ÖZET Yüksek Lisans Tezi EEG SİNYALLERİNİN ZAMAN SERİLERİ İLE MODELLENMESİ Ceren ŞENOL Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı D

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ EEG SİNYALLERİNİN ZAMAN SERİLERİ İLE MODELLENMESİ Ceren ŞENOL İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır

ÖZET Yüksek Lisans Tezi EEG SİNYALLERİNİN ZAMAN SERİLERİ İLE MODELLENMESİ Ceren ŞENOL Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Leven ÖZBEK EEG sinyalleri beyin dinamiğinin incelenmesi ve modellenmesi konusunda çok önemli bir rol oynamakadır. Bu çalışmada EEG sinyalleri bir zaman serisi olarak ele alınıp, fizyolojik veya paolojik durumlar için EEG sinyallerinde zaman içinde oluşan değişikliklerin öngörülmesi amacıyla, ardışık ahmin yönemleri (Ağırlıklandırılmış Ardışık En Küçük Kareler Yönemi, Kalman Filresi, İlerleilmiş Kalman Filresi, Lineer Oralamalar Karesi, Normalleşirilmiş Lineer Oralamalar Karesi, Paramerik Spekral Tahmin ve Uyarlı Kuup Tahmini) kullanılmışır. 26, 9 sayfa Anahar Kelimeler: EEG, Kalman Filresi, Ardışık Tahmin Yönemleri, Uyarlı Kuup Tahmini, Spekral Tahmin i

ABSTRACT Maser Thesis THE MODELLING OF EEG SIGNALS BY USING TIME SERIES Ceren ŞENOL Ankara Universiy Graduae School of Naural and Applied Sciences Deparmen of Saisics Supervisor: Ass. Prof. Dr. Leven ÖZBEK EEG signals play crucial role on searching and modelling of he brain dynamics. In his over all sudy, predicing of he changes occured in EEG signals in ime as for physiological and paological siuaions, aking EEG signals as a ime series and recursive esimaion mehods (Recursive Leas Squares, Kalman Filer, Exended Kalman Filer, Linear Mean Squares, Normalized Linear Mean Squares and Adapive Pole Esimaion) have been used. 26, 9 pages Key Words: EEG, Kalman Filer, Recursive Esimaion Mehods, Adapive Pole Esimaion, Specral Esimaion ii

TEŞEKKÜR Bana araşırma olanağı sağlayan, beni bu konuda çalışmaya yönlendiren ve çalışmamın her safhasında yakın ilgisi, önerileri ve yardımları ile beni yönlendiren danışman hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Leven ÖZBEK e, deseklerini esirgemeyen ve kişisel gelişimimde fikirleriyle bana kakıda bulunan değerli hocalarım sayın Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK ile sayın Doç. Dr. Osman GÜREL e eşekkürlerimi sunarım. Çalışmalarım süresince bana göserdikleri anlayış ve deseken dolayı aileme ve arkadaşlarıma eşekkür ederim. Bu ez çalışmasında kullandığımız verileri bize sağlayan ve yardımlarını gördüğümüz Ankara Gülhane Askeri Tıp Akademisi Ruh Sağlığı ve Hasalıkları Anabilim Dalı Başkanlığı Uyku Araşırmaları Merkezi nden Yrd. Doç. Dr. Leven SÜTÇİGİL e eşekkürlerimi sunarım. Ceren ŞENOL Ankara, Ocak 26 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... vi ŞEKİLLER DİZİNİ... vii ÇİZELGE DİZİNİ... x. GİRİŞ... 2. ZAMAN SERİLERİ MODELLERİ... 4 3. BAZI ARDIŞIK TAHMİN YÖNTEMLERİ... 9 3. Ağırlıklandırılmış Ardışık En Küçük Kareler Yönemi... 9 3.2 Kalman Filresi... 3.2. Sisem gürülü marislerinin ahmini... 8 3.2.2 Kovaryans marislerinin en çok olabilirlik ahmini... 8 3.2.3 Ölçüm gürülü kovaryansının ahmini... 2 3.2.4 Durum gürülü kovaryansının ahmini... 2 3.3 Lineer Olmayan Kesikli Zaman Durum-Uzay Modelleri ve İlerleilmiş Kalman Filresi... 22 3.4 Lineer Oralamalar Karesi (LMS)... 24 3.5 Normalleşirilmiş Lineer Oralamalar Karesi (NLMS)... 26 3.6 Paramerik Spekral Tahmin... 27 3.7 Uyarlı Kuup (Pole) Tahmini... 29 4. MODEL BELİRLEME KRİTERLERİ... 34 5. SİMÜLASYON ÇALIŞMASI... 36 6. EEG ANALİZİNE UYGULAMA... 5 6. Elekroensefalografinin (EEG) Biyofizik Temelleri... 5 6.2 EEG Dalgaları..... 5 6.3 Uyku Evreleri... 52 6.4 EEG Sinyallerinin Analizi... 53 6.4. EEG sinyallerinin paramere ahmini... 55 6.4.2 EEG sinyallerinin spekral ahmini... 64 6.4.3 EEG sinyallerinde veri ayrışırma yönemi... 75 7. TARTIŞMA ve SONUÇ... 84 iv

KAYNAKLAR... 87 EKLER... 9 EK Tanım (Beyaz Gürülü Serisi)... 92 EK 2 Maris Tersi Lemması... 93 EK 3 Teorem... 94 EK 4 AAEKK Algoriması... 95 EK 5 KF Algoriması... 98 EK 6 LMS Algoriması... EK 7 NLMS Algoriması... 3 EK 8 Uyarlı Kuup Tahmini Algoriması... 5 EK 9 İKF Algoriması... EK GSF Algoriması... 3 ÖZGEÇMİŞ... 9 v

SİMGELER DİZİNİ Hz Herz µ V MikroVol AAEKK AIC AR ARMA ARX EEG EKG KF LMS NLMS RLS WN GSF Ağırlıklandırılmış Ardışık En Küçük Kareler Akaike Informaion Crieria Auo-Regressive Auo-Regressive Moving Avarage Auo-Regressive Exogeneous Inpus Elekroensefalografi Elekrokardiyografi Kalman Filresi Leas Mean Square Normalized Leas Mean Square Recursive Leas Squares Whie Noise (Beyaz Gürülü) Güç Spekrum Fonksiyonu vi

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 5. Üreilen seri... 37 Şekil 5.2 AAEKK yönemi ( λ = )... 38 Şekil 5.3 AAEKK yönemi ( λ =. 97 )... 38 Şekil 5.4 AAEKK yönemi ( λ =. 95)... 39 Şekil 5.5 LMS yönemi ( µ =. 7 )... 4 Şekil 5.6 LMS yönemi ( µ =. 5 )... 4 Şekil 5.7 LMS yönemi ( µ =. )... 4 Şekil 5.8 NLMS yönemi ( λ =. 97, µ = )... 42 Şekil 5.9 NLMS yönemi ( λ =. 97, µ =. 5 )... 42 Şekil 5. NLMS yönemi ( λ =. 97, µ =. )... 43 Şekil 5. KF yönemi ( R =, Q =. )... 44 Şekil 5.2 KF yönemi ( R =, Q =. )... 44 Şekil 5.3 KF yönemi ( R =, Q =. )... 45 Şekil 5.4 KF ( Q =., R = 4 ) ile ahmin... 46 Şekil 5.5 KF ( Q =., R = 9 ) ile ahmin... 46 Şekil 5.6 Ölçüm gürülü varyansı R nin ahmini... 47 Şekil 5.7 Uyarlı kuup ahmin yönemi ile köklerin gerçel ve sanal kısımlarının ahminleri... 48 Şekil 5.8 Yarıçap ve açı paramereleri ahminleri... 48 Şekil 5.9 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile paramere ahmini... 49 Şekil 5.2 Karmaşık düzlemde kökler... 49 Şekil 6. Uyku EEG si (7. epok)... 5 Şekil 6.2 Uyku EEG si (42. epok)... 5 Şekil 6.3 AAEKK yönemi ile paramere ahmini (7. epok)... 55 Şekil 6.4 AAEKK yönemi ile paramere ahmini (42. epok)... 56 Şekil 6.5 KF yönemi ile paramere ahmini (7. epok için)... 56 Şekil 6.6 Ölçüm gürülü varyansı R nin ahmini (7. epok için)... 57 Şekil 6.7 KF yönemi ile paramere ahmini (42. epok için)... 57 Şekil 6.8 Ölçüm gürülü varyansı R nin ahmini (42. epok için)... 58 vii

Şekil 6.9 LMS yönemi ile paramere ahmini (7. epok için)... 58 Şekil 6. LMS yönemi ile paramere ahmini (42. epok için)... 59 Şekil 6. NLMS yönemi ile paramere ahmini (7. epok için)... 59 Şekil 6.2 NLMS yönemi ile paramere ahmini (42. epok için)... 6 Şekil 6.3 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile paramere ahmini (7. epok için)... 6 Şekil 6.4 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile paramere ahmini (42. epok için)... 6 Şekil 6.5 Uyarlı kuup ahmin yönemi ile ahmin edilen karmaşık kökler (7. epok için)... 6 Şekil 6.6 Uyarlı kuup ahmin yönemi ile ahmin edilen karmaşık kökler (42. epok için)... 62 Şekil 6.7 Uyarlı kuup ahmin yönemi ile ahmin edilen yarıçaplar ve açılar (7. epok için)... 62 Şekil 6.8 Uyarlı kuup ahmin yönemi ile ahmin edilen yarıçaplar ve açılar (42. epok için)... 63 Şekil 6.9 Karmaşık düzlemde kökler (7. epok için)... 63 Şekil 6.2 Karmaşık düzlemde kökler (42. epok için)... 64 Şekil 6.2 AAEKK yönemine göre elde edilen GSF (7. epok)... 65 Şekil 6.22 KF yönemine göre elde edilen GSF (7. epok)... 65 Şekil 6.23 LMS yönemine göre elde edilen GSF (7. epok)... 65 Şekil 6.24 NLMS yönemine göre elde edilen GSF (7. epok)... 66 Şekil 6.25 Uyarlı kuup ahmini yönemine göre elde edilen GSF (7. epok)... 66 Şekil 6.26 42. epok verisine ai iğcikli ve iğciksiz kısımlar... 67 Şekil 6.27 AAEKK yönemine göre elde edilen GSF...68 Şekil 6.28 Kalman Filresi yönemine göre elde edilen GSF...69 Şekil 6.29 Ölçüm gürülü varyansının ahmini (iğciksiz kısım)...7 Şekil 6.3 Ölçüm gürülü varyansının ahmini (. iğcikli kısım)...7 Şekil 6.3 Ölçüm gürülü varyansının ahmini (2. iğcikli kısım)...7 Şekil 6.32 LMS yönemine göre elde edilen GSF...7 Şekil 6.33 NLMS yönemine göre elde edilen GSF...72 Şekil 6.34 Uyarlı kuup ahmin yönemine göre elde edilen GSF...73 Şekil 6.35 AAEKK yöneminde, her 75 adımda bulunan kasayılara göre elde edilen GSF...74 viii

