6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

Sıralı n-li Tanım: n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir. Örnek: : Sıralı ikili : Sıralı üçlü : Sıralı n-li: a1 a1, a2 a1, a2, a3 a1, a2, a3,..., an

GEOMETRİK GÖSTERİM Elimizde vektör uzayları olduğunu düşünelim. Geometrik olarak nasıl göründüğüne bakalım. V v1 1 v1 v2 V v1, v2 0 v1 2

GEOMETRİK GÖSTERİM v3 V v1, v2, v3 0 v1 v2 V v1, v2, v3,..., vn Şekli yok n 3

n-boyutlu (ÖKLİT) UZAYI Tanım: Eğer n pozitif bir tam sayı ise sıralı n-sayı, gerçel sayılar kümesindeki n adet sayının (a1, a2,, an) bir dizisidir. Tüm sıralı n-sayılarının kümesi n-boyutlu uzay olarak adlandırılır n ve ile gösterilir. n a1, a2, a3..., an : 1 i n, ai

VEKTÖR UZAYI n Tanım: V boş olmayan bir küme ve n-boyutlu uzay (cisim) olsun. Aşağıdaki önermeler doğru ise V n kümesi uzayı üstünde bir vektör uzayıdır.

VEKTÖR UZAYI 1. V kümesinde + ile gösterilen ve adına toplama denilen bir işlem tanımlanmıştır. Bu işlemin aşağıdaki özellikleri vardır. a. Her u,v V için u+v tanımlıdır ve u+v V. V kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. b. Her u,v,w V için (u+v)+w=u+(v+w) V kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. c. 0 V ve her u V için u+0=0+u V kümesinde toplama işleminin birim elemanı vardır 0 ile gösterilir. d. her u V için V kümesinde u ile gösterilen ve u+(-u)=0 ve (-u)+u=0 eşitliklerini sağlayan bir u elemanı vardır ve V kümesinde toplamaya göre ters elemanı temsil eder. e. Her u,v V için u+v=v+u özelliği vardır. V kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

VEKTÖR UZAYI V V, (a,u) au biçiminde, adına skalerle çarpma işlemi denilen bir fonksiyon tanımlanmıştır ve bu fonksiyon için aşağıdaki önermeleri doğrular: a. Her a ve her u,v V için a(u+v)=au+av. b. Her a, b ve her u V için (a+b)u=au+bu. c. Her a, b ve her u V için (ab)u=a(bu). d. nin çarpmaya göre birim elemanı 1 olduğuna göre V nin her elemanı için 1u=u.

VEKTÖR UZAYI Not: Verilen tanımda 1a-1d önermeleri (V,+) ikilisinin bir grup olduğunu gösterir. 1e önermesi ise (V,+) grubunun değişmeli grup olduğunu gösterir. Tanım: Bir vektör uzayının her bir elemanına vektör denir.

Teorem: Toplamada etkisiz eleman ve toplamaya göre ters v, n uzayında bir vektör ve c ise bir skaler olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler geçerlidir. 1. Toplamada etkisiz eleman tektir. Başka bir deyişle eğer, v u v ise u 0 dır. 2. v nin toplamaya göre tersi tektir. Başka bir deyişle eğer, v u 0 ise u v dir. 3. 0v 0 4. c0 0 5. Eğer cv 0 ise, c 0 ya da v 0 dır. 6. v v

Teorem: Skalerle Çarpımın Özellikleri v vektörü V vektör uzayının herhangi bir elemanı ve c ise bir skaler olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler geçerlidir: 1. 0v 0 2. c0 0 3. Eğer cv 0 ise ya c 0 ya da v 0 dır. 4. 1 v v

VEKTÖR UZAYI İki vektör birbirleriyle çarpılabilir fakat bölünemez. İç çarpım ve vektörel çarpım, çarpılan vektörlerin tanımlı olduğu vektör uzayında yer almaz.

ALT VEKTÖR UZAYI Tanım: V vektör uzayının boş olmayan bir altkümesi olan W, V de tanımlı toplama ve skalerle çarpma operatörleri altında bir vektör uzayı olduğunda V nin alt uzayı olur. 1) 0 W 2) v1, v 2 W ve v1 v 2 W 3) c, v1 W cv1 W

VEKTÖRLERİN DOĞRUSAL KOMBİNASYONU Tanım: V kümesi, n uzayı üstünde bir vektör uzayı ve S kümesi, S v1, v 2,..., v n ise, V nin boş olmayan sonlu n uzayından (cisminden) bir alt kümesi olsun. herhangi c1, c2,, cn elemanları alınarak elde edilen, w c1v1 c2 v 2 cn v n vektörüne v1, v 2,, v n vektörlerinin doğrusal kombinasyonu denir. Bkz. Soru 1

Örnek: te tanımlı vektörler x 1, 2, 2, u 0,1,4, 3 v 1,1,2 ve w 3,1,2 olsun. Aşağıdaki eşitliği sağlayan a, b ve c skalerlerini bulunuz. x au bv cw Çözüm: 1, 2, 2 x a 0,1,4 b 1,1,2 c 3,1,2 u b 3c, a b c,4a 2b 2c v w

Elde edilen eşitliğe denk olarak aşağıdaki lineer denklem sistemi yazılabilir: b 3c 1 a b c -2 4a 2b 2c 2 Bu denklem sistemi a, b ve c için çözüldüğünde elde edilen sonuçlar: a 1, b 2 ve c 1 dir. Elde edilen bu sonuçlara göre, x u 2v w

TÜRETEN (BAZ) VEKTÖRLER Tanım: V vektör uzayının her v vektörü, yine bu uzayın v1, v 2,, v n gibi n tane vektörünün doğrusal kombinasyonu olarak; v c1v1 c2 v 2 cn v n ci vi şeklinde ifade edilebiliyorsa, bu vektörler kümesine, v1, v 2,, v n vektörleri tarafından türetilmiş (gerilmiş) bir vektör uzayı denir. v1, v 2,, v n vektörlerine uzayın türeten (gergi) vektörleri ya da baz vektörler denir.

