T.C. SÜLEYMAN DEMREL ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ ÇOKLU DZLER VE ONLARN STATSTKSEL YAKNSAKL Fatma Kadriye ÖRGEN Dama: Doç. Dr. Ahmet AHNER YÜKSEK LSANS TEZ MATEMATK ANABLM DAL SPARTA- 009
ÇNDEKLER Sayfa ÇNDEKLER.. ÖZET ABSTRACT.. TEEKKÜR.. SMGELER DZN... i ii iii iv v. GR. TEMEL TANM TEOREM VE ÖRNEKLER... 4. Baz Temel Kavramlar statistisel Yasal ile lgili Bilie Baz Tam Teorem ve Öreler.... Double (Çift disli) Diziler ile lgili Bilie Baz Tam Teorem ve Öreler.. deal Yasal ile lgili Temel Tam Teorem ve Öreler... 5. ÇOKLU DZLER..... 8. Çolu Dizi ile lgili Temel Tam Teorem ve Öreler. 8. Çolu Dizileri statistisel Yasal 4. ÇOKLU DZLERN ÖZELLKLER... 5 4. Çolu Dizileri Baz -Balatl Özellileri.. 5 5. -ÜST LMT VE -ALT LMT. 7 5. -Üst Limit ve -Alt Limit 7 6. DER ÖZELLKLER... 6. lim sup ve lim if Üzerie Baz leri Souçlar. 7. KAYNAKLAR.. 7 ÖZ GEÇM... 40 4 i
ÖZET Yüse Lisas Tezi ÇOKLU DZLER VE ONLARN STATSTKSEL YAKNSAKL F. Kadriye ÖRGEN Süleyma Demirel Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dal Jüri: Doç. Dr. Ahmet AHNER (Dama) Prof. Dr. Eref HATR Prof. Dr. Mübariz TAPDGOLU Bu çalmada çolu dizi istatistisel yasa çolu dizi çolu diziler içi istatistisel Cauchy dizisi ve -yasal avramlar ele almtr. Ayrca istatistisel yasa çolu bir dizii istatistisel Cauchy dizisi olmas içi gere ve yeter art gelitirilmitir. Alt bölümde olua bu çalma birici bölümüde ouu tarihi geliimi verilmitir. ici bölümde adi diziler içi istatistisel yasal istatistisel Cauchy dizisi ve Cauchy riteri gibi temel avramlar verildite sora double dizileri tam double diziler içi srll yasal Cauchy dizisi istatistisel yasal istatistisel Cauchy dizisi tamlaryla birlite gereli teoremler verilmitir. So olara ideal yasal filtre tam ve bular arasdai ilii belirtilmitir. Üçücü bölümde çolu dizi tam çolu diziler içi yasal Cauchy dizisi srll istatistisel yasal istatistisel Cauchy dizisi tamlar verilip double diziler içi verilmi ola istatistisel yasalla ilgili baz teoremler çolu diziler içi gelitirilmitir. Dördücü bölümde verilmitir. yasal ullalara çolu dizileri baz balatl özellileri Beici bölümde yie belirtilmitir. yasal ullalara limsup ve limif özellileri Altc ve so bölümde bir çolu dizii souçlar elde edilmitir. limsup ve limif üzerie baz ileri Aahtar Kelimeler: deal yasal statistisel yasal Çolu dizi. 009 40 sayfa ii
ABSTRACT M. Sc. Thesis TRPLE SEQUENCES AND THER STATSTCAL CONVERGENCE Fatma Kadriye ÖRGEN Süleyma Demirel Uiversity Graduate School of Applied ad Natural Scieces Departmet of Mathematics Thesis Commite:Doç. Dr. Ahmet AHNER (Supervisor) Prof. Dr. Eref HATR Prof. Dr. Mübariz TAPDGOLU this thesis multiple sequeces ad their statistical covergece are ivestigated. t is also show that every statistically coverget multiple sequece is statistically Cauchy. The thesis cosists of seve chapters. The first chapter cotais historical bacgrouds of covergece multiple sequeces ad double sequeces. the secod chapter the cocepts of statistically coverget sequece statistically Cauchy sequece statistically coverget double sequece ad statistically double Cauchy sequece are defied ad the relatio betwee statistically coverget sequece ad statistically Cauchy sequece are stated ad some mai defiitios ad theorems related with covergece are give. the third chapter multiple sequeces ad their statistically covergece are ivestigated. the fourth chapter some related properties of multiple sequeces are give. the fifth chapter the cocepts of iferior ad superior are defied by usig subsets of N NN thus; the defiitios of cluster poit ad bouded multiple sequece are give. the fial chapter some further properties of multiple sequeces are give. Key Words: Statistical Covergece deal Covergece -covergece Double sequece Multiple sequece. 009 40 pages iii
TEEKKÜR Bu tezi ousuu belirlemesi ve yürütülmesi sürecide bei yöledire ou ile ilgili aç problemleri ortaya oymada baa yardmc ola ve çalmam her aamasda yardm ve desteii gördüüm Dama Hocam Doç. Dr. Ahmet AHNER'e ve yie yardmlar hiç esirgemeye Yrd. Doç. Dr. Mehmet GÜRDAL'a teeür ederim. Fatma Kadriye ÖRGEN SPARTA 009 iv
SMGELER DZN N R A A A A Doal saylar ümesi Reel saylar ümesi A elema says A alt asimptoti youluu A üst asimptoti youluu A asimptoti youluu Reel veya Komples saylar bir dizisi Reel veya Komples saylar double dizisi Reel veya Komples saylar çolu dizisi X T Topoloji uzay V W X. Vetör uzay Alt vetör uzay Normlu uzay st lim L çolu dizisii istatistisel limiti l Tüm srl çolu dizileri ümesi dizisii istatistisel limit otalar ümesi dizisii istatistisel ylma otalar ümesi f N NN i tüm solu alt ümelerii ailesi ylma otalar ümesi limsup dizisii üst limiti limif dizisii alt limiti says yi böler v
says yi bölmez K alt dizi E : carde E i ardialitesi O Büyü sral N...N N tae vi
