ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ebubekir TOPAK SERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2008

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR Ebubekir TOPAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez / /2008 Tarihide Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafıda Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir. İmza... İmza.. İmza... Yrd.Doç.Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Yrd.Doç.Dr Ela AYDIN Yrd.Doç.Dr. Hüseyi BİLGİÇ DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez Estitümüz Aabilim Dalıda hazırlamıştır. Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Estitü Müdürü İmza ve Mühür Not: Bu tezde kullaıla özgü ve başka kayakta yapıla bildirişleri, çizelge, şekil ve fotoğrafları kayak gösterilmede kullaımı, 5846 sayılı Fikir ve Saat Eserleri Kauudaki hükümlere tabidir.

ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR Ebubekir TOPAK ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Daışma : Yrd.Doç.Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Yıl : 2008, Sayfa: 3 Jüri : Yrd.Doç.Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN Yrd.Doç.Dr. Hüseyi BİLGİÇ Bu çalışmada bir L Lie cebirii evresel evelopig cebiri iceleerek bir bazıı yapısı verilmiştir. Buda başka Lie cebirleride bilie bazı algoritmalar içi daha öce yapıla bilgisayar proğramlarıda farklı bir yolla bilgisayar programı yazılmıştır. Bu çalışmada bir Serbest Lie cebirleride bilie bazı algoritmalar içi bilgisayar programı yazılmıştır. F bir serbest Lie cebiri olduğuda F Lie cebirii () Hall bazıı, F i F, alt merkezi, F türetilmiş ve F, 2, K, polycetral k serilerii terimleri içi serbest üreteç kümelerii ve bazlarıı vere bilgisayar programı yapılmıştır. Ayrıca solu takdimli bir Lie cebirii doğurayları belli ola bir B alt cebiri içi modülob bazıı hesaplaya program yapılmıştır. Aahtar Kelimeler: Hall bazı, serbest Lie cebirleri, Lydo kelimeleri, dairesel kelimeler, Gröber bazı. I

ABSTRACT MSc THESIS COMPUTATION IN FREE LIE ALGEBRAS Ebubekir TOPAK DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervisor : Assist.Prof.Dr.Ahmet TEMİZYÜREK Year : 2008, Pages: 3 Jury : Assist.Prof.Dr.Ahmet TEMİZYÜREK Assist.Prof.Dr. Ela AYDIN Assist.Prof.Dr. Hüseyi BİLGİÇ I this study we have ivestigated the uiversal evelopig algebra U(L) of a Lie algebra L ad the structure of its bases has bee give. Furthermore, we have give further computer programs differet from former programs for some well kow algorithm about Lie algebras. Let F be a Free Lie algebra, we have give a computer program which calculate the Hall bases of a free Lie algebra of F, free geerators sets ad bases for the terms of the lower cetral series F, the polycetral () series F, 2, K, ad derived series F of F..Let L be a fiitely preseted Lie k algebra ad B be a subalgebra of L which its geerators are give. The we give a computer program fidig bases i L modulo the subalgebra B. Key Words: Hall base, free Lie algebra, Lydo words, circular words, Gröber base. II

TEŞEKKÜR Bu çalışmaı hazırlaması sırasıda bilgi ve tecrübeleriyle bei aydılata, her aşamasıda yardımlarıı esirgemeye, değerli zamalarıı ayırarak çalışmaı tamamlamasıı sağlaya, bilgisi ve kişiliğiyle örek aldığım saygıdeğer daışmaım Yrd.Doç.Dr. Ahmet TEMİZYÜREK e sosuz teşekkürlerimi suarım. Ayrıca saygı değer hocam Prof.Dr. Naime EKİCİ ye, her zama bei cesaretledire sevgili arkadaşım ve hocam Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN a ve tüm Matematik Bölümü akademik persoelie teşekkür ederim. Tezimi yazımıda yardımlarıı esirgemeye değerli mesai arkadaşım Ertuğrul UYGUN a ve ağabeyim Mehmet TOPAK a teşekkür ederim. Bugüe kadar desteklerii esirgemeye ve her zama yaımda ola aeme, babama teşekkür ederim. Özellikle çalışmamı hazırlaması sürecide desteğii esirgemeye sevgili eşim Yasemi e ve düya tatlısı yavrularıma sosuz teşekkürlerimi suarım. III

İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ...I ABSTRACT...II TEŞEKKÜR...III İÇİNDEKİLER...IV SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ...VI. GİRİŞ... 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER...3 2.. Lie Cebiri...3 2.2. Serbest Lie Cebirleri...6 2.3. Serbest Lie Cebirii Hall Bazları...8 2.4. Bir Serbest Lie Cebirii Alt Merkezi Serisii Terimleri İçi Serbest Üreteçler...2 2.5. Policetral Seriler ve Poliilpotet Lie Cebirleri...5 2.6. Bir Serbest Lie Cebirii Policetral Serilerii Terimleri içi Bazlar ve Serbest Üreteçler...6 2.7. Serbest Poliilpotet Lie Cebirleri içi Bazlar...7 2.8. Dairesel kelimeler ve modulo B bazı...8 3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ...2 3.. Serbest asosyatif cebirlerde idealler...2 3.2.Uiversal Evelopig Algebra...27 4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS)...35 4.. İlkel kolyeleri (primitive eclaces) sayısı...35 4.2. Hall Kelimeleri ve İlkel Kolyeler (Primitive Neclaces)...40 4.3. Lydo kelimelerii üretilmesi...4 4.4. Lydo Kelimelerie Parçalaış...45 4.5. İlkel Kolyeleri Multikümeleri ve Kelimeleri...49 5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER...56 5.. Ö bilgiler...56 IV

5.2. İptal Edilemez kümeler...6 5.3. Aa souç...64 6. LİE CEBİRLERİNİN SONLU KOBOYUTLU ALT CEBİRLERİ VE KOBOYUTU HESAPLAMA ALGORİTMASI...66 6.. Modülo baz içi Algoritma...67 7. PROGRAMLAR...7 7.. Giriş...7 7.2. Hall ve Lydo Kelimelerii bula Delpi7 Programı...7 7.3. Koboyutu hesaplaya Delpi7 Programı...9 KAYNAKLAR... ÖZGEÇMİŞ...3 V

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ [, ] : Lie cebiride braket çarpımı N < L : L i bir N ideali L : Bölüm cebiri N L 2 = [ L, L] : L i türetilmiş ( komütatör) alt cebiri L : Lie cebiri F : Serbest Lie cebiri X : Üreteç Kümesi X : X i elemalarıı serbest çarpımı F X : X tarafıda üretile serbest Lie cebiri F(X) olarak da gösterilir K = A? : K üzeride A ı tüm serilerii kümesi H : Hall Kümesi la ( ) : a kelimesii uzuluğu µ : Möbius foksiyou F ( m) : F i m -ici alt merkezi serisii terimii C m : F ( m) içi bir serbest üreteç kümesi ld( f ) : f i e yüksek dereceli (leadig) terimi LM(h) : h i e büyük derceli moomiali (tek terimlisi) x i : x iφ altıdaki görütüsü φ ( x i ) = x i U( L ) : L i Uiversal Evelopig cebiri ϕ : Euler fi foksiyou VI

. GİRİŞ Ebubekir TOPAK. GİRİŞ Kompozisyo ve parçalama metotları, Campbel-Housdorf formülüü içere metotlar ve so zamalarda gelişe maifoldlar üzeride diferasiyel deklemleri itegralleebilmesi içi Lie grup metotları gibi, Lie cebirleri de hesaplama içere bir çok algoritma vardır. Ayrıca Serbest Lie cebirleride birçok algoritma GAP paket programıı kullaarak bilgisayarlar yardımıyla kolayca çalıştırılabilmektedir. A.M. Cohe, W. A. De Graaf ilpotet olmaya bir Lie cebiride ilpotet olmaya bir elemaı belirleye algoritma ve Carta alt cebirlerii belirleye algoritmayı bilgisayar kullaarak hızlı bir şekilde çalıştığıı göstermişlerdir. Lydo kelimeleri bir serbest Lie cebirii -ici homoje bileşeii bazıı kurmada kullaılmaktadır. J.Sawada ve F. Ruskey (2003) - uzuluklu tüm Lydo kelimeleri içi stadart braketleri etki olarak doğura bir algoritma geliştirmişlerdir. (Bu braketler serbest Lie cebirii -ici homoje bileşeii bazıı teşkil eder.) Serbest Lie cebirleride elde edile algoritmaları bilgisayar ortamıda çalıştırılabilmeleri e az algoritma geliştirmek kadar öemlidir. Bu çalışmada Serbest Lie cebirleride verile bazı algoritmaları iceleyerek bu algoritmalar içi bilgisayar programı yazılmıştır. İkici bölümde tez içide kullaılacak ola taım, teorem ve bazı gösterimlerde bahsedilmiştir. Üçücü bölümde L bir Lie cebiri olduğuda L i evresel evelopig cebirii yapısı icelemiş olup Evresel evelopig cebiri bir bazı içi Poicaré Birkhoff Witt Teoremi verilmiştir. Dördücü bölümde Serbest Lie cebiri ile dairesel kelimeler arasıdaki ilişkileri icelemiştir. Witt formülü ile verile homoje boyutu ve ilkel kolyeleri sayısıı eşitliğii söyleyerek kolyeleri ve ilkel kolyeleri sayısı hesaplamıştır. Daha sora Hall kelimeleri ile ilkel kolyeler arasıdaki birebir ve örte bağıtı icelemiştir. Lydo kelimelerii ürete bir algoritmayı iceleyerek verile bir kelimei Lydo kelimelerideki parçalaışı hesaplamıştır. Hall kelimeleri içideki bir kelimei parçalaışı, kelimeler ile ilkel kolyeleri multisetleri arasıda birebir ve örte bağıtıyı ifade ettiği gösterilmiştir.

. GİRİŞ Ebubekir TOPAK Beşici bölümde Lydo kelimelerii daha değişik bir yolla algoritmik olarak vere bir tekikte badsedilmiştir. J. M. Champaraud, G. Hasel ve D. Peri (2003) tarafıda verile Sabit uzuluklu iptaledilemez kelimeler ile belirlediği gösterilmiştir. Tezi so bölümüde, daha öce yapıla bilgisayar programlarıda farklı bir yolla bir serbest Lie cebirii Hall bazıı, alt merkezi serisii terimleri içi üreteç kümeleri ve bazlarıı bula bir bilgisayar programı yapılmıştır. ( E çok yirmi uzuluktaki kelimelere kadar icelemiştir). Ayrıca Ela AYDIN (997) tarafıda verile solu takdimli bir L Lie cebirii herhagi bir B alt cebirii üreteçleri bilidiğide koboyutu vere algoritmaı bilgisayar programı yazılmıştır. 2

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu çalışmamız boyuca aksi belirtilmedikçe cebirleri tamamıı bir k cismi üzeride kabul edeceğiz. 2.. Lie Cebiri Taım 2..: L, k cismi üzeride herhagi bir vektör uzayı olsu. Her xy, L içi ( xy) = xy L de bilieer çarpma olsu. Bu çarpım her,. ( xx) = 0 x Liçi xy L içi 2. ( xyz ( )) + ( zxy ( )) + ( yzx ( )) = 0 xyz,, L içi Koşullarıı sağlıyorsa L ye bu çarpımla birlikte k cismi üzeride bir Lie cebiri deir. Eğer L vektör uzayı olarak solu boyutlu ise Lie cebiri olarak da solu boyutludur. Boyutu ola Lie cebirleri abelyedirler. -boyutlu bir tek Lie cebiri vardır. 2- boyutlu, izomorfik olmaya sadece iki Lie cebiri vardır. Ayrıca Lie cebirleri Jacobi özdeşliğide dolayı birleşmeli değildirler. 2. dekleme Jakobi özdeşliği deir. Lie çarpımı xy = [ xy, ] şeklide gösterilir. [ x+ yx, + y] = 0 koşulu [ xy, ] = [ yx, ] olmasıı gerektirir. L bir Lie cebiri ve M L olsu. M, L i bir alt uzayı ise (Bir vektör uzayı gibi düşüeceğiz), M Lie çarpımı altıda kapalı ise M ye L i bir Lie alt cebiri deir ve M L ile gösterilir. Taım 2..2: Eğer N, L i bir alt cebiri ve NL LN N (veya xy = yx olduğuda N ) ise N ye L i bir ideali deir ve N < L ile gösterilir. 3

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK Taım 2..3: L, bir Lie cebiri ve M < L olsu. L bölüm cebiri aşağıdaki M şekilde taımlaır { } L M = M + x x L Olmak üzere L M içeriside çarpma ve toplama işlemii; Eğer x+ M, y+ M L içi M ( x+ M) + ( y+ M) = ( x+ y) + M ( x+ M)( y+ M) = ( xy) + M olarak taımlayalım. L M bu işlemlerle bir Lie cebiridir. Bu cebire L i M ile bölüm cebiri deir. L bir Lie cebiri ve xy, L ise [ a,[ a, L [ ab, ]] = abile gösterilir. Taım 2..4: L ve M ayı k cismi üzeride iki Lie cebiri olsu. Bir α :L M, bir lieer döüşümü xy, L içi; ([ xy, ]) = [ ( x), ( y) ] α α α oluyorsa α ya bir Lie homomorfizmi deir. Eğer bu döüşüm birebir ve örte ise izomorfizm deir. Eğer α, L üzeride bir izomorfizm ise o zama α ya L i otomorfizmi deir. doğrudur. Geellikle homomorfizm teoremleri Lie cebiri homomorfizmleri içi de Teorem 2..5 (Stewart, 970) : L, M bir k cismi üzeride iki Lie cebiri ve α :L M bir homomorfizm olsu. O zama aşağıdakiler doğrudur. i) α( L) M ; Kerel( α ) < L ve L α( L) Kerel( α ) ii) H, K < L ve K H L/ K L H K H < ise ( ) ( / ) 4

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK iii) H < K, K < L ise H < ( H + K) ve ( H K) < K ve ( H + K) K K ( H K) iv) Φ: L ( L H ) doğal homomorfizmdir. H < L ise L i idealleri ile L H i idealleri arasıda bire bir ve örte bir ilişki vardır. Taım 2..6: =,2, K içi L terimleri tümevarımla aşağıdaki şekilde taımlaır: L = L, L + = [L, L] Böylece L i ideallerii azala bir serisi elde edilir. L = L L 2 L L + Bu seriye L i alt merkezi serisi deir. L i L [ L, L] 2 = alt cebirie türetilmiş ( komütatör) alt cebir deir. Eğer L k {0} ve L k = {0} olacak şekilde bir k pozitif tam sayısı varsa L ye k yıcı derecede ilpotet Lie cebiri deir. Eğer L 2 ici derecede ilpotet yai [L,L] = 0 ise L ye abelye deir. Taım 2..7: =,2, K içi L terimleri tümevarımla aşağıdaki şekilde taımlaır: L = L, L + = [L, L ] Böylece L i ideallerii azala bir serisi elde edilir. L = L L 2 L L + Bu seriye L i türetilmiş serisi deir. Eğer L k {0} ve L k = {0} olacak şekilde bir k tam sayısı varsa L ye k yıcı derecede çözülebilir Lie cebiri deir. Taım 2..8: {,, 2 K,,K} k i =,2, K, k, K içi i olmak üzere pozitif tamsayıları bir dizisi içi L i polisetral serisi aşağıdaki şekilde taımlaır: L ; L i alt merkezi serisii - ici terimi 5

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK L,...,, i i + = (L,..., i ) i +,...,, L i alt merkezi serisii i + ici terimi olsu. Böylece elde edile L L L, L L 2, L, L i, L,, i i + serisie L i polisetral serisi deir. i - Eğer L,..., = {0} ve k i leri hiçbiri bu eşitlik sağlaacak şekilde daha küçük pozitif sayılarla değiştirilemiyor ise L ye {,, k } dizisie göre poliilpotet Lie cebiri deir. Eğer = 2 = 2 ve L 2, 2 = {0} ise L ye metabelye Lie cebiri deir. 2.2. Serbest Lie Cebirleri Taım 2.2.: X herhagi bir küme, F bir Lie cebiri ve i: X F bir döüşüm olsu. Her B Lie cebiri ve her α : X B döüşümü içi α = η i olacak şekilde bir tek η : F B Lie homomorfizmi varsa (F,i) çiftie X üzeride bir serbest Lie cebiri deir. Buu aşağıdaki diyagramla ifade ederiz: gibi kurulur. α i X F B η birtek X herhagi bir küme olduğuda X üzeride bir serbest Lie cebiri aşağıdaki Her bir pozitif tamsayısı içi X = X p p p= X bir kümesii aşağıdaki gibi taımlayalım: X = U ( X X ) (2.2.) buradaki işlemi kümelerdeki kartezye çarpımdır. M( X) = U X olsu. Her = ab, M( X) içi = p+ q olduğuda a X p ve b Xq ise ( ab, ) ( X p Xq) dur. 6

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK O zama ( ab, ) ( X p X p), X içi X = U ( X X ) (2.2.) deki birleşimi p p p= bileşeleride biridir. ( ab, ) i ( X X ) X e kaoik ijeksiyo altıdaki p p görütüsüü ( ab ) olarak gösterelim. O zama ab, M( X) içi ( ab.) çarpımıı taımlayabiliriz. M( X ) i a elemaıı uzuluğu p tamsayısıdır öyle ki a X p dir ve la ( ) ile gösterilir. Bu taıma göre uzuluğu ola elemalar X i elemalarıdır. ab, M( X) içi; lab ( ) = la ( ) + lb ( ) Uzuluğu 2 ola elemalar, a ve b i uzuluğu c i uzuluğuda daha küçük olmak üzere, şeklidedir. c= ( ab) k herhagi bir cisim olmak üzere, k üzeride bazı M(X) ola bir vektör uzayı, M(X) deki elemaları k lieer kombiasyolarıda oluşur. M(X) deki çarpma, bu vektör uzayıı tamamıa geişletilebilir. Böylece k üzeride solu boyutlu olmaya ve birleşmeli olmaya serbest bir cebir elde edilmiş olur. Bu cebire N(X) diyelim. N(X) içide Q(a) = aa J(a,b,c) = a(bc) + b(ca) + c(ab) şeklideki elemalarla doğrula ideal A olsu. O zama F(X) = N ( X ) A bölüm cebiri X üzeride bir serbest Lie cebiridir. X kümesie F(X) içi bir serbest üreteç kümesi deir. Buda böyle F(X) i kısaca F ile göstereceğiz. Taım 2.2.2 : F bir serbest cebir olsu. F de her bir terimi ayı derecede ola elemaa homoje elema deir. Öreği: X={a,b,c} ve F(X) serbest cebir olsu. u=(ab)+(bc) elemaı ikici derecede homoje elemadır. 7

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK Teorem 2.2.3 (Bourbaki, 972): η : N( X) F( X) kaoik döüşüm ve φ de η i X e kısıtlaması olsu. L herhagi bir Lie cebiri olmak üzere her f : X L döüşümü f = gφ olacak şekilde bir tek g: F( X) L homomorfizmi vardır. X f L g η N( X) F( X) Taım 2.2.4: L bir Lie cebiri ve A { a i I} F( I ), I üzeride serbest bir Lie cebiri olsu. Eğer σ i a : i = L i elemalarıı bir ailesi olsu. olacak şekilde F( I ) da L ye içie bir σ homomorfizmi varsa ve i) σ örtese A ya L i üreteç kümesi; ii) σ birebir örte ise L ye serbest Lie cebiri deir. i L serbest ise A ya L i serbest üreteç kümesi deir. A solu ise L ye solu üreteçli serbest Lie cebiri ya da solu üretilmiş serbest Lie cebiri deir. Taıma göre F bir serbest Lie cebiri içideki herhagi iki serbest üreteçli iki küme, ayı kardialiteye sahiptir. kardialitesie F i rakı diyeceğiz. F i serbest üreteçli bir kümesii Taım 2.2.5: Eğer bir u F elemaı F i bir serbest üreteç kümesie aitse u ya primitif elema deir. Teorem 2.2.6 (Shirsov, 958) : Bir serbest Lie cebirii her alt cebiri de serbesttir. 2.3. Serbest Lie Cebirii Hall Bazları Daha öce taımladığımız M( X ) kümesi, k üzeride bir vektör uzayı gibi düşüüle asosyatif olmaya N( X ) serbest cebiri içi bir bazdır. M( X ), N( X ) içide lieer bağımsız olmasıa rağme, F( X ) içide lieer bağımsız değildir. 8

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK Öreği ab, M( X) içi ab ve ba formudaki elemalar N( X ) de lieer bağımsız olmakla beraber F( X ) de lieer bağımlıdırlar. ( ab) = ( ba) dır. Bu edele F( X ) içi M( X ) bir baz olamaz. Bu bölümde F( X ) i bir vektör uzayı olarak düşüdüğümüzde F( X ) serbest Lie cebiri içi bir baz kümesi kuracağız. görülür ki dir. M ( X ) ile M( X ) içideki uzuluğu ola elemaları gösterelim. Açıkça M ( X) = X Taım 2.3.: Bir Hall, H M( X) alt kümesi aşağıdaki gibi taımlaır. i) X H ve X e tam sıralama verilmiş olsu. ii) H M 2 ( X) kümesi xy, X ike x< y olmak üzere ( xy ) formudaki elemalarda meydaa gelir. m iii) H M ( X) m=,2,3,..., içi taımlamış ve uzuluğu koruya bir sıralama verilmiş olsu. Yai uv, M( X) ve lu ( ) < lv () ise u < v yazalım. Ayı uzuluktaki elemaları keyfi olarak yazalım. O zama k H M ( X) = abc ( ) abc,,,( bc) U ( H M ( X), ) i k, a b< c, a< bc k= ve H = ( H M ( X) ) U olsu = H = H M ( X) dersek o zama H = U H kümesi F( X ) i bir bazıdır. Bua Hall bazı deir ve = H, H2,..., H kümelerie Hall kümeleri deir.verile bir X kümesi üzeride farklı Hall kümeleri taımlaabilir. Kısaca X olmak üzere Hall bazı şöyle ifade edilir. H = X, X e tam sıralama verilir. 9