TÜRETİLMİŞ UZAY Tanım: S v1, v 2,, v n baz vektörler kümesi ile türetilmiş bir W doğrusal uzayı, lin S ya da lin v1, v 2,, v n ile gösterilir. Bkz. Soru 2

TÜRETİLMİŞ UZAY Teorem: α1, α 2,, α n ve β1, β2,, βk kümeleri bir V vektör uzayının alt kümeleri olsun. 1 j n olacak şekilde her j doğal sayısı için α j vektörü, kümesinin bir doğrusal β1, β2,, βk kombinasyonu, α j c1 j β1 c2 j β 2 ise lin α1, α 2, k ckj β k cij β j, α n lin β1, β2, i 1, βk

EN KÜÇÜK ALT UZAY Teorem: v1, v 2,, v n, V vektör uzayındaki vektörler olsun. a. v1, v 2,, v n vektörlerinin tüm doğrusal kombinasyonlarının oluşturduğu W kümesi V vektör uzayının bir alt kümesidir. b.eğer v1, v 2,, v n vektörlerini içeren V vektör uzayının en küçük alt uzayı W ise v1, v 2,, v n vektörlerini içeren V vektör uzayının tüm diğer alt uzayları W kümesini içerir.

DOĞRUSAL (Linear) BAĞIMSIZLIK Tanım: Eğer S v1, v 2,, v n boş olmayan bir vektörler kümesi ise, c1v1 c2 v 2 cn v n 0 vektör denkleminin, c1 c2 cn 0 ile tanımlanan en az bir çözümü vardır. Tek çözüm bu sıfır çözümü ise vektörler doğrusal bağımsızdırlar. En az bir ci 0 olacak şekilde çözüm var ise vektörler doğrusal bağımlıdır. Bkz. Soru 3

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Teorem: m uzayında, v1 v11, v21, v m v1m, v2 m, v1,, vm1, v 2 v12, v22,, vm 2,,, vmm vektörleri verilmiş olsun., v m vektör kümesinin doğrusal bağımsız olması için, v11 v12 v1m v21 v22 v2 m 0 vm1 vm 2 vmm olması gerekli ve yeterlidir. Bkz. Soru 3

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Teorem: İki ya da daha fazla vektör içeren bir S kümesi, a. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerden en az biri bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak ifade edilebiliyor ise doğrusal bağımlıdır. b. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerin hiç biri bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak ifade edilemiyor ise doğrusal bağımsızdır.

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Teorem: uzayında, v1,, v n vektörleri verilsin. m<n ise v1,, v n kümesi doğrusal bağımlıdır. m

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN GEOMETRİK YORUMU 2 ya da 3 boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine yerleştirilmiş iki vektör ancak ve ancak, aynı doğru üzerinde yer almıyor ise bağımsızdırlar. Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımsız

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN GEOMETRİK YORUMU 3 boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine yerleştirilmiş üç vektör ancak ve ancak, aynı düzlem üzerinde yer almıyor ise bağımsızdırlar. Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımsız

BAZ: TABAN Tanım:Eğer V her hangi bir vektör uzayı ise ve S v1, v 2,, v n, V vektör uzayındaki bir vektörler kümesi ise, aşağıdaki iki şartı sağlaması durumunda S kümesi baz olarak adlandırılır. a. S kümesi doğrusal bağımsızdır. b.s kümesi V vektör uzayını türetir.

Bazlar dörde ayrılır: BAZ: TABAN 1) Standart Bazlar Bu bazlar birbirlerine dik ve 1 birim uzunluktadır. Eksenlerde yer almaktadırlar. 2) Ortagonal Bazlar Bu bazlar birbirlerine diktirler ama uzunlukları 1 birim olmak zorunda değillerdir. 3) Ortanormal Bazlar Birbirlerine dik ve 1 birim uzunluktadırlar. Eksenlerde 1 birim olma zorunlulukları yoktur. 4) Ordinary Bazlar Bu türden bazlar eksenlerde olmak zorunda değillerdir ayrıca diklik be birim olma özellliği göstermeyebilirler ama baz yapısındadırlar.

e2 q1 e1 q2

STANDART BAZ Bir n uzayındaki birim vektörler e1 1,0,,0, e2 0,1,,0,, en 0,0,,1 ise bu vektörlerin oluşturduğu küme, S e1, e2,, en n uzayında doğrusal bağımsız bir kümedir. n uzayındaki her hangi bir v v1, v2,, vn vektörü v v1e1 v2e2 vnen şeklinde yazılabileceği için S kümesi aynı zamanda n vektör uzayını türetir. Tanım: S e1, e2,, en kümesi n vektör uzayı için bir bazdır ve standart baz olarak adlandırılır:

STANDART BAZ Matematikte bir problem ilk kez oluşturulduğunda en çok bilinen ve kullanılan standart koordinatlardır. Örneğin problem 3 uzayında tanımlanmış ise x, y ve z ile tanımlanan kartezyen koordinatlar kullanılır. Bu koordinat sisteminde tanımlı standart baz, x 1 0 0 y x 0 y 1 z 0 xe1 ye 2 ze 3 z 0 0 1 eşitlikleri ile verilebilir. S e1, e 2, e 3 kümesi 3 için standart baz vektörlerdir.

