapalı olsaydı Her ne kadar kompakt olduğundan de kompakt olurdu. da kapalı değil ve U { w} = olduğundan zaman Hausdor uzayı değildir. ani l = olur. uzayı bütün koşulları sağlar gibi gözüküyor olsa da olmayabilir. Bunun için bir ek koşula ihtiyaç vardır. her, bu haliyle in bir kompaktlaması Tanım 2.3.3. bir topolojik uzay ve her x noktası kompakt bir komşuluğa sahip ise uzayına yerel kompakt uzay denir. Örnek 2.3.4. ( τ ) yerel kompakttır. Çünkü x ise K [ x ε, x ε], stan d bir kompakt komşuluğudur. = +, in Teorem 2.3.5. Her yerel kompakt Hausdor uzayı Τ3 uzayıdır. ( Τ 3 =Τ 2 + Regüler) dir. İspat: (, τ ) yerel kompakt Hausdor uzayı olsun. in regüler olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için in kapalı komşuluklarından oluşan bir komşuluk bazına sahip olduğunu göstermek yeterlidir. yerel kompakt olduğundan x K olaak şekilde x in kompakt komşuluğu vardır., Τ 2 ve K kompakt ise K kümesi de kapalıdır. Ayrıa ( K, τ K ) kompakt ve Τ 2 olup aynı zamanda 3 x in deki bir komşuluğu olsun. O zaman U I K Τ uzaydır. x U,, x in K deki bir komşuluğu olur. Dolayısıyla ( K, τ K ), Τ3 - uzay olduğundan x F U I K olaak şekilde x in K da τ K kapalı bir F komşuluğu vardır. O zaman F, de de x in bir kapalı komşuluğu ve F U olur. Gerçekten F, x in K deki bir komşuluğu ise F = V I K olaak şekilde x in de bir V komşuluğu vardır. de F kapalı kümesi K kapalı kümesinin alt kümesi olduğundan F, de kapalı olur. F = V I K ve V, K x in de komşulukları olduğundan F, x in de bir komşuluğu ve x F U I K U ve F, x in de bir kapalı komşuluğu olur. 25

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER Teorem 2.3.6. Bir yerel kompakt Hausdo uzayının her noktasında kompakt komşuluklarından oluşan bir komşuluk bazı vardır. İspat: (, ) τ yerel kompakt Hausdor uzayı, x, U, x in bir komşuluğu ve K da x in bir kompakt komşuluğu olsun. Teorem 2.3.5 den x V U olaak şekilde x in kapalı bir V komşuluğu vardır., Τ2 - uzay ve K kompakt olduğundan K kümesi de kapalı olur. O zaman V kapalı ve K kompakt olduğundan V kompakt bir komşuluğu ve x V I K U olur. I K, x in bir kapalı komşuluğu, V I K, K da I K kompakt olur. Sonuç olarak V I K, x in Teorem 2.3.7. erel kompakt bir Hausdor uzayında her açık küme, her kapalı küme, herhangi açık bir küme ile herhangi bir kapalı kümenin kesişimi de yerel kompakttır. Karşıt olarak bir Hausdor uzayının her yerel kompakt alt kümesi, bir açık küme ile kapalı kümenin kesişimidir. İspat: (, τ ) yerel kompakt bir Hausdor uzayı olsun. Sadee A kümesi de açık ise ( A, τ A ) nın yerel kompakt olduğunu gösterelim. x A ise Teorem 2.3.6 dan x K A olaak şekilde x in kompakt bir K komşuluğu vardır. O zaman K, A içinde kompakt olup, A açık olduğundan x in A içinde kompakt bir komşuluğu olur. Sonuç olarak A yerel kompakttır. Diğer durumlar benzer şekilde yapılır. Teorem 2.3.8. (, τ ) bir yerel kompakt Hausdor uzay ve A, in bir alt uzayı olsun. A nın yerel kompakt olması için gerek ve yeter koşul A kümesinin A da açık olmasıdır. İspat: " " A yerel kompakt ve a A olsun. a G A olaak şekilde A da bir G açık kümesi bulmalıyız. A yerel kompakt olduğundan K kümesi A da kompakt ve a K olaak şekilde a nın bir K komşuluğu vardır. O zaman a U lau K A olaak şekilde A da bir U açık kümesi vardır. Böylee U = V I A olaak şekilde 26

