T.C. YILDI TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK ALT GRUPLARIN ve KODLARIN SAYISI ile BAI UYGULAMALAR ESENGÜL SALTÜRK DOKTORA TEİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DANIŞMAN PROF. DR. İRFAN ŞİAP İSTANBUL, 03
T.C. YILDI TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK ALTGRUPLARIN ve KODLARIN SAYISI ile BAI UYGULAMALAR Esegül SALTÜRK tarafıda hazırlaa tez çalışması 6..0 tarihide aşağıdaki jüri tarafıda Yıldız Tekik Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı da DOKTORA TEİ olarak kabul edilmiştir. Tez Daışmaı Prof. Dr. İrfa ŞİAP Yıldız Tekik Üiversitesi Jüri Üyeleri Prof. Dr. İrfa ŞİAP Yıldız Tekik Üiversitesi Prof. Dr. Ahmet Göksel AĞARGÜN Yıldız Tekik Üiversitesi Doç. Dr. Üsal TEKİR Marmara Üiversitesi Doç. Dr. Bahatti YILDI Fatih Üiversitesi Doç. Dr. Gürsel YEŞİLOT Yıldız Tekik Üiversitesi
Bu çalışma, 007-0 yılları arasıda kodlu TÜBİTAK Yurt İçi Doktora Bursu ve 0-0 yılları arasıda Yıldız Tekik Üiversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordiatörlüğü ü 0-03-DOP0 umaralı rojeleri ile desteklemiştir.
ÖNSÖ Bu çalışmaı ortaya çıkmasıda ilmi ve maevi desteğii her daim hissettire, baa yeyei ufuklar aça, bilgilerii aylaşırke fazlasıyla cömert davraa, çalışmalarıyla örek aldığım değerli hocam Prof. Dr. Sayı İrfa ŞİAP a e içte saygı ve teşekkürler Her türlü durum ve roblem karşısıda yalız olmadığımı hissettire, üzerimde çok emeği ola hocam Prof. Dr. Sayı Ahmet Göksel AĞARGÜN e câı göülde teşekkürler Bu çalışmaı gerçek bir tez olarak ortaya çıkmasıda başıda soua kadar maddi maevi yaımda ola, her şeyde daha çok öemsediğim, aem ve babama; ayrıca kardeşlerim Arş. Gör. Serka SALTÜRK, Arş. Gör. Tuba SALTÜRK ve Yuus SALTÜRK e sosuz teşekkürler Bu süreçte maddi destek kayağım ola TÜBİTAK a ciddi maada teşekkürler Aralık, 0 Esegül SALTÜRK
İÇİNDEKİLER Sayfa SİMGE LİSTESİ... viii KISALTMA LİSTESİ... x ŞEKİL LİSTESİ...xi ÇİELGE LİSTESİ... xii ÖET... xiii ABSTRACT... xv BÖLÜM GİRİŞ... BÖLÜM. Literatür Özeti.... Tezi Amacı....3 Orijial Katkı... GRUP-HALKA-CİSİM... 3 BÖLÜM 3. Grular ile İlgili Temel Kavramlar... 3. Direkt Tolamlar [5]... 4.3 Halkalar ile İlgili Temel Kavramlar [5,6]... 4 BULANIK (FUY) GRUP TEORİ... 7 3. Giriş... 7 3. Bulaık Teori ile İlgili Yakı amalarda Yaıla Araştırmalar []... 8 3.3 Bulaık (Fuzzy) Teori ile İlgili Temel Cebirsel Kavramlar... 9 3.4 Bulaık Kümeler ile İlgili Alteratif Taımlar... 0 3.4. Bulaık Alt Kümeler... 0 v
BÖLÜM 4 3.4. Bulaık Alt Grular... 3 3.4.3 Bulaık Alt Halkalar... 5 SONLU ABEL GRUPLARI, MAKSİMAL İNCİRLER, BULANIK ALT GRUPLAR... 7 BÖLÜM 5 4. Giriş... 7 4. Abel Grularıı Alt Gruları, Maksimal icirleri ve Bulaık Alt Gruları... BAI GRUPLARIN BULANIK ALT GRUPLARININ SAYISI... 3 BÖLÜM 6 5. Giriş... 3 5. Ö Bilgiler... 4 5.3 = Grubuu Bulaık Alt Grularıı Sayısı... 6 5.3. 5.3. Grubuu Alt Grularıı Maksimal icirlerii Sayısı... 6 Grubuu Bulaık Alt Grularıı Sayısı... 9 5.4 k k ( k ) 3 Grubuu Bulaık Alt Grularıı Sayısı... 47 5.4. 4 4 grubuu bulaık alt gruları... 47 5.4. 8 8 grubuu bulaık alt gruları... 50 CEBİRSEL KODLAMA TEORİSİNİN TEMELLERİ... 53 BÖLÜM 7 6. Giriş... 53 6. Temel Kavramlar... 55 BAI HALKALAR ÜERİNDE LİNEER KODLARI SAYMA PROBLEMİ... 6 7. Giriş... 6 7. F q Cismi Üzeride Lieer Kodları Sayısı... 6 7.3 m Halkası Üzeride Lieer Kodları Sayısı... 6 7.3. Örekler... 7 7.4 Sayma Problemide Literatür ile Tezdeki Yaklaşımı Karşılaştırılması... 74 7.4. Solu icir Halkaları Üzeride Lieer Kodlar... 74 7.4. Karşılaştırma... 78 7.5 Tolamsal (Additive) Kodlar... 79 7.6 Galois Halkaları Üzeride Lieer ve Tolamsal Kodlar... 8 Halkası Üzeride Tolamsal Kodları Sayıları... 84 7.7 m[ ξ] 7.8 m[ ] Halkası Üzeride Lieer Kodları Sayıları... 86 ξ 7.5. Örekler... 87 vi
BÖLÜM 8 7.9 Fq + ufq Halkası Üzeride Kodları Sayısı... 90 7.0 Solu icir Halkaları Üzeride Kodlar... 9 7. Esas İdeal Halkaları Üzeride Kodlar... 98 BAI UYGULAMALAR... 99 BÖLÜM 9 8. Geelleştirilmiş Gauss (Gaussia) Sayıları... 99 8. Yei Taımlaa Diziler... 00 8.3 Dizay Teori ile İlgili Bazı Kavramlar... 03 8.3. t Dizaylar... 03 8.4 Tez Çalışması Sırasıda Elde Edile Dizaylar... 04 8.4. mertebeli ( boyutlu) alt gruları dizayı... 04 8.4.. Örekler... 05 s + s mertebeli alt gruları dizayı... 07 8.4. ( ) 8.4.. Souçlar... 07 SONUÇ VE ÖNERİLER... 09 KAYNAKLAR... 0 ÖGEÇMİŞ... 3 vii
SİMGE LİSTESİ a A B A \ B A / B A A< B C k, * G G ( ) G H f : G H F q F(, ) φ ( ) Boş küme a elemaı ile üretile küme A ile B izomorftur. A kümesii B kümeside farklı elemalarıı kümesi Bölüm grubu A kümesii B kümeside farklı elemalarıı kümesi A grubu B i alt grubudur. Gauss biom katsayısı G kümesii sıfırda farklı elemalarıı kümesi G kümesii elema sayısı G ile H kümelerii direkt tolamı G kümeside H kümesie foksiyo q elemalı solu cisim grubuu bulaık alt grularıı sayısı i Euler fi foksiyou G H Bölüm grubu H K H ile K ı iç direkt çarımı Im( µ ) µ bulaık alt kümesii görütü kümesi I( G ) G i tüm bulaık alt grularıı kümesi µ a µ ü a kesimi ( a seviye alt kümesi) µ A A kümesii üyelik foksiyou µ ν µ bulaık alt kümesi ν bulaık alt kümesie dektir. * µ µ ü desteği µ µ ü eşleiği R N k, k,, km [ k, ] q [ k,, d ] q R halkası üzeride ( ) k, k,, km tiide kodları sayısı F q üzeride uzuluğu, boyutu k ola bir lieer kod F q üzeride uzuluğu, boyutu k, uzaklığı d ola bir lieer kod viii
k q k µ i i i I µ i i i I ο Gauss biom katsayısı Biom katsayısı µ bulaık alt kümelerii birleşimi µ bulaık alt kümelerii kesişimi ( v) v elemaıı tolamsal mertebesi [ 0,] X X i tüm bulaık alt kümelerii kümesi R[ x ] ( v v v ) Katsayıları R de alıa oliomlar halkası,,, uzuluğuda söz Tam sayılar kümesi + Pozitif tam sayılar kümesi Modülo e göre tam sayılar halkası ix
KISALTMA LİSTESİ IFSA Iteratioal Fuzzy System Associatio x
ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil 5. Bir G grubuu Hasse şeması... 9 Şekil 5. grubuu bulaık alt grularıı ağaç diyagramı... 40 Şekil 5. 3 grubuu Hasse şeması... 4 Şekil 5. 4 3 3 grubuu Hasse şeması... 43 Şekil 5. 5 grubuu Hasse şeması... 44 Şekil 5. 6 grubuu alteratif Hasse şeması... 45 Şekil 5. 7 4 4 grubuu Hasse şeması... 49 Şekil 5. 8 4 4 grubuu alteratif Hasse şeması... 49 Şekil 5. 9 8 8 grubuu Hasse şeması... 5 Şekil 6. Kodlama şeması... 55 Şekil 7. Youg Diyagramı I... 75 Şekil 7. Youg Diyagramı II... 75 Şekil 7. 3 C kodu Youg diyagramı... 77 xi
ÇİELGE LİSTESİ Sayfa Çizelge 7. Bazı ler içi 4 üzeride lieer kodları sayısı... 7 Çizelge 7. Bazı ler içi 4 üzeride lieer kodları sayısı (devam)... 7 Çizelge 7. 3 Teorem 7.8 de ve Teorem 7.6 da elde edile souçları karşılaştırılması... 78 Çizelge 7. 4 Teorem 7.8 de ve Teorem 7.6 da elde edile souçları karşılaştırılması (devam)... 79 Çizelge 8. k = 0 içi elde edile bazı diziler..0 Çizelge 8. Bazı geel k, k değerleri içi elde edile diziler 0 R= ξ üzeride lieer kod sayıları 03 Çizelge 8. 3 =, =3 ve =4 içi [ ] 4 xii