STANDART BAZ n uzayında tanımlı standart baz S e1,..., e n vektörlerin önemli iki özelliği: Standart baz vektörler birim uzunluğa sahiptir. ei ei.ei eit ei 1 Standart baz vektörler çifterli olarak ortogonaldir. ei.e j eit ei 0, i j için

STANDART BAZ Bu iki özellik, 1, i j ei.e j ij 0, i j şeklinde özetlenebilir. Burada ij Kronecker deltadır ve birim matrisin elemanlarını tanımlar.

STANDART BAZ Yukarıdaki eşitliklerden görülebileceği gibi Verilen v ve w gibi iki sütun vektörü için v.w iç çarpımı ile v w matris çarpımı aynı sonucu verir. Burada sonuç bir skalerdir. Bununla birlikte T vw T şeklinde tanımlanan dış çarpım sonucunda bir kare matris elde edilir. Standart baz vektörlerin dış çarpımı ile aşağıdaki ilginç matrisler elde edilir.

STANDART BAZ π1 e1.e T 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 π n e n etn 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

STANDART BAZ π i matrislerinde i-inci köşegen eleman 1 olup, diğer tüm elemanlar sıfırdır. πi πl e e e e T i i T j j eiδ e T ij j olduğundan,

STANDART BAZ π i i j πi π j 0 i j olur. Ayrıca köşegen elemanları 1, 2,..., n olan bir D köşegen matrisi, D 1 π1... n π n şeklinde yazılabilir.

FARKLI BAZ YAPILARI Bazı özel problemler için, problemi basitleştiren farklı bir koordinat sistemi de olabilir. Örneğin; bir gezegenin güneş çevresindeki hareketi ile ilgilenildiğinde güneş, orijin noktasına konularak problemin çözümü kutupsal koordinatlarda gerçekleştirilebilir. Standart bazdan farklı vektörlerin tanımladığı vektör kümesi genellikle, S v1,..., v n şeklinde tanımlanır.

BAZ ve BOYUT Tanım: Sıfırdan farklı bir vektör uzayı V, eğer baz vektörler kümesi v1, v 2,, v n sonlu sayıda vektörü içeriyor ise sonlu boyutlu olarak adlandırılır. Aksi halde sonsuz boyutlu vektör uzayı denir.

BAZ ve BOYUT Teorem: Eğer S v1, v 2,, v n kümesi bir V vektör uzayının bazı ise V vektör uzayındaki n adetten fazla vektör içeren her küme doğrusal bağımlıdır. Teorem: Sonlu boyutlu bir vektör uzayı için her hangi iki baz küme aynı sayıda vektöre sahiptir. Tanım: Sonlu boyutlu bir V vektör uzayının boyutu baz vektör kümesindeki vektör sayısıdır ve dim(v) ile gösterilir

BAZ ve BOYUT Teorem: V boyutu n olan bir vektör uzayı olsun. a. S v1, v 2,, v r kümesi V vektör uzayındaki doğrusal bağımsız vektörlerin oluşturduğu bir küme ise ve eğer r<n ise, S kümesi V vektör uzayının bir bazı olacak şekilde v r 1, v r 2,, v n vektörleri dahil edilerek genişletilebilir. Burada V vektör uzayının baz kümesi; S v1, v 2,, v r, v r 1, v r 2,, v n b. Eğer W, V vektör uzayının bir alt uzayı ise; dim W dim V. Ancak ve ancak W=V ise dim W dim V

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Düzlemsel analitik geometride, düzlemdeki bir P noktasına ait (a,b) koordinatları, birbirine dik iki koordinat ekseni üzerine P noktasının izdüşüm değerlerini belirtir. Her bir koordinat çifti bu düzlemdeki bir ve yalnız bir noktaya karşılık gelir. Koordinat sistemi düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı çiftleri arasında bire bir bir ilişki tanımlar.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Birbirine dik eksenlerden oluşan koordinat sistemi en çok kullanılan sistemdir. Bununla birlikte bu düzlemde birbirine paralel olmayan her hangi iki doğru da bir koordinat sistemi tanımlamak için kullanılabilir.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Amaç; bir koordinat sistemi kavramını vektör uzayları üzerinden genellemektir. Başlangıç aşaması, bu koordinat sistemini oluşturan eksenler yerine vektörlerin kullanılmasına imkan tanıyan bir formülasyon tanımlamaktır. Her bir koordinat ekseni uzunluğu 1 birim olan bir vektör ile değiştirilir. Örneği v1 ve v2 gibi.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ P düzlemdeki bir nokta ise OP vektörü, v1 ve v2 vektörlerinin doğrusal kombinasyonu; OP=av1+bv2 olarak yazılabilir. Vektör formülünde yer alan a ve b sayıları P noktasının bu koordinat sistemindeki koordinat değerleridir.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Tanım: Bir koordinat sistemini belirleyen vektörlere baz vektörler denir. Birim uzunlukta olmaları şart değildir. Bir koordinat sistemi baz vektörler kümesi ile tanımlandığında, baz vektörlerin uzunlukları koordinat eksenleri üzerindeki ardışık tam sayılar arasındaki mesafeyi belirler.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ r r P( r, ) Kutupsal koordinat sistemi