Şekil 6.36 KF yöneminde, her 75 adımda bulunan kasayılara göre elde edilen GSF...74 Şekil 6.37 Ayrışırılmış EEG (7. epok için)...76 Şekil 6.38 İlerleilmiş Kalman Filresi yönemiyle elde edilen ahminler (7. epok).77 Şekil 6.39 Arıkların (haaların) hisogramı (7. epok)...77 Şekil 6.4 Ani değişkenlik (cycle) bileşeninin frekansı (7. epok için)...78 Şekil 6.4 Trend bileşeninin frekansı (7. epok için)...78 Şekil 6.42 Sürüklenme (drif) parameresinin frekansı (7. epok için)...79 Şekil 6.43 Ayrışırılmış EEG (42. epok için)...8 Şekil 6.44 İlerleilmiş Kalman Filresi yönemiyle elde edilen ahminler (42. epok).8 Şekil 6.45 Arıkların (haaların) hisogramı (42. epok)...8 Şekil 6.46 Ani değişkenlik (cycle) bileşeninin frekansı (42. epok için)...82 Şekil 6.47 Trend bileşeninin frekansı (42. epok için)...82 Şekil 6.48 Sürüklenme (drif) parameresinin frekansı (42. epok için)...83 ix

ÇİZELGE DİZİNİ Çizelge 3.. ai ρ k ürevi... 32 x

. GİRİŞ EEG (elekroensefalografi) sinyalleri beyin dinamiğinin incelenmesi ve modellenmesi konusunda çok önemli bir rol oynamakadır. Beynin değişik uyarılara verdiği epkilerin zamana göre veya frekans içeriklerine göre incelenmesi üzerinde çokça durulmaka olan bir konudur. Beyin kabuğunda duyusal ve moor alanların sapanmasında EEG analizlerinin önemli payı olmuşur. Klinike, yaralanma ve ümör gibi nedenlerle oraya çıkan beyin hasarlarının yerini belirlemede EEG den yararlanılmakadır. Bu ür hasarlanmış bölgelerde ya sessiz yani sinyal vermeyen alanlarla ya da beklenmeyen ipe dalgalarla karşılaşılmakadır (Pehlivan 997). EEG sinyallerinin analizi frekans ve zaman boyuunda yapılabilmekedir. Sinyaller bir zaman serisi modeli olarak düşünüldüğünde, sinyallerin zaman içindeki değişiklikleri ölçülebilir, modellenebilir. Böylece fizyolojik veya paolojik durumlarda, kaydedilen EEG sinyallerinde zaman içinde oluşan değişiklikler anımlanabilir, öngörülebilir. Kaydedilen EEG sinyallerinin çok fazla mikarda olması ve bunların zaman serileri ile modellenmeye çalışılması zorunlu olarak ardışık ahmin yönemlerinin kullanılmasına neden olmakadır. EEG sinyallerinin modellenmesi ve paramere ahmini konusunda pek çok çalışma ve farklı yönemler vardır. Ardışık ahmin ve lineer olmayan durumlar için gelişirilen İlerleilmiş Kalman Filresi, başa EEG analizi olmak üzere pek çok uygulama alanına sahipir. Pardey e al. (995), EEG analizlerinde paramerik modelleme ekniklerini ve uyarlı ve uyarlı olmayan ooregresif modeller için praike çok kullanılan bazı algorimaları incelemişir. Hinrichs e al. (996), EEG sinyalleri için Kalman Filresi kullanarak rend belirleme ekniklerini incelemişir. Karjalainen (996), bazı kök izleme algorimalarını EEG verilerinin modellenmesinde kullanmışır.

EEG sinyallerini modellerken ve EEG spekral analizini yaparken Güler vd. (2) ooregresif zaman serilerini ve paramere ahmini için de en çok olabilirlik yönemini kullanmışır. Tarvainen e al. (24) ise EEG sinyallerini modellerken ARMA modelini kullanmış ve paramere ahmininde Kalman Filresini diğer ardışık ahmin yönemleri ile karşılaşırarak incelemişir. Süçigil vd. (24), uyku iğciklerinin başlangıç ve biiş nokalarını bularak, uykudaki EEG süresince dağılımlarının çıkarılması ve uyku araşırmalarında uyku skorlarının elde edilmesi ile ilgili bir çalışma yapmışlardır. Olbrich and Achermann (24), uyku iğciklerinin espi edilmesi amacıyla AR modeli ve güç spekrumu kullanmışır. Özbek (993), kesikli-zaman durum-uzay modellerinde ardışık ahmin yönemlerini incelemişir. Özbek ve Özürk (23), lineer olmayan kesikli-zaman durum-uzay modelleri ile ilgili olarak, bir yayın ucuna bağlı cismin salınımı için İlerleilmiş Kalman Filresinin kullanımına bir örnek vermişlerdir. Özbek vd. (23), makroekonomik bir modelde, modelin paramerelerinin hesaplanmasında İlerleilmiş Kalman Filresi kullanmışlardır. Özbek vd. (25), uyku EEG sinin frekans bileşenlerine ayrılarak iğciklerin oraya çıkarılması amacıyla İlerleilmiş Kalman Filresi kullanmışlardır. Torun (25), uyku iğciklerinin belirlenmesi amacıyla bazı ardışık ahmin yönemlerini (Ağırlıklandırılmış Ardışık En Küçük Kareler Yönemi, Kalman Filresi, Lineer Oralamalar Karesi, Normalleşirilmiş Lineer Oralamalar Karesi ve Uyarlı Kuup Tahmini) uygulamışır. 2

Bu çalışmada EEG sinyalleri bir zaman serisi olarak ele alınıp, bazı ardışık ahmin yönemleri (Ağırlıklandırılmış Ardışık En Küçük Kareler Yönemi, Kalman Filresi, Lineer Oralamalar Karesi, Normalleşirilmiş Lineer Oralamalar Karesi ve Uyarlı Kuup Tahmini) ile modelin kasayıları ahmin edilmeye ve bu yönemleri kullanarak uyku EEG sinin Paramerik Spekral Tahmini yapılarak EEG analiz edilmeye çalışılmışır. Uyku EEG sinde bulunan iğciklerin oraya çıkarılması amacıyla İlerleilmiş Kalman Filresi kullanılmışır. 3

2. ZAMAN SERİLERİ MODELLERİ 2 Tanım 2. e ~ WN(, σ ) ve q sonlu bir doğal sayı, b ve µ serinin beklenen değeri olmak üzere, q -uncu dereceden bir harekeli oralama serisi, q y µ = e + q i= b e i i şeklinde verilir ve y ~ MA(q) şeklinde göserilir. Bu serinin karakerisik denklemi, m q + q i= b m i q i = şeklindedir (Wei, 99). 2 Tanım 2.2 e ~ WN(, σ ) ve p sonlu bir doğal sayı, a ve µ serinin beklenen değeri olmak üzere, p -inci dereceden bir ooregresif zaman serisi, p p ( y µ ) = a ( y µ ) + e i= i i şeklinde verilir ve y ~ AR(p) şeklinde göserilir. Bu serinin karakerisik denklemi, m p p i= a m i p i = şeklindedir (Wei, 99). 2 Tanım 2.3 e ~ WN(, σ ) ve p ve q sonlu doğal sayılar, a ve b, µ serinin beklenen değeri olmak üzere, model dereceleri p ve q olan bir ARMA ( p, q) serisi, p q p ( y µ ) = a ( y µ i= i i ) + e + q i= b e i i şeklinde göserilir ve y ~ ARMA(p, q) şeklinde göserilir (Wei, 99). 4

Tanım 2.4 Lineer Kesikli-Zaman Durum-Uzay Modeli Lineer kesikli-zaman sokasik durum-uzay modelleri, 96 lı yıllarda uydu, güdümlü mermi, uzay araçları ve hareke yeeneği olan hedeflerin konumunu izleme ve konrol eme gibi uygulamalar için gelişirilmişir. Durum-uzay modelleri, fiziksel ve ikisadi süreçlerin modellenmesinde pek çok uygulama alanına sahipir (Chui and Chen 99, Efe ve Özbek 999, Özbek 2, Durbin and Koopman 2). Sisemin durumunu göseren; ancak gözlenemeyen, { x, =,, 2,...} sokasik süreci ile ilgili bir durum eşiliği ve gözlenebilen, { y, =,, 2,...} sokasik süreci ile ilgili bir ölçüm (gözlem) eşiliğinden oluşan, x = F x + Bu + + G w (2.) y = H x + v (2.2) şeklindeki modele Durum-Uzay Modeli denir. Burada; n x R : sisem durum vekörünü m y R : sisem gözlem vekörünü r u R : sisem konrol vekörünü gösermekedir. marisini gösermekedir. n w R ve F nxn boyulu sisem geçiş marisini, B ve H mxn boyulu gözlem G boyuları uygun şekilde seçilmiş marislerdir. m v R sıfır oralamalı beyaz gürülü süreçlerini (EK ) yani haa erimlerini gösermekedir. Beyaz gürülü süreçlerinin her, j değerleri için, δj =, = j j olmak üzere aşağıdaki varsayımları sağladığı kabul edilmişir: E[ v ] = (2.3) E[ w ] = (2.4) E vv j = Rδ j E w wj = Qδ j (2.5) (2.6) 5

E v wj = (2.7) [ ] E x = x (2.8) E ( x x )( x x ) = P (2.9) E x w = (2.) [ ] E x v = (2.) [ ] Ayrıca, üm =,,2,... anlarında F, H, B, G, Q ve R marislerinin bilindiği varsayılmışır (Bryson and Ho 969, Jazwinski 97, Anderson and Moore 979, Kumar and Varaiya 986, Chui and Chen 99). Burada amaç; ilgilenilen sisem ile ilgili durum-uzay modeli oluşurularak, gözlenemeyen durum vekörünü ahmin emekir. Tanım 2.5 Herhangi bir anında bir sisemin konrol değeri u, çıkısı (ölçüm, gözlem) y ve e beyaz gürülü sürecini gösermek ve m, l n olmak üzere ( n, m, l) -inci dereceden ARMAX (Auo-regressive Moving Average model wih exogeneous inpus) modeli y = n i= a i y m i + biu i + i= l i= c e i i eşiliği ile verilir (Chui and Chen 99). Uygulamada çok kullanılan bazı MA, AR, ARMA ve ARMAX süreçleri için Durum- Uzay Modeli göserimleri aşağıda verilmişir. MA() süreci Tanım 2. gereğince y = e + be şeklinde yazılır. x = F x + G w, =,2,... y = H x + v, =,2,... 6

b y durum-uzay modeli göseriminde H = [, ], F =, x =, G = e alınarak MA() süreci x y b = = x e [ ] x y = + e şeklinde yazılır. AR(2) süreci Tanım 2.2 gereğince y + e = a y + a2 y 2 a şeklinde yazılır. H = [, ], = a 2 y F, x =, G = y alınarak AR(2) süreci a a2 x = x + + e [ ] x y = şeklinde yazılır. ARMA(,) süreci Tanım 2.3 gereğince y = ay + e + be a b y şeklinde yazılır. H = [, ], F =, x =, G = e alınarak ARMA(,) süreci a b x = x + + e [ ] x y = şeklinde yazılır (Özbek 998). 7

8 ARMAX modeli için durum-uzay modeli n l l l n m m m n n e c a a c a c c a c u b a b a b a b b a b x a a a x + + = + + M M M M L L M O M M L M [ ] e c u b x y + + = L şeklinde yazılır (Chui and Chen 99).

