KONUM ÖLÇMELERİ DERS-3 Doç. Dr. Ayhan CEYLAN Yrd. Doç. Dr. İsmail ŞANLIOĞLU S.Ü. Müh. Fak. Harita Mühendisliği Bölümü, Ölçme Tekniği A.B.D. A Blok Oda no:306 Tel:3 1933 aceylan@selcuk.edu.tr
3. NİRENGİ HESAPLARI Üçgen Hesabı Nirengi hesaplarında genellikle üçgenin bir kenarı ile iki veya üç açısı bilinir, diğer iki kenarın hesaplanması istenir. Hesap işlemleri hazır çizelgelerde yapılır Verilenler: a, α, β, γ İstenenler: b ve c Çözüm : a b c a b β sinα sin β sin γ sinα sin c a γ sinα sin a : sinα d b c d.sin β d.sin γ
Üçgen hesabı Örnek : 94-95 kenarı a891.33m 99 α 84.904 94 γ 8.130 95 β 86.9668 g g g
Koordinat hesabı Bir nirengi noktasının koordinatlarının hesabı ikinci temel ödevin iki kere tekrarlanmasıyla yapılır. Verilenler: A(Ya, Xa), B(Yb, Xb), α, β, (AB), AP, BP İstenenler: Yp, Xp Çözüm: AP ve BP kenarları verilmemiş ise, bu kenarlar üçgen kenar hesabı yardımıyla hesaplanır. (AB) semti ayrıca verilmemiş ise; tg(ab) Y X b b Y X a a (AP) (AB) + α (BP) (BA) - β Yp Ya Xp Xa + AP.sin(AP) + AP.cos(AP) Yp Xp Yb Xb + BP.sin(BP) + BP.cos(BP)
Koordinat hesabı Bulunan bu koordinatlar, kenar hesabında üçgen açıları kapatıldığı için birbirlerini (mm mertebesinde 1mm farklı olarak) tamamen tutması gerekir. Hesaplar ekseriya hazır çizelgeler üzerinde yapılır.
Koordinat hesabı Örnek: Verilenler (94-95) (AB) 94 95 γ 8.13160 β 86.96640 g.91019 g g 94 99 AP 897.749m 95 99 BP 39.110m İstenenler Y99, X99 N.N. Y X A 94 54 310.568 1 660.01 B 95 54 64.40 494.343
Koordinat hesabı Örnek Çözüm g g (94-99) (AP) (AB) +.91019 + 8.13160 α g g (95-99) (BP) (BA) - β.91019-86.96640 51.04179 135.94379 g g
NİRENGİ ŞEBEKELERİNİN KOORDİNAT HESABI Koordinatlar birinci temel ödevin tekrarı şeklinde iki yöntemle hesaplanabilir. 1 - Her noktanın koordinatları daha önce hesaplanmış olan iki noktadan kontrollü olarak hesaplanır
NİRENGİ ŞEBEKELERİNİN KOORDİNAT HESABI -Poligon hesabında olduğu gibi bir önceki noktanın koordinatları ile semt ve kenarlardan yararlanarak (bütün noktalardan geçecek şekilde) kapalı veya dayalı poligon güzergahlarının hesabı şeklinde yapılır.
NİRENGİ ŞEBEKELERİNİN KOORDİNAT HESABI Karışık şebekelerde kontrolü sağlamak amacıyla koordinat hesabı kısım kısım yapılır
ÖNDEN VE YANDAN KESTİRME Ana nirengi şebekelerinde noktalar arası genellikle çok uzak olduğundan, noktaları sıklaştırmak amacıyla; önden, yandan ve geriden kestirme şeklinde ölçülüp ve hesaplanan dolgu noktaları (ara ve tamamlayıcı) tesis edilir. Önden Kestirme: Bilinen A ve B gibi iki noktadan koordinatları hesaplanmak istenen P noktasına bakılarak α ve β açılarının ölçülmesiyle yapılan nokta tespitidir. P noktasına alet kurulabiliyorsa kontrol için γ açısı da ölçülür
ÖNDEN VE YANDAN KESTİRME Yandan Kestirme: Bu şekilde nokta tayini önden kestirmenin benzeridir. Aradaki fark koordinatı bilinen noktalardan birinde açının ölçülememesidir Şekle göre β ve γ açıları ölçülerek; α 00 ( β + γ ) eşitliğinden elde edilir. Bundan sonra P noktasının koordinatı önden kestirme gibi hesaplanır.
ÖNDEN VE YANDAN KESTİRME Bilinen A ve B noktaları birbirini görmüyorsa; bilinen başka iki noktaya bakılarak ϕ ve ψ açıları ölçülür
ÖNDEN VE YANDAN KESTİRME Verilenler:A,B,C ve D noktalarının koordinatları, ϕ ve ψ açıları İstenenler: Y p, X p Çözüm: (AD) ve (BC) semtleri ikinci temel ödeve göre hesaplanır. Önden kestirme hesabı semt açılarına göre yapılacaksa; (AP) ve (BP) semt açıları: (AP) (AD) + ψ (BP) (BC) + ϕ Önden kestirme hesabı üçgen açılarına göre yapılacaksa;
ÖNDEN VE YANDAN KESTİRME (AD) ve (BC) semtleri ikinci temel ödeve göre hesaplanır Önden kestirme hesabı üçgen açılarına göre yapılacaksa; Önce, (AD), (BC) ve (AB) semt açıları ikinci temel ödeve göre hesaplanır. α ve β açıları ise; α ( AP) ( AB) β (BA)- (BP) olduğundan bu formüllerde (AP) ve (BP) semtlerinin yukarıda bulunan eşitlikleri yerine konularak α (AD) + ψ β (BA) - (BC) (AB) - ϕ
ÖNDEN VE YANDAN KESTİRME Bir önden kestirme noktasının hesabı iki bilinen noktaya göre yapılması yeterli olmasına rağmen ortalama almak suretiyle hesap inceliğini artırmak ve kontrolü sağlamak amacıyla; en az üç noktadan ve karşılıklı gözlemlerle ölçülen açılar yardımıyla yapılır.