BAZ: TABAN Teorem 6.1: Eğer S v1, v 2,, v n kümesi bir V vektör uzayının bazı ise, V vektör uzayındaki her v vektörü v c1v1 c2 v 2 cn v n olacak şekilde tek bir doğrusal kombinasyonla ifade edilebilir. Bkz. Soru 4 Bkz. Soru 5

BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR Tanım: Eğer S v1, v 2,, v n kümesi bir V vektör uzayının bazı ise ve herhangi bir v vektörü v c1v1 c2 v 2 cn v n ile tanımlanmış ise c1, c2,, cn skalerleri S bazına göre v vektörünün koordinatlarıdır ve v s c1 c 2 c n ile gösterilir. Bkz. Soru 6

BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR Teorem: n uzayında tanımlı bir v vektörünün herhangi bir baza göre koordinatları eşsizdir. İspat: 2 uzayında tanımlı bir v vektörü için iki koordinat kümesinin olduğu varsayılsın: v c1 v1 c2 v 2 v d1 v 1 d 2 v 2

BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR Bu iki ifade birbirinden çıkarılarak, 0 c1 d1 v1 c2 d 2 v 2 v1, v 2 baz vektörleri, doğrusal bağımsız olduğu için c1 d1 0 ve c2 d 2 0 olmalıdır. Sonuç olarak c1 d1 ve c2 d 2 bulunur. Bu sonuç koordinatların eşsiz olduğunu kanıtlar. Elde edilen sonuç için genellenebilir. n

BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR Eğer bir n uzayı için bir baz vektörler kümesi S v1,..., v n tanımlanmış ise, bu vektör uzayındaki bir v vektörünün bu baza göre koordinatları, baz vektörlerin oluşturduğu, A v1,..., v n matrisi ve bilinmeyen koordinat vektörünün c1 vs c n oluşturduğu Av s v doğrusal denklem sistemi çözülerek elde edilir.

BAZ DEĞİŞİMİ Baz değişimi temel olarak vektör koordinatlarının başka bir koordinat sistemine dönüştürülmesidir. Aksi belirtilmediği sürece koordinatları değişecek vektörünün koordinatları standart bazda tanımlanmıştır. Örneğin uzayında standart baz: 2 1 0 S, 0 1 Bu uzaydaki bir v c,c vektörü, 1 2 c, c c 1,0 c 0,1 1 2 1 2 ya da matris gösterimi ile, c c 1 2 0 1 c c 1 0 1 2 v

2 ÖRNEK: R de B v1, v 2 1,0, 1,2 standart olmayan baza göre x in koordinat matrisi; x B 3 2 olsun. Bu durumda B ' u1, u 2 1,0, 0,1 standart bazına göre x in koordinat matrisini elde ediniz.

ÇÖZÜM: x B 3 x 3v1 2v 2 3(1,0) 2(1,2) (5,4) yazılabilir. 2 olduğu için Dahası; (5,4) 5(1,0) 4(0,1) ' Biçiminde yazmak mümkündür. Bu ise B bazına göre x in koordinat matrisidir. x B ' 5 4

Standart Olmayan Bir Baz İçin Koordinatlar Standart olmayan bir B u, u,, u bazına göre bir 1 x x, x,, x 1 2 n vektörünün x c, c,, c vektörü, B x x B 1 2 n B c u c u c u x 1 1 2 n n denklem sisteminin çözümünden, x B B x elde edilir. 1 2 n koordinatlarını tanımlayan

Geçiş Matrisi x x, x,, x Burada 1 2 n vektörü standart baza göre koordinatları tanımladığı için, x x S olduğundan B x x B S şeklinde yazılabilir. Burada B matrisi B bazından S bazına geçişi tanımlayan, geçiş matrisi olarak adlandırılır.

3 x 1, 2, 1 R ÖRNEK: in de ; B' u1, u 2, u 3 1,0,1, 2,3, 5, 0, 1,2 standart olmayan bazına göre koordinat matrisini elde ediniz. ÇÖZÜM: x u1, u 2, u 3 vektörlerinin doğrusal kombinasyonu olarak yazılırsa; x c1u1 c2u 2 c3u 3 1,2, 1 c1 1,0,1 c2 0, 1,2 c3 2,3, 5

Matris notasyonu ile doğrusal denklem sistemi; 2 c1 1 1 0 0 1 3 c 2 2 1 2 5 c3 1 Sistem çözülürse c1 5, c2 8, c3 2 olarak bulunur.yani x x 5 1,0,1 ( 8) 0, 1,2 ( 2) 2,3, 5 olup B bazına göre x in koordinat matrisi; x B ' 5 8 2

BAZ DEĞİŞİMİ Eğer F f1,f 2 matrisinin sütunları 2 uzayı için bir baz tanımlıyorsa, bu uzaydaki bir v vektörü v F.v f şeklinde tanımlanabilir. 2 uzayındaki bir diğer baz g1,g 2 ise aynı v vektörü, bu baz vektörlerin bir doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir. Baz değiştiği için koordinarlar da değişecektir. Yeni koordinat vektörü v g ise, v G.v g şeklinde yazılabilir. Sonuç olarak, v F.v f G.v g eşitliğinin geçerli olduğu görülebilir. 2 uzayı için tanımlanan bu ifadeler, F f1,..., f n baz vektörleri içeren n n boyutlu matris ve v f ise n 1 boyutlu koordinat vektörleri olmak üzere, n uzayı için genellenebilir.