. GR Klasi yasal avram ya sra ölçüm üme ve bezeri araçlar ullalara bu avrama ya birço yasal avramlar tamlamtr. Yei yasal avramlar e öemlileride biri Fast (95) ve Schoeberg (959) tarafda birbirleride bamsz olara tamlaa istatistisel yasal metodudur. statistisel yasal güümüze adar ço sayda matematiçi tarafda üzeride çallm ve hale çallmata ola bir oudur. Örei; T. Šalát (980) reel saylar tüm srl istatistisel yasa dizilerii ümesii reel saylar tüm srl dizilerii oluturduu lieer ormlu uzay hiçbir yerde you olmaya bir alt ümesi olduuu ve reel saylar tüm istatistisel yasa dizileri ümesii s Fréchet uzayda birici Baire ategoride you bir alt üme olduuu gösterdi. Fridy (985) istatistisel yasa dizi ve istatistisel Cauchy dizisi avramlar deilerii gösterip düzgü toplaabilme metoduu ullaara istatistisel yasal çalp ii tae Tauberia teoremii ispatlad. Fridy (99) istatistisel limit otas istatistisel ylma otas ve adi alamdai limit otas baz özellilerii istatistisel bezerlerii verdi. Rath ve Tripathy (994) Hausdorff loal oves topoloji vetör uzay üzeridei istatistisel Cauchy dizilerii ve istatistisel Cauchy dizisi içi dalm teoremii verip Hausdorff loal oves topoloji vetör uzayda istatistisel yasala bal dizisel taml içi baz dei riterlerii verdi. B. C. Tripathy (997) Bolzao Weirstrass teoremi'i istatistisel bezerii verdite sora Fridy ve Orha (997) istatistisel yasa bir dizii yasa olmas içi gere ve yeter art st lim if st lim sup olmas düücesi ile balatl olara istatistisel üst limit ve istatistisel alt limit tamlar verdi. B. C. Tripathy (998) seriler içi Dedeid ve Abel teoremlerii istatistisel yasa serilere geiletip Leibiz ve Tauberia teoremlerii bir geilemesii ispat verdi. Pehliva ve Mamedov (999) düzgü istatistisel yasa dizileri ümesii baz özellilerii iceleyip düzgü istatistisel yasa dizileri ümesi ile heme heme ço uvvetli yasa dizileri uzay arasdai iliiyi geiletip düzgü istatistisel ylma otas tam verip solu boyutlu uzaylardai ylma otalar ümesii baz özellilerii ispatlad. Kostyro vd. (000)
verile bir dizisii tüm istatistisel limit otalar ümesii F ümesi olara tamlayp dalm fosiyouu süresizli otalar tamlad. B. C. Tripathy (000) edisie ait ola istatistisel mooto dizileri bir de tam vere bir soucu atlayp istatistisel yasa dizilerle ilgili yei souçlar elde etti. Gürdal ve Pehliva (004) -Baach uzayda istatistisel yasa dizileri ve istatistisel Cauchy dizilerii içere ümeleri elde ettiler. Double diziler il olara Prigsheim (900) tarafda verildi. Daha sora bu avram birço yazar çalt. Örei; Mursalee ve Edely (00) double dizileri istatistisel yasal tam ve double diziler içi istatistisel Cauchy dizisi tam verip baz özellilerii iceleyere istatistisel yasal ve uvvetli Cesáro toplaabilir double diziler arasdai baty oluturdu. Göha ve Çola (004) c P p ve c PB p double dizi uzaylar baz özellilerii iceledi. Patterso (004) srl double diziler üzeridei düzgü dört boyutlu matrisleri mutla deiii bir tamla verdi. Kostyro vd. (000) ideal avram ullaara lasi yasal ve istatistisel yasal da bir geellemesi ola ideal yasal avram tamlayp sfr T yoululu ümeleri ailesi ola d i uygu bir ideali olduuu gösterdiler. T Schoeberg (959) Euler fosiyou yardmyla özel bir toplaabilirli metodu tamlamtr. Bua göre ise ise 0 olma üzere egatif olmaya regüler matrisi ile bir ümei youluuu vermitir. Kostyro vd. (000) tüm sfr yoululu ümeleri ailesi ola i ideal olduuu gösterdi ve bu ideal üzeride yasal tamlad. So yllarda geiletildi. yasal avram Tripathy (005) tarafda double dizilere Balarusha Tripathy ve B. C. Tripathy (005) logaritmi youlu ve N N i alt ümeleri içi düzgü youluu gelitirdiler. Ayrca farl tip -yasa double dizileri -Cauchy double dizilerii ve olar simetri youlu gibi farl özellilerii gelitirdiler. Çaa vd. (006) daha öce Raimi ve Mishra' gelitirmi olduu reel srl dizileri çeirdei ve yasal ousuu double diziler içi gelitirdi. Tripathy ve Dutta (007) istatistisel sfr fuzzy reel
deerli double dizi uzaylar ve istatistisel yasal farl tiplerii iceleyip fuzzy reel deerli Cesáro toplaabilir double dizi uzaylar gelitirip p Cesáro toplaabilme ve srl istatistisel yasa double diziler arasdai baty urdu. Göha vd. (007) reel deerli fosiyolar Cauchy riterii double diziler içi verdiler. Gürdal ve ahier (008) tamlar verdiler. srl dizi alt limit ve üst limit Bu çalmada çolu dizi avram ve bir çolu dizi içi istatistisel yasal istatistisel Cauchy dizisi avramlar gelitiriyoruz. Teorem.. de srl istatistisel yasa dizileri ümesii srl dizileri oluturduu lieer ormlu uzay bir alt ümesi olduuu verip bu ümei srl dizileri oluturduu uzayda hiçbir yerde you olmad belirtti. Teorem..8 de istatistisel yasa çolu bir dizii yasa olmas içi gere ve yeter oulu gelitirdi. So olara çolu dizileri baz balatl özellilerii verdi.
