Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinnd P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hri ACAR İstnbul Teknik Üniveristesi Tel: 85 1 46 / 116 E-mil: crh@itu.edu.tr Web: http://tls.cc.itu.edu.tr/~crh 5. Yılı Kuvvetler: Sentroid ve Ağırlık Merkezi 00 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved.
Giriş Boutlu Cisimin Ağırlık Merkezi Aln ve Eğrilerin Sentroidi ve Birinci Momentleri Belirli Şekil Alnlrının Sentroidi Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi Bileşik Levhlr ve Alnlrı İntegrl ile Sentroidin Belirlenmesi Pppus-Guldinus Teoremleri Kirişlerde Yılı Yükler Üç Boutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi: Hcimin Sentroidi Belirli Şekillerin Sentroidi Üç Boutlu Bileşik Cisimler
Giriş Dün, cisimi oluşturn her prçcığ erçekimi kuvveti ugulr. Bu kuvvetler tek bir bileşke kuvvete dönüştürülebilir. Bu kuvvet cisimin ğırlığıdır ve cisimin ğırlık merkezine etkir. Bir lnın sentroidi bir cisimin ğırlık merkezinin benzeridir. Sentroidin eri lnın birinci momenti kvrmı ile belirlenir. Üç boutlu dönel simetrik cisimlerin üze lnlrının ve hcimlerinin hesplnmsınd Pppus-Guldinus teoremi kullnılır.
İki Boutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi Bir levhnın ğırlık merkezi Bir telin ğırlık merkezi eksenine göre moment M ; W W dw eksenine göre moment M ; W W dw
Bir lnın sentroidi Alnlrın ve Eğrilerin Sentroidi ve Birinci Momentleri Yndn görünüş t: klınlık W γ (At) oğunluk hcim dw γ (tda) W ( γat) ( γt) A dw da da Q eksenine göre birinci W dw ( γat) ( γt) da A da Q moment eksenine göre birinci moment
Bir eğrinin sentroidi Telin kesit lnı W γ (L) oğunluk hcim dw γ (dl) W ( γ L) ( γ ) L dw dl dl W ( γ L) ( γ ) L dw dl dl
Alnlrın ve Eğrilerin Birinci Momenti Bir ln düşünelim ve bu ln için B B ekseni çizilsin. Eğer her P noktsı için bir P noktsı vrs ve B B ekseni P P doğrusunu dik olrk kesip iki eşit prç ırıors bu ln B B eksenine göre simetriktir denir Alnın bu simetri eksenine göre birinci momenti sıfırdır. Eğer bir ln simetri çizgisi içeriors, lnın sentroidi bu eksen üzerindedir. Eğer bir ln iki simetri çizgisi içeriors, lnın sentroidi bu çizgilerin kesişme noktsınddır. Aln içinde seçilen (,) koordintındki da elemnı için (-,-) koordintınd eş lnlı d A elemnı vrs bu ln eksen merkezine göre simetriktir denir. Bir lnın sentroidi ile simetri merkezi nıdır.
Belirli Şekil Alnlrının Sentroidi Şekil Aln Üçgen lnı Çerek dire lnı Yrım dire lnı Çerek elips lnı Yrım elips lnı Yrım prbol lnı Prbol lnı
Prbol prçsı Prbol prçsı (genel) Dire dilimi
Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi Şekil Uzunluk Çerek dire ı Yrım dire ı Dire ı
Bileşik Plklr ve Alnlr Bileşik plklr X Y W W W W Bileşik lnlr X Y A A A A
Örnek 5.1 Çözüm: Alnı üçgen, dikdörtgen, rım dire ve diresel boşluk olmk üzere prçlr ırın. Belirlenen eksenlere göre lnlrın birinci momentlerini hesplın. Şekilde gösterilen düzlemsel lnın ve eksenlerine göre birinci momentlerini hesplınız. Sentroidinin erini bulunuz. Toplm lnı ve üçgen, dikdörtgen ve rım dire elemnlrın birinci momentlerini bulun. Diresel boşluğun lnını toplm lndn ve momentini toplm momentten çıkrın. Birinci momentleri toplm ln bölerek sentroidin koordintlrını hesplınız.