BİR MATRİSİN TANIMLADIĞI UZAYLAR Herhangi bir A matrisi üzerinde, Satır uzayı Sütun uzayı Boş uzay Soldan boş uzay tanımlanabilir.

SATIR SÜTUN UZAYI Tanım: Boyutu m n olan bir A matrisi a1n a11 a12 a a a 22 2n A 21 a a a mn m1 m 2 olsun. A matrisinin satır vektörleri; r1 a11, a12, a1n r2 a21, a22, a2 n rm am1, am 2, amn ve sütun vektörleri: a11 a12 a1n a a a c1 21, c 2 22,, c n 2 n a a m1 m2 amn

SATIR SÜTUN UZAYI Boyutu m n olan bir A matrisi sütun vektörlerine göre, A c1 c2 cn ya da satır vektörlerine göre, r1 r A 2 rm yazılabilir.

SATIR-SÜTUN UZAYI Tanım: Boyutu m n olan bir A matrisi için, 1. A matrisinin satır uzayı, yine A matrisinin satır vektörleri olan r1,..., rm bazının tanımladığı bir uzaydır. 2. A matrisinin sütun uzayı, yine A matrisinin sütun vektörleri olan c1,..., cn bazının tanımladığı bir uzaydır.

SATIR-SÜTUN UZAYI Satır Uzayları. Sütun Uzayları

Bir A matrisimiz olsun 1 0 A 0 1 0 0 7 2 3 0 2 0 5 2

BOŞ UZAY SOL BOŞ UZAY

k m m İse satır, k k n İse sütun n

SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY Doğrusal cebir uygulamalarında, uzayının alt uzayları genellikle şu iki şekilde ortaya çıkar: 1)doğrusal homojen denklem sisteminin çözüm kümesi olarak Ax 0 (boş uzay) ya da 2) verilen vektörler kümesinin tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesi olarak, Ax b [rank(a)] n

SATIR-SÜTUN UZAYI Not: Bir A matrisinin satır uzayı n uzayının bir alt uzayı, sütun uzayı ise m uzayının bir alt uzayıdır. Böylece Boyut(satır uzayı(a)) n ve Boyut(sütun uzayı(a)) m olur. Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü ile matrisler arasında yakın bir ilişki olduğuna göre, bir A matrisinin ve Ax b denklem sisteminin boş uzayı, satır uzayı ve sütun uzayı arasında bir ilişki mevcut mudur?

SATIR UZAYI Bir matris ile bir vektör çarpıldığında sonuç olarak başka bir vektör elde ederiz. Ax=b Çünkü, Amxn xnx1 bmx1 Sonuç olarak elde edilebilecek tüm vektörlerin oluşturduğu kümeye görüntü uzayı (range/column space) denir.

SÜTUN UZAYI Bilinmeyen vektörü x1 x x 2 xn olmak üzere, denklem sistemi Ax x1c1 x2 c 2... xn c n şeklinde yazılabilir. Böylece x1c1 x2 c 2... xn c n b olur. Bu sistemin bir çözümünün olabilmesi için b vektörü, c1, c 2,..., c n kümesinin tanımladığı uzayda yer almalıdır.

SÜTUN UZAYI sütun uzayı (row space) adında AT y c yukarıdakilere benzer biçimde tanımlamak mümkündür.

SÜTUN UZAYI A y c T T A y nxm mx1 cnx1

SATIR-SÜTUN UZAYI Teorem: Ax b denklem sistemi, sadece ve sadece b vektörü A matrisinin sütun uzayında bulunduğunda tutarlıdır.at y=c denklem sistemi, sadece ve sadece c vektörü AT matrisinin satır uzayında bulunduğunda tutarlıdır. Teorem: Bir A matrisi üzerinde yapılan elemanter satır işlemleri satır uzayını değiştirmez. Not: Tüm matrisler eşsiz bir satır-echelon yapıya dönüştürülebilir Not: Bu teorem bir A matrisinin sütun uzayı için geçerli değildir.

BOŞ UZAY Boş uzay (null space) kavramının matematiksel ifadesinden önce birkaç örnek ile bu kavram açıklanmaya çalışılsın. Varsayalım ki A matrisi fiziksel bir sistemi temsil etsin, örneğin bu sistem bir uzay roketi olsun. A matrisi iticilere dayalı yönleri temsil etsin. Peki bu durumda boş uzay ve sütun(kolon) uzayı neyi temsil etmektedir?