ÖET BULANIK ALT GRUPLARIN ve KODLARIN SAYISI ile BAI UYGULAMALAR Esegül SALTÜRK Matematik Aabilim Dalı Doktora Tezi Tez Daışmaı: Prof. Dr. İrfa ŞİAP Klasik matıkta bir öerme ya doğrudur ya da yalıştır, üçücü bir durum söz kousu olamaz. Acak baze, hatta geelde düyadaki olayları açıklamak içi kesi taımlamalar yetersiz kalır. Bu olayları açıklamak içi belli terim ve ölçülere ihtiyaç duyulur. İşte bu yei matık Bulaık Matık (Fuzzy Logic) olarak adladırılır. Bulaık Matık ilk olarak, M.Ö. 500 yılıda Buda tarafıda ve oda 00 yıl kadar sora da Yua filozof Aritoteles tarafıda ortaya atılmıştır. Bu alada matematiğe uygulaması bakımıda yaıla e öemli çalışma 965 yılıda Uiversity of Califoria, Berkeley de Lotfi A. adeh i klasik matık yaklaşımıı kesi çizgilerii yok ede Fuzzy Sets (Bulaık Kümeler) (adeh [9]) adlı çalışmasıdır. Bu eser, var ola çizgileri dışıa çıkmış ve bu aladaki diğer araştırmacılara öcü olmuştur. Bulaıklık ile ilgili cebirsel alt yaı ise A. Rosefeld (Rosefeld []) ve P. S. Das (Das []) tarafıda işa edilmiştir. Fuzzy kelime alamı olarak bulaıklığı ifade eder. Bulaık kümeleri elemalarıda bahsederke kümeye aittir ya da değildir gibi kesi ifadeler kullaılmaz. Buu yerie belli derecelerle kümei elemaıdır şeklide ifadeler kullaılır. Güzellik, geçlik, yaşlılık, uzu boyluluk, çalışkalık, zeka kavramları bulaıklık ifade ede ve kişide kişiye göre değişe ifadeler olduğuda bulaık küme matığı kousu içeriside yer ala başlıklarda bazılarıdır. xiii
Öte yada bu çalışmada yer verile, cebiri e öemli uygulama alalarıda biri ola Cebirsel Kodlama Teorisi, so zamalarda birçok matematikçi tarafıda çalışılmaktadır. Teori ilk olarak 948 de Claude Shao ı A Mathematical Theory of Commuicatio (Shao [7]) adlı meşhur makalesi ile başladı. İlk zamalarda tüm çalışmalar cisimler üzeride ike, 994 de itibare, P. V. Kumar ve arkadaşlarıı çalışması (Hammos [8]) ile birlikte halkalar üzeride kodlar çalışılmaya başladı. So yıllarda ise bazı özel halkalar üzeride kodlar ve özellikleri oldukça oüler olmuştur. Bu çalışmaları yaı sıra, lieer kodları kombiatorik açıda icelemek, yai lieer kodları alt lieer kodlarıı sayılarıı bulmak oldukça öemli bir roblemdir. Bu roblem, cisimler üzeride lieer kodlar içi tamamıyla çözülmüştür ve kodları sayısı Gauss biom katsayıları ile gösterilmektedir. Öte yada, halkalar üzeride kodları sayıları ile ilgili de çok çeşitli çalışmalar ([9], [0], [], [4]) yaılmıştır. Bu edele, 7. Bölüm de, bazı halkalar üzeride kodlar iceleerek buları sayılarıı çok basit bir şekilde bulmaya yaraya formüller elde edilmiştir. Bu çalışmada;. ve 5. Bölümlerde geel cebirsel bilgiler, 3. ve 4. Bölümlerde Bulaık Teori ile ilgili kavramlar ve bazı Abel grularıı bulaık alt grularıı sayısı, 6., 7. ve 8. Bölümlerde ise Cebirsel Kodlama Teorisi ile ilgili kavramlar, bazı lieer kodları sayısı ve bazı uygulamaları verilmektedir. Aahtar Kelimeler: Bulaık alt grular, Deklik sııfları, Maksimal zicirler, Cebirsel Kodlama Teorisi, Gauss biom katsayıları, Dizaylar, Sayı dizileri. YILDI TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ xiv
ABSTRACT THE NUMBER OF FUY SUBGROUPS AND CODES WITH SOME APPLICATIONS Esegül SALTÜRK Deartmet of Mathematics PhD Thesis Advisor: Prof. Dr. İrfa ŞİAP Ay statemet i classical logic is true or ot, there is o third case. However sometimes eve geeral defiite descritios are ot eough to exlai thigs. I order to defie these thigs we eed some grades. The ew logic with grades of elemets is called Fuzzy Logic. Fuzzy Logic was first bor i 500 B.C. with Buddha ad also with Aristoteles after 00 years. However the most imortat scietific study that lightes the studies about fuzzy logic for the last half cetury is Professor adeh s -from the Uiversity of Califoria, Berkeley- origial aer: Fuzzy Sets (adeh [9]). This work is the ioeer of the fuzzy studies. Algebraic costructios related with fuzzy is due to A. Rosefeld (Rosefeld []) ad P. S. Das (Das []). The word fuzzy meas blurriess. Whe talkig about the elemets of ay fuzzy set, we do ot use defiite exressios such as a elemet or ot but a elemet with ay degree. Beauty, youth, seility, lakiess, diligece, itelligece are some examles of fuzzy exressios sice they vary from erso to erso. O the other had, Algebraic Codig Theory, oe of the most imortat field of alicatio of algebra, has beig studied recetly by mathematicias. This theory was first begu with the marvellous aer of Claude Shao: A mathematical theory of xv
commuicatio (Shao [7]). While i the earlier stages everythig was over fiite fields, i 994, by the work (Hammos [8]) of P.V. Kumar ad his collaborates, codes over fiite rigs have bee studied. I recet years, codes over some secial rigs ad their roerties are oular. Besides, examiig liear codes i terms of combiatorial structure, amely fidig the umber of the subcodes of a liear code, is a really imortat roblem. This roblem is comletely solved for the codes over fiite fields ad reseted by Gaussia biomial coefficiets. O the other had, a wide rage of studies about the umber of the codes over rigs ([9], [0], [], [4]) has bee doe. Hece, i Sectio 7, liear codes over some fiite rigs were examied ad formulas which makes easier to fid their umber were obtaied. I this work; we give some fudametals of abstract algebra i Sectios ad 5, cocets of fuzzy algebra ad umber of fuzzy subgrous of some Abelia grous i Sectios 3 ad 4, otios about Algebraic Codig Theory, umber of liear codes ad some alicatios i Sectios 6, 7 ad 8. Key words: Fuzzy subgrous, Equivalece classes, Maximal chais, Algebraic Codig Theory, Gaussia biomial coefficiets, Desigs, Number sequeces. xvi YILDI TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
BÖLÜM GİRİŞ. Literatür Özeti Bulaık Matığı temelleri ilk olarak M.Ö. 500 yılıda Buda tarafıda, 00 yıl sora da ülü filozof Aristoteles tarafıda atılmıştır. Bulaık alt gru kavramı ilk olarak 97 yılıda A. Rosefeld (Rosefeld []) tarafıda çalışıldı. Daha sora P. S. Das (Das []), bulaık alt gruları seviye alt grularıı iceledi. So zamalarda ise Murali ([3], [4], [5]), verile bir grubu bulaık alt grularıı kümesi üzeride deklik taımladı ve bazı gruları bulaık alt grularıı sayısıı hesaladı. 008 yılıda Marius Tureaceau grubuu bulaık alt grularıı sayısı içi yielemeli (rekursif) bir formül (Tarauceau [6]) verdi. Cebirsel Kodlama Teorisi ile ilgili ilk çalışmalar ise 948 yılıda Claude Shao ı A Mathematical Theory of Commuicatio (Shao [7]) adlı meşhur makalesi ile başladı. 994 yılıda, P. V. Kumar ve arkadaşlarıı The 4-liearity of Kerdock, Prearata, Goethals ad Related Codes (Hammos [8]) adlı çalışması halkalar üzeride kod çalışmaları içi ciddi bir ışık olmuştur. Cisimler üzeride lieer kodları sayısı Gauss biom katsayıları ile belirlidir. S. Delsarte [9], P. E. Djubjuk [0] ve Yeh [], 948 yılıda birbirleride bağımsız olarak, verile λ tiide br grubu, µ tiide alt grularıı sayısıı vere formülü yielemeli (rekursif) olarak işa ettiler. 004 yılıda Calugareau verile bir Abel grubuu tüm alt grularıı sayısıı yielemeli (rekursif) olarak elde etti (Calugareau []). Thomas
Hoold da bu koudaki çalışmaları toarlamış ve modüller üzerie uygulamıştır (Hoold [3], [4]).. Tezi Amacı Bu çalışmaı temeli Bulaık Alt Grular Teorisi ve Kodlama Teorisi e dayamaktadır. Bazı halkaları bulaık alt gru sayılarıı ve bilie bazı özel halkalar üzeride lieer kodları sayılarıı hesalamak; lieer kodlarla dizileri ilişkisii, gruları alt gru şemalarıyla dizayları ilişkisii icelemek amaçlamaktadır..3 Orijial Katkı Daha öceki çalışmalarda ([6], [], [3]) verile metotları aksie daha basit ve alaşılır yötemlerle bulaık alt gruları ve lieer kodları sayıları hesalamış ve literatürdeki çalışmalarla karşılaştırılmıştır. Bu tezde verile formüllerle daha kısa sürede souca ulaşmak mümküdür. Ayrıca bu formüllerde yola çıkılarak, Geelleştirilmiş Gauss Sayıları dediğimiz yei sayılar ve bu sayılarda elde ettiğimiz yei diziler taımlamıştır. Bulara ek olarak, tezde kou ola gruları Hasse şemalarıda yararlaılarak yei dizaylar elde edilmiştir.