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK { } H2 = ( xy) xy, X, x< y { ( ),,, (... ),, } H = abc abcbc H H H a b< c a< bc 2 Teorem 2.3.2 (Bourbaki, 972): F, X kümesi üzeride serbest bir Lie cebiri olsu. X kümesi kümesi üzerideki bir Hall kümesi F i vektör uzayı olarak bir bazıdır. F serbest Lie cebirii bir elemaı, baz elemalarıı bir lieer kombiasyou olarak yazılabilir. F, X üzeride bir serbest Lie cebiri olsu. F i Hall bazıı X H ile göstereceğiz. Hall kümesideki herhagi bir kelimei uzuluğu aksi belirtilmedikçe kelimei kompozisyoudaki harfleri sayısıdır. Buu u H içi X lu ( ). H kümesii sırasıı aşağıdaki gibi belirleyeceğiz. i) X keyfi seçilmiş bir sıradadır ii) H i iki elemaı u = uu 2ve v= vv 2 olsu. Eğer lu ( ) < lv () ise u < v yazılır. Örek 2.3.3: X { abc,, } H = olsu. = X ve kabul edelim ki a< b< c olsu. { ab ac bc} H2 =,, ve kabul edelim ki ab< ac< bc olsu. { aab bab cab aac bac cac bbc cbc } H3 = ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ve kabul edelim ki yazılış sırası gerçek sırası olsu. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ),( ) )( ),( )( ),( )( )} H4 = { a aab ( ), b aab ( ), c aab ( ), bbab ( ), c bab ( ), c cab ( ), a aac b aac c aac bbac c bac c cac bbbc cbbc c cbc ab ac ab bc ac bc Eğer X solu bir küme ise bir metodu vardır. Öce aşağıdakie ihtiyacımız var. H i içideki elemaları sayısıı belirlemei 0

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK Taım 2.3.4: N pozitif tamsayıları gösterir. Möbius foksiyou µ : N {,0, } şöyle taımlaır: µ ( ) = 0, Eğer birasalsayııkaresiilebölüebiliyorsa µ ( ) = µ () =, µ ( ) = ( ) k, Eğer = p. p2... pk ( pilerasal sayı) Örek 2.3.5: µ () = µ (2) = ( ) =, 2= 2, k = µ (3) = ( ) = 3= 3 k = µ (4) = 0 2 4= 2 µ (5) = ( ) = 5= 5 k = µ (6) = ( ) 2 = 6= 2.3 k = 2 M µ (2) = 0 2 2= 2.3 M Teorem 2.3.6 (Bourbaki, 972): X bir küme ve X = r, X i elemalarıı sayısıı göstersi. O zama H, X üzeride bir Hall küme ise elemaları sayısı içi H içideki H = µ ( d). r d d d dir. Örek 2.3.7: Kabul edelim ki X = 3 olsu. O zama; H = 3 = ().3 3 H = µ =

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK H 2 = 3 = 2 H 3 = 8 = 3 H 4 = 8 = 4 2 2 2 H 2 = µ ().3 + µ (2).3 = 3 2 3 3 3 H 3 = µ ().3 + µ (3).3 = 8 3 4 4 4 2 4 H 4 = µ ().3 + µ (2).3 + µ (4).3 = 8 4 H 5 = 48 = 5 ve geel olarak d d H i elema sayısı d µ ( d).3 5 5 5 H 5 = µ ().3 + µ (5).3 = 48 5 şeklidedir. Ayrıtılı bilgi içi Warm (964), Shirsov (962) ve Bourbaki (972) ye bakabilirsiiz. Not: Tek üreteçli serbest Lie cebirleri içi bir istisai durum vardır. ( xx ) = 0 olmasıda ve bir vektör uzayı olmasıda dolayı bir boyutlu olduğu görülür. 2.4. Bir Serbest Lie Cebirii Alt Merkezi Serisii Terimleri İçi Serbest Üreteçler k üzerideki bir serbest Lie cebirii m 2 içi F ( m) alt merkezi serisii terimleri F i bir alt cebiri gibi solu üretilmiş değildir. Bir elema tarafıda üretilmiş serbest Lie cebirleri serbest abelye olduğuda bu durum istisadır. Alt merkezi seriler içi serbest üreteç kümesii bulma problemi ilk kez Grüberg (957) tarafıda grup teoriside ele alımıştır. Bir souç olarak Witt (956) tarafıda serbest Lie halkaları içi uygulamıştır. F, bir serbest Lie cebiri olsu, F ( m) içi serbest üreteç kümesi Smel ki (963) tarafıda verilmiştir. Gruplar ve serbest Lie halkaları içi detaylı bilgiyi Warm (972) da bulabilirsiiz. F, k cismi üzeride serbest bir Lie cebiri ve X serbest üreteç kümesi olsu. H, X üzeride yapılamış F içi bir Hall kümesi olsu. H ( ), uzuluğu ola H 2

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK deki elemaları kümesii göstersi. F ( m) ile F i m -ici alt merkezi serisii terimii göstereceğiz. Teorem 2.4. (Smel ki, 963): C m, ( m) m C m yi şöyle taımlayalım. {,, ( ),, ( ) } C = x= aa a a H lx m x H la < m F içi bir serbest üreteç kümesidir. H i taımı kullaılarak 2 2 C m i açıklaması aşağıda daha iyi yapılmıştır. C = { x= x ( x (...( x x ))...) lx ( ) m, x ( H... H ), m 2 r r i m x x... x < x, r 2, 2 r Eğerx = bb ise x b } r 2 r C m i elemalarıı ürülerii oluşturarak ( m) r F Lie cebiri içi C m serbest üreteçleri üzeride Cm H bir Hall bazı yapısıı kurarız. h, C m formudaki elemaları bir kelime ise h i X-uzuluğuu X lh ( ) ve Cm -uzuluğuu da Cm lh ( ) ile göstereceğiz. alıabilir. C m, H i bir alt kümesi olduğuda C H m = C m {,, } H = aa a a C a < a C m 2 2 2 m 2 C m deki sıra H deki ile ayı sırada Şimdi C H 2 m Cm aşağıdaki gibi sıradadır. hg, H2, h= hh 2 ve g = gg 2, h, h2, g, g2 Cm. Eğer X lh ( ) < X lg ( ) ise h< g yazılır. Kabul edelim ki h ve g ayı uzulukta olsu. O zama h< g h2 < g2 veya h2 = g2 ise h < g dir. C Kabul edelim ki m Cm H,..., H taımlı ve sıralı olsu. Şuu yazarız; Cm H = { x = a ( aa ) C lx ( ) =, a < aa, a a < a, 2 3 m 2 3 2 3 Cm Cm a, a2, a3, aa 2 3 ( H... H ) } Cm Cm eşitsizliği işareti (yöü) ( H... H ) i içideki sırasıa göredir. Şimdi C H, H 2 m C m 3

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK içi taımlamış bezer bir sırada verelim. Artık bu sırayı H Cm =U j= H Cm j gibi taımlar ve Not: Cm H i geişletmiş olabiliriz. Cm H i sırası H deki ile bir arada olmasıa gerek olmayabilir. Şu aşikârdır ki C H 2 m C i içideki elemalar öyle elemalardır ki H m = C m i bir elemaıda X l de küçük. Eğer L bir ilpotet Lie cebir ise L i her alt cebiri ayı zamada ilpotet olacak ve asıl cebiri olası bir alt merkezi ilpotettir. Bir öceki bölümde şuu ifade etmiştik; verile bir X kümesi, X üzerideki H Hall kümesi, X üzerideki F serbest Lie cebiri içi toplamsal bir bazdır. ( ) L( m) L( ) L ( m + ) de dolayı uzuluğu ola F i her elemaı F ( ) i içidedir. Bu edele H F( ) dir. Taım 2.4.2: L, bir X üzeride serbest bir Lie cebiri olsu. Eğer bir pozitif tamsayısı içi L = F F ( ) olacak şekilde bir X tarafıda üretile F serbest Lie cebiri varsa L ye -ici derecede serbest ilpotet Lie cebiri deir. Teorem 2.4.3: F, bir X üzeride serbest bir Lie cebiri olsu. H, F içi bir Hall F( ) bazı olsu. O zama F ( + ) ola elemalarda oluşur. Yai serbest Lie cebirii bazı da H dir ve uzuluğu H dir. Teorem 2.4.4: L = F bir serbest ilpotet ve F içi bir Hall bazı H olsu. F ( ) uzuluğu ola H i elemaları ise ( H H2... H ), L içi bir toplamsal baz formudadır. 4

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK 2.5. Policetral Seriler ve Poliilpotet Lie Cebirleri Taım 2.5.: L, serbest bir Lie cebiri olsu ve L i alt merkezi serisi N içi { ( ) } L olsu. Kabul edelim ki {,...,,...} bir dizisi olsu. Policetral seriyi şöyle taımlarız. L L... L L i i +, olmak üzere tamsayıları herhagi ( ) ( ),...,( ) ( ),...,( ) i aşağıdaki gibi L i -ici alt merkezi serisii elemaıdır. L ( L ) ( ),...,( i+ ) ( ),...,( i) ( i+ ) i = de L ( ),...,( ) i i + -ici alt merkezi serii terimidir. Eğer ( ),...,( k ) {0} i L = (2.5.) ise {,..., k} dizisie göre L ye poliilpotet Lie cebiri deir. i tamsayılarıı hiçbiri, i =,2,..., k daha küçük bir tamsayı ile yer değiştirebilir ve (2.5.) formuu bir deklemi hala doğru olur. L i policetral serisii terimleri L de bir idealler ziciri şeklidedir. L < L <... < L < L ( ),...,( i+ ) ( ),...,( i) ( ) Burada, policetral bölüm cebirleri yapısı kurulabilir. L ( ),...,( i ) L ( ),...,( i+ ) Eğer bazı tamsayılar dizisie göre, L bir poliilpotet Lie cebiri ise L i herhagi bir alt cebiri ayı zamada poliilpotet olacaktır. Fakat bu alt cebir ayı diziye göre poliilpotet olmak zoruda değildir Taım 2.5.2: L bir X kümesi tarafıda üretile bir serbest Lie cebiri olsu. a) Eğer L F olacak şekilde X üzeride serbest bir F Lie cebiri F varsa L ye yici derecede serbest ilpotet Lie cebiri deir. Eğer L F ise L ye serbest abelye Lie cebiri deir. F 2 5

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK b) Eğer L F m olacak şekilde X üzeride serbest bir F Lie cebiri F varsa L ye m yici derecede serbest çözülebilir Lie cebiri deir. c) Eğer L = F F,..., olacak şekilde X üzeride serbest bir F Lie k cebiri varsa L ye {,, k } dizisie göre serbest poliilpotet Lie cebiri deir. Eğer L = F F 2, 2 olacak şekilde X üzeride serbest bir F Lie cebiri varsa L ye serbest metabelye Lie cebiri deir. Dikkat edilecek olursa 2,2,,2= 4243 k k 2 F F olup {2,2,,2} dizisie göre serbest K poliilpotet bir Lie cebiri, k yıcı derecede serbest çözülebilir Lie cebiridir. 2.6. Bir Serbest Lie Cebirii Policetral Serilerii Terimleri içi Bazlar ve Serbest Üreteçler pozitif tamsayı dizisie göre F ( ),...,( ) terimii serbest üreteç Bir { },..., k kümesi ve Hall bazıı oluşturalım. Daha öce F ( ) içi C serbest üreteç kümesii şöyle taımlamıştık; { ve ( ) ; ( ) } C = x = aa x H lx la < 2 i k C F içi ( ) H Hall bazıdır. Buu daha öce vermiştik. Şimdi F içi ( ),( 2) ayı işlemleri C serbest üreteç kümesi içi yapalım., 2 { C } ; ( ) ; ( ) C = x= aa x H C lx C la <, 2 2 2 2 Bu küme üzerideki sıralama verile elemaları C - uzuluğua ve X- uzuluğua bakılarak sıralaır. Bu şekilde taımlı kümesidir. C kümesi, 2 F i serbest üreteç, 2 Şimdi F içi ( ),( 2) C, 2 H Hall bazıı oluşturalım. C, 2 =, 2 H C {, ; } C, 2 2 = 2 2, 2 < 2 H aa a a C a a 6

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK Bu kümeyi daha öceki gibi sıralayalım. Şimdi böyle taımlamış ve sıralamış olsu. O zama C, 2 m { C, 2, 2,..., C m H H de H = x= a ( aa ) C lx ( ) = m, a < a. a, a a < a 2 3, 2 2 3 2 3 C, C 2, 2 2 3 2 3 m a, a, a, aa ( H... H ) } H =U kümesi F ( ),( 2) i Hall bazıdır. C, C 2, 2 Hm m= F F F F kapsamıı göz öüde buludurursak bu ( ) ( ),( 2) ( ),( 2),...,( k ) ( ),( 2),...,( k) cebirler içi serbest üreteç kümesi ve Hall bazları taımlamış olsu. Şimdi, F( ),( 2),...,( k ) i üreteç kümesi C,..., k C k, ve bazı,..., H dir. C,..., { } k, ( ), ( ) C = x = aa x H C lx C lx <,..., k 2,..., k k,..., k k Şeklidedir. Bu küme aşağıdaki sıraya göre uzuluklar göz öüde buludurularak sıralaır. C C C,..., k,..., k 2 M legths legths legths x legths Bu küme F ı serbest üreteç kümesidir. Kabul edelim ki ( ),( 2),...,( k ) C,..., C k,..., k,..., m H H taımlı ve sıralı olsu. O zama { C,..., k m = = 2 3,..., k < 2 3 2 < 3 H x a ( aa ) C lx ( ) m, a a. a, a a a, C,..., C,..., 2 3 2 3 k k m a, a, a, aa ( H... H ) } Olarak taımlarsak H = C, L U H, k m kümesi m= F ı bazıdır. ( ),( 2),...,( k ) 2.7. Serbest Poliilpotet Lie Cebirleri içi Bazlar 7

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK Bu kısımda L = F F serbest poliilpotet Lie cebirii bir bazıı ( ),...,( k ) kurmak istiyoruz. Buu içi aşağıdaki burada B = H H... H 2 C C C 2 2 = 2... 2 B H H H M k C,... C k,... k... k B = H H k B= U Bi i= B kümesii taımlayalım. Olsu. Bu şekilde taımlaa B kümesi L = F F serbest poliilpotet Lie ( ),...,( k ) cebirii bir bazıdır [ Smel ki ]. B i B = i j j i, j {,2,..., k}. B i kümeleri parçalarıa ayırmalıdır. Şöyle ki B B B M B = X = C 2 2 = C 3 2,2 k = C2,2,...,2 4243 ( k ) tae şeklidedir. k B= U Bi, kümesi L = F ( k ) ı bir bazıdır. F i= 2... k 2,2,...,2 ( k ) Özel olarak = 2 =... = k = 2 alıırsa F = F = F olup F F 2,2,...,2 Lie cebirie serbest metabelye Lie cebiri deir. 2.8. Dairesel kelimeler ve modülo B bazı Taım 2.8.: Değişkeleri x, x2, L, x ola bir poliomu değişkelerii herhagi bir permütasyou alıdığıda değişmeye poliomlara simetrik poliomlar deir. Bir 8

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK başka deyişle simetrik poliom aşağıdaki formda ola poliomlardır.,2, L, idislerii herhagi bir permütasyouu π () i olsu yi = x π () i olmak üzere Py (, y, L, y ) = Px (, x, L, x ) 2 2 dir. Öreği x + x + L + x veya 2 2 2 2 x + x + L+ x 2xx L x poliomları 2 2 2 2 2 simetrik poliomlardır. Taım 2.8.2: A bir alfabe ve K bir halka olsu. w= aa 2 L a ( a A) olmak üzere K üzeride taımlı bir poliom P= ( Pww, ) w A şeklidedir. Tüm poliomlar kümesii K A ile gösterelim. K A, A tarafıda üretile serbest asosyatif K-cebirdir. K üzeride A ı formel serisi (veya serisi) aşağıdaki şekilde solu formel lieer kombiasyolardır. S = ( Sww, ) w A Tüm serileri kümesi K = A? ile gösterilir. i Taım 2.8.3: a ve b iki harf olmak üzere log(e a e b ) serisi bir Lie serisidir. Bu seriye Hausdorff serisi deir. Bu formüle Campbell-Baker-Hausdorff (CBH) formülü deir. Taım 2.8.4.: F, X üzeride serbest Lie cebiri olsu. X kümesie lieer sıralama verilmiş olalım. X i elemalarıı uzuluğu ola regüler kelimeler olarak isimledirelim. Uzuluğu de küçük ola kelimeleri sıralamış olduğumuzukabul edelim. O zama X-uzuluğu ola bir w=uv kelimesie, aşağıdaki koşulları sağlıyorsa bir regüler kelime deir. i) u ve v regüler kelimelerdir., ii) u>v, iii) u = uu 2 ise u2 v dir. 9

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Ebubekir TOPAK X kümesideki elemaları Lie çarpımlarıda oluşa bir kelimeye bir moomial deir. Moomialleri herhagi bir lieer kombiasyoua da bir Lie Poliomu diyeceğiz. O halde bir regüler kelime bir moomialdir. Taım 2.8.5.: L bir Lie cebiri ve M, L i bir alt kümesi olsu. Eğer her f M içi f i leadig terimi ola ld( f) { } elemaı, ld ( g ) g M { f } kümesii doğurduğu alt uzaya ait değilse M ye idirgemiş küme diyeceğiz. Boş kümei idirgemiş olduğuu varsayacağız. Teorem 2.8.7. (Kuki, 972) : Bir serbest Lie cebirii idirgemiş bir M alt kümesi bağımsızdır. Taım 2.8.8.: L bir Lie cebiri ve B, L i bir alt cebiri olsu. L de modülob maksimal lieer bağımsız kümeye L i modülob bazı deir. L i modülob bazıı elema sayısıa B i L deki koboyutu diyeceğiz ve buu (L:B) ile göstereceğiz. 20

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK 3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Evresel evelopig cebir Lie cebirlerii temsil teorisii bir temel yapısıdır. L, bir bazı { x x x },, L, ola bir Lie cebiri ve ρ : L gl( V) ye bir temsil olsu (V 2 herhagi bir vektör uzayı). xy, L içi ρ( x) ρ ( y) çarpımı geelde ρ ( L) ye ait olmaz. Buula birlikte bir çok yerde bu çarpım foksiyoları bileşkesi olarak alıır. Yapıı temeli birim elema ve x L olmak üzere ρ ( x) ler tarafıda üretile asosyatif cebirdir. Bu cebire L i evelopig cebiri deir ve ρ ( L) ile gösterilir. Buda başka doğuraylar ρ( x ) ρ( x ) = ρ( x ) ρ( x ) + ρ([ x, x ]) i j j i i j bağıtılarıı sağlarlar. Bu bağıtılar özel bir ρ temsilie bağlı değildir. L i evelopig cebiri L ve x, x2, L, x gibi tae bilimeye tarafıda üretile ve xx xx [ x, x ] bağıtılarıı sağlaya asosyatif cebirdir. Böylece her i j j i i j evelopig cebir evresel evelopig cebiri bir bölüm cebiridir. Bu alamda evresel evelopig cebir L i tüm evelopig cebirlerii kapsar. Biz bu kısımda L bir Lie cebiri olduğuda L i evresel evelopig cebirii vererek bir bazıı hagi formda olduğuu iceleyeceğiz. Ayrıca bir serbest asosyatif cebiri her bir alt cebirii Gröber bazıı iceleyeceğiz. 3.. Serbest asosyatif cebirlerde idealler. X { x, x, } = L bir küme olsu. 2 X ile X i elemaları üzeride taımlı w= xx L x kelimelerii tamamıı kümesii gösterelim. i i2 ik X ayı zamada ile gösterile boş kelimeyi de içerir. üzerideki ikili işlemi aşağıdaki gibi taımlarız; X kümesi X üzeride serbest mooiddir. X : X X X u v= uv (ya yaa yazma) (3..) Eğer w= xx x X i i L 2 i k ise w uderecesi deg( w) = k dır. Eğer uv, X olmak üzere v wuw 2 = olacak şekilde w, w2 X elemaları var ise u ya v i bir çarpaı (faktörü) deriz. Öreği u, v i alt kelimesi ise v i 2

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK bir çarpaıdır. Eğer v= uw2 ise u, v i sol çarpaı, v= wu ise u, v i sağ çarpaı deir. Bu bölüm boyuca X, çarpımsal ve azala zicir kuralıı sağlaya < şeklide tam sıralı olarak alacağız. Yai u < v ise w X içi wu wv < ve uw< vw dir. Eğer w w2 L kelimeleri azala bir ziciri verildiğide wk = w k + =L olacak şekilde bir k > 0 vardır. Örek olarak deglex sıralamasıı < dlex olarak alalım. Sıralama taımı şöyledir; wu, ', v' deg( u) < deg( v) ise u < dlex v Eğer deg( u) = deg( v) ike i<j ve X olmak üzere u = wxu i ', v = wxjv' Şimdi F bir cisim ve F( X ), X tarafıda gerile vektör uzayı olsu. 3.. de verile işlemii F( X ) e bilieer olarak geişletelim. Bu durumda F( X ), birim elemalı bir asosyatif cebir olur. Bu cebire F üzeride birim elemaı ola bir serbest asosyatif cebir deir. X ı elemalarıa moomialler deir. f F( X) i boş olmaya tüm moomiallerii kümesie f i dayaağı (support) deir. < sıralaması f F( X) elemaıı leadig moomiali fikrii belirler. f F( X) leadig moomiali f i dayaak elemalarıı e büyük dereceli (< sıralamasıa göre) moomialidir ve LM(f ) ile gösterilir. { } S F( X)içi LM( S) = LM( f) f S olarak taımlaır. I, F X i bir ideali olsu. F X I yı hesaplayalım. F X I ı bir bazıı bulmak istiyoruz. Yai F X i bütü modülo I temsilcilerii bir kümesii bulmak istiyoruz. Buu alamı F X deki I ya göre tümleye ola ve B tarafıda gerile B F X kümesii bulmaktır. Buda başka baz elemalarıı çarpımıı modülo I baz elemalarıı lieer kombiasyou olarak göstermemiz gerekmektedir. Bu problem F X i modülo I ormal kelimelerii kümesi ile çözülür. Yai bu küme { } N( I) = u X u LM( I). 22

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK dir. CI ( ) ile N( I ) tarafıda gerile vektör uzayıı gösterelim. Öerme 3..: I F X bir ideal ise F X = CI ( ) I dır. İspat: Olsu. { } N( I) = u X u LM( I) CI ( ) = Spa N( I) CI ( ) I = 0 olduğu açıktır. f F X olsu f = v+ p olacak şekilde v CI ( ) ve p I olduğuu göstereceğiz. Tümevarımla; LM( h) < LM( f) olacak şekildeki her h F X içi doğru olsu. (Azala zicir kuralıa göre LM( f ) de küçük moomialleri sayısı soludur). LM( h) < LM( f) ise λ F içi yazılır. Tümevarımda dir. f = λlm( f) + h h= v+ c, v CI ( ) ve p I Eğer LM( f) N( I) ise ispat biter. Buu yalış olduğu yai LM( f) N( I) olduğu durumda bir g I içi LM( f) < LM( g) olur ve g = µ LM( g) + h ve tümevarımda u CI ( ) ve q I içi, ya eşit olur. Souda olur ve ispat biter. f λ g, u+ q µ λ f = u+ q+ g µ 23

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK Şimdi f F X ise Öerme 3.2. e göre f i f = v+ p olacak şekilde ( v CI ( ), p I ) bir tek yazılışa sahiptir. v CI ( ) elemaıa f i I modülüe göre ormal formu deir. NfI ( f ) veya Nf( f ) ile gösterilir. f = v+ p Nf( f) = v uv, CI ( ) ve u v = Nf( uv) olsu. O halde işlemi ile CI ( ) bir cebirdir. Bu cebir F X F X I ya izomorfiktir. Eğer biz, bir ormal formu hesaplaya bir algoritma geliştirebilirsek o zama I cebirii kolayca hesaplayabiliriz. G F X doğuray kümesi olsu. Herhagi bir f, F X i bir idealii F X elemaı olmak üzere, her g G içi LM(g), f i ifadesideki hiçbir moomiali bir faktörü değilse f elemaıa G ye göre ormal formdadır deir. Aşağıdaki algoritma ModüloG ormal form hesaplama algoritmasıdır. Normal Form Algoritması İput: I F X i bir üreteç kümesi G ve f F X olsu. Output: φ F X elemaı modülo G ormal formdadır öyle ki f = φ mod I Adım : φ = 0 ve h= f olsu. Adım 2: Eğer h = 0 ise φ yi getir. Değil ise u = LM( h) yap ve λ yı u u katsayısı olarak al, h yi belirle. Adım 3: u u bir çarpaı LM( g ) olacak şekilde g G olsu. Eğer böyle bir g yoksa h= h λu ve φ = φ + λu yap ve Adım 2 ye dö. Adım 4: g deki LM( g ) i katsayısı µ ve vw, X olsu. Öyle ki ( ) vlm gw = u. 24

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK λ h= h vgw µ alıp Adım 2 ye dö. Açıklama: Her adımda LM(h) i azaldığı görülür. Böylece < azala zicir koşuluu sağladığıda bu işlemler belli bir adım souda soa erer. Sadece herhagi bir LM(g) yi çarpa olarak içermeye moomialler φ ye ekleir. Açık olarak, solu adım souda elde edile φ G ye göre ormal formdadır. Buda başka herhegi bir adımda elde edile f = h+ φ mod I olup f = φ mod I dır. Normal form algoritmasıı aşağıdaki biçimde tekrar formalize edebiliriz. h F X ve w X da h i supportuda bulua ve bir g G içi LM( g) yi bir alt kelime olarak içersi. uv, X olmak üzere ulm( g) v = w Olsu. Bu durumda h elemaı h ye idirgeir deir. Öyle ki Burada λ h = h ugv dir. µ λ ve µ sırasıyla h ve g i leadig moomiallerii katsayılarıdır. Daha geel olarak, h,, L hk lar h i ler h i + e idirgemiş olsu i k. Bu durumda h, h k ya idirgemiştir. Ve h hk ile gösterilir. Aslıda ormal form algoritması idirgeme adımları serisidir. Eğer başka mümkü idirgeme yoksa istee souç elde edilmiştir. Örek 3..2: X { xy, } =, 2 3 3 G = 23 xy x, 23 x yx, { y g g g2 3 ve dlex 3 3 { 2 3 } { } < olsu. x< dlex y olsu. LM( G) = LM( g ), LM( g ), LM( g ) = xy, x, y dir. 2 2 f = xy F X elemaıı ormal formuu bulmak istiyoruz. f 2 2 = xy ise f ( ) = xxy yşeklide yazılabilir. Şuu görürüz f 3 xy. Şöyle devam eder ve 3 2 xy yxy yx 25

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK olur. Bu ise e souda G ye göre ormal formdur. Souç olarak; ( ) + ( ) = 2 2 3 2 xy x y xy xy ( ) ( ) 3 2 4 3 3 xy = x xy x = xx xyx x yx çıktı yx.dir. Görüldüğü gibi üreteç kümesi G ola I idealii bir f elemaıı modülo I ormal formu tek bir tae değildir. Acaba Normalformu tek bir tae olduğu durum var mıdır? Buu içi Gröber bazıa ihtiyaç duyacağız. Taım 3..3 (Gröber Bazı): I, F X i bir ideali olsu. G f I içi eğer her I içi LM( g ), LM( f ) i bir alt kelimesi olacak şekilde bir g G varsa G ye I ı bir Gröber bazı deir. Örek 3..4 : F = F X = xyz,, olsu. G = {, xy} kümesi I = xy, idealii Gröber bazıdır. Teorem 3..5: G F X, I idealii bir Gröber bazı olsu. g G içi LM( g ), w u bir çarpaı olmayacak şekildeki her w X elemalarıı kümesi N( I ) dır. Dahası NormalForm( G, f ), her f F X içi Nf ( f ) yı verir. I Taım 3..6: G F X olsu. G ye self-reduced deir. Eğer; birici olarak g h G içi LM( g ), LM( h ) i bir çarpaı değildir. İkici olarak her g G içi LM( g ) i katsayısı dir. I F X bir ideal ve G = { g, g,...} tarafıda üretilsi. 2 w X içi I< w = λiug i kv, öyleki ( ) i i ui vi X ulm i gk v i i< w, i öreği; uv, X içi ugv formudaki tüm elemaları gerdiği vektör uzayı olsu ve g G öyle ki LM( ugv) < w dur. 26

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK Teorem 3..7: I, F X i self-reduced G kümesi tarafıda üretile ideali olsu. G, I ı bir Gröber bazıdır acak ve acak her g, g2 LM( g ) u = vlm( g ) 2 burada gu vg2 I < t ( t = LM( g2) u içi) dir. Taım 3..8: g, g2 G ve uv, X içi F X ve wi = LM( gi) i =,2,... içi g ve g 2 içideki w ve w 2 i katsayılarıı olduğuu kabul edelim. w, w 2 i bir faktörü değil ve w 2 de w i bir katı (faktörü) olması. O zama uv, X içi wu vw2 = dir ve u, w 2 içi bir öz sağ çarpa ve v, w içi bir öz sol çarpadır. Öyleyse gu vg2, g ve g 2 i bir kompozisyou (bileşei) dir deir. Souç 3..9: I, F X i self-reduced bir G kümesi tarafıda üretile ideali olsu. G, I ı bir Gröber bazıdır acak ve acak G i f elemalarıı her kompozisyou sıfırdır. Yai NormalForm(G,f )=0 dır. 3.2. Uiversal Evelopig Algebra L, bir F cismi üzeride bazı B { x x x } =, 2,... ola bir Lie cebiri olsu. (L solu boyutlu olmak zoruda değil ) X de B ile aralarıda bijeksiyo olacak şekilde bir küme, φ : B X bir bijeksiyo olsu ve φ : L F X bilieer olarak geişletelim. F X, X ı elemaları tarafıda gerile vektör uzayı olsu. X üzerideki çarpmayı F X e geellersek, o zama F X asasyatif cebir olur. xi B i φ altıdaki görütüsüü φ ( x i ) = x i ile gösterelim. { L } φ( B) = φ( x ), φ( x ),, φ( x ) = X 2 φ( B) φ( B) φ( B) kartezye çarpımı ile bir serbest mooiddir. F = spax, bu çarpımı bilieer olarak geişletelim. I, F X i aşağıdaki elemalar tarafıda üretile bir ideali olsu. 27

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK ( ) gij = xx j i xx i j φ xj, xi i< j içi O zama F X I bölüm cebirie L i U( L ) Uiversal Evelopig cebiri deir. π : F X U( L) bir projeksiyo döüşümü olsu. φ π F X i: L F X U ( L) döüşümü L yi U( L ) ye döüştürür. I v L v= λ x + λ x + L + λ x 2 2 φ() v = λφ( x ) + λφ( x ) + L+ λφ( x ) φ 2 2 ([, ]) [, ] x x = x x = xx xx 2 2 2 2 Bir Lie cebirii evresel evelopig cebirii bazıı belirleye aşağıdaki teorem Poicaré Birkhoff Witt Teoremi olarak biliir. Bu teoremi ispatı bir çok kayakta bulabilirsiiz (Graaf, 2000) Teorem 3.2. (Poicaré Birkhoff Witt): U( L ) i bir bazı x x... x, k 0 ve i < i <... < i m m2 mk i i2 ik 2 k formudaki moomiallerde meydaa gelir.( k = 0 ise moomial alıır.) İspat: G { gij i j} = < I idealii doğuray kümesi olsu. X üzerideki sıralamayı (term order) < dlex alalım ve i< j ise xi < dlex xj olsu. O zama LM( g ) = xx dir. G i self-reduced olduğuu kabul edelim ( Yai her bir ij j i gij, gkl, LM( gij), LM( g kl ) i bir parçası değil ve katsayıları olsu ). G i g ij ve g kl elemalarıı tüm mümkü ola kompozisyolarıı ele alalım. Burada kısaca görüleceği gibi xi = xl olması durumuda kompozisyo oluşur aksi halde kompozisyo meydaa gelmez. 28

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK (, ) gij = xx j i xx i j φ xj xi ([, ]) g = xx xx φ x x kl k l k l l k LM( gij) = xx j i LM( gij) u = vlm( gkl ) LM( gkl) = xx l k olacak şekilde uv, X buluabiliyorsa kompozisyo oluşur. O zama xxu = vx x, u, xx i özsağ kısmı, v, xx i özsol parçası j i l k O halde u = x, v= x olmalıdır. xxx x oluşmaz. k = xxx j i k j l k i l j l k j i = x olması halide kompozisyo oluşur. Aksi halde kompozisyo ( φ(, ) ) { { ( φ( [, ])) gu vg = xx xx x x u v xx xx x x ij ki j i i j j i i k k i i k xk xj = xxx j i k xxx i j k φ( xj, x i ) xk xxx j i k + xxx j k i + xjφ xi, xk O halde u = x, v= x olmalıdır. dir. k j ([ ]) (, ) φ [, ] ( ) gu vg = xxx xxx φ x x x + x x x ij ki j k i i j k j i k j i k () Şimdi bu kompozisyou modülo G ormal formuu bulalım. (Eğer bu kompozisyou modülo G ormal formuu sıfıra idirgediğii gösterirsek o zama problem çözülmüş olur.) İki adım souda xxx j k i (, ) φ(, ) xxx k i j + xkφ xj xi + xj xi xi k < i< j elemaıa idirgeir. Görelim; (, ) φ [, ] φ( ) ( ) f = xxx xxx φ x x x + x x x j k i i k j j i k j i k LM( f) = xxx j k i, gkj = xx j k xx k j xj, xk içi LM( g ) = xx ij j k olup LM( f ) i bir alt kelimesidir. 29

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK h = f. gkjxi ( φ(, ) ) = f xx j k xx k j xj xk xi = xxx xxx φ( x, x ) x + x φ [ x, x ] xxx j k i ( ) φ(, ) i j k j i k j k i j k i (, ) ([, ]) (, ) = xxx k j i xxx i j k φ xj xi xk + xjφ xk xi φ xj xk xi + xxx k j i xj xk xi LM( h ) = xxx, g G içi LM( g ), LM( h)i alt kelimesidir. i j kj kj h = h + xg 2 i kj ( ) ( ) = xxx k j i xxx i j φ( xj, x i ) xk + xjφ [ xk, xi] φ xj, x k xi k ( φ(, ) ) + xi xx j k xx k j xj xk 444442444443 ( ) = xxx xxx xxx i j k xxx i k j xiφ xj, xk k j i i k j Not: Bu işlem terim terimde olabilir. Bu şekilde alıırsa işlemleri daha kısa olması bakımıda kolaylık sağlar. (, ) φ [, ] ( ) gu ij vgki = xxx j k i xxx i j k φ xj xi xk + xi xk xi xxx j k i de j h = xxx j k i ( gkj) xi xx alt kelimesi LM( g ) olup k ( φ([, ])) = xxx xx xx x x x j k i j ki k j j k i = xxx j k i j ki i xxx + xxx + φ([ x, x ]) x = xxx + φ([ x, x ]) x k j i j k i kj k j i j k i h deki birici terim ola xxx k j i yi tekrar idirgersek h2 = h xk( gij ) ( φ([, ])) = xxx x xx xx x x k j i k j ki i j j i = xxx + φ([ x, x ]) x xxx + xxx + x φ([ x, x ]) k j i j k i k j i k i j k j i = xxx + φ([ x, x ]) x + x φ([ x, x ]).(2) LM h k i j j k i k j i ( 2) xxx k i j = olup LM( g ) alt kelime olacak şekilde g G bulumaz. O halde idirgeme işlemi biter. 30

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK ( gij, g kj ) kompozisyoudaki diğer terime bakarsak, xxx i j k terimii ModüloG ye göre idirgeyelim. O zama h = xxx j k i xi( gkj ) ( φ([, ])) = xxx x xx xx x x i j k i j k k j j k = xxx i j k i j k xxx + xxx + xφ([ x, x ]) = xxx + xφ([ x, x ]) LM h i k j i j k ( ) xxx i k j i j k i j k = olup xx i k alt kelime ve h = h g x ( LM( h) i katsayısı - old.) 2 ki j ( φ ) = xxx xφ([ x, x ]) xx xx ([ x, x ]) x i k j i j k i k k i i k j = xxx + xφ([ x, x ]) xxx + xxx +φ([ x, x ]) x i k j i j k i k j k i j i k j = xxx + xφ([ x, x ]) + φ([ x, x ]) x (3) k i j i j k i k j (2),(3) de elde ettiğimiz souçları () de yerie yazarsak ve terimler yerie ModuloG idirgemiş formları yazarsak, (2) (3) φ(, ) φ( [, ]) = xxx k i j + φ( xj, x k ) xi + xkφ( xj, x i ) xxx k i j + xiφ( xj, x k ) + φ( [ xi, xk] ) xj φ( xj, x i ) xk + xjφ( [ xi, xk] ) = xxx k i j + φ( xj, xk ) xi + xkφ( xj, xi ) gu vg = x x x + x x x ij ki j i k j i k ( ) xxx k i j xφ( x, x ) φ( [ x, x ]) x i j k i k j ( xj, x i ) xk xjφ [ xi, xk] φ + ( ) ( xj, x k ) xi x ( k xj, x i ) xi ( xj, x k ) ([ xi, xk] ) xj ( xj, x i ) xk xj ([ xi, xk] ) = φ + φ φ φ φ + φ..(4) Hatırlatma: V, F X içeriside X kümesi tarafıda gerile vektör uzayıı göstersi. v V alalım. xv r vxr ( x r kedi kedisi ile kompozisyo oluşturur.) ( ) r elemaıı ModüloG idirgersek φ x, φ ( v) elemaıa idirgeir. 3

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK v V v = cx + cx + L+ cx + L 2 2 xv vx = cxx + cxx + L+ cxx + L cxx cxx L cxx L r r r 2 r 2 r r 2 2 r r = c ( xx xx ) + c ( xx xx ) + L+ c ( xx xx) + L r r 2 r 2 2 r r r (, ) g = xx xx φ x x, gij ij j i i j j i = cφ([ x, x ]) + c φ([ x, x ]) + L+ c φ([ x, x ]) + L r 2 r 2 r = φ([ x, cx + cx + L+ cx + L ]) = φ r 2 2 ([ xr, φ ()]) v I olup idirgemiş ola kısım, olduğuu buluruz. O halde 4 ile verile eşitliğe bakarsak, bu elema ( xj, x k ) xi + x ( k xj, x i ) xi ( xj, x k ) φ( [ xi, xk] ) xj φ( xj, x i ) xk xjφ [ xi, xk] φ φ φ + ModüloG idirgemiş ormal formu, ( xiφ( xj, x k ) φ( xj, x k ) xi) xkφ( xj, x i ) φ( xj, x i ) xk + ([, ]) φ( [, ]) + x φ x x x x x j i k i k j ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) [ ] ( ( ) ) φ xi, φ xj, x k φ xk, φ xj, x + i + φ xj, φ xi, x k ( xj, xk, x i ) + ( xk, xj, xi ) + ( xj, [ xi, xk] ) φ φ φ φ xj, xk, x i xk, xj, x + i + xj, [ xi, xk] 42443 42443 4243 [ ] [, ], xi, xj, x k xk, xi, xj xk, xj, x x i k xi xj [ ] xj, xi, x k xk, xj, x + i + xi, xk, xi = 0 Jakobi özdeşliğide ( xj xk xi xk xj xi xj [ xi xk] ) φ,,,, + +,, = 0 32

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK O halde G, I idealii Gröber bazıdır. Böylece F X i modülo I ormal formudaki hiçbir moomial LM( g ij ) yi alt kelime olarak içermez. O halde teoremi ispatı F X = CI ( ) + I olduğuda ispat biter. F X ı bazı i > jolmak üzere xx I i j formuda elema içermez. Souç 3.2.2: i: L U( L) döüşümü ijektiftir. φ π F X i: L F X = U( L), i= π o φ I İspat: Yukarıdaki teoremi ispatıda, xi, i 0 elemaları ModüloI lieer bağımsızdır. Dolayısı ile v V, v= λ x φ() v = λφ( x ) = λ x olup iv () U( L) dir i ijektiftir. i i i i i i So souçta L yi U(L) içideki görütüsü ile özdeşleştirelim. Yai L yi U(L) i bir alt uzayı gibi düşüebiliriz. Böylece xi X yerie x i alabiliriz. U(L) X tarafıda üretildiğide, ayı zamada L tarafıda üretile bir cebirdir. (Böyle düşüebiliriz) Taım 3.2.3: L, bir bazı {,, } x x x U L k k2 k i ( ) i L 2 i x x L ola bir Lie cebiri olsu. 2 elemaıa Stadart moomial deir. { k } ρ : L gl( V), gl( V) = f : V V flieer, L i bir represetasyou olsu. ρ() l a f : V V l xy, L ρ( x) ρ( y), ρ( L) de kapsamayabilir. Bu çarpmayı bileşke olarak alırsak o zama ρ( x) ρ( y) ρ( L) olur. Bu döüşümleri kümesi bir cebir meydaa getirir. Bu cebiri cebiri) ρ ( L) ile gösteririz. Bua Evelopig cebir deir. (L i evelopig 33

3. UNIVERSAL ENVELOPING ALGEBRA VE POİNCARÉ BİRKHOFF WİTT TEOREMİ Ebubekir TOPAK ρ : L gl( V) bir temsil ve A = ρ( L) bu temsile karşılık gele evelopig cebir olsu. ρ döüşümüü ρ : U( L) A döüşümüe geişletelim m m m 2 m2 mk ( xi xi Lxi ) = ( xi ) ( xi ) L ( xi ) ρ ρ ρ ρ 2 k 2 ile geişletmiş olalım. O zama ρ örte bir cebir homomorfizmi olur. ρ( L) = A U( L) J, J = ker ρ Burada L i her evelopig cebiri Evresel evelopig cebiri (uiversal evelopig cebir) bölüm cebirie izomorfiktir. Ayı zamada ρ, V yi bir U( L) Modül yapar. av= ρ( av ) a U( L), v V U( L) V V ( av, ) a ρ( av ) Ayrıca, U( L) k A ola her homomorfizmi L ye kısıtlaması ρ ya eşit olmak zorudadır.(çükü L, U(L) yi doğurur.) Bütü bularda, herhagi bir temsili L de U(L) ye geişletmei bir tek yolu vardır. Buda başka, ρ : U( L) gl( V) bir represetasyo ise ρ u L ye kısıtlaışı da ayı zamada L i bir temsilidir (represetasyoudur). Böylece L i represetasyou ile U(L) i represetasyou arasıda birebir bir ilişki vardır. mk 34

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK 4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Serbest Lie cebiri ile dairesel kelimeler arasıda birçok ilişki vardır. Witt formülü ile verile homoje boyutu ve ilkel kolyeleri (Primitive eclaces) sayısıı eşitliğii heme örek olarak verebiliriz. Bu bölümde kedi kedie solaa dairesel kelimeleri iceleyeceğiz. Öce kolyeleri (eclaces) ve ilkel kolyeleri (primitive eclaces) sayısıı hesaplamakla işe başlayacağız. Sora Hall kelimeleri ile ilkel kolyeler arasıdaki birebir ve örte bağıtıyı taımlayacağız. Daha sora Lydo kelimelerii ürete yeterli bir algoritma vereceğiz ve verile bir kelimei Lydo kelimelerideki parçalaışı hesaplayacağız. Hall kelimeleri içideki bir kelimei parçalaışı, kelimeler ile ilkel kolyeleri multisetleri arasıda birebir ve örte bağıtıyı ifade eder. E so olarak, permütasyoları sabit (ivariat) bıraka ve serbest Lie cebiriyle bağlatılı çeşitli simetrik foksiyoları kousu içide uygulamaları ola diğer birebir ve örte foksiyolar veriyoruz. Bu bölüm ile ilgili temel kavramlar C. Reuteauer (993) de bulabilirsiiz. 4.. İlkel kolyeleri (primitive eclaces) sayısı Eğer; bazı x, y kelimeleri içi u = xy ve v = yx eşitlikleri sağlaıyorsa ( A A kümesi üzerideki serbest mooid olmak üzere ) A ı iki kelimesi ola u, v elemaıa kojugedirler (cojugate) deriz. u ve v cojuge bağıtısı bir deklik bağıtısıdır, bua kojugasyo (cojugatio) deriz. Bir deklik sııfıa bir kojuge (cojugacy) sııfı deriz. Bir kojuge sııfı ya bir dairesel kelime veya bir kolyedir. Geometrik olarak ifade edecek olursak, bir kolye (eclace) köşeleri A ı elemaları ola düzgü ge dir. Eğer bir dödürme, bir döüşüm veya bir homoteti uyguladığıda çakışık ola -geler ayır (idetical) olarak alıacaktır. Eğer bir kolyei kedisii sabit bıraka aşikâr olmaya dödürme yoksa bu kolyeye ilkel kolye (primitive eclace) deir. Bir kelimei kojuge sııfı ilkel kolye ise bu kelimeye ilkeldir (primitive) deir. Daha geel olarak; bir kolye, daima ou 35

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK uzuluğuu böle bir e küçük d periyodua sahiptir ve bua göre kojuge sııfıda d d d d tae elema vardır ve bu elemalar, C { u, u2, L, ud } = öyle ki { u u,, }, 2 L bir ilkel kojuge sııfıdır. Artık C içideki her bir w kelimesi d periyodua ve üssüe sahip olduğuu ifade edebiliriz. u d d b a b ababb babba abbab bbaba babab a b Şekil 4- ababb i kojuge sııfı b a b abbabb = ( abb) bbabba = ( bba) babbab = ( bab) 2 2 2 b b a Şekil 4-2 abbabb i kojuge sııfı (periyot 3, üs 2) 36

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Teorem 4..: A = a, a, L, a }, q elemalı bir alfabe olsu. uzuluklu ilkel { 2 q kolyeleri sayısı µ ( dq ) d (4..) d dir. a i harfii i olaylı ilkel kolyeleri sayısı ( i =, L, q olmak üzere) = + L+ q di d µ ( d) d, 2 d,, q d, (4..2) L dır. (Burada; µ : Möbius foksiyou ve ( ) : kombiezou gösterir.) Teorem 4.. i direkt olarak ispat edebiliriz, fakat üreteç foksiyolarıı özelliklerii kullamayı tercih ederiz. Çükü bu ayı zamada souç içi de kullaışlı olacaktır. x, L, xq değişmeli değişkeler olsu. Bir u kolyesii evaluasyou (değeri) Q x, K, x ] poliomu içideki [ q q q x L x moomialidir, burada i =,2, L, q olmak üzere u kolyeside a i de i tae vardır. Bir kelimei evaluasyou bezer şekilde taımlaır. Eğer L kolyeleri (veya kelimeleri) bir kümesi ise L i üreteç foksiyou L i elemalarıı evaluasyolarıı bir toplamıdır. Öreği; 2 uzuluklu ilkel (primitif) kolyeleri kümesii üreteç foksiyou aşağıdaki gibidir, i< j x i x j Çükü her bir ilkel kolyeler, i < j olmak üzere a ia j şeklide bir tek temsile sahiptir. Şimdi -yici kuvvetler toplamı simetrik poliom ola p i taımlayalım p ( x, K, xq ) = x + L+ x q Teorem 4..2: uzuluklu ilkel kolyeleri üreteç foksiyou dir. d µ ( d) pd (4..3) d 37

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK İspat: C e () ile uzuluklu ve e periyotlu elemaları kümesii gösterelim. uzuluklu kelimeleri kümesi ola şeklidedir. A = U Ce ( ) e A i bir parçalaışı Uzuluğu e ola ilkel kelimeleri kümesii P (e) ile gösterelim. u e a u, P( e) Ce ( ) döüşümü birebir ve örtedir. Şua dikkat edelim P (e) içideki her kelimei her biri ayı eveluasyolu e tae kojugesi vardır. Evaluasyou ev ile gösterirsek olur. u ev( u ) = ev( u) i xi xi Daha geel olarak ifade edecek olursak A ı üreteç foksiyou ( x + L + xq ) = p ( x, K, xq ) dur. Böylece uzuluğu e ola ilkel kolyeleri üreteç foksiyouu l x +L + x ) ile gösterirsek e ( q p ( x, K, x ) = el ( x + L + x ) 4..4 e e q e q e d d elde ederiz. p x, K, x ) = p ( x, K, x ) olduğuu biliyoruz. Bu edele. d ( q q µ ( d) p ( x, K, x ) = µ ( d) p ( x, K, x ) d d d d d d q q d = d e µ ( d) el ( x, K, x ) ed olduğuu yazabiliriz. (4..4 de yerie d ve x i yerie d ve ed de, e ve de olmasıa dektir. Bu da dir. e e el ( x, K, x ) µ ( d) µ ( d) e e q de e e q d x i yazdık.) = e olmadıkça ikici toplam dir ve böylece ifade l x, K, x ) ya eşit olur. ( q 38

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Teorem 4.. i ispatı: (4..3) formülüde, x, K, koyarsak bu (4..) x q = formülüü verir. Dahası a i, ( i =, K, q ) harfleride i tae bulua ilkel kolyeleri sayısı (4..3) deki x Lx q q i katsayısıdır. Bu katsayı (4..2) dir. Çükü dur. d p x x x x d dr dr q d (, K, q) L q r + L+ r,, q = d r L rq Souç 4..3: uzuluklu kolyeleri ürete foksiyou d ϕ( d) p d d dur. Buradaϕ Euler foksiyoudur. q harfte oluşa bir alfabede, uzuluklu kolyeleri sayısı d ϕ( dq ) d dir. İçide a i ( i =, K, q ) harfide i tae bulua kolyeleri sayısı dir. d d ϕ( d) d,, q d L İspat: uzuluklu kelimeleri her bir C kojuge sııfı içi, uzuluğu yi böle ilkel kelimeleri bir tek C kojuge sııfı vardır. e dersek C = { u e u C } olduğuu yazabiliriz. Bu durum, kolyeleri (veya prmimitif kolyeleri) üreteç foksiyou ola k (veya l ) ile aralarıdaki özelliği verir. k ( x, K, x ) = l ( x, K, x ) e e q e q e Teorem 4..2 de 39

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK k ( x, K, x ) = µ ( f) p ( x, K, x ) ef e e q f q e e fe = e ef µ ( f) p ( x, K, x ) d = pd ( x, K, xq) eµ e ed e = e d ef ef d ϕ( d) p ( x, K, x ), d q q d e e elde edilir. Çükü p x, K, x ) = p ( x, K, x ) ve ϕ ( d) = eµ ( de) dir. f ( q ef q ed Diğer iki formulü elde etmede gee Teorem 4.. de görülür. 4.2. Hall Kelimeleri ve İlkel Kolyeler (Primitive Neclaces) Kelimeler üzerideki kojuge olma bağıtısı bir deklik bağıtısıdır. Bu yüzde ilkelliği (primitive) ve periyodikliği korur. Şua dikkat edelim H ilkel kojuge sııfları temsili kümesi ise bu küme { h h H, } dır. Uzuluğu pozitif ola tüm kojuge sııfları temsilii bir kümesidir. Aşağıdaki souç Schützeberger (965) i teoremii özel bir durumudur. Teorem 4.2. (Reuteauer C. 993): H, alısı. Kabuledelim ki Yai A bir alt kümesi olsu. Bir sıralaması A ı içideki her bir elemaı bir tek parçalaışı olsu. Lh, 0, hi H, h h L h O zama H, ilkel kojuge sııfları temsili bir kümesidir. Souç 4.2.2: H, A da bir Hall kümesi olsu. O zama H deki her kelime ilkeldir ve boş olmaya her kelime, h, h H, kojugesidir. formudaki bir tek kelimei 40

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Örek 4.2.3: Daha öceki Örekteki Hall kümesii ele alalım; Biz abaababa kelimesie kojuge ola Hall kelimesii bulmak istiyoruz. aabab, aab, aab,, b leri Hall kelimeleri olduğu biliiyor ve arta sıra içide yazıyoruz. Algoritma şuu verir; ( abaababa,,,,,,, ) ( ab, aababa,,,,, ) ( ab, aab,, aba,, ) So kelime isteile Hall kelimesidir. ( ab, aab,, ab, a) ( aab, aab,, ab) ( aab, aab, ab) ( aab, aabab) ( aababaab) A tam sıralamalı ola bir alfabe olsu ve A alfabetik sıralı olsu. Bir Lydo kelimesi, trivial sağ çarpaı olmaya kelimeleri tümüde daha küçük ola bir kelimedir. Souç 4.2.4: Bir w kelimesii Lydo kelimesi olabilmesi içi gerek ve yeter koşul primitif ve kojuge sııfıdaki e küçük kelime olmasıdır. İspat: Lydo kelimelerii kümesi ola L, özel bir Hall kümesidir. O halde, Souç 4.2.2 de,l, ilkel kelimeleri kojuge sııflarıı temsilii bir kümesidir. Şimdi, eğer w bir Lydo kelimesi w= uv, uv, ile w u bir kojugesi vu olsu. O zama Lydo kelimesii taımıda w< v olduğuu biliyoruz. v, w da daha kısa olduğuda w, v i bir ö eki olamaz bu yüzde w< vu olduğuu alarız. Bu edele her Lydo kelimesi ou kojuge sııfıdaki elemaları e küçüğüdür, bu da ispatı soladırır. 4.3. Lydo kelimelerii üretilmesi A, tam sıralı solu bir alfabe olsu. A, alfabetik sıralı olsu ve L ile Lydo kelimelerii kümesii gösterelim. Sabit bir N tamsayısı içi uzulukları N ola Lydo kelimelerii kümesii L N ile gösterelim. Şimdi bir foksiyo taımlayalım: l : L \{ z} L N N N 4

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK (Burada z, A içideki e büyük harftir) Şart şu: ln ( u ), { x LN x> u} kümesi içide alfabetik sıraya göre e küçük kelimedir. Şuu gözlemleyelim; l N basit olarak, solu tam sıralı N L kümesi içideki soraki elema foksiyoudur (e büyük elema z ike). Bu edele, l i N bilgisi uzuluğu N ola tüm kelimeleri üretilmesi içi basit bir algoritma verir : (e küçük harf ola ) a da başlaır, u = l ( a) hesaplaır, sora l ( u ) ve souda z elde edilee kadar böyle devam edilir. N Buda soraki soucu, tam olarak Duval (988), l N foksiyouu çok hızlı ve verimli bir şekilde hesaplaabilir olduğuu göstermiştir. Buu içi iki taıma k ihtiyacımız var. Verile bir u kelimesi içi, D ( u) = u p kelimesie u u N uzuluklu periyodik geişlemesi deir. ( Burada p, u u boş olmaya bir öeki k N N ve p, k N, k u p = N olmak üzere bir tek şekilde taımlamışlardır). Diğer tarafta, DN ( u ), uuu... u... solu kelimeler i N uzuluklu bir tek öekidir. Not: Bu öekler, u u boş olmaya bir p ö eki olmak üzere geellikle k u p gibi yazılabile N uzuluklu ola öekleridir. Şimdi, şöyle bir foksiyo taımlayalım: kuvvet kümesii göstersi, { } Sw ( ) = mi x A x> wwx, w S: A \z A. Burada z, z i Sw ( ) yi hesaplaya basit bir algoritma var. z de farklı bir a harfi olmak üzere, w dir. i = vaz olsu. Solu tam sıralı A içide a da soraki harf b olsu. O zama, Sw ( ) = vb (4.3.) Teorem 4.3.: l N foksiyou, Öce birkaç lemma ispatlayalım. So D bileşkesie eşittir. N 42

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Lemma 4.3.2: Eğer u < v olacak şekilde uv, iki Lydo kelimesi ve p, ola iki tamsayı ise p uv bir Lydo kelimesidir. İspat : = p= olması durumuda ispat açıktır. Geel durumda tümevarım ile izleir, bir kere şua dikkat edelim Lydo kelimesidir). p u uv v < < (so eşitsizliktir çükü p uv bir Soraki lemma gösterir ki bir Lydo kelimesi ile ou periyodik geişlemesi arasıda herhagi bir sırada Lydo kelimesi yoktur. Bu, Teorem 4.3. i ispatı içi ilk adımdır. Lemma 4.3.3: uv,, u olsu o zama w = u dir. N ve u w D ( u) olacak şekilde iki Lydo kelimesi N İspat: Farz edelim ki w, u w D ( u) durumuu sağlası. Gösteririz ki w bir aşikâr olmaya s so ekie sahiptir ve u, bir p ö ekie sahiptir öyle ki s Bu edele s p u < w dir ve w bir Lydo kelimesi değildir. N p dir. Öce farz edelim ki w, DN ( u ) i bir ö eki olsu. O halde DN ( u ), u u bazı kuvvetleri ola q u u bir öekidir, ayı zamada w u da böyle olduğua dikkat edelim. Bu edele bazı k 0 tam sayı olmak üzere, u u bazı p öleri içi w k = u p dir. Burada w olduğuu görürüz ve trivial olmaya p seçebiliriz (Eğer zorulu ise p w = u ile p = ve k ile k yer değiştirir). Bu durumda p= s, k = u p i aşikâr olmaya bir so ekidir. Şimdi farz edelim ki w, D ( u ) i bir ö eki olması. Öcelikle alfabetik N sırlamaı taımıda w D ( u) olduğuu ve bazı a< b harfleri ve xw,, t N kelimeleri içi w= xaw, DN( u) = xbt olduğuu biliyoruz. D N i taımıda, k 0 içi k x= uu dir ve u u ö eki p= ub dir. s = uaw olsu o zama = = ve s, w u aşikar olmaya bir so ekidir. Daha da ileri gidersek k k w uuaw us s = uaw < ub = p olur. 43

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Lemma 4.3.4: s olmak üzere u = ps bir Lydo kelimesi olsu. c, s< c olacak şekilde bir harf olsu. O zama pc bir Lydo kelimesidir. İspat: t, pc i boş olmaya bir öz (proper) so eki olsu. pc < t olduğuu gösteririz ki bu pc i bir Lydo kelimesi olduğuu ispatlayacaktır. t, p i bir öz (proper) so eki olduğuda t = tc olduğuu elde ederiz. O zama t = ts, ps i boş olmaya bir öz so ekidir. Ve bu edele ps < ts dir çükü ps = u bir Lydo kelimesidir. Devam edersek s< c olduğuda ts < tc dir ve p, ps i bir öz ö ekidir. Bu edele p< ps. Böylece p< ps< ts < tc = t dir ve p< t dir. Farz edelim ki p, t i bir ö eki olsu, t, pc i bir öz so eki olmasıda şuu elde ederiz; p + = pc > t p t dir. Ve p = t yi elde etmiş oluruz. Bu ise doğru değildir. Çükü bir öceki eşitsizlikte p dir. < t idi. Bu edele dikkat edersek pc< t Souç 4.3.5: u, alfabei e büyük harfi olmaya bir Lydo kelimesi, p, u u k boş olmaya bir öeki ve k bir tam sayı olsu. O zama Su ( p ) bir Lydo kelimedir. İspat: z, A daki e büyük harf olsu. O zama p kesilikle z ile başlamaz. Gerçektede, aksi takdirde u = zu olur ve u z u u so harfi olur; öcelikle u Lydo kelimesidir bu şuu gerektirir u, ou so harfie eşittir. Bu edele u = z dir, bu ise ilk kabullememize karşıdır yai çelişkidir. Özellikle p, z i bir i kuvveti değildir. Bu edele (4.3.) de dolayı a Az \ \içi p= paz yi elde ederiz. A içide a sora gele harf b ise S( p) = pb dir. a ile başlaya bazı s kelimeleri içi u = ps olduğuu elde ederiz. Bu edele s < b dir ve Lemma 5.3.4 de pb i bir Lydo kelimesi olduğuu alarız. Şimdi (4.3.) e geri döersek k k i k Su ( p) = Su ( paz ) = u pb yi elde ederiz. pa, u u bir ö eki olduğuda u< pb yi elde ederiz ve Lemma 5.3.2 i kullaarak ispatı halletmiş oluruz. 44

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Teorem 4.3. i İspatı: u uzuluğu Nu, z ola bir Lydo kelimesi ve w l ( ) N u = olsu. O zama taımda, w, { x A x u, x N} küçük Lydo kelimesidir. > kümesi içideki e Lemma 5.3.3 da w> D ( u) olduğuu biliyoruz. Bu edele w, { x A x > DN ( u), x N} N kümesideki e küçük Lydo kelimesidir. Fakat SD ( N ( u )) bu küme içideki e küçük kelimedir. Bazı k tam sayıları ve u u bazı boş olmaya p öeki içi k D ( u) = u p Olduğu biliiyor. Biz Souç 4.3.5 de SD ( ( u )) i bir Lydo N kelimesi olduğuu biliyoruz. Bu edele SD ( ( u)) = w= l ( u) dur. N N N Örek: 4.3.6: N = 9, A= { a< b} olsu. O zama u = aabbb bir Lydo kelimesidir. O halde şuu söyleriz; dir. l ( u) = So D ( u) = Saabbbaabb ( ) = aabbbab 9 9 4.4. Lydo Kelimelerie Parçalaış A tam sıralı solu alfabe olmak üzere L, A üzeride alfabetik sırlamaya göre Lydo kelimelerii kümesi olarak biliir. L, Özel bir Hall kümesidir. edele A daki her w kelimesi tek türlü azala parçalaışa sahiptir. w= l... l, l L, l L l (4.4.) i i (4.4.) deki parçalaışı varlığı ve tekliği direkt olarak ispatlaabilir. Gerçekte her kelime, Lydo kelimeleri içide bir parçalaışa sahiptir (öreği w, içideki harfleri çarpımıdır) ve çarpalarıı sayısı e azdır. Şimdi Çarpaları e az ola bir parçalaış alalım. Lemma 5.3.2 da, kl, Lydo kelimesi olup k < l ike kl L olur. Bu miimal parçalaış azala olmak zorudadır. Bu durum (4.4.) deki varlığıı ispatlar. Teklik ise aşağıdaki soucu bir eticesidir. Bu 45

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Lemma 4.4.: w u (4.4.) seklideki parçalaışı içi aşağıdaki özellikler sağlaır: (ii) (iii) l, w u aşikâr olmaya e küçük so ekidir. l, w u e büyük so eki ola bir Lydo kelimesidir. (iv) l, w u e büyük ö eki ola bir Lydo kelimesidir. İspat: s, w u aşikâr olmaya bir so eki olsu. Bu durumda l, l i i i olacak şekildeki boş olmaya bir so eki olmak üzere s = ll i i+ K l dir. (i) l i bir Lydo kelimesidir. Böylece li l i ll i i+ K l = s dir ve l l i olduğuda l, w i aşikâr olmaya e küçük so ekidir (ii) Farz edelim ki s, l de daha büyük olsu. O zama, i < olduğuda l s olmasıı gerektirir. (i) deki soucu kullaırsak, l < s olduğuu alarız. Bu souç s i kediside daha küçük aşikâr olmaya bir so eke sahip olduğuu söyler, bu edele s bir Lydo kelimesi olamaz. (iii) p, w u, l de kesilikle daha uzu ola bir öeki olsu. O zama 2 k ve l j i boş olmaya bir öeki l j olmak üzere p= l K l l şeklidedir. (4.4.) i kulladığımızda j j l l l < l K l l = p soucua varırız bu ise p i bir Lydo j j j j kelimesi olmadığıı gösterir. Duval (978, 983) tarafıda verile çok daha etki bir algoritma vardır. Şimdi buu taımlayacağız. Bu amaçla burada p, u u bir öeki ve k tam sayı olmak üzere, k u p şeklideki kelimedeki, u kelimesii sesquipowerıı taımlayacağız. Geelliği kaybetmeksizi, p u (p, u da farklıdır) olarak alabiliriz. Eğer k ise bir sesquipowere otrivial deir. Lydo kelimelerii otrivial sesquipower lerii kümesii S ile gösterelim. S i bir u elemaı daima u k = l p (4.4.2) 46

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK şeklide bir temsile sahiptir. Burada l L, p, l i öz öeki ve k dir. S i verile bir u elemaı içi temsil (4.4.2) tektir: Gerçekte p i Lydo kelimeleri içerisideki azala parçalaışı p= h K hq olsu o zama h p< l dir. Bu yüzde k u u Lydo kelimeleri içideki azala parçalaışı lhk h q dır. Burada parçalaışı bir tek olması demektir. Bu bölümü souda, S i elemalarıı (4.4.2) deki tek türlü temsile sahip olduğuu alayacağız. S i (4.4.2) deki temsile sahip bir u kelimesi içi, s kelimesi ve bir a harfi olmak üzere l = pas yazabiliriz. a= ε ( u) şeklide yazalım. Şimdi kümesi üzeride ile göstereceğimiz bir ikili bağıtıyı, u S, b A, olmak üzere eğer ε ( u) b ise S A v A ( ubv, ) ( ub, v) olarak taımlayalım. ε ( u) b olması ub Solmasıı gerektirdiğide bu bağıtı iyi taımlamıştır. Gerçekte u k = l p ise (4.4.2) deki gibi ve l pas = ise bu durumda a= ε ( u) dur. Bu yüzde, ya a= b dir bu durumda ub= ( pas) k pa i S de olduğu açıktır ya da a < b ve as< b dir. Bu yüzde Lemma 5.3.4 de pb, l < pb olacak şekilde bir Lydo kelimesidir öyle ki Lemma 4.3.2 de ub k = l pb bir Lydo kelimesidir bu edele S içidedir. u geçişke bir kapaışıı ile gösterelim. Bu durumda S A üzeride kısmi bir sıralama olduğu açıktır. Ve eğer x y olacak şekilde S A de hiç bir y elemaı yoksa x S A ye maksimal deir. S A deki her x içi S A da x y olacak şekilde bir tek maksimal y elemaı olduğu açıktır. Parçalaış algoritmasıı bir soraki teoremde taımladık. Not: bir kelimei Lydo kelimelerie azala parçalaışı şöyle yazılabilir; k k p p p p w= l Kl, l > L> l, k, K, k (4.4.3) 47

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Teorem 4.4.2: w (4.4.3) de olduğu gibi parçalaışa sahip ola bir kelime, c de w = cw, olacak şekilde w u ilk harfi, ( uv, ), S A daki tek maksimal elema öyle ki olsu. (Burada u (4.4.2) deki gibidir). O zama (, cw) ( uv, ) dır. l = l ve k = k Diğer bir ifade ile rewritig sistemi (yeide yazma sistemi), w u parçalaıştaki ilk Lydo kelimelerii kuvvetii hesaplamamıza yarar. Bu yüzde soua kadar w u yerie pv yazılarak devam edilip gidilir. Örek 4.4.3: w = abbabbababb, a< b. S ideki her u (4.4.2) deki gibi yazılmış olsu. ε ( u) harflerii koyu şekilde yazalım. Şuu elde ederiz; (a,bbabbababb) (ab,babbababb) (abb,abbababb) ((abb)a,bbababb) 2 ((abb)ab,bababb)((abb),ababb) 2 ((abb) a,babb) 2 ((abb) ab,abb) Soucu maksimaldir çükü b > a dır. Bu yüzde 2 w ( abb) s = dir ve s ile devam edersek : 2 ( a, babb) ( ab, abb) (( ab) abb, ) (( ab), b) ( ababb,). Bu yüzde s bir Lydo kelimesidir ve w u parçalaışı 2 ( abb)( ) ababb dir. İspat: olduğuda (, cw) ( uv, ) = = = elde ederiz. p A, k w cw uv l pv l = pas olsu. pv i Lydo kelimelerie azala parçalaışı pv= h K hq olsu. Ya; h, p i bir öekidir. Bu edele h p< l olur ya da; p h i bir öz öeki dir: pbh dir, burada b, v i ilk harfidir; sora ( uv, ) maksimal olduğuda a almalıyız, bu yüzde h = pbh < pas = l dir. Her iki durumda da h < l dir. Bu da k şuu gösterir; w u Lydo kelimelerideki azala parçalaışı lhk h q dur ve böyle devam edersek k k k k 2 p l = l, hkhq = l2 K lp > b 48

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK olur. Bu teoremi ispatı algoritmaı lieer olduğuu gösterir. Daha özel olarak ifade edersek w yu parçalamak içi A ı harfleri arasıda e çok 2 w defa karşılaştırmaya ihtiyaç vardır. 4.5. İlkel Kolyeleri Multikümeleri ve Kelimeleri Bir E kümesi içi yei bir taım yapacağız. M : E N bir döüşüme E i elemalarıı multikümesi (katlı kümesi) deir. E deki e içi, M() e ye M deki e i multiplicity (katlılığı) deir. Eğer buu, kardialitesi (kümei elema sayısı) solu ise M() e < soludur. verilee göre e E Teorem 4.2. ü hipotezie göre A bir H alt kümesi verilsi. 4.2. de A ı kelimeleri ile H elemalarıı multikümeleri arasıda aşikâr bir bijeksiyo vardır. Bu durum H Hall kümesi içi bu doğrudur veya Lydo kelimelerii kümesi ola L = H içide doğrudur. Üstelik ileri gidersek Souç 4.2.2, H ile ilkel kolyeleri kümesi arasıda bir bijeksiyou olduğuu söyler. Bu yüzde aşağıdaki souca ulaşırız. Multikümeleri bileşelerideki evaluasyou (veya sırasıyla uzuluğu ) evaluasyoları çarpımıdır (veya uzuluları toplamıdır). Teorem 4.5.: A ı bir Hall kümesi verilsi (özellikle Lydo kelimelerii kümesi), o zama aşağıdaki üç küme arasıda evaluasyou koruya kaoik bir bijeksiyo vardır; (i) (ii) (iii) uzuluklu kelimeleri kümesi uzuluklu Hall kelimelerii multikümelerii kümesi uzuluklu ilkel kolyeleri multikümelerii kümesi Şimdi, bir öcekide daha değişmez özellikleri sahip ilkel kolyeleri multikümeleri ve kelimeleri arasıda bir başka bijeksiyo taımlayacağız. Bu bijeksiyo Serbest Lie cebirleri ile bağlatılı ola çeşitli simetrik foksiyolar ile çalışmada kullaışlı olacaktır. 49

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK A tamsıralı bir alfabe olmak üzere ai A içi olsu. [ ] = {, K, } olmak üzere δ [ ] [ ] foksiyo taımlayalım. w w A ı bir elemaı w= a K a : a A, δ() i = ( a,) i şeklide bir δ u ijective (bire çok) olduğu açıktır. A [ ] sözlük sıralamasıa göre sıralıdır. δ () i < δ ( j) şartıda, üzeride bir tam sıralama taımlar. Bu şart aşağıdaki özelliklerle birlikte bir dekliktir, w w ( a < a ) veya ( a = a ve i< j). (4.5.) i j i j [ ] üzerideki bu tam sıralamaya w u stadart umaralaması deir öyle ki: w daki e küçük harfte başlayarak, w u harflerii pozisyolarıı, solda sağa doğru umara sırasıa göre belirleir. Daha sora ikici e küçük kelimede devam edilerek umaraladırma sürdürülür. (Örek 4.5. bak) w u stadart permütasyou, σ() i < σ( j), δ () i < δ ( j) de deklik olmak üzere [ ] i st( w) = σ ola bir tek permütasyodur. Eğer yukarıdaki gibi w daki harfleri pozisyolarıı bir umarası olarak alırsak, [ ] üzeride bir kelime gibi görüp, σ direkt olarak elde edilebilir. Aşağıdaki bilgii doğrulamasıı kolayca görülebilir. { j i} { i j} σ () i = j j, a < a + j j i, a = a. w w Örek: 4.5.2: 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 w = b b a a b d d d b d b c σ = 3 4 2 5 9 0 6 2 7 8 Daha öce olduğu gibi σ ve w lar içi, σ u bir c= ( i, N, i k ) devrii düşüelim. aa K a Kelimelerii deklik sııfları ola kolyeleri v ( w ) ile gösterelim. i i ik O zama, ( ) M w kolyesii bir multiset taımı { v ( ), ( )idevridir c w c st w } multiseti olur. Daha da formülleştirirsek; her v kolyesi içi vc ( w) M( w)( v) = st( w) i c devrii sayısı tarafıda M( w ) taımlaır. Dikkat edersek, w u evaluasyou (değeri) M( w ) evaluasyoua eşittir. c = v olacak şekilde 50

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Örek 4.5.3: σ ve w lar Örek 4.5.2 olduğu gibi olsu. σ u devirleri şekil 4.3 te gösterilmiştir. M( w ) multiseti, a σ ye göre her i rakamıı yerii değiştirilmesi () i ile elde edilir ( a i yerie bu kolyeler değişmez). Şekil 4.4 e bak. 2 6 7 0 5 3 4 9 2 8 Şekil 4-3 a a b d b d b b b d d c Şekil 4-4 Teorem 4.5.4: wa M( w) foksiyou kelimeleri kümeside ilkel kolyeleri solu multisetlerii kümesie evaluasyou koruya bir bijeksiyodur. İspatta W ters bijeksiyou alatılmıştır. İspat: (a) Aşağıdaki gibi kurula, evaluasyou koruya (evaluatio-preservig) W foksiyou, ilkel kolyeleri solu multisetlerii kümeside taımlası: M o W = id A a şöyle. O zama W ijectif (bire çok ) olacaktır. Bu edele Teorem 4.5. e göre surjectif (örte) olur. Çükü verile bir evaluasyolu kelimeleri kümesi soludur. Bu edele M, kümesi üzerie bir bijeksiyo dur. A da ilkel kolyeleri multisetlerii 5

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK (b) P, A de periyodik dizileri kümesi olsu. π : A + P, ( b A) içi π ( b Kb ) = ( b, K, b, b, K, b, K ) k k k i olmak üzere P deki her elema π ( u) şeklidedir. Şua dikkat edelim; π, ilkel kelimeler ile periyodik diziler arasıda bir bijeksiyo taımlar. z: A A za (, a, a, K) = ( a, a, a, K ) 0 2 2 3 Şeklide taımlaa bir değiştirme foksiyou (shift mappig) olsu. Buu P ye kısıtlaması P i bir permütasyoudur. Şuu elde ederiz ve z( π( b Kb )) = π( b K bb) (4.5.2) k 2 k z π b bk = π bb k bk ( ( K )) ( K ) (4.5.3) Bu şuu gösterir, u ilkel, π () v dizisie göre v ile u kojuge olur ve π ( u) u z altıdaki orbiti (yörügesi) tam u elemalıdır yai u u kojugelerii sayısı kadardır. A üzeride sözlük sıralaması koyalım ve ayısıı A içide yapalım. f : A A foksiyou, dizii ilk elemaıı üzerie gödersi. z ve f, P de zsl (,) = ( zs (), l) ve f(,) sl = f() s ile bir geişlemedir (exted). (c) Bir u kelimesii kojugasyouu ( u ) ile ou ters döüşümüü de u % ile gösterelim ( yai şöyle taımlamış; eğer u = a K a, a A ise u % = ak K a ). N, uzuluklu ilkel kolyeleri solu bir multiseti olsu. N ile P i E alt kümesii birleştirirsek,[ 0 ] = olmak üzere E = ( % U { π u) } [ N(( u)) ] (4.5.4) u A k i Not: E i kardialitesi dir çükü ilkel ola bir u kelimesii kojuge sııfıda u elema vardır. Not: ayı zamada E, A i < tam sıralamasıı miras olarak alır. 52

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK Şöyle yazarız E = { e < e < L < e } 2. Eğer u,v kojuge kelimeler ise o zama N((u))=N((v)) dir. Ve uv %, % kojugedirler. O halde 4.5.2 ve 4.5.3 de E i z ye kısıtlaması E E ye bir permütasyodur. σ, [ ] i σ () i = ei olmak üzere = o o şeklide taımlaa bir permütasyou olsu. σ δ z δ δδ, leri arta foksiyolar olduklarıa dikkat edelim. a i = f o z ( ei) içi w= a, K a olsu. M(w)=N olduğuu görürüz ki bu ispatı bittiğii gösterir: ve bu w=w(n) şeklide kedii ortaya çıkarır. d) Biz σ u w u stadart permütasyou olduğuu iddia ediyoruz. Gerçekte, σ() i < σ( j), z ( e) < z ( e ) ye dektir (çükü i j δδ, artadırlar). Alfabetik sıralamaı özeliğide { f( z ( ei)) < f( z ( ej)) } veya { f( z ( ei)) = f( z ( ej)) ve ei < ej} eşitliğie döüşür bu ise ( a < a ) veya ( a = a ve i< j) olur ve bu (4.5.4) i j i j demektir. Böylece iddiamız ispatlamış olur. (4.5.3) ve (4.5.4) te z i bir devri şu şekildedir; l, l M(( u)) ve u = b Kb k, olmak üzere ( π( bkbk), l),( π( bb kkb2), l), K,( π( bk K bb k), l). Not: Kelimeleri kojugeleri ayı devri taımlarlar. σ u devri c= ( i, K, i k ) şeklidedir. = o o olduğuda, σ δ z δ i = δ (( π( b Kb), l), k i = δ (( π( bb Kb ), l), M 2 k 2 i = δ (( π( b Kb ), l) k k k Not: burada a = f oz ( e ) = f oz o δ () i olduğuda 4.5.3 de şuu yazarız; i i 53

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK ai = f oz π b kkb l = f π bk l = b (( ( ), )) (( ( ), )), ai = f oz π b 2 Kb2 l = f π b2k l = b2 M (( ( ), )) (( ( ), )), a = f oz (( π( b Kb ), l)) = f(( π( b K), l)) = b. i k k k k Bu şuu olduğuu gösterir; v ( w) = ( a, K a ) kolyesi (u) ya dektir (eşittir) ve biz c i i k M(w)=M eşitliğii olduğu soucua varırırz. Örek 4.5.5: M i W ters foksiyouu, şekil 4.4 te gösterildiği gibi ilkel kolyeleri multisetleri üzeride taımlamış olsu. Kolyeleri zıt yöde, her kolyei köşesii, meti tarafıda elde edile peiyodik dizi ile etiketleyelim (şekil 4.5 e bak). Şimdi bu dizi sözlük sıralamasıda olsu. (ilk kolye çeşitli sıralamalara sahiptir, çarpımsal yerleştirildiği zama şekil 4.6 ya bak) Devir şekli içide bir σ permütasyou elde edilir: ou bir kelime gibi yaz ve köşelere göre etiketler ile her bir basmağıı yerleştir: 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 σ = 3 4 2 5 9 0 6 2 7 8 w = b b a a b d d d b d b c örek 4..8 i kelimeleride elde edilelerle, olması gereke abab a abab a bbb bdbd b bdcd dbdcb d b dcddb d b baba b baba b d dbdb ddbdc d c cddbd Şekil 4-5 54

4. DAİRESEL KELİMELER (CIRCULAR WORDS) Ebubekir TOPAK a 2 a 5 6 b 0 d 7 b d b 3 b 4 b 9 d 2 d 8 c Şekil 4-6 55

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK 5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Bu kısımda Lydo kelimelerii daha değişik bir yolla algoritmik olarak vere bir tekikte söz edeceğiz. Bir öceki bölümde Lydo kelimeleri ayrıtılı olarak icelemişti. Şimd bu kısımda Lydo kelimelerii algoritmik olarak vere bir tekikte bahsedeceğiz. Bu da J. M. Champaraud, G. Hasel ve D. Peri (2003) tarafıda verile sabit uzuluklu kısaltılamaz kelimeler ile belirleecektir. 5.. Ö bilgiler A, < ile lieer sıralı bir solu küme olsu. A alfabeside bir kelime, A ı elemalarıı solu bir dizisidir. Kapsamada dolayı boş diziye boş kelime deir. A alfabesi üzerideki tüm kelimeleri kümesii A ile gösterelim. uzuluğuu w ile gösterelim. Eğer bir w kelimesi içi w kelimesi varsa p ye w u ö eki deir. Eğer p w A kelimesii = pu olacak şekilde bir u w ise p ye öz öek deir. Bezer şekilde simetrik olarak bir so ek taımlaır. Bir w kelimesi içi w= pxq olacak şekilde p ve q kelimeleri varsa x e w u bir faktörü (çarpaı, parçası) deir. Buları ayı zamada sosuz kelimeler içide kullaacağız. A üzeride iki yaı sosuz kelime, ( a) Z dizisidir. k= x olmak üzere eğer x= aa + La + k olacak şekilde bir deir. Eğer her tarafı sosuz ola Z idisi var ise x e iki tarafı sosuz bir kelimei bir faktörü Z içi a + = a olacak şekilde bir p sayısı varsa her iki p ( a ) dizisie periyodik dizi deir. Bu edele, eğer iki tarafı Z sosuz ola kelime solu bir u kelimesii tekrarlamasıda elde edilmişse bu kelimeye periyodik kelime deir. Bu şekildeki periyodik kelimeleri kümesii u ζ göstereceğiz. diziler Bezer kavramlar tek tarafı sosuz kelimeler içide geçerlidir. Bular içi ( a ) dir. N xy, kelimeyi xyw ile gösteririz xyw= xyyy... dir. A ve y boş olmaya kelime olmak üzere... ile xyyy sosuz 56

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK Bir w kelimesii bir hem öeki hem so eki ola kelimeye ve boş olmaya kelimeye w u sıırı (border) deir. Sıırı sadece kedisi ola bir kelimeye sıırsız (ubordered) deir. A alfabesi üzerideki tüm kelimeleri kümesi A üzeride < sıralaması uygulaarak alfabetik düze ile lieer olarak sıralıdır. Taımda dolayı ab, A ve a < b, uvw,, A olmak üzere eğer; x, y i bir öz öeki (yai y xs =, s A ) veya eğer x = uav, y = ubw ise her iki durumda da x< y dir. Alfabetik sıraı basit bir özelliği olarak şuu söyleyebiliriz; x değilse her u, v kelimesi içi xu sözlük sıralıdır) Eğer x < y ise ve eğer x, y i bir öeki < yv dir. (yai ali< ayşe ise alibey< ayşehaım = uv ve y = vu olacak şekilde uv, kelimeleri varsa x ile y kelimeleri kojugedirler deir( örek: araba ile abara kojugedirler). Kojugelik A da bir deklik bağıtısıdır. Eğer bir kelime bir öz kuvveti yok ise primitiftir (ilkeldir) deir.(örek: bekir primitiftir ama baba primitif değildir çükü baba = ( ba)2 dir) Yai r A içi > olmak üzere r şeklide olmaya kelimeler primitiftir. q sembollü, k uzuluklu primitif kelimeleri kojuge sııflarıı pkq (, ) sayısı witt i ülü formülü ile verilmiştir. pkq (, ) = µ ( k ) k dk q d d primitif kelimeleri kojuge sııflarıı sayısıı gösterir. Burada µ, Möbius foksiyoudur. ckq: (, ) q harfli k uzuluklu kelimeleri kojuge sııflarıı sayısı olmak üzere; ckq (, ) = ϕ ( k ) k dk q d d kojuge sııflarıı sayısı. Burada ϕ, Eüler foksiyoudur. k 3 ve q = 2 içi pkq (, ) ve ckq (, ) değerleri alttaki tabloda verilmiştir. 57

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK k 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 pk (,2) 2 2 3 6 9 8 30 56 99 86 335 630 ck (,2) 2 3 4 6 8 4 20 36 60 08 88 352 632 Gerçekte de: { ab, } içi a< b olsu. 5 uzuluklu kelimeler aşağıda verilmiştir. k 2 3 4 5 pk (,2) ab, ab aab, abb aaab, aabb, abbb aaaab, aaabb, aabab, aabbb, abaab, abbbb ck (,2) ab, aa, ab, bb aaa, aab, abb, bbb aaaa, aaab, aabb, abab, abbb, bbbb 5 a, aaaab, aaabb, aabab 5 abaab, ababb, abbbb, b Eğer bir kelime kedisii kojuge sııfıdaki e küçük kelimesi ise bu kelimeye miimaldir deir. Miimal kelimeleri kümesii M ile gösterelim. Miimal kelimeleri öeklerii kümesii P ile gösterelim. Bir Lydo kelimesi hem primitif hem miimal ola kelimedir. Lydo kelimelerii kümesii L ile gösterelim. Aşağıdaki öermede, souçta kullaıla, Lydo kelimelerii basit ve ülü özellikleri verilmiştir. Tamamlama adıa bir de ispat ekliyoruz. Öce Lydo kelimelerii taımıa eşdeğer olaı veriyoruz. Bu özellikle Lydo kelimelerii ubordered (sıırsız, kearsız) olduğuu gösterir. Öerme 5..: Boş olmaya her w kelimesi içi aşağıdaki şartlar dektir. (i) w bir Lydo kelimesidir. (ii) Boş olmaya herhagi uv, kelimeleri içi (iii) w = uv de w< vu elde ederiz. w kedisii boş olmaya bir öz so ekide kesilikle daha küçüktür. 58

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK İspat: uv, boş değilse ve uv primitifse uv vu olduğu iyi biliir. O halde (i) (ii) dir. (ii) (iii). v, ve q her ikisi de boş değilse w= vq olsu q, w u bir öeki olması mümkü değildir. Gerçekte de diğer durumda boş olmaya bir u içi w = qu olurdu. vq= qu < uq olduğuda vu elde ederiz böylece qv< qu = vq olur. Bu ise bir çelişkidir. q, w u bir öeki değilse burada w< qv de w< q dur. (iii) (i). w ı primitif olduğu açıktır. O halde w bir Lydo kelimedir. Bir soraki souç açıktır. Çükü her kelimei, bir primitif kelimei kuvveti olarak yazmaı bir tek yolu vardır. Öerme 5..2: Bir kelime miimaldir acak ve acak bu kelime bir Lydo kelimesii bir kuvvetidir. Bu, Lydo kelimesi tek türlü belirlidir. Bir soraki souç buu doğruluğuu ispatlar. Ou zıttı da doğrudur. Öerme 5..3: w, bir miimal kelimei öeki olsu. O zama w u her so eki ya w u bir ö ekidir ya da w da daha büyüktür. Bua dek olarak, w u her öeki, w u ayı uzuluklu so ekide küçük ya da eşittir. ve p, x i bir öz öeki olmak üzere bir w A kelimesi w= xp şeklide ise w ya x i bir sesquipoweri deir. (örek: 2 ahmetahmetah= ( ahmet) ah de dolayı ahmetahmetah kelimesi ahmet kelimesii sesquipoweridir, fakat ahmetahmetak kelimesi sesquipower değildir.) Özellikle Lydo kelimelerii sesguipowerları ilgiç olacaktır. Öreği: a bir sesquipoweri dir. < b olmak üzere w= aabbaabbaa, l = aabb Lydo kelimesii Aşağıdaki özellik, Frederickse ve Maioraa (978) de ve to Duval (983) de verilelerde tam bağımsız olarak uygu Lydo kelimeleri ürete bir metoda bağlar. Gerçekte de P i elemalarıı alfabetik sıralı olarak üretmek kolaydır. Bu ayı zamada L i veya M i elemalarıı üretmek içi bir metot verir. Bu 59

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK üretme problemi birkaç kou bağlamıda düşüülmüştür. (Kuth D.E. (2002), Moreo E. (2003), Reuteauer C. (993) ). Öerme 5..4: Her (i) w A kelimesi içi aşağıdaki şartlar bir birie dektir. w, bir miimal kelimei boş olmaya bir öekidir. (ii) w, bir Lydo kelimesii br, sesquipoweridir İspat: (iii) (i) olduğu açıktır. Buu tersii gösterelim. Hipotez gereği öyle bir s Lydo kelimesi vardır ki w, s i bir öekidir. Eğer w s ise w, s i bir sesquipoweri olduğu açıktır. Bu edele w yu s i bir boş olmaya bir öeki olması durumuu düşümek yeterli olur. w u uzuluğu üzeride bir tümevarım kullaalım. Eğer; w = ise w bir Lydo kelimesidir. O halde özellik doğru olur. w > ise a A olmak üzere w= va olduğuu farz edelim. Tümevarım hipotezide olmak üzere l bir Lydo kelimesi olduğuda v parçalaışıı elde ederiz ve p, l i bir öz öekidir. = lp b A ve x A olmak üzere l pbx = olsu. Şuları göstereceğiz; ya a= b dir ki bu durumda w kelimesidir. = va, l i bir sesquipowerıdır ya da ou kedisi bir Lydo Gerçekte de w P olduğuda Öerme 5..3 ü elde ederiz. pb pa olur ve bu durumda b a dır. Burada da b<a ise w bir Lydo kelimesi olduğuu ispatlarız. Buu içi s = ta, w= lpa ı bir öz öeki olsu. u = tb, z = lpb i bir öz öeki ola bir kelimedir. Öcelikle z P olduğuda u kelimesi z i ve ayı zamada w u da ayı uzuluklu ö ekide büyük veya eşittir. Fakat s olduğuda s kelimesi w da daha büyüktür. Ve böylece w bir Lydo kelimesidir. > u İspat: P üzeride yapıldı ki gerçekte P Lydo kelimelerii ö eklerii kümesie eşittir. 60

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK Bir w kelimesii bir bölümü (divisio) bir (l,u) çiftidir öyle ki l L, ve u A içi u < l olmak üzere w=lu dur. Öerme 5..4. e göre P deki her kelime e az bir bölmeye izi verir. Şuu söyleyebiliriz. Eğer w u (l,u) şeklide bir bölümü varsa w kelimesie bir l Lydo kelimesi karşılık gelir. Her l L içi w i birde fazla bölümü olduğu açıktır. w ya karşılık gele e kısa l Lydo kelimesi olmak üzere (l,u) ye w P i aa bölümü deir. l kelimesi w u aa parçasıdır (priciple part) ve p(w) ile gösterilir. u ya w u dayaağı (rest) deir ve rw ( ) ile gösterilir. Öreği: a< b olmak üzere aabaabbba kelimesi ( aabaabbb, a ) ve ( aabaabb, ba ) şeklide iki türlü bölmeye izi verir. İlkie göre parçalama bir Lydo kelimesii sesquipoweri gibidir. İkicisi ise aa bölmedir. ( Açıklama yaparsak; Nede ilk bölmeyi almadık? dersek çükü ikici bölmedeki l Lydo kelimesi daha küçüktür ( aab< aabaabb). Peki içi 2 ( aabaab, bba) = (( aab), bba) şeklide bölmedik, çükü aa parçayı oluştura l = aab Lydo kelimesii uzuluğu, dayaak ola u Ou içi böyle bölemeyiz. ) = bba da büyük olmalı. Bu şekilde bölersek eşit oluyor. 5.2. İptal Edilemez kümeler ( a) Z A bir alfabe olsu. I A kümesi olmak üzere, A alfabesi üzerideki iki tarafı sosuz kelimeleri e az bir faktörü I kümesi içide buluuyorsa I ya A üzeride iptal edilemez küme deir. Buula, herhagi bir tarafı sosuz ola kelimeleri I daki faktörüü sormak da ayı şeydir. Eğer alfabe solu olursa iptal edile kelimeler de solu olacaktır. O zama I da solu olur. Örek 5.2.: A= {, ab} olmak üzere U 0 = {, ab } kümesi, uzuluğu 0 ola her kelime içi ya bir harfi a olacaktır, ya da b 0 olacaktır. Dolayısı ile U kümesi A üzeride iptal edilemez bir kümedir. Ters bir örek verirsek; V 0 = { aa, b } kümesi 6

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK iptal edilebilir. Çükü ( ab) w= ababababab... sosuz kelimesii bir faktörü V kümeside yoktur. Bu edele uzuluğu k ola kelimelerde elde edile iptal edilemez kümeler bizim içi ilgiç olacaktır. Aşağıdaki öermeyi ispatlamak kolaydır. Öerme 5.2.2: A solu bir alfabe ve I, A üzerideki k uzuluklu kelimeleri iptal edilemez bir kümesi olsu. I ı kardialitesi (elema sayısı), A alfabesi üzerideki k uzuluklu kelimeleri kojuge sııflarıı sayısıda küçük ya da eşittir. İspat: u A, k uzuluklu bir kelime olsu. uw (sosuz) kelimesii k uzuluklu faktörleri u u kojuge sııfıı elemalarıdır. Bu edele I bu sııfta e az bir elema içermek zorudadır. k bir tam sayı ve Mk, k uzuluklu miimal kelimeleri kümesi olsu. Her m Mk içi pm ( ) ou (priciple part) aa parçası ve rm ( ) ou dayaağı olsu. Ik kümesi şöyledir; I = {( rmpm ) ( ) : m M } k k Ik da bulua ilkel olmaya herhagi bir miimal kelimei olduğuu söyleriz. Örek 5.2.3: Tablo 5.3. de M 7 ve I 7 verilmiştir. Aşağıdaki eseler gösterir ki I 7 iptal edilemez bir kümedir. Öerme 5.2.2 de dolayı I k ı elemalarıı sayısı, k uzuluklu kelimeleri iptal edilemez bir takım elemalarıı mümkü ola e az sayısıdır. I = {( rmpm ) ( ) : m M } k M k : k uzuluklu miimal kelimeleri kümesi pm ( ): rm: ( ) k M k ı m elemaı içi aa parça (priciple part) M k ı m elemaı içi dayaak (rest) I k : k uzuluklu iptal edilemez kelimeleri kümesi 62

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK I 7 içi şuu söyleyebiliriz; her iki yaa sosuz devam ede ve 7 uzuluklu bir kelimei tekrarı olarak yazıla bir sosuz kelimei içide çarpa (faktör) olarak mutlaka I 7 i bir elemaı vardır. Burada şua dikkat edelim: m=(l,u) deki l bulurke l yi tespit ederke uzuluğuu u ukide daha büyük olmasıa dikkat etmeliyiz. Ayrıca daha öce de bilidiği üzere c (7,2) = 20 olduğu burada da görülür. M 7 i elemaı = m m=(l,u) p(m)=l r(m)=u I = rmpm ( ) ( ) 7 aaaaaaa (a 7,) aaaaaaa aaaaaaa 2 aaaaaab (aaaaaab,) aaaaaab aaaaaab 3 aaaaabb (aaaaab,b) aaaaab b baaaaab 4 aaaabab (aaaab,ab) aaaab ab abaaaab 5 aaaabbb (aaaab,bb) aaaab bb bbaaaab 6 aaabaab (aaab,aab) aaab aab aabaaab 7 aaababb (aaab,abb) aaab abb abbaaab 8 aaabbab (aaab,bab) aaab bab babaaab 9 aaabbbb (aaab,bbb) aaab bbb bbbaaab 0 aabaabb ((aab) 2,b) aabaab b baabaab aababab (aabab,ab) aabab ab abaabab 2 aababbb (aabab,bb) aabab bb bbaabab 3 aabbabb (aabb,abb) aabb abb abbaabb 4 aabbbab (aabb,bab) aabb bab babaabb 5 aabbbbb (aabb,bbb) aabb bbb bbbaabb 6 abababb ((ab)3,b) ababab b bababab 7 ababbbb (ababb,bb) ababb bb bbababb 8 abbabbb ((abb)2,b) abbabb b babbabb 9 abbbbbb (abbb,bbb) abbb bbb bbbabbb 20 bbbbbbb (b 7,) bbbbbbb bbbbbbb Tablo 5.2. 63

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK 5.3. Aa souç Aşağıdaki soucu ispatladığımızda göreceğiz ki k uzuluklu kelimeleri iptal edilemez kümelerii boyutu (size) üzeride ckq (, ) alt sıırıı (lower boud) her k,q içi uzatırız. Bu zate J. Mykkelveit (972) tarafıda giriş olarak söylemişti. Teorem 5.3.: kq, içi q sembollü k uzuluklu ckq (, ) formuda bir iptal edilemez küme vardır. Bu teorem aşağıdaki teoremi bir soucu olacak ve miimal iptal edilemez kümeleri yapısıı verir. Teorem 5.3.2: A solu bir alfabe olsu ve k olsu, M k A alfabesi üzerideki k uzuluklu kelimeleri deklik sııflarıı içideki miimal olalarıı kümesi olsu. Her m Mk içi pm ( ) m i aa parçası ve rm ( ) ou dayaağı olmak üzere kümesi iptal edilemez kümedir. I = {( rmpm ) ( ) : m M } k Teorem 5.3.2 i ispatı içi bazı ö souçlara ihtiyacımız var. Buları ilki iptal edilemez kümeleri dekliğii temel taımıdır. k Öerme 5.3.3: I birbirie dektir. A solu kelimeleri bir kümesi olsu. Aşağıdaki şartlar (i) I kümesi iptal edilemezdir. (ii) İki tarafı sosuz her periyodik kelimei, I içide bulua e az bir çarpaı vardır. İspat: (ii) (i) i göstermek yeterlidir. ( a ) Z iki tarafı sosuz bir harf dizisi olsu. u A kelimesi I daki her kelimede daha büyük olsu ve ( ) Z a dizisideki 64

5. SABİT UZUNLUKLU İPTAL EDİLEMEZ KÜMELER Ebubekir TOPAK durumlarıı sayısı sosuzdur. Bu dizi uvu şeklide e az bir çarpaa sahiptir. Hipotez gereği... uvuvuvuv... sosuz periyodik kelimesi bir w I çarpaıa sahiptir. w kelimesi uv ve vu kelimeleride e az birii bir çarpaıdır. Bu ayı zamada ( a ) dizisii bir faktörüdür. Ve bu durumda I iptal edilemezdir. Z Öerme5.3.4: λ, l i öeki olacak şekilde iki Lydo kelimesi olsular. s < λ olacak şekilde l i bir so eki kelimesi bir Lydo kelimesidir. s A olsu. O zama her 0 > içi w= λs İspat: w u bir öz soeki t olsu. Üç durumla karşılaşabiliriz. ) t < s olabilir o zama, t, l Lydo kelimesii bir öz soekidir. Bu durumda t > > λ ve t < λ olduğuda t > λs = w dir. 2) t > s ve 0 i< olmak üzere t = λis gibi t yi parçalayabiliriz. s, l i öz soeki olduğuda s > λ yı elde ederiz. Souç olarak t = λis > λi+ dir. Çükü s < λ dir ve burada t > λs = w yu elde ederiz. 3) t > s ve t i parçalaışı t = st, s, λ ı so öz ekidir Her durumda da t λ L olduğuda s > λ dir. Ve t=st>ls=w olur. > w dir. Ve böylece w bir Lydo kelimesidir. 65

6. LİE CEBİRLERİNİN SONLU KOBOYUTLU ALT CEBİRLERİ VE KOBOYUTU HESAPLAMA ALGORİTMASI Ebubekir TOPAK 6. LİE CEBİRLERİNİN SONLU KOBOYUTLU ALT CEBİRLERİ VE KOBOYUTU HESAPLAMA ALGORİTMASI Bu bölümde L Lie cebirii solu koboyutlu alt cebirleri ele alıacak ve koboyutu, verile bir c tam sayısı ola solu sayıda alt cebiri varlığı iceleecektir. L yi bir i L, k cismi üzeride doğurucular kümesi X olsu. B, L i bir alt cebiri olsu. L serbest Lie cebirii bölüm cebiri olarak düşüebiliriz. Bua göre L içideki ters görütüsü olmak üzere içide modülob bazıı seçimi ile ayıdır. Bu edele, B, B L içide modülo B bazıı seçimi, L L serbest Lie cebirii bir modülo B bazıı asıl buluacağıı Ela AYDIN (997) göstermiş ve bir de algoritma vermiştir. Lie cebirii solu bir doğurucu küme ve taımlayıcı bağıtılarla takdimi, matematiksel ve algoritmik çalışmalarda öemli bir yer tutar. Takdim problemi fizikte matematiğe kadar yayıla geiş bir alada pratikliği açısıda büyük bir öem taşır. Özellikle solu takdimler bir çok fiziksel modellerde karşımıza çıkar. Doğurucu elemaları ve bağıtıları sayısıı fazla olduğu durumlarda bilgisayar cebirie ihtiyaç duyulur. Solu takdimli Lie cebirii bazıı buluuşu içi bir algoritma C dilideki programı P.Gerdt tarafıda yazılmıştır. (Gerdt ve Koryak;996). Bu bölümde solu takdimli Lie cebirlerii solu doğrulmuş alt cebirlerie göre modülo alt cebir bazıı işası içi verile yöteme uygu bir algoritma yazılmıştır. Ayrıca solu takdimli Lie cebirlerii bazı sııfları ve buları özel alt cebirleri seçilerek bu alt cebire göre modülo baz seçimi yapılmıştır. F, k, cismi üzeride { x x x },, L, kümesi tarafıda doğrula serbest Lie 2 cebiri olsu. F yi kısaca F = x, x2, L, x şeklide belirtelim. Eğer F, k üzeride herhagi bir Lie cebiri ise I, r = ( xx), r2 = ( xy) z+ ( yz) x+ ( zx) y formudaki elemalar tarafıda doğurula ideal olmak üzere L yi L= F I = x, x, L, x r = r = 0 2 2 şeklide ifade edebiliriz. Bu edele serbest :Lie cebirleri içi söyleyeceğiz. 66

6. LİE CEBİRLERİNİN SONLU KOBOYUTLU ALT CEBİRLERİ VE KOBOYUTU HESAPLAMA ALGORİTMASI Ebubekir TOPAK Şimdi Algoritmayı iceleyelim: L= x, x, L, x r = r = L = r = 0 2 k 2 m Lie cebirii düşüelim. B, L i aşağıdaki takdime sahip bir alt cebiri olsu: B= y, y, L, y s = s = L = s = 0 2 t 2 Aşağıda vereceğimiz algoritmayı işleterek L i modülob maksimal lieer bağımsız elemalarıı kümesii vereceğiz. Bu tezi yedici bölümüde algoritmayı çalıştıra bir bilgisayar programı verilmiştir. 6.. Modülo baz içi Algoritma L Lie cebiri ve B, L i alt cebiri olsu. Algoritmayı başlatmak içi girilmesi gereke verileri aşağıdaki gibi sıralayabiliriz: i) L i doğurucularıı idislere göre sıralamış X { x, x, } = L kümesi. 2 ii) B i doğurucularıı idislere göre sıralamış η = { y, y, } iii) L i taımlayıcı bağıtılarıı R { r, r, } = L kümesi. 2 iv) B i varsa taımlayıcı bağıtılarıı S { s, s, } 2 2 = L kümesi. L kümesi. v) Eğer bağıtılarda yer alıyorsa skaler parametreleri P= { p, p, L } 2 Bu veriler girilip az sora asıl işletileceğii göstereceğimiz algoritmaı soucuda L i modülob lieer bağımsız elemalarıı {,, } edeceğiz. b b L kümesii elde Şimdi adım adım bu algoritmaı girile veriler ile asıl işlediğii görelim: Adım: 2 η, B i doğurucularıı bir kümesi olmak üzere η i derecesi d ola elemalarıı η d kümesii belirlemesi. η kümesii elemalarıı derecelerie göre parçalayalım. Bu adımda her bir elemaı üzereide tek tek gidilerek uzuluklarıa göre sııfladırma işlemi yapılır. η kümesie göre uzuluğu k ola tüm elemaları kümesi, 67

6. LİE CEBİRLERİNİN SONLU KOBOYUTLU ALT CEBİRLERİ VE KOBOYUTU HESAPLAMA ALGORİTMASI Ebubekir TOPAK l l { yi l( yi) ki, Ik, k,2,3, } η = = = L ile gösterelim. Burada I k bir idis kümesidir. Bulduğumuz birici derecede elemaları yie buluuş sırasıa göre ; y, y, L, yk 2 ile, ikici derecede elemaları yie buluuş sırasıa göre y, y, L, ys 2 2 2 2 olarak isimledirelim. Bu şekilde devam edilirse η, η2, L kümeleri belirlemiş olur. Adım2: Eğer B i doğurucularıı η kümesi idirgemiş değilse, η ı idirgemesi. Küme idirgemiş ise 2.Adım soucuda η da bir değişiklik olmaz. Bu adımda öcelikle η 0 = koyalım ve η, η2, L, ηi kümelerii işa edilmiş olduğuu varsayalım. E, i i U j= 0 η j kümesi tarafıda doğrula alt cebir; T B alt cebirii derecesi d i+ ola elemaları oluşturduğu vektör uayı;, i T i, derecesi i + de küçük veya eşit ola elemaları gerdiği T uzayıı bir alt uzayı olsu. T i vektör uzayıda modülo T i maksimal lieer bağımsız η i + kümesii seçebiliriz. Eğer Ti = T i ise η i + = dir. Böylece η=u ηj kümesi idirgemiş küme olur. i Adım3: j= 0 U N, derecesi N de küçük veya eşit ola elemaları kümesi ike B U N tarafıda gerile B N alt uzayıı belirlemesi..adımdaki uzuluklarıa göre sıralamış elemalarda derecesi N de küçük veya eşit olaları sııfı alıarak buları gerdiği uzay buluur. Bu durumda; dir. BN = Sp({ η0 η L ηn }) 68

6. LİE CEBİRLERİNİN SONLU KOBOYUTLU ALT CEBİRLERİ VE KOBOYUTU HESAPLAMA ALGORİTMASI Ebubekir TOPAK Adım4: So adımda S 0 = alalım ve i<k içi S i kümelerii işa etmiş olalım. Sk ile Sp Bk U Si i< k maksimal lieer bağımsız k- yıcı derecede regüler kelimeleri kümesii gösterelim. Bu durumda S = U S kümesi olarak alıp L i i= 0 i modülob bazıı belirleyelim. Bu adımda L i Bk U Si kümeleri tarafıda gerile uzayı elemalarıda farklı ola k uzuluklu elemalarıı tek tek alarak S k kümesie koyalım ve bu işleme k yı bir artırarak devam edelim. Eğer i< k S i = oluyorsa, algoritmaya so verelim. Bu durumda modülo baz kümesi soludur. Eğer hiç bir S i = olmuyorsa baz kümesi sosuz elemalıdır. Souç olarak, tüm S i kümelerideki b i elemaları bize L i modülob baz kümesii verecektir. Şimdi bu algoritmaı işleyişii özel takdime sahip ola bazı Lie cebirleri üzeride görelim. Aşağıdaki örekleri bölüm 7.3.4 de verile programla çalıştırıp souçlarıı görebilirsiiz. Bu çalışmada η i idirgemiş olduğu durumlar göz öüe alımıştır. Ayrıca adım2 deki idirgeme algoritması yapılmamıştır. Aşağıdaki örekler Ela AYDIN ı (997) Doktora tezide alımıştır. Tezde farklı olarak biz burada Braket çarpımıı yazılışıı sağa yaslı olarak aldık Tezi so bölümüde bu algoritmaı bilgisayar programı yapılacaktır. Örek 6.. L= xyz,, [ y,[ yz, ]] = [ x,[ x,[ xy, ]]] = [ x,[ xz, ]] = 0 Lie cebirii bir alt cebiri B= y, z, [ xy, ], [ x,[ xy, ]], [ y,[ xz, ]], [ z,[ xz, ]] olsu. L i modülob bazı { x, [x, z] } ve B i L içideki koboyutu 2 dir. Örek 6..2 L= xy, [ x,[ xy, ]] = [ y,[ y,[ xy, ]]] = 0 Lie cebirii bir alt cebiri B= y, [x,y] olsu. L i modülob bazı { x} ve B i L içideki koboyutu dir. 69

6. LİE CEBİRLERİNİN SONLU KOBOYUTLU ALT CEBİRLERİ VE KOBOYUTU HESAPLAMA ALGORİTMASI Ebubekir TOPAK Örek 6..3 L=< xy, [ x,[ x,[ x,[ xy, ]]]] = [ y,[ y,[ y,[ y,[ xy, ]]]]] = [ y,[ y,[ y,[ y,[ x,[ xy, ]]]]]] = [ y,[ y,[ y,[ y,[ x,[ x,[ xy, ]]]]]]] = 0> Lie cebirii bir alt cebiri B= y, [ xy, ] olsu. L i modülob bazı { x} ve B i L içideki koboyutu dir. Örek 6..4 L= xy, [ x,[ x,[ xy, ]]] = 0 Lie cebirii bir alt cebiri B= y, [ xy, ], [ x,[ xy, ]] olsu. L i modülob bazı { x} ve B i L içideki koboyutu dir.> Örek 6..5 L= xy, [ x,[ x,[ xy, ]]] = [ y,[ y,[ y,[ xy, ]]]] = [ y,[ y,[ y,[ x,[ xy, ]]]]] = 0 Lie cebirii bir alt cebiri B= y, [ xy, ],[ y,[ x,[ xy, ]]] olsu. L i modülob bazı { x, [ x,[ xy, ]]} ve B i L içideki koboyutu 2 dir. Örek 6..6 L(2,3) = xy, [ y,[ y,[ y,[ x,[ xy, ]]]]] = 0 Lie cebirii bir alt cebiri B= [ y,[ x,[ xy, ]]], [ y,[ y,[ x,[ xy, ]]]] olsu. L i modülob bazı { xy,, [ xy, ],[ x,[ xy, ]],[ x,[ x,[ xy, ]]],[ y,[ y,[ xy, ]]], L} ve B i L içideki koboyutu sosuzdur. Örek 6..7 L= xyz,, t [ xy, ] = [ x,[ yt,]] = 0 Lie cebirii bir alt cebir B=< t,[ xt,] > olsu. L i modülob bazı { x, y, z, [ xz, ],[ yz, ],[ yt,],[ zt,]} ve B i L içideki koboyutu 7 dir. 70

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK 7. PROGRAMLAR 7.. Giriş Bir serbest Lie cebirii Hall bazıı hesaplaya bir bilgisayar programı Muthe H.-Kaas ve Owre B tarafıda verilmiş. Adary P.(997) Lydo kelimelerii ürete bil algoritma ile beraber bir C programı yayılamıştır. Ve daha sora Sawada, J. (2003), Adary P.(997) i yapmış olduğu algoritmayı geliştirmiş ve hızladırmış. So olarak elde edile Lydo kelimelerie braket koyma işlemii yapa bir program yayılamıştır. Bu çalışmada tekrarlamalı işlemler yardımı ile, Hall kelimelerii bula bir program yazılmıştır. Hall kelimelerii bulurke bu kelimeleri ayı ada hagi altmerkezi terimi elemaı olduğuu da tespit etmektedir. Program ayı zamada; 4. bölümde verile dairesel kelimelerde faydalaarak, elde ettiğimiz Hall kelimesie karşılık gele Lydo kelimesii de bulmaktadır. Daha sora bir serbest L Lie cebirii üreteçleri belli ola bir B alt cebiri içi, L i ModüloB bazıı bula program verilmiştir. 7.2. Hall ve Lydo Kelimelerii bula Delpi7 Programı Aşağıda verdiğimiz Delphi7 programı, rakı e fazla 20 ola bir serbest Lie cebirii Hall bazıı, e fazla 20 uzuluklu kelimelerii bulmaktadır. Bu program daha öce yazıla programlarda farklı olarak alt merkezi serileri terimlerii ve serbest üreteç kümelerii de bulmaktadır. Ayrıca Hall elemalarıa karşılık gele Lydo kelimelerii de bulmaktadır. Şimdi programı çalışma matığıı alatalım. Öcelikle bir Hall kelimesii belirlemek içi o kelimei bileşelerii içere tüm Hall kelimelerii bulmuş olmalıyız. Buu içi rekürsif işlem yapılır. 7

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK Örek 7.2.: [[y,z],[z,[x,y]]] kelimesi içi [y,z] ve [z,[x,y]] kelimeleri bilimelidir. [y,z] içi y ve z bilimelidir. [z,[x,y]] içi z bilimeli, [x,y] bilimeli ve [x,y] içide x ve y bilimelidir. Buu içi ilk olarak uzuluklu elemaları X kümeside alır ve alıış sırasıda küçükte büyüğe doğru sıralarız. 2 uzuluklu kelimeleri bulurke uzuluklu elemaları kümesii kartezye çarpımıı alır, Hall elemaı olup olmadığıa bakarız. Eğer Hall elemaı özelliğii taşıyor ise kümeye ekleriz. Programda taımlamış tipler ve değişkeler 7.2.2.: Programda taımladığımız e öemli tip HALL_TYPE dır ve aşağıdaki gibi taımlamıştır. HALL_TYPE = record idex:logword; // bu elemaı bu uzuluktaki idexi I:logword; // birici bileşe idexi I2:logword; // ikici bileşe idexi L:byte; // birici bileşe uzuluğu L2:byte; // ikici bileşe uzuluğu Buu şu şekilde açıklayabiliriz; 3 üreteçli bir serbest Lie cebirii e fazla 4 uzuluklu elemaları aşağıdaki gibidir. Kelimei bu uzuluktaki kelimeler arasıdaki sırası Kelimei birici bileşeii o uzuluktaki kelimeler arasıdaki sırası Kelimei ikici bileşeii o uzuluktaki kelimeler arasıdaki sırası Birici bileşeii uzuluğu İkici bileşeii uzuluğu Kelimei kedisi 0 0 x 2 2 0 0 y 3 3 0 0 z 2 [x,y] 2 3 [x,z] 3 2 3 [y,z] 2 [x,[x,y]] 72

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK 2 2 2 [x,[x,z]] 3 2 2 [y,[x,y]] 4 2 2 2 [y,[x,z]] 5 2 3 2 [y,[y,z]] 6 3 2 [z,[x,y]] 7 3 2 2 [z,[x,z]] 8 3 3 2 [z,[y,z]] 3 [x,[x,[x,y]]] 2 2 3 [x,[x,[x,z]]] 3 3 [y,[x,[x,y]]] 4 2 2 3 [y,[x,[x,z]]] 5 2 3 3 [y,[y,[x,y]]] 6 2 4 3 [y,[y,[x,z]]] 7 2 5 3 [y,[y,[y,z]]] 8 3 3 [z,[x,[x,y]]] 9 3 2 3 [z,[x,[x,z]]] 0 3 3 3 [z,[y,[x,y]]] 3 4 3 [z,[y,[x,z]]] 2 3 5 3 [z,[y,[y,z]]] 3 3 6 3 [z,[z,[x,y]]] 4 3 7 3 [z,[z,[x,z]]] 5 3 8 3 [z,[z,[y,z]]] 6 2 2 2 [[x,y],[x,z]] 7 3 2 2 [[x,y],[y,z]] 8 2 3 2 2 [[x,z],[y,z]] Tablo 7.2. Üç üreteçli serbest Lie cebirii e fazla 4 uzuluğa kadar Hall elemalarıı listesi. Programdaki e öemli değişkeimiz All_Hall aşağıdaki gibi taımlamıştır. All_Hall: array [..20,0..000000] of HALL_TYPE; Bu değişke içeriside bir Hall kelimesii barıdırır. Birici bileşe kelimei uzuluğu, ikici bileşe ise bu uzuluktaki elemaları içideki sıra umarasıı gösterir. Örek olarak All_Hall[4,3]= [z,[z,[x,y]]] dir. Yai 4 uzuluklu kelimeleri 3. kelimesi demektir. Özel olarak uzuluklu kaç kelimei olduğuu kolay olarak bulmak içi dizii [,0] terimi kullaılır. Örek olarak Tablo 7.. de verile 4 uzuluklu kelimede 8 tae var. Buu All_Hall dizisi içide aşağıdaki gibi belirleriz All_Hall[4,0].idex:=8 73

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK Programdaki foksiyolar ve alt programlar 7.2.3.: Programda kullaıla foksiyo ve alt programlarda e öemlileri aşağıda açıklamıştır. fuctio Hall_elemaimi(h,h2:HALL_TYPE) : boolea; Bu foksiyo, birici bileşe h, ikici bileşe h2 ola [h,h2] çarpımı ile verile kelimei Hall elemaı olup olmadığıı belirler. Buu Hall kümesii taımıda verile şartlara bakarak belirler. procedure Hall_Bul(); Bu alt program isteile uzuluktaki tüm Hall kelimeleri belirler ve All_Hall değişkeii içerisie atar. procedure Hallkelime(h:HALL_TYPE; var elema:strig); Bu alt program h şeklide verile bir Hall elemaıı braketli hale getirir. procedure Hall_Yazdir(); Bu alt program elde edile tüm Hall kelimelerii ekraa yazdırır. procedure HallToLydo(h:HALL_TYPE; var elema:strig); Bu alt program h Hall elemaıı Lydo kelimesie çevirir. Programı Delphi7 dilideki yazılımı 7.2.4.: uit Ebubekir_Hall; iterface uses Widows, Messages, SysUtils, Variats, Classes, Graphics, Cotrols, Forms, Dialogs, StdCtrls, ComCtrls, Grids; type HALL_TYPE = record idex:logword; // bu elemaı bu uzuluktaki idexi I:logword; // birici bileşe idexi I2:logword; // ikici bileşe idexi 74

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK L:byte; L2:byte; // birici bileşe uzuluğu // ikici bileşe uzuluğu TForm = class(tform) Label: TLabel; Edit: TEdit; Label3: TLabel; Butto: TButto; Butto2: TButto; Label2: TLabel; Edit2: TEdit; Label5: TLabel; Edit3: TEdit; Edit4: TEdit; Edit5: TEdit; Edit6: TEdit; Edit7: TEdit; Label6: TLabel; Label7: TLabel; Label8: TLabel; Label9: TLabel; Label0: TLabel; ProgressBar: TProgressBar; ProgressBar2: TProgressBar; Label6: TLabel; Label7: TLabel; Edit8: TEdit; Edit9: TEdit; Label8: TLabel; Label9: TLabel; 75

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK GroupBox: TGroupBox; RadioButto3: TRadioButto; RadioButto4: TRadioButto; Label20: TLabel; RadioButto5: TRadioButto; StrigGrid: TStrigGrid; procedure Butto2Click(Seder: TObject); procedure ButtoClick(Seder: TObject); private { Private declaratios } public { Public declaratios } var hbase,hbase,hbase2,hbaseg : HALL_TYPE; All_Hall: array [..20,0..000000] of HALL_TYPE; // özel olarak "All_Hall[4,0].idex:=7;" i alamı // 4 uzuluklu 7 kelime var demektir. X: array[..20] of strig= ('x','y','z','a','b','c','d','h','i','j', 'k','l','m','','o','p','r','s','t','u'); rakx,max_le,m,m2,m3,m4,m5:logword; eaz,ecok:logword; Hall_elema_sayisi:logword; Form: TForm; implemetatio {$R.dfm} // procedure Hall_i(var h:hall_type;idex,i,i2,l,l2:logword ) ; 76

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK // H ye değer atar begi h.idex:=idex; h.i:=i; h.i2:=i2; h.l:=l; h.l2:=l2; // fuctio X_le(h:HALL_TYPE):logword; // h i uzuluğuu vere foksiyo begi X_le:=h.L+h.L2; // fuctio Cm_le(h:HALL_TYPE):logword; // h i Cm uzuluğuu verir var h,h2:hall_type; uz:logword; begi uz:=0; if X_le(h)<m the uz:=0 else if X_le(h)=m the uz:= else begi // X_le(h)> m olur h:=all_hall[h.l,h.i]; if X_le(h)>=m the uz:=cm_le(h); h2:=all_hall[h.l2,h.i2]; if X_le(h2)>=m the uz:=uz+cm_le(h2); Cm_le:=uz; // fuctio Cmm2_le(h:HALL_TYPE):logword; 77

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK var h,h2:hall_type; uz:logword; begi uz:=0; if Cm_le(h)<m2 the uz:=0 else if Cm_le(h)=m2 the uz:= else begi h:=all_hall[h.l,h.i]; if Cm_le(h)>=m2 the uz:=cmm2_le(h); h2:=all_hall[h.l2,h.i2]; if Cm_le(h2)>=m2 the uz:=uz+cmm2_le(h2); Cmm2_le:=uz; // fuctio Cmm2m3_le(h:HALL_TYPE):logword; var h,h2:hall_type; uz:logword; begi uz:=0; if Cmm2_le(h)<m3 the uz:=0 else if Cmm2_le(h)=m3 the uz:= else begi h:=all_hall[h.l,h.i]; if Cmm2_le(h)>=m3 the uz:=cmm2m3_le(h); h2:=all_hall[h.l2,h.i2]; if Cmm2_le(h2)>=m3 the uz:=uz+cmm2m3_le(h2); Cmm2m3_le:=uz; // 78

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK fuctio Cmm2m3m4_le(h:HALL_TYPE):logword; var h,h2:hall_type; uz:logword; begi uz:=0; if Cmm2m3_le(h)<m4 the uz:=0 else if Cmm2m3_le(h)=m4 the uz:= else begi h:=all_hall[h.l,h.i]; if Cmm2m3_le(h)>=m4 the uz:=cmm2m3m4_le(h); h2:=all_hall[h.l2,h.i2]; if Cmm2m3_le(h2)>=m4 the uz:=uz+cmm2m3m4_le(h2); Cmm2m3m4_le:=uz; // fuctio Cmm2m3m4m5_le(h:HALL_TYPE):logword; var h,h2:hall_type; uz:logword; begi uz:=0; if Cmm2m3m4_le(h)<m5 the uz:=0 else if Cmm2m3m4_le(h)=m5 the uz:= else begi h:=all_hall[h.l,h.i]; if Cmm2m3m4_le(h)>=m5 the uz:=cmm2m3m4m5_le(h); h2:=all_hall[h.l2,h.i2]; if Cmm2m3m4_le(h2)>=m5 the uz:=uz+cmm2m3m4m5_le(h2); Cmm2m3m4m5_le:=uz; 79

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK // fuctio Hall_elemaimi(h,h2:HALL_TYPE) : boolea; begi Hall_elemaimi:=false; if X_le(h)>X_le(h2) the exit; if X_le(h)=X_le(h2) the if (h.idex<h2.idex) the begi Hall_elemaimi:=true; exit ed else exit; // demekki küçük yai le(h)<le(h2) if (X_le(h) < h2.l) the exit; if (X_le(h) > h2.l) the begi Hall_elemaimi:=true; exit // demekki eşit ozama idexlerie bakalım if h.idex>=h2.i the Hall_elemaimi:=true; // değilse zate false idi. ve çıkar. // fuctio HCm_elemaimi(h:HALL_TYPE;var kactaecmvar:logit ) : boolea; // Hall bazıdaki h elemaı aceba HCm i elemaimi? begi kactaecmvar:=cm_le(h); if kactaecmvar>0 the HCm_elemaimi:=true else HCm_elemaimi:=false; // fuctio HCmm2_elemaimi(h:HALL_TYPE;var kactaecmm2var:logit ) : boolea; // Hall bazıdaki h elemaı aceba HCm i elemaimi? begi 80

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK kactaecmm2var:=cmm2_le(h); if kactaecmm2var>0 the HCmm2_elemaimi:=true else HCmm2_elemaimi:=false; // fuctio HCmm2m3_elemaimi(h:HALL_TYPE;var kactaecmm2m3var:logit ) : boolea; // Hall bazıdaki h elemaı aceba HCm i elemaimi? begi kactaecmm2m3var:=cmm2m3_le(h); if kactaecmm2m3var>0 the HCmm2m3_elemaimi:=true else HCmm2m3_elemaimi:=false; // fuctio HCmm2m3m4_elemaimi(h:HALL_TYPE;var kactaecmm2m3m4var:logit ) : boolea; // Hall bazıdaki h elemaı aceba HCm i elemaimi? begi kactaecmm2m3m4var:=cmm2m3m4_le(h); if kactaecmm2m3m4var>0 the HCmm2m3m4_elemaimi:=true else HCmm2m3m4_elemaimi:=false; // fuctio HCmm2m3m4m5_elemaimi(h:HALL_TYPE;var kactaecmm2m3m4m5var:logit ) : boolea; // Hall bazıdaki h elemaı aceba HCm i elemaimi? begi kactaecmm2m3m4m5var:=cmm2m3m4m5_le(h); if kactaecmm2m3m4m5var>0 the HCmm2m3m4m5_elemaimi:=true else HCmm2m3m4m5_elemaimi:=false; // 8

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK procedure Hallkelime(h:HALL_TYPE; var elema:strig); // h yi kelimeye çevirir var h,h2:hall_type; begi if (h.l=)ad (h.l2=0) the elema:=x[h.i]; if (h.l=)ad (h.l2=) the elema:=elema+'['+x[h.i]+','+x[h.i2]+']'; if (h.l=)ad (h.l2>) the begi elema:=elema+'['+x[h.i]+','; h:=all_hall[h.l2,h.i2]; Hallkelime(h,elema); elema:=elema+']'; if (h.l>) the begi elema:=elema+'['; h:=all_hall[h.l,h.i]; Hallkelime(h,elema); elema:=elema+','; h2:=all_hall[h.l2,h.i2]; Hallkelime(h2,elema); elema:=elema+']'; // procedure HallToLydo(h:HALL_TYPE; var elema:strig); // halltype ıdaki bir h elemaıı Lydo kelimesie çevirir var h,h2:hall_type; i,j:iteger; gec:char; mielema:strig; 82

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK begi if (h.l=)ad (h.l2=0) the elema:=x[h.i]; if (h.l=)ad (h.l2=) the elema:=elema+x[h.i]+x[h.i2]; if (h.l=)ad (h.l2>) the begi elema:=elema+x[h.i]; h:=all_hall[h.l2,h.i2]; HallToLydo(h,elema); elema:=elema; if (h.l>) the begi elema:=elema; h:=all_hall[h.l,h.i]; HallToLydo(h,elema); elema:=elema; h2:=all_hall[h.l2,h.i2]; HallToLydo(h2,elema); elema:=elema; { Hall elemaı assosiyatif sapport halie geldi öregi: [a,[b,c]] elemaı abc gibi oldu şimdi bu kelimede Lydo kelimesi bulmalıyız. Buu devirli permütasyouda faydalaarak assosiyatif supportlarıda e küçüğüü yai primitif olaıı bulacağız } mielema:=elema; for j:=2 to legth(elema) do begi gec:=elema[]; for i:=2 to legth(elema) do begi elema[i-]:=elema[i] 83

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK elema[legth(elema)]:=gec; if mielema>elema the mielema:=elema; elema:=mielema; // procedure X_i_H_e_aktar(:logword); var i :Logword; begi for i:= to do Hall_i(All_Hall[,i],i,i,0,,0); All_Hall[,0].idex:=; // procedure TForm.Butto2Click(Seder: TObject); begi Halt // Procedure EkraDegerleriiYeile; // formdaki değişiklikleri yeiler sayıları atar var s:strig; i:logword; begi s:=form.edit.text; val(s,rakx,i); s:=form.edit2.text; val(s,max_le,i); s:=form.edit3.text; val(s,m,i); if m<2 the m:=2; str(m,s);form.edit3.text:=s; s:=form.edit4.text; val(s,m2,i); s:=form.edit5.text; val(s,m3,i); s:=form.edit6.text; val(s,m4,i); 84

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK s:=form.edit7.text; val(s,m5,i); s:=form.edit8.text; val(s,eaz,i); s:=form.edit9.text; val(s,ecok,i); if (eaz> ecok) the begi i:=eaz; eaz:=ecok; ecok:=i if (eaz<) or (eaz>max_le) the eaz:=; if (ecok>max_le) or (ecok <) the ecok:=max_le; str(eaz,s);form.edit8.text:=s; str(ecok,s);form.edit9.text:=s; // procedure Hall_Yazdir(); var i,j,sayac, kactaecmvar, kactaecmm2var, kactaecmm2m3var, kactaecmm2m3m4var, kactaecmm2m3m4m5var:logit; sm,sm2,sm3,sm4,sm5,s,elemag:strig; O_ek,So_ek : strig; FHtml: TextFile; FText: TextFile; begi AssigFile(FHtml, 'Ebubekir_Hall_Rekli.html'); Rewrite(FHtml); AssigFile(FText, 'Ebubekir_Hall.txt'); Rewrite(FText); EkraDegerleriiYeile; str(m,sm); str(m2,sm2); str(m3,sm3); str(m4,sm4); str(m5,sm5); 85

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK if form.radiobutto3.checked the begi form.striggrid.visible:=true ; form.striggrid.cells[,0]:='hall Bazıı elemaları'; form.striggrid.cells[2,0]:='f'; form.striggrid.cells[3,0]:='f'+sm; form.striggrid.cells[4,0]:='f'+sm+','+sm2; form.striggrid.cells[5,0]:='f'+sm+','+sm2+','+sm3; form.striggrid.cells[6,0]:='f'+sm+','+sm2+','+sm3+','+sm4; form.striggrid.cells[7,0]:='f'+sm+','+sm2+','+sm3+','+sm4+','+sm5; form.striggrid.cells[8,0]:='lydo kelime'; sayac:=0; Hall_elema_sayisi:=0; for i:= to max_le do for j:= to All_Hall[i,0].idex do ic(hall_elema_sayisi); if form.radiobutto3.checked the form.striggrid.rowcout:=hall_elema_sayisi+; for i:=eaz to ecok do for j:= to All_Hall[i,0].idex do begi ic(sayac); if form.radiobutto3.checked the begi form.striggrid.cells[0,sayac]:=''; form.striggrid.cells[,sayac]:=''; form.striggrid.cells[2,sayac]:=''; form.striggrid.cells[3,sayac]:=''; form.striggrid.cells[4,sayac]:=''; form.striggrid.cells[5,sayac]:=''; form.striggrid.cells[6,sayac]:=''; form.striggrid.cells[7,sayac]:=''; 86

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK elemag:=''; HallToLydo(All_Hall[i,j], elemag); form.striggrid.cells[8,sayac]:=elemag; form.progressbar2.positio:=(sayac00) div Hall_elema_sayisi; str(sayac,s); if form.radiobutto3.checked the form.striggrid.cells[0,sayac]:=s; str(i,s); if form.radiobutto3.checked the form.striggrid.cells[2,sayac]:='h'+s; elemag:=''; Hallkelime(All_Hall[i,j], elemag); O_ek:='<p style="lie-height: 0%"><spa style="backgroud-color: #FFFFFF">'; kactaecmvar:=0; if HCm_elemaimi(All_Hall[i,j],kactaeCmvar) ad (m<>) the begi O_ek:='<p style="lie-height:0%"><fot color="#ff0000">'; str(kactaecmvar,s); if form.radiobutto3.checked the form.striggrid.cells[3,sayac]:='h'+s+'(c'+sm+')'; kactaecmm2var:=0; if HCmm2_elemaimi(All_Hall[i,j],kactaeCmm2var) ad (m2<>) the begi O_ek:='<p style="lie-height:0%"><fot color="#00ff00">'; str(kactaecmm2var,s); if form.radiobutto3.checked the form.striggrid.cells[4,sayac]:='h'+s+'(c'+sm+','+sm2+')'; kactaecmm2m3var:=0; if HCmm2m3_elemaimi(All_Hall[i,j],kactaeCmm2m3var) ad (m3<>) the begi O_ek:='<p style="lie-height:0%"><fot color="#0000ff">'; str(kactaecmm2m3var,s); 87

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK if form.radiobutto3.checked the form.striggrid.cells[5,sayac]:='h'+s+'(c'+sm+','+sm2+','+sm3+')'; kactaecmm2m3m4var:=0; if HCmm2m3m4_elemaimi(All_Hall[i,j],kactaeCmm2m3m4var) ad (m4<>) the begi O_ek:='<p style="lie-height:0%"><fot color="#f0000f">'; str(kactaecmm2m3m4var,s); if form.radiobutto3.checked the form.striggrid.cells[6,sayac]:='h'+s+'(c'+sm+','+sm2+','+sm3+','+sm4+')'; kactaecmm2m3m4m5var:=0; if HCmm2m3m4m5_elemaimi(All_Hall[i,j],kactaeCmm2m3m4m5var) ad(m5<>) the begi O_ek:='<p style="lie-height:0%"><fot color="#0f000f">'; str(kactaecmm2m3m4m5var,s); if form.radiobutto3.checked the form.striggrid.cells[7,sayac]:='h'+s+'(c'+sm+','+sm2+','+sm3+','+sm4+','+sm 5+')'; So_ek:='</spa></p>'; if form.radiobutto3.checked the form.striggrid.cells[,sayac]:=elemag; if form.radiobutto4.checked the writel(ftext,elemag); if form.radiobutto5.checked the writel(fhtml,o_ek+elemag+so_ek ); 88

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK form.striggrid.visible:=true; CloseFile(FHtml); CloseFile(FText); // procedure Hall_Bul(); var i,k,j,p,t,sayac:logword; begi Hall_elema_sayisi:=0; EkraDegerleriiYeile; X_i_H_e_aktar(rakX); for k:=2 to max_le do begi form.progressbar.positio:=(k00) div max_le; i:=;j:=k-; sayac:=0; while (i<=j) do begi for t:= to All_Hall[i,0].idex do begi for p:= to All_Hall[j,0].idex do begi if Hall_elemaimi(All_Hall[i,t],All_Hall[j,p]) the begi ic(sayac); Hall_i(hbase,sayac,t,p,i,j); All_Hall[k,sayac]:=hbase; ic(hall_elema_sayisi); i:=i+; j:=j-; 89

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK All_Hall[k,0].idex:=sayac; // procedure TForm.ButtoClick(Seder: TObject); begi Hall_Bul; Hall_Yazdir ed. Örek 7.2.5.: Programı çalıştırılması soucuda aşağıdaki parametreler girilerek görütüdeki çıktı elde edilmiştir. 90

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK 7.3. Koboyutu hesaplaya Delpi7 Programı Aşağıdaki bilgisayar programı Ela AYDIN (997) tarafıda verile solu takdimli bir L Lie cebirii herhagi bir B alt cebirii üreteçleri bilidiğide koboyutu vere algoritmaı bilgisayar programıdır. Buu yaparke 7.2.4 te verdiğimiz Hall elemalarıı bula programı L i ve B i Hall Bazı elemalarıı bulmak içi de kullaır. Programı Delphi7 dilideki yazılımı 7.3..: uit ebubekirhall; iterface uses Widows, Messages, SysUtils, Variats, Classes, Graphics, Cotrols, Forms, Dialogs, StdCtrls, ComCtrls, Grids, ExtCtrls; type HALL_TYPE = record idex:logword; // bu elemaı bu uzuluktaki idexi I:logword; // birici bileşe idexi I2:logword; // ikici bileşe idexi L:byte; // birici bileşe uzuluğu L2:byte; // ikici bileşe uzuluğu TForm = class(tform) Label: TLabel; Edit: TEdit; Label3: TLabel; Butto: TButto; Butto2: TButto; Label2: TLabel; Edit2: TEdit; 9

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK Label5: TLabel; ProgressBar: TProgressBar; Edit8: TEdit; Edit9: TEdit; Label8: TLabel; Label9: TLabel; Label7: TLabel; Label8: TLabel; Label9: TLabel; Label0: TLabel; Label: TLabel; Label2: TLabel; Edit3: TEdit; Edit4: TEdit; Edit5: TEdit; Edit6: TEdit; Label4: TLabel; Memo3: TMemo; Label5: TLabel; Memo4: TMemo; Label7: TLabel; Label20: TLabel; Shape: TShape; Shape2: TShape; Label4: TLabel; GroupBox: TGroupBox; Label6: TLabel; Edit7: TEdit; Edit0: TEdit; Edit: TEdit; Edit2: TEdit; 92

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK Edit3: TEdit; Edit4: TEdit; Edit5: TEdit; Edit6: TEdit; Edit7: TEdit; Edit8: TEdit; Label3: TLabel; Label6: TLabel; Label2: TLabel; Label22: TLabel; Label23: TLabel; Label24: TLabel; Label25: TLabel; Label26: TLabel; Label27: TLabel; GroupBox2: TGroupBox; Label28: TLabel; Label29: TLabel; Label30: TLabel; Label3: TLabel; Label32: TLabel; Label33: TLabel; Label34: TLabel; Label35: TLabel; Label36: TLabel; Label37: TLabel; Edit9: TEdit; Edit20: TEdit; Edit2: TEdit; Edit22: TEdit; Edit23: TEdit; 93

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK Edit24: TEdit; Edit25: TEdit; Edit26: TEdit; Edit27: TEdit; Edit28: TEdit; GroupBox3: TGroupBox; Label38: TLabel; Label39: TLabel; Label40: TLabel; Label4: TLabel; Label42: TLabel; Label43: TLabel; Label44: TLabel; Label45: TLabel; Label46: TLabel; Label47: TLabel; Edit29: TEdit; Edit30: TEdit; Edit3: TEdit; Edit32: TEdit; Edit33: TEdit; Edit34: TEdit; Edit35: TEdit; Edit36: TEdit; Edit37: TEdit; Edit38: TEdit; memo5: TMemo; Label48: TLabel; Edit39: TEdit; Label49: TLabel; Label50: TLabel; 94

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK procedure Butto2Click(Seder: TObject); procedure ButtoClick(Seder: TObject); procedure FormCreate(Seder: TObject); private { Private declaratios } public { Public declaratios } var //-------------------------------------------------- hbase,hbase,hbase2,hbaseg : HALL_TYPE; All_Hall: array [..20,0..000000] of HALL_TYPE; // özel olarak "All_Hall[4,0].idex:=7;" i alamı // 4 uzuluklu 7 kelime var demektir. X: array[..0] of strig; rakx,max_le:logword; eaz,ecok:logword; Hall_elema_sayisi:logword; rakr: logit; // L i R bağıtılarıı elema sayısı R: array[..0] of strig; //------------------------------------------------- // B<X> içi parametreler farklı olsu diye _ ekledim hbase_,hbase_,hbase2_,hbaseg_ : HALL_TYPE; All_Hall_: array [..20,0..000000] of HALL_TYPE; X_: array[..0] of strig; rakx_,max_le_:logword; eaz_,ecok_:logword; Hall_elema_sayisi_:logword; Form: TForm; implemetatio {$R.dfm} 95

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK // procedure Hall_i(var h:hall_type;idex,i,i2,l,l2:logword ) ; // H ye değer atar begi h.idex:=idex; h.i:=i; h.i2:=i2; h.l:=l; h.l2:=l2; // fuctio X_le(h:HALL_TYPE):logword; // X_le X_le X_le X_le X_le X_le begi X_le:=h.L+h.L2; // fuctio Hall_elemaimi(h,h2:HALL_TYPE) : boolea; begi Hall_elemaimi:=false; if X_le(h)>X_le(h2) the exit; if X_le(h)=X_le(h2) the if (h.idex<h2.idex) the begi Hall_elemaimi:=true; exit ed else exit; // demekki küçük yai le(h)<le(h2) if (X_le(h) < h2.l) the exit; if (X_le(h) > h2.l) the begi Hall_elemaimi:=true; exit // demekki eşit ozama idexlerie bakalım if h.idex>=h2.i the Hall_elemaimi:=true; // değilse zate false idi. ve çıkar. // 96

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK procedure Hallkelime(h:HALL_TYPE; var elema:shortstrig ); // halltype ıdaki bir elemaı kelimeye çevirir var h,h2:hall_type; begi if (h.l=)ad (h.l2=0) the elema:=x[h.i]; if (h.l=)ad (h.l2=) the elema:=elema+'['+x[h.i]+','+x[h.i2]+']'; if (h.l=)ad (h.l2>) the begi elema:=elema+'['+x[h.i]+','; h:=all_hall[h.l2,h.i2]; Hallkelime(h,elema); elema:=elema+']'; if (h.l>) the begi elema:=elema+'['; h:=all_hall[h.l,h.i]; Hallkelime(h,elema); elema:=elema+','; h2:=all_hall[h.l2,h.i2]; Hallkelime(h2,elema); elema:=elema+']'; // procedure Hallkelime_(h:HALL_TYPE; var elema:shortstrig ); // halltype ıdaki bir elemaı kelimeye çevirir var h,h2:hall_type; begi if (h.l=)ad (h.l2=0) the elema:=x_[h.i]; if (h.l=)ad (h.l2=) the elema:=elema+'['+x_[h.i]+','+x_[h.i2]+']'; if (h.l=)ad (h.l2>) the begi 97

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK elema:=elema+'['+x_[h.i]+','; h:=all_hall_[h.l2,h.i2]; Hallkelime_(h,elema); elema:=elema+']'; if (h.l>) the begi elema:=elema+'['; h:=all_hall_[h.l,h.i]; Hallkelime_(h,elema); elema:=elema+','; h2:=all_hall_[h.l2,h.i2]; Hallkelime_(h2,elema); elema:=elema+']'; // procedure X_i_H_e_aktar_(:logword); var i :Logword; begi for i:= to do Hall_i(All_Hall_[,i],i,i,0,,0); All_Hall_[,0].idex:=; // procedure X_i_H_e_aktar(:logword); var i :Logword; begi for i:= to do Hall_i(All_Hall[,i],i,i,0,,0); All_Hall[,0].idex:=; // procedure TForm.Butto2Click(Seder: TObject); 98

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK begi Halt // Procedure EkraDegerleriiYeile; // formdaki değişiklikleri yeiler sayıları atar var s:strig; i:logword; begi x[ ]:=form.edit7.text; x[ 2]:=form.Edit0.Text; x[ 3]:=form.Edit.Text; x[ 4]:=form.Edit2.Text; x[ 5]:=form.Edit3.Text; x[ 6]:=form.Edit4.Text; x[ 7]:=form.Edit5.Text; x[ 8]:=form.Edit6.Text; x[ 9]:=form.Edit7.Text; x[0]:=form.edit8.text; R[ ]:=form.edit9.text; R[ 2]:=form.edit20.Text; R[ 3]:=form.edit2.Text; R[ 4]:=form.edit22.Text; R[ 5]:=form.edit23.Text; R[ 6]:=form.edit24.Text; R[ 7]:=form.edit25.Text; R[ 8]:=form.edit26.Text; R[ 9]:=form.edit27.Text; R[0]:=form.edit28.Text; x_[ ]:=form.edit29.text; 99

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK x_[ 2]:=form.Edit30.Text; x_[ 3]:=form.Edit3.Text; x_[ 4]:=form.Edit32.Text; x_[ 5]:=form.Edit33.Text; x_[ 6]:=form.Edit34.Text; x_[ 7]:=form.Edit35.Text; x_[ 8]:=form.Edit36.Text; x_[ 9]:=form.Edit37.Text; x_[0]:=form.edit38.text; s:=form.edit39.text; val(s,rakr,i); s:=form.edit.text; val(s,rakx,i); s:=form.edit2.text; val(s,max_le,i); s:=form.edit8.text; val(s,eaz,i); s:=form.edit9.text; val(s,ecok,i); if (eaz> ecok) the begi i:=eaz; eaz:=ecok; ecok:=i if (eaz<) or (eaz>max_le) the eaz:=; if (ecok>max_le) or (ecok <) the ecok:=max_le; str(eaz,s);form.edit8.text:=s; str(ecok,s);form.edit9.text:=s; s:=form.edit3.text; val(s,rakx_,i); s:=form.edit4.text; val(s,max_le_,i); s:=form.edit5.text; val(s,eaz_,i); s:=form.edit6.text; val(s,ecok_,i); if (eaz_> ecok_) the begi i:=eaz_; eaz_:=ecok_; ecok_:=i if (eaz_<) or (eaz_>max_le_) the eaz_:=; if (ecok_>max_le) or (ecok_ <) the ecok_:=max_le_; str(eaz_,s);form.edit5.text:=s; 00

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK str(ecok_,s);form.edit6.text:=s; // fuctio L_elemaimi( e:strig) : boolea; // i R ye göre L de olup olmadığıa karar verir var i: logword; begi L_elemaimi:=false; for i:= to rakr do if (Pos(R[i],e)>0) the exit; L_elemaimi:=true; // fuctio uzuluk_elema( e:shortstrig) : logword; // e i X-uzuluğuu verir var i: logword; begi i:=0; while Pos(',', e) > 0 do begi i:=i+; e[pos(',', e)] := ' '; uzuluk_elema:=i+; // fuctio B_maxle( k:logword) : logword; // B deki k uzuluklu elemaları içideki // X-uzulığu e büyük elemaı X-uzuluğu u verir var j,max: logword; elemag:shortstrig; begi max:=0; 0

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK for j:= to All_Hall_[k,0].idex do begi Hallkelime_(All_Hall_[k,j],elemag); if max < uzuluk_elema(elemag) the max:=uzuluk_elema(elemag); B_maxle:=max; // procedure Hall_Yazdir_R(); //bağıtılara göre L i elemaları var i,j:logword; elemag:shortstrig ; begi form.memo3.clear ; FOR i:=eaz TO ecok DO BEGIN FOR j:= to All_Hall[i,0].idex do begi elemag:=''; Hallkelime(All_Hall[i,j], elemag); if L_elemaimi(elemag) the form.memo3.lies.add(elemag); // procedure Hall_Yazdir R(); //bağıtılara göre B i elemaları var i,j:logword; elemag:shortstrig ; begi form.memo4.clear ; FOR i:=eaz_ TO ecok_ DO BEGIN FOR j:= to All_Hall_[i,0].idex do begi elemag:=''; Hallkelime_(All_Hall_[i,j], elemag); if L_elemaimi(elemag) the form.memo4.lies.add(elemag); 02

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK form.memo4.lies.add(''); // fuctio B_de_varmi(e:shortstrig ):boolea; // e elemaı B de var mı var i,j:logword; elemag:shortstrig; begi B_de_varmi:=true; if ot L_elemaimi(e)the exit; // aslıda yok ama var gibi gösterip iptal edeceğiz FOR i:= TO 20 DO BEGIN FOR j:= to All_Hall_[i,0].idex do begi elemag:=''; Hallkelime_(All_Hall_[i,j], elemag); if L_elemaimi(elemag) ad (e=elemag) the exit; B_de_varmi:=false; //-------------------------------- procedure Mod_Baz_Yazdir(); var baz_elema: array [..0000] of strig; baz_elema_sayisi: logword; i,j,k,m,:logword; dahaocevarmi:boolea; elemag: shortstrig; S:boolea; // Ela Aydı (997) ı // tezideki Sk kümesii temsil ediyor // eğer S=false ise Sk boş küme demektir 03

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK // ve algoritma durur // S=true ise algoritma devam eder begi form.memo5.clear ; FOR k:= TO 0 DO BEGIN // B i e fazla 0 uzuluklu S:=false; // elemalarıa kadar gidelim for i:= to B_maxle(k) do begi FOR j:= to All_Hall[i,0].idex do begi elemag:=''; Hallkelime(All_Hall[i,j], elemag); if B_de_varmi(elemag)=false the begi dahaocevarmi:=false; for m:= to baz_elema_sayisi do if baz_elema[m]=elemag the dahaocevarmi:=true; // daha öce yazılmamışsa yaz if dahaocevarmi = false the begi S:=true; baz_elema_sayisi:=baz_elema_sayisi+; baz_elema[baz_elema_sayisi]:=elemag; if S=false the begi for := to baz_elema_sayisi do form.memo5.lies.add(baz_elema[]); exit; // procedure Hall_Bul(); 04

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK var i,k,j,p,t,sayac:logword; begi Hall_elema_sayisi:=0; EkraDegerleriiYeile; X_i_H_e_aktar(rakX); for k:=2 to max_le do begi form.progressbar.positio:=(k00) div max_le; i:=;j:=k-; sayac:=0; while (i<=j) do begi for t:= to All_Hall[i,0].idex do begi for p:= to All_Hall[j,0].idex do begi if Hall_elemaimi(All_Hall[i,t],All_Hall[j,p]) the begi ic(sayac); Hall_i(hbase,sayac,t,p,i,j); All_Hall[k,sayac]:=hbase; ic(hall_elema_sayisi); // if Ed; Ed; i:=i+; j:=j-; //while All_Hall[k,0].idex:=sayac; //for k // procedure Hall_Bul_(); var i,k,j,p,t,sayac:logword; begi Hall_elema_sayisi_:=0; EkraDegerleriiYeile; 05

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK X_i_H_e_aktar_(rakX_); for k:=2 to max_le_ do begi form.progressbar.positio:=(k00) div max_le_; i:=;j:=k-; sayac:=0; while (i<=j) do begi for t:= to All_Hall_[i,0].idex do begi for p:= to All_Hall_[j,0].idex do begi if Hall_elemaimi(All_Hall_[i,t],All_Hall_[j,p]) the begi ic(sayac); Hall_i(hbase,sayac,t,p,i,j); All_Hall_[k,sayac]:=hbase; ic(hall_elema_sayisi_); // if Ed; Ed; i:=i+; j:=j-; //while All_Hall_[k,0].idex:=sayac; //for k // procedure TForm.ButtoClick(Seder: TObject); begi Hall_Bul; Hall_Bul_; Hall_Yazdir_R; Hall_Yazdir R; Mod_Baz_Yazdir; // 06

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK procedure TForm.FormCreate(Seder: TObject); begi form.memo3.clear ; form.memo4.clear ; form.memo5.clear ; ed. soucudur. Aşağıda verile bilgisayar çıktısı Örek 6.. i program tarafıda elde edile 07

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK Aşağıda verile bilgisayar çıktısı Örek 6..2 i program tarafıda elde edile soucudur. Aşağıda verile bilgisayar çıktısı Örek 6..3 ü program tarafıda elde edile soucudur. 08

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK Aşağıda verile bilgisayar çıktısı Örek 6..4 ü program tarafıda elde edile soucudur. soucudur. Aşağıda verile bilgisayar çıktısı Örek 6..5 i program tarafıda elde edile 09

7. PROGRAMLAR Ebubekir TOPAK Aşağıda verile bilgisayar çıktısı Örek 6..6 ı program tarafıda elde edile soucudur. Aşağıda verile bilgisayar çıktısı Örek 6..7 i program tarafıda elde edile soucudur. 0