1
2
Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük. Genişlemiş ortalama değer teoremi diye anılan aşağıdaki teorem önemli sonuçlar vermektedir. f fonksiyonu [a,b] aralığında türetilebiliyorsa, t [a,b] olmak üzere, ortalama değer teoremimini f (x) = f (a) + f (t)(x a) (9.1) biçiminde ifade edebiliriz. t değişkeni a ya yaklaşırken, f (x) f (a) + f (a)(x a) (x a) (9.2) çıkar. Bu formül f (x) değerine teğet boyunca yaklaşımı verir. Bu yaklaşımda yapılan hatanın x a dan küçük kaldığını biliyoruz. f fonksiyonunun ikinci basamaktan türevi varsa, söz konusu yaklaşımı iyileştirebiliriz: Teorem 9.1 I aralığının her noktasında f ikinci basamaktan türevi varsa, her a, x I için f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (t) 2 (x a)2 (9.3) eşitliğini sağlayan bir t [a, x] noktası vardır.
188 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI İspat: h(x) = f (x) f (a) f (a)(x a), g (x) = (x a) 2 dersek, x = a için, h(a) = g (a) = 0, h (x) = f (x) f (a) çıkar. f ve g fonksiyonlarına x > a için [a, x] aralığında, x < a için [x, a] aralığında, Cauchy Ortalama değer Teoremini uygularsak, h(x) g (x) h(x) h(a) = g (x) g (a) = h (t 1 ) g (t 1 ) = f (t 1 ) f (a) 2(t 1 a) koşulunu sağlayan bir t 1 [a, x] sayısının varlığı ortaya çıkar. Bu duumda, a, t 1 ] ya da t 1, a aralıklarında ortalama değer teoremi uygulanırsa, f (t 1) f (a) = f (t)(t 1 a) eşitliğini sağlayan bir t [a, t 1 ] [a, x] sayısının varlığı söylenebilir. Öyleyse, h(x) g (x) = f (t)(t 1 a) = f (t) 2(t 1 a) 2 eşitliğini sağlayan bir t [a, x] öğesinin varlığı çıkar. Buradan, çıkar. h(x) = f (t) 2 g (x) = f (t) 2 (x a)2 9.2 Teğet Boyunca Yaklaşımdaki Hata Çoğu zanan aradığımız gerçek değri bulmaz, onun yerine yaklaşık bir değer alırız. (9.3) formülü ile verilen Genişlemiş Ortalama Değer Teoremi de f (x) değerine yaklaşık bir değerdir. f (x değerine teğet boyunca yaklaşımıla elde edilen değeri alırsak, (9.3) formülünden ilk iki terimi alıp üçüncü terimi atmış oluruz. Dolayısıyla ayapacağımız hata atılan H 1 = f (t) 2 (x a)2 (9.4) terimi kadardır. Buradan mutlak değere geçersek yapacağımız hatanın ne kadar olduğu ortaya çıkar: H 2 = 1 2 (x a)2 f (t) (9.5)
9.2. TEĞET BOYUNCA YAKLAŞIMDAKİ HATA 189 Örnek 9.1 x = 0 noktasının komşuluğunda f (x) = e x fonksiyonuna genişlemiş ortalama değer teoremini uygulayarak, doğrusal yaklaşımda yapılan hatayı belirleyiniz. Çözüm: f (x) = e x fonksiyonunun ikinci basamaktan türevi olduğu için, genişlemiş ortalama değer teoremi yazılırsa, f (x) = f (0) + f (0)(x 0) + f (0) (x 0)2 2 e x = e 0 + e 0 (x 0) + e0 (x 0)2 2 = 1 + x + 1 2 x2 çıkar. Yapılan hata H 2 1 2 x2 dir. Komşuluğu ( 1 100, 1 100 ) olarak alırsak, H 2 1 2.( ) 1 2 100 1 20000 olur. Bu hata bir çok uygulamada kabul edilebilir bir hatadır. Ama, seçilen aralık küçüldükçe yapılan hata azalacaktır. Örneğin, aralık ( 1 1000, 1 1000 ) olarak seçilirse, yapılan hata iki milyarda 1 den küçük olacaktır. olur. Örnek 9.2 sin32 o nin yaklaşık değrini bulunuz. Çözüm: Genişlemiş ortalama değer teoremine göre, f (x) = sin x fonksiyonu için f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 2 si nx = sin( π 6 )(x π 6 ) + 1 2 ( si n(π 6 )(x π 6 )2 olduğuna göre, bu eşitlikten son terimi atarsak, yapılan hata, x π 6 < 1 100 seçersek H 2 1 2 ( si n(π 6 )(x π 6 )2 1 2. 1 ( ) pi 2 2. < 1 ( ) 1 2 < 1 6 4 100 40000 olur.
190 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI 9.3 Doğrual Yaklaşım Çoğu kez fonksiyonun belirli bir noktadaki gerçek değerini bulamayız. O zaman fonksiyonun o naktadaki teğeti boyunca gerçek değer yaklaşmaya çalışırız. Teğet bir doğru denklemi ile verildiği için onun üzerindeki her değri hesaplayabiliriz. O nedenle hesaplanamayan f (a) değeri yerine, şekiden görüldüğü gibi teğet üzerinde şekilden görüldüğü gibi, teğet boyunca yaklaşarak, teğet üzerindeki bir noktanın değerini gerçek f (a) değerinin yaklaşık bir değeri olarak alırız. Bu eyleme doğrusal yaklaşım denilir. Fonksiyonun gerçek değerinin hesaplanamaığı ama birinci türevinin var olduğu her noktada bunu yapabiliriz. Üstelik, teğet boyunca yalaşımı sınırsız olarak yaparsak, yapılan hata çok azalır. Eğrinin grafiği (a, f (a)) noktasının bir komşuluğunda aşağıya doğru iç bükey ise, teğet aşağıda kalacağından alınan yaklaşık değer gerçek değerden daha küçük olur. Tersine olarak, eğrinin grafiği (a, f (a)) noktasının bir komşuluğunda yukarıya doğru iç bükey ise, teğetyukarıda kalacağından alınan yaklaşık değer gerçek değerden daha büyük olur. Her iki durumda f (x) f (a) + f (a)(x a) + H 2 (9.6) olur. Yani yapılna hata H 2 dir. Bunun ne kadar olduğu hesaplanabilir. Örnek 9.3 Her gerçel x sayısı için 1 1 2 x2 cos x olduğunu gösteriniz. Çözüm: f (x) = cos x fonksiyonuna genişlemiş ortalama değer teoremini uygularsak, cos x = 1 1 2 x2 + sinc 6 x3 olacak şekilde bir c [0, x] sayısı vardır. olur. x π sinc 6 x3 0, x π 1 1 2 x2 < 3 cos x
9.4. YAKLAŞIM EYLEMİ 191 9.4 Yaklaşım Eylemi Bilimin bir çok dalında istenen gerçek değer elde edilemez. O zaman mümkün olduğu kadar gerçek değere yakın bir değer elde edilmeye çalışılır. Genel olarak matematikte yaklaşım eylemi diye adlandırılan konu oldukça geniştir ve iyi incelenmiştir. Farklı matematiksel uzaylarda yaklaşım eyleminin nasıl yapıldığı ve gerçek değer yerine yaklaşık değer alındığında yapılacak hatanın sınırları belirlenir. Taylor teoremini ifade etmeden önce yaklaşım eyleminin geometrik yorumunu açıklamakta yarar olabilir. Bir fonksiyonun bir a noktasındaki değerine o noktadaki teğet ile yaklaşırsak, adına doğrusal yaklaşım dediğimiz yöntem ortaya çıkıyordu. Teğet denklemi birinci basamaktan türev cinsinden ifade edilebildiği için, doğrusal yaklaşım yöntemini birinci basamaktan türevi olan her fonksiyona uygulayabiliriz. En kolay yaklaşım eylemlerinden birisi doğrual yaklaşımdır. Fonksiyonun f (a) değeri hesaplanamıyorsa, o değere A(a, f (a)) noktasından çizilen teğet boyunca yaklaşılır. Bu yaklaşım teğetin varlığını gerektirir. Dolayısıyla birinci basamaktan türevi olan her fonksiyona uygulanabilir. Bu uygulamayı geçerli kılan formül ortalama değer teoremi dir. A(a, f (a)) noktasına teğet boyunca yaklaşmak yerine başka eğriler de düşünülebilir. Örneğin, o noktada eğriye en yakın olan parabol üzerinden yaklaşmak da düşünülebilecek yöntemlerden birisidir. Tabii, A(a, f (a)) noktasından geçen bir parabolü bulmak için fonksiyonun ikinci basamaktan türevine gerekseme doğar. Eğer, f fonksiyonunun a noktasında ikinci basamaktan türevi varsa, Genişlemiş Ortalama Değer Teoremi bize istenen değere parabol üzerinden yaklaşma olanağı verir. Tabii, bu düşünceyi genelleşirebiliriz. Hesaplanamayan değer teğet doğrusu ya da parabol üzerinden yaklaşmak yerine üçüncü, dördüncü,... n-inci dereceden polinomlarla yaklaşımı deneyebiliriz. Polinun derecesi arttıkça eğriye daha iyi yakın olan polinomlar ortaya çıkar. Ama polinomun derecesi ile birlikte asıl fonksiyonun gereken türev basamağı da artar. Taylor teoremi k-kez türetilebilen bir fonksiyonun yaklaşık değerini verir. Yaklaşım için alınan terimlerin tamamı bir polinom olur. Dolayısıyla, fonsiyona bir polinom ile yaklaşım söz konusu olur. Fonksiyona polinomlarla yaklaşılabilmesi, işimizi çok kolaylaştırır. Çünkü polinomlar, sayılardan sonra en kolay kullanılabilen nesnelerdir. Taylor teoremi İngiiz matematikçi Brook Taylor tarafında 1712 yılında ifade edilmiştir. O zamandan beri, teoremin farklı biçemlerde ifadesi ortaya çık-
192 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI mıştır. Ondan önce de teoremin ifade edildiği bilinmektedir. 1671 yılında James Greory benzer bir ifade kullanmıştır. Doğrusal yaklaşımda p 1 (x) = f (a) + f (a)(x a) polinomu kullanılıyor. Burda yapılan hata H 1 = f (x) P 1 (x) dir. Genişlemiş Ortalama Değer teoremi ise şöyle diyor: f ve f fonksiyonları [a,b] aralığında sürekli iseler ve f türetilebilir bir fonksiyonsa f (b) = f (a) + f (a)(b a) + f (c) (b a)2 2 olacak biçimde bir c (a, b) sayısı vardır. Burada b = x ve a = b alınırsa, f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 2 elde edilir. Burada son terim atılırsa, M = sup{f (t) : t [a, x]} olmak üzere, yapılan hata H 1 = f (x) P 1 (x) M (x a)2 2 dir. Yaklaşımım en iyi olması için lim H 1(x) = 0 a x olmalıdır. Taylor teoremi ortalama değer teoremlerinin genel halidir. Esas olarak f (x) değerine bir P n (x) polinomu ile yaklaşımdır. Bu yaklaşımda H n (x) = f (x) P n (x) hatasının mümkün olan en küçük değere erişmesi istenir. Teorem 9.2 [a, b] aralığında tanımlı f fonksiyonunun n-inci basamağa kadar sonlu türevleri var ve kapalı [a,b] aralığında sürekli olsunlar. f (n+1) türevi ise açık (a,b) aralığında sürekli olsun. Bu durumda, x (a,b) olmak üzere, f (x) = n k=0 f (k) (a) k! (x a) k + f (n+1) (t) (x a) (n+1) (n + 1)! = f (a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 + 2! + f (n) (a) (n)! (x a) n + f (n+1) (t) (x a) (n+1) (n + 1)!
9.4. YAKLAŞIM EYLEMİ 193 eşitliğini sağlayacak şekilde a ile x arasında bir t sayısı vardır. İspat: (isteğe bağlı) f = f (0) olmak üzere, h(x) = f (x) n k=0 f (k) (a), g (x) = (x a) (n+1) k! h (x) = f (x) f (a) f (a)(x a) f (n) (a) (n 1)! (x a)(n 1), h (x) = f (x) f (a) f (n) (a) (n 2)! (x a)(n 2),. h (n 1) (x) = f (n 1) (x) f (n 1) (a) f (n) (a)(x a), h (n) (x) = f (n) (x) f (n) (a) Burada sağ taraftaki terimlerin her türev alıştaki değişimleri g (x) = (n + 1)(x a) (n) g (x) = (n + 1)n(x a) (n 1). g (n 1) (x) = (n + 1)n(n 1)...4.3(x a) 2 g (n) (x) = (n + 1)!(x a) eşitlikleri belirler. Ayrıca, h(a) = g (a) = 0 h (a) = g (a) = 0. h (n) (a) = g (n) (a) = 0 olduğu görülebilir. Şimdi f ve g fonksiyonlarına x > a iken [a, x] aralıında, x < a iken [x, a] aralığında Cauchy Ortalama Değer Teoremi art arda uygulanırsa,
194 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI t i (i = 1,2,3,...,n) sayıları a ile x arasında olmak üzere, h(x) g (x). = h(x) h(a) g (x) g (a) = h (t 1 ) g (t 1 ), = h (t 1 ) g (t 1 ) = h (t 1 ) h (a) g (t 1 ) g (a) = h (t 2 ) g (t 2 ), = h(n) (t n ) g (n) (t n ) = f (n) (t n ) f (n) (a) (n + 1)!(t n a), Burada daima t i [a, t n 1) ] olduğunu ve dolayıyıyla t i sayısının a ile x arasında olduğunu tekrar vurgulayalım. Son olarak f (n) fonksiyonuna [a, t n ] aralığında ya da [t n, a] aralığında Ortalama değer teoremi uygulanırsa, t sayısı a ile t n arasında, dolayısıyla a ile x arasında iken, f (n) (t (n) f (n) (a) = f (n+1) (t)(t (n) a), çıkar ki buradan, h(x) g (x) = f (n+1) (t)(t n a) (n + 1)!(t n a) = f (n+1) (t) (n + 1)! yaxılabilir. Bu son ifadeden, çıkar. h(x) = f (n+1) (t) (n + 1)! g (x) = f (n+1) (t) (x a) (n+1) (n + 1)! Uyarı 9.1 Teorem (9.2) nin ilk satırının sağındaki iki terimi, sırasıyla, ve P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k k! R n (x) = f (n+1) (t) (x a) (n+1) (n + 1)!