BÖLÜM GRUP-HALKA-CİSİM. Grular ile İlgili Temel Kavramlar Taım. [5] G boşta farklı bir küme ve işlemi de G üzeride taımlı bir ikili işlem olsu. Yai, ( G, ) cebirsel yaısı düşüülmektedir. Eğer G kümesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa G ye işlemi üzeride bir grutur deir: i. (Birleşme) Her abc,, G içi ( a b) c a ( b c) =, ii. iii. (Birim elema) Her a G içi aτ= τa= a olacak şekilde τ G vardır, (Ters elema) Her a G içi ab= ba= τ olacak şekilde b G vardır. Bu özelliklere ek olarak, Her ab, G içi a b= b a özelliği de sağlaıyorsa G ye değişmeli gru (Abel grubu) deir. Tez çalışması boyuca icelee yaılar solu grular üzeride olduğuda, solu grular kousu, bilhassa solu Abel gruları kousu Bölüm 4 de detaylı bir şekilde iceleecektir. Bu kısımda kısaca solu grular kavramı takdim edilmektedir. Burada, alaşılması kolay ola bazı kavramlar okuyucuya bırakılmıştır ve literatürde kolaylıkla buluabilir ([5], [6], [7], [8]). Solu sayıda (k) elema içere bir gruba solu gru deir ve grubu elema sayısı ola k sayısıa da grubu mertebesi deir ve k = G ile gösterilir. Bir grubu bir elemaıı mertebesi kavramı ilk olarak 85 yılıda A. L. Cauchy tarafıda taımlamıştır. Güümüzde bu kavramı farklı taımları verilmektedir. 3
Bir g G içi, g = e olacak şekildeki e küçük tam sayısıa g elemaıı mertebesi deir. Bir G grubuu mertebesi k, bir H alt grubuu mertebesi de l olsu. Bu durumda, H i mertebesi G i mertebesii böler, yai; l k dır. k l= m oraıa ise H alt grubuu G deki ideksi deir.. Direkt Tolamlar [5] Direkt tolamlar, Abel grularıı sııfladırılması açısıda oldukça öemlidir. Eğer bir gru, alt gruları bir direkt tolamı olarak yazılabiliyorsa, çoğu durumda, verile grubu yaısıı icelemek yerie, daha basit ola, alt grularıı yaısıı icelemek de yeterli olacaktır. Ayrıca bilie gruları direkt tolamı ile yei grular işa edilebilir. ( G, ) ve (, ) H gruları verildiğide, bu iki grubu direkt tolamları G H ile gösterilir ve bu yaı işlemi altıda bir grutur: ( g, h ),( g, h ) G H olmak üzere, ( g, h) ( g, h ) ( g g, h h ) =. Bu taım, Abel grularıı direkt tolamı olarak geelleştirilebilir..3 Halkalar ile İlgili Temel Kavramlar [5,6] Halka Teorisi, halkaları iki özel çalışma kousu ola reel veya komleks sayılar üzeride değişkeli oliom halkaları ve bir cebirsel sayılar cismii tam sayıları koularıda ortaya çıkmıştır. Halka kavramı ilk olarak David Hilbert (86-943) tarafıda taımlamıştır. Değişmeli halkalar teorisi ise ilk olarak 9 yılıda Emmy Noether tarafıda, Ideal Theory i Rigs isimli makalesi ile verilmiştir. Bu makalede esas olarak bir halkaı ideallerii arta zicir yaısıda bahsedilmektedir. Bu kısımda, halkalar ile ilgili bazı temel taımlar suulmaktadır. Taım. [5,6] R boşta farklı bir küme ve, işlemleri de R üzeride taımlı birer ikili işlem olsu. Yai, ( R,, ) yaısı düşüülmektedir. Eğer R kümesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa R ye, işlemleri üzeride bir halkadır deir: i. R kümesi, işlemie göre değişmeli bir grutur, 4
ii. (Birleşme) Her abc,, R iii. (Dağılma) Her abc,, R içi, içi ( a b) c= a ( b c), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) a b c = a b a c a b c= a c b c. ve işlemleri sırasıyla R halkasıı birici ve ikici işlemleri olarak adladırılır. Her a R içi, 0 olmak üzere, a= a = a olacak şekilde R R elemaı var R R ise bu elemaa R halkasıı birim elemaı ve R ye de birimli halka deir. İkici işleme göre değişmeli ola halkaya değişmeli halka deir. Taım.3 [5,6] R bir halka ve i. Her ab, I içi a b I, ii. Her a I, r R içi ar I R I R olsu. özellikleri sağlaıyorsa I ya R halkasıı bir ideali deir. { 0 R } ve R ye R halkasıı aşikar idealleri deir. a R olmak üzere, a elemaıı ürettiği ideal a şeklide gösterilir ve elemaları {. : } a = ar r R şeklidedir. Taım.4 [5,6] R ve S iki halka olmak üzere f : R S döüşümü aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, f ye halka homomorfizması deir. + = + i. f ( a b) f ( a) f ( b), ab, R, ii. f ( ab) f ( a) f ( b), ab, R, iii. f ( ) =. Taım.5 [5,6] = i. R bir halka olsu. 0 a R içi, ab = 0 olduğuda b 0 oluyorsa, b elemaıa R i bir sağ sıfır bölei deir. Burada a R elemaı da R i bir sol sıfır böleidir. Eğer bir a R elemaı, R i hem sağ hem de sol sıfır bölei ise a ya R i bir sıfır bölei deir. R 5
ii. iii. Birimli, değişmeli ve sıfır bölesiz bir halkaya tamlık bölgesi deir. Birimli bir halkada her elema birimsel ise, yai; her a R içi, ab= ba= R olacak şekilde tek türlü belirli b R elemaı mevcut ise bu halkaya böleler halkası deir. iv. Değişmeli böleler halkasıa cisim deir. Taım.6 [5,6] R bir halka ve olsu. ( A,+) bir Abel grubu olsu. ( ) R A A, r, a r * a şeklide taımlı bir ikili işlem göz öüe alısı. Her ab, A, r, s R içi, i. r ( a+ b) = r a+ r b, ii. ( r+ s) a= r a+ s a, iii. ( rs) a= r ( s a). özellikleri sağlaıyorsa A ya bir R modül deir. Eğer, her a A içi, R i, a= a olacak şekilde bir birim elemaı varsa A ya bir birimsel R modül deir. 6
BÖLÜM 3 BULANIK (FUY) GRUP TEORİ 3. Giriş Bulaık matık ve bulaık matematik çalışmaları ilk olarak 965 yılıda Califoria Berkeley Üiversitesi de Lotfi A. adeh (adeh [9]) tarafıda başlatıldı. O zamada beri bulaık matematik birçok yazar tarafıda çalışıldı ve mühedislik, coğrafya, sikoloji gibi çeşitli alalara uyguladı. So zamalarda ise çoğulukla bilgi bilimleri ve biyoloji alalarıa uygulamaktadır. Bulaık küme kavramı [0]: Yeryüzüde, eseler ya bir şeye sahitir ya da değildir. Ya da bir ese, bir kümei elemaıdır veya değildir. İşte bu kavram bildiğimiz alamdaki kümeleri ifade eder. Oysa baze kesi olmaya çizgilere de ihtiyaç duyarız. Klasik matığı taımlayamadığı belirsiz kavramları matematiksel olarak ifade edilebilmesi bulaık teoriyi akla getirir. Belirsizlik roblemleri; matematikçiler, matıkçılar, filozoflar ve so zamalarda ise bilgisayar ve yaay zeka ile ilgilee bilim adamları tarafıda çalışıla öemli koularda biri halie gelmiştir. Bu teori, klasik teorii kesi çizgilerie tam bir meyda okuma şeklidedir. Çükü et olmaya ara değerlerde bahseder. Bu olgu bir örek ile şu şekilde açıklaabilir: Saat 5.00 da A305 o lu sııftaki öğreciler kümesi bilie klasik alamda bir kümedir. Yai tüm öğrecileri kümesi evresel küme olarak alıırsa, herhagi bir öğreci saat 5.00 da, ya A305 sııfıdadır ya da değildir. Burada bir kesilik vardır. Fakat Saat 5.00 da, A305 sııfıdaki uzu boylu öğreciler kümesii düşüecek olursak, buradaki uzu boyluluk kavramı kafa 7
karıştırıcıdır. Hagi ölçü uzu boyluluk ölçüsü içie girer? Buu tesit etmek gerekir. Oysa, bu kavram kişide kişiye göre değişe esel bir yaklaşımdır. Yai, kimie göre.85 bir uzu boy ölçüsü ike, kimi de.75 i uzu boy ölçüsü olduğuu düşüür. İşte bu şekilde et çizgilerle belirli olmaya kümeleri yorumlamak içi bulaık teori kullaılır. Yukarıdaki öreği bir bulaık küme yardımıyla belirleyebiliriz. Her boy ölçüsüe [ 0, ] aralığıda üyelik dereceleri verilerek, Saat 5.00 da, A305 sııfıdaki uzu boylu öğreciler kümesi oluşturulabilir. Bu da üyelik foksiyou dediğimiz bir karakteristik foksiyo yardımıyla olur. Eğer bir elemaı üyelik derecesi 0 ise o elema hiçbir şekilde o kümeye ait değildir, üyelik derecesi ise o elema tamamıyla o kümeye aittir. Bular dışıdaki değerler ara değerler olu, o elemaı hagi üyelikle (e derece) belirtile kümeye ait olduğuu gösterir. A, Saat 5.00 da, A305 sııfıdaki öğreciler i kümesi olsu. Saat 5.00 da, A305 sııfıdaki uzu boylu öğreciler kümesi aşağıdaki gibi oluşturulabilir. A= { Elif, Ese, Ahmet, Ali} olmak üzere, bu küme, öğrecileri uzu boylu olma üyelik dereceleri ile birlikte aşağıdaki gibi yazılır: {( Elif, 0.0 ),( Ese, 0.5 ),( Ahmet, 0.8 ),( Ali,.0) } A= kümesi bir bulaık kümedir. uzuboy [ ] µ : X 0, ( X : evresel küme) olmak üzere; µ uzuboy ( x) şeklidedir. 0.0, x.65 0.5,.65 x.75 = 0.8,.75 x.85.0, x.85 3. Bulaık Teori ile İlgili Yakı amalarda Yaıla Araştırmalar [] Yaay zeka tekiklerie ilişki ilk görüşler güümüzde yıllarca öce, 965 yılıda ortaya atılmış [9], 969 yılıda bulaık küme teorisii tı alaıda kullaılabilirliğii açıklaması ile ek çok çalışmalar yaılmaya başlamış [], 975 yılıda kardiyovasküler sistemleri kliik uygulamalarda kullaılması öerilmiş [3], 980'de kardiyak foksiyoları değerledirilmeside bulaık küme teorisii kullaılması ile 8
ilgili çalışmalar yaılmıştır. 989'da EKG verilerii sııfladırılması ve taısı kousuda ilk çalışmalar yaılmış ve bu çalışmalarda elde edile bilgiler, bulaık küme formua getirilerek istatistiksel yaklaşımlarla sııfladırılmıştır. 990'lı yılları ortalarıda kal hastalıklarıda bulaık küme ve hibrit sistemlerle taısı ile ilgili çalışmalar yaılmış, 994 yılıda koroer arter hastalığı yaay siirsel sistemle %89 doğruluk oraıda sııfladırılmış ve soraki yıllarda da yaay zeka tekikleri ile çeşitli kal hastalıklarıda taı koymada büyük başarı kaydedilmiştir. 996 yılıda kalbi tomografik görütüleri bulaık matık ile %94 doğruluk oraıda sııfladırılmış, 998 yılıda koroer arter hastalıklarıı bulaık matıkla sııfladırılması kousuda geetik bulaık kural tabaı kullaılarak %96 oraıda başarı elde edilmiştir [4],[5]. Bulaık kuram ile ilgili çalışmalar, Jaoya da 980 leri başıda ortaya çıkmıştır. Tokyo da Bulaık Matık çalışmaları yaa bir grubu öderliğide IFSA (Iteratioal Fuzzy System Associatio) kuruluşu kuruldu ve Jaoya da Bulaık Teori çalışma merkezi halie geldi. Bu kuruluş kedide soraki kuruluşlara öcülük etmesi bakımıda öemli bir yer taşır. İlk uygulama, metro treleride otomatik sürücü bulaık kotrol sistemii kullamak oldu [6]. Daha sora bulaık matık ve bulaık küme kavramı, bulaşık makieleri, çamaşır makieleri, elektrik süürgeleride uygulamaya kouldu. Yie bir Jao rofesör (Muchiyo Sugeo) uzakta kumadayla ilotsuz bir helikoteri bulaık matık ile asıl kotrol edildiğii modelii çıkardı ve bu ilotsuz helikoter Hiroşima deremide kullaıldı. Bir mil mesafeye kadar uzakta kotrol ile o bölgeye gitti, oraı resimlerii çekti ve geri geldi. Bular dışıda bulaık kotrolü kullaıldığı bazı alalar; su arıtma tesisleride kbr kotrolü, asasör kotrol sistemleri, trafik kotrol sistemleri, buldozer kotrolü, havaladırma sistemleri, video kamera, buzdolabı vb. dir. 3.3 Bulaık (Fuzzy) Teori ile İlgili Temel Cebirsel Kavramlar Taım 3. [9] X herhagi bir küme ve A X olmak üzere µ : [ 0,] A X foksiyouu karakterize ettiği {(, µ A( )) : } A= x x x X 9
kümesie X de bir bulaık (fuzzy) küme deir. µ A foksiyoua A bulaık kümesii üyelik foksiyou, her x X kümesideki üyelik değeri deir. µ değerie de x elemaıı A içi ( ) [ 0,] A x µ : [ 0,] şeklideki tüm foksiyoları kümesi [ 0,] X ile gösterilir. [ ] A X ailesii her bir elemaıa X de bir bulaık küme deir. Taım 3. [9] X = { x, x, x,...} olmak üzere, X ( x ) ( x ) ( x ) bulaık kümedir. 3 {,0,,0, 3,0,...} Taım 3.3 [9] ( x ) ( x ) ( x ) {,,,, 3,,...} 0, X = kümesi bir = kümesi bir bulaık kümedir. Taım 3.4 [9] A ve B, X kümeside iki bulaık küme olmak üzere, her x X içi, µ ( x) = µ ( x) ise A ve B bulaık kümeleri eşittir. A B Taım 3.5 [9] A ve B, X kümeside iki bulaık küme olmak üzere, A B kümesi, { x x } µ ( x) mi µ ( ), µ ( ) A B = A B şeklide taımlaır. Taım 3.6 [9] A ve B, X kümeside iki bulaık küme olmak üzere, A B kümesi, { x x } µ ( x) max µ ( ), µ ( ) A B = A B şeklide taımlaır. Taım 3.7 [9] A ve B, X kümeside iki bulaık küme olmak üzere, A B olması içi gerek ve yeter koşul µ A µ B olmasıdır. 3.4 Bulaık Kümeler ile İlgili Alteratif Taımlar Bu kısımda, Kısım 3.3 de verile taımlara alteratif ola taımlar verilmektedir. 3.4. Bulaık Alt Kümeler Taım 3.8 [7] X herhagi bir küme olmak üzere µ : X [ 0,] şeklide taımlaa foksiyoa X i bir bulaık alt kümesi deir. 0
X i bütü bulaık alt kümelerii oluşturduğu kümeye X i bulaık kuvvet kümesi deir ve [ 0,] X şeklide gösterilir. [ ] X Taım 3.9 [7] µ 0, olmak üzere, { ( x) x X} µ ( X ) = Im( µ ) = µ : kümesie µ ü görütü kümesi deir. [ ] X Taım 3.0 [7] µ 0, olmak üzere, * µ { x X : µ ( ) > 0} = x kümesie µ ü desteği (suort) deir. * Eğer µ ( X ) ise, µ ye X i ormal bulaık alt kümesi deir. µ solu ise µ solu * bulaık küme, µ sosuz ise µ sosuz bulaık kümedir. Taım 3. [7] X ve [ 0,] a olmak üzere [ ] a 0, X bulaık kümesi aşağıdaki şekilde taımlaır: a, x a ( x) = 0, x X \. = şeklide ise, a { z} foksiyoua bulaık-okta (fuzzy-sigleto) deir. Eğer { z} a = içi, x = 0, x X \ foksiyoua i karakteristik foksiyou deir. Taım 3. [7] [ 0, ] X µ, v olmak üzere her x X içi µ ( x) v( x) ise v bulaık kümesi µ bulaık kümesii kasar deir ve µ v şeklide gösterilir. Taım 3.3 [7] [ 0, ] X µ, v olmak üzere v µ ve v [ ] µ 0, X kümeleri aşağıdaki şekilde taımlaır. Her x X içi, { µ ( x), v( x) } = ( x) v( ) ( µ v)( x) = max µ x,
{ µ ( x), v( x) } = ( x) v( ) ( µ v)( x) = mi µ x, dir. Yukarıdaki kesişim ve birleşim işlemleri ikide çok bulaık küme içi geelleştirilebilir: { : i I} µ, X i bulaık alt kümelerii bir ailesi olsu. Her x X içi, i I i µ i ( x) = µ i ( x), i I i I µ i ( x) = µ i ( x), i I olur. Taım 3.4 [7] µ [ 0,] X ve [ 0,] a olmak üzere, µ a { x X :µ( x a} = ) kümesie µ ü seviye alt kümesi (level-set) ya da µ ü a kesimi ( a cut) deir. [ ] X Teorem 3.5 [7] µ, v 0, olmak üzere, aşağıdaki ifadeler sağlaır:. v a [ ] µ, 0, µ v, a b, ab, 0, µ µ,. [ ] 3. µ = v µ = v a [ ] a a, 0,. a b a a İsat [7]:. µ v olsu. Burada x X içi, ( x) v( x) µ olur. [ 0,] a, y µ a içi µ ( y) a dır. Böylece v( y) µ ( y) a olur ve bu ifadede de y va elde edilir. Yai, µ a v a dir.., b [ 0,] a içi x µ b alalım. Burada µ ( x) b olur. Ayrıca a b olduğuda; a b µ (x) olur ki bu da x µ a demektir. Yai, µ b µ a elde edilir.
a içi x µ a alalım, burada 3. [ 0,] µ ( x) a elde edilir. µ = v olduğuda, her x X içi µ ( x) = v( x) a yai x va elde edilir. Böylece µ a va olur. Bezer şekilde, v a µ a olduğu gösterilebilir. Bu iki durumda µ a = va elde edilir. Tersie [ 0,] a içi µ a = va olsu. Her x X içi µ ( x) = v( x) a ve µ = v elde edilir. Taım 3.6 [7] X ve Y herhagi iki küme, [ 0, ] X, v [ 0,] Y µ ve f de f : X Y Y şeklide bir foksiyo olsu. f ( µ ) [ 0,] ve f ( v) [ 0,] aşağıdaki şekilde taımlaır: Her y Y içi, bulaık kümeleri X { µ } max ( x) : x X, f ( x) = y, f ( y) f ( µ )( y) = f y 0, ( ) =, her x X içi, f ( v)( x) = vf ( x) şeklidedir. Bu foksiyolara sırasıyla f i µ altıdaki görütüsü ve f i v altıdaki ters görütüsü deir. 3.4. Bulaık Alt Grular Taım 3.7 [7] G bir gru ve : G [ 0,] ise, µ ye G i bir bulaık alt grubu deir:. Her x, y G içi, ( xy ) mi{ µ ( x), µ ( y) } µ döüşümü aşağıdaki iki koşulu sağlıyor µ,. Her x G içi, µ ( x ) µ ( x). G i tüm bulaık alt grularıı kümesi, [ 0,] = I olmak üzere, I( G ) ile gösterilir. Teorem 3.8 [7] µ I( G) olsu. Her x G içi,. µ ( e) µ ( x), 3
. ( x) = ( x ) µ µ şeklidedir. Teorem 3.9 [7] G bir gru ve [ 0,] G µ olsu. µ ü G grubuu bulaık alt grubu olması içi gerek ve yeter koşul, her a [ 0,] olmak üzere, µ a ı G i alt grubu olmasıdır. Bulaık Alt Grular ile İlgili Örekler. = { } kümesi tolamsal bir grutur. µ : [ 0,] 0, [ 0,] bulaık alt kümesi, µ ( 0) = ve µ () = t koşulları altıda, i bir bulaık alt grubudur.. = { } kümesi tolamsal bir grutur. µ : [ 0,] 4 0,,,3 bulaık alt kümesi, µ ( ) = µ (3) = ; µ () = ; µ (0) = koşulları altıda, 4 ü bir bulaık alt 3 grubudur. (0,0),(0,),(,0),(,) kümesi tolamsal bir grutur. 3. = { } 4 [ ] µ : 0, bulaık alt kümesi, µ ((0,)) = µ ((,0)) = ; 3 µ ((0,0)) = koşulları altıda, i bir bulaık alt grubudur. µ ((,)) = ; 4. asal ve = { 0,,,..., } olmak üzere, µ : [ 0,] her x içi, µ (0) ve µ ( x) t [ 0,] bulaık alt kümesi, = = koşulları altıda, i bir bulaık alt grubudur. 0 0 5. G =,, kümesi bilie stadart çarma işlemie 0 0 göre bir grutur. : G [ 0,] µ kümesi, 0 µ =, 0 grubudur. 0 µ = = µ 0 koşulları altıda, G i bir bulaık alt 3 Yukarıdaki 5 örekte de bulaık alt gru olma koşullarıı sağladığı açıktır: 4
Her x, y G içi, µ xy { µ x µ y } ( ) mi ( ), ( ), her x G içi, µ ( x ) µ ( x). 3.4.3 Bulaık Alt Halkalar Taım 3.0 [7] R değişmeli bir halka ve üzeride aşağıdaki şekilde taımlaır: [ 0, ] R µ, v olsu. * işlemi, R halkası { { y v z } y z R y z x} ( µ * v)( x) = max mi µ ( ), ( ) :,, * =. Ayrıca, ( µ )( x) = µ ( x) şeklide taımlaa µ bulaık kümesie ise µ ü egatifi deir. [ ] R Taım 3. [7] R değişmeli bir halka ve µ 0, olsu. Aşağıdaki iki koşulu sağlaya µ bulaık alt kümesie R i bir bulaık alt halkası deir:. Her x, y R. Her x, y R içi, µ x y { µ x µ y } ( ) mi ( ), ( ), içi, µ xy { µ x µ y } ( ) mi ( ), ( ). [ ] R Taım 3. [7] R değişmeli bir halka ve µ 0, olsu. Aşağıdaki iki koşulu sağlaya µ bulaık alt kümesie R i bir bulaık ideali deir:. Her x, y R. Her x, y R içi, µ x y { µ x µ y } ( ) mi ( ), ( ), içi, µ xy { µ x µ y } ( ) max ( ), ( ). Teorem 3.3 [7] µ, R halkasıı bir bulaık alt halkası olsu. µ ü bulaık ideal olması içi gerek ve yeter koşul, her a µ ( R) { b [ 0, ]: b µ (0)} µ a ı R halkasıı bir ideali olmasıdır. Örek 3.4 = { } olmak üzere, 4 0,,,3 kümesi tolama ve çarma işlemleri altıda bir halkadır. µ : 4 [ 0,] bulaık alt kümesi, µ ( ) = µ (3) = ; µ () = ; µ (0) = koşulları 3 altıda, 4ü bir bulaık alt halkasıdır, ayı zamada 4 ü bir bulaık idealidir. 5
Taım 3.5 [7] F bir cisim olsu. µ, F tolamsal grubuu ve F çarımsal grubuu bulaık alt grubu ve µ ( ) = ise µ ye F i bulaık alt cismi deir. Örek 3.6 = { } kümesi bir cisimdir. µ : [ 0,] ( ) ( ) 0, µ 0 = µ = koşulu altıda, i bir bulaık alt cismidir. bulaık alt kümesi 6
BÖLÜM 4 SONLU ABEL GRUPLARI, MAKSİMAL İNCİRLER, BULANIK ALT GRUPLAR 4. Giriş Bu bölümde, ilk olarak Gru Teori i öemli koularıda biri ola solu Abel grularıa ilişki temel taım ve teoremler verilmektedir. Daha sora bulaık alt gruları kolaylıkla belirlemeye yaraya maksimal zicirler kousu ele alıacak ve bu zicirler vasıtasıyla bulaık alt grular belirleecektir. Taım 4. [8,9,30] 0 i< m içi G < G + ve G \ + G grubu bir Abel grubu ike, G i alt gruları { } 0 çözülebilir (solvable) gru deir. i i 7 i 0 = G G G... Gm = G şartıı sağlıyor ise G ye Abel gruları çözülebilir grulardır. Mertebesi asal bir sayıı kuvveti şeklide ola her gru çözülebilir bir grutur. Taım 4. [8,9,30] Bütü elemalarıı mertebesi bir asal sayısıı bir kuvveti şeklide ola bir gruba gru deir. Teorem 4.3 [8,9,30] Her solu Abel grubu, mertebesi bir asal sayısıı bir kuvveti şeklide ola devirli gruları direkt çarımı olarak yazılabilir. Yai, her solu G Abel grubu k formudaki bir gruba izomorftur; burada, k (,,, k) + i i=, i sayıları farklı olması gerekmeye asal sayılardır ve sayıları da G tarafıda tek türlü belirlidir. Taım 4.4 [8,9,30] ( G, + ) bir gru ve G grubuu aşağıdaki şekilde verile G i alt gruları ele alısı: i i i
0 0 { } G G G... G, G = 0, G = G. Yukarıdaki zicire i= 0,..., olmak üzere G i alt grularıı bir maksimal ziciri deir. Bir maksimal zicir tek türlü belirlidir. Taım 4.5 [8,9,30] i 0,..., ( i= 0,..., ) karşılık gelmek üzere, = ve [ 0,] λi olsu. Burada, her bir i G ye bir λ i =. 0 λ0 λ λ λ zicirie bir aahtar zicir (keychai) deir. Her bir λ i ye de üyelik değeri (i) deir. Bir aahtar zicir muhakkak λ 0 sayısıı içerir. sayısı birici ozisyoda; λ i sayısı da ( i + ). ozisyoda yer alır ( i=,,..., ). Dolayısıyla bir -ziciri ( ) vardır. Bu durumda, bir -ziciri uzuluğuu + olduğu söyleir. Bir maksimal zicirle aahtar zicir aşağıdaki şekilde birleştirilebilir: + adet yeri G = µ λ, G = µ λ, G = µ λ,..., G = µ λ olmak üzere, 0 0 { } G λ G λ 0 G λ şeklide bir zicir elde edilir. Örek 4.6 [8,9,30] 0 maksimal ziciri ile birleştirilirse, { } 4 8 0 4 = ziciri elde edilir. 4 8 0 4 = λ = > > > aahtar ziciri { } 8 8 8 µ : 8 [ 0, ]; µ ( 0) =, µ ( ) = µ ( 3) = µ ( 5) = µ ( 7 ) =, µ ( ) = µ ( 6) = olmak 3 üzere, µ bulaık alt grubuu düşüelim. Bu durumda µ ü seviye alt kümeleri aşağıdaki gibidir: { } { } { } { } µ = 0 = 0, µ = 0, 4 = 4, µ = 0,, 4,6 =, µ = 0,,,3,4,5,6 =. 8 4 8 8
λ0 λ λ Taım 4.7 [8,9,30] G0 G... G, ( ) λ = şeklideki bir zicir ile 0 birleştirilmiş bir bulaık alt küme aşağıdaki şekilde gösterilir:, x= 0 λ, x G \{ 0} µ ( x) = λ, x G \ G λ, x G \ G. (4.) Öerme 4.8 [8,9,30] (4.) de verile bulaık alt küme bir bulaık alt grutur. İsat: ab, G içi a G \ G ve b Gj \ Gj vardır. ab, G alıırsa λj λi λj j i i a b Gj olacak şekilde i, j ( i j ) + olur ve burada da µ ( a b) λj olduğuda, µ ( a b) µ ( a) µ ( b) idisleri + elde edilir. Fakat + olur. Öte yada a G içi, a Gi \ Gi olacak şekilde i idisi vardır. a Gi olduğuda, bir i içi ( a) ( a) µ = λ µ dir. Ayrıca, her a G alt grutur. i içi µ ( 0) µ ( a) dır. Böylece µ bir bulaık Öerme 4.8 i tersi de doğrudur. Bir G grubuu bir µ bulaık alt grubu verildiğide, µ, (4.) deki gibi yazılarak, ilgili aahtar zicir ile bua karşılık gele maksimal zicir yazılabilir. Örek 4.9 [8,9,30] = { } 8 [ ] µ : 0, bulaık alt kümesi Taım 3.7 de, 8 0,,,3,4,5,6,7 kümesi tolamsal bir grutur. µ (0) =, µ () =, µ () = µ (6) =, µ () = µ (3) = µ (5) = µ (7) = 4 8 koşulları altıda, 8 i bir bulaık alt grubudur. Öte yada, Taım 4.7 de, { } 4 8 8 8 0 4 = ziciri ile birleştirilmiş bulaık alt küme; 9
µ ( x), x= 0, x 4 \ { 0 } =, x \ 4 4, x \. 8 8 (4.) şeklide gösterilir ve Öerme 4.8 de, bu bulaık alt küme bir bulaık alt grutur. Öerme 4.0 [8,9,30] µ, G i bir bulaık alt grubu olsu ve G i alt grularıı bir maksimal ziciri aşağıdaki gibi verilsi: λ0 λ λ 0. G G G Bu durumda, yukarıdaki maksimal zicir ile birleştirilmiş µ bulaık alt grubu aşağıdaki şekilde verilir:, x= 0 λ, x G \{ 0} µ ( x) = λ, x G \ G λ, x G \ G. (4.3) Örek 4. [8,9,30] { } şekilde yazılır: 4 8 8 8 0 4 = maksimal ziciri aşağıdaki µ ( x), x= 0, x 4 \ { 0 } =, x \ 4 4, x 8 \. 8 (4.4) µ, 8 i bir bulaık alt grubudur. Bulaık alt gruları sayılarıı hesalamak içi ilk olarak maksimal zicir sayılarıı hesalamak gerekir. 0
4. Abel Grularıı Alt Gruları, Maksimal icirleri ve Bulaık Alt Gruları Taım 4. [4,8] λ i, ( i= 0,..., ), sayılarıı = λ0 > λ >... > λ > 0 şeklideki sıralaışıa bir -zicir deir. = λ0 λ... λ 0 şeklideki bir zicire aahtar zicir (keychai) deir. Bir aahtar zicir basitçe λλ λ şeklide yazılır. Art arda birbirie eşit ola λ ları birbirie bağlı olduğu söyleir (e baştaki ihmal edilir). Birbirie bağlı üyelik değerlerie bileşe deir. k farklı bileşe içere bir zicire bir k lı aahtar zicir (k ad ) deir. Bileşe şeklideki λ ları sayısıı kümesie k lı aahtar ziciri içeriği (ideksi) deir. İdeksteki tekli bileşeler kolaylık sağlaması açısıda yazılmaz. Örek 4.3 [4,8] > λ = λ > λ3 = λ4 = λ5 > λ6 > 0 şeklide verile bir 7 zicir, bir 4 arçalı aahtar zicirdir ( 4 ad keychai). İdeksi ise (,3,,) = (,3) şeklidedir. λ = λ = λ, λ = λ = λ = β, λ = γ 3 4 5 6 olmak üzere, G G G G G G G G λ 0 λ λ λ 3 λ4 λ 5 λ 6 λ 7 0 3 4 5 6 7 zicirii bir 4 arçalı aahtar zicir olduğu görülür. Bu zicirde aşağıdaki bulaık alt gru elde edilir:, x= 0 λ, x G \{ 0} µ ( x) = β, x G5 \ G γ, x G6 \ G5 0, x G \ G. (4.5) Örek 4.4 [4,8] = λ = λ = λ3 > λ4 > λ5 = λ6 = λ7, 7 ziciri bir 3 arçalı aahtar zicirdir (3 ad keychai), ideksi ( 3,,3) = ( 3,3) şeklidedir. λ = λ = λ =, λ = λ, λ = λ = λ = β olmak üzere, 3 4 5 6 7 G G G G G G G G λ0 λ λ λ3 λ4 λ5 λ6 λ7 0 3 4 5 6 7 7 ziciri bir 3 arçalı aahtar aahtar zicirdir (3 ad keychai).
ziciride aşağıdaki bulaık alt gru elde edilir: { }, x G3 \ 0 µ ( x) = λ, x G4 \ G3 β, x G7 \ G4. (4.6) Not 4.5 içi 3 adet ad aahtar zicir vardır ( λ = λ = = λ ):, λλ λ, 00 0.
BÖLÜM 5 BAI GRUPLARIN BULANIK ALT GRUPLARININ SAYISI 5. Giriş Solu bir grubu bulaık alt grularıı sayma roblemi so zamalarda üzeride çalışıla koularda biridir. Bu kou ile ilgili güümüze e yakı çalışmalar aşağıdaki gibi verilebilir: i. O a equivalece of fuzzy subgrous I [3] makaleside uygu bir deklik bağıtısı altıda solu Abel grularıı ve gruları bulaık alt gru sayıları icelemiştir. ii. O a equivalece of fuzzy subgrous II [4] çalışmasıda, O a equivalece of fuzzy subgrous I makalesii devamı olarak grubua izomorf ola gruları bulaık alt grularıı sayısı ideks ve arçalar (ad) kullaılarak hesalamıştır. iii. Coutig the umber of fuzzy subgrous of a Abelia grou of order m q [5] çalışmasıda m Abel grubuu maksimal zicirleri ve bulaık alt grularıı sayısı icelemiştir. iv. q 005 (Ngcibi) yılıda Rhodes Üiversitesi de yaıla Studies of fiite equivalet fuzzy subgrous of fiite Abelia grous of rak two ad their subgrou lattices adlı doktora tezide [8] Bulaık Teori de geiş kasamlı bir şekilde bahsedilmiştir. [8] de, bazı Abel grularıı ( m, ( 5) maksimal zicir sayıları ve bulaık alt grularıı sayıları icelemiştir. ) m 3
5. Ö Bilgiler Tezi ilerleye bölüm ve kısımlarıda, G ile değişmeli bir gru gösterilecektir. Bu kısımda, Teorem 3.9 a vurgu yamak içi örekle başlamaktadır. Örek 5. [3,0] µ : [ 0,] µ ( x), x= 0, x 4 \ 0 =, x \ 4 4, x \ 8 8 bulaık alt kümesi verilsi. 8 { } kümesi bir bulaık alt grutur. Burada, 8 grubuu bir maksimal ziciri, 0 4 = şeklidedir ve Teorem 3.9 da, 8 µ = 8 8 4, { } µ = = 0,, 4,6, { } µ = 4 = 0, 4, { } µ = 0 = 0 kümeleride her biri 8 µ = dir. 4 8 i alt grubudur. Burada, Im( ),,, [ 0,] Taım 5. [3,0] (Bulaık alt grularda deklik) µ ve v, G i bulaık alt gruları olsu. ( i) x, y G ; ( x) ( y) ( x) ( y) ( ii) x G ; µ ( x) = 0 ν( x) = 0 µ ν µ µ ν ν şeklide taımlaa bağıtısı bir deklik bağıtısıdır. Öerme 5.3 [3,0] µ ve ν iki bulaık alt gru olsu. Sırasıyla, µ ve ν ye karşılık gele maksimal zicirler aşağıdaki şekilde verilsi: m X X λ X λ X λ m ve Y Y β Y β Y β. 0 0 4
Bu durumda µ ν olması içi gerek ve yeter koşul aşağıdakileri sağlamasıdır: i. = m, ii. Xi = Yi, i= 0,,,, λ i ve β j sayıları ayrık, iii. λi > λj βi > βj, i, j. Örek 5.4 [3,0] G= = olmak üzere, µ ve v, G i bulaık alt gruları 3 olsu: µ ( x), x= { 0,0,0} =, x 0 \ 0,0,0, diğer durumlar, 3 { } { } v( x) Yukarıdaki bulaık alt grular dektir. Yai, µ ν dir. Örek 5.5 [3,0] G S 3 {( ),( 3 ),( 3 ),( ),( 3 ),( 3) }, x= { 0,0,0} =, x 0 \ 0,0,0 3, diğer durumlar. 5 { } { } = = ermütasyo grubu, µ ve v de S 3 grubuu bulaık alt gruları olsu: µ ( x), x= e= ( ) =, x= ( ) 3, diğer durumlar, 5 ( ) v x, x= e= ( ) =, x= ( 3 ) 3, diğer durumlar. 5 Burada, Im( µ ) Im( υ) υ (( ) ) υ ( 3) ( ) = ve * * µ υ = dir. Acak, ( ) < olduğuda, µ ile υ dek değildir. ( ) (( 3) ) µ > µ ike Öerme 5.6 [3,0] + uzuluğuda bir maksimal zicirde elde edile bulaık alt gruları + adet deklik sııfı vardır. Örek 5.7 [3,0] 4 grubuu λ β aahtar ziciriyle birleştirilmiş ziciri aşağıdaki şekilde verilir: λ 0. (5.) β 4 5
(5.) ile verile maksimal zicir + = 3 uzuluğuda bir maksimal zicirdir ve bu maksimal zicirde Taım 4. ye göre λβ şeklide bulaık alt grular elde edilir: λ β =, λ,0, λλ, λβ,λ 0,00. Sayısı: 3 + = = 7 dir. 5.3 = Grubuu Bulaık Alt Grularıı Sayısı 5.3. Grubuu Alt Grularıı Maksimal icirlerii Sayısı Verile solu bir grubu bulaık alt grularıı sayısıı hesalamak içi ilk olarak bu grubu maksimal zicirlerii göstere alt gru şemasıı (latisi) belirlemek gerekir. Bu şemaya Hasse şeması da deir. Hasse şemasıda yararlaılarak, maksimal zicirleri yaısı iceleebilir ve maksimal zicir sayıları belirleir. Daha sora ise bu zicirlerdeki bulaık alt gruları sayısı hesalaabilir. Bu hesalamalar içi öcelikle bilie Gauss biom katsayıları ile ilgili teorem; daha sora ise verile grubu bulaık alt grularıı sayısıı hesabı içi ilgili öerme ve teoremler verilecektir. Taım 5.8 Alt gru latisi, bir grubu alt gruları arasıdaki ilişkiyi açıklaya diyagramatik bir yaklaşımdır. Bir grubu tüm alt gruları bir latis diyagramıda kasaır. Bir seviyedeki H alt grubu daha yüksek seviyedeki K alt grubu ile ilişkilidir. Alt gru latisii çizmek içi birçok yol vardır. Burada mühim ola tüm durumlarda alt grular arası ilişkii ayı olmasıdır. Verile bir Abel grubuu alt gru latisii belirlemek zor bir roblemdir. Bu roblem grubu çaralarıa arçalamakla daha basit hale gelir. G,. mertebede bir gru olsu. G i mertebesii asal çaralara ayrılışı, r G = = k şeklidedir. r r alt gru latisi ile her bir i vardır. k G= G G G olsu. Bu durumda G i G i ( i ) k =,,, k alt gru latisi arasıda bire bir deklik Taım 5.9 [33] b ve birer gerçel (reel) sayı ve k egatif olmaya bir tam sayı olmak üzere, k b Gauss biom katsayıları aşağıdaki şekilde taımlaır: 6
k+ ( b )( b ) ( b ) k k ( )( ) ( ). k = b b b b Öerme 5.0 [33] Gauss biom katsayılarıı bazı özellikleri aşağıdaki şekildedir:. lim =. b k k b. =. k k b 3. = =. 0 b b b 4. 5. k b. k = + k k b b b k b. k = + k k b b b 6. [ ] 0 = ve [ ] = b ( b )( b ) ( b ) b, =,, olarak taımlaırsa, = k [ ] b [ k] [ k] b b b elde edilir. Teorem 5. [3] F q üzeride, boyutlu bir vektör uzayıı k boyutlu alt uzaylarıı sayısı k Gauss biom katsayısıdır. q Öerme 5. grubuu alt grularıı maksimal zicirlerii sayısı i= i+ i sayısıdır. İsat: G grubuu vektör uzayı olarak boyutu k olsu. Bu durumda, G grubuu alt grularıı Hasse şeması açık olarak Şekil 5. deki gibi belirleir. Burada, G i bir boyut altıda bulua G, G,, GC ( k, k ) alt gruları k boyutludur ve k boyutlu gruları altıda k boyutlu alt grular bulumakta, şemaı e alt kısmıda ise e 7
az elemalı alt gru ola, aşikar alt gru, G 0 = { 0} grubu yer almaktadır. Burada, e solda başlamak üzere, maksimal zicirleri yaıları ve sayıları belirleecektir. G solu bir Abel grubu olsu. Vektör uzayı olarak (k boyutlu), k boyutlu alt uzaylarıı sayısı k k Gauss biom katsayısıdır. k boyutlu alt uzayları k boyutlu alt uzaylarıı sayısı ise k k Gauss biom katsayısıdır. Bezer şekilde devam edilirse, boyutlu alt uzayları boyutlu alt uzaylarıı sayısı elde edilir:. Bu durum, G i Hasse şemasıda, Şekil 5. deki gibi gösterilebilir. Bu şemada, maksimal zicirleri daha et görülmesi açısıda kesişimler gösterilmemiştir. Ayrıca, e soldaki gruları alt gruları açıkça gösterilmiş, ayı hizadakileri (ayı yatay sıradaki grular) alt gru sayıları ayı olacağıda, yalızca bir grubu alt gruları gösterilmiş, diğerlerii göstermeye gerek görülmemiştir. Bu açıklamalarda sora, Şekil 5. de, tüm maksimal zicirleri sayısı, k k 3 k i+ k = k i i= olarak belirleir. Burada k = içi, maksimal zicirleri sayısı i+ i= i dir. Kolaylık olması bakımıda, boyutlu alt grular grulara ayrılmıştır. Dolayısıyla alt gru şemasıı e altıdaki adet maksimal zicir, tek zicir olarak düşüülecektir. Dolayısıyla maksimal zicirleri sayısıa e alttakiler dahil edilmemiştir, yai maksimal zicirleri sayısı i+ i= i olarak alımıştır. Öerme 5.6 da, + uzuluğuda bir maksimal ziciri bulaık alt grularıı + adet deklik sııfı olduğu biliiyor. Fakat bir grubu alt gru şemasıda alıa 8
iki maksimal zicirde elde edile bulaık alt gruları sayısı, + sayısıı iki katı değildir. Çükü iki zicirde elde edile bulaık alt grularda, taımlaa dekliğe göre, dek ola bulaık alt grular vardır. Öreği [3] çalışmasıda taımlaa ve bu tezde kullaıla dekliğe göre, herhagi iki zicir karşılaştırıldığıda e azıda 3 adet dek bulaık alt gru vardır. Bular:, 00., λλ λ bulaık alt grularıdır. Şekil 5. de, C ( k, ) = k şeklidedir. Şekil 5. Bir G grubuu Hasse şeması 5.3. Grubuu Bulaık Alt Grularıı Sayısı Teorem 5. grubuu ayrık bulaık alt grularıı sayısı, ( ) ( ) (, = + + + ) + ( ) F A A 9
sayısıdır. Burada, i+ A =, A = A i= i şeklidedir. Teorem 5. yi isat etmede öce, gerekli bazı öermeler verilecektir. Öerme 5.3 G α ve G β, G grubuu t boyutlu iki alt grubu olsu. G α ve G β grularıı, t farklıdır. boyutlu e fazla bir tek ortak alt grubu vardır, diğerleri birbiride İsat: G α ve G β grularıı birer bazları sırasıyla T G α ad T G β olsu. T T * T = \{ 0} ve G G \{ 0} T * Gα Gα β = olmak üzere, eğer β T G G * T * α β = ise G α ve G β grularıı mertebesi t ola alt gruları karşılaştırıldığıda, hiç biri ayı değildir. Bu edele, G α ve G β ı alt grularıı kesişimi boştur yai hiçbir alt gruları ortak değildir. Öte yada e fazla t adet baz elemaı ortak olabileceğide, öreği, i i (,,, t ) g = g i = olsu. (Çükü, t adet baz elemaı ile G α ve G β gruları elde α β edilir.) Daha sora, G α ı, boyutu t ola boyutu t ola G β ve G α ve G β alt gruları düşüülmektedir. grularıı elemaları, T G α ve T G β gruları ile işa edilecektir: G α alt grularıı ve G β ı T G α ve i T G β ( i=,) i T G α gα g β gα g β T =, Gβ = gα g t β t gα g t βt olmak üzere, 30
g g g g α α β β gα gα gβ gβ G α =, G, G, G α = β = β = g g g g T T T T α( t ) α( t ) β( t ) β( t ) g g g g α( t ) α( t ) β( t ) β ( t ) şeklidedir. Şimdi = olduğu düşüülü G α ve G β grularıı t T T Gα G β mertebeli başka ortak alt grubu olmadığı gösterilecektir. Öte yada, fazla T G α ad T G β (,) t elemaı ayı olabilir. Yai, g = g ( i =,,, t ) α β i i i= grularıı e dir. (Ayrıca, T G α ve i T G β alt grularıı elemalarıı sırasıyla T G α ve T G β gruları ile üretildiği biliiyor.) i Eğer g g ( i,, j,,, t ) α ij = = = ise, bu durumda G = G olur ki bu doğru değildir. β ij Burada, G α ve G β grularıı boyutu t ola bir tek ortak alt gruları olduğu soucu elde edilir. Öerme 5.4 boyutlu N( t, ) grubuu t boyutlu bir alt grubu verildiğide, bu alt gru adet grubuu alt grubudur. Burada, t+ t t t N( t, ) = t şeklidedir. α β i t İsat: grubuu Hasse şemasıı düşüüldüğüde, t+ boyutlu her bir alt grubu altıda t boyutlu t+ t adet ve t boyutlu her bir alt grubu altıda t boyutlu t t adet alt gru vardır. ( t+ boyutlu grubu t+ t adet t boyutlu alt grubu ve 3
t boyutlu grubu t t adet t boyutlu alt grubu vardır.) Ayrıca, grubuu t boyutlu alt grularıı sayısı t dir. t+ t ile t t sayıları çarılarak, t+ boyutlu alt grular ile t boyutlu alt grular arasıdaki maksimal zicir sayısı buluur. Bu çarımı t sayısı ile bölerek istee elde edilir. Öerme 5.5 grubuu alt grularıı bir maksimal ziciri kedide öceki maksimal zicirlerle karşılaştırıldığıda, alt gruları zicirlerdeki dizilimi düşüüldüğüde, ayı yerde farklılık gösteriyorsa, bu ilk ziciri kedide öceki zicirlerde yalız biriyle karşılaştırmak yeterlidir. Bu maksimal zicirde bulaık alt gru elde edilir. İsat: G= grubuu iki maksimal ziciri ele alısı: G = G G G G G G G = G (5.) α α α α α α α 0 0 3 G = G G G G G G G = G (5.) α α β α α α α 0 0 3 (5.) ve (5.) maksimal zicirleri karşılaştırıldığıda, zicir sıralamasıda solda üçücü alt gruları farklı olduğu görülür: G α ve G β. Dolayısıyla bu iki zicirdeki bulaık alt gruları bazıları dek olacaktır. (5.) ve (5.) maksimal zicirlerie karşılık gele bulaık alt grular aşağıdaki şekildedir: µ ( x), x Gα 0 λ, x Gα \ G α0 λ, x Gα \ G α = λ3, x Gα \ G 3 α λ, x Gα \ G, α ν ( x), x Gα 0 λ, x Gα \ G α0 λ, x Gβ \ G α = λ3, x Gα \ G 3 β λ, x Gα \ G. α Deklik içi µ ve ν bulaık alt grularıı yukarıdaki yazılışıda sağ kısımları ayı olması gerekir. G, G α β alt grularıda dolayı sağ kısımlar farklıdır. Bu edele eğer 3
λ = λ3 ve λ = λ 3 alıırsa, (5.) ve (5.) maksimal zicirlerii mukayese ile elde edile dek bulaık alt grular elde edilir. Bu durumda, µ ( x), x Gα 0 λ, x Gα \ G λ, x Gα \ G = λ3 = λ, x Gα \ G λ, x Gα \ G α 0 α α 3 α ve ν( x), x Gα 0 λ, x Gα \ G λ, x Gβ \ G = λ3 = λ, x Gα \ G λ, x Gα \ G α 0 α β 3 α dektir. Çükü so durumda aşağıdaki gibi görüürler:, x Gα 0 λ, x Gα \ G µ ( x) = λ = λ, x Gα \ G λ, x Gα \ G α 0 α 3 α ve ν( x), x Gα 0 λ, x Gα \ G α0 = λ = λ3, x Gα \ G α λ, x Gα \ G. α (5.3) (5.3) deki gösterimler bir zicire ait olduğuda ve (5.) ile (5.) de icelee zicirler ( + ) zicir olduğuda, (5.3) deki gösterimler gerçekte doğru değildir. Bu gösterimler sadece maksimal zicirlerdeki bulaık alt gruları saymak içi kullaılacaktır. (5.3) de, bulaık alt gru elde edilir. Yai, (5.) ve (5.) zicirleride dek bulaık alt gru elde edilir. Bir maksimal zicir düşüüldüğüde, diğer zicirlerle deklik düşüülmeksizi, Öerme 5.6 da, + bulaık alt gru elde edilir. Verile bir grubu ayrık bulaık alt grularıı bulmak içi, bu sayıda dek bulaık alt gruları sayısıı çıkarılması gerekir. Bu edele, bu zicirlerde elde edile ayrık bulaık alt gruları sayısı ( ) ( ) + = dir. Öte yada, herhagi bir maksimal zicir kedide öceki maksimal zicirlerle karşılaştırıldığıda, eğer bu maksimal zicir kedide öceki maksimal zicirlerde her biri ile ayı yerde bir tek farklı alt gruba sahi ise, bu ilk verile maksimal ziciri kedide öcekilerde yalızca biriyle karşılaştırmak yeterlidir. Çükü biriyle karşılaştırıldığıda elde edile dek bulaık alt grular ile diğer 33
her biri ile karşılaştırıldığıda elde edile dek alt grular birbirie dektir. Sayısı da dir. Öerme 5.6 (Herhagi bir maksimal ziciri diğer iki maksimal zicir ile karşılaştırılması) Herhagi bir maksimal zicir, alt gru dizilimide, diğer iki maksimal zicirle farklı yerlerde bir farklı alt gruba sahise, bu durumda o maksimal zicirde bulaık alt gru elde edilir. İsat: grubuu herhagi üç maksimal ziciri aşağıdaki gibi verilsi:.. 3. = 0 α, 0 α G G G G α α = 3 α α α G G G G G = 0 α, 0 α G G G G β α = 3 α α α G G G G G = 0 α. 0 α G G G G α β = 3 α α α G G G G G Bu maksimal zicirleri dizilimi, Hasse şemasıda, solda sağa doğru ilk üç maksimal zicir olsu.. zicirdeki bulaık alt gruları sayısı aşağıdaki şekilde buluur.. maksimal zicir. maksimal zicir ile karşılaştırıldığıda, dek bulaık alt gru elde edilir (Öerme 5.5).. zicir bu kez 3. zicir ile karşılaştırıldığıda, bezer şekilde adet dek bulaık alt gru elde edilir. Bu dek bulaık alt gruları tamamı ( ) ( ) + eder. Acak. zicir ayrı iki zicir ile karşılaştırıldığıda elde edile dek bulaık alt grular arasıda da dek bulaık alt grular olabileceğide, bu tolam tüm dekleri sayısıda daha büyük bir sayı verir. ( ) ( ) Dolayısıyla + sayısıda dekleri sayısıı çıkarılması gerekir. Başa döülürse,. maksimal zicir. maksimal zicir ile karşılaştırıldığıda λλ λλλ 3 4 λ tiideki bulaık alt grular; 3. ile karşılaştırıldığıda ise λλ λλλ 3 3 4 λ tiideki bulaık alt grular dektir (burada farklı üyelik (i) değerlerii göstermektedir). Bu so iki durumda da ( λλ λλλ 3 4 λ ve λλ λλλ 3 3 4 λ ) λλ λλλ3 λ bulaık alt gruları sayılmış oldu (3., 4. ve 5. i değerleri ayı). Yai, λλ λλλ3 λ şeklideki bulaık alt grular iki kere sayılmış olur. λλ λλλ 3 4 λ ve λλ λλλ 3 3 4 λ tiideki 34