OLASILIK. Dr. Cahit Karakuş

Transkript

1 OLASILIK Dr. Cahit Karakuş

2 Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik KOLMOGOROV MARKOV

3 Matematiğin bir dalı olarak olasılık kuramının doğuşu 17.yüzyılın ortalarına raslar. 20.yüzyılda olasılığın formalizasyonu yönünde, iki önemli adım atıldı. Birincisi, 1933 yılında Andrey Nikolaevich Kolmogorov ( ) tarafından ortaya konulan aksiyomlardır. Bu aksiyomlar, olasılık kuramını, bir ölçüm uzayına taşımakta olasılıkla ilgili yapılan bütün ayrık hesaplamaları özel haller olarak içeren genel bir yapıya dönüştürüldü.. İkincisi ise Richard Threlkeld Cox ( ) tarafından ortaya konulan aksiyomlarıdır. Cox, olasılığıın temel özelikleri ortaya koydu lı yıllarda birbirlerinden habersiz olarak, Ray Solomonoff, Andrey Kolmogorov, Gregory J. Chaitin algoritmik rasgelelik (randomness) kavramını ortaya attılar. Bu yeni kavram, olasılık kuramının dayandığı rasgelelik kavramına açıklık getirmekle kalmayıp, informasyon kuramına da yeni açılımlar getirdi. Gödel in eksiklik teoremine benzer bir niteliğe sahip algoritmik rasgelelik, günümüzde çok aktif bir konudur ve görünüşe göre olasılığı bulunduğu yerden alıp daha yükseklere taşıyacaktır.

4 İnsanoğlu tarih öncesi zamanlardan beri rasgele fiziksel olaylarla karşı karşıyadır. Öngörülemeyen doğa olaylarını yorumlamak (gaipten haber vermek) ve şans oyunları bunlara tipik örneklerdir. Bu tür olgular, hemen her dönemde ve her kültürde var olmuştur. Dolayısıyla, olasılık kavramının insan düşüncesinde yer edişini binlerce yıl geriye götürmek mümkündür. Matematiğin bir dalı olarak olasılık kuramının doğuşu 17.yüzyılın ortalarına kadar gecikmiştir. Elbette, bilim tarihinde buluşların, çoğunlukla unutulan ya da bilinmeyen öncülleri vardır yılında Fra Luca Paccioli nin yazdığı Summa de aritmetica, geometria, proportioni e proportionalita adlı kitap, olasılığı konu edinen ilk kitap olarak bilinir. Bu kitaptan esinlenen Geronimo Cardano, 1550 yılında Liber de Ludo Aleae (Şans Oyunları Üzerine bir Kitap) adlı kitabı yazdı. Ama bunlar Avrupa da filizlenmeye başlayan matematiğin ilgi alanına giremedi.

5 Olasılık Kuramının doğuşu bir kumarbazın ihtirasıyla başlar. Chevalier de Méré adlı soylu bir Fransız, kumar oynayarak servetini büyütme ihtirasına kapılmıştır. Oynadığı oyunun kuralı şudur: Bir zarı dört atışta enaz bir kez 6 getiren kazanır. Ama Chevalier oyunun kuralını değiştirerek daha çok kazanmak istemektedir. Yeni kural şudur: Çift zarı 24 atışta bir tane düşeş (toplam 6+6=12) getiren kazanacaktır. Ama kısa sürede, bu kuralın daha az kazandırdığını gördü. Bunun nedenini arkadaşı Blaise Pascal ( ) a sordu. Pascal, o dönemin iyi matematikçilerinden biriydi. O ana kadar, matematik dünyası şans oyunlarının matematikle bir ilişkisi olduğunu bilmiyordu. Pascal, kendisine sorulan sorunun yanıtını, bir matematikçi gözüyle araştırdı. Sonunda basit ama kesin çözümü ortaya koydu. Eski kuralda Chevalier in kazanma şansı %51.8 iken yeni kuralda %49.1 idi. Chevalier in kaybetme nedeni buydu.

6

7 Pascal, bu problemi çözmekle yetinmedi. Sorunun gerisinde daha büyük bir matematik kuramın yattığını anlamıştı. Pierre de Fermat ile matematiğin önemli bir dalı olan Olasılık Kuramını yarattılar. Bu gün, olasılık kuramı, şans oyunlarına uygulanma özeliğini çoktan aşmış bilim, endüsri, ekonomi, spor, yönetim gibi çağdaş insanın yaşamını etkileyen her alana girmiştir. Örneğin bankacılık, sigortacılık, endüstride kalite kontrolü, genetik, gazların kinetik teorisi, istatistiksel mekanik, kuantum mekaniği gibi pek çok alan olasılık kuramı olmadan ayakta duramaz. Olasılık Kuramını geliştiren önemli matematikçilerden bazıları şunlardır: Blaise Pascal ( ), Pierre de Fermat ( ), Christiaan Huygens ( ), Jakob Bernoulli ( ), Abraham de Moivre ( ), Daniel Bernoulli ( ), Comte de Buffon ( ), Pierre-Simon Laplace ( ), Augustus De Morgan ( ), Thomas Bayes ( ), Andrei Andreyvich Markov ( ), Richard von Mises ( ).

8 Olasılığın yönelişlerinde önemli katkıları olanlar; Andrey Nikolaevich Kolmogorov ( ), Richard Threlkeld Cox ( ), Ray Solomonoff ( ) ve Gregory J. Chaitin. 19.yüzyılda fizikçiler gazların özeliklerini ve termodinamik kurallarını açıklamak için olasılığa dayalı istatistiksel mekanik kullandılar. Kuantum mekaniğinde olasılık kullanılmaktadır. Evrim Kuramı, farklı canlı türlerinin oluşumu, mutasyonun olasılığına bağlanır. İletişim kuramında olasılık, gürültü (noise) diye adlandırılır. Olasılık kavramı ile öngörülemezlik kavramlarının bazı örtüşen yanları olsa bile, esasta birbirlerinden farklıdırlar.

9 DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. SONUÇ:Deneylerin tamamlanması ile elde edilen verilerdir. OLAY:Deneyler ile elde edilen sonuçların toplamına olay denir. Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle «S» harfi ile gösterilir. Olay: Örnek uzayın bir altkümesine Olay denir. Ayrık Olay: İki olay aynı anda meydana gelemiyorsa bu olaylara ayrık olaylar denir. Diğer bir ifadeyle kesişimleri boş küme olan olaylara ayrık olaylardenir.

10 Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır. Deney - experiment Örnekleme sonucu - sample outcome Örnekleme uzayı - sample space Olay event Deney, teorik olarak belirli koşullar altında tekrarlanırken farklı sonuçlar elde edilebilen ve olası sonuçların çok iyi tanımlandığı bir süreçten oluşur. Bir deneyin potansiyel hesaplamalarından elde edilen örnekleme sonuçlarının içinde bulunduğu kümeye örnekleme uzayı denir. Deneyin sonuçlarından her birine veya belli özellikleri sağlayan deney sonuçlar kümesine de olay denir.

11 Örnek : Madeni bir paranın üç kez atıldığını göz önüne alalım. a) Örneklem uzayını belirleyiniz. b) A olayı, yazıların turalardan daha fazla olduğu deneyleri göstersin. A olayını tanımlayınız. Cevap: a) Böyle bir deneyde 8 tane farklı sonuç vardır. Bu sonuçlar örnekleme uzayını oluşturur. S={ YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} Örnekleme uzayındaki bu 8 örnekleme sonucundan başka bir sonuç yoktur. b) Örnekleme uzayından, yazıların turalardan daha fazla olduğu örnekleme sonuçlarının sayısı 4 tür. Buna göre A olayı, A = YYY, YYT, YTY, TYY olur.

12 Örnek: İki farklı renkteki zarın birlikte (veya farklı zamanlarda) atıldığı durumu göz önüne alalım. a) Örnekleme uzayını belirleyiniz. b) A olayı zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olmasını ve B olayı da iki zarın üzerindeki sayıların aynı olmasını göstersin. Buna göre A ve B olaylarını belirleyen kümeleri yazınız. Cevap: a) İki zarın atılması durumunda örnekleme uzayı 6 x 6 lık bir matris olarak gösterilebilir. S = {x, y = 1,2,3,4,5,6}. Burada x birinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını, y de ikinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını gösteren tam sayılardır.

13 Bir olayın gerçekleşme ihtimali veya şansının ölçülmesine olasılık denir. Herhangi bir E olayı için bu olayın olması olasılığı (elverişli hal) P(E) ile, gerçekleşmeme olasılığı (elverişsiz hal) ise P(~E)=1 P(E) ile gösterilir. Olasılık daima 0 ile 1 arasında olmalıdır. Yani; 0 P(a) 1 herzaman sağlanır. Olasılık, sonucu bilinemeyen deneyler hakkında orantısal öngörüde bulunmak. Çoğu tekrar edilebilir ve rasgele deneyler(random experiment) Her deneyin sonucu gözlenebilir ve ölçülen değerler kayıt edilebilir. Olasılık kavramına P. Fermat ile B. Pascal ın büyük katkıları olmuştur. Pascal hesap makinesini geliştirerek Fermat ile birlikte olasılığın temellerini oluşturmuştur. Rus matematikçi Kolmogorov olasılık aksiyomlarını ile sürmüştür.

14 Bir zarın bir kere atılışı deneyinde her olayın olasılığı 1 / 6 dır. Örnek uzay ise; S = {1, 2,3,4,5,6 } 2 veya 5 in üste gelmesi olayını A ile gösterirsek; A = { 2,5 } P(A) = 1/6 + 1/6 =2/6 = 1/3 A nın ortaya çıkmama olasılığını(1,3,4 veya 6 nın üste gelmesi) A' ile gösterirsek; P(A' ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4 / 6 = 2/ 3 veya P(A' ) = 1- P(A) = 1 1/ 3 = 2 / 3 Örnekten anlaşılacağı gibi bir olayın olasılığı 0 ve 1 arasında değişmektedir. Olayın ortaya çıkması mümkün değilse olasılığı 0, ortaya çıkması muhakkak ise olasılığı 1 dir.

15

16 KÜME

17

18 Örnek: İki farklı renkteki zarın birlikte (veya farklı zamanlarda) atıldığı durumu göz önüne alalım. a) Örnekleme uzayını belirleyiniz. b) A olayı zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olmasını ve B olayı da iki zarın üzerindeki sayıların aynı olmasını göstersin. Buna göre A ve B olaylarını belirleyen kümeleri yazınız. Cevap: a) İki zarın atılması durumunda örnekleme uzayı 6 x 6 lık bir matris olarak gösterilebilir. S = {x, y = 1,2,3,4,5,6}. Burada x birinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını, y de ikinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını gösteren tam sayılardır.

19 Olasılıkla ilgili hesaplamalar kümelerle de ifade edilebilir. Bir deneyin sonuçlarını veya basit olaylarını bir örnek uzayı içinde noktalar olarak belirtebiliriz. Basit olaylar noktalarla gösterilebilirler ancak bunların toplamı olan bileşik olaylar bir küme veya noktalar grubu olarak gösterilirler. A ve B gibi birbirini engellemeyen iki bileşik olay Venn diyagramı ile aşağıdaki gibi çizilebilir: Birbirini engelleyen olaylarda ortak nokta yoktur yani P(AB) = 0 olmaktadır. Küme notasyonu kullanılırken A + B olayı olarak, AB olayı da A B (kesişim) olarak gösterilir. A U B (bileşim)

20 Bir gazete bayii toplam 200 kişinin A,B,C dergilerine abone olma sayılarını aşağıdaki gibi saptamıştır. Bir kişinin bu dergilerden en az birine abone olma olasılığı : P( hiç abone olmama) = 1- (37/200) = Bir kişinin A veya C dergisine abone olma olasılığı: P(A + C) =P(A) + P(C) P(AC) = (50 / 200) + ( 80 / 200) (12/ 200) = 0.59 Dergi Kişi sayısı A dergisi 50 B dergisi 70 C dergisi 80 A ve B dergisi 15 A ve C dergisi 12 B ve C dergisi 20 A, B ve C dergisi 10 Hiç biri 37

21 KLASİK OLASILIK

22

23 Bir E olayında mümkün olan tüm halleri «n» ile ve E olayı için ortaya çıkabilecek halleri de «a» ile gösterirsek E olayının mevcut durumda olması ihtimali örneğin; Bir paranın üç kez atılması deneyinde bir kez tura gelmesi,en az iki yazı gelmesi ve hiç tura gelmemesi olasılıklarını bulalım: Deneyimiz için tüm olabilecek haller,{yyy,yyt,yty,tyy,ytt,tyt,tty,ttt} olduğundan n=8 dir. 1)Bir kez tura gelebilecek haller {YYT,YTY,TYY} olduğundan a=3dür. O halde P(E)=3/8 2)Enaz iki yazı gelebilecek haller {YYT,YTY,TYY,YYY} olduğundan a=4dür. O halde P(E)=4/8=0.5 3)Hiç tura gelmiyecek haller {YYY} olduğundan a=1dir. O halde P(E)=1/8

24

25

26

27

28

29

30 Bileşik olayların birbirlerini engelleyip engellememelerine göre olasılıklar değişecektir. Örneğin bir deste iskambil kağıdından bir defada bir as çekme (A) ve bir papaz çekme(b) olayları birbirini engeller. Bir defada hem as hem de papaz çekme olasılığı sıfırdır. P(A ve B) = 0 A ve B birbirini engelleyen olaylar olduğundan A olayının veya B olayının ortaya çıkması bu olayların basit olasılıklarının toplamına eşittir. (A+B) ile as veya papaz çekme olayını gösterirsek; P(A+B) = P(A) + P(B) = 1/13 + 1/ 13 = 2/ 13 P( A veya B) = P(A) + P(B) Birbirlerini engelleyen olayların olasılıkları toplamı 1 dir. Benzer şekilde 2 zarın bir arada atılışında toplam 5 gelme olasılığı 4 basit olayın toplamına eşittir. (2-3),(3-2),(4-1),(1-4) P(A)=P(2-3)+P(3-2)+P(1-4)+P(4-1) = 1 / / / / 36= 4 / 36 olasılıkları

31

32 Eğer olaylar birbirini engellemiyorsa A olayının veya B olayının ortaya çıkması, ya A olayının ya B olayının ya da A ve B olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi anlamındadır. A ve B birbirlerini engellemiyorsa; P(A+B)=P(A) + P(B) P(AB) veya P(A veya B)=P(A) + P(B) P(A ve B) örnek: bir deste iskambil kağıdından bir vale çekme olayı A ile,bir maça çekme olayı da B ile gösterilsin. Bu iki olay birbirini engellemediğinden A ve B (AB) nin olma olasılığı yani maça valesi çekme olasılığı vardır. Bu durumda A nın veya B nin olma olasılığı; P(A+B)=(4/52) + (13/52)-(1/52)=4/13

33 Bağımlı olaylardan birinin(a) gerçekleştiği bilindiğinde diğerinin (B) ona bağlı olarak meydana gelme olasılığı; P(B\ A) =P(A ve B) / P(A) P ( B \ A ): A olayının ortaya çıkması durumunda B nin olma olasılığı gösterilmektedir. Koşullu olasılık: Yüzde hesabıdır. A ya göre kümede Sadece A ve Sadece B kümlerinin kesişimi C ise Koşulu olasılık= C/(Sadece A + C) Örnek: bilgisayar müh.bölümü 1.sınıf öğrencilerinin %25 i matematik dersinde, %15 i de hem matematik hem fizik dersinde üstün başarı göstermiştir. Bu sınıftan rastgele bir öğrenci seçildiğinde, seçilen öğrenci matematik dersinden üstün başarılı ise, fizik dersinden de üstün başarılı olma olasılığı nedir? P(mat) = 0.25 ( ) P(mat ve fizik) = 0.15 P(fizik \ mat)=p(mat ve fizik) / P(mat) =0.15 / 0.25=0.60

34 Eğer bir «A» olayının ortaya çıkması «B» olayının ortaya çıkmasına bağlı değilse A ve B olayları bağımsız olaylardır

35

36

37

38

39 Bağımlı iki olaydan B olayı A olayından sonra ortaya çıkıyorsa,olayların birlikte gerçekleşme olasılığı; P(A ve B) =P(A) * (B \ A) Örnek: bir piyangoda 8 boş, 2 ikramiyeli bilet vardır. Bu piyangodan 2 bilet alan bir kişinin ikramiye kazanma olasılığı nedir? Birinci biletin kazanma olasılığı 2/10 dur.birinci bilet ikramiye kazanırsa geriye 8 boş 1 ikramiyeli 9 bilet kalır. Ikinci biletin kazanma olasılığı 1/9 dur. Her iki biletin de ikramiye kazanma olasılığı; P(B1ve B2)= (2/10)*(1/9) = 1/45

40 Bağımlı iki olaydan B olayı A olayından sonra ortaya çıkıyorsa,olayların birlikte gerçekleşme olasılığı; P(A ve B) =P(A) * (B \ A) Örnek: Bir kutuda 5 adet yeşil renkte, 3 adet de beyaz renkte top bulunmaktadır. Kutudan 2 top çekildiğinde her ikisinin yeşil olma olasılığı nedir? (toplar kutuya iade edilmiyor) A ile ilk çekilen topun yeşil olması olayı, B ile ikinci çekilen topun yeşil olması olayı gösterilsin. A ve B bağlı olaylar olduğu için P(A ve B) yani P(AB) hesaplanacaktır. 1. topun yeşil olma olasılığı : P(A) = (5 / 8 ) 1. topun yeşil olması durumunda 2. topun yeşil olma olasılığı: P(B \ A) = (4 / 7) P( A ve B ) = P(A) * P(B \ A) = (5/8)*(4/7) = 0.357

41 Bağımsız olaylarda çarpma kuralı; P(A ve B)= P(A) * P(B) şeklindedir. Aynı anda atılan iki zarın üzerinde 2 olması olasılığı; P( 2 ve 2)= P(1/6) * P(1/6) = 1/36 Örnek: A nın 15 yıl sonra hayatta kalma olasılığı %80, B nin 15 yıl sonra hayatta kalma olasılığı %60 ise, her ikisinin 15 yıl sonra hayatta kalma olasılığı nedir? P(A ve B)=0.80 * 0.60 = 0.48

42

43

44 BAYES TEOREMİ

45 Bir olayın ortaya çıkmasında birden fazla bağımsız nedenin etkili olması durumunda, bu nedenlerden herhangi birinin o olayı meydana getirme olasılığını hesaplamada kolaylık sağlar. P( A ) ile bir olayı etkileyen olayın olasılığını, P ( B ) ile sonuç olarak ortaya çıkan olayın olasılığını gösterelim. P( A ) * P ( B \ A ) = P ( B ) * P( A \ B) eşitliğini yazabiliriz. Aynı denklem; P ( B \ A ), A olayının ortaya çıkması durumunda B nin olma olasılığı gösterilmektedir. P ( A \ B), B olayının ortaya çıkması durumunda A 1 in olma olasılığı gösterilmektedir.

46 B olayını etkileyen n adet birbirini engelleyen olayın veya nedenin (A 1, A 2,..., A n ) bulunduğunu varsayarsak Bayes kuralına göre B olayının A i nedeninden meydana gelme olasılığı ; P( A i ) * P ( B \ A i ) P( A i \ B) = P( A i ) * P ( B \ A i ) i=1,2,3,...n P( A i ) ile A i olayının olasılığı, P ( B \ A i ) ile de A i olayının ortaya çıkması durumunda B nin olasılığı gösterilmektedir.

47 Örnek: Küçük bir ofisde 3 adet fotokopi makinası kullanılmaktadır. Çekimlerin %60 ı 1.makinada, %30 u 2.makinada ve %10 u da 3.makinada yapılmaktadır. Makinaların fire oranları da 1.makine için %10, 2.makine için %20 ve 3. makine için %40 olmaktadır. Tüm kopyalar için hata oranı nedir? M1,M2,M3 makinaları, D hatalı kopyayı(fire) göstersin. Makinaların kullanılma olasılıkları: P(M1) = 0.60, P(M2) = 0.30, P(M3) = 0.10 ve fire oranları; P(D\ M1) = 0.10, P(D\M2) = 0.20, P( D\ M3) = 0.40 Olayları A, B, C ile gösterirsek; A = M1 D, B = M2 D, C = M3 D yazılabilir. Önce A olayı için hesaplama yapalım: P( A ) = P(M1 D ) = P(M1)*P(D\M1)= (0.60)*(0.10) = 0.06 Aynı şekilde diğer olaylar için de hesaplama yapabiliriz: P( B ) = (0.30)* (0.20) = 0.06, P( C ) = (0.10) * (0.40) = 0.04 Her makine için hesaplanan fire olasılıkların toplamı bize toplam fire olasılığını verecektir. P( D ) = P( A ) + P( B ) + P( C ) = = 0.16 Tüm kopyaların %16 ı hatalı çıkmaktadır diyebiliriz.

48

49 10 4

50 In order to explain Bayes principle, we conducted a very small experiment: we tossed a coin 14 times. We obtained 10 heads and 4 tails. Let s say we wish to know the probability of getting two heads in a row on our next two tosses.

51 Frequentist Approach 10/14 Probability of 1 head next: = X Probability of 2 heads next: = 0.51

52 the frequentist approach says that the probability of the next toss being head is 10/14 = So for 2 toss, you will assume that the 2 toss are not linked ( independently, binomially distributed ), and simply square 0.71 to obtain This result suggests that there is a bit more than half a chance to get a head, so we WOULD BET on it.

53 Permütasyon

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66 İstatistik ve Olasılık, Prof. Dr. İrfan Kaymaz, Erzurum Teknik Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Olasılık ve İstatistik, Aydın Üstün, 2014 Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları, PROBABILITY, RANDOM VARIABLES, AND STOCHASTIC PROCESSES, Athanasios Papoulis, Professor of Electrical and Computer Engineering Polytechnic University, Boston.