3. BAZI ARDIŞIK TAHMİN YÖNTEMLERİ Ardışık ahmin, sadece anındaki y gözlemine ve anındaki xˆ ahminine bağlı olarak anındaki x durumunun en iyi x ˆ değerini ahmin eme problemidir. Bu ahmin değişik opimizasyon ölçülerine göre elde edilebilir. Aşağıda bazı ardışık ahmin yönemlerinin elde edilişleri ve ilgili algorimaları verilmişir. 3. Ağırlıklandırılmış Ardışık En Küçük Kareler Yönemi (AAEKK) Girdisi (konrol değişkeni) { u }, çıkısı { y } olan bir sisemin + a y +... + an y n = bu +... + bmu m v (3.) y + doğrusal fark denklemiyle modellendiği kabul edilsin. Burada { v } beyaz gürülü sürecini ve =,2,..., N zaman aralıklarını gösermekedir. (3.) eşiliğini q gecikme işleci; ( ) ( ) q y y = kullanılarak A q y = B q u + v (3.2) biçiminde yazılabilir. Burada; A( q ) = + a q +... + a q n n B( q ) = b q + b q +... + b q 2 m 2 m ve n, m modelin dereceleri, a,..., an, b,..., b m modelin bilinmeyen paramereleridir. (3.) veya (3.2) modeli girdi ve çıkı arasındaki dinamik ilişkiyi gösermeke ve lieraürde ARX (Auo-regressive exogeneous inpus) modeli olarak bilinmekedir. (3.) veya (3.2) modeli olmak üzere, θ = ( a,..., a, b,..., b ) n = (,...,,,..., ) ϕ y y n u u m y m = ϕθ+ v (3.3) şeklinde yazılabilir (Ljung and Södersröm 993). 9

Eşilik (3.3) ile verilen modelde, paramereleri ahmin emek amacıyla V (3.4) N 2 N ( θ ) = β N, [ y ϕθ ] N i= olarak verilen maliye fonksiyonu θ ya göre minimize edilirse θ nın en küçük kareler ahmin edicisi, N VN ( θ ) = β N, 2[ y ϕθ ]( ϕ ) = θ N = N 2 β N, [ y θϕ ] ϕ = N N = N = β = N N, yϕ β N, yθϕϕ = = N N, yϕ = β N, yθϕϕ = β N N N N, N, y = = ˆ θ [ β ϕϕ ] [ β ϕ ] = (3.5) olarak bulunur. Yeni verinin geçmişeki veriye göre daha çok bilgi içereceği varsayımı alında β = λβ, k (3.6), k, k olarak seçilebilir. (3.6) eşiliğinin yerine β, k = λ j, k, k j= k+ β = (3.7) olarak alınabilir. Eğer her k için λk ve λk = λ alınırsa (3.7) eşiliğinden β, k k λ = (3.8) elde edilir. (3.8) eşiliği V ( θ ) maliye fonksiyonunda kullanılırsa, yeni verilerin N ekisinin maliye fonksiyonunda daha fazla olduğu varsayımı yapılır. Yani eski veriler unuuluyormuş gibi düşünülebilir. Bu nedenle λ ya unuma fakörü denir. Bulunan θˆ N ardışık bir ahmin edici değildir. Ardışık ahmin ediciyi elde emek için, R olarak alınırsa = β ϕϕ (3.9) N, k = R = λ R + ϕϕ (3.)

elde edilir. (3.9) ve (3.) eşilikleri (3.5) eşiliğinde kullanılarak gerekli işlemler yapıldıkan sonra, ˆ θ = ˆ θ + R ϕ [ y ϕθˆ ] (3.) olarak bulunur. uygulanırsa, P = alınıp, (3.) eşiliğine maris ersi lemması (EK 2) R P ϕϕ P P = P λ λ + ϕp ϕ elde edilir (Ljung and Södersröm 983). Böylece AAEKK algoriması, (3.2) ˆ θ = ˆ θ + K [ y ϕθˆ ] (3.3) K P ϕ = = Pϕ λ + ϕp ϕ P ϕϕ P = I P λ λ + ϕp ϕ (3.4) (3.5) olarak verilir. (3.3)-(3.5) eşilikleri çoğunlukla paramerelerin zamanla değişiği sisemler için kullanılır. Algorimadan görüleceği gibi P marisi küçüldüğü zaman algorima kazancı azalmaka, dolayısıyla ahmin gerçek değerden uzaklaşabilmekedir. Bu problemin ekisini oradan kaldırmak için, λ unuma fakörü kullanılır. Genellikle unuma fakörü λ, e yakın bir değer olarak seçilmeke ve λ =.9, λ =.95 veya λ =.99 olarak alınmakadır (Goodwin and Sin 984, Ljung and Södersröm 983, Kumar and Varaiya 986). 3.2 Kalman Filresi Durum-uzay modelinde esas problem, gözlenemeyen x durumunu, y, y2,..., y gözlemlerini kullanarak ahmin emekir. Bu problem Filreleme olarak bilinir (Jazwinski 97) ve Kalman (96) arafından dik izdüşüm yönemi kullanılarak çözülmüşür.

İndirgemeli (ardışık) ahmin, sadece anındaki y gözlemine ve anındaki x ˆ ahminine bağlı olarak anındaki x durumunun en iyi xˆ değerini ahmin eme problemidir. Bu ahmin, değişik opimizasyon ölçülerine göre elde edilebilir. Bu kısımda, durum-uzay modelinde yer alan beyaz gürülü süreçlerinin ve x başlangıç durumunun normal dağılıma sahip olduğu varsayımı alında, ardışık bir ahmin yönemi olan Kalman Filresinin, sonsal dağılımın en büyüklenmesi ölçüü kullanılarak elde edilişi açıklanmışır. (2.) eşiliğinde konrol değişkeninin olmadığı varsayılarak, (2.2) eşiliğiyle birlike ekrar ele alınsın. x = F x + + G w (3.6) y = H x + v (3.7) olmak üzere, haa erimlerinin w ~ N(,Q ) v ~ N(,R ) ve başlangıç durumu x ~ N(,P ) x şeklinde normal dağılıma sahip olduğu, haa erimlerinin ve başlangıç durumunun (2.3)- (2.) varsayımlarını sağladığı kabul edilsin. En iyi Filreleme problemi, Y = ( y, y,..., y ) gözlemleri verildiğinde, x durumunun en iyi ahminini belirleme problemidir. Yapılan varsayımlar alında, x Y rasgele vekörünün dağılımı, EK 3 de verilen eorem gereğince normal dağılıma sahipir ve sonsal dağılımın en büyüklenmesi ölçüüne göre elde edilen ahmin, koşullu beklenen değer ahminine denkir (Singh and Tili 978, Bryson and Ho 969). Y = ( y, y,..., y ) gözlemleri verildiğinde x durumunun ahmini, xˆ = E( x y, y,..., y ) = E( x Y ) ile, haanın kovaryans marisi, P = E ( x ˆ )( ˆ x x x ) Y = (,,..., ) gözlemleri verildiğinde x durumunun ahmini, ile, Y y y y 2

x ˆ = E ( x,,..., ) ( ) y y y = E x Y ile, haanın kovaryans marisi, P ( ˆ )( ˆ ) = E x x x x Y ile göserilsin. Bu değerlerin belirlenmesi aşağıdaki adımların uygulanmasıyla elde edilir. Adım-. anında x durumunun, xˆ ahmininin bilindiği kabul edilsin ve x ˆ belirlenmeye çalışılsın. (3.6) eşiliği x = F x + G w olarak ele alınır, (2.3)-(2.) varsayımlarına göre, w rasgele vekörünün v, w,..., w y, y,..., y 2 rasgele vekörlerinden, x başlangıç durumunun vekörlerinden bağımsız olduğu göz önünde uulursa, olacağından E( w ) Y = x ˆ = E ( x ) ( ) ( ) Y = F E x Y + G E w Y = F xˆ olarak bulunur. Yine (2.3)-(2.) varsayımlarına göre, haa vekörü x ˆ x ; y, y,..., y gözlemlerinden bağımsız olduğundan, bir adım sonraki öngörü için haanın kovaryans marisi, P ( ˆ )( ˆ ) = E x x x x Y = E ( x ˆ )( ˆ x x ) x dır. Bir adım öngörü haası, x xˆ = F ( x xˆ ) + G w olarak yazılabileceğinden, x vekörü, w, w,..., w 2 vekörlerinin bir fonksiyonu ve E( x w ) =, k E( xˆ w Y ) k = olduğundan, haanın kovaryans marisi, 3

P = F P F + G Q G olarak bulunur. Adım-2. Y = ( y, y,..., y ) gözlemleri verildiğinde, x durumunun ahmininin belirlenmesi için f ( x Y ) koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunun belirlenmesi gerekir. Bu koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu, f ( x Y ) = f ( x Y, y ) = f ( x, Y, y ) f ( Y, y ) f ( x Y ) = f ( y x, Y ). (3.8) f ( y Y ) olarak yazılabilir. Gözlem eşiliği (3.7) ve x vekörünün y, y,..., y gözlemlerinden bağımsız olduğu göz önüne alınırsa ( v ; x ve w, w,..., w vekörlerinden bağımsız) f ( y x, Y ) ( ) = f y x elde edilir. Bu durumda (3.8) eşiliği, f ( x Y ) = f ( y x ) f ( x Y ) f ( Y ) f ( y, Y ) olarak yazılabilir. Haa erimleri ile ilgili varsayımlardan E( v x ) = E ( y x ) = E( H x + v x ) = H E ( y H x )( y H x ) = E( v v ) = R olacağından gözlem vekörünün, durum vekörüne göre koşullu dağılımı f y x y H x R y H x 2 ( ) = κ.exp ( ) ( ) x şeklinde normal dağılımdır. Başlangıç durumunun, normal dağılıma sahip olduğu varsayıldığından, f ( x Y ) önsel dağılımı da f ( x ˆ ˆ Y ) κ.exp = ( x x ) P ( x ) x 2 biçiminde normal dağılım olduğundan, f ( x Y ) sonsal dağılımı EK 3 deki Teorem kullanılırsa, 4

f ( x ).exp (( ) ( ) ( ˆ ) ( ˆ Y = κ y H x R y H x + x x P x )) x 2 (3.9) biçiminde normal dağılım olarak bulunur. Burada κ, κ, κ normalleşirme sabileridir. (3.9) sonsal dağılımının logariması alındıkan sonra, x vekörüne göre ürev alınıp sıfıra eşilenirse, H R ( y H x ) P x xˆ ) = elde edilir. Bu ifade, x vekörüne göre çözülüp, x yerine x ˆ alınırsa [ H R H + P ]ˆ x = H R y + P xˆ (3.2) ve bu eşiliğinin sağ arafına H R H xˆ eklenip çıkarılırsa (3.2) eşiliği xˆ = xˆ + [ H R H + P ] H R ( y H xˆ ) olarak yazılır. (3.2) eşiliği xˆ = [ H R H + P ] [ H R y + P xˆ ] olarak göz önüne alınır ve (3.7) gözlem eşiliği kullanılırsa x xˆ = x [ H R H + P ] [ H R H x + H R v + P xˆ ] (3.2) elde edilir. (3.2) ifadesinin sağ arafına P x eklenip çıkarılır ve gerekli düzenlemeler yapıldığında (3.2) eşiliği x xˆ = [ H R H + P ] [ H R v P ( x xˆ )] (3.22) olarak yazılır ve (3.22) eşiliği kullanılırsa {( ˆ ˆ )( ) } P = E x x x x = [ H R H + P ] (3.23) olarak bulunur. (3.23) eşiliğine maris ersi lemması uygulanırsa, elde edilir. olarak alınırsa [ H R H + P ] = P P H [ H P H + R ] H P K = P H [ H P H + R ] [ ] P = I K H P ve maris ersi lemmasının uygulanmasıyla 5