BOŞ UZAY Bir yön ile ilgilendiğimizi düşünürsek sütün uzayı bu yön olabilir mi? İticiler yardımıyla her yöne gidebiliyorsak sütun uzayı, iticiler yardımıyla gittiğimiz yönlerin bir kümesidir. Roketin çevresinde sütun uzayına denk 3 adet itici olduğu düşünülsün ve bu iticilerin işlevsel olduğu, herhangi bir yönde harekete imkan verdiği kabul edilsin.

BOŞ UZAY Bu durumda sütun uzayı bütün bu yönler olacaktır. Peki iticilerden biri aniden bozulursa? Böyle bir durumda sadece 2 adet itici kalacaktır. Artık doğrusal sistem değişmiş olacaktır (A matrisi farklılaştığı için) ve sütun uzayı indirgenmiş olacaktır. Peki Boş uzay nedir?

BOŞ UZAY Boş uzay yakıtı tamamıyla boşa harcayan itici talimatlarının kümesidir. Yani bozulan itici nedeniyle artık sadece 2 iticinin belirlediği yönde hareket mümkündür. Sonuç olarak bu iki iticinin götürebileceği yer ve yöne kadar gidilebilmektedir diğer üçüncü itici yönü değiştiremeyecektir.

BOŞ UZAY Örnek 2 : A matrisi bir odada aydınlatılabilen bölgeyi temsil etsin. A nın boş uzayı ampullere güç uygulandığında, odadaki ışıklandırmada hiçbir değişiklik olmamasını temsil eder. Örnek 3 : Bir gözlemciye karşılık n tane konuşmacının farklı yön ve mesafeden konuştuklarını düşünelim. Her bir konuşmacıdan ses için faz, frekans ve genlik katkılarıyla bir denklemler matrisi olsun. Boş uzay tüm mümkün kombinasyonlar içinde toplamda gözlemcinin bulunduğu yerde sesin sıfır olmasıdır. Bunun anlamı, konuşmacılar konuşsalar bile gözlemci bulunduğu duymayacaktır. yerde hiç bir şey

Tanım : BOŞ UZAY En basit anlamda bir matris ile çarpıldığında özel olarak sıfır sonucunu (görüntüsünü) veren (çarpan) vektörlerin oluşturduğu kümeye bu matrisin sıfır uzayı (null space) denir. Ax 0

BOŞ UZAY Boyutu m n olan bir A matrisinin Null(A) ile gösterilen boş uzayı, Ax 0 homojen denklem sisteminin tüm çözümlerinin kümesidir. Küme notasyonunda, Null A x : x n ve Ax 0 A matrisinin boş uzayı ker(a) (çekirdek) olarak adlandırılır.

BOŞ UZAY r1 x1 0 r x 0 2 2... Ax...... rm xn 0 r1 a11, a12, r2 a21, a22,... rm am1, am 2, a1n a2 n amn

BOŞ UZAY-SOL BOŞ UZAY Tanım: Matrisin transpozunu alınıp sağ tarafa atılabilir. Aynı mantıktan hareketle sol sıfır uzay (left null space) A y 0 T

BOŞ UZAY-SOL BOŞ UZAY AT y c1 c 2 a11 a c1 21 am1 a12 a c 2 22 am 2 y1 0 y 0 2..... c n.... yn 0... a1n a cn 2n amn

BOŞ UZAY-SOL BOŞ UZAY Sonuç olarak bir Ax doğrusal denklem sistemi; a1n xn a11 x1 a12 x2 a x a x a x 22 2 2n n Ax 21 1 amn xn am1 x1 am 2 x2 a11 a12 a1n a a a x1 21 x2 22 xn 2 n am1 am 2 amn ya da eşdeğer olarak: Ax x1c1 x2c2 xncn

BOŞ UZAY Not-1: Belirtilen bu küme n uzayının bir alt uzayıdır. Eğer boyutu m n olan bir matris inceleniyorsa, Null(A) uzayının elemanları n uzayında tanımlı vektörlerdir. Not-2: Null(A) uzayının elemanları(hangi vektör uzayına ait oldukları), sadece A matrisinin sütun sayısına bağlıdır..

BOŞ UZAY Not-3: Homojen denklem sistemlerinde daima en az bir sıfır çözüm (0 vektörü) olduğundan, Null A 0 olur. Asıl soru sıfırdan farklı çözümün olup olmadığıdır. Eğer A matrisinin tersi alınabiliyorsa, Null A 0 dır. Bunun anlamı: Eğer A matrisinin tersi alınabiliyorsa, Ax 0 homojen denklem sisteminin sadece sıfır çözümü vardır.

SATIR-SÜTUN UZAYI Örnek: 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 0 R21( 1) İkinci matrisin sütun uzayının tüm ikinci elemanları sıfırken, ilk matris için aynı durum söz konusu değildir.

SATIR-SÜTUN UZAYI Teorem: A ve B satır denk matrisler(birinde uygulanan elemanter satır işlemleriyle diğeri elde edilebiliyorsa) olmak üzere, 1. A matrisinin sütun vektörleri kümesi sadece ve sadece B matrisinde bu vektörlere karşılık gelen sütun vektörleri doğrusal bağımsız ise doğrusal bağımsızdır. 2. A matrisinin sütun vektörleri kümesi sadece ve sadece, B matrisinde bu vektörlere karşılık gelen sütun vektörleri B matrisinin sütun uzayı için bir baz tanımladığı durumda A matrisinin sütun uzayı için bir baz tanımlar.