. TEMEL TANM TEOREM VE ÖRNEKLER Bu bölümde bilie baz temel tam öre ve teoremleri iceleyip yorumlad.. Baz Temel Kavramlar statistisel Yasal ile lgili Bilie Baz Tam Teorem ve Öreler Bu çalmada gereli olaca lieer alt uzay apal lieer alt uzay hiçbir yerde you olmaya üme tamlar ve istatistisel yasal ile ilgili baz temel avramlar iceleyim. Tam.. (Lieer Alt Uzay) V K reel saylar cismi üzeride bir vetör uzay ve W V olsu. Eer W aadai özellileri salyorsa W ya V i alt uzay deir. ) 0 W ) u vv ie u vw ) uw c K ise cu W (Lusteri vd. 985). Tam.. (Kapal Lieer Alt Uzay ) X. bir ormlu uzay Y de X i bir lieer alt uzay ise Y X. de bir ormlu uzaydr. Bu uzaya X. uzay ormlu alt uzay deir. Eer Y apal ise Y. alt uzaya apal alt uzay deir (Musayev ve Alp 000). X. ormlu uzay Tam.. (Hiçbir Yerde You Olmaya Küme) X T bir topoloji uzay ve AX olsu. Eer üme deir (Bülbül 994). 0 A ise A ümesie X T da hiçbir yerde you olmaya l olara Nive'i (99) tamlam olduu istatistisel yasal avram ortaya çmasa ede ola youlu avram verelim. 4
N doal saylar ümesii bir E alt ümesii ardial (elema) says E ile gösterildiii belirtelim. Tam..4 E N doal saylar ümesii bir alt ümesi ve : : E olsu. Bua göre E ümesii srasyla alt ve üst youluu; E E limif E E limsup (.) E olara verilir. Eer youluu deir ve salamas halide E dizisii limiti var ise bu limite E ümesii doal E ile gösterilir. Yai EEE EN ümesii doal youluu; eitlilerii E E lim lim : E (.) dir (Nive vd. 99). Doal youlu avram daha iyi alalabilmesi içi aadai örei verelim. Öre..5 4564...44950...96994... E elide verilsi. E ides ümesi içi E ifadesii oluturalm. ) ve E ifadesii üst limitii olutura alt dizi 4 6 6 4 64... (.) 96 ) E ifadesii alt limitii olutura alt dizi 4 elidedir. 6 48 64 9... (.4) 5
Dolaysyla olduuda E limif E E E E E limsup (.5) dir. Bu edele E ümesii doal youluu yotur. Bu örete de alalaca gibi doal youluu olmaya ümeler de vardr. Ama her bir üme içi alt ve üst youlu mevcuttur. Eer E ümesi solu elemal bir üme ise 0 E dr (Gürdal 004). imdi istatistisel yasal tam hatrlatalm. Tam..6 (statistisel Yasal) 0 N : L 0 (.6) içi yai ise lim : L 0 dizisi L ye istatistisel yasatr deir ve st liml gösterilir (Fast 95). (.7) ifadesi ile Öre..7 dizisi 0 elide tamlas. E N N : 0 496... sfrdr. Dolaysyla st lim 0 dr (Fridy 985). (.8) de üçü olaca eilde herhagi bir 0 içi olur burada E ümesii doal youluu Adi alamda yasal ile istatistisel yasal arasdai baty urma içi bu ii avram arlatralm: Bilidii gibi reel say dizisi L ye yasa ise L i her bir omuluuu dda dizii aca solu sayda elema alabilir. statistisel yasalta ise L i her bir omuluuu dda sosuz sayda da elema alabilir. Faat böyle elemalar says dizii tüm 6
elemalar saysa göre ço ço az dr. Yai dizii heme heme tüm elemalar L i omuluuu içerisidedir. Burada dizisii L otasa heme heme yasa olduuu alarz. L otas omuluu dda ala elemalar says az olmas böyle elemalar doal youluuu sfr olmas ile ifade edilir (Pehliva 00). imdi de istatistisel Cauchy dizisi tam gösterelim. Tam..8 (statistisel Cauchy Dizisi) 0 içi lim olaca eilde e az bir : 0 N N N says varsa Cauchy dizisi deir. Bu ifade her 0 ve heme heme her içi (.9) dizisie bir istatistisel N (.0) olaca eilde bir N N says vardr elide de yazlabilir (Fridy 985). Aadai teorem istatistisel yasa dizi ve istatistisel Cauchy dizileri arasdai baty vermetedir. Bua göre; Teorem..9 (Cauchy Yasal Kriteri) Aadai ifadeler detir: ) istatistisel yasa bir dizidir; ) istatistisel Cauchy dizisidir; ) dizisi verilsi. Heme heme her içi y bir y y dizisi vardr (Fridy 985). olaca eilde yasa imdi diziler reel terimli olma üzere; öcelile bir dizii ylma otalar ve limit otalar avramlar istatistisel bezerleri ola istatistisel ylma otalar ve istatistisel limit otalar temel özellileri gösterilecetir. 7
Tam..0 (Seyre Seyre Olmaya Alt Dizi) ( j dizisi verilsi. Eer : jn ) 0 (.) ise j alt dizisie seyre alt dizi asi tadirde seyre olmaya alt dizi ad verilir (Fridy 99). Bilidii gibi bir dizisii L saysa yasaya bir alt dizisi varsa L says dizisii adi limit otasdr. Tam.. (statistisel Limit Notas) ya yasa olmaya E dizisii seyre 0 alt dizisi varsa ya say dizisii bir istatistisel limit otas deir (Fridy 99). say dizisii istatistisel limit otalar ümesi ile adi limit otalar ümesi L ile gösterilir. Öre.. 0 elide tamlaa dizide N Bu dizii istatistisel limit otalar ümesi ise adi limit otalar ümesi 0 0 dr. (.) L dir. Öre.. r rasyoel saylar ümesii bir dizisi olsu. r N (.) elemalar herhagi bir doal say aresi ola ümei doal youluu sfr olduuda dir. Bua rame r : L R dir (Fridy 99). N ümesi R de you olduu içi 8
Bir dizisii L limit otas L merezli her aç aral dizisii sosuz çoluta terimii içerir ifadesi ile araterize edilebilir. Bu ifadei istatistisel bezeri Fridy (99) tarafda verilmitir. Tam..4 (statistisel Ylma Notas) 0 içi dizisi verilsi. N : (.4) ümesi sfr doal youlua sahip deilse saysa istatistisel ylma otasdr deir. otalar ümesi açtr (Fridy 99). dizisii bir say dizisii istatistisel ylma ile gösterilir ve herhagi bir dizisi içi L olduu Öre..5 p p p ile tamlas. asal çarpalarda i çarpalar says da p olsu. p p içi : 0 olduuu gösterme olaydr. p Böylece p dir. Ayrca : 0 p p olduuda 0 ve burada da 0 elde ederiz. imdi 0 olduuu iddia ediyoruz. p p Eer E sfr limiti ola bir alt dizi ise E 0 olduuu gösterebiliriz. Buu p içi E O E : N : p E O p : p p P ile gösterebiliriz. Böylece E ve p eyfi olduuda E 0 dr. (.5) Geelde adi limit otalar ile ilgili bilgilerimiz bize ve ümelerii de olaca düüdürür faat bu durumu böyle olmad Fridy (99) ispatlamtr. 9