olduğundan [ H R H + P ] H R = P H [ H P H + R ] xˆ = xˆ + K ( y H xˆ ) olarak bulunur. Özelenecek olursa Kalman Filresi, P = ˆx = P x başlangıç değerlerine bağlı olarak aşağıdaki eşilikler ile verilir: xˆ F xˆ = (3.24) P = F P F + G Q G (3.25) K = P H ( H P H + R ) (3.26) P = [ I KH ] P (3.27) xˆ = xˆ + K ( y H xˆ ) (3.28) Eşilik (3.26) ile verilen (Singh and Tili 978, Bryson and Ho 969). K marisi lieraürde, Kalman Kazanç Marisi olarak da bilinir Eşilik (3.3) ile verilen modeldeki paramerelerin ahmin edilmesinde Kalman Filresi algoriması da kullanılmakadır. Burada, elde edilecek olan en iyi Filre, y,..., y, y gözlemleri verildiğinde θ durumunun en iyi ahminini belirleyecekir. Ardışık paramere ahmininde, paramere değişiminin modellenmesine ihiyaç duyulmakadır. Bu amaçla paramere vekörünün rasgele yürüyüş şeklinde modellendiği kabul edilirse, (3.3) eşiliği θ = θ + w (3.29) y = ϕθ + e (3.3) durum-uzay modeli biçiminde yazılabilir. (3.6)-(3.7) durum-uzay modelindeki noasyonlara göre ele alınan modelde: F G H = I = I = ϕ 6

x v = θ = e olur. Buna göre, y,..., y verildiğinde θ nin ahmini θ olmak üzere Kalman Filresi ˆ θ = ˆ θ + K ( y ϕθ ˆ ) K P ϕ = ϕ ϕ P + R P ϕϕ P I P Q şeklinde verilir. = [ ] + ϕp ϕ + R ˆ Eğer, R = λ Q = ( λ )( ) P ϕp ϕ + R P ϕϕ olarak alınırsa Kalman Filresi algoriması ile AAEKK algoriması denk olur. İçeriğinde sadece ek bir paramere (λ ) bulunmasından öürü AAEKK algoriması praike daha çok kullanılmakadır. Ayrıca, Kalman Filresi algorimasında, kovaryans marisi ile ilgili yanlış bir varsayım, ahminlerin doğru çıkmasını ekileyebilir. R Kalman Filresinin iyi bir şekilde işleyebilmesi, durum-uzay modelinde yer alan durum ve ölçüm gürülü kovaryanslarının bilinmesine bağlıdır. Ancak gerçek bir sisemin bir modeli oluşurulurken çoğu zaman bu kovaryanslar bilinmez. Gerçek ile uygulama arasında farklılığa neden olan bu durum, büyük ahmin haalarına ya da haanın ıraksamasına neden olabilir. Bu nedenle Kalman Filresinde filrenin daha iyi çalışmasını sağlamak amacıyla bazı uyarlı yönemler önerilmişir ve bunlar Uyarlı Kalman Filresi olarak bilinir. Uyarlı filrenin amaçlarından birisi, sisem durumunu en iyi ahminini elde edecek şekilde beyaz gürülü süreçlerinin kovaryanslarını ahmin emekir. Gürülü kovaryanslarının ahmini için değişik yönemler kullanılmakadır (Mohamed and Schwarz 999). 7

3.2. Sisem gürülü marislerinin ahmini Durum gürülü kovaryans marisinin, parameresi, q 2 2 e E( e q = ) = h ϕ ϕ ile hesaplanır. Burada, x, x h ( x) =, d. y. ve E 2 ( e q= ) = R + ϕ P ϕ Q = q I şeklinde olduğu varsayımı alında q biçimindedir. α düzelme parameresini gösermek üzere, ölçüm gürülü varyansı nin ardışık ahmini, 2 ( ) R = α R + ( α) h e ϕ P ϕ ve q ardışık ahmini, R 2 2 e E[ e q ] q = αq + ( α) h ϕϕ e R ϕ P ϕ 2 ( α) h ϕϕ = αq + ile verilir (Isaksson 998, Penny and Robers 998, Penny 2). 3.2.2 Kovaryans marislerinin en çok olabilirlik ahmini En çok olabilirlik ahmin yöneminde amaç, arıkların kovaryans marisi en küçük olacak biçimde, Q ve z = y ϕθˆ olarak alındığında z nin kovaryansı, [ ] ϕ R marislerinin ahmin edilmesidir. Arıklar vekörü, S = E z z = P + R (3.3) 8

9 olarak bulunur. Arıkların dağılımının, ( ) exp 2 (2 ) m f z z S z S π = (3.32) çok değişkenli Normal dağılım olduğu varsayımı alında, ( ) ln ( ) *ln(2 ) ln( ) 2 f z m S z S z π = + + (3.33) ifadesinin maksimum olması için, eşiliğin sağ arafının minimum olması gerekir. Yani, = = + i i i i i i z S z S ) ln( (3.34) minimum olmalıdır. Bu amaçla, (3.34) eşiliğindeki Q ve R nin elemanı olan α ya göre ürevi alınıp sıfıra eşilenirse, = = = + i i i i i i i i z S z S ) ln( α α olur. = = x A A r x A A x A ln ve = A x A A x A olduğu bilindiğinden, ) ( = = i i i i i i i i i i z S S S z S S r α α (3.35) elde edilir. Burada r marisin iz işlecidir. (3.35) eşiliğinden açıkça görüldüğü gibi problem, i S nin belirlenmesi ve α ya göre kısmi ürevinin alınması problemine indirgenir. (3.3) eşiliğinin α ya göre kısmi ürevi alındığında, P R S ϕ α ϕ α α + = (3.36) elde edilir. Burada, Q P P + = φ φ olduğu bilindiğinden, α ya göre ürevi alınırsa

P α = φ P α φ Q + α elde edilir. Sürecin durağan olması şarı alında, eşiliğin sağ arafındaki ilk erim yok olmaka ve P Q = α α şeklinde yazılabilmekedir. (3.37) eşiliği (3.36) da yerine yazılırsa, elde edilir. S R Q = + ϕ ϕ α α α (3.37) (3.38) (3.38) eşiliği (3.35) de yerine konursa, i= Ri Qi r {[ Si Si zizisi ][ + ϕi ϕi ]} = α α olur. Böylece durum ve ölçüm gürülü varyans ve kovaryansı olarak ahmin edilebilir (Mohamed and Schwarz 999). i (3.39) Q ve R, α ya bağlı 3.2.3 Ölçüm gürülü kovaryansının ahmini Ölçüm gürülü kovaryansı R nin ahmini için, bağımsız olduğu varsayımı alında ve Q Q nin amamen bilindiği ve α dan = α I olduğunda yani, durum gürülü marisinin sadece köşegen elemanları dikkae alındığı durumda (3.39) eşiliği aşağıdaki gibi yazılır. r{[ Si Si zizisi ][ I+ ]} = (3.4) i= i= r { S ( S z z ) S } = (3.4) i i i i i (3.4)-(3.4) eşilikleri kullanılarak ve gerekli işlemler uygulanarak, ölçüm gürülü kovaryansının uyarlı ahmini, R ˆ ˆ = S + ϕ P ϕ (3.42) olarak bulunur. Burada S ˆ ölçümlerden hesaplanan kovaryans olmak üzere, ii 2

ve z = z i i= ˆ S = z z z z ( )( ) i i i i i= ile verilir (Mohamed and Schwarz 999). T 3.2.4 Durum gürülü kovaryansının ahmini Ölçüm gürülü kovaryansı R nin ahmininde akip edilen yol burada da izlenir. Durum gürülü kovaryansı Q ahmin edilirken, R nin amamen bilindiği ve α dan bağımsız olduğu varsayımı alında ve R = αiii olduğunda yani, sisem gürülü marisinin sadece ana köşegen elemanları dikkae alındığı durumda (3.39) eşiliği, r{ ϕi[ Si Si zizisi ] ϕi} = (3.43) i= şeklinde yazılır. (3.43) eşiliği aşağıdaki şekilde ekrar düzenlenebilir. i= r{ ϕ S ϕ ϕ S z z S ϕ } = (3.44) i i i i i i i i i (3.43)-(3.44) eşilikleri kullanılır ve gerekli işlemler uygulanırsa, durum gürülü kovaryansının uyarlı ahmini, olmak üzere, θ = ˆ θ ˆ θ ˆ Q P P = θi θi + i= olarak bulunur (Mohamed and Schwarz 999). 2

3.3 Lineer Olmayan Kesikli-Zaman Durum-Uzay Modelleri ve İlerleilmiş Kalman Filresi Bir sisem ile ilgili durum değişkeni n -boyulu x rasgele vekörü ve gözlem değişkeni m -boyulu z rasgele vekörü olsun. f n n : R R ve h n m : R R fonksiyonları birinci dereceden sürekli ürevlere sahip olmak üzere bu sisem için lineer olmayan durum-uzay modeli, ile verilir ve x, =,2,... (3.45) = f ( x, ) + w y = h( x, ) + v (3.46) E[ v ] = E[ w ] = E vv j = Rδ j E w wj = Qδ j E v wj = [ ] E x = x E ( x x )( x x ) = P [ ] E x w = [ ] E x v = varsayımlarının kabulü ile İlerleilmiş Kalman Filresi, Cov( x P = E( x x = başlangıç değerlerine bağlı olarak, P ) f ) ˆ f = ( x ) P x ) + Q x x x ˆ f ( xˆ ) = ( ˆ K P h xˆ h ( xˆ P h = ( ) ) ( x ) + R x x x ˆ 22

P h ˆ ( ) = I K x P x [ y h ( xˆ )] x ˆ = xˆ + K, =,2,... eşilikleri ile verilir (Grewal and Andrews 993, Chen 993, Özbek ve Özürk 23, Özbek vd. 23, Özbek ve Özlale 25). İlerleilmiş Kalman Filresi ni uygulamak amacıyla (3.6)-(3.7) eşiliklerindeki marisler, θ bilinmeyen paramere vekörünü gösermek üzere F ( θ ), G (θ ), H (θ ) şeklinde θ nın fonksiyonları biçiminde yazılsın ve θ paramere vekörünün rasgele yürüyüş şeklinde modellendiği kabul edilsin. Bu durumda, model x = F ( θ ) x + + G ( θ ) w (3.47) y = H (θ ) x + v (3.48) ve paramere vekörü, θ θ + ζ + = (3.49) şeklinde olacağından (3.47)-(3.49) eşilikleri yeni bir durum vekörü gibi düşünülüp birleşirilirse yeni oluşan durum-uzay modeli, x+ F ( θ ) x G ( θ ) w θ = + θ ζ + (3.5) x y = [ H ( θ ) ] + v (3.5) θ şeklinde lineer olmayan bir modeldir ve bu modele İlerleilmiş Kalman Filresi uygulanabilir. (3.49) eşiliğindeki ζ beyaz gürülü sürecini gösermekedir ve kovaryans marisinin Cov( ζ ) = S = S > olduğu kabul edilmişir. S = olması durumunda paramere vekörünün sabi olduğu varsayımı yapılmış olur ve (3.5)-(3.5) eşilikleri ile verilen lineer olmayan durum-uzay modeline İlerleilmiş Kalman Filresi uygulandığında paramere vekörü hakkında herhangi bir bilgi elde edilemez. Bu nedenle uygulamada S > olarak alınır. İlerleilmiş Kalman Filresi algoriması eşilikleri, (3.5)-(3.5) eşiliklerine uygulanırsa, xˆ E( x ) ˆ = ve θ E( θ ) 23