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER de bir V açık kümesi vardır. A da AI V kümesi açıktır ve a AI V dir. Dolayısıyla AI V A olduğunu göstermek yeterli olaaktır. AIV AI V dır. ( Çünkü x AI V ise x A ve x V dir. de U kümesi açık ve x U ise x A olduğundan AI U olur. V, de açık küme ve x V ise U I V x ( U I V), x A olduğundan,, de açık ve ise AI U IV = AIV IU x AI V dir. ) Böylee AI V A olduğunu göstermek yeterlidir. AIV IA= U I A= lau dur. lau, kompakt olduğundan kapalıdır. O zaman AIV I A kapalıdır. AIV AIV I A olduğundan AIV AIV I A A dır. Dolayısıyla AI V, A da açık ve a ( AI V) ise A, A da açık bir küme olur. " " A, A da açık bir küme olsun. O zaman A= AI U olaak şekilde de açık bir U kümesi vardır. yerel kompakt ve A, de kapalı ve U kümesi de açık olduğundan Teorem 2.3.7 den A ve U yerel kompakt ve yine aynı Teorem 2.3.7 den dolayı AI U = A yerel kompakttır. Şimdi bir uzayının tek nokta kompaktlaması olan olması için gerek ve yeter koşulu verebiliriz. ın Hausdor uzay Teorem 2.3.9. Bir (, ) τ uzayının (, ) τ tek nokta kompaktlamasının Hausdor uzayı olması için gerek ve yeter koşul in yerel kompakt Hausdor uzayı olmasıdır. İspat: " " yerel kompakt Hausdor uzayı ise kompakt uzayınında Hausdor uzay olduğunu göstereeğiz. Bunun için e ait x noktaları ile w noktasının ayrık komşuluklarının varlığını göstermek yeterlidir. yerel kompakt Hausdor uzay olduğundan her x in de K gibi kompakt bir komşuluğu vardır. O zaman K kümesi de kapalıdır. olduğundan τ ın tanımından K, x in K IU = K I K = olduğundan w K = U ve U = K kompakt da da bir komşuluğu olup bir Hausdor uzayıdır. 27

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER " " Hausdor uzayı ise in yerel kompakt Hausdor uzay olduğunu göstereeğiz., ın alt uzayı olduğundan Hausdor uzayıdır. kompakt olduğundan aynı zamanda yerel kompakttır. τ τ olduğundan, olup Teorem 2.3.7 den veya Teorem 2.3.8 den yerel kompakttır. da açık Teorem 2.3.0. i. Bir uzayının tek nokta kompaktlaması varsa o zaman yerel kompakt, akat kompakt değildir. ii. Eğer uzayı yerel kompakt, akat kompakt değilse her Z Z olaak şekilde in bir tek nokta kompaktlaması vardır. İspat: i. K K için, in tek nokta kompaktlaması ise Teorem 2.3.9 dan in yerel kompakt olduğunu biliyoruz. kompakt olsaydı kapalı olurdu. O zaman l = = ise = olurdu. Dolayısıyla kompakt değildir. ii. w için = U { w} olsun. üzerindeki τ topolojisi Teorem 2.3.2 deki gibi tanımlanırsa Teorem 2.3.9 dan, in tek nokta kompaktlaması olur. Z K olsun. : Z onksiyonu, x, x ise = w, x Z ise olarak tanımlayalım. yerel kompakt olduğundan, Z de açık bir kümedir. O zaman, de açık bir küme ve z Z =Ι olduğundan, her x de süreklidir. için W, de açık küme ve ( z) W olsun. O zaman z = w W olduğundan -W kompakttır. O zaman Z ( W) = T, Z de açık küme ve z Z T olur. Sonuç olarak ( T) W dir. Böylee sürekli ve Z olur. Sonuç 2.3.. Her yerel kompakt uzay Tyhono uzaydır. İspat: yerel kompakt ise in tek nokta kompaktlaması K dir. O zaman Tyhono uzaydır. mevuttur. ani, 28