statistisel limit otalar ile istatistisel ylma otalar arasdai apsama bats aadai öerme ile verilmetedir. Öerme..6 Herhagi bir say dizisi içi dir (Fridy 99). Burada st lim ise te ota ümeleri içi art doru deildir. Bular aadai ii örele Fridy (99) göstermitir. dr. Faat Öre..7 dizisi 000 0 0 0... elide 4 4 4 düzgü dalml bir dizi olsu (Kupers ve Niederreiter 974). Herhagi bir alt araltai Burada lar youluu aral boyua eittir. L 0 dr. Ay zamada herhagi bir 0 N : 0 olduuda alt dizisii içi (.6) 0 olur. 0 ve her bir içi 0 alara i bir K ya yasa olduuu abul edip E youluua baacaz. E E : E E : : (.7) yazp youlua geçerse E E : E : (.8) olduuda E buluruz. eyfi olduuda yeterice üçü içi E 0 olur. Bu ise K alt dizisii seyre bir alt dizi olduuu gösterir. eyfi olduuda bu eilde hiçbir seyre olmaya alt dizi buluamayacada dir (Fridy 99). Öre..8 dizisii 408006... 0 dizisi olara alalm. Bu dizii ii tae alt dizisi 486... ve 000... 0 dr. 5... ve 46... olduuda 0 mevcut deildir (Fridy 99). st lim olup 0
statistisel yasal tamda verile bir dizisii istatistisel yasal dizisii seyre bir alt dizisii deerlerii deitirmele deimez olduuu söyleyebiliriz. Bu özellii istatistisel limit otalar ve istatistisel ylma otalar içide geçerli olduu Fridy (99) tarafda aadai teoremle gösterilmitir. Teorem..9 ve y heme heme her içi y olaca eilde diziler ise y ve dir (Fridy 99). y
. Double Diziler ile lgili Bilie Baz Tam Teorem ve Öreler Bu bölümde Mursalee ve Edely'i tamlam olduu double youlu double yasal gibi tamlarla birlite bularla ilgili baz öreleri veriyoruz. Tam.. (Double Dizi) N doal saylar ümesi olma üzere : N N RC elide tamlaa fosiyoua bir double dizi deir (Prigsheim 000). (.9) Tam.. E NN olsu. P E lim E p qpq limitie E i doal youluu deir ( ahier ve Tripathy 008). p q Örei; Ei j : i jn olsu. Bu durumda E E lim lim 0 (.0) olur. Bua rame K i j : i jn ümesii double doal youluu dir (Mursalee ve Edely 00). imdi de double diziler içi yasal tam verelim. Tam.. (Double Yasal) Komples terimli bir double dizi olsu. 0 içi N ie l olaca eilde e az bir N doal says var ise double dizisi lc saysa Prigsheim alamda yasatr deir ve l deerie de dizisii Prigsheim limiti deir (Mursalee ve Edely 00). imdi il olara Mursalee ve Edely (00) tarafda verile double diziler içi Cauchy dizisi ve srll tamlar verelim.
Tam..4 (Double Cauchy Dizisi) 0 içi p N q N ie pq olaca eilde N doal says var ise double dizisie Cauchy dizisi deir (Mursalee ve Edely 00). Tam..5 (Double Srl Dizi) Tüm M 0 var ise double dizisie srldr deir. lar içi M olaca eilde Tüm double srl dizileri ümesii l ile gösteriyoruz. l uzay sup ormu ile bir ormlu uzaydr (Mursalee ve Edely 00). Burada adi dizileri tersie double dizilerde yasa ola her dizii srl olamayabileceii ifade etme gereir. Adi dizilerde istatistisel yasal N i alt ümelerie bal ie double dizilerde istatistisel yasal diziler içi istatistisel yasal tam verelim. N N i alt ümelerie baldr. imdi double Tam..6 (Double statistisel Yasal) 0 içi reel double dizi olsu. NN : l (.) ümesii double doal youluu sfr ise istatistisel yasatr deir (Mursalee ve Edely 00). reel double dizisie l ye Sadece srl (srsz) satr ve (veya) sütular says solu olduuda adi diziler içi geçerli ola yasa her dizii ay sayya istatistisel yasa olmas double diziler içide geçerli olduuu söylememiz yeride olur.
Tam..7 (Double statistisel Cauchy Dizisi ) bir reel double dizi olsu. 0 içi NN : 0 olaca eilde N NM N N ve M MN var ise reel double (.) dizisie istatistisel Cauchy dizisidir deir (Mursalee ve Edely 00). Adi diziler içi Fridy'i (985) elde etmi olduu soucu double diziler içi bezerii Mursalee ve Edely (00) vermitir. Teorem..8 reel double dizisii istatistisel yasa olmas içi gere ve yeter art i istatistisel Cauchy dizisi olmasdr (Mursalee ve Edely 00). 4
. deal Yasal ile lgili Temel Tam Teorem ve Öreler Kostyro vd. (000) ideal avram ullaara ideal yasal ya da saca yasal avram tamladlar. Bu yasal tipi lasi yasal ve istatistisel yasal bata olma üzere ço sayda yasal çeidii apsar. Tam.. N N ümesii uvvet ümesi olma üzere N ailesi içi ) A B ise A B (toplamsall) ) A ve BA ise B (altsall) oullar salayorsa N de bir ideal olara adladrlr (Jech 00). Tam.. ( ) gereice olaca açtr. Eer N ise ideali öz ideal olara adladrlr. Bua göre N ddai bütü idealler öz idealdir. N içi ise yai ideali N i tüm solu alt ümelerii içeriyorsa uygu ideal olara adladrlr. Eer ideali apsamaya göre masimal ola bir öz ideal ise masimal ideal ad alr (Kostyro vd. 000). ile N i idealii ile NN i idealii ile N N N i idealii gösteriyoruz. imdi filtre tam verelim. Tam.. ) F N F ailesi içi; ) A BF ise A BF ) AF ve AB ise B F oullar salayorsa F ye N de bir filtre deir (Jech 00). ile F arasdai iliiyi aadai öerme açca vermetedir. 5