Cov( x ) P = S başlangıç değerlerine bağlı olarak =,2,... için xˆ F ˆ ˆ ( θ ) x = ˆ θ P ˆ θ K ˆ ˆ ˆ ˆ F ˆ ˆ ( θ ) ( F ( θ )) x F ( θ ) ( F ( θ )) x = θ P θ I I G + ( ˆ θ ) Q [ H ( ˆ θ ) ] [ H ( ˆ θ ) ] P [ H ( ˆ θ ) ] + = P R [ I K [ ˆ H ( ) ] P P θ = xˆ xˆ ˆ = ˆ θ θ + K [ y [ ˆ ) ˆ H ( θ x ] G ( ˆ θ ) S eşilikleri ile verilir (Chen 993). İlerleilmiş Kalman Filresi birçok lineer olmayan modelde kullanım alanına sahipir (McKiernan 996, Bacchea and Gerlach 997, Özbek ve Efe 23, Şenol vd. 23). 3.4 Lineer Oralamalar Karesi (LMS) Ardışık ahmin yönemlerinden birisi de Lineer Oralamalar Karesi (LMS) dir. Bu yönem haaların karesinin beklenen değerini minimize emeye dayanır. θ = θ + w y = ϕθ + e durum-uzay modelinde w N(,Q ), v N(,R ) ve µ parameresi poziif sabi bir ~ sayı (Haykin 99) olmak üzere; ˆ ˆ θ ( ˆ = θ + µϕ y ϕθ ) ˆ θ +µϕ e = ~ eşiliği LMS algoriması olarak bilinir. Kalman Filresi nde, 24

Q 2 ( I µϕϕ ) ϕϕ ( I µϕϕ ) = µ µ ( I µϕϕ ) + ( + + ) µ I µϕ ϕ µϕ ( I µϕϕ ) ϕ + R = P = µ ( I µϕϕ ) olarak alınırsa kovaryans, P = µ ( I µϕ ϕ ) + + ve Kalman kazanç marisi K µ ( I µϕϕ ) ϕ = µϕ ( µϕ ϕ ) ϕ + I olarak elde edilir. Maris ersi lemması uygulanarak ( I µϕϕ ) µϕϕ = I µϕϕ olarak yazılabilir ve böylece Kalman kazanç marisi K µϕϕ µ ( I ) ϕ µϕϕ = µϕϕ µϕ ( I ) ϕ+ µϕϕ 2 µϕ ( µϕϕ ) µ ( ϕϕ ) ϕ 2 2 = µ ( ϕϕ ) µ ( ϕϕ ) µ ( ϕϕ ) µ ( ϕϕ ) + µ ( ϕϕ ) = µ ( ϕϕ ) ϕ + µϕ + µ ( ϕϕ ) ϕ = µϕ 2 2 şeklinde yazılır. Bu işlemler uygulanırsa LMS olarak bilinen yönem, $ θ = $ θ + Kε K = µϕ P = µ ( I µϕ ϕ ) + + olarak elde edilmiş olur (Haykin 99). 25

3.5 Normalleşirilmiş Lineer Oralamalar Karesi (NLMS) θ = θ + w y = ϕθ + e durum-uzay modelinde w N(,Q ), v N(,R ) ve µ parameresi poziif sabi bir ~ ~ sayı (Haykin 99) olmak üzere, Kalman Filresi nde, Q ϕϕ + 2 =µ µϕϕ R = P = µ I olarak alınırsa, P = I µϕϕ ϕϕ µ µ µ I + + + = M 2 ( ) µϕϕ µϕϕ P = µ I ve Kalman kazanç marisi K µϕ = µϕϕ + şeklinde yazılır. ϕ değerinin çok küçük olması durumunda oraya çıkabilecek ahmin haalarını önlemek amacıyla λ > sabi bir sayı olmak üzere, NLMS olarak bilinen yönem, ε = ( y ϕθ$ ) $ θ = $ θ + Kε µϕ = µϕϕ + λ K P = µ I olarak verilir (Haykin 99). 26

3.6 Paramerik Spekral Tahmin Spekral ahmin, rasgele bir sürecin güç spekrum fonksiyonu nu belirleme problemidir. Spekral analiz çalışmaları, radar, sonar, konuşma analizi, biyoıp, ekonomi gibi dallarda yoğunlaşmışır. Spekral ahmin ediciler, paramerik ve paramerik olmayan olmak üzere ikiye ayrılabilir. Periyodogram, Blackman-Tukey ve minimum varyans spekral ahmin edicileri gibi paramerik olmayan yönemlerde veri hakkında varsayıma ihiyaç duyulmamakadır (Lim and Oppenheim 988). Diğer arafan paramerik spekral ahmin yönemleri, uygun bir geçiş fonksiyonuna ya da verinin zaman serisi şeklindeki modellemesine dayanmaka olup, uygulama açısından daha kısılayıcıdır; ancak uygulanabilir olduğu durumlarda, paramerik olmayan yönemlere göre daha güvenilir spekral ahminler elde emekedir. {, =,2,... } x sokasik süreci ele alınsın. E ( x ) = mx oralamayı ve E( x x+ k ) = rx ( k) k-gecikmeli ookorelasyon fonksiyonunu gösermek üzere spekral fonksiyonu (GSF), x sokasik sürecinin güç Px ( w) = rx ( k)exp( jwk), π w π k= olarak verilir. b = ve ~ WN(, 2 ) σ e olmak üzere, {, =,2,... } x sokasik sürecinin x = p q a x k + k= k= b e k şeklinde ARMA(p,q) ile modellendiği varsayılsın. x nin GSF si, P ( w) ARMA = H (exp( jw)) 2 P ( w) e 2 σ + = + p q k= k= a b k k exp( jwk) exp( jwk) 2 2 şeklinde verilir. x = q b e k k= k 27

MA(q) serisi için GSF modeli, q 2 MA ( w) = + bk k= P σ exp( jwk) şeklinde olup ARMA(p,q) modelinde b = seçilirse, x = p k= a k x k + e AR(p) serisi elde edilir ve bu seri için GSF modeli, k 2 P AR ( w) = + p k= a 2 σ k exp( jwk) olarak verilir. GSF, sadece model kasayılarına ve beyaz gürülü sürecinin varyansına bağlıdır. GSF yi ahmin emek için, 2 a a2,... a p, paramerelerinin ahmin edilmesi, σ gerekmekedir. Tahminler aşağıda verilmişir (Lim and Oppenheim 988). ˆ σ N p 2 2 = x + ˆ a j N p = p j= N p N = p x x j Pˆ AR ( w) = + aˆ exp( jw) +... + aˆ 2 ˆ σ p exp( jwp) 2 Ayrıca, ˆ a k, : k -inci dereceden AR modeli kasayısının anındaki ahmin değeri olmak üzere, GSF Pˆ AR ( w, ) = + p k= aˆ ˆ σ k, 2 exp( jwk) şeklinde yazılmakadır (Aboy e al. 25). Paramerik Spekral Tahmin yönemi, EEG sinyallerinin analizinde sıkça kullanılmakadır. (Pardey e al. 995, Güler vd. 2). 28

3.7 Uyarlı Kuup (Pole) Tahmini Gerçek bir sisemin modeli olarak bazı durumlarda AR(p), ARMA(p,q) gibi zaman serisi modelleri kullanıldığından bu modellerin karakerisik polinomlarının kasayı erimleri belirleyici bir rol oynayabilir. Bununla birlike, praike polinomların kökleri kasayılardan daha belirleyicidir (Nehorai and Sarer 99). Örneğin, biyomedikal mühendisliğinde, EEG sinyallerinin AR(p) zaman modelinin köklerinin yörüngesi, hasalığın aak yapma başlangıcının öngörüsünde kullanılmakadır. Bu gibi durumlarda, sinyallerin veya sisemin kuup ya da sıfır erimlerinin belirlenmesi, kasayı erimlerinin belirlenmesinden daha uygundur. Genellikle, kökler iki evrelik süreçe yer alır. Başlangıç olarak polinom kasayılarının bilinen ekniklerle (AAEKK yönemi gibi) ahmin edilmesi ve daha sonra son polinomun köklerinin sandar fakörizasyon yönemleri kullanılarak bulunmasıdır. Böylece, kasayıları ahmin emekense doğrudan sisemin köklerini ahmin eden ve her bir veri kümesi için yeni ahminler elde eden bir algorimaya ihiyaç duyulmakadır. Polinomun kasayılarını ahmin emeksizin, doğrudan polinomun köklerine eğilen bir yöneme ihiyaç duyulmakadır. Kökler, karezyen ya da kuupsal koordinalarda olabilmekedir. Kuupsal koordinaa paramereler, çap ve kökler arasındaki açıdır. Burada, sadece ooregresif (AR) model için kuup ahmini yönemi açıklanacakır. p -inci dereceden bir AR süreci, y = A q ( ) e 2 şeklinde yazılabilir. Burada, e ~ WN(, σ ) ve A( q ), q gecikme işlecinin monik polinomunu (başkasayısı olan polinom) belirmekedir. Polinom, a = olmak üzere, p p ( j ) = j = ( λ j ) j= j= (3.52) A q a q q olarak yazılabilir. λ j, j=,..., p : sisemin kuupları olup den küçük olmaları y sürecinin durağan olmasını gerekirir. a j kasayıları gerçel, λ j kuuplar ise gerçel sayılardan ya da karmaşık eşlenik çiflerden oluşmakadır. Algorimanın amacı, y verilerinden hesaplanan λ j kuuplarının çevrim içi (on-line) ahminlerini elde emekir. 29

Farzedelim ki, A( q ) polinomunun m -ane karmaşık eşlenik kök çifi, n -ane de gerçek kökü olsun. Dolayısıyla, p= 2m+ n olacakır. F q j ( ) ( jq ) A( q ) polinomu, = ζ (3.53) S q = q q (3.54) * ( k ) ( λ k )( λ k ) ikinci ve birinci bölümler olmak üzere, = (3.55) n m ( ) j ( ) k ( ) j= k= A q F q S q şeklinde yazılabilir. Yıldız işarei, karmaşık eşleniği ifade emekedir. ρ k ile w k sırasıyla A( q ) polinomunun çapı ve k -ıncı karmaşık eşlenik kök çifinin poziif açısını belirmek ve i 2 = olmak üzere, λ = ρ k e iw k k λ ρ * iwk k = e k şeklinde yazılabilir. Böylece, (,,..., ) ρ = ρ ρ2 ρ m w= w w2 w m (,,..., ) (,,..., ) ζ = ζ ζ 2 ζ n S q karmaşık kökleri, k ( ) olmak üzere polinomun bilinmeyen paramere vekörü, θ = ( ρ, w, ζ ) şeklinde olacakır. = (,..., ) ve ϕ ( y, y 2,..., y p ) a a a p ε = y + a y i i i= y aϕ ˆ p = olmak üzere, AR sürecinin öngörü haası, = (3.56) şeklinde yazılır. yˆ = ϕθ θ olmak üzere, ε = y ϕθ$ = y $ eşiliklerinden y / θ $ ε ε ε Ψ = θ ( y / θ ) = = ( K ) θ θ θ p 3

olarak yazılır. Zincir kuralından, ε a a θ Ψ = şeklinde yazılabilir. (3.56) eşiliğinden ε = ϕ a ve kısmi ürev anımından, a a a a = (,, ) θ ρ w ζ yazılabilir. Önce, a ρ ürevini ele alalım. (3.52) ve (3.55) eşiliklerinin ürevlenmesi ve A q ρ ( ) k S = k ( q ) ρ k m n Si ( q ) Fj ( q ) i= j= i k (3.57) = a q eşiliklerinden, ikinci bölüm p i i (3.58) i= ρk S q e q e q ( iwk iwk k ) = ( ρ k )( ρ k ) iwk = ρ ( e + e ) q + ρ q k iwk 2 2 k = 2ρ cos( w ) q + ρ q şeklinde yazılabilir ve böylece, S ρ k ( q ) k 2 2 k k k = 2cos( w ) q + 2ρ q k 2 k elde edilir. (3.58) ve (3.57) eşiliklerinin kullanılması ile, S q ile hesaplanması ve (3.52) eşiliğin k ( ) yazılır. Şimdi, p p ai i Sk ( q ) i = i i= ρk ρk i= S ( q ) q a q k (3.59) ai ρ k kısmi ürevi, i q nin kasayılarının eşilenmesiyle ardışık olarak hesaplanabilir. Sonuçlar Çizelge 3. de sunulmuşur (Karjalainen 996). 3

ai Çizelge 3. ürevi ρk i (3.59) eşiliğinin sol arafı (3.59) eşiliğinin sağ arafı a ρ k a a 2ρk cos( wk ) ρk ρk 2 a2 a 2 a 2ρk cos( wk ) + ρk ρk ρk ρk 2cos( wk ) a 2ρka 2cos( wk ) a M M M i ai ai 2 ai 2 2ρk cos( wk ) + ρk ρk ρk ρk 2ρkai 2 2cos( wk ) ai Dolayısıyla a başlangıç değeri ile ardışık hesaplama, = a a a ρ ρ ρ a ρ i i 2 i = 2ρ cos( ) 2 k wk ρk + 2ρkai 2 2cos( wk ) ai k k k = k a = 2cos( wk ) ρ k şeklinde özelenebilir. Diğer ürevler de benzer şekilde, ve a a a w a w i 2 i = 2ρ cos( ) 2 k wk ρk + 2ρk sin( wk ) ai k ρk ρk = k a = 2ρk sin( wk ) w k a ζ a ζ a ρ i i = k k ζ k = olarak bulunur. k a i 32

Sonuç olarak, kuup ahmini algoriması Bölüm 3 deki AAEKK algorimasıyla benzer olarak, ϕ = y y p (,..., ) ε = y ϕ aˆ( ) K = P ( yˆ ) θ θ λ ˆ θ θ + ( y ) P ( yˆ ) P ( I K ( yˆ ) ) P = λ θ θ aˆ( ) =Φ ( ˆ θ ) aˆ( ) a = [ ] ˆ θ θ θ= ˆ θ aˆ( ) ˆ θ ( y ) θ + = ϕ+ ˆ θ ˆ θ = ˆ θ + ε K θ θ şeklinde yazılır. ˆ θ = ( ˆ ρ, wˆ, ˆ ζ ) paramere vekörünü ve Φ( ˆ ) de polinomun kasayılarını, köklere eşleyen fonksiyonu belirmekedir (Nehorai and Sarer 99, Karjalainen 996). θ 33

4. MODEL BELİRLEME KRİTERLERİ Bu bölümde, ele alınan seriye hangi zaman serisi modelinin uygun olacağı hakkında bilgi verilmişir. Bu amaçla gelişirilmiş bir çok krier bulunmakadır. AIC (Akaike Informaion Crierion, Akaike Bilgi Krieri ) krieri, model derecesini belirlemek için kullanılan krierlerden birisidir. Örneğin ele alınan zaman serisi ARMA(p,q) olarak modellenmek isenildiğinde, yani model p y = a y + e + b e i i j j i= j= q şeklinde verildiğinde, AIC isaisiğini hesaplamak için önce paramerelerin ahminleri gerekmekedir. Paramereler, a a a p = (,..., ) ve b= b b q (,..., ) olmak üzere bunların ahminleri sırasıyla $ $ $ a= ( a,..., a p ) ve b$ = ( b$,..., $ bq ) olsun. Buna göre, n örneklem sayısını gösermek üzere, ARMA(p,q) modeli için AIC isaisiği, AIC= nl ( a$, b$ ) + 2( p+ q) değerini minimum yapan p ve q değerleri seçilerek bulunur (Brockwell ve Davis 987). Bunun için olabilecek büün modeller için ahminler hesaplanır ve AIC isaisiğinin aldığı minimum değere karşılık gelen modeller arasında verilere en uygun model seçilir. Yani AIC yi minimum yapan p ve q değerleri aranan modelin dereceleridir. AIC isaisiği değişik biçimlerde ifade edilmekedir. Örneğin AIC isaisiği AIC= nl ( SSE) + 2r şeklinde de verilmekedir. Burada SSE modelden elde edilen haaların kareleri oplamıdır ve r de ahmin edilen paramerelerin sayısıdır. AIC isaisiğinin başka bir göserimi ise, 2 2r AIC = ln( ˆ σ ) + + sabi n olarak anımlanmakadır. Burada, 2 2 ˆ σ, σ parameresinin en çok olabilirlik ahmin edicisini ve r= p+ q+ olup, sabi erim her zaman olmayabilir. Bunlar farklı olarak 34

verilmelerine rağmen aynı sonuçlar elde edilir. Çünkü hepsi de paramerelerin en çok olabilirlik ahmin edicilerinin aldıkları değerlere bağlıdır. Diğer yandan SSE, haaların kareleri oplamına bağlı olarak Schwarz Bayesian Krieri (SBC) SBC= nl ( SSE) + r ln( n) olarak anımlanmakadır. Gerek AIC ve gerekse SBC negaif değerler alabilir ve bunlardan (AIC veya SBC isaisiklerinden biri) en küçük değeri veren p ve q değerleri model dereceleri olarak seçilir. Bir çok isaisiksel pake program bu isaisiklerin aldıkları değerleri hesaplamakadır. Model dereceleri belirlenmesinde bir başka krier ise, sadece AR seriler için geçerli olan Nihai Öngörü Haası (Final Predicion Error, FPE) olarak bilinen FPE isaisiğidir ve FPE = ˆ σ 2 n+ p n p 2 ˆ σ şeklinde yazılır. Ancak çok kullanılan bir isaisik olmayıp, n nin asimpoik 2 σ dağılımı serbeslik derecesi n p olan Ki-Kare dağılımı olduğundan dolayı FPE nin aldığı değerler Ki-Kare ablo değeri ile karşılaşırıldığında modelin AR(p) ye uygunluğu sınanabilir. Bunun daha genel bir durumu ise yukarıda anlaılan AIC isaisiğidir (Akdi 23). 35

5. SİMÜLASYON ÇALIŞMASI Ardışık ahmin algorimaları, içerdikleri paramerelere bağlı olduklarından farklı kasayı değerleri için algorimaların işleyişleri de farklı olmakadır. Bu farklılıklara göre algorimaların işleyişlerinin incelenmesi gerekmekedir. Bu kısımda, ardışık ahmin yönemleri (AAEKK, Kalman Filresi, NLMS, LMS ve Uyarlı Kuup Tahmini) kullanılarak, oluşurulan model için paramere ahminleri yapılmış ve en iyi sonucu veren yönem gözlenmeye çalışılmışır. Simülasyon çalışması için AR(4) modeli ele alınmışır. Buna göre simülasyonu yapılacak olan model, y a y a y a y a y + w = + 2 2 + 3 3 + 4 4 olup, burada w ~ N(,) ve başlangıç değerleri y =.3, y =.2, y =., y.4, 2 3 4 = a a a a ( 2 ( 3 ( 4 (.4, ) =.6,.32, ) =.73,.2, ) =.444,.468, ) =.5256, 5 5< 5 5< 5 5< 5 5< P =, ˆ θ = ile olarak alınmışır. Uyarlı Kuup Tahmini için polinom, A ( q ) 2 3 4 = a( ) q a2 ( ) q a3( ) q a4 ( ) q 36

.5 şeklindedir. Başlangıç değerleri.5 ˆ() θ = olarak alınmışır. π / 3 2π / 3 Bu değerlere göre; üreilen zaman serisi Şekil 5. de verilmişir. 4 3 2 y() - -2-3 -4 2 3 4 5 6 7 8 9 zaman Şekil 5. Üreilen seri Gerçek paramere değerleri kesikli, ahmin değerleri ise düz çizgi ile göserilmek üzere, AAEKK yöneminde λ = olarak alındığında paramere ahmini Şekil 5.2 de verilmişir. Görüldüğü gibi, ahmin değerleri gerçek değerleri iyi izleyememekedir. λ =.97 olarak alındığında paramere ahmini Şekil 5.3 de, λ =. 95 olarak alındığındaki paramere ahmini ise Şekil 5.4 de verilmişir. Şekil 5.4 den de görüleceği gibi ahmin değerleri gerçek paramere değerlerine oldukça yakın çıkmaka olup paramere değerindeki değişimi daha hızlı akip emekedir. 37

a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 Şekil 5.2 AAEKK yönemi ( λ = ) zaman a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 Şekil 5.3 AAEKK yönemi ( λ =. 97 ) zaman 38

a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 Şekil 5.4 AAEKK yönemi ( λ =. 95) zaman LMS yöneminde ise, sırasıyla µ =. 7, µ =. 5 ve µ =. değerlerine göre elde edilen paramere ahminleri sırasıyla Şekil 5.5-5.7 de verilmişir. Şekil 5.5 ve Şekil 5.6 dan görüldüğü üzere, ahminler değişimi iyi izleyememeke olup Şekil 5.7 den de görüleceği gibi µ =. durumunda ahmin değerleri gerçek değerlere oldukça yaklaşmakadır. 39

a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 zaman Şekil 5.5 LMS yönemi ( µ =. 7 ) a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 Şekil 5.6 LMS yönemi ( µ =. 5 ) zaman 4

a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 Şekil 5.7 LMS yönemi ( µ =. ) zaman NLMS yöneminde λ =. 97 ve µ = durumunda elde edilen ahminler Şekil 5.8 de verilmişir. Şekil 5.8 den de görüleceği gibi ahminler gerçek değerleri iyi izleyememekedir. λ =. 97 ve µ =. 5 durumunda elde edilen ahmin değerleri Şekil 5.9 da verilmişir. Tahminlerde bir iyileşme görülmeke olup Şekil 5. ile verilen λ =.97 ve µ =. durumunda elde edilen ahmin değerlerinin ise gerçek değerlere yaklaşmaka olduğu görülmekedir. 4

a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 zaman Şekil 5.8 NLMS yönemi ( λ =. 97, µ = ) a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 zaman Şekil 5.9 NLMS yönemi ( λ =. 97, µ =. 5 ) 42

a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 zaman Şekil 5. NLMS yönemi ( λ =. 97, µ =. ) Kalman Filresi yöneminde, durum ve ölçüm gürülü marislerinin değişik değerlerini de algorimanın davranışını görmek amacıyla, Şekil 5. de R = ve Q =. şeklinde alınarak paramere ahmin değerleri verilmişir. İlgili değerlere göre ahminler, gerçek değerdeki değişimi izleyememeke olup Şekil 5.2 de görüldüğü gibi Q =. olarak alındığında ahmin değerleri gerçek değerlere daha yakın çıkmakadır. Şekil 5.3 den de görüleceği üzere, Q =. durumunda ahmin değerleri iyi bir seyir izlemekedir. 43

a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 Şekil 5. KF yönemi ( R =, Q =. ) zaman a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 Şekil 5.2 KF yönemi ( R =, Q =. ) zaman 44

a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 zaman Şekil 5.3 KF yönemi ( R =, Q =. ) Şekil 5.3 de Q =. şeklinde alınarak ahmin değerlerinin gerçek değerleri iyi izlemesi sonucunda ölçüm gürülü varyansını sınamak amacıyla Şekil 5.4 ve Şekil 5.5 de sırasıyla R = 4 ve R = 9 değerleri için paramere ahmin değerleri verilmişir. Görüleceği üzere, ölçüm gürülü varyansı değeri büyüdükçe, ahmin değerleri parameredeki değişimi iyi izleyememekedir. 45

a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 zaman Şekil 5.4 KF ( Q =., R = 4 ) ile ahmin a - 2 3 4 5 6 7 8 9 a2-2 3 4 5 6 7 8 9 a3-2 3 4 5 6 7 8 9 a4-2 3 4 5 6 7 8 9 zaman Şekil 5.5 KF ( Q =., R = 9 ) ile ahmin 46

Şekil 5.6 da ölçüm gürülü varyansı R için, 2 ( ) R = α R + ( α) h e ϕ P ϕ eşiliği kullanılarak elde edilen uyarlı ahminleri verilmekedir. R nin ahmini α parameresinin farklı değerleri için değişmekedir. Burada α =. 99 olarak alınmışır. 2. 8. 6. 4. 2. 8. 6. 4. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 z a m a n Şekil 5.6 Ölçüm gürülü varyansı R nin ahmini Şekil 5.7 de 2 3 4 A ( q ) = a( ) q a2 ( ) q a3( ) q a4 ( ) q polinomu ele alınarak karmaşık köklerinin Uyarlı Kuup Tahmini algoriması kullanılarak elde edilen ahminlerinin gerçel ve sanal kısımları verilmişir. Şekil 5.8 de polinomun yarıçap parameresi ve eşlenik kök çifinin poziif açı paramerelerinin ahminleri verilmişir. Şekil 5.9 da polinomun kasayılarının Uyarlı Kuup Tahmin yönemi ile elde edilen ahmin değerleri verilmekedir. Şekil 5.2 de karmaşık kök çifi, karmaşık düzlemde görülmekedir. 47

Şekil 5.7 Uyarlı kuup ahmin yönemi ile köklerin gerçel ve sanal kısımlarının ahminleri Şekil 5.8 Yarıçap ve açı paramereleri ahminleri 48

Şekil 5.9 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile paramere ahmini Şekil 5.2 Karmaşık düzlemde kökler 49

6. EEG ANALİZİNE UYGULAMA Bu bölümde uyku ve uyku evreleri ile ilgili açıklamalar ile uyku EEG si verilerinin analizi için ardışık ahmin yönemleri kullanılarak ahminler yapılmışır. Uyku EEG verilerini analiz ederken uyku iğciklerinin ahminlere bir ekisinin olup olmadığı sınanmaya çalışılmışır. 6. Elekroensefalografinin (EEG) Biyofizik Temelleri Hayvanlarda beyin, merkezi konrol organı olarak, üm diğer organların işlevlerini deneler ve yöneir. Bu işlevlerini yürüürken, beyin faaliyelerine elekriksel olayların eşlik eiği geçen yüzyılın başından beri bilinmekedir. Kafaası çevresine yerleşirilen elekrolar yardımı ile, beynin faaliyei esnasında kendiliğinden oluşan, sürekli rimik elekriksel poansiyel değişimlerinin veya resepör faaliyelerine bağlı olarak uyarılmış (evoked) durumda iken biraz daha farklı olan poansiyel değişimlerin yazdırılması yönemine Elekroensefalografi (EEG) denir. Fiziksel anlamda am periyodik olmayan, ancak rimik olarak adlandırılan bu poansiyel dalgalanmalarının frekansları, beynin akivie durumuna göre,,5-7 Hz arasında, genlikleri ise 5-4 µ V arasında değişir. İnsan veya hayvanın canlılığı sürdükçe, EEG sinyalleri her koşulda gözlenir. EEG eğrilerinin biçimi ise fizyolojik ve psikolojik koşullarına bağlı olduğu gibi kayılama biçimine de bağlıdır. Beynin elekriksel ekinliğine bağlı EEG sinyalleri osiloskop ipi bir gözlem aracı ile gözlenebilir veya kaydedici (recorder) ile kağıda çizdirilebilir. Kafaası iyi bir ileken olmadığından, EEG aracı olarak kullanılacak bir gözlem aracı yüksek amplifikasyon kazancına sahip olmalıdır. Kaynak empedansının yüksek olması yüzünden ve genellikle küçük elekrolar kullanılması gerekiğinden, EEG aracını giriş empedansı da yüksek olmalıdır. Ayrıca gerek vücuan, gerek dışardan kaynaklanan birçok elekriksel gürülü kaynağı olabileceğinden, bu isenmedik ekileri azalacak önlemlerin alınması gerekir. 5

Gözlenen EEG desenleri kayı bölgesi ve biçimine önemli ölçüde bağlıdır. Sandar EEG kayılama sisemi, -2 sisemi olarak adlandırılan kafaası çevresindeki 2 elekro bölgesini içerir. EEG araçları, beynin arklı bölgelerinin akivielerini aynı anda kaydedebilmek için, genellikle 8 veya 6 kanallı olarak yapılmakadır (Pehlivan 997). 6.2 EEG Dalgaları Normal bir EEG sinyali birçok frekansı içerse de, herhangi bir anda belirli bir frekans bölgesi başaır. Beynin akivie düzeyi yükseldikçe EEG dalgaları frekansı da yükselmeke, genlikleri (ampliude) ise azalmakadır. Egemen frekanslar yaşla yükselmekedir. Yeni doğanlarda 3-4 Hz frekanslar egemen iken, 2-3 yaş aralığında egemen frekanslar 6-7 Hz arasında, yeişkinlerde ise 8-2 Hz arasında yükselmekedir. EEG dalgalarının EKG (elekrokardiyografi) de olduğu gibi özel biçimleri yokur ve rasgele poansiyel değişimleri andırırlar (Şekil 6. ve Şekil 6.2). Şekil 6. Uyku EEG si (7. epok) Şekil 6.2 Uyku EEG si (42. epok) EEG dalgalarını değerlendirirken en önemli paramere frekans, ikinci derecede önemli diğer paramere ise genlikir. EEG spekrumu, dalgaların içerdiği başa frekansa göre özel adlarla anılana banlara ayrılmışır (Pehlivan 997). 5

. Dela (δ ) dalgaları: Frekansları,5-4 Hz, genlikleri 2-4 µ V aralığında olan bu dalgalarla derin uyku, genel anesezik durum gibi beynin çok düşük akivie göserdiği durumlarda karşılaşılmakadır. 2. Tea (θ ) dalgaları: Frekansları 4-8 Hz, genlikleri 5- µ V arasında olan bu dalgalarla normal bireylerde rüyalı uyku, ora derinlike anesezik durum gibi beynin düşük akivie durumlarında ve ayrıca birey bir sres alında iken karşılaşılmakadır. 3. Alfa (α ) dalgaları: Frekansları 8-3 Hz, genlikleri 2- µ V arasında olan bu dalgaların biçimleri sinüzoidal biçime en yakındır. Uyanık bireylerin, fiziksel ve zihinsel olarak am dinlenimde bulunduğu, dış uyaranların olmadığı, gözlerin kapalı olduğu durumlarda görülürler. Occipial bölgeden alınan kayılarda en belirgin biçimde gözlenirler. 4. Bea (β ) dalgaları: Frekansları 3 Hz den yüksek, genlikleri -5 µ v arasında olan bu dalgalara odaklanmış dikka, zihinsel iş, duyusal enformasyon işleme ve uykunu hızlı göz harekeleri evrelerinde karşılaşılmakadır. Bu dalgalar beynin en yüksek akivie düzeyine karşılıkır. 6.3 Uyku Evreleri Uyku evrelerinin skorlanmasında yapılan araşırmalar, uykunun sabi bir durum olmadığını ve uyku evrelerinin kurallara uygun bir şekilde düzenli bir sıklık yapı içerdiği gerçeğini sağlam bir şekilde oraya koymuşur. Evre W (uyanıklık) : EEG de alfa akiviesi ve/veya düşük volajlı, karışık frekanslı akivie gözükür. Hareke Zamanı (HZ) : Bireyin harekeleriyle poligraf kaydının örüldüğü epoğun skorudur. 52

Evre I : Hızlı göz harekelerinin (REMs) eşlik emediği nispeen düşük volajlı, karışık frekanslı EEG dir. Evre II : Nispeen düşük volajlı, karışık frekanslı EEG akivie zemininde 2-4 Hz frekansında olmasıdır. Evre III : Ora derecede yüksek ampliüdlü, yavaş dalga akiviesidir. Evre IV : Büyük oranda yüksek ampliüdlü, yavaş dalga akiviesidir. NREM (non-rem) Evresi : Evre I, II, III ve IV ün hepsine birden kapsayan evredir. REM Evresi : Düşük ampliüdlü EMG (elekromyogram) ve epizodik REMlerin eşlik eiği nispeen düşük volajlı karışık frekanslı EEG dir (Görür vd. 22). 6.4 EEG Sinyallerinin Analizi Uyku sürecinin pekişirilmesinde önemli rolü olduğuna inanılan uyku iğcikleri REM (rapid eye movemen-hızlı göz harekeleri) olmayan uyku evresinde görülen ve uykunun ikinci evresine ai karakerisik dalga şekilleridir. İğciklerin yoğunluğunun uyku sürecinin başlamasıyla birlike arması, iğciklerin uykunun kurulmasında ve sürdürülmesinde önemli bir rol oynadığını düşündürmekedir. İğciklerin oluşumu ve işlevi hakkında am bir fikir birliği oluşmamakla birlike, kabul gören iki varsayım vardır. Birinci varsayıma göre iğcikler, uyku halinin sürdürülmesini sağlayan salınımlardır. İkinci varsayıma göre ise iğcikler, aloma-korikal alanda önceki deneyimlerin büünleşirilmesi için gereken işlevlerin bir araya geirilmesine yardımcı olur. Hipersomniyak ve insomniyak denekler üzerinde yapılan çalışmalar iğcik yoğunluklarının hasalığın ürü ile bağlanılı olarak değişiğini gösermeke ve iğciklerin uyku sürecini düzenleyici işlevinin olduğu bulgusunu kuvvelendirmekedir. İğciklerin geçici rejim özelliklerine ve arka plan EEG işarelerine göre daha düşük genliklere göre sahip olmaları gözle ayır edilmelerini ve ayrışırmalarını güçleşirir. İğciklerin oomaik sezimi ve dalga biçimlerinin analizi nesnel olarak değerlendirilmeleri için önemlidir (Eroğul 999). Bu amaçla değişik yönemler gelişirilmişir (Penny and Robers 999, 53

Kaplan e al. 2). İğciklerin başlangıç ve biiş nokalarının bulunarak uykudaki EEG nin süresince dağılımlarının çıkarılması uyku araşırmalarında uyku skorlarının elde edilmesinde kullanılmakadır. Ayrıca 96 ların sonlarından iibaren, ooregresif (AR) zaman serileri modelleri, durağan EEG sinyallerinin analizine başarıyla uygulanmakadır (Karjalainen 996). EEG sinyalleri beynin dinamiğinin incelenmesi ve modellenmesi konusunda çok önemli bir rol oynamakadır. Beynin değişik uyarılara verdiği epkilerin zamana göre veya frekans içeriklerine göre incelenmesi üzerinde çokça durulmaka olan bir konudur. EEG sinyallerinin analizi frekans ve zaman boyuunda yapılabilmekedir. Sinyaller bir zaman serisi modeli olarak düşünüldüğünde, zaman içindeki değişiklikleri ölçülebilir ve modellenebilir. Böylece fizyolojik ve paolojik durumlarda, kaydedilen EEG sinyallerinde zaman içinde oluşan değişiklikler anımlanabilir, öngörülebilir. 8 saalik uyku süresi boyunca elde edilen verilerin çok büyük mikarda olması ardışık ahmin yönemlerinin kullanılmasını gerekirmekedir. Çalışmada kullanılan EEG verileri, Ankara Gülhane Askeri Tıp Akademisi Ruh Sağlığı ve Hasalıkları Anabilim Dalı Uyku Araşırmaları Merkezi nde yapılan uyku çalışmalarında kaydedilmişir. Örnekleme hızı 2 Hz dir. İncelenen kayılar 3 sn. lik kayı (epok) 6 veriden oluşmakadır. Bu bölümde kullanılan veriler, iğcik içermeyen. Evre uyku EEG sinden 7.epok ve içinde uzmanlar arafından belirlenmiş iki ade iğcik bulunan 2. Evre uyku EEG si 42. epok verileri olup, y a y a y a y a y + w = + 2 2 + 3 3 + 4 4 şeklinde modellenmiş ve ardışık ahmin yönemlerinin sonuçları karşılaşırılmışır. 2. Evre uyku EEG si (42. epok) verilerinde ilk iğcikli kısmın 6 lik verideki 25-28 lik kısımda; ikinci iğcikli kısmın ise 47-48 lük kısımda olduğu düşünülerek ve ahminlerde karşılaşırma yapmak amacıyla 6-9 lük iğciksiz kısım alınarak, iğciksiz kısımlar ile iğcikli kısımlara ai Güç Spekrum Fonksiyonları elde edilmişir. 54

6.4. EEG sinyallerinin paramere ahmini EEG verilerinin paramere ahmini için Bölüm 3 de anlaılan AAEKK, KF, LMS, NLMS ve Uyarlı Kuup Tahmini yönemleri kullanılarak, ardışık olarak ahmin edilen model paramereleri, her iki epok için de Şekil 6.3-6.2 de göserilmişir. Tahminler incelendiğinde, Kalman Filresinin parameredeki değişimi iyi izlediği düşünülerek, iğcikli verinin (42. epoğun) model paramerelerinin ahminleri incelendiğinde, iğciklerin bulunduğu yerlerdeki ahminlerde bir değişim olduğu görülmekedir. Ölçüm gürülü varyansının ahminleri incelendiğinde, iğcikli verinin varyansının ikinci iğcikli kısımda arış göserdiği görülmekedir. Şekil 6.3 AAEKK yönemi ile paramere ahmini λ =. 95 (7. epok için) 55

Şekil 6.4 AAEKK yönemi ile paramere ahmini λ =. 95 (42. epok için) Şekil 6.5 KF yönemi ile paramere ahmini R =, Q =. (7. epok için) 56

Şekil 6.6 Ölçüm gürülü varyansı R nin ahmini (7. epok için) Şekil 6.7 KF yönemi ile paramere ahmini R =, Q =. (42. epok için) 57

Şekil 6.8 Ölçüm gürülü varyansı R nin ahmini (42. epok için) Şekil 6.9 LMS yönemi ile paramere ahmini µ =. (7. epok için) 58

Şekil 6. LMS yönemi ile paramere ahmini µ =. (42. epok için) Şekil 6. NLMS yönemi ile paramere ahmini λ =. 97, µ =. (7. epok için) 59

Şekil 6.2 NLMS yönemi ile paramere ahmini λ =. 97, µ =. (42. epok için) Şekil 6.3 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile paramere ahmini (7. epok için) 6

Şekil 6.4 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile paramere ahmini (42. epok için) Şekil 6.5 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile ahmin edilen karmaşık kökler (7. epok için) 6

Şekil 6.6 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile ahmin edilen karmaşık kökler (42. epok için) Şekil 6.7 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile ahmin edilen yarıçaplar ve açılar (7. epok için) 62

Şekil 6.8 Uyarlı kuup ahmini yönemi ile ahmin edilen yarıçaplar ve açılar (42. epok için) Şekil 6.9 Karmaşık düzlemde kökler (7. epok için) 63

Şekil 6.2 Karmaşık düzlemde kökler (42. epok için) Uyarlı kuup ahmin yönemi kullanılarak ahmin edilen yarıçaplarda, açılarda ve köklerde de iğciklerin bulunduğu kısımlarda gözle ayır edilebilir bir değişim izlenmekedir. Köklerin karmaşık düzlemde göserimi ele alındığında, iğcikli verinin köklerinde saçılımın daha fazla olduğu görülmekedir. 6.4.2. EEG Sinyallerinin Spekral Tahmini Ardışık ahmin yönemleri kullanılarak elde edilen paramere ahmin değerlerinin Güç Spekrum Fonksiyonları hesaplanmışır. İçinde iğcik bulunmayan. Evre uyku EEG si (7. epok) için Güç Spekrum Fonksiyonları elde edilmişir. Tahminler Şekil 6.2 6.24 de verilmişir. 64

Şekil 6.2 AAEKK yönemine göre elde edilen GSF (7. epok) Şekil 6.22 KF yönemine göre elde edilen GSF (7. epok) Şekil 6.23 LMS yönemine göre elde edilen GSF (7. epok) 65

Şekil 6.24 NLMS yönemine göre elde edilen GSF (7. epok) Şekil 6.25 Uyarlı Kuup Tahmini yönemine göre elde edilen GSF (7. epok) İçinde iki ade iğcik bulunan 2. Evre uyku EEG si (42. epok) verilerinde iğciksiz kısımlar ile iğcikli kısımlar (Şekil 6.26) ayrı ayrı ele alınarak Güç Spekrum Fonksiyonları elde edilmişir. İğciksiz kısımlara ai GSF kesikli çizgi, iğcikli kısımlara ai GSF ise düz çizgi ile göserilmişir. Tahminler Şekil 6.27 6.34 de verilmişir. 6 lik 42. epok verisinde her 75. adımda AAEKK ve KF yönemleri ile bulunan kasayılar kullanılarak elde edilen GSF ları sırasıyla Şekil 6.35 ve Şekil 6.36 da verilmişir. 66

Şekil 6.26 42. epok verisine ai iğcikli ve iğciksiz kısımlar 67

Şekil 6.27 AAEKK yönemine göre elde edilen GSF 68

Şekil 6.28 Kalman Filresi yönemine göre elde edilen GSF 69

Şekil 6.29 Ölçüm gürülü varyansının ahmini (iğciksiz kısım) Şekil 6.3 Ölçüm gürülü varyansının ahmini (. iğcikli kısım) Şekil 6.3 Ölçüm gürülü varyansının ahmini (2. iğcikli kısım) 7

Şekil 6.32 LMS yönemine göre elde edilen GSF 7

Şekil 6.33 NLMS yönemine göre elde edilen GSF 72

Şekil 6.34 Uyarlı Kuup Tahmin yönemine göre elde edilen GSF 73

Tahminler incelendiğinde, iğcikli kısımların GSF larının genliklerinin iğciksiz kısımlardaki ahminlerden daha yüksek olduğu görülmekedir. İğcikli kısımlarda Kalman Filresi ile elde edilen ölçüm gürülü varyansının, iğciksiz kısımlara göre daha büyük olduğu görülmekedir. Şekil 6.35. ve Şekil 6.36. da verilen her 75 adımda bulunan GSF ları incelendiğinde iğcikli kısımlara karşılık gelen ahminlerdeki genliğin, iğciksiz kısımlara göre belirgin bir biçimde daha yüksek olduğu görülmekedir. Şekil 6.35 AAEKK yöneminde, her 75 adımda bulunan kasayılara göre elde edilen GSF Şekil 6.36 KF yöneminde, her 75 adımda bulunan kasayılara göre elde edilen GSF 74

6.4.3 EEG sinyallerinde veri ayrışırma yönemi (2.)-(2.2) eşilikleri ile verilen durum-uzay modelindeki, sisemin durumunu göseren gözlenebilir { y, =,2,...} sokasik süreci ile ilgili ölçüm eşiliği ele alınsın. T : -anındaki rendi ve C : -anındaki ani değişkenliği (cycle) gösermek üzere, y = T + C (6.) şeklinde yazılabilir (Denis e al. 22, Özbek ve Özlale 25). Burada C bileşeni, gözlemin (çıkının) rendden sapması şeklinde düşünülebilir. Bu iki bileşen, zaman serisinde farklı davranışlarıyla gözlemde ayır edilebilmekedir. C bileşeni bir AR(2) süreci olarak ele alınsın. Paramereler birbirinden bağımsız rasgele yürüyüş modeli olmak üzere, C = γ, C + γ 2, C 2 + ε (6.2) γ = γ + ζ (6.3),, γ, γ = γ + ζ (6.4) 2, 2, γ 2, şeklinde yazılır. Burada,, ζ, γ, ζγ 2, ε birbirinden bağımsız aynı dağılımlı, sıfır oralamalı, sabi varyanslı rasgele değişkenlerdir. T bileşeni ise, sürüklenmeli (drif) rasgele yürüyüş modeli olmak üzere, T µ T + z = + µ + = µ ζ a, olarak anımlansın. Burada, z a,,ζ birbirinden bağımsız aynı dağılımlı, sıfır oralamalı, sabi varyanslı rasgele değişkenlerdir (Denis e al. 22, Özbek ve Özlale 25). (6.) eşiliği ile anımlanan modellemeye göre, 7. ve 42. epok verilerinde, biri rend, diğeri değişkenlik olan iki bileşenin oplamı olarak değerlendirilen model emel alınarak, bilinmeyen γ, ve γ 2, paramereleri İlerleilmiş Kalman Filresi ile ahmin edilmeye çalışılmış ve bileşenlerin frekans analizi yapılarak iğciklerin oraya çıkarılması amaçlanmışır. 75

Bileşenlerin frekanslarının elde edilmesi amacıyla MATLAB programlama dilinde FFT komuu kullanılmışır. Şekil 6.37 de içinde iğcik bulunmayan. Evre uyku EEG sine ai 7. epok verisi ve ona ai bileşenlerin ahminleri görülmekedir. Şekil 6.37 Ayrışırılmış EEG (7. epok için) Şekil 6.38 de, (6.3)-(6.4) eşiliklerindeki γ, ve γ 2, paramerelerinin İlerleilmiş Kalman Filresi ile elde edilen ahminleri verilmişir. 76

γ, ahmini γ 2, ahmini Şekil 6.38 İlerleilmiş Kalman Filresi yönemiyle elde edilen ahminler (7. epok) Şekil 6.39 da µ = 4.4228e - 5 oralama ve σ =.243 sandar sapma değerli arıkların hisogramı görülmekedir. Şekil 6.39 Arıkların (haaların) hisogramı (7. epok) 77