Aşağıda şekli verilen nirengi ağında 71 nolu nirenginin koordinatlarını ortalama semtlerle kestirme yöntemiyle hesaplayınız. N.N Y (m) X(m) 65 816.57 14571.36 7 976.55 1654.47 75 7039.44 15.65 DN BN Doğrultu (g) DN BN Doğrultu (g) DN BN Doğrultu (g) DN BN Doğrultu (g) 65 7 0.0000 71 65 0.0000 7 75 0.0000 75 7 0.0000 71 4.3446 7 140.9301 71 30.318 65 338.04 75 7.9955 75 91.491 65 65.0457 71 380.813
Üçgen iç açıları toplamı α+ β+γ00g olmalı Ölçülerden üçgenin iç açıları α 1 4 g.7791 α 1 4 g.3446 α 1 30 g.318 β 1 48 g.6509 β 1 34 g.739 β 1 19 g.1787 γ 1 108 g.5709 γ 1 140 g.9301 γ 1 150 g.4990 Σ 00 g.0009 Σ 199 g.9986 Σ 199 g.9995
Açı kapanmaları dağıtıldıktan sonra üçgen iç açıları α 1 4 g.7788 α 1 4 g.3451 α 1 30 g.30 β 1 48 g.6506 β 1 34 g.744 β 1 19 g.1789 γ 1 108 g.5706 γ 1 140 g.9305 γ 1 150 g.4991
Bilinen noktalar arasında semt ve kenar hesabı ) cos( ) sin( ) ( ) ( ) ( AB X X AB Y Y X X Y Y AB X X Y Y arctg AB a b a b a b a b a b a b + m m m 75.5965 7 75 496.8787 7 65 576.4000 75 65.67339 90 7) (75.71 155 7) (65.71609 8 75) (65 g g g
Ortalama Semt Hesabı (75-71) semti 1 nolu üçgenden (75-71)(75-65)+α171.49489 3 nolu üçgenden (75-71)(75-7)-β371.49449 Kesin (75-71) 71.49469
Ortalama Semt Hesabı (65-71) semti nolu üçgenden (65-71)(65-7)+α180.0663 1 nolu üçgenden (75-71)(65-75)-β1180.06549 Kesin (65-71) 180.06590
Ortalama Semt Hesabı (7-71) semti 3 nolu üçgenden (7-71)(7-75)+α330.99539 nolu üçgenden (7-71)(7-65)-β30.9968 Kesin (75-71) 30.99610
Kestirmeye ait kenar hesapları 1nolu üçgenden 75-71 65-75.sinβ1 1799.0470m sin γ1 3 nolu üçgenden 75-71 75-7.sinα3 1798.9551m sin γ 3 ortalama kenar 75-71 1799.001 m
Kestirmeye ait kenar hesapları 1 nolu üçgenden 65-71 65-75.sinα1 1618.543m sin γ1 nolu üçgenden 65-71 65-7.sinβ sin γ 1618.5464m ortalama kenar 65-71 1618. 5354 m
Kestirmeye ait kenar hesapları nolu üçgenden 7-71 65-7.sinα 1164.175m sin γ 3 nolu üçgenden 7-71 75-7.sinβ3 1164.45m sin γ 3 7-71 ortalama kenar 1164.075 m
Koordinat Hesabı y s *sin( AB) x, s cos( AB) Y X P P Y A X + y A + x 75 den koordinat hesabı y 1799.001*sin 71 Y 7039.44 + 161.6537 x 1799.001*cos 71 8661.094m X 15.65 + 778.8735 13031.54m g.49469 161.6537m g.49469 778.8735m
Koordinat Hesabı y s *sin( AB) x, s cos( AB) Y X P P Y A X A + y + x 65 den koordinat hesabı y 1618.5354*sin180 Y 816.57 + 498.561 8661.131m x 1618.5354*cos180 X 14571.36 1539.8356 g.06590 498.561m g.06590 1539.8356m 13031.54m
Koordinat Hesabı y s *sin( AB) x, s cos( AB) Y X P P Y A X + y A + x 7 den koordinat hesabı y 1164.175*sin 30 Y 976.55 1101.468 8661.087m x 1164.45*cos 30 X 1654.47 + 377.040 13031.510m g.99610 1101.468m g.99610 377.040m
Ortalama Koordinat Y8661.104 m X13031.519 m
Ortalama kenarlar ve semtler ile önden kestirme
Örnek 1 I.üçgen 1 141.94 60 4 5.68 37 5 3.37 09 II.üçgen 1 85.95 0 N.N Y X 4 47 643.090 49 830.180 5 49 5.570 51 57.710 8 50 000.000 50 000.000 5 49.37 30 8 64.67 69 III.üçgen 1 17.10 38 8 16.80 51 4 11.09 06
Örnek N.N Y X 4 47 643.090 49 830.180 5 49 5.570 51 57.710 8 50 000.000 50 000.000 I.üçgen 1 141.94 60 4 5.68 37 5 3.37 09 II.üçgen 1 85.95 0 5 49.37 30 8 64.67 69 III.üçgen 1 17.10 38 8 16.80 51 4 11.09 06