Öerme.. N de bir öz ideal olsu. FM N : A M N \A (.) ailesi N de ideali ile ilgili filtredir (Kostyro vd. 000). Tam..4 N ideali N de bir öz ideal olsu. R olsu. Eer 0 içi reel deerli bir dizi ve A N : (.4) ise dizisi saysa ifade edilir (Kostyro vd. 000). yasatr deir ve bu durum lim elide Tam..5 bir uygu ideal olsu. E alt dizisie dizisii seyre alt dizi deir. Eer j seyre olmaya alt dizisi deir (Gürdal 004). E : : jn olma üzere E ise E ise E dizisie Tam..6 ) M ve X bir metri uzay ve X de bir dizi olsu. lim olaca eilde M m m... N ümesi mevcut m m ise X elemaa ) Eer 0 içi N limit otas deir. : ise X ylma otas deir (Kostyro vd. 000). elemaa ile dizisii tüm ylma otalar ümesii tamlayacaz. limit otalar ümesii ve ile dizisii tüm Herhagi bir dizisi içi L olduu açtr. Çüü olmas lim m olmas alama gelir. Bu da L olduuu verir. Öerme..7 bir uygu ideal olsu. Bu durumda her dir (Kostyro vd. 000). X dizisi içi 6
Öerme..8 bir uygu bir ideal olsu. Herhagi bir X dizisi içi L dir. imdi double diziler içi Tripathy'i (005) vermi olduu Prigsheim alamda yasal tam verelim. Tam..9 NN i bir ideali olsu. Eer 0 N N : L içi (.5) ise dizisi L ye Prigsheim alamda yasatr deir. 7
. ÇOKLU DZLER imdi double dizi avram çolu dizilere geelletiriyoruz. Çalmamz devamda üç idisli diziler içi souçlar elde edeceiz aca souçlar geel üçte büyü idisli çolu diziler içide dorudur.. Çolu Dizi ile lgili Temel Tam Teorem ve Öreler Bu bölümde çolu dizi tam ile birlite çolu dizi ile ilgili temel tam teorem ve öreleri verdi. Tam.. (Çolu Dizi) N doal saylar ümesii gösterme üzere : N R reel saylar ümesii R C fosiyoua reel (omples) bir çolu dizi deir. imdi double diziler içi tamlam ola double yasal çolu diziler içi gelitiriyoruz. Tam.. (Çolu Yasal) 0 içi N L olaca eilde e az bir NN Prigsheim alamda yasatr deir. var ise N l N ie çolu dizisi L ye Bu tama bir öre verece olursa; l l 8 ise 5 l 7 diger Prigsheim alamda 8 e yasatr. (.) Double diziler içi Mursalee ve Edely'i (00) vermi olduu Cauchy dizisi tam çolu diziler içi gelitiriyoruz 8
Tam.. (Çolu Cauchy Dizisi) 0 içi p N q N ie pqr olaca eilde e az bir bir Cauchy dizisi deir. N N var ise r l N çolu dizisie Tam..4 (Çolu Srl Dizi) Tüm M 0 l says var ise çolu dizisie srldr deir. ler içi M olaca eilde Tüm çolu srl dizileri ümesii sup l ormu ile bir ormlu uzaydr. l ile gösteriyoruz. l uzay Çolu istatistisel yasa dizi ve çolu istatistisel Cauchy dizisii tam verebilme içi gereli ola çolu doal youlu avram verelim. Öcelile N NN ümesii bir E alt ümesii ardial (elema) says E p q r ile gösterildiii belirtelim. Tam..5 Eer p q lr ie E p q r E lim (.) p q r pqr limiti varsa E ye E doal youluua sahiptir deir. Çolu diziler içi doal youlu avram daha iyi alalabilmesi içi aadai örei verelim. Öre..6 E l : l E p q r p q r Nise E lim lim 0 p q r pqr p q r pqr dr. imdi çolu diziler içi istatistisel yasal tam verelim. 9
Tam..7 (Çolu statistisel Yasal) 0 içi ( ln N N : L ) 0 (.) ise reel çolu dizisi L ye istatistisel yasatr deir ve bu durum st lim l L ile ifade edilir. Herhagi bir çolu dizisi yasa ise istatistisel yasatr faat tersii doru olmas geremez. Ayrca aadai örete de alalaca üzere istatistisel yasa çolu bir dizii srl olmas da geremez. Öre..8 5 eger ller üp ise diger olara tamlarsa st lim 5 l (.4) dir faat Prigsheim alamda yasa olmad gibi srl da deildir. imdi çolu diziler içi istatistisel Cauchy dizisii tamlayalm. Tam..9 (Çolu statistisel Cauchy Dizisi) 0 içi ( ln N N : ) 0 (.5) olaca eilde NMT N N M M T T N var ise istatistisel Cauchy dizisidir deir. çolu dizisie 0
. Çolu Dizileri statistisel Yasal Bu bölümde double diziler içi Mursalee ve Edely tarafda ispatlam ola baz teoremleri çolu diziler içi verdi. Teorem.. st lim L olmas içi gere ve yeter oul K ve l lk lim L olaca eilde bir K NN N alt ümesii mevcut olmasdr. spat Bu teorem (Fridy 99) Teorem i ispata bezer bir yol ullalara ispatlaabilir. Uyar.. Eer istatistisel yasa yai ve st lim L ise lim y L l l N N N : y 0 (.6) olaca eilde y çolu dizisi vardr. Teorem.. spat st l ümesi l ormlu lieer uzay apal lieer bir alt uzaydr. v v v... ie vardr. Öte yada st l ve v v v l dur. v st l olduuda st lim a olaca eilde a v reel says l olduuda N N v N ie V v V v (.7) olaca eilde e az bir NN vardr. Burada. lieer uzayda ormu göstermetedir. Bir öcei teoremde K ve v a lim v l olaca l K eilde K N N N vardr. Bezer eilde K ve l l K lim V a V olaca eilde K N N N vardr. K K olduu içi K K solu
deildir. K K seçelim bu durumda V v a v dür. Buda dolay her bir N N a V ve N ie V v v v V V a v a V a v a V (.8) dur ve buu alam a v i bir Cauchy dizisi olmasdr bu da a v i yasa olmas demetir. O halde lim a v v a diyebiliriz. imdi i a ya istatistisel yasa olduuu gösterme istiyoruz. ln ie v olduuda 0 v olaca eilde e az bir lim a olduuda 0 a v v e az bir içi ln N says vardr. Souç olara v olduuda K olaca eilde K l içi tüm l N ve lk içi ie içi N says vardr. a a olaca eilde a v ye istatistisel yasa N N N vardr ve 0 v a v N vardr. Eer N man N N v 4 v abul ederse olaca eilde e az bir a a v a a (.9) olur. Buda dolay a ya istatistisel yasatr ve bu ispat tamamlar. Teorem..4 st l ümesi l da hiçbir yerde you deildir. spat Eer X lieer ormlu bir uzay ise X i X de farl her apal lieer alt uzay X de hiçbir yerde you olmad biliyoruz. 5 eger llerteise 5 diger dizisi srldr faat istatistisel yasa deildir bu da st olduuu l l gösterir. imdi de her istatistisel yasa çolu dizii istatistisel Cauchy dizisi olduuu gösterme içi aadai tamlar gelitiriyoruz.