SATIR-SÜTUN UZAYI Not: Satır-echelon formdaki bir matrisin sıfır olmayan satırları bağımsızdır. Satır-echelon formdaki bir matrisin sıfır olmayan satırları, matrisin satır uzayı için bir baz tanımlar.

SATIR-SÜTUN UZAYI Teorem: Eğer bir A matrisi echelon formda ise, 1. Pivot elemanı 1 olan satır vektörleri A matrisinin satır uzayı için birer baz tanımlar. 2. Pivot elemanı 1 olan sütun vektörleri A matrisinin sütun uzayı için birer baz tanımlar. Sütun uzayı için bulunan vektörler, orijinal matrisin vektörleridir. Bununla birlikte, satır uzayı için yapılan çalışmada bulunan baz vektörler, orijinal matrisin vektörleri değildir.

SATIR-SÜTUN UZAYI Yukarıdaki iki teoremden anlaşılabileceği üzere, bir matrisin satır uzayı araştırılıyor ise ilk işlem, matrisi satır echelon yapıya dönüştürmek ve pivot elemana sahip satırları belirlemektir

SATIR - SÜTUN UZAYI Satır uzayının orijinal matris vektörleri olarak elde edilmesi: a. Orjinal matrisin transpozunu al. Bu işlem orijinal A matrisinin satır uzayını AT matrisinin sütun uzayına dönüştürür. b. AT matrisi için satır echelon matrisi elde et. Bu işlem AT matrisinin sütun uzayı için baz vektörleri bulacaktır. c. Bulunan baz sütun vektörlerinin transpozunu al. Bu işlem A matrisinin satır uzayını orijinal vektörler cinsinden elde eder. Bkz. Soru 11

SATIR-SÜTUN UZAYI Elemanter satır işlemleri sonucunda sütun uzayı aynı kalmadığı için, bir matrisin sütun uzayının belirlenmesi kısmen daha zordur. Bir A matrisinin satır-echelon formdaki yapısı B matrisi olsun. Belirtilen A matrisinin sütunları c1,..., c n, B matrisinin sütunları da c1',..., c 'n vektörleri olsun.

SATIR-SÜTUN UZAYI Bu durumda B matrisinin sütunlarında pivot elemanı 1 olan sütunlara bakılır. A matrisinin sütun uzayında baz oluşturan c i vektörleri, B matrisinin sütunlarında pivot elemanı 1 olan sütunlara karşılık gelen c i' vektörlerinin indisi i değerlerine göre belirlenir.

SATIR-SÜTUN UZAYI Örnek: Echelon formdaki A matrisi ele alınsın. 1 2 0 1 A 0 0 0 0 5 0 3 3 0 0 0 1 0 0 0 0 Buna göre A matrisinin satır ve sütun uzayları için bir baz bulunuz.

SATIR-SÜTUN UZAYI Çözüm: Verilen matris echelon formda olduğu için yukarıdaki teorem doğrudan uygulanabilir. Satır uzayı: 1 lerle başlayan satır vektörleri kümesi bir bazdır. 1 2 5 0 3, 0 1 3 0 0, 0 0 0 1 0 Satır uzayı 3 boyutludur. 1 2 0 0 1 0, Sütun uzayı 3 boyutludur. Sütun uzayı:, 0 0 1 0 0 0 Not: Yukarıdaki örnekte satır ve sütun uzaylarının boyutlarının aynı olması tesadüf değildir. Her zaman satır ve sütun uzaylarının boyutları eşittir.

SATIR -SÜTUN UZAYI Teorem: Eğer bir matris satır echelon yapısında ise satırda ilk 1 (pivot) elemana sahip sütun vektörleri bu matrisin sütun uzayı için bir baz oluşturur. Bkz. Soru 10 Sütun uzayı için bulunan vektörler orijinal matrisin vektörleridir. Bununla birlikte satır uzayı için yapılan çalışmada bulunan baz vektörler orijinal matrisin vektörleri değildir.

BOŞ UZAY Bir uzay için herhangi bir alt uzay (bir matrisin boş uzayı gibi) tanımlamanın en kolay yolu, o uzay için bir baz tanımlamaktır.bir denklem sisteminin çözümünde A b genişletilmiş matrisi üzerine elemanter satır işlemleri uygulanarak çözüm elde edilmekteydi. Bu nedenle elemanter satır işlemlerinin doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini değiştirmediği açıktır.

BOŞ UZAY Not-4: Bir matrisin bazı, elemanter işlemler ile matrisi echelon matrise indirgeyerek belirlenir. Daha sonra Ax 0 için çözüm kümesi bulunmalıdır. Bir matrisin boş uzayı bulunmak istendiğinde, öncelikle bunun için bir baz belirlenmelidir. Öncelikle Null(A) uzayının elemanlarının, n uzayının elemanları olduğu belirlenmelidir.

BOŞ UZAY 1 1 1 1 A 1 2 3 4 4 3 2 1 Örnek: Biçiminde bir A matrisi verilsin bu matrisin boş uzayını bulalım. ÇÖZÜM: x1,x2,x3,x4 bileşenli vektörümüzün boş uzayın elemanı olduğunu söylersek, A matrisini bu vektörle çarptığımızda sıfır vektörünü elde etmemiz gerekir. İşte boş uzayımız bu vektörlerin kümesidir. Özetle Ax 0 durumunu sağlayan x vektörünü aramaktayız.