Elemn Dikdörtgen Üçgen Yrım dire Dire Toplm lnı ve üçgen, dikdörtgen ve rım dire elemnlrın birinci momentlerini bulun. Diresel boşluğun lnını toplm lndn ve momentini toplm momentten çıkrın. Q Q + 506. 10 + 757.7 10 mm mm
Birinci momentleri toplm ln bölerek sentroidin koordintlrını hesplınız. X A A + 757.7 10 1.88 10 mm mm X 54.8 mm Y A A + 506. 10 1.88 10 mm mm Y 6.6 mm
İntegrl ile Sentroidin Belirlenmesi A A da da dd dd el el da da da elemnı ince bir dikdörtgen ve şerit olrk kbul edilirse tek integrl ile çözüm pılbilir. A A el da ( d) el da ( d) A A + da el el da [( ) d] [( ) d] A A el el da r 1 cosθ da r 1 sinθ r r dθ dθ
Örnek 5.4 Çözüm: k sbitini belirleiniz. Toplm lnı bulunuz. Düşe ve t şeritleri kullnrk tek integrl ile birinci momentleri bulunuz. Şekildeki prbolic sentroidini direk integrl ile hesplınız. Sentroidin koordintlrını hesplınız.
kktsısının belirlenmesi: 1 1 b or b b k k b k Toplm lnın bulunmsı: 0 0 b b d b d da A
10 5 1 4 4 0 5 4 0 0 4 0 b b d b d da Q b b d b d da Q el el Düşe şerit kullnrk tek integrl ile birinci momentlerinin bulunmsı:
( ) ( ) 10 4 1 0 1 1 1 0 0 b d b d b d da Q b d b d d da Q b el b b el + Yt şerit kullnrk tek integrl ile birinci momentlerinin bulunmsı:
Sentroid koordintlrın belirlenmesi: A Q b b 4 4 A b Q b 10 10 b
Pppus-Guldinus Teoremleri (Ι) Küre üzei Koni üzei Hlk üzei Düzlemsel bir eğrinin sbit bir eksen etrfınd döndürülmesi ile dönel üze elde edilir. da π dl A πdl π dl A πl Dönel üzein lnı, eğrinin uzunluğu ile döndürülme sırsınd eğrinin sentroidinin ktettiği mesfenin çrpımın eşittir.
(ΙΙ) Dolu küre Dolu koni Dolu hlk Düzlemsel bir lnın sbit bir eksen etrfınd döndürülmesi ile dönel hcim elde edilir. dv πda V πda V π A Dönel üzein hcmi, düzlemsel ln ile döndürülme sırsınd lnın sentroidinin ktettiği mesfenin çrpımın eşittir.
Örnek 5.7 0.8 m m ρv W mg Çözüm: Ksnğın dış çpı 0.8 m dir ve kesit lnı şekildeki gibidir. Ksnk çelikten pılmıştır. Ksnğın kütlesini ve ğırlığını bulunuz. ρ çelik 7.85 10 kg m Pppus-Guldinus teoremini ugulrk kesit lnındn hcim bulunur. Yoğunluk ve erçekimi ivmesi ile çrprk kütle ve ğırlık bulunur.
Pppus-Guldinus teoremini ugulrk kesit lnındn hcim bulunur. Yoğunluk ve erçekimi ivmesi ile çrprk kütle ve ğırlık bulunur. 400 mm 50 mm Aln, mm Sentroidin ktettiği mesfe, mm Hcim, mm Ksnk hcmi, mm ( )( 6 ) 9 7.85 10 kg m 7.65 10 mm 10 m mm m ρv m 60.0 kg W mg ( )( ) 60.0 kg 9.81m s W 589 N
Kirişlerde Yılı Yükler Yük 1000 N/m Yılı ük birim uzunluk bşın düşen ükün çizimi ile gösterilir, w (N/m).
dw wd da W L wd da A 0 Toplm ük, ük eğrisinin ltınd kln ln eşittir. ( ) OPW L dw ( OP) A da A 0 Yılı ük, şiddeti ükleme eğrisi ltınd kln ln eşit ve lnın sentroidine etkien bileşke kuvvet ile gösterilebilir.
Örnek 5.9 Çözüm: Bileşke kuvvetin şiddeti, ük eğrisinin ltınd kln ln eşittir. Bileşke kuvvetin tesir çizgisi ük eğrisi ltınd kln lnın sentroidinden geçer. Bir kiriş şekildeki gibi bir ılı ükün etkisi ltınddır. Eşdeğer bileşke kuvveti ve mesnet noktlrındki tepki kuvvetlerini bulunuz. Tepki kuvvetleri kenrlr göre moment dengesinden hesplnır.