9.5. TAYLOR SERİSİ 195 ile gösterirsek, yazabiliriz. f (x) = P n (x) + R n (x) (9.7) P n (x) toplamı n inci dereceden bir polinomdur. Buna n inci dereceden Taylor polinomu denilir. R ( x) ise (n + 1) inci kuvvetten tek terimdir. Buna n inci kalan terim diyeceğiz. n ne olursa olsun x = a için eşitliğin sağındaki terimler 0 değerini alır. Dolayısıyla f, f, f,..., f (n+1) fonksiyonlarının hepsi x = a noktasında 0 değerini alıyor ve f (x ile çakışıyor. Öyleyse, f fonksiyonu ile onun ilk n türevi olan fonksiyonların x = a noktasındaki teğetleri yatay eksene paraleldir. Gerçekten, Taylor polinomunun ardışık türevlerini alırsak, n P n (r ) = f (k) (a) k=r (k r )! (x a)(k r ) (r = 0,1,2,...n) = f (r ) (a) + f (r +1) (a)(x a) + + f (n) (a) ) (x a)(n r (n 1)! olur. x = a koyulursa P (r ) n (a) = f (r ) (a) (r = 0,1,2,...n) çıkar. Böylece P n (x) Taylor polinomunun x = a noktasında f (x) fonksiyonuna iyi yaklaştığı sonucuna varılabilir. 9.5 Taylor Serisi (9.7) eşitliği akla hemen şu soruyu getirir. f fonksiyonu sonsuz kez türeve sahip olursa ne olur? Tabii, bu durumda, f (x) = f (a) + F (a)(x a) + + f (n) (a) (x a) n + R n (x) (9.8) (n)! eşitliği her n için geçerli olacağına göre, lim R n(x) = 0 (9.9) n olması umulur. Bu olursa (9.8) eşitliği, f (x) = f (a) + F (a)(x a) + + f (n) (a) (x a) n + (9.10) (n)!
196 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI biçimini almalıdır. Buna Taylor serisi denilir. Bunun olabilmesi için (9.9) ün doğruluğunu göstermeliyiz: Teorem 9.3 (9.10) Taylor serisinin yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul (9.9) nin sağlanmasıdır. İspat: formülünde f (x) = P n (x) + R n (x) P n (x) = f (k) (a) (x a) k (n = 0,1,2,...) k! polinomları Taylor serisinin n inci kısmi toplamıdır. Serinin yakınsak olması için, f (x) = limn P n (x) (x I [a,b]) olmsı gerekir. Bu ise. limn ( f (x) P n (x) ) = 0 = lim n R n (x) (x I ) olması demektir ki, teoremin gerkirliği ortaya çıkar. Yeterliğini göstermek için, (9.10) sağlandığını varsayalım. Bu dururumda (9.10) serisi gerçekten f (x) fonksiyonuna yakınsıyor olacaktır. 9.6 Maclaurin Serisi Taylor serisinde a = 0 koyarsak, f (x) = f (0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + + f (n) (0) x n + (9.11) n! çıkar. Taylor serisinin bir özel hali olan bu seriye Colin Maclaurin (1698-1746) anısına Maclaurin serisi denilir. Taylor ve Maclaurin serileri birer kuvvet serisidir. Kuvvet serilerinin terim terime tütetilebileceklerini biliyoruz. (9.10) serisinden, f (x) = f (n) (a) (x a) n = c n (x a) n n! n=0 n=0
9.7. MACLAURİN SERİSİ UYGULAMALARI 197 yazarsak, en sağdaki seri f (x) fonksiyonunun x = a noktasındaki Taylor serisine açılımı olur. Tabii, burada c n katsayıları c n = f (n) (a) n! eşitliğini sağlar. (9.12) 9.7 Maclaurin Serisi Uygulamaları Matemtikte bazı fonksiyonları Maclaurin serisiçok kullanılır. Bu keimde onlarda bazıllarını ele alacağız. Örnek 9.4 f (x) = sin x fonksiyonunu Maclaurin serisine açınız. Çözüm: sin x fonksiyonunun ardışık türevlerini alıp x = 0 noktasındaki değerlerini bulursak,. f (0) = si n0 = 0 f (0) = cos0 = 1 f (n) (0) = { ( 1) n sin0 = 0 n çift ise ( 1) n cos0 = 1 n tek ise olduğundan, aşağıdaki seri elde edilir: sin x = x 1 3! x3 + 1 5! x5 1 7! x7 Örnek 9.5 f (x) = cos x fonksiyonunu Maclaurin serisine açınız. Çözüm: cos x fonksiyonunun ardışık türevlerinin x = 0 noktasındaki değerleri f (0) = cos0 = 1 f (0) = sin0 = 0 f (0) = cos == 1... { f (n) = d n ( 1) n sin0 = 0 n tek ise (cos x) = d xn ( 1) n cos0 = 0 n çift ise
198 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI olduğundan, aşağıdaki seri elde edilir: cos x = 1 1 2! x2 + 1 4! x4 1 6! x6 + ( 1) n 1 (2n)! x2n + (9.13) Örnek 9.6 f (x) = e x fonksiyonunu Maclaurin serisine açınız. Çözüm: f (x) = e x fonksiyonunun ardışık türevleri kendisine eşit olduğundan, e x = x 1 3! x3 + 1 5! x5 1 7! x7 çıkar. Örnek 9.7 f (x) = arctan x fonksiyonunu Mclaurin serisine açınız. Çözüm:17.yüzyılda Leibniz pi sayısının yaklaşık bir değerini bulmak için bu açılımı kullanmıştır. f (0) = arctan0 = 0 f (0) = d d x arctan x = 1 (1 + x 2 ) = 1 f (0) = d 2 f (0) = d 3 d x 2 arctan x = 2x (1 + x 2 ) 2 = 0 d x 3 arctan x = 2 3x2 1 (1 + x 2 ) 3 = 2 f (4) = d 4 d x 4 arctan x = 24x x2 1 (1 + x 2 ) 4 = 0 f (5) = d 5 d x 5 arctan x = 24 5x4 10x 2 + 1 (1 + x 2 ) 5 = 24... Bulunan değerler yerlerine konulursa, arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 + (9.14) 7 çıkar. Burada [arctan1 = π 4 ] eşitliği kullanılırsa, 13 15 17 π = 4 (1 + + ) (9.15)
9.7. MACLAURİN SERİSİ UYGULAMALARI 199 bulunur. Daha iyi bir yaklaşık değer için ilk 1000 terim toplanırsa 1000 π 4 n=0 ( 1) n 3.142591654 (9.16) (2n + 1) elde edilir. pi sayısı için günümüzde hesaplanan en yaklaşık değer π 3.1415926535... (9.17) dir. Bu da gösteriyor ki 300 yıl önce Leibniz çok iyi sayılacak bir yaklaşım yöntemi bulmuştur. (9.14) açılımında x = 1 3 ve π 6 = 1 3 değerini kullanırsak, π 6 1 ( 1 ) 3 ( 1 ) 5 ( 1 ) 7 3 3 3 + + + (9.18) 3 3 5 7 Bu ifadede 18 terim alınırsa pi sayısının yaklaşık bir değeri olarak çıkar. π 6 18 n=0 ( 1) n ( 1 3 ) 2n+1 2n + 1 = 6 52359877561 = 3.1415926536... (9.19)
194 BÖLÜM 9. TÜREV UYGULAMALARI
Dizin doğrusal yaklaşım, 189 kalan, 195 Maclaurin, 196 ortalama değer teoremi, 187 türev uygulamaları, 187 Taylor serisi, 195 yaklaşık değer, 189