Tam..5 0 içi lnnn : 0 (.0) NMT olaca eilde N N M M T T var ise istatistisel Cauchy dizisidir deir. çolu dizisie Tam..6 ve y y ii çolu dizi olsu. Eer ( ln N N : y) 0 (.) ise heme heme tüm l ler içi y dir. Tam..7 i alt ümesi olsu. Eer bir çolu dizi olsu. C omples saylar ümesi D de C l NNN : D 0 (.) ise D heme heme tüm l ler içi yi içerir deir. Aadai teorem istatistisel yasa bir dizi ile istatistisel Cauchy dizisi arasdai baty vermetedir. Teorem..8 çolu dizisii istatistisel yasa olmas içi gere ve yeter art istatistisel Cauchy dizisi olmasdr. spat Gerelili açtr. Yeterlilii ispatlama içi istatistisel Cauchy dizisi ve olsu. Bu durumda öyle v vardr i v merezli birim çapl U apal yuvar heme heme tüm ler içi l içi öyle v vardr i v merezli birim çapl heme heme tüm l Eer U U U ler içi yi buludurur. U apal yuvar yi buludurur. alrsa U C i v merezli birime eit yada daha üçü çapl bir alt ümesidir öylei tüm l ler içi U yi içerir.
içi öyle v vardr i v merezli birim çapl U apal yuvar heme heme tüm ler içi l yi buludurur. Bu durumda diyebiliriz i U U U ise U C i ümesidir öylei heme heme tüm ye eit yada daha üçü çapl apal bir alt l ler içi U yi içerir. Böyle devam ederse C i aadai özellileri salaya apal alt ümelerii bir U dizisii elde ederiz. ) N içi U U ) N içi çapu Souç olara U bir ota içerir. Bu otay L ile gösteriyoruz. Bu durumda l N içi L U dir. Eer m yi m ler içi yi içerir. Buu alam seçerse U m heme heme tüm L ye istatistisel yasatr. imdi aadai teoremi ispatlama olaydr. Teorem..9 Eer çolu dizi ise aadai ifadeler detir. ) l ye istatistisel yasatr; ) istatistisel Cauchy dizisidir; ) i lim y l olaca eilde bir y alt dizisi vardr. 4
4. ÇOKLU DZLERN ÖZELLKLER Bu bölümde double dizileri istatistisel yasal avram çolu dizileri yasala geelletirip çolu diziler içi yapt. balatl birtam icelemeler 4. Çolu Dizileri Baz -Balatl Özellileri Bu bölümde double diziler içi ola diziler içi gelitirdi. yasal ile ilgili baz özellileri çolu Tam 4.. ise lim içi N N N i bir ideali olsu. Eer 0 l NNN : L (4.) L ye Prigsheim alamda L elide ifade ediyoruz. yasatr diyoruz ve bu durumu imdi baz ideal öreleri verelim. Öre 4.. ) f N NN i tüm solu alt ümelerii ailesi olsu. Bu durumda f N NN de uygu bir idealdir ve f yasal çolu dizileri Prigsheim alamda yasal ile çar. ) A N N N pozitif tamsaylar üç boyutlu bir ümesi ve A p q r p q l r Prigsheim alamda ie youlua sahiptir deir ve bu A p q r lim p q r pqr A l i A dai ardialitesi olsu. Bu durumda A p q r lim p q r pqr limiti mevcut ise A bir çolu doal (4.) 5
ile gösterilir. uygu bir idealdir ve yasalla çar. A N N N : A 0 ise N N N de yasal Prigsheim alamda istatistisel imdi de yasa çolu diziye bir öre verelim. Öre 4.. olsu ve 5 eger ller diger areise ile tamlas. 0 içi p q r P lnnn : 5 lim 0 p q r pqr dr. Bu da Prigsheim alamda lim 5 dizisi Prigsheim alamda 5 e yasa deildir. (4.) olmas geretirir. Faat Uyar 4..4 Eer l ye Prigsheim alamda uygu ve l ye Prigsheim alamda yasa ise yasatr. 6
5. ÜST LMT VE ALT LMT Bu bölümde çolu diziler içi ile ilgili baz tamlarla birlite alt limit tamlar gelitiriyoruz. üst limit ve 5. Üst Limit ve Alt Limit Tam 5.. N N N i bir ideali olsu. M ve her i j m... içi P lim olaca eilde bir M ijlm l : i j m NNN... (5.) i j m ümesi varsa saysa çolu dizisii bir limit otasdr deir. Tam 5.. 0 içi lnnn : ise ye çolu dizisii (5.) ylma otasdr deir. Tam 5.. lnnn : K olaca eilde bir K 0 çolu dizi ve i tam içi gereli ola ümeleri M t says var ise t R olsu. Bu durumda t l: t M l olara veriyoruz. (5.) reel çolu dizisi srldr deir. i limif ve lim sup : t (5.4) Tam 5..4 ) Eer M t olaca eilde bir tr varsa buu lim sup suptr : M t (5.5) elide yazarz. Eer tr içi M t ise lim sup dur. 7
) Eer M t olaca eilde bir tr varsa buu limif iftr : M t (5.6) elide yazarz. Eer tr içi M t salyorsa lim if dur. Öre 5..5 dizisii 0 eger te ve are eger çiftve are eger te ve are degil eger çift ve are degil ise ise ise ise (5.7) veya 0 eger te ve are eger çiftve are eger te ve are degil eger çift ve are degil ise ise ise ise (5.8) veya l 0 eger l te ve are eger lçiftve are eger l te ve are degil eger l çift ve are degil ise ise ise ise (5.9) olara tamlayalm. Bu durumda Ayrca t R M : t t R M t : ve böylece lim sup limif 0 alamda ümesi 0 üstte srl deildir faat yasa deildir ve Prigsheim alamda dir. Souç olara aadailer dorudur. srldr. 0 (5.0) dr. Dier tarafta Prigsheim ylma otalar 8
Teorem 5..6 ) limsup olmas içi gere ve yeter art 0 içi lnnn : ve lnnn : olmasdr. (5.) (5.) ) limif olmas içi gere ve yeter art 0 içi lnnn : ve lnnn : olmasdr. spat ) : 0 verilsi. lnnn : (5.) (5.4) olduuda t Mt : (5.5) dür. Bezer olara olduuda t olaca eilde e az bir t vardr ve tt M Böylece : t dür. lnnn : t ve lnnn : buluur. : 0 ise t Mt ve (5.6) (5.7) : ve limsup olur. Dier tarafta limsup olduuda limsup elde edilir. ) Bezer yolla ispat yaplabilir. Teorem 5..7 Her çolu reel dizisi içi limif spat Herhagi bir çolu reel dizisi içi üç durum vardr. ) limsup olduuda souç açtr. limsup dir. ) Eer limsup ise bu durumda 9
t M t ve M t (5.8) R dür. Böylece t lim if ift : M if ve limif limsup R (5.9) (5.0) dir. ) tr içi eer limsup limsup ve ise tmt ve M t (5.) t dür. Bu ise lim if if t M demetir. : Teorem 5..8 Herhagi bir eitsizliler vardr. P spat limif limif limsup reel srl çolu dizisi içi aadai P limsup P limsup durumu açtr. P limsup L herhagi bir tl içi M t dür. tt M limsup supt M t ve limsup L : t. (5.) : t olduuda olmas olmas geretirir. Burada limsup P limsup olur. Dier eitsizli içi eer P limif ise eitsizlii salad açtr. P limif T ise herhagi tt içi M t t t lim if supt M t ve limsup T : olur. Böylece t M t : olmas geretirir. olmas Uyar 5..9 Eer var ise lim srldr. 0
Uyar 5..0 Çolu dizileri ideal srll olmas geretirir. srl double dizisii Pcore P limif P limsup apal araldr. srl double dizisii limif limsup limsup ve limif P çeirdei çeirdei ise i solu (5.) (5.4) apal araldr (Gürdal vd. 008). Biz de bua bezer olara srl çolu dizisii P çeirdeii ve çeirdeii aadai eilde tamlad. Tam 5.. Herhagi bir reel srl çolu dizisii P limif apal araldr. P çeirdei P limsup (5.5) Tam 5.. Herhagi bir reel srl çolu dizisii limif limsup çeirdei (5.6) apal araldr. Çalmamzda i çeirdeii core olara göstereceiz. Uyar 5.. Herhagi reel çolu dizisi içi core Pcore( ) (5.7) dir. Teorem 5..4 Herhagi bir reel çolu dizisii yasa olmas içi gere ve yeter art spat : L lim limif limsup olsu. Bu durumda l NNN : L ve olmasdr. (5.8)
l NNN : L (5.9) olur. Herhagi tl ve tl içi M t ve M t olduuda : M L t t if t : M t sup ve : L buluur. 0 ve L limif limsup olsu. Bu durumda lnnn : L l l NNN : L (5.0) NNN : L olduuda L lim buluur. Eer reel srl çolu dizi ise ile göstereceiz. i ylma otalar ümesii Teorem 5..5 Eer bir reel srl çolu dizi ise lim sup ma (5.) ve lim if mi (5.) dir. spat limsup L supt : ln N N : t olsu. Eer ise l L L NNN Buu alam l says var olmasdr. Yai L olaca eilde bir 0 vardr. : NNN : L olaca eilde bir 0 L ylma otas olduuu gösterelim. Açça 0 içi lnnn : t olaca eilde L L ln N N L olmas geretirir. t vardr i bu : dir. imdi L i gerçete i bir (5.) (5.4)
6. DER ÖZELLKLER Bu bölümde bir çolu dizii ispatlayacaz. limsup ve lim if üzerie baz ileri souçlar 6. limsup ve lim if Üzerie Baz leri Souçlar Teorem 6.. alamda N N N i bir ideali olsu. Eer srl ii çolu dizi ise ) limsupy limsup limsupy ) limify limif limify dir. y Prigsheim spat (6.) i ispat (6.) iie bezer olduuda yalzca (6.) i ispatlad. l limsup y (6.) (6.) l limsupy olsu ve 0 verilsi. Bu durumda hem l i hemde l i solu olduuu biliyoruz. AcR : l: y c ve A olsu. imdi l: l l l : olduuda l : y y l l l l l: l l : y l (6.) : y l (6.4) elde ederiz. Yuardai apsamada sa taraftai ümeleri her iiside e ait olduuda l: y l l (6.5)
olur. Eer ca ise l: y c dür. ddia ediyoruz i cl l dur. Asi tadirde l: y c l : y l l (6.6) olurdu. Bu l : y c demetir. Bu ise bir çeliidir. Souç olara cl l ve (6.7) y Al l limsup sup (6.8) dur. 0 eyfi olduu içi bu ispat tamamlar. Alt dizi teoremii verebilme içi aadai tama ihtiyacmz vardr. Tam 6.. N N N i bir ideali olsu. Eer her reel 0 l: G yada l: G ise alamda ( yada ) a yasatr deir. G says içi Prigsheim Teorem 6.. Eer uygu bir ideal ve Prigsheim alamda limsup l yasa ola bir alt dizisi vardr. ise i l ye spat. ve uygu ideal olduuda tae terimi birbiride farl abul edebiliriz.. durum: Eer : ise l K : olduuda l dizisii sabit olmaya ve sosuz ise tamda tr : M t dir. Böylece K 0 : dür. l K K : l vardr. Buda dolay da. durum: Eer l ise t R : Mt R l: t dür. l A : l l l i eyfi bir terimi ve lim dir. Böylece herhagi K dur. t R içi (6.9) 4
olsu. olduuda A l bo deildir ve ayrca A l dür. Biz l l olma üzere e az bir l A l var olduuu iddia ediyoruz. Tersii abul edelim. uygu olduuda... A l (6.0) ü bir elemadr yai A l l l dür. Bu bir çeliidir. l ye l diyelim. Böylece dir. Bu yötemle devam edere tüm i ler içi ile iili iili i alt dizisii elde ederiz. Herhagi K 0 içi i i l i l : K solu bir ümedir. Bu üme uygu ideal olduuda e i i i iili aittir. Buda dolay da lim dur.. durum: l olsu. Teorem 5.. 6 () gereice l: l dür öylei l: l dir. Bu ümei l l (6.) olaca eilde e az bir l elema var olduuu iddia ediyoruz. Asi halde l: l l: l (6.) olur. Bu ise bir çeliidir. Böylece l l l l dir. l l olma üzere olaca eilde seçebiliriz. Asi tadirde de l l: l... olur i bu Teorem 5.. 6 () ile çeliir. Böylece l: l l dir. imdi Bu durumda l E l ve elema l l (6.) l E l (6.4) olmas daima l olmas geretirir. 5
E : : l l l l l (6.5) 4 Teorem 5.. 6 () gereice sa taraftai üme e aittir ve böylece E dür. uygu ideal olduuda... l: l... E l olur. Buda dolay (6.6) l : l olur i bu Teorem 5.. 6 ile çeliir. dir. Böylece Yuardai gözlemler l l l ola l l saylar var olduuu gösteriyor. Bu yolla devam ederse üzere i i i l i olur. Böylece i i alt dizisii elde ederiz öylei her i içi i i l i i i l i l i l i iili olma l i alt dizisi l ye Prigsheim alamda yasatr. Böylece Uyar 4..4 gereice l ye Prigsheim alamda ispat tamamlar. yasatr. Bu teoremi imdi limsup ve limif ile ilgili aadai teoremleri verelim. Teorem 6..4 Eer limif l yasa ola bir alt dizisi vardr. ise i l ye Prigsheim alamda Teorem 6..5 Her alamda srl reel çolu dizisi solu reel bir sayya Prigsheim yasa ola bir alt diziye sahiptir. 6