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER ( A, ) bir üst yarı tam latis ve Λ A = olsun. B A ve C { A: Her b B için b} = olsun. 0 C olup C ve VC = d vardır. Λ B= d olduğunu gösterelim. b B için C b olduğundan d = VC b dir. Dolayısıyla d d B dir. e B olsun. O zaman e C ise e VC = d dir. Dolayısıyla =Λ B ve A nın tam latis olduğunu gösterir. Teorem 2.3.2. Kompakt olamayan bir uzayı için aşağıdakiler denktir: İspat: i. K ( ) bir tam latisdir, ii. yerel kompakttır, iii. in tek nokta kompaktlaması vardır, iv., bazı kompaktlamalarında açıktır. ii) iii) Teorem 2.3.9 dan açıktır. ii) iii) iv) Teorem 2.3.9 dan ve Teorem 2.3.0 dan açıktır. ii) i) yerel kompakt olsun. Teorem 2.3.0 i) şıkkından in bir tek nokta kompaktlaması vardır ve her Z min K için Z dir. ani = K = K dir. Bir minimum elemanlı bir üst yarı latis olduğundan K ( ) tam latistir. i) iii) ( ) olmadığından K tam latis olsun. O zaman Z = K vardır. kompakt Z ve Z dir. ani, Z dir. Z olduğunu gösterelim. p, q Z ve r Z onksiyonu z pq, { } { } için {, } ise ( z) = z ve üzerinde taraından doğrulan τ bölüm topolojisini, alalım. ani = Z pq U r olsun. : Z p = q = r olarak tanımlansın. { :, Z de açık} τ = S S τ, yi sürekli yapan en küçük topolojisidir. O zaman { pq, } kompakt olduğundan nin Hausdor uzay ve Z { pq, } nin bir homeomorizm olduğu kolaya gösterilebilir. Ayrıa { pq, } I = olduğundan, nin alt 29

2. TOPOLOJİK UZALARIN GENİŞLEMELERİ Ümit CİĞER uzayıdır., Z de yoğun, sürekli ve = olduğundan, de yoğun olur. Z kompakt olduğundan = ( Z) kompakttır. O zaman, in bir kompaktlaması ve Z olur. Fakat Z =ΛK olduğundan daima Z dir. O zaman g: Z, g =Ι olaak şekilde bir g onksiyonu vardır. Dolayısıyla go : Z Z onksiyonu sürekli ve go =Ι olduğundan go =ΙZ olur. O zaman, p= go p = go q = q dolayısıyla p= q olduğundan Z olur. Dolayısıyla Z = dir. Sonuç olarak in tek nokta kompaktlaması vardır. Teorem 2.3.3. Kompakt olmayan, yerel kompakt uzayının tek nokta kompaktlaması denktir. İspat: Z, in tek nokta kompaktlaması ve K = olsun. Teorem 2.3.2. den mevut olup : Z, =Ι olaak şekilde sürekli bir onksiyonu vardır. ve Z kompakt ve sürekli olduğundan ve peret olur. Teorem 2.3.8. den ( Z ) dir., Z de ve de yoğun ve ( Z ) = olduğundan = olur. Dolayısıyla = olur. Buradan onksiyonu birebir, örten, sürekli ve kapalı olur. Böylee bir homeomorizmadır. Sonuç olarak Z olur. ani = Z dir. 30

3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER 3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Bu bölümde idealler yoluyla bazı genişleme problemleri için çalışaağız. Topolojik uzayların genişlemelerinin kuvvet sistemlerini tanıtaağız. Bir Tyhono uzayın denk iki kompaktlamasının kuvvet sistemlerinin de eşit olduğunu göstereeğiz. Amaımız bir Τ0 -uzayının bir genişlemesini ideal genişlemesi yoluyla tanımlayaağız. Her bir genişlemenin uygun bir ideal genişlemesine denk olduğunu göstereeğiz. 3.. Kuvvet Sistemleri Tanım 3... P ( ), in kuvvet kümesi olmak üzere, (). : P P, A A onksiyonu, i. = dir, ii. Her A P için A A dir, iii. Her AB, P için A B = A B U U dir, iv. A P ise ( A ) = A dir. özelliklerini sağlıyorsa bu onksiyona Kuratowski kapanış operatörü denir. { P: } P τ = U A U = U ailesi, (.) Kuratowski kapanış operatörü ile üretilen topolojidir. Tanım 3..2. I, bir kümesinin alt kümelerinin boştan arklı bir ailesi olsun. I ailesi, i. A Ι ve B A ise B Ι, ii. A Ι ve B Ι ise AU B Ι dir. koşullarını sağlıyorsa, bu aileye üzerinde bir ideal denir. Tanıma göre I bir ideal ise Ι olduğu açıktır. 3