ÇÖZÜM: x1 1 1 1 1 0 x Ax 1 2 3 4 2 0 x3 4 3 2 1 0 x4 A 3 4 0 3 x 4 N A x Ax 0 4

ÇÖZÜM: x1 x2 x3 x4 0 x1 2 x2 3x3 4 x4 0 4 x1 3x2 2 x3 x4 0 1 1 1 1 : 0 1 2 3 4 : 0 4 3 2 1 : 0 Sistemin genişletilmiş matrisini echelon forma indirgersek 1 0 1 2 : 0 0 1 2 3 : 0 0 0 0 0 : 0 x1 x3 2 x4 0 x2 2 x3 3x4 0

ÇÖZÜM: x1 x3 2 x4 Çözüm vektörünü yazmak istersek; x2 2 x3 3x4 x1 1 2 x 2 3 2 x x 3 4 x3 1 0 x4 0 1 Buna göre çözüm kümemiz x3 ve x4 ün lineer kombinasyonu olarak yazdığımız aşağıdaki iki vektör olacaktır. x3 ve x4 reel sayı olduğu için ve sistem her reel sayı için gerçeklediğinden x3=x4=1 alabiliriz. 1 2 1 0 Yani boş uzayımız; 2 3 0 1

ÇÖZÜM: 1 2 2 3 N A span 1 0 0 1 Yani bu iki vektör Null(A) yı tanımlayan baz vektörlerdir.

BOŞ UZAY Örnek: 3 6 1 1 7 A 1 2 2 3 1 matrisinin 2 4 5 8 4 boş uzayı belirlensin. Bu sistemin genişletilmiş matrisi, 3 6 1 1 7 0 1 2 2 3 1 0 2 4 5 8 4 0 Sistemin ve echelon x1 2r s 3t x2 r çözümü x3 2s 2t x4 s x5 t 1 2 0 1 3 0 yapısı 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0

BOŞ UZAY ya da x1 2 1 3 x 1 0 0 2 x3 r 0 s 2 t 2 şeklinde yazılabilir. x4 0 1 0 x5 0 0 1

BOŞ UZAY 2 1 3 1 0 0 u 0, v 2 ve w 2 0 1 0 0 0 1 olmak üzere, u, v, w kümesi Null(A) uzayını tanımlayan baz vektörlerdir ve Null(A), u, v, w nin bir alt kümesidir.

BOŞ UZAY Belirtilen bu küme doğrusal bağımsızdır ve Null(A) için bir bazdır. Böylece Null(A), 3 boyutludur ve 2 1 3 1 0 0 0, 2, 2 0 1 0 0 0 1 bazıyla 5 uzayının bir alt uzayıdır.

BOŞ UZAY Teorem: Bir A matrisi üzerinde yapılan elemanter satır işlemleri Null(A) uzayını değiştirmez. Tanım: Bir A matrisi için boşluğun boyutu, nullity(a) ile gösterilir ve boş uzayın boyutuna eşittir.

Örnek: BOŞ UZAY Aşağıda verilen bir A matrisi ele alınsın. 3 1 1 A 1 1 1 Buna göre 1,2, 1 vektörü, 1 3 1 1 0 1 1 1 2 0 1 Sağlanıyorsa A matrisinin boş uzayında yer alır.

BOŞ UZAY Aynı şekilde 1,1,1 vektörü, 1 3 1 1 3 0 1 1 1 1 1 0 1 Eştiliğini sağlamadığı için A matrisinin boş uzayında yer almaz.

SATIR-SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY A matrisinin görüntü kümesi, bu fonksiyonun tüm mümkün çıktılarıdır. A matrisinin satır uzayı, boş uzaya her zaman dik olan ve satır vektörlerinin bir baz tanımladığı uzaydır. A matrisinin sütun uzayı,görüntü kümesiyle her zaman aynı olan ve sütun vektörlerinin bir baz tanımladığı uzaydır.

RANK VE BOŞLUK (NULLİTY) Teorem: A herhangi bir matris olmak üzere, A matrisinin satır uzayı ve sütun uzayı aynı boyuta sahiptir. Tanım: Bir A matrisinin satır uzayı ve sütun uzayının boyutu A matrisinin rankı olarak adlandırılır.

RANK VE BOŞLUK (NULLİTY) Tanım: Bir matrisin rankı, satır/sütun uzayının boyutuna eşittir. Teorem: Boyutu m n olan bir A matrisi için, n rank A nullity A

BOŞ UZAY A matrisi ile çarpım

BOŞ UZAY Yukarıdaki şekilde soldaki koyu düzlem boş uzaydır ve bu düzlemdeki herhangi bir noktanın A matrisi ile çarpımı sıfırdır. Sağdaki noktalar ise vektörler A matrisi ile çarpıldığında ortaya çıkabilecek bazı mümkün sonuçları göstermektedir. Yine sağdaki doğru ise sütun uzayına eşit olan görüntü kümesini göstermektedir. Soldaki doğru ise satır uzayını göstermektedir.

BOŞ UZAY Boş uzay x : Ax 0

BOŞ UZAY Görüntü Kümesi Ax : x n

SATIR UZAYI Satır uzayı A matrisinin satırlarını kapsamaktadır

SÜTUN UZAYI Sütun uzayı A matrisinin sütunlarını kapsamaktadır