EÜ ÜHENİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve ÜHENİSLİK EGİSİ Cilt: Saı: s. 67-74 aıs 000 ÖZET/ABSTACT ÜNFEİT KUVVETLEE AUZ PLAKLAA KALINLIK TAYİNİ (A PACTICAL ETHO OF ETEINING THICKNESS OF PLATES SUBJECTE TO INIVIUAL EN FOCES) Emin GÜLLÜ*, Yaşar PALA* Bu çalışmada, dört ucundan ve orta noktasından kuvvetlere maruz bırakılan bir plak alinde kalınlık esabına dair analitik bir formül geliştirilmektedir. etod, federli plak alini de itiva edecek şekilde genişletilmektedir. Sonuçlar sadece pres gövdelerinin kalınlık taini için değil, fakat anı zamanda daa geniş bir kullanım alanı için de geçerlidir. In tis stud, an analtical formula is developed for a plate subjected to four forces at its corners and a force at its middle point. Tis formula is etended so as to include te case of corrugated plates. Te results are valid not onl for te tickness determination of presses, but also for a ider range of application. ANAHTA KELIELE/KEY WOS ünferit kuvvet, Feder, Plak, Kalınlık Force, Colon, Plate, Tickness * Uludağ Üniversitesi, ü-im. Fakültesi, akine Bölümü, Görükle, 6059, BUSA
Safa No: 68 E. GÜLLÜ, Y. PALA. GİİŞ Çeşitli kuvvet ve momentlere maruz plakların mukavemet önünden davranışlarının incelenmesi üzerine çok saıda çalışma mevcuttur. Bilassa moment etkisile basit eğilmee zorlanan plakların erdeğiştirme ve iç gerilme dağılımı ile ilgili etkin formüller geliştirilmiştir. Timosenko ve Goodier, 954). Bununla beraber, dikdörtgen şekilli bir plağın, mesela bir presin koç tablası alinde olduğu gibi, uçlarından kuvvetlere maruz bırakılması durumunda iç gerilme ve daa da önemlisi pratik açıdan eemnieti olan kalınlık esabına dair teorik bir formül mevcut değildir. Bu konudaki çalışmaların çoğu da esaplamalı teknikler (computational tecniques) üzerine kuruludur. Bu makale pratikte kullanılabilecek böle bir formülün geliştirilmesi amacına önekliktir. İlave olarak, pratikte kullanılan plaklarda eğilmee karşı mukavemetin artırılması maksadıla tek taraflı feder kulanıldığı bilindiğinden çıkarılan formülün daa geniş bir aralıkta kullanımını sağlaacak ek esaplamalar da apılmaktadır.. ÖN BİLGİ: PLAKLAIN BASİT EĞİLESİ Sadece tek eksende momenti ile eğilmee zorlanan bir plak alinde oluşan gerilme dağılımının basit kirişlerin eğilmesindeki dağılımın anı olduğu düşünülebilir. Bu alde oluşan gerilme σ E z / ile verilir. Eğrilik arıçapının / / E I / E şeklinde olduğu atırlanarak σ z () bulunur. ekseni etrafında bir momenti ugulanmış olsa idi, o taktirde σ z () bulunurdu. Şimdi Şekil de gösterildiği gibi, er iki momentin birlikte ugulandığını kabul edip süperpozison prensibini kullanarak ( ) E ( ) E () elde ederiz (Timosenko ve Goodier, 954). Bu formüllerdeki / ve /, sırasıla z ve z koordinat düzlemine paralel düzlemlerdeki eğrilikler olup, poisson oranıdır. enklem den ve çekilerek E + ( ) (4)
Fen ve üendislik ergisi Cilt : Saı : Safa No: 69 Şekil. Plağın çift eksende eğilmesi E + ( ) (5) bulunur (Timosenko ve Goodier, 954). Küçük çökmeler alinde, (6) aklaşımı kullanılarak + + (7) elde edilir. Burada E /(- ) dir. iğer andan, σ ve σ gerilmelerinin σ Ez + + (8) σ Ez + + şeklinde olduğu kolalıkla gösterilir (Timosenko ve Goodier, 954). enklem 7 den ( ) ( ) + + (9) azılabilir. Bu ise Poisson kısmi diferansiel denklemidir. Verilen ve için enklem 9 un çözümünden çökme miktarı bulunduktan sonra enklem 8 den gerilmeler elde edilir. Şimdi, plakta ekseni ile α açısı apan bir doğrultudaki gerilmeleri gözönüne alalım. Şekil dikkate alınarak statik denge şartlarından
Safa No: 70 E. GÜLLÜ, Y. PALA σ σ cos α + σ sin α (0) bulunur. n Şekil.Plağın erangi bir kesitindeki gerilme ali Bileşik ükleme ali için maksimum kama ipotezini kullanacağız. Bu ipoteze göre akma, τ nt nin azami değeri τ ak değerine eriştiğinde medana gelir. enklem 0 dan τ mak için ( ) τ mak σ σ () azıp, σ ve σ in enklem ve deki ifadelerine müracaat ederek ( ) τ mak () buluruz. enklem de σ ve σ nin maksimum değerleri kullanılmıştır.. UÇLAINAN ÖT KUVVETE AUZ PLAK HALI (a b) Şekil deki gibi uçlarından dört F ( F F A F B F C F ) kuvvetinin etkisine maruz bir plak gözönüne alalım. 4 F F olacak şekilde plak ortasından F kuvveti etkimektedir. Bu aldeki ükleme alinin Şekil deki gibi moment ükleme alinden oldukça farklı olduğu açıktır. Bu durumda enklem kriterinin doğrudan kullanılma imkanı oktur. Ancak bu kuvvetlerin, mesela A ve B noktalarına ugulanan kuvvetlerin erangi bir N kesitinde oluşturduğu momenti gözönüne alacak. olursak, N bounca olan bu moment dağılımının AB kesitinden uzaklaştıkça daa da omojenleşeceğini ve kiriş ortasında seçilen en büük momente maruz küçüklükteki A B C elemanının A B kenarında emen emen düzgün dağılıma dönüşeceğini söleebiliriz. iğer andan plağın orta noktası büük zorlamaa maruz kaldığından bu nokta gözönüne alınarak kalınlık taini apılması gerektiği de açıktır.
Fen ve üendislik ergisi Cilt : Saı : Safa No: 7 Şekil. ikdörtgen plak ali(a b) A ve B noktalarına etki eden F şiddetli kuvvetlerin orta noktada medana getirdikleri momentler (F/) (b/) olup, burada A B kenarına etki eden birim uzunluk başına düşen moment şiddeti için Fb () 4 a elde edilir. Anı şekilde B ve C noktalarını etkileen kuvvetlerin B C kesitinde medana getirdikleri birim uzunluk başına moment için Fa (4) 4 b azabiliriz. A B C elemanının ükleme ali bu alile Şekil deki ükleme aline benzemektedir. O alde, enklem i şimdi kullanabiliriz. enklem ve 4 ü enklem de erine koarak ( ) Fb a τ mak (5) 4ab elde ederiz. Yapının emniet katsaısı s olmak üzere, τ mak τ ak / s ( 057.... 06. ) σ ak / s olduğu kabulü altında enklem 5 ten ( ) Fb a s 406 (. ) σ ( ab) ak (6) elde ederiz. enklem 6 nın kullanımına bir örnek olması bakımından F.45.0 6 N, a.b..m, s.5, σ ak 40 N/mm (St 7 çeliği) alalım. Bu alde 70.4 mm elde ederiz. F kuvveti Şekil deki gibi ugulanmaktadır. Bu değer pratikte alınan kalınlığa oldukça akın bir değerdir.
Safa No: 7 E. GÜLLÜ, Y. PALA 4. FEELİ TABLA (PLAK) HALI Tablanın eğilme rijitliğini artırmak maksadıla pratik ugulamalarda çoğu kez feder kullanılır (Şekil 4). Federin sadece önünde atıldığını kabul ederek bu al için kalınlık esabı apacağız. n adet feder kullanıldığını düşünelim. Bu taktirde federlerin aldığı momentler ile tablaa gelen moment toplamı, ugulanan toplam momentine eşit olmalıdır. Şekil 4. Federli plak ali nk + p (7) ekseni etrafında eğilme alinde er bir federe düşen k momenti EI k k (8) eğrilik arıçapına, bloğa gelen p momenti de p (9) EI p eğrilik arıçapına sebep olacaktır. Burada I k ve I p sırasıla feder ve plağın eksenine göre olan birim uzunluk başına elemsizlik momentleridir. Bu iki değer birbirine eşit olduğundan k Ik p (0) I p elde ederiz. enklem 0 i enklem 7 de kullanarak Ik p Ip + Ik ( n+ ) buluruz. Şimdi plak için maksimum kama ipotezini kullanarak ()
Fen ve üendislik ergisi Cilt : Saı : Safa No: 7 τ mak ( ) τ ak p s s Fa I p Fa τ ( ) ak an+ ( Ip + Ik ) b 4 4 a da, I p ve I k in değerleri azılıp çekilerek () sf b 4τ akab d c + a a () bulunur. Bu ifadede c d 0 konulmak suretile enklem 6 deral elde edilir. kalınlığının değişimi dikdörtgen plak alinde Şekil 4 de ve federli plak alinde ise Şekil 5 de verilmiştir. 4 F τ ak 00 90 80 70 60 50 40 0 0 0 0 0 0. 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ba Şekil 4. kalınlığının b/a oranı ile değişimi
Safa No: 74 E. GÜLLÜ, Y. PALA 4 τ Fs ak 8 0. 6 4 0-0 5 a b 0 5 0 0 5 c 0 Şekil 5. Federli alde kalınlığının değişimi 5 0 5. AAŞTIA SONUÇLAI VE TATIŞA Bu çalışmada, dört ucundan kuvvete maruz bir plağın kalınlık esabı için formüller geliştirilmiştir. Geliştirilen enklem 6 pratikte de kullanılmaa başlanmıştır. Ancak, bunun da bir geçerlilik sınırı vardır. Bu sebeple, enklem geliştirilmiştir. enklem ün daa ii sonuç vereceği muakkaktır. iğer andan, zorunlu olarak çift taraflı feder kullanımı alinde enklem e benzer bir formülün burada takip olunan öntemle geliştirilmesi mümkündür. Bunun sebebi, maksimum kama ipotezinin kullanılıor olmasıdır. Böle bir durumda maksimum normal gerilme ipotezi kullanılmalıdır. Buna göre mesela, σ in en büük gerilme değeri olduğu kabul edilerek enklem den σ aks E bulunur. b/a nın ve 0 civarlarında bulunduğu allerde enklem 6 anlış sonuçlar verebileceğinden bu bölgelerde maksimum kama ipotezine göre esap apılmalıdır. Ancak, pratikte bu iki ale çok rastlanmadığından enklem 6 nın geniş bir kullanım alanına saip olduğunu söleebiliriz. Burada s emniet katsaısıdır. enklem 6 nın aksine enklem kare kesitler alinde de kullanılabilir. Ancak, ine de küçük c değeri için kare kesit alinde maksimum normal gerilme ipotezinin kullanılması daa sağlıklı olabilir. KAYNAKLA Timosenko S., Goodier J.N., (954): Teor of Elasticit, cgra Hill Compan, s.:58-66. Xu, Zilun, (99): Applied Elasticit, Wile Eastern Limited, s: 57-86.