Ortalama semtlerin hesabı (4-5)58.64675 g (5-8)176.90345 g (8-4)95.4094 g ϕ a1 (4-5)+5.6835 g 84.3305 g ϕ a (4-8)-11.09077 g 84.33017 g ϕ b1 (5-8)+49.3797 g 6.764 g ϕ b (5-4)-3.37070 g 6.7605 g ϕ c1 (8-4)+16.8057 g 31.61 g ϕ c (8-5)-64.67687 g 31.658 g ϕ a 84.3301 g ϕ b 6.7635 g ϕ c 31.640 g
D.N B.N Doğrultu Örnek 3 39 48 9.4913 47 47.5304 46 301.945 46 39 0.0000 47 66.069 48 88.098 N.N Y X 39 1960.30 11819.70 46 18707.410 9961.710 48 1719.300 965.40 47 48 81.846 46 39.4468 39 318.9835 48 46 333.3581 47 353.7090 39 37.881
I.üçgen 47 157.6 (15) 48 0.3509 (0) 46.090 (83) Σ 00.001 II.üçgen 47 79.5367 46 66.069 39 54.3941 Σ 00.0000 III.üçgen 47 16.8411 (13.4) 39 18.0391 (93.3) 48 19.1191 (93.3) Σ 199.9993 Kenarların hesabı (46-48)106.51459 g 46-48307.79m (46-39)18.41760 g 46-391938.10m (39-48)145.98496 g 39-48377.47m
Örnek 4 N.N Y X 58 1096.110 819.480 63 8548.060 6099.0 65 1056.340 5941.900 I.üçgen 64 13.0619 (6) 63 9.0615 () 58 47.8745 (5) Σ 199.9979 II.üçgen 64 134.363 (6.3) 58 40.5135 (34.3) 65 5.504 (03.4) Σ 00.000 III.üçgen 64 14.7018 (13.6) 65 8.7605 (00.7) 63 8.5390 (85.7) Σ 00.0013
Semtlerin hesabı (63-58)45.5376 g (63-65)10.8585 g (58-65)156.86467 g ϕ a1 (63-58)+9.060 g 74.31596 g ϕ a (63-65)-8.53857 g 74.3148 g ϕ b1 (58-65)+40.5133 g 197.37810 g ϕ b (58-63)-47.8750 g 197.37856 g ϕ c1 (65-63)+8.76007 g 331.619 g ϕ c (65-58)-5.5014 g 331.61433 g ϕ a 74.3151 g ϕ b 197.37833 g ϕ c 331.6136 g
D.N B.N Doğrultu ödev 39 48 9.4913 47 47.5304 46 301.945 46 39 0.0000 47 66.069 48 88.098 N.N Y X 39 1960.30 11819.70 46 18707.410 9961.710 48 1719.300 965.40 47 48 81.846 46 39.4468 39 318.9835 48 46 333.3581 47 353.7090 39 37.881
I.üçgen 46.090 (83) 48 0.3509 (0) 47 157.6 (15) Σ 00.001 II.üçgen 39 54.3941 46 66.069 47 79.5367 Σ 00.0000 III.üçgen 48 19.1191 (93.3) 39 18.0391 (93.3) 47 16.8411 (13.4) Σ 199.9993 Üçgenlerin kapatılması
Semtlerin ve kenarların hesabı (46-48)106.51459 g 46-48307.79m (46-39)18.41760 g 46-391938.10m (39-48)145.98496 g 39-48377.47m ϕ a1 (46-39)+66.069 g 84.4868 g ϕ a (46-48)-.083 g 84.4869 g ϕ b1 (39-48)+18.03933 g 164.049 g ϕ b (39-46)-54.3941 g 164.035 g ϕ c1 (48-46)+0.350 g 36.86479 g ϕ c (48-39)-19.11933 g 36.86563 g ϕ a 84.48654 g ϕ b 164.0390 g ϕ c 36.8651 g
.4.3-Önden Kestirmenin Doğruluk Derecesi (Presizyonu) Koordinat farkları; Yb.sin(AP) Xb.cos(AP) b değerini sinüs teoreminden elde ederek yukarıdaki eşitliklerinde yerine koyarsak; Y c sin(a +.sin B.sin B) [(AB) A] X c sin(a +.sin B.cos B) [(AB) A] elde edilir.
Hata dağılım kuralı dz m z f(x,y) z f x f x dx.m + x f y + f y dy. m y Değişme miktarları; d X dx d Ydy ile gösterilirse;
Hata dağılım kuralı A ve B ye göre toplam diferansiyel; dx c.cos B.sin(A + B) c.sin B.cos(A + B).cos sin (A + B) sin c.sin B. [(AB) A ].sin(a + B) cos[ (AB) A] sin (A + B) [(AB) ] A.dB + cos(a + B) da c.sin A cos sin (A + B) [(AB) ] A db + c.sin B.cos sin [(AB) A + (A + B) ] da (A + B) d sin c (A B) [ sin A.cos[ (AB) A] db sin B.cos[ (AB) B] da] x + +
Nokta konum hatası d benzer şekilde; sin c (A B) [ sin A.sin[ (AB) A] db sin B.sin[ (AB) B] da] y + + Hata yayılma kanunu uygulanırsa noktanın konum hatası c c a M p m x + m y (sin A + sin B)m 4 r ( sin C + 4 sin C sin C c b c sin C)m r M p (a + b ) mr ± sin C ρ olur.