3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER Tanım 3..3. (, ) τ bir topolojik uzay ve x ise, ( x) { A : x la A} Ι = = kümesi üzerinde bir idealdir. Bu ideale üzerindeki bir serbest ideal denir. Şimdi ( x) Ι in bir ideal olduğunu gösterelim. i. B ( x) ( x) A Ι dir. Ι ve A B olsun. O zaman, x l B ise x l A dir. Böylee ii. AB ( x), Ι olsun. O zaman, x l A ve x l B ise U ( U ) dır. Dolayısıyla A B Ι ( x) x l A l B= l A B U olur. Tanım 3..4. (, τ ) bir topolojik uzay olsun. Eğer her xy, ( x y) ( x G y G) ( x G y G) için olaak şekilde bir G τ bulunabiliyorsa bu uzaya bir Τ0 - uzayı veya Kolmogro uzayı denir. Lemma 3..5. Bir (, τ ) uzayının Τ0 - uzayı olması için gerek ve yeter koşul her xy, ve x y için ( x) ( y) Ι Ι olmasıdır. İspat: " ", Τ0 - uzayı xy, ve x y olsun. O zaman, Τ0 - uzayı olduğundan ( x G y G) ya da ( x G y G) olaak şekilde de bir G açık kümesi vardır. Dolayısıyla x l { y} ya da y l { x} dir. y l { y} kabul edelim. O zaman { y} Ι ( x) olur. Aynı zamanda y l { y} { y} Ι ( y) olur. Sonuç olarak ( x) ( y) " " Her xy, ve x y ( y) Ι Ι olur. olduğunu olduğundan için Ι ( x) Ι ( y) dir. O zaman A ( x) Ι ve A Ι olaak şekilde bir A olduğunu kabul edelim. Dolayısıyla x l A 32

3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER ve y l A dır. Böylee x l A ve y l A olur. l A açık olduğundan, Τ0 - uzayı olur. Tanım 3..6. Bir (, τ ) uzayındaki bir I ideali, eğer A Ι olduğunda koşulunu sağlıyorsa I ya bir - ideali denir. l A Ι Sonuç 3..7. Her serbest ideal bir - idealdir. İspat: I, (, τ ) da bir serbest ideal olsun. O zaman bir x için = ( x) ise x l A olup x l ( la) = la olur. Böylee l A Ι dır. ( A Ι ise x l A= A ise x A= A olduğundan A Ι dır. ) Ι Ι dir. A Ι Tanım 3..8., in bir genişlemesi olsun. y için, { } (, ) = { : } = : Ι S y A y l A A A y şeklinde tanımlanan kümeye y nin kuvveti denir. O zaman (, ) l A l A S y, üzerinde bir - idealdir. Çünkü A ise I = olduğundan la l la = la olur. O zaman y l A ise l A S( y, ) olur. l Aolup l ( l A) l Aolur. Dolayısıyla ise y l ( l A) olur. ani, A S( y, ) nin kuvvet sistemlerinin kümesini ˆ { S( y, ) : y } = ile göstereeğiz. { α } ve ise (, ) { : } : α = K y α S y α = A y l A = A A Ι y α Lemma 3..9., in bir genişlemesi olsun. O zaman her x için ( x) S x, =Ι dir. İspat: S( x, ) = { A : x l A} = { A : x l AI } { A x l A} ( x) = =Ι : olur. Dolayısıyla S( x) ( x), =Ι dir. 33

3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER Teorem 3..0. Bir topolojik uzayın iki denk genişlemesinin kuvvet sistemleri özdeştir. İspat:, 2 bir uzayının iki denk genişlemesi ise = 2 olduğunu göstermeliyiz. Burada, dir. ve 2 = { S( y, ) : y } ve 2 = { S( y2, 2) : y2 2}, in iki denk genişlemesi ise :, x = x olaak şekilde bir 2 homeomorizma vardır. O zaman = 2 olduğunu göstermek için y için S y, = S y, olduğunu göstermek yeterlidir. homeomorizma ve 2 A olduğundan olur. Sonuç olarak = olur., 2 2 A S y y l A y l A = l A 2 ( ( ), 2) A S y Teorem 3... Bir Tyhono uzayının herhangi bir noktalarının kuvvetleri de arklıdır. α kompaktlamasının arklı İspat: y, y2 α ve y y2 olsun. α, Τ2 - uzay olduğundan 2 α de y Gy, H ve GI H = olaak şekilde G ve H açık kümeleri vardır. O zaman y l G ve y l H ise y l ( G ) 2 α α I dir. A= GI alırsak, α de 2 α yoğun olduğundan A ve y2 lα A Ayrıa, olur. Dolayısıyla A S ( y α ) α de yoğun olduğundan y lαa lαg Sonuç olarak S( y, α) S( y, α) 2 olur. dir. = olup A S ( y α ), olur., Not 3..2. Teorem 3.. den bir Hausdor uzayının bir Hausdor genişlemesinin arklı noktalarının kuvvet sistemlerinin de arklı olaağı sonuu elde edilir. 34

3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER Lemma 3..3. α K olsun. Eğer x ve komşuluklarının bir bazı ise o zaman, kümesi α { α } = l N : N B B α de x in komşuluklarının bazıdır. İspat: N B, de x in B olsun. lα N, α de x in bir komşuluğu olduğunu göstermeliyiz. U, x U N ile in açık bir kümesi ve V, α de V I = U ile açık bir küme olsun., α de yoğun olduğundan, ( I ) x V l V = l V = l U l N α α α α dir. Böylee lα N, α de x in bir komşuluğudur. α de x in her komşuluğu yukarıdaki şekilde bir komşuluğu içerir ve böylee ispat tamamlanmış olur. Teorem 3..4. Bir (, τ ) topolojik uzayının tam regüler olması için gerek ve yeter { } koşul B = {} 0 / : sürekli ailesinin τ için bir baz olmasıdır. İspat: " " (, τ ) tam regüler olsun. x G τ olsun. O zaman G, de kapalı ve x ( G) dir. Dolayısıyla öyle bir : [ 0,] sürekli ve 0 ( G) = onksiyonu vardır. g( x) ( x) sürekli bir onksiyondur. Ayrıa g( x ) =, g( G) 0 { : 0} x =, = alalım. O zaman g onksiyonu = sağlanır. Eğer g kümesi Sg = x g x = ile gösterilirse x Sg G olduğu kolaya görülür. Çünkü = 0 g x ve g( G) 0 S g açıktır. O halde x Sg g ({ 0} ) B dır. " " B, τ için bir baz, A, de kapalı ve x0 = dır. Ayrıa reel değerli ve sürekli her g için yani { 0} x g G olup A olsun. O zaman A, de açık ve x0 A olur. B, baz olduğundan en az bir : sürekli onksiyonu vardır öyle ki x { } A olur. { } 0 0 olduğundan { 0} açıktır. Şu halde 0 0 0, de kapalı sürekli x dır. Her x için 35

3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER g x ( x) ( x ) = maks 0,min 0 olarak tanımlanırsa g her x için 0 g( x) koşulunu sağlayan sürekli bir onksiyondur ve ayrıa g( x 0) = 0 ve g( A ) = sağlanır. Sonuç olarak (, ) regülerdir. Teorem 3..0 un tersini aşağıdaki şekilde yazabiliriz. τ tam Teorem 3..5. Bir Tyhono uzayı özdeş kuvvet sistemlerine sahip iki kompaktlaması α ve γ ise bu iki kompaktlama denktir. İspat: Hipotezden den y α için öyle bir tek z γ O zaman : α γ, Dolayısıyla, { S y, α : y α} { S( z, γ) : z γ} = dir. Teorem 3.. vardır öyle ki S( y, α) S( z, γ) = dir. y = z olsun. onksiyonu birebir ve örten olur. ( α ) = ( γ ) S y, S y,... i dir. x için S( x, α) = S ( x) = x, γ dir. ani ( x) ( x) Ι =Ι dir. (Lemma 3..9 dan S( x α ) =Ι ( x) =Ι ( x), S( x ) ( x) ( x) Böylee ( α ), α ( γ ) α γ, γ γ =Ι =Ι dir.) S x, = S x = x, ve olup ispat için onksiyonunun homeomorizma olduğunu göstermek yeterlidir. y l A y l A olur. ani A için, γ i den dolayı A için, = =... l A l A l A ii α γ γ olur.{ lαa: A } ve { lγa: A } ( ve için α γ ) kompakt kümeler ailesi kapalı bazdır. onksiyonu bir homeomorizmadır. ii den ve den dolayı bu iki aile birebir eşlenebileeğinden 36

3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER 3.2. İdeal Genişlemeler Tanım 3.2.., bir uzayının genişlemesi olsun. Eğer, nin arklı noktaları arklı kuvvetlere sahip ve { l A: A } kapalı kümeleri için bir baz oluyorsa ye, in bir ideal genişlemesi denir. ailesi nin Not 3.2.2. i. Eğer bir uzayı bir ideal genişlemesine sahip ise, Τ0 - uzayı olmak zorundadır. Çünkü, x x ( x ) ( x ) (, ) S( x, ) S x 2, için Ι =Ι ise Lemma 3..9 dan dolayı 2 2 = olurdu. Dolayısıyla i) den dolayı x = x2 ve Lemma 3..5 den dolayı, Τ0 - uzaydır. ii. Bir Τ0 - uzayının herhangi bir ideal genişlemesi de Τ0 - uzayıdır. Gerçekten, y, y2 için ( y ) ( y ) Ι =Ι ise, 2 { } (, ) = { : } = : Ι S y A y l A A A y { A : A ( y2) } { A : y2 la} S( y2, ) = Ι = = olup Tanım 3.2. i) koşulundan dolayı y = y2 olup Lemma 3..5 den, Τ0 - uzayıdır. Teorem 3.2.3., bir Τ0 - uzayının bir ideal genişlemesi olsun. O zaman, in bütün serbest idealleri taraından içerilen üzerindeki - ideallerinin uygun bir alt ailesinden elde edilen bir İspat: { S( y, ) : y } genişlemesine denktir. = = olsun. O zaman bir kümesi olduğu açıktır. İlk öne tanımlamaya çalışalım. ın üzerindeki - ideallerinin üzerinde bir Kuratowski kapanış operatörü Φ:, x için Φ ( x) =Ι ( x) olarak tanımlayalım., Τ0 - uzay olduğundan Lemma 3..5 den Φ onksiyonu birebirdir. A için 37

3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ Ümit CİĞER { = Ι : Ι } ve = { A : A } A A B olsun. İlk öne B nin üzerindeki bir topolojinin kapalı kümeleri için bir baz olduğunu gösterelim. A, B B olsun. ( AUB) = { Ι : AU B Ι } = { Ι : A Ι veya B Ι} { : } { : } = Ι A Ι U Ι B Ι = A U B ise A U B B dir. B nın üzerinde doğurduğu bu topoloji ile ilişkilendirilen veya bu topolojiyi veren Kuratowski kapanış operatörü d olsun. O zaman her ( α) = I { : α ve } d A A A α için, olur. ani d ( α ), B nın doğurduğu topolojiye göre α nın kapanışı olur. Öne d ve Φ: arasındaki bazı ilişkileri açıklayalım. i. Her A için Φ ( l A) = A Φ x l A A Ι x =Φ x A I Φ olur. ( A) ii. Her A için ( A) A I dir. Gerçekten, Φ olup i) den dolayı ( A) ( l A) A Φ Φ dir. iii. Her A için d Φ ( A) = A dir. ii) den dolayı bir B için Φ B olsun. O zaman, x A ise Φ x B ise Ι x B ise B Ι x ise x l B dir. Böylee A l B dir. Buradan hemen aşağıdakileri not edebiliriz. a) A B ise A B dir. Gerçekten, Ι A ise A Ι ise B Ι ise Ι B dir. b) Her B için l B B l B l B B B = dir. Gerçekten, Ι Ι Ι Ι olur ve Ι bir - ideal olduğundan dolayı l B B = dir. Şimdi A l B ise A ( l B) = B ise A d Φ ( A) ve d nin tanımından dolayı da d Φ( A) A dir. Dolayısıyla A d ( A) den daima Φ l A = d Φ A Φ I ve ( x) ve { : } Φ = A dir. Ayrıa = Φ dır. i) ve iii) = dır. Çünkü, = Ι Ι dır. Şimdi için (, ) y S y, 38