KAYNAKLAR Albayra H. 008. deal ve Yasal. S.D.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü Yüse Lisas Tezi 8s sparta. Buc R C. 95. Geeralized Asymptotic Desity. America Joural Mathematics 75 5-46. Bülbül A. 994. Geel Topoloji. Karadeiz Tei Üiversitesi Yaylar No:07 9s. Trabzo. Coor J. S. 988. The Statistical ad Strog p-cesaro Covergece of Sequeces. Aalysis 847-6. Çaa C. Altay B. Mursalee M. 006. The Covergece ad Core of Double Sequeces. Applied Mathematics Letters 9-8. Fast H. 95. Sur la Covergece Statistique. Colloquium Mathematicum 4-44. Freedma A. ve R. Sember J. J. 98. Desities ad Summabilities. Joural of Mathematics 95 9-05. Pacific Fridy J. A. 985. O Statistical Covergece. Aalysis 5 0-. Fridy J. A. 99. Statistical Limit Poits. Proceedigs of the America Mathematical Society 8 87-9. Fridy J. A. ve Orha C. 997. Statistical Limit Superior ad Limit ferior. Proceedigs of the America Mathematical Society 5 65-6. Göha A. ve Çola R. 004. The Double Sequeces Spaces Applied Mathematics ad Computatio 57 49-50. C P p ve C PB p. Göha A. Gügör Et M. 007. Statistical Covergece of Double Sequeces of Real-Valued Fuctios. teratioal Mathematical Forum 8 65-74. Gürdal M. 004. Baz Yasal Tipleri. S.D.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü Dotora Tezi 7s SPARTA. Gürdal M. Pehliva S. 004. The Statistical Covergece i -Baach Spaces. The joural of Mathematics 07-. Gürdal M. ahier A. 008. Etremal -Limit Poits of Double Sequeces. Applied mathematics 8-7. 7
Hamilto H. J. 96. Trasformatios of Multiple Sequeces. Due Math. Joural 9-60. Jech T. 00. Set Theory. Spriger Moographs i Mathematic Spriger-Verlags 769 Berli. Kelly J. L. 955. Geeral Topology Spriger-Verlag Newyor. Kostryo P. Šalát T. Wladyslaw W. 000. -Covergece. Real Aalysis Echage 6 669-686. Kostyro P. Mag aj M. Šalát Strauch O. 000. O Statistical Limit Poits. Proceedigs of the America Mathematical society 9 9 647-654. Kostryo P. M. Šalát 005. -Covergece ad Etremal -limit poits. Mathematical Slovaca 5544-464. Kupers L. Niederreiter M. 974. Uiform Distributio of Sequeces. Wiley New Yor. Lusteri L. A. Sobolev V. J. 985. Elemets of Fuctioal Aalysis. No:4778. Russia. Magaj M. Šalát T. 00. Statistical Covergece of Subsequeces of a Give Sequece. Mathematica Bohemica 6 9-08. Mursalee O. Edely H. H. 00. Statistical Covergece of Double Sequeces. Joural Mathematical Aalysis Applicatios 88 -. Musayev B. Alp M. 000. Fosiyoel Aaliz. Balc yaylar. Nive. Zucerma H. S. Motgomery H. L. 99. A troductio to the Theory of Numbers. Fifth Editio Joh Wiley ad Jos c.59. Patterso F. Richard 004. Four Dimesioal Matri Characterizatio of The Prigsheim Core. Southeast Asia Bulletio of Mathematics 7 899-906. Pehliva S. Mamedov M. A. 999. Uiform Statistical Covergece. Tools for Mathematical Modellig 4-47. Pehliva S. 00. statistisel yasal Üzerie Ders Notlar. Süleyma Demirel Üiversitesi sparta. Prigsheim A. 900. Zur Theorie der Zweifach Uedliche Zahlefolge. Mathematische Aale 5 89-. Rath D. Tripathy B. C. 994. O Statistically Coverget ad Statistically Cauchy Sequeces. dia Joural Pure Applicatios Mathematical 5 4 8-86. 8
Robiso G. M. 96. Diverget Double Sequeces ad Series. Trasactios of America Mathematical Society. 8 50-7. Šalát T. 980. O Statistically Coverget Sequeces of Real Numbers. Mathematical Slovaca 0 9-50. Schoeberg. J.959. The tegrability of Certai Fuctios ad Related Summability Methods. America Mathematical Mothly 66 6-75. Steihaus H. 95. Sur la Covergece Ordiiaire et la Covergece Asymptotique. Colloquium Mathematicum 7-74. ahier A. Gürdal M. Düde F. K. 007. Triple Sequeces ad Their Statistical Covergece. Selçu Joural of Applied Mathematics 8 49-55. ahier A. Tripathy B. C. 008. Some -Related Properties of Triple Sequeces. Selçu Joural of Applied Mathematics 9 9-8. Tripathy B. C. 988. O Statistical Covergece. Proc. Estoja Acad. 47 4 99-0. Tripathy B. C. 998. O Statistically Coverget Sequeces. Null Cal. Mathematical Society 90 59-6. Tripathy B. C. 998. O Statistical Covergece. Proceedigs Estoja Acad. Sci. Phys. Math. 47 4 99-0. Tripathy B. C. 000. A Note O Statistical Covergece. Far East Joural Mathematical Scieces 87-9. Tripathy B. C. 00. Statistical Coverget Double Sequeces. Tamag Joural Mathematical 4-7. Tripathy B. K. Tripathy B. C. 005. O -coverget Double Sequeces. Soochow Joural of Mathematics 4 549-560. Tripathy B. C. Dutta A. J. 007. Statistically Coverget ad Cesáro Summable Double Sequeces of Fuzzy Real Numbers. Soochow joural of Mathematics 4 85-848. 9
ÖZ GEÇM Ad Soyad Doum Yeri ve Yl Medei Hali Yabac Dili : Fatma Kadriye ÖRGEN : Burdur 98 : Evli :gilizce Eitim Durumu Lise Lisas : 996-000 sparta Güra Lisesi : 00-005 Süleyma Demirel Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi 40