.5. Geriden Kestirme Koordinatları hesaplanmak istenen noktadan, koordinatları bilinen noktalara bakılarak ölçülen açılarla yapılan nokta tespitine Geriden Kestirme denir.
.5. Geriden Kestirme Geriden kestirmede noktanın koordinat hesabının yapılabilmesi için; en az koordinatları bilinen üç noktaya bakılarak açıların ölçülmesi gerekir. Ancak geriden kestirme noktası koordinatlarının kontrollü olarak hesaplanabilmesi için bu noktadan, koordinatları bilinen en az dört noktaya bakılarak bunların aralarındaki açılar ölçülmelidir.
.5. Geriden Kestirme Koordinatları bilinen noktalar A, M ve B, hesaplanması istenen nokta P ve bu noktada ölçülen açılar α ve β olsun.
.5. Geriden Kestirme Bir doğru parçasını aynı açı altında gören noktaların geometrik yeri bir daire olduğundan, MA doğrusunu α, MB doğrusunu β açısı altında gören iki dairenin kesişme noktası geriden kestirme noktasının yeridir. Bir noktanın geriden kestirme ile tespitinde teodolitin bir defa kurulması dolayısıyla kaybolan nirengi noktalarının aranması veya yeniden tesis edilmesinde, geriden kestirme tercih edilen bir yöntemdir. Bunun için aranan nirengi noktasının (Q) bulunduğu tahmin edilen yere yakın bir noktada (P) gerekli doğrultular ölçülür ve koordinatları hesaplanır. Yeni nokta ile aranan nirengi noktasının koordinatları yardımıyla doğrultu açısı (θ) ve uzaklık (s) hesaplanır.
.5.1- Geriden Kestirmenin Grafik Çözümü Grafik geriden kestirme, arazideki durumun büroda, pafta üzerinde yeniden oluşturulması işlemidir. Bunun için A, B, M ve C gibi noktaların bulunduğu pafta ele alınır. P noktasında ölçülmüş olan doğrultuların aralarındaki açılar gayet dikkatli olarak bir aydınger kağıdına çizilir. Çizilen doğrultuların hangi noktalara ait olduğu doğrultular üzerine yazılır. Bu şekilde hazırlanmış olan aydınger, ilgili noktaların çizilmiş olduğu pafta üzerine konulur. Çizilmiş olan her doğrultu ait olduğu noktadan geçecek şekilde aydınger kaydırılır. Bütün doğrultuların ait oldukları noktalardan geçmeleri durumunda P noktasının bulunduğu yer kestirilen nokta olur. Bu nokta iğnelenerek pafta üzerine işaretlenir.
.5.1- Geriden Kestirmenin Grafik Çözümü Bu yöntemle, gerek doğrultuların açı dairesi ile kağıda çizilmesinde elde edilecek doğruluk derecesinin az olması ve gerekse aydıngerin paftaya oturtulması sırasında yapılacak hatalar dolayısıyla iyi sonuç almak mümkün değildir. Bu bakımdan grafik yöntem, nirengi istikşafı sırasında kanavaların çiziminde kullanılabilir.
.5.- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü Verilenler: A(y a,x a ) ; M(y m,x m ) ; B(y b,x b ) α ve β açıları, İstenen: P(y p,x p ) Koordinatları bilinen noktalar A, M, ve B, ölçülen açılar α ve β olduğuna göre P noktasının koordinatları istenmektedir. Geriden kestirmenin bu yöntemle çözümü Alman Prof. Kästner tarafından 1790 yılında aşağıdaki şekilde yapılmıştır
.5.- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü Çözüm: AM ile BM semt ve kenarları hesaplanmamış ise temel ödevler yardımıyla bu semt ve kenarlar ile bu kenarlar arasındaki açısı hesaplanır. tg(am) y x m m y x a a ; tg(bm) y x m m y x b b AM a BM b y sin(am) y m m y y a b sin(bm) x cos(am) x m m x x a b cos(bm) γ (MA) (MB)
.5.- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü γ açısı hesaplandıktan sonra; α + β + γ + ϕ + ψ g 400 yazılır. Buradan; ϕ + ψ 400 ( α + β + γ) elde edilir. Bundan başka bir de ϕ ve ψ açılarının farkının yarısı hesaplanabilirse, bu toplam ve farkların yarıları birbirleri ile bir kere toplanıp bir kere de çıkarılmasıyla ve açıları elde edilir.
ϕ.5.- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü ψ nin hesabı; AMP ve MBP üçgenlerinde sinüs teoremi uygulanırsa; a b s sin ϕ sin ψ sin α sinβ elde edilir. Bu denklemden; sin ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ b sinβ 1 tgµ a : sin α olur. Hesap işlemini kolaylaştırmak için, (1) yazılır ise; sin ψ sin ϕ tgµ a sin α : b sinβ olarak elde edilir.