Bileşke kuvvetin şiddeti, ük eğrisinin ltınd kln ln eşittir. F A X A A Elemn Üçgen I Üçgen II F 18.0 kn Bileşke kuvvetin tesir çizgisi ük eğrisi ltınd kln lnın sentroidinden geçer. X 6 kn m 18 kn X.5 m
Alterntif çözüm: B A w w A B A 1500 N/m 4500 N/m 1500 N/m 000 N/m m B ( 6 m) 4 m Elemn Aln(kN) (m) *Aln (kn-m) Dikdörtgen 9 7 Üçgen 9 4 6 Toplm 18.00 6.00 sentroid ().50 m
Tepki kuvvetleri kenrlr göre moment dengesinden hesplnır. ( 6 m) ( 18 kn)(.5 m) 0 M A 0 : B B 10.5 kn B 0 A B ( 6 m) + ( 18 kn)( 6 m.5 m) 0 M B 0 : A A 7.5 kn
Üç Boutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi: Hcimin Sentroidi Ağırlık merkezi: G r r W j W r G r W G ( j ) W dw r ( ) [ r r W j ( W j )] r r r ( j ) ( W ) ( j ) r W r G r dw Krtezen eksenlere göre momentler: W V dw W dw zw zdw Homojen cisimler için: W γ V ve dw γ dv dv V dv zv zdv
Belirli Üç Boutlu Şekillerin Sentroidi Şekil Hcim Yrım küre Koni Dönel rım elipsoid Pirmit Dönel prboloid
Üç Boutlu Bileşik Cisimler 4.5 cm.5 cm cm 0.5 cm Ağırlık merkezine etkien bileşke ğırlık kuvvetinin eksenlere göre momenti, her elemnın ğırlığının eksenlere göre momentlerinin toplmın eşittir. X W W 1 cm Y W W 0.5 cm 1 cm cm 1 cm Z W zw 4.5 cm cm Homojen cisimler için, W γ V ve dw γ dv X V V cm 1 cm çplı Y Z V V V zv
Örnek 5.1 Çözüm: 4.5 cm.5 cm cm 0.5 cm Mkine elemnını, bir dikdörtgen, bir çerek dire ve 1 cm çplı iki delik olrk oluşturbiliriz. 1 cm cm 1 cm 4.5 cm cm 0.5 cm 1 cm 1 cm çplı Çelik mkine elemnının ğırlık merkezini belirleiniz. Her deliğin çpı 1 cm dir. cm
ΙΙΙ Ι 4.5 cm ΙV.5 cm cm ΙΙ 0.5 cm X V Y V Z V V V zv 1 cm cm 0.5 cm 1 cm cm 1 cm 0.5 cm cm.5 cm 0.5 cm 1 cm 1 cm cm 0.5 cm 0.5 cm cm 1.5 cm cm cm cm cm cm 4 cm 4 cm 4
cm cm cm cm cm 4 cm 4 cm 4 ΙΙΙ Ι 4.5 cm ΙV.5 cm cm ΙΙ 0.5 cm X Y V V V V 4 (.08 cm ) ( 5.86 cm ) X 0.577 cm. 4 ( 5.047 cm ) ( 5.86 cm ) 1 cm Y 0.577 cm. 1 cm 0.5 cm 1 cm cm Z zv V ( 4 ) ( 1.618 cm 5.86 cm ) Z 0.577 cm.
Sıvı Altındki Yüzelere Gelen Kuvvetler Durğn bir sıvı içinde er ln bir cisim üzerinde sıvının ğırlığı nedenile bsınç oluşur. Bu bsınç hidrosttik bsınç olrk tnımlnır. P A Bsınç derinliğin bir fonksionudur ve derinlikle lineer olrk değişir. Kuvvet hesplnırken dikdörtgen ln için düşünülür. Bileşke kuvvet: N P0 + ( γ. h) m F ( ) P. A [ N] R 1 [( γ. h). w]h. Genişlik için kuvvet P A : mutlk bsınç P 0 : referns bsınç γ : sıvının özgül ğırlığı h : sıvı içindeki derinlik w P 0 γ.h γd R
Örnek m d5 m m4m en ve boundki kpk şekildeki gibi su duvrının ltın erleştirilmiştir. Su trfındn kpğ ugulnn kuvvetin şiddetini ve ugulm noktsını bulunuz. (γ 1000 kg/m )
4 m Su trfındn duvr ugulnn kuvvet Su trfındn kpğ ugulnn kuvvet d5 m m d5 m m d5 m m m P m ( m γd 1000kg / m )(m) 000kg / m 0.9N / F m Pw (0.9N / m )(4m) 815.6N / m P m ( m 5 γd 1000kg / m )(5m) 509.7N / 5 Pw (509.7N / m )(4m) F m 08.8N / m
Bileşke kuvvet m 815.6 N/m 1 08.8 N/m X F F d5 m F (815.6N / m)(m) 446. 8N 1 1 1 (m) 1. 5m 1 F ([08.8 815.6] N 184.8N 1 (m) 1m / m)(m) ALAN KUVVET.KUVVET Dikdörtgen 446.8 1.5 670. Üçgen 184.8 1 184.8 Toplm 481.60 5505.00 sentroid () 1.9 m Toplm kuvvet 481.6 N dur ve tbndn 1.9 m ukrıddır.
Yüze belirli bir çı shipse kuvvetin bulunmsı: SCD Bsıncın oluşturduğu kuvvete ilve olrk üstte kln sıvı ğırlığı d düşünülmelidir.
Sıvı ğırlığı dışındki kuvvet dğılımı şu şekildedir: Su kütlesi için SCD Kullnıln üze lineer olmn bir üzese: