ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:10-Sayı/No: : 383-388 (009) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE BAZI ÜÇGENSEL VE DÖRTGENSEL PROJEKTİF BİLARDO SINIFLARI ÜZERİNE Ali DENİZ 1, Adrei V. RATİU ÖZ Bu makalede Tabachikov tarafıda taımlaa projektif bilardou iki özel sııfı ele alımıştır. Bir üçgei kearları üzeride keara çapraz olarak taımlaa özel bir vektör alaı içi bütü yörügeleri periyodik olduğu gösterilmiştir. Ayrıca dörtge üzeride taımlaa bezer bir vektör alaı içi parçacığı periyodik yörügelerii sadece köşegeleri kesim oktasıda geçe yörügeler olduğu kaıtlamıştır. Aahtar Kelimeler : Bilardo problemleri, projektif geometri, periyodik yörüge. ON CERTAIN CLASSES OF TRIANGULAR AND QUADRILATERAL PROJECTIVE BILLIARDS ABSTRACT I this paper we study two particular classes of projective billiards, a cocept itroduced by Tabachikov. We prove that for a special choice of the trasverse vector field alog the edges of a triagular billiard table, all its trajectories are periodical, ad that for a similarly defied vector field alog the edges of a quadrilateral table the periodic trajectories are exactly the oes passig through the itersectio poit of the diagoals. Keywords: Billiards problems, projective geometry, periodic trajectory. 1. GİRİŞ -boyutlu uzayda ( ) parçalı düzgü bir M bölgesi içide düz doğrular boyuca birim hızla hareket ede ve bir sıır oktasıa geldiğide yasıma kurallarıa uyarak (geliş açısı yasıma açısıa eşittir.) yasıya bir parçacığı davraışıı iceleye problemler geel olarak bilardo problemleri olarak adladırılır. Parçacık düzgülüğü bozulduğu bir q M sıır oktasıa geldiğide, bu oktada teğet ve ormal taımlı olmadığı içi hareketi soa erdiği varsayılır. Düzgü sıır oktalarıda teğet ve ormal vektörleri taımlıdır. Geliş açısı, parçacığı sıır oktasıa geliş yöüü göstere birim vektörü o oktadaki ormal vektörü ile yaptığı açıdır. Yasıma açısı ise parçacığı sıır oktasıda ayrıldığı yöü göstere vektörle ormal vektör arasıdaki açıdır. Yasıma kuralıa uyarak yasıya parçacık içi yasıma açısı geliş açısıa eşittir. (Şekil 1.) Yasıma, vektörler yardımıyla da ifade edilebilir. Gele ışı vektörü v, bu oktadaki (birim) teğet ve ormal vektörleri ciside yazıldıkta sora, ormal bileşeii işareti değiştirilmek suretiyle yasıma vektörü buluur. Bu işlem yapıldığıda bu oktadaki ormal vektör olmak üzere yasıma vektörü q w = v v, q q 1, Aadolu Üiversitesi, Matematik Bölümü, 6470 ESKİŞEHİR. e-posta: adeiz@aadolu.edu.tr, İstabul Bilgi Üiversitesi, Matematik Bölümü, İSTANBUL. e-posta: ratiu@bilgi.edu.tr Geliş: 31 Ekim 007; Kabul: 15 Eylül 008

384 şeklide buluur. Burada, Öklidye iç çarpımı göstermektedir. (Deiz, 005, Tabachikov, 005). (bkz. Şekil 1.) Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 10 () üçge, α, β, γ da sırasıyla A, BC, köşelerideki açılar olsu. ABC üçgeii yüksekliklerii kesim oktası H ve yükseklikleri kearlar üzeride belirlediği oktalar sırasıyla DEF,, olsu. (bkz. Şekil ). Bu durumda DEF periyodik bir bilardo yörügesidir ve ABC üçgeii Fagao yörügesi veya ortik üçgei olarak adladırılır. Şekil 1. Yasıma kuralı: geliş açısı yasıma açısıa eşittir. Hareketi esasıda takip ettiği yola parçacığı yörügesi deir. Bir bilardo yörügesi kapalı bir yörüge ise, yai, bir q M oktasıda v vektörü yöüde harekete başlaya parçacık, belirli bir süre sora yie q M oktasıa v vektörü yöüde yasıyacak şekilde geliyorsa bu yörügeye periyodik yörüge adı verilir. Bu makalede düzlemde üçgeler ve dörtgeler içideki bilardo problemleriyle ilgileeceğiz. Geel olarak çokgeler içide periyodik yörügeleri varlığı problemi hala çözülememiştir. Acak bazı özel çokgeler içi periyodik yörügeleri var olduğu gösterilebilmiştir. Öreği bütü dar açılı üçgeler içide Fagao yörügesi olarak adladırıla periyodik bir yörüge vardır (Tabachikov, 005). Dik açılı üçgeler başka türde periyodik yörügelere sahiptirler. Bu yörügeler Holt (1993) tarafıda sııfladırılmıştır. Acak bu durum geiş açılı üçgeler içi geçerli değildir. Bazı özel türde geiş açılı üçgeleri de periyodik yörügeye sahip oldukları gösterilmiştir. (Vorobets vd. 199, Halbeise ve Hugerbuhler, 000). Çokgeler içideki periyodik yörügeleri varlığı ile ilgili olarak e geel çalışma Masur (1986) tarafıda yapılmıştır. Bua göre açıları i rasyoel katları ola her çokge içide periyodik bilardo yörügeleri vardır. 1.1 Dar Açılı Üçgelerde Fagao Yörügesi Dar açılı üçgeler içide yükseklik ayaklarıı birleştirilmesiyle elde edile üçge periyodik bir bilardo yörügesidir. ABC dar açılı bir Şekil. Fagao Yörügesi. DEF üçgeii periyodik bir bilardo yörügesi olduğuu kaıtlamak içi D, E, F köşelerideki geliş ve yasıma açılarıı eşit olduğuu göstermek gerekir. AFHE, BDHF ve CEHD dörtgeleride karşılıklı açıları toplamı olduğuda dolayı dörtgeler birer çember üzeride buluurlar. BDHF dörtgeide HBF açısı ile HDF açısı ayı yayı gördükleri içi ölçüleri eşittir. AEB dik üçge olduğu içi bu açıları ölçüsü α dır. ( ile açı, m( ) ile açıı ölçüsü gösterilmektedir). Böylece mhbf ( ) = mhdf ( ) = α elde edilir. Diğer tarafta CEHD dörtgeide EDH ECH açıları ayı yayı gördükleride ölçüleri eşittir ve AFC dik üçge olduğuda bu açıları ölçüleri de α dır. Böy- lece D köşesideki geliş ve yasıma açıları içi medh ( ) = mhdf ( ) = α olur. Bezer biçimde F ve E köşelerideki yasıma ve geliş açılarıı eşitliği de kolaca

Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, 10 () 385 gösterilebilir. Böylece DEF üçgeii periyodik bir bilardo yörügesi olduğu kaıtlamış olur. Öklidye yasıma durumuda her üçgede periyodik yörügei varlığıı bilimemesie rağme, projektif bilardoda her yörügesi periyodik ola üçgesel bilardo sııfı taımlayacağız. dır. (bkz. Şekil 3 ). cot α + cot β = cotγ 1. Projektif Bilardo Öklid uzayıda bir M bölgesii bir sıır oktasıda yasıma işlemi, gele ışı vektörü bu oktadaki teğet ve ormal ciside yazıldıkta sora, ormal bileşeii işareti değiştirilmek suretiyle yapılır. Tabachikov, bu taımı, ormal vektör yerie kear oktasıda teğete çapraz bir vektör alarak geelleştirmiş, projektif yasıma kavramıı taımlamıştır. Projektif yasımada gele ışı v teğet vektörü t ve teğete çapraz bir vektörü ciside yazılır: v = λ 1t + λ, ( λ 1, λ ). Daha sora yasıma vektörü ormal bileşeii işareti değiştirilerek elde edilir: T ( v) = λ1t λ. Bu şekilde elde edile bilardo sııfı projektif bilardo, burada yapıla yasıma da vektörüe göre projektif yasıma olarak adladırılır. (Tabachikov, 1997). Projektif yasıma bu taıma dek olarak v i belirlediği doğruu, t ve i belirlediği doğrulara göre harmoik eşleiği olarak da taımlaabilir. Öcelikle düzlemde bir oktada kesişe dört doğruu harmoik eşleik olmasıı taımlayalım. l1, l, l3, l4 doğrularıı çifte oraı, yardımcı bir l doğrusuu l1, l, l3, l4 doğrularıı kestiği oktalar sırasıyla X 1, X, X 3, X 4 olmak üzere Şekil 3. Harmoik eşleik doğrular içi cot α + cot β = cotγ dir.. PERİYODİK YÖRÜNGELİ BİLARDO SINIFININ TANIMLANMASI Şimdi verile bir ABC üçgeii kearları üzeride keara çapraz bir yö taımlayarak projektif yasımaya göre bütü yörügeleri periyodik ola bir üçge elde edeceğiz. ABC herhagi bir üçge ve bu üçgei (köşeler dışıdaki) bütü kear oktalarıa o oktada karşı köşeye doğru birim vektör eklemek suretiyle verile vektör alaı da N olsu. (Şekil 4). ABC üçgei içide doğrular boyuca ilerleyerek kear oktasıda N ye göre projektif yasıma yapa parçacığı hareketii ele alalım. Bu durumda aşağıdaki teorem geçerlidir: Teorem 1. ABC üçgeide N vektör alaıa göre projektif yasıma yapa parçacığı bütü yörügeleri periyodiktir. 1 3 3 [ l, l ; l, l ] = [ X, X ; X, X ] = : 1 3 4 1 3 4 X X X X X X X X 1 4 4 şeklide taımlaır ve seçile yardımcı l doğrusuda bağımsızdır (Kaya, 199, Tabachikov, 1997). l doğrusuu 3 l,l 1 doğrularıa göre harmoik eşleiği ise [ l 1, l; l3, l4 ] = 1 olacak şekildeki l 4 doğrusudur. Bua göre v i t ve ye göre harmoik eşleiği [ t, ; v, T ( v)] = 1 olacak şekildeki T (v) dir. (Tabachikov, 1997). Lemma 1. (Tabachikov, 1997). Bir oktada geçe harmoik eşleik doğrular arasıdaki açılar şekildeki gibi adladırılmak üzere Şekil 4. N vektör alaı, üçgei kearları üzerideki her oktaya karşı köşeye doğru bir vektör iliştirir. İspat: Parçacık D oktasıda harekete başlayarak AC kearı üzerideki bir F oktasıa

386 çarpıyor olsu. Parçacığı F oktasıda projektif yasıma yaptıkta sora gideceği oktayı belirlemek içi BC yardımcı doğrusuu kullaacağız. Burada parçacığı F oktasıa geliş vektörü v, bu oktadaki teğet vektörü AC i belirlediği birim vektör t ve N vektör alaıı F oktasıda belirlediği vektör ise FB yöüdeki birim vektör dir. (bkz. Şekil 5). Şekil 5. DFE yörügesi periyodiktir. DF i belirlediği doğruu BC i belirlediği doğruyu kestiği okta E ' olsu. DC ve BF doğru parçalarıı kesim oktasıa da K diyelim. İddia ediyoruz ki, bu durumda parçacık F oktasıda N vektörüe göre projektif yasıma yaptıkta sora AK ı belirlediği doğruu BC yi kestiği E oktasıa çarpacaktır. Gerçekte Ceva teoremie göre EC FA DB 1 EB FC DA = dir. Diğer tarafta Mealeus teoremie göre E' C E' B FA FC DB DA = 1 dir. Bu eşitlikler taraf tarafa bölüürse EC E' C : = 1 EB E' B elde edilir. Bu eşitlik FE ' doğrusuu FC ve FB ye göre harmoik eşleiğii FE olduğuu gösterir. Yai parçacık F oktasıda N vektörüe göre projektif yasıma yaptıkta sora E oktasıa çarpacaktır. Bezer şekilde parçacığı E oktasıda yasıdıkta sora D oktasıa gideceği ve D oktasıda yasıdıkta sora yie F ye geleceği gösterilebilir. Böylece parçacığı yörügesii periyodik olduğu gösterilmiş olur. Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 10 () Teorem 1 e göre D köşeside DA, DC, ED, DF, E köşeside EB, EA, FE, ED ve F köşeside FC, FB, DF, FE doğru parçalarıı belirlediği doğrular harmoik eşleiktir. Buu soucu olarak düzlemdeki bir ABCD koveks dörtgei içide projektif yasıma yapa parçacığı hareketii iceleyeceğiz. ABCD düzlemde bir koveks dörtge, N de, AB ve BC kearlarıdaki oktalara D ye doğru, CD ve AD kearlarıdaki oktalara B ye doğru birim vektör iliştire bir vektör alaı olsu. Bua göre aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz. Teorem. ABCD koveks dörtgei içide yukarıda taımlaa N vektör alaı verilsi. Bu dörtge içeriside N ye göre projektif yasıma yapa parçacığı periyodik yörügeleri sadece köşegeleri kesim oktası E de geçe yörügelerdir. Diğer yörügeleri hareketi BD köşegeie yakısar. İspat: Teorem 1 de dolayı parçacık BD üzerideki bir oktada geçmek zorudadır. O halde hareketi BD üzerideki bir oktada başladığıı kabul etmekte bir sakıca yoktur. Parçacığı BD üzerideki bir F oktasıda BD ile α = m(dfg) radyalık bir açı yapacak şekilde atıldığıı varsayalım. Bua göre parçacık Teorem 1 de dolayı AD üzeride G ve AB üzeride H oktalarıda yasıyarak F oktasıa geri döecektir. Burada mdfh ( ) = β olsu. F oktasıda geçerek CD üzeride I ve BC üzeride J oktalarıda yasıyarak F oktasıa tekrar gele parçacığı yörügesii BD ile yaptığı açıyı α ' olarak gösterelim. Bir tur boyuca α açısıı α ' açısıa götüre bu döüşüm T : (0, ) (0, ) T ( α) = α' olarak yazılabilir. (Şekil 6). (Parçacık BD ile veya 0 radyalık açı yapacak şekilde atılırsa sırasıyla B ve D köşelerie giderek duracaktır. Böylece döüşümü açık aralıkta taımlayabiliriz.) m (DFA) = γ ve m (BFC) = δ olsu. (Şekil 7). ABD üçgeide Teorem 1 de dolayı F oktasıda, HF, FG, FA ve BD i belir-

Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, 10 () 387 ledikleri doğrular harmoik eşleiktir. Böylece Lemma 1 de dolayı cot α + cot β = cotγ olur. Bezer şekilde BCD üçgei içide F oktasıda FI, FJ, FC ve BD i belirlediği doğrular harmoik eşleiktir ve yie Lemma 1 gereğice cot β + cotα' = cotδ olur. (1) ve () eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa cotα cotα' = (cotγ cotδ ) (1) () (3) elde edilir. γ ve δ değişmediğide bu so eşitliği sağ tarafı sabittir. Şimdi parçacığı yörügelerii BD köşegei üzeride hareketi başladığı F oktasıı durumlarıa göre iceleyelim. Parçacık BD köşegei üzeride köşegeleri kesim oktasıda atılıyorsa, yai F = E ise γ = δ dır. Bu durumda (3) eşitliğii sağ tarafı sıfır olur ve burada cotα = cot α ' elde edilir. Kotajat foksiyou (0, ) aralığıda birebir olduğuda α = α ' buluur. Bu ise parçacığı yörügesii periyodik olması demektir. Parçacığı E oktasıda geçmeye yörügelerii BD köşegeie yakısadığıı göstermek içi F i BE üzeride olması ve F i ED üzeride olması durumlarıı ayrı ayrı iceleyeceğiz. Öcelikle F oktasıı BE üzeride olması durumuu ( F E) ele alalım. Bu durumda γ < δ dır ve kotajat foksiyou (0, ) aralığıda mooto azala olduğuda cot γ > cotδ dır. Böylece (3) eşitliğii sabit ola sağ tarafı sıfırda kesi büyüktür. Bu durumda cotα > cotα' elde edilir ve yie kotajat foksiyouu azalalığıda dolayı α < α' = T( α) soucua ulaşılır. Böylece α (0, ) olmak üzere 3 T( α), T ( α), T ( α),, T ( α), Şekil 6. T döüşümü α açısıı α ' açısıa götürür. şeklide oluşturula T ( α ) dizisi mooto artadır. = (cot γ cot δ ) > 0 olmak üzere (3) eşitliğide = 1,,3,... içi cotα cot T ( α) = elde edilir. Bu so eşitlikte ike limit alıırsa lim cot T ( α) = buluur. T ( α) (0, ) olduğuda lim T ( α) = elde edilir. Bu ise parçacığı yörügesii BD köşegeie yakısaması alamıa gelir. Şekil 7. γ ve δ açıları değişmediğide (cot γ cot δ ) sabittir. F oktasıı ED üzeride buluması durumuda ise γ > δ dır ve böylece = (cot γ cot δ ) < 0 olur. Burada α > α' = T ( α) elde edilir. Bu durumda T ( α ), mooto azala bir dizidir. Yukarıdakie bezer bir argümala lim cot T ( α) = ve burada da

388 lim T ( α) = 0 elde edilir. Bu ise yie yörügei yie BD köşegeie yakısaması demektir. ABCD dörtgeii koveks olmaması durumuda da Teorem i bir bezeri geçerlidir. ABCD koveks değilse köşegeleride sadece biri dörtge içide kalır. Bu köşegee iç köşege diyelim. Dörtgei her bir kearı iç köşegei birleştirdiği iki köşede birii üzeride buludurur. İşte her bir kearda, kedi üzeride olmaya, iç köşegei diğer köşesie doğru birim vektör iliştirmek suretiyle elde edile vektör alaı N olsu. Bu durumda ABCD dörtgei içide düz doğrular boyuca giderek sıır oktalarıda N vektör alaıa göre projektif yasıma yapa parçacığı bütü yörügeleri iç köşegee yakısayacaktır. ABCD i koveks olmaması durumuda köşegeleri kesim oktası dörtgei dışıda kalacağıda parçacığı periyodik yörügesi yoktur. 3. SONUÇ Düzlemde üçge ve koveks dörtge üzeride alıa iki özel vektör alaıa göre projektif bilardo yörügeleri icelemiş ve aşağıdaki souçlar elde edilmiştir. Bir üçgei bütü kear oktalarıa, o oktada karşı köşeye doğru birim vektör eklemek suretiyle bir vektör alaı oluşturalım. Bu üçge içide düz doğrular boyuca hareket ede ve bir kear oktasıda oluşturula vektör alaıa göre projektif yasıma yapa parçacığı bütü yörügeleri periyodiktir. Düzlemde bir ABCD koveks dörtgeide, AB ve BC kearlarıdaki oktalara D ye doğru, CD ve AD kearlarıdaki oktalara B ye doğru birim vektör iliştire bir vektör alaı oluşturalım. Bu dörtge içide düz doğrular boyuca hareket ede ve bir kear oktasıda oluşturula vektör alaıa göre projektif yasıma yapa parçacığı periyodik yörügeleri sadece köşegeleri kesim oktasıda geçe yörügelerdir. Diğer bütü yörügeler BD köşegeie yakısarlar. Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 10 () Holt, F. (1993). Periodic Reflectig Paths i Right Triagles. Geometriae Dedicata 46, 73-90. Kaya, R. (199). Projektif Geometri. Aadolu Üiversitesi Fe Ed. Fak. Yay. o:7. Masur, H. (1986). Closed Trajectories for quadratic differetial with applicatio to billiards. Duke Math. Joural, 53 (). Tabachikov, S. (1997). Itroducig Projective Billiards. Ergod. Th. & Dyam. Sys. 17, 957-976. Tabachikov, S. (005). Geometry ad Billiards, AMS. Vorobets, Ya. B., Gal peri, G.A., Stepi, A.M. (199). Periodic Billiard Trajectories i Polygos: Geeratig Mechaisms. Uspekhi Math. Nauk. 47(3), 9-74. Ali DENİZ, 1976 yılıda Akara da doğdu. Lisas öğreimii Aadolu Üiversitesi Matematik Bölümü de 1998 yılıda tamamladı. Aadolu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü de 001 yılıda yüksek lisas öğreimii, 005 yılıda doktorasıı tamamladı. 005 yılıda bu yaa Aadolu Üiversitesi Matematik Bölümü de öğretim üyesi olarak olarak görev yapmaktadır. Adrei Valeti RATİU, 1964 yılıda Bükreş'te doğdu. Lisas öğreimii Bükreş Üiversitesi de tamamladı. 1996 yılıda Paris 7 Üiversiteside, Düğümler Teorisi üzerie doktorasıı tamamladı. Hale öğretim üyesi olarak İstabul Bilgi Üiversitesi Matematik Bölümü de çalışmaktadır. KAYNAKLAR Deiz, A. (005). Çeşitli Bilardo Sııflarıdaki Yörügeleri İcelemesi. Doktora Tezi, Aadolu Üiversitesi. Halbeise, L. ve Hugerbuhler, N. (000). O Periodic Billiard Trajectories i Obtuse Triagles. SIAM Review 4 (4), 657-670.