.5.- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü tgµ a.sinβ b.sin α formülüyle yardımcı µ açısı hesaplanır. (1) eşitliğinde pay ve paydaları birbirinden bir kere çıkarıp paylara, bir kere de toplayıp paydalara yazarsak eşitlik bozulmaz ve 1 tgµ 1+ tgµ sin ϕ sin ψ sin ϕ + sin ψ elde edilir. Eşitliğin sağ tarafını logaritmik hale getirir ϕ ψ ϕ + ψ.sin cos 1 tgµ sin ϕ sin ψ 1+ tgµ sin ϕ + sin ψ ϕ + ψ ϕ ψ.sin cos 1 tgµ ϕ ψ ϕ + ψ tg ctg 1+ tgµ elde edilir.
.5.- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü Trigonometriden bilindiği gibi; ctg(50 + µ ) 1 tgµ 1+ tgµ dir. Bu yukarıdaki eşitlikte yerine konulursa, ctg(50 + µ ) ϕ ψ tg ϕ + ψ ctg tg ϕ ψ 1 ctg(50 + ) ϕ + ψ µ ctg olur. Buradan, ϕ ψ ϕ + ψ tg tg ctg(50 + µ ) Elde edilir.
.5.- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü Bu formülden (ϕ-ψ)/ değeri hesaplandıktan sonra; ϕ + ψ ϕ + ψ ϕ ψ + ϕ ψ ϕ ψ formülleri yardımıyla ϕ ve ψ açıları hesap edilir ve α + β + γ + ϕ + ψ g 400 formülüne göre kontrol edilir.
.5.- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü ϕ ve ψ açılarının hesabından sonra problem iki önden kestirme şeklini alır ve önden kestirme yöntemlerinden biriyle hesaplanır. Bunun için sırayla S a, S, S b kenarları a AP sa sin( α + ϕ) sin α a b MP s sin ϕ sin ψ sin α sinβ b BP sb sin( β + ψ) sinβ (AP) ve (BP) semtleri ise; (AP) (AM) + ϕ (BP) (BM) ψ formülleriyle hesaplanır.
.5.- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü P noktasının koordinatları A ve B noktalarından y p y a + AP.sin(AP) y p y b + BP.sin(BP) x p x a + AP.cos(AP) x p x b + BP.cos(BP) formülleriyle hesaplanır.
Örnek 1: Çözüm: (19-0) (AM) 33 g.6567 19-0 AM 1991.501m. (1-0) (BM) 31 g.1645 1-0 BM 935.35m. γ (0-19)-(0-1) 11 g.4993
Çözüm (ϕ+ψ) / 70 g.8419 µ 59 g.1837 (ϕ-ψ) / -18 g.30866. ϕ 5 g.5363. ψ 89 g.14994. KONTROL : α+β+γ+ϕ+ψ 400 g.00000 19-3 AP 1496.666m. 0-3 MP 1470.3m. 1-3 BP 1304.199m (19-3) (AP) 86 g.15830 (1-3) (BP) g.97650 (0-3) (MP) 179 g.84450 Y3 6 43.949m Y3.949m X3 8 33.305m X3.305m
Örnek : a N.N. Y X 7 1133.360 7716.440 8 100.800 674.780 9 11915.630 4646.880 γ b α13.717 g α + β + γ + ϕ + ψ β116.049 g (8-7)58.87949 g a8-7395.051m (8-9)148.71783 g b8-9350.00m γ(8-9)-(8-7)89.83834 g g 400 (ϕ+ψ) / 35.4353 g
ϕ ψ nin hesabı; s a b sin ϕ sin ψ sin α sinβ sin ϕ sin ψ b sinβ : a sin α sin ϕ sin ψ 1 tgµ sin ψ sin ϕ tgµ a sin α : b sinβ a sin β tg μ. μ b sin α g 48.419
ϕ ψ nin hesabı; ϕ ψ ϕ + ψ tg tg ctg(50 + µ ) (ϕ-ψ)/1.093508 g ϕ(ϕ+ψ)/+(ϕ-ψ)/36.51704 g ψ(ϕ+ψ)/-(ϕ-ψ)/34.3300 g Kontrol: ϕ+ψ+γ+α+β400 g (7-3)(7-8)-ϕ4.54947 g (9-3)(9-8)+ψ385.3487 g 7-31584.443m 9-31645.531m Y 3 11537.394 X 3 648.351
Aplikasyon Y 4 1000.000 X 4 5000.00 olan 4 nolu noktanın aplikasyonu için gerekli olan θ açısını ve S 4 uzunluğunu hesaplayalım. (3-4)177.40736 g θ(3-4)-(3-7)15.85789 g 3-4S 4 1331.309m θ S 4 4
.5.3- Tehlikeli Daire A, M ve B noktaları ile P noktası aynı bir daire üzerinde ise bu daireye tehlikeli daire denir. Bu durumda MA doğrusunu α ve MB doğrusunu β açısı altında gören noktaların geometrik yerleri iki daire yerine bir daire olur. Yani P noktası bu daire üzerinde nereye hareket ederse etsin ve açıları değişmez. Bundan dolayı problemin çözümü mümkün olmaz. Geriden kestirilen noktanın tehlikeli daire üzerine düşmemesi için bu noktayı A, M ve B sabit nokta üçgeni içinde tesis etmeye çalışmalı, yani bakılacak noktaların ikisi önümüzde ise biri arka tarafımızda alınmalıdır.( En uygun durum noktanın üçgenin ağırlık merkezinde olması durumudur.) ϕ + ψ tg tg100 ϕ ψ ϕ + ψ tg tg ctg(50 + µ ) sin ψ g tgµ 1 µ 50 sin ϕ ctg(50 + 50) ctg100 0 ϕ ψ tg 0. belirsiz
.6.- Birden Fazla Noktanın Birlikte Geriden Kestirilmesi Bilinenler: A, M ve B noktalarının koordinatları C ve D noktalarındaki α ve β açıları İstenenler: C ve D noktalarının koordinatları
.6.- Birden Fazla Noktanın Birlikte Geriden Kestirilmesi Çözüm: Ölçülemeyen ϕ ve ψ açıları hesaplanabildiği takdirde problemi bir önden kestirme hesabı şeklinde çözmek mümkündür. Bu açıların hesabı için şu yol izlenir. ϕ ve ψ açılarının bulunması için A, M ve B noktalarının koordinatlarından elde edilen (MA) ve (MB) semtleri yardımıyla M noktasındaki iç açıların toplamı olan γ açısı hesaplanır. γ ( MA) (MB) γ + γ 1 + γ + γ3 +... n
.6.- Birden Fazla Noktanın Birlikte Geriden Kestirilmesi ϕ ve ψ açılarının toplamı ise; n*00g dan γ, α ve β açılarının toplamının çıkarılmasıyla elde edilir. ϕ + ψ nx00 g ( γ + α 1 + β 1 + α + β +... + α n + β n ) n:üçgen sayısını göstermektedir. ϕ ve ψ açılarının farkı da hesaplanabilirse; bu açıların toplam ve farklarının yarı değerlerini bir kere toplayıp bir kere çıkarmakla ϕ ve ψ açıları elde edilir.
.6.- Birden Fazla Noktanın Birlikte Geriden Kestirilmesi ϕ. ψ nin Hesabı AMC, MCD ve MBD üçgenlerinde sinüs teoremi uygulanırsa; d 1 sinψ a. sinβ ; d d 1 sinα sinβ 1 ; b d sinα 1 sinϕ bu denklemleri taraf tarafa çarparsak d 1 xd xb axd 1 xd sin α sinβ 1 1 sin α sinβ sin ψ sin ϕ olur.
.6.- Birden Fazla Noktanın Birlikte Geriden Kestirilmesi sinϕ ve sinψ değerlerini eşitliğin sol tarafına alırsak sin ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ tgµ a sin α. b sinβ 1 tgµ b.sinβ a.sin α 1 1 sin α sinβ kabul edilirse; 1.sin α 1.sinβ formülü yardımıyla µ açısı hesaplanır. Kästner çözümünde açıklandığı gibi; ϕ ψ ϕ + ψ tg tg.ctg(50 + µ ) formülden (ϕ-ψ)/ değeri hesaplanır.
.6.- Birden Fazla Noktanın Birlikte Geriden Kestirilmesi ϕ + ψ ϕ + ψ + ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ γ 1, γ..., γnhesap edildikten sonra formülleriyle ϕ ve ψ açıları hesaplanır. g [ α] + [ β] + [ γ] + ϕ + ψ n.00 olmalıdır. Bu kontrol yapıldıktan sonra C ve D noktalarının koordinatları önden kestirme yöntemlerinden herhangi birine göre hesaplanır. Bu şekilde toplu geriden kestirmede, kestirilen nokta sayısının tane olması şart değildir. Gerekirse aynı yöntemle bir çok noktanın koordinatları birlikte hesaplanabilir.
Örnek 1:
Örnek
Örnek N.N. Y X 0 7907.80 177.750 1 960.30 1819.70 30997.040 16.530 a c d b α 1 48.6916 g α 59.7148 g β 1 76.9771 g β 38.4751 g (1-0)316.49433 1-0a1399.01m (1-)119.7490 1-b183.775m γ(1-0)-(1-)196.74513 g (ϕ+ψ)600-[(α 1 +α )+(β 1 +β )+γ]179.3967 g φ + ψ g 89.69814
a c b d a c sin β sin ψ ; c d sin β1 sin α ; d b sin φ sin α 1 a b sin β sin α 1 1.sin β.sin α.sin φ.sin ψ φ ψ φ + ψ φ - ψ tg tg.cot g(50 + μ) sin φ sin ψ sin α. sin β.sin α.sin β 1 g g 1.4071 μ 56.8187 1.sin α a b 1 1 b sin β.sin β tg μ. a sin α φ + ψ φ + g -37.0537 φ + ψ ψ - Kontrol: [α i ]+[β i ]+γ+ϕ+ψ600 g 1 tgμ φ ψ φ - ψ 5.64576 g 16.75051 g
a b c d γ 1 00-(ϕ+α 1 )98.6664 g γ 00-(α +β 1 )63.3081 g γ 3 00-(ψ+β )34.77439 g (0-3)(0-1)+ψ43.4484 g (1-3)(1-0)-γ 3 81.71994 g (-4)(-1)-ϕ67.10344 g (1-4)(1-)+γ 1 18.41184 g 0-3179.11m 1-348.140m -4633.311m 1-41938.15m Y 3 7104.6 X 3 118.568 Y 4 8707.546 X 4 19961.55
.7. Çift Nokta Geriden Kestirme Hesabı (Hansen Problemi) Bu yöntem yeni belirlenecek nokta civarında sadece iki nirengi noktası varsa, veya ancak iki nokta görülebilmesi gibi zorunluluk durumlarında veya doğrudan doğruya ölçülemeyen uzunlukların tespit edilmesinde uygulanır. Veriler: A ve B noktalarının koordinatları α, β, γ ve δ açıları İstenen: N1 ve N nin koordinatları
Hansen Problemi Bu problemin çözüm ilkesi, geriden kestirmeye benzemektedir. Ancak iki yeni nokta sıra ile üçüncü sabit nokta olarak kabul edilmektedir. Sağlanan nokta presizyonu klasik yöntemlere göre daha azdır. Bu çözüm yöntemi bir çok noktanın birlikte geriden kestirilmesi hesabı çözümüne benzer. Eğer ϕ ve ψ açıları hesaplanabilirse problemi bir önden kestirme hesabı şeklinde çözmek mümkündür. Şekilden ϕ + ψ 00 yazılabilir. Bundan başka ; sin ϕ sin ψ b a α b d sin( γ + δ) sin( β + γ + δ) d a sin( α + β + γ) sin γ
Hansen Problemi Yukarıdaki bağıntılar taraf tarafa çarpılırsa; b d b sin( γ + δ) sin( α + β + γ).. d a a sin( β + γ + δ) sin γ b a sin φ sin ψ yazılırsa; b a yerine; sin ϕ sin ψ sin( γ + δ).sin( α + β + γ) sin( β + γ + δ).sin γ olur. Bu formülde; sin ϕ sin ψ 1 tgµ yazılırsa; tgµ sin( β + γ + δ).sin γ sin( γ + δ).sin( α + β + γ)
Hansen Problemi µ değeri hesaplandıktan sonra, Kastner yönteminde olduğu gibi; ϕ ψ ϕ + ψ tg tg ctg(50 + µ ) İle ϕ ve ψ hesaplanır. Daha sonra, θ ϕ λ ϕ + ψ ϕ + ψ ψ + + ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ [ 00 ( α + β + γ) ] [ 00 ( β + γ + δ) ] Bundan sonra N 1 ve N noktalarının koordinatları önden kestirme olarak hesaplanır.
Örnek
Örnek
Ödev N.N. Y X 11 5968.010 418.540 1 7685.890 3195.550 c α63.3461 g γ35.043 g β57.587 g δ67.5368 g a) Yukarıdaki verilerden yararlanarak ϕ, ψ, θ ve λ açılarını hesaplayınız? b) 17 nolu noktanın koordinatlarının kontrollü olarak hesaplayınız?
g g g 36.46596 φ θ 0.64493444 μ) g(50.cot φ θ tg φ θ tg 71.4478 μ tgμ 1 γ) β δ).sin(α sin(γ δ).sin γ γ sin(β d a. b d γ) β sin(α sin γ d a sin γ a γ) β sin(α d δ) sin(γ δ) γ sin(β b d δ) γ sin(β d δ) sin(γ b tgμ 1 b a sin φ sin θ sin φ b sin θ a 68.3695 φ θ α 00 φ θ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + çözüm
5049.78 X 7867.469 Y 186.600m 1-17 6.16093 (1-17) 1999.405m 1 11 073.179m 11-17 73.7589 (11-17) 134.1990 1) (11 00 λ δ ψ : kontrol 60.44001 ψ γ) β (α 00 ψ φ 7.0319 λ δ) γ (β 00 θ λ 104.7991 φ 31.86099 θ 17 17 g g g g g g g g + + + + + + Ödev
.8.- İki Nirengi Noktası Arasına Bir Zincir Şebeke Yerleştirilmesi Bazı durumlarda nirengi sıklaştırılması istenen bir bölgede, A ve B gibi birbirinden uzakta yalnız iki nirengi noktası bulunabilir.
.8.1- A ve B noktaları birbirini görüyorsa Bu durumda önce zincir şebekeyi oluşturan üçgenlerin açıları ve AB kenarı ile şebekenin bir kenarı arasındaki ϕ açısı ölçülür.
Koordinatların Hesabı: AC uzunluğu için yaklaşık bir değer seçelim. Kenarların oranı değişince açılar değişmeyeceğinden olur. Dolayısıyla B ı noktası AB doğrusu üzerinde olur. Bu durumda AB ve ABı uzunlukları değişik olacaktır. AB uzunluğunu S, AB ı uzunluğunu S ı, geçici kenarları s ı 1, s ı, s ı 3... s ı n ve gerçek uzunlukları s 1, s, s 3... s n ile gösterelim. Hesap için sırayla şu işlemler yapılır. 1) Önce sinüs teoremi yardımıyla geçici kenarlar hesaplanır. S 1 1000m seçilerek geçici kenarlar sinüs teoremi ile hesaplanır. s ı s ı 1 sinα. sin γ 1 1 ; s ı 3 s ı 1 sinβ sin γ 1 1 ;... s ı n s ị.. sin... sin...
Koordinatların Hesabı: ) A ve B noktalarının koordinatları yardımıyla (AB) semt açısı ve AB uzunluğu hesaplandıktan sonra; (AC ) başlangıç semt açısı; İle hesaplanır. ı (AC ) (AB) ϕ 3) ) Semtler ve geçici kenarlar yardımıyla C ı, D ı, E ı, F ı ve diğer noktalarla B ı noktasının koordinatları poligon veya kestirme hesabı şeklinde hesaplanır. A ve B geçici koordinatlar kullanılarak (AB ) geçici semt açısı ve AB geçici kenar hesaplanır. AB ı ı b y y a sin(ab) ı b x xa cos(ab)
Koordinatların Hesabı: 5) AB gerçek kenar ile AB geçici kenar yardımıyla ölçek katsayısı hesaplanır. AB AB ı m Gerçek kenarlar; ı s i m. s i 6) Gerçek kenarlar yardımıyla C, D, E, F ve diğer noktalar ile ayrıca kontrol olarak B noktasının koordinatları poligon veya kestirme şeklinde hesaplanır.
Örnek: A α 1 s 1 ϕ C β 1 α s 3 s 4 s β 5 D β 3 s 6 γ 3 B s γ 1 γ α 3 s 7 E
(AE)(AC)+α99.53 (EB)(AE)+γ 1 +γ +α 3 ±0063.93995
3) Geçici kenarlar ı ı sinβ1 S S1 sin γ1 ı ı sinα S 3 S1 sin γ ı sin γ S S 3 sinβ ı ı sinα S 5 S 3 sinβ S S ı 4 1 ı 6 ı 7 S S ı 5 ı 5 sinα sin γ sinβ sin γ 1 3 3 3 3 134.837m. 1441.559m. 1110.684m. 181.745m. 109.014m. 101.451m.
4) Kontrol (AB ı )8 g.6338 5) AB 377.495m AB ı 48.515 6) mab/ab ı 1.34958807 7) Gerçek kenarlar, s i m. s ı i S 1 1349.588m S 1787.984m S 3 1945.511m S 4 1498.966m S 5 179.88m S 6 1631.671m S 7 161.464m
Kesin koordinatlar Y c 0 655.136m X c 19 038.550m Y d 089.348m X d 19 474.363m Y b 3 476.0m X b 18 614.750m Y e 107.994m X e 17 744.636m Y b 3 476.1m X b 18 614.751m
.8.- A ve B noktaları birbirlerini görmüyorsa Bu durumda bundan önceki problemde olduğu gibi zincir şebekeyi oluşturan üçgenlerin açıları ölçülür.
Çözüm Hesap için sırayla şu işlemler yapılır. 1) Kenarlardan biri için kabul edilecek yaklaşık bir uzunluğa göre bütün üçgen kenarları sinüs teoremiyle hesaplanır. ) AC kenarı için kabul edilecek geçici bir semtle diğer noktalara ait geçici semtler ve bunlar kullanılarak da yeni noktaların geçici koordinatları hesaplanır. 3) Bulunan geçici koordinatlar yardımıyla ikinci temel ödeve göre AB ve AB ı kenarları, 4) mab/ab ölçek katsayısı, 5) sm.s göre kenarların gerçek uzunlukları, 6) Geçici koordinatlara göre (AB ı ) semti bulunur. 7) Her iki semt arasındaki fark; γ ( AB) ı (AB) formülüne göre hesaplanır.
çözüm 8) kenarının gerçek semti; bu kenar için kabul edilmiş olan geçici semtin γ kadar düzeltilmesiyle elde edilir. 9) Hesaplanmış olan kesin semt ve kenarlar yardımıyla hesap tekrarlanarak yeni noktaların kesin koordinatları elde edilir.
örnek Y 7 133.36 X 7 17716.44 Y 40 3674.3 X 40 14163.68 Açılar I.üçgen II.üçgen III.üçgen IV.üçgen α 80,81 79,783 36,505 44,3997 β 61,8961 69,9386 6,3 4,9711 γ 57,8750 50,775 101,1761 11,676 Σ 199.999 (+8) 199.9993 (+7) 00,0008 (-8) 199.9984 (+16) Düzeltilmiş açılar Açılar I.üçgen II.üçgen III.üçgen IV.üçgen α 80,837 79,78343 36,503 44,4003 β 61,89637 69,93883 6,3193 4,97163 γ 57,8756 50,7774 101,17584 11,6814
Çözüm Geçici semtler ve kanarlar için (40-39)50 g ve s 1 1000m olarak seçildi Diğer semtler; Diğer kenarlar (39-33) 118.1648 g s 1047.166m (33-7) 157.47891 s 3 106.865m s 4 90.08m s 5 1131.366m s 6 739.516m s 7 1363.003m s 8 868.769m Geçici koordinatlar; s 9 89.905m Y 39 4381.337 Y 33 547.067 Y 7 5785.143 X 39 14870.787 X 33 14616.837 X 7 13934.756
(40-7)373.94790 g 40-7 387.516491m (Kesin) (40-7) 106.87713 g 40-7 13.89875m (Geçici) γ(40-7)-(40-7) 67.07077 g 40 7 m 1.8388455 ı 40 7 Kesin semtler ve kanarlar; Diğer semtler; Diğer kenarlar (40-39)(40-39) + γ317.07077 g s 1 1000*m183.88m (39-33)(39-33) +γ385.3557 g s s *m1909.851m (33-7)(33-7) + γ 4.54968 s 3 s 3 *m01.115m (40-34)397.9914 g s 4 s 4 *m1645.473m (34-8)6.6798 g s 5 s 5 *m063.418m (8-7)311.9154 g s 6 s 6 *m1348.750m s 7 s 7 *m485.884m s 8 s 8 *m1584.486m s 9 s 9 *m168.506m
Çözüm Kesin koordinatlar; Y 39 1915.579 Y 33 1537.374 Y 7 133.361 X 39 14646.894 X 33 1648.313 X 7 17716.440 Kontrol Y 34 3593.9 Y 8 3733.396 Y 7 133.361 X 34 16071.813 X 8 17413.59 X 7 17716.440 (8-33)(8-34)+β 3 68.94991 g (33-8)(33-39)-(α +α 3 